M. Koecher’s research while affiliated with University of Münster and other places

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Publications (33)


Cayley Numbers or Alternative Division Algebras
  • Chapter

January 1991

·

2 Reads

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5 Citations

M. Koecher

·

R. Remmert

With the creation by Hamilton of a “system of hypercomplex numbers” a process of rethinking began to take place. Mathematicians began to realize that, by abandoning the vague principle of permanence, it was possible to create “out of nothing” new number systems which were still further removed from the real and complex numbers than were the quaternions. In December 1843 for example, only two months after Hamilton’s discovery, Graves discovered the eight-dimensional division algebra of octo-nions (octaves) which—as Hamilton observed—is no longer associative. Graves communicated his results about octonions to Hamilton in a letter dated 4th January 1844, but they were not published until 1848 (Note by Professor Sir W.R. Hamilton, respecting the researches of John T. Graves, esq. Trans. R. Irish Acad., 1848, Science 338-341). Octonions were rediscovered by Cayley in 1845 and published as an appendix in a work on elliptic functions (Math. Papers 1, p. 127) and have since then been called Cayley numbers.



Cayley-Zahlen oder alternative Divisionsalgebren

January 1988

·

5 Reads

Die Erfindung der Quaternionen ist der Anfang einer neuen Epoche in der Algebra. Mit der Hamiltonschen Schöpfung eines „Systems hyperkomplexer Zahlen“, das nicht mehr kommutativ ist, setzt ein Prozeß des Umdenkens ein: Mathematiker beginnen zu begreifen, daß man bei Verzicht auf das vage Permanenzprinzip auf mannigfache Weise neue Zahlensysteme „aus dem Nichts“schaffen kann, die noch weiter als die Quaternionen von den reellen und komplexen Zahlen entfernt sind. So erfand J. T. Graves bereits im Dezember 1843, zwei Monate nach Hamiltons Erfindung, die acht-dimensionale Divisionsalgebra der Oktaven (Oktonionen), die — wie Hamilton 1844 bemerkte — nicht mehr assoziativ ist. (Graves teilte Hamilton seine Untersuchungen über die Oktaven in einem Brief vom 4. Jan. 1844 mit; sie wurden aber erst 1848 veröffentlicht (Note by Professor Sir W. R. Hamilton, respecting the Researches of John T. Graves, Esq., Trans. Roy. Irish Acad. (1848), Science 338–341)). Die Oktaven wurden 1845 von Arthur Cayley wiedergefunden und als Postscript in einer Arbeit über elliptische Funktionen veröffentlicht (Math. Papers 1, 127), sie heißen seither Cayleysche Zahlen.



Repertorium. Grundbegriffe aus der Theorie der Algebren

January 1988

·

3 Reads

Wir legen den Körper ℝ zugrunde, anstelle von ℝ darf man hier auch jeden kommutativen Körper K wählen. Reelle Zahlen werden in den Kapiteln 7 bis 11 immer mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet. Jeder n-dimensionale ℝ-Vektorraum ist isomorph zum Zahlenraum ℝn der n-Tupel x = (ξ1,..., ξn).




Hamiltonsche Quaternionen

January 1988

·

8 Reads

·

3 Citations

Sir William Rowan Hamilton (geb. 1805 in Dublin; liest mit 5 Jahren Lateinisch, Griechisch und Hebräisch; 1823 Student am Trinity College in Dublin; 1827 als Undergraduate Student Berufung zum Professor der Astronomie an der Universität Dublin und zum Direktor der Sternwarte von Dunsink mit dem Titel: Royal Astronomer of Ireland; entwickelt 1827 die geometrische Optik aus Extremalprinzipien; 1834/35 Übertragung der Extremalprinzipien auf die Dynamik, Hamiltonsches Prinzip der kleinsten Wirkung, Hamiltonsche Wirkungsfunktion, kanonische Bewegungsgleichungen; 1835 Ritterschlag; 1837–1845 Präsident der Royal Irish Academy; 1843 Erfindung der Quaternionen; gest. 1865 in Dunsink) hat 1835 das Rechnen mit komplexen Zahlen x + iy logisch gerechtfertigt als ein Operieren mit geordneten reellen Zahlenpaaren (x, y) nach postulierten Rechenregeln (vgl. 3.1.8). Dies war der Ausgangspunkt für Hamiltons Interesse an der Frage, ob die geometrische Deutung des Addierens und vor allem des Multiplizierens von komplexen Zahlen in der Ebene ℝ2 nicht irgendwie — durch Schaffung hyperkomplexer Zahlen — auch im Anschauungsraum ℝ3 ein Analogon haben könne.


Einleitung

January 1988

·

2 Reads

Gauss war 1831 davon überzeugt, daß es außer dem System der komplexen Zahlen keine „hyperkomplexen“ Zahlensysteme gibt, für welche die grundlegenden Eigenschaften der komplexen Zahlen erhