Raymond Duval’s research while affiliated with University of the Littoral Opal Coast and other places

O desafio maior do ensino de matemática é fazer com que os alunos entrem na maneira de pensar e de trabalhar que é específica à matemática uma vez que é essa a condição que precede a toda aquisição dos conceitos em matemática. Mas, para isso é preciso analisar o modo matemático de pensar e trabalhar naquilo que tem de radicalmente diferente dos modos mais espontâneos de pensar e trabalhar em outros domínios do conhecimento. A teoria dos registros de representação semiótica é essencialmente um instrumento que foi elaborado para analisar a maneira de pensar e de trabalhar a matemática quaisquer que sejam os conceitos e domínios (geometria, álgebra, análise...) tratados. De certa forma, a atividade matemática possui dois lados: o lado que aparece quando se considera o ponto de vista matemático e outro lado que se revela quando se considera o ponto de vista cognitivo. Neste artigo, discute-se a importância e a necessidade de fazer com que os alunos se insiram no modo de pensar e de trabalhar que é específico à matemática. Para tanto, as seguintes questões serão abordadas:– Como descrever a maneira de pensar e de trabalhar em matemática?– A conversão de representações é o primeiro obstáculo à compreensão em matemática?– O que significa “compreender matemática”?– Os dois lados da atividade matemática são considerados no ensino e na pesquisa em educação matemática?

The cognitive core process of mathematical activity is the recognition of a same object in two semiotic representations whose respective contents have nothing in common with each other. It is also the recurrent and insuperable difficulty of comprehension in learning mathematics and the main impediment to solving problems for most students. The theory of registers provides a cognitive analysis of the way of working and thinking in mathematics. It highlights the key cognitive factors to be taken into account in Mathematics Education for all students up to the age of 16. To give an insight into the theory this paper focuses on two topics. How to introduce letters and elementary algebra? How to learn to solve problems in mathematics? And to avoid the confusion of words arising in Mathematics Education whenever we talk about « theories », we shallshow how to analyze in terms of registers the mathematical tasks related to these two topics. This allow us to identify the cognitive thresholds to be crossed to understand and to solve problems in mathematics. Analyzing mathematical activity in terms of registers is quite different from the prevailing mathematical view. This concerns the hidden face of mathematical activity and not its exposed face. We are broaching here the crucial issue about teaching mathematics to all students up to the age of 16. What should be its objectives and priority areas?Keywords: Register. Transformation of Semiotic Representation. Conversion. Treatment. Discursive operation.

http://dx.doi.org/10.5007/1981-1322.2016v11n2p1Há duas questões cruciais nas pesquisas sobre o ensino e a aprendizagem de matemática: a primeira refere-se ao que caracteriza uma atividade matemática em relação aos outros tipos de atividades científicas ou intelectuais; e a segunda trata do que é compreender matemática e, desse modo, versa sobre os critérios que permitem saber se foi compreendida. As respostas que se dão a essas questões determinam as escolhas que se fazem na organização do ensino de matemática aos alunos com idade entre 6 e 16 anos, e também nas atividades em sala de aula para a aquisição de objetivos visados ao fim de um ciclo. As respostas não são somente matemáticas, mas cognitivas, uma vez que os alunos, em sua grande maioria, esbarram em dificuldades de compreensão que não conseguem superar e que não existem em outros domínios do saber. Tais dificuldades têm origem no fato de que as condições epistemológicas e cognitivas de acesso aos objetos estudados em matemática são radicalmente diferentes das condições de acesso aos objetos estudados em outras disciplinas. A noção de registro de representação semiótica foi elaborada para poder analisar o desempenho cognitivo específico que a atividade matemática exige e no qual é preciso penetrar para poder compreender matemática. Neste artigo, propomo-nos a explicar, da maneira a mais completa possível, o que são os registros de representação semiótica. Para tanto, iremos responder às três questões que toda introdução de uma nova noção suscita: O que é...? Por que...? Como utilizar...? Para a primeira questão, partiremos da exigência epistemológica fundamental de jamais confundir o conteúdo de uma representação com o objeto representado, e, ainda, levar em consideração os diferentes tipos de sistemas que produzem as representações. Em relação à segunda questão, evidenciaremos o afastamento que existe entre as abordagens didáticas que não levam em conta a singularidade das condições epistemológicas e cognitivas de acesso à matemática e uma abordagem da atividade matemática em termos de registros. No caso da terceira questão, partiremos do fato de que em matemática não são as representações semióticas as importantes, mas as suas transformações. Distinguiremos, assim, dois princípios de análise: um que se funda na comparação dos conteúdos específicos das representações produzidas em dois registros diferentes; e o outro, nas possibilidades de transformações específicas em cada registro. A análise cognitiva, em termos de registro do que é compreender matemática, trata da face oculta da atividade matemática, e não da face exposta da matemática, que é a única realmente considerada na organização dos programas e das atividades em sala de aula. Essa análise nos conduziu ao que chamamos de patamares cognitivos de compreensão na aprendizagem da matemática, que permitem definir os fatores e as tarefas para fazer com que os alunos possam ultrapassar tais patamares. A noção de registro suscita uma questão: trata da maneira como as representações, semióticas e não semióticas, icônicas e não icônicas, simbólicas e verbais, remetem aos objetos que representam. Para responder a isso, devemos distinguir três tipos de objetos em função dos seus modos cognitivos de acesso, que são radicalmente diferentes. Além do mais, nenhum desses três tipos de objeto deve ser confundido com o que chamamos de “objetos fenomenológicos”; quer dizer, aqueles que são reconhecidos de imediato, no primeiro um quarto de segundo. Eles podem variar de um indivíduo a outro. Concluiremos com uma terceira questão, que é igualmente crucial para as pesquisas sobre o ensino e a aprendizagem da matemática: no que a matemática contribui para o desenvolvimento intelectual da criança e do pré-adolescente, com idades entre 6 e 16 anos?

