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Estimação por máxima verossimilhança dos parâmetros da distribuição
Birnbaum-Saunders usando C,Ox eR
Helton Saulo1
Manoel Santos-Neto2
Jeremias Leão3
Josimar Vasconcelos4
1Departamento de Economia, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 90040-000, Porto Alegre, RS, Brasil.
2Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística, Universidade Federal de Campina Grande, 58429-970, Cam-
pina Grande, PB, Brasil.
3Departamento de Informática e Estatística, Universidade Federal do Piauí, 64049-550, Teresina, PI, Brasil.
4Departamento de Matemática, Universidade Federal do Piauí, 64600-000, Picos, PI, Brasil.
Estimação por máxima verossimilhança dos parâmetros da distribuição
Birnbaum-Saunders usando C,Ox eR
Resumo. Nesse artigo realizamos uma avaliação numérica usando estimação de máxima ve-
rossimilhança para os dois parâmetros da distribuição Birnbaum-Saunders [Birnbaum, Z.W.,
Saunders, S.C., 1969a. A new family of life distributions. J. Appl. Probab. 6, 319-327].
Em particular, comparamos as linguagens de programação C,Ox eRatravés de simulações de
Monte Carlo. Os resultados numéricos indicam que a linguagem Cé computacionalmente me-
nos onerosa e que as três linguagens são semelhantes em termos de estimação do modelo.
Palavras-chave: Distribuição Birnbaum-Saunders; BFGS; Linguagens C,Ox eR; Simulação de
Monte Carlo.
Abstract. We perform a numerical evaluation using maximum likelihood estimation for the
two-parameter Birnbaum-Saunders distribution [Birnbaum, Z.W., Saunders, S.C., 1969a. A
new family of life distributions. J. Appl. Probab. 6, 319-327]. In particular, we compare the C,
Ox and Rprogramming languages through Monte Carlo simulations. The numerical results in-
dicate that the Clanguage is computationally less costly and that the three languages are similar
in terms of model estimation.
Keywords: Birnbaum-Saunders distribution; BFGS; C,Ox and Rlanguages; Monte Carlo simu-
lations.
2
1 Introdução
A distribuição Birnbaum-Saunders (BS) vem sendo bastante estudada nesta última década.
Esta distribuição é unimodal, possui assimetria positiva, o suporte está definido nos reais não-
negativose é indexada por dois parâmetros que controlam a forma e escala da distribuição, res-
pectivamente. Para maiores detalhes desta distribuição; ver Birnbaum & Saunders (1969a,b) e
Johnson et al. (1995, pags. 651-663). O interesse pela distribuição Birnbaum-Saunders se deve
aos seus argumentos teóricos físicos, suas propriedades atrativas e sua relação com a distribui-
ção normal. A distribuição BS teve sua origem na engenharia, no entanto, tem sido aplicada
em outras áreas como negócios, meio ambiente e medicina, ver por exemplo, Leiva et al. (2007,
2008, 2009, 2011), Barros et al. (2008), Bhatti (2010), Vilca et al. (2011) e Paula et al. (2012).
Diferentes aspectos relacionados à estimação dos parâmetros da distribuição BS têm sido
estudados. Em Birnbaum & Saunders (1969b) são apresentados os estimadores de máxima
verossimilhança (MV) para os parâmetros desta distribuição. Bhattacharyya & Fries (1982)
observam que o fato da distribuição BS não pertencer a família exponencial dificulta o desen-
volvimento de procedimentos de inferência para os seus parâmetros. Engelhardt et al. (1981),
Ahmad (1988), Achcar (1993), Chang & Tang (1994) e Dupuis & Mills (1998) discutem outros
estimadores para os referidos parâmetros. No entanto, em todos os casos, não é possível ob-
ter expressões explícitas para estes estimadores sendo necessário a utilização de procedimentos
numéricos. Podemos, também, encontrar estudos computacionais dos estimadores de máxima
verossimilhança dos parâmetros da distribuição BS em Cysneiros et al. (2008), Lemonte et al.
