Weitere spezielle Folge primitiver pythagoräischer Dreiecke

Abstract

Dieser Artikel nimmt Bezug auf FIRSTOV und den dort vorgestellten Transformationen, mit denen sich nach EUKLIDs Formel genau drei Arten von Bäumen von primitiven pythagoräischen Dreiecken (A,B,C) erzeugen lassen. Speziell wird dort die Transformation h_2 ° h_1 betrachtet. Somit gilt: pe(n)=H21^n ∙ pe(0).

Full text

Ralf Steiner 04.05.2020
Weitere spezielle Folge primitiver pythagoräischer Dreiecke
Vorwort:
Dieser Artikel nimmt Bezug auf FIRSTOV und den dort vorgestellten Transformationen, mit denen sich nach
EUKLIDs Formel genau drei Arten von Bäumen von primitiven pythagoräischen Dreiecken (A,B,C) erzeugen
lassen. Speziell wird dort die Transformation h_2 ° h_1 betrachtet.
Aussage:
Ausgehend von der Wurzel des Baums mit dem kleinsten pythagoräischen Dreieck ppt(0)={3,4,5} bzw.
pe(0)={p,q}={2,1} in EUKLIDS Formel A = p^2 - q^2, B = 2*p*q, C = p^2 + q^2 kann mittels sukzessiv
wiederholtem inneren Produkt mit der Matrix H21 = {{1, 3}, {0, 2}} von links mit {2,1} und EUKLIDS Formel
die spezielle Folge:
{3, 4, 5}, {21, 20, 29}, {105, 88, 137}, {465, 368, 593}, {1953, 1504, 2465}, {8001, 6080, 10049}, {32385,
24448, 40577}, {130305, 98048, 163073}, {522753, 392704, 653825}, {2094081, 1571840, 2618369},
{8382465, 6289408, 10479617}, ...
von primitiven pythagoräischen Dreiecken berechnet werden.
Somit gilt: pe(n)=H21^n ∙ pe(0).
Die derart gebildeten pe(n) haben die allgemeine Form: {-1 + 3*2^n, 2^n} für 0<=n.
Die nach EUKLIDs Formel gebildeten Dreiecke
A(n)=A134057(n+2),
B(n)=A093357(n+2),
C(n)=5, 29, 137, 593, 2465, 10049, 40577,...
konvergieren im Grenzübergang n->inf zur Form (3 : 4 : 5).
Referenzen:
V. E. FIRSTOV, A Special Matrix Transformation Semigroup of Primitive Pairs and the Genealogy of
Pythagorean Triples; Mathematical Notes, volume 84, number 2, August 2008, pages 263-279, (in Russisch);
siehe dazu: https://en.wikipedia.org/wiki/Tree_of_primitive_Pythagorean_triples