Peter Dembowski’s research while affiliated with University of Tübingen and other places

1. Einleitung. Unter einer Erweiterung einer projektiven Ebene P verstehen wir eine projektive Ebene E, die eine zu P isomorphe Unterebene besitzt. Diese Unterebene kann ebenfalls mit P bezeichnet werden, ohne dab Mil~verst/~ndnisse zu beffirchten shad. Eine Erweiterung E yon P heiBt quadratisch, wenn P eine Baer-Unterebene yon E ist (vgl. [2, p. 118]; im endlichen Fall ist dann die Ordnung yon E das Quadrat der Ordnung yon P). Sei E eine Erweiterung yon P und/~ eine Gruppe yon Kollineationen yon P. Wir sagen,/" bleibt bei E erhalten, werm sich/" auf E ausdehnen 1/~Bt, d.h. wenn E eine zu F isomorphe Kollineationsgruppe besitzt, die P festl/~l~t und F auf P treu induziert. Auch diese Kollineationsgruppe yon E wird der Einfachheit halber wieder mit /" bezeichnet. Wit sprechen ha diesem Fall auch yon einer ILErweiterung E yon P. Fiir /~ = 1 sind die Begriffe ,,Erweiterung" und "lLErweiterung" gleichbedeutend. Viele bekannte nichtdesarguessche endliche projektive Ebenen sind quadratische Erweiterungen der desarguesschen Ebenen P(q); vgl. [2, Kap. 5]. Aber bei den meisten dieser Erweiterungen bleiben nur verh/~ltnism/~13ig kleine Unter~ruppen der Kollineationsgruppe PFLs (q) yon P (q) erhalten. ~qur zwei bekannte Klassen quadratischer Erweiterungen yon P (q) erhalten die volle projektive Gruppe PGLs (q) yon P (q), n/~mlich die desarguessehen Ebenen P (q2) und die Ebenen yon HUG~WS [6] zu einem FastkSrper F der Ordnung q2 mit Zentrum GF (q). (Diese Ebenen werden in Abschnitt 2 noch einmal definiert.) In der vorliegenden Note soll gezeigt werden, da$ es andere als die soeben erw/~hnten PGLs (q)-Erweiterungen yon P (q) nicht gibt. Wir werden beweisen:

The projective planes discovered in 1957 by Hughes [ 3 ] were originally described by means of a nearfield F satisfying the following conditions: (a) F is finite, (b) the centre and kernel of F coincide, (c) F is of rank 2 over its kernel. (The definitions of these terms will be given in § 2; the terminology used throughout the paper is that of [ 1 ].) Rosati [ 5 ] showed in 1960 that condition (a) is not necessary, thus constructing the first “infinite Hughes planes”. Condition (b), however, plays an essential part also in Rosati's work. The aim in this paper is to show that condition (b) is superfluous as well. For the finite case, this has been remarked by Ostrom [ 4 ] without proof; here we shall show that a “generalized Hughes plane” can be constructed over any nearfield satisfying condition (c) only.

Let P be a projective plane of finite order n and Γ a group of collineations of P. Gleason (6) and Wagner (10) have shown that if every point of P is the centre, and every line the axis, of a non-trivial perspectivity in Γ, then Γ contains a subgroup of order n ² which consists entirely of elations. It then follows that either P or its dual is a translation plane with respect to at least one line; in fact if Γ has no fixed elements, then P is desarguesian and Γ contains all elations of P. It was shown by Piper (7) and Cofman (4) that the hypotheses of Gleason and Wagner can be relaxed in certain cases, while the same conclusions hold.

Die endlichen desarguesschen projektiven Ebenen sind in letzter Zeit auf versehiedene Weisen gruppentheoretisch charak~erisiert worden, vgl. z.B. [4] und [8]. Die Annahmen, die man tiber die Kollineationsgruppe F einer endliehen Ebene ~ maehen kann, um zu erzwingen, dab ~ desaxguessch ist, kSrmen entweder rein gruppentheoretisch sein, d.h. in Forderungen tiber die abstrakte Struktur yon /" bestehen, oder sie kSnnen yon permutationsgruppentheoretischer Natur, also Annahmen tiber die Art und Weise sein, wie F auf ~ operiert. Die Resultate yon [4] sind im allgemeinen vom ersten Typ (zwar werden deft auch permutationsgruppentheoretisehe Voraussetzungen gemaeht, diese sind abet yon untergeordneter l~atur und mSglicherweise entbehrlieh), die yon