(2007), Lemonte et al. (2008) e Santos-Neto et al. (2012).
O objetivo desse artigo é estudar o comportamento das estimativas de MV, dos parâme-
tros que indexam a distribuição BS, quando obtidas por diferentes linguagens de programação.
Neste artigo, foram utilizadas as linguagens de programação C,Ox eR. A obtenção de estima-
tivas de MV de forma eficiente e prática é de grande importância principalmente pela grande
aplicabilidade dessa distribuição. Os estimadores de MV da distribuição BS são encontrados
usando o método de otimização não-linear Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS). Deta-
lhes sobre esse método podem ser encontrados em Nocedal & Wright (2006).
A linguagem Cfoi desenvolvida por Dennis Ritchie entre 1969 e 1973 e pertence a uma
família de linguagens que, dentre outras características, possuí geração de código eficiente,
confiabilidade, regularidade, simplicidade e facilidade de uso; ver Kernighan & Ritchie (1978).
A linguagem Ox foi criada por Jurgen Doornik em 1994. Ela é bastante flexível e foi desenvol-
vida com base na linguagem C; ver Cribari-Neto & Zarkos (2003) e Doornik (2001). Por fim,
a linguagem Rfoi criada por Ross Ihaka e Robert Gentleman e caracteriza-se pela flexibilidade
oferecida por algumas linguagens compiladas (e.g., CeC++) e a praticidade dos tradicionais
pacotes estatísticos; ver Cribari-Neto & Zarkos (1999) and Crawley (2007).
O artigo está organizado da seguinte forma. A Seção 2 introduz a distribuição Birnbaum-
Saunders e algumas de suas propriedades. Na Seção 3 apresentamos como são obtidos os
estimadores de máxima verossimilhança através do método de otimização não-linear BFGS.
Na Seção 4 estudamos a perfomance dos estimadores de MV através de simulações de Monte
Carlo nas linguagens de programação C,Ox eR. Finalmente, na Seção 5 discutimos algumas
das conclusões deste artigo.
3
2 Distribuição Birnbaum-Saunders
Seja M={fT(t;θ) : θ∈Θ}um modelo estatístico, em que Té uma variável aleatória que
pertence ao espaço amostral TefT(t;θ)é a função densidade de probabilidade (f.d.p) parame-
trizada por θ, em relação a alguma medida dominante comum Pem T. Podemos considerar,
θ= (θ1,...,θp)⊤∈Θ⊂Rp. Por exemplo, o modelo BS é uma família de distribuições de
probabilidade possuindo a seguinte f.d.p
fT(t;θ) = 1
√2πexp −1
2α2t
β+β
t−2 [t+β]
2αpβ t3,(1)
em que o espaço amostral T= (0,∞)∩R1, com a medida de Lebesgue dP =dt eθ= (α, β)⊤
é um vetor bi-dimensional. Em particular, αé um parâmetro de forma, ao passo que βrepresenta
um parâmetro de escala. Note que o espaço paramétrico Θé um semi-plano,
Θ={(α, β) : α > 0, β > 0}.
Desta maneira, o conjunto Mé composto por todas as distribuições BS, e cada distribuição
é especificada pelo vetor θ= (α, β)⊤. Adicionalmente, temos que a distribuição BS possui
as seguintes propriedades: (P1) c T ∼ BS(α, c β), com c > 0, e (P2) 1/T ∼ BS(α, 1/β). O
k-ésimo momento de Té
E[Tk] = βk
k
X
j=0 2k
2jj
X
i=0 j
i(2k−2j+ 2i)!
2k−j+i(k−j+i)! hα
2i2k−2j+2i,
e desta forma E[T] = β[1 + 1
2α2]e Var[T] = [β α]2[1 + 5
4α2]. A função quantílica de Té
QBS (p) = [β/4][α QN(p) + pα2QN(p)2+ 4]2, em que QN(p)é o p-ésimo quantil de Z∼
N(0,1), em que N(0,1) denota a distribuição normal padrão. Note que QB S (0.5) = β, isto é,
βé a mediana da distribuição BS .
