M. Koecher’s research while affiliated with University of Münster and other places

Sir William Rowan Hamilton (geb. 1805 in Dublin; liest mit 5 Jahren Lateinisch, Griechisch und Hebräisch; 1823 Student am Trinity College in Dublin; 1827 als Undergraduate Student Berufung zum Professor der Astronomie an der Universität Dublin und zum Direktor der Sternwarte von Dunsink mit dem Titel: Royal Astronomer of Ireland; entwickelt 1827 die geometrische Optik aus Extremalprinzipien; 1834/35 Übertragung der Extremalprinzipien auf die Dynamik, Hamiltonsches Prinzip der kleinsten Wirkung, Hamiltonsche Wirkungsfunktion, kanonische Bewegungsgleichungen; 1835 Ritterschlag; 1837–1845 Präsident der Royal Irish Academy; 1843 Erfindung der Quaternionen; gest. 1865 in Dunsink) hat 1835 das Rechnen mit komplexen Zahlen x + iy logisch gerechtfertigt als ein Operieren mit geordneten reellen Zahlenpaaren (x, y) nach postulierten Rechenregeln (vgl. 3.1.8). Dies war der Ausgangspunkt für Hamiltons Interesse an der Frage, ob die geometrische Deutung des Addierens und vor allem des Multiplizierens von komplexen Zahlen in der Ebene ℝ2 nicht irgendwie — durch Schaffung hyperkomplexer Zahlen — auch im Anschauungsraum ℝ3 ein Analogon haben könne.

In der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts wurden neben den Quaternionen viele weitere hyperkomplexe Systeme entdeckt und erforscht. Vor allem in England stand diese Kunst in hohem Ansehen. Kurz nach Entdeckung der Quaternionen und vor Einführung von Matrizen erfanden John T. Graves und Arthur Cayley die nichtassoziative Divisionsalgebra der Oktaven. Hamilton führte 1853 in seinen „Lectures on Quaternions“Biquaternionen, das sind Quaternionen mit komplexen Koeffizienten, ein und bemerkte, daß sie keine Divisionsalgebra bilden. William Kingdon Clifford (1845–1879) schuf 1878 die nach ihm benannten assoziativen Algebren.

Für die Multiplikation in den Algebren ℝ, ℂ, ℍ und 𝕆 gilt |xy|2 = |x|2|y|2, wobei | | die euklidische Länge bezeichnet.

Wir legen den Körper ℝ zugrunde, anstelle von ℝ darf man hier auch jeden kommutativen Körper K wählen. Reelle Zahlen werden in den Kapiteln 6 bis 10 immer mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet. Jeder n-dimensionale ℝ -Vektorraum ist isomorph zum Zahlenraum ℝn der n-Tupel x = (ξ1,..., ξn ).

Gauss war 1831 davon überzeugt, daß es außer dem System der komplexen Zahlen keine „hyperkomplexen“ Zahlensysteme gibt, für welche die grundlegenden Eigenschaften der komplexen Zahlen erhalten bleiben; er äußerte sich allerdings recht sibyllinisch (vgl. 4.3.6). Der in 4.3.5 bewiesene Einzigkeitssatz für den Körper ℂ ist ein überzeugendes Indiz für die Gausssche These. Um die Auslegung des Gaussschen Ausspruchs kam es noch in den 80er Jahren des 19. Jahrhunderts zu einer freundschaftlich geführten Kontroverse zwischen Weierstrass und Dedekind; es ging (in heutiger Sprache) darum, alle endlich-dimensionalen, kommutativen und assoziativen ℝ-Algebren mit Einselement zu charakterisieren, wobei Nullteiler zugelassen sind.