This paper presents a study of networking of theories between the theory of registers of semiotic representation (TRSR) and the onto-semiotic approach of mathematical cognition and instruction (OSA). The results obtained show complementarities between these two theoretical perspectives , which might allow more detailed analysis of the students' performance. Análisis de la actividad cognitiva subyacente en la resolución de una ta-rea sobre la derivabilidad de la función valor absoluto: dos perspectivas teóricas En este artículo se presenta un estudio de networking of theories, entre la teoría de los registros de representación semióticos (TRRS) y el enfoque onto-semiótico de la cognición e instrucción matemáticos (OSA). Los resultados obtenidos revelan complementariedades entre estas dos perspectivas teóricas cuya aplicación simultánea permitiría hacer análisis más pormenorizados de las producciones de los estudiantes. Términos clave: Análisis cognitivo; Conexión de redes de teorías; Derivada; En-foque onto-semiótico; Teoría de los registros de representación semiótica; Valor absoluto L. Pino-Fan et al. 98 PNA 11(2)

Desde os seus desenvolvimentos institucionais, no século XIX, os sistemas educativos, em todos os países, experimentaram uma série de mudanças e reformas na organização dos currículos, das disciplinas, dos instrumentos pedagógicos utilizados, dos exames e das avaliações. Mas, desde 1960, pode-se falar de uma verdadeira mudança, independente daqueles que decidem, sejam eles especialistas científicos, pedagogos ou políticos. E isso levou a uma ruptura completa com o que a escola dos níveis fundamental e médio foram e ainda são.

In this research report, we describe a comparative study between two theoretical approaches that allowed carrying out cognitive analysis from the subjects' performance: Theory of Register of Semiotic Representation and the Onto-Semiotic Approach of mathematical cognition and instruction. In order to carry out this study, we analysed the performance of a future high school teacher in a task related to the differentiability of the absolute value function. As a result of this study, the complementarities between these two theoretical perspectives, which might allow more complete and detailed analysis of the students' performance, are evidenced.

Les problèmes qui sont donnés dans l’enseignement sont des problèmes fabriqués pour faire découvrir ou utiliser une connaissance mathématique. Mais la résolution de problème reste toujours une boîte noire pour la plupart des élèves, et elle n’apprend pas à reconnaître quelle est la connaissance mathématique à utiliser dans les diverses situations de la réalité. Dans cet article nous expliquons que la fabrication et la résolution de problèmes sont les deux côtés d’une même activité, et pourquoi, contrairement à la pratique institutionnelle, il faut d’abord apprendre comment fabriquer les problèmes pour devenir capables de les résoudre. Pour analyser l’activité de fabrication/résolution de problèmes, nous devons distinguer deux types de problèmes: les problèmes d’application et les problèmes d’exploration. Il faut aussi prendre en compte le fait que ces deux types de problèmes mobilisent au moins deux registres de représentation, le plus souvent trois. Cet article comprend quatre parties. Dans la première, nous dégageons les quatre facteurs qui commandent la fabrication d’un problème d’application à partir d’un traitement mathématique élémentaire. Dans la seconde, nous montrons pourquoi la résolution d’un problème implique une activité cognitive différente et plus complexe que celle requise pour sa fabrication. Or c’est cette activité qui constitue le travail réellement demandé à l’élève. Dans la troisième, nous présentons le type de tâche requis pour apprendre à fabriquer , à partir d’une traitement mathématique élémentaire, non pas un problème mais une grande variété de problèmes. Pour les problèmes d’application, il faut substituer la notion de champ de problème à celle de problème. Dans la dernière partie, nous montrons que les problèmes d’exploration exigent une activité de conversions directes et de conversion inverses, qui est plus importante encore que celle requise pour les problèmes d'application.