Na Figura 1(a) é possível observamos que o incremento no valor do parâmetro αfaz com que
o grau de assimétria da distribuição BS aumente, além disso, temos o aumento na variabilidade
e no grau de achatamento da distribuição. Já na Figura 1(b) temos que o incremento no valor
do parâmetro βfaz com que a densidade se desloque no mesmo sentido de βe aumente a
variabilidade da distribuição. Estes resultados reforçam o fato dos parâmetros αeβcontrolarem
a forma e escala da distribuição BS, respectivamente.
3 Estimação de máxima verossimilhança usando BFGS
Seja {ti:i= 1,...,n}uma amostra aleatória de uma distribuição BS(α, β ). Estão a função
de log-verossimilhança ℓ(θ;t)desse modelo pode ser representada por
ℓ(θ;t)∝ −nlog(α)−n
2log(β) +
n
X
i=1
log(ti+β)−1
2α2
n
X
i=1 ti
β+β
ti−2.(2)
4
t
fT(t;θ)
0.5 1.0 1.5 2.0
0.0
01234
α= 0.10
α= 0.30
α= 0.50
α= 0.75
α= 1.00
α= 1.50
(a)
t
fT(t;θ)
β= 0.50
β= 0.75
β= 1.00
β= 1.50
β= 2.00
β= 2.50
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
02468
(b)
Figura 1: Gráficos da f.d.p da BS para β= 1.0(a) e α= 0.1(b).
Os elementos do vetor escore, U(θ) = (Uα(θ), Uβ(θ))⊤, são
Uα(θ) = ∂ℓ(α, β )
∂α =−n
α1 + 2
α2+1
α3β
n
X
i=1
ti+β
α3
n
X
i=1
1
ti
e
Uβ(θ) = ∂ℓ(α, β)
∂β =−n
2β+
n
X
i=1
1
ti+β+1
2α2β2
n
X
i=1
ti−1
2α2
n
X
i=1
1
ti
.
Birnbaum & Saunders (1969b) mostraram que o estimador de máxima verossimilhança
(MV) bαde αé
bα="s
b
β+b
β
r−2#1/2
,(3)
em que r=n−1Pn
i=1 ties=n−1Pn
i=1 t−1
i−1. Note que para obter b
β, precisamos resolver
uma equação não-linear em β, ou seja,
β2−β[2r+K(β)] + r[s+K(β)] = 0,(4)
em que K(ξ) = 1
nPn
i=1 [ξ+ti]−1−1, para ξ > 0. Birnbaum & Saunders (1969b) apre-
sentaram dois métodos para encontrar b
β. O primeiro funciona bem quando α < 0.5, no en-
tanto, não quando α > 2. O segundo método também não funciona bem para alguns valores
de α. Neste artigo, encontramos os estimadores de MV de αeβpela maximização da fun-
ção de log-verossimilhança usando o método de otimização não-linear BFGS com derivadas
analíticas. Este método é considerado como o algoritmo de otimização não-linear mais con-
fiável; ver (Mittelhammer et al., 2000, p. 199). Os estimadores de momentos modificados
α0=2[s
r]1/2−11/2eβ0= [rs]1/2, definidos em Ng et al. (2003), são usados como chutes
5
iniciais. O algoritmo BFGS usa o mesmo princípio do método de Newton-Raphson, exceto por
utilizar uma sequência de matrizes simétricas e positivas definidas B(k)em alternativa à matriz
−H−1, de maneira que
lim
k→∞ B(k)=−H−1.(5)
Em geral, a matriz identidade de mesma ordem B(0) é tomada como a matriz inicial, pois
ela é positiva definida e simétrica, conduzindo assim a aproximações B(k)positivas definidas e
simétricas. A forma recursiva para tais matrizes é dada por
B(k+1) =B(k)−B(k)g(k)(g(k))⊤B(k)
(g(k))⊤B(k)g(k)+h(k)(h(k))⊤
(h(k))⊤g(k), k = 0,1,..., (6)
em que g(k)=θ(k+1) −θ(k)eh(k)=U(θ(k+1))−U(θ(k)). Desse modo, o máximo é obtido por
θ(k+1) =θ(k)−λ(k)B(k)U(θ(k)), k = 0,1,..., (7)
em que λ(k)é um escalar determinado por um procedimento de busca linear de θ(k)na direção
−B(k)U(θ(k)).
4 Simulações de Monte Carlo
Nesta seção, apresentamos a avaliação numérica dos estimadores de MV dos parâmetros do
modelo BS usando o método BFGS nas linguagens de programação C,Ox eR. Se Té uma
variável aleatória com distribuição BS, então temos que
X=1
2"sT
β−rβ
T#(8)
é uma distribuição N0,α2
4. Logo, a partir da equação (8) podemos escrever Tem função da
distribuição normal
T=β1 + 2X2+ 2X(1 + X2)1/2.(9)
Assim, temos que os números pseudo-aleatórios da variável aleatória Tpodem ser obtidos
a partir de números pseudo-aleatórios da distribuição normal da forma como é dado em (9).
Consideramos os seguintes tamanhos amostrais n= 10,30,60 e100, e os valores assumidos
para o parâmetro de forma foram α= 0.10,0.50,0.75 e1.00. O parâmetro de escala, sem
perda de generalidade, é fixado em 1.0, e admitimos 10000 réplicas de Monte Carlo em todos
os experimentos.
As versões dos programas (em plataforma Linux Ubuntu 12.04.1) usadas para implementar
e realizar as simulações foram: R2.13.1, usando o pacote gbs, desenvolvido por Barros et al.
(2009), disponível em www.R-project.org;Ox 6.20, disponível em www.doornik.com;
e gcc 4.6 para C, usando a biblioteca GSL a qual fornece diversas rotinas matemáticas e estatís-
ticas e pode ser obtida em www.gnu.org/software/gsl/. Os números pseudo-aleatórios
foram obtidos através do gerador de George-Marsaglia.
6
A Tabela 1 mostra que os valores das estimativas para o parâmetro αé menor que o va-
lor fixado como verdadeiro em todos os cenários, ou seja, em geral temos que os verdadeiros
valores do parâmetro αsão subestimados. Notem que o viés de estimação em valor absoluto
aumenta à medida que aumentamos o valor de α, contudo para um mesmo valor de αà me-
dida que aumentamos o tamanho amostral observa-se uma redução de viés (vide Tabela 3). Por
exemplo, quando n= 10 eα= 0.1, os vieses absolutos relativos para αobtidos por C,Ox eR,
eram 0.0730,0.0771 e0.0760, no entanto, quando α= 1.00, as medidas foram 0.0809,0.0842
e0.0842, respectivamente. Esse comportamento é semelhante, também, para as medidas de
dispersão apresentadas nas Tabelas 2 e 4.
Note também que, para n= 10, as estimativas dos vieses (em valor absoluto) para os parâ-
metros αeβobtidos a partir da linguagem Csão menores do que os obtidos com as linguagens
Ox eR. É interessante notar que comparando-se a variabilidade das estimativas dos parâmetros
em relação as linguagens C,Ox eRnota-se que, em geral, temos níveis de variabilidades no
mesmo patamar para as três linguagens. Na Tabela 5 mostramos o tempo de execução em se-
gundos das simulações de Monte Carlo. Notamos que os tempos de execução obtidos quando
simulamos no Rsão muito maiores do que as outras linguagens, e que a linguagem Csobressai-
se sobre as demais.