To situate the contributions of these research articles on visualization as an epistemological learning tool, we have employed mathematical, cognitive and functional criteria. Mathematical criteria refer to mathematical content, or more precisely the areas to which they belong: whole numbers (numeracy), algebra, calculus and geometry. They lead us to characterize the “tools” of visualization according to the number of dimensions of the diagrams used in experiments. From a cognitive point of view, visualization should not be confused with a visualization “tool,” which is often called “diagram” and is in fact a semiotic production. To understand how visualization springs from any diagram, we must resort to the notion of figural unity. It results methodologically in the two following criteria and questions: (1) In a given diagram, what are the figural units recognized by the students? (2) What are the mathematically relevant figural units that pupils should recognize? The analysis of difficulties of visualization in mathematical learning and the value of “tools” of visualization depend on the gap between the observations for these two questions. Visualization meets functions that can be quite different from both a cognitive and epistemological point of view. It can fulfill a help function by materializing mathematical relations or transformations in pictures or movements. This function is essential in the early numerical activities in which case the used diagrams are specifically iconic representations. Visualization can also fulfill a heuristic function for solving problems in which case the used diagrams such as graphs and geometrical figures are intrinsically mathematical and are used for the modeling of real problems. Most of the papers in this special issue concern the tools of visualization for whole numbers, their properties, and calculation algorithms. They show the semiotic complexity of classical diagrams assumed as obvious to students. In teaching experiments or case studies they explore new ways to introduce them and make use by students. But they lie within frameworks of a conceptual construction of numbers and meaning of calculation algorithms, which lead to underestimating the importance of the cognitive process specific to mathematical activity. The other papers concern the tools of mathematical visualization at higher levels of teaching. They are based on very simple tasks that develop the ability to see 3D objects by touch of 2D objects or use visual data to reason. They remain short of the crucial problem of graphs and geometrical figures as tools of visualization, or they go beyond that with their presupposition of students' ability to coordinate them with another register of semiotic representation, verbal or algebraic.

As transformações de representações em outras transformações semióticas estão no coração da atividade matemática. As dificuldades dos alunos para compreender matemática surgem por conta da diversidade e complexidade dessas transformações. Para estudar esta complexidade, as representações semióticas devem ser analisadas, não a partir dos objetos ou dos conceitos matemáticos que representam, mas a partir do funcionamento representacional que é próprio do registro no qual são produzidas. Neste artigo, mostra-se que um registro é um campo de variação de representação semiótica em função de fatores cognitivos que lhe são próprios. Tomam-se dois exemplos de registro, o registro das representações gráficas e o registro das figuras geométricas, descrevem-se todas as variações que são visualmente pertinentes para que se perceba, respectivamente, uma função afim e uma relação de homotetia. Toda resolução de problema que mobiliza um ou outro desses objetos exige duas coisas: (1) Capacidade para produzir ou reconhecer, espontaneamente, não importa qual a representação produzida nesses dois campos de variação; (2) Coordenação, em cada um desses campos de variação, em outro campo de variação: o registro da expressão algébrica das relações para visualizar as funções ou o registro de uma fração para a relação das configurações geométricas. Neste artigo, limita-se à primeira exigência. Analisar, em termos de registro a ser utilizado, nas atividades matemáticas e no funcionamento cognitivo requerido para que o aluno seja capaz de fazer tais atividades por si mesmo, apresenta um triplo interesse para pesquisa e para o ensino. Isto permite distinguir e classificar todos os sistemas semióticos que são utilizados em matemática para fim de cálculo, de raciocínio e de exploração heurística intuitiva. Na sequência, permite separar, na análise da resolução de um problema, dois tipos de transformação de representação semiótica que são radicalmente diferentes: as conversões e os tratamentos. Enfim, permite ainda compreender porque o entendimento dos objetos e dos conceitos em matemática começa, somente, no momento em que o aluno é capaz de mobilizar e de coordenar espontaneamente dois registros de representação para um mesmo objeto. Obtêm-se, assim, as bases de um modelo cognitivo de funcionamento do pensamento que leva em conta todos os problemas suscitados no ensino de matemática.