Tabela 1: Estimativasde MV para os diferentes valores de α, baseadas em simulações de Monte
Carlo (β= 1.00). Estimativas de αEstimativas de β
α n = 10 n= 30 n= 60 n= 100 n= 10 n= 30 n= 60 n= 100
0.10 C0.0927 0.0973 0.0987 0.0992 1.0003 1.0004 1.0001 1.0001
Ox 0.0923 0.0972 0.0988 0.0992 1.0004 1.0003 1.0000 1.0000
R0.0924 0.0977 0.0988 0.0993 1.0006 1.0004 1.0002 0.9999
0.50 C0.4622 0.4861 0.4935 0.4960 1.0107 1.0049 1.0020 1.0013
Ox 0.4598 0.4863 0.4930 0.4950 1.0100 1.0050 1.0019 1.0010
R0.4606 0.4879 0.4938 0.4964 1.0125 1.0052 1.0024 1.0007
0.75 C0.6914 0.7285 0.7399 0.7439 1.0231 1.0098 1.0040 1.0026
Ox 0.6880 0.7290 0.7405 0.7439 1.0234 1.0070 1.0035 1.0039
R0.6889 0.7312 0.7404 0.7444 1.0274 1.0109 1.0054 1.0023
1.00 C0.9191 0.9704 0.9861 0.9915 1.0382 1.0153 1.0063 1.0041
Ox 0.9158 0.9717 0.9854 0.9914 1.0459 1.0117 1.0056 1.0026
R0.9158 0.9740 0.9867 0.9922 1.0468 1.0184 1.0095 1.0049
7
Tabela 2: Estimativas dos desvios-padrão, baseadas nas simulações de Monte Carlo (β= 1.00).
Estimativas de αEstimativas de β
α n = 10 n= 30 n= 60 n= 100 n= 10 n= 30 n= 60 n= 100
0.10 C0.0222 0.0128 0.0090 0.0070 0.0314 0.0185 0.0128 0.0100
Ox 0.0221 0.0129 0.0091 0.0071 0.0314 0.0183 0.0129 0.0100
R0.0221 0.0129 0.0092 0.0071 0.0317 0.0183 0.0129 0.0100
0.50 C0.1106 0.0638 0.0451 0.0352 0.1551 0.0901 0.0624 0.0486
Ox 0.1094 0.0646 0.0454 0.0349 0.1542 0.0889 0.0626 0.0484
R0.1104 0.0645 0.0459 0.0354 0.1567 0.0895 0.0625 0.0485
0.75 C0.1657 0.0957 0.0676 0.0528 0.2286 0.1309 0.0903 0.0703
Ox 0.1676 0.0963 0.0686 0.0532 0.2280 0.1292 0.0908 0.0700
R0.1655 0.0967 0.0688 0.0532 0.2314 0.1301 0.0905 0.0700
1.00 C0.2209 0.1277 0.0902 0.0704 0.2976 0.1670 0.1145 0.0891
Ox 0.2196 0.1279 0.0901 0.0708 0.3064 0.1627 0.1146 0.0890
R0.2208 0.1289 0.0918 0.0709 0.3021 0.1664 0.1151 0.0888
Tabela 3: Estimativas dos viés relativo, baseadas nas simulações de Monte Carlo (β= 1.00).
Estimativas de αEstimativas de β
α n = 10 n= 30 n= 60 n= 100 n= 10 n= 30 n= 60 n= 100
0.10 C-0.0730 -0.0269 -0.0126 -0.0076 0.0003 0.0004 0.0001 0.0001
Ox -0.0771 -0.0275 -0.0122 -0.0079 0.0004 0.0003 0.0000 0.0000
R-0.0760 -0.0230 -0.0120 -0.0070 0.0006 0.0004 0.0002 -0.0001
0.50 C-0.0755 -0.0278 -0.0131 -0.0079 0.0107 0.0049 0.0020 0.0013
Ox -0.0803 -0.0273 -0.0141 -0.0100 0.0100 0.0050 0.0019 0.0010
R-0.0788 -0.0242 -0.0124 -0.0072 0.0125 0.0052 0.0024 0.0007
0.75 C-0.0781 -0.0286 -0.0135 -0.0082 0.0231 0.0098 0.0040 0.0026
Ox -0.0826 -0.0280 -0.0127 -0.0082 0.0234 0.0070 0.0035 0.0039
R-0.0815 -0.0251 -0.0128 -0.0075 0.0274 0.0109 0.0054 0.0023
1.00 C-0.0809 -0.0296 -0.0139 -0.0085 0.0382 0.0153 0.0063 0.0041
Ox -0.0842 -0.0283 -0.0146 -0.0086 0.0459 0.0117 0.0056 0.0026
R-0.0842 -0.0260 -0.0133 -0.0078 0.0468 0.0184 0.0095 0.0049
8
Tabela 4: Estimativas do √EQM, baseadas nas simulações de Monte Carlo (β= 1.00).
Estimativas de αEstimativas de β
α n = 10 n= 30 n= 60 n= 100 n= 10 n= 30 n= 60 n= 100
0.10 C0.0233 0.0130 0.0091 0.0071 0.0314 0.0185 0.0128 0.0100
Ox 0.0234 0.0132 0.0092 0.0071 0.0314 0.0183 0.0129 0.0100
R0.0224 0.0141 0.0100 0.0100 0.0316 0.0173 0.0141 0.0100
0.50 C0.1168 0.0653 0.0456 0.0354 0.1555 0.0902 0.0624 0.0486
Ox 0.1166 0.0660 0.0460 0.0353 0.1545 0.0890 0.0626 0.0484
R0.1170 0.0656 0.0458 0.0361 0.1572 0.0894 0.0624 0.0480
0.75 C0.1757 0.0981 0.0684 0.0531 0.2298 0.1313 0.0904 0.0703
Ox 0.1787 0.0985 0.0693 0.0536 0.2292 0.1294 0.0909 0.0701
R0.1764 0.0985 0.0693 0.0539 0.2330 0.1304 0.0906 0.0700
1.00 C0.2353 0.1311 0.0913 0.0709 0.3000 0.1677 0.1146 0.0892
Ox 0.2352 0.1310 0.0913 0.0714 0.3098 0.1631 0.1148 0.0890
R0.2362 0.1315 0.0927 0.0714 0.3058 0.1673 0.1153 0.0889
Tabela 5: Tempo de execução (em segundos) das simulações de Monte Carlo (β= 1.00).
Estimativas de α
α n = 10 n= 30 n= 60 n= 100
C0.26 0.90 2.13 4.13
0.10 Ox 1.28 2.46 4.25 7.64
R44.58 48.49 52.25 57.25
C0.24 0.83 2.01 3.96
0.50 Ox 2.34 3.90 6.24 9.42
R55.34 60.55 65.67 71.59
C0.18 0.67 1.65 3.30
0.75 Ox 2.40 3.84 6.03 9.06
R58.27 66.14 71.50 80.67
C0.16 0.56 1.35 2.72
1.00 Ox 2.38 3.74 5.99 8.70
R56.75 61.82 66.71 72.74
9
5 Considerações finais
Neste artigo, foi realizada uma avaliação numérica dos estimadores de máxima verossimilhança
dos parâmetros da distribuição BS através das linguagens C,Ox eRvia simulações de Monte
Carlo. Para avaliarmos o desempenho dos estimadores de MV foram utilizadas as seguintes
quantidades: média, desvios-padrão, viés relativo e a raiz quadrada do erro quadrático médio
(√EQM). Notamos que as estimativas de MV dos parâmetros da distribuição BS obtidas pe-
las linguagens C,Ox eRtiveram comportamento muito parecidos. Sendo assim irrelevante a
escolha da linguagem quanto à qualidade da estimação. Além disso, observamos que a lingua-
gem Cé computacionalmente mais rápida, independentemente do tamanho amostral, do que as
demais linguagens aqui utilizadas, comprovando que ela é bastante eficiente. No entanto, uma
desvantagem da linguagem Ccom relação as linguagens Ox eRé o número muito pequeno
de ferramentas estatísticas disponíveis, o que torna o trabalho do pesquisador mais árduo no
momento da programação. Desta forma, concluímos que a escolha da linguagem a ser utilizada
dependerá da habilidade computacional do usuário e da complexidade do estudo a ser realizado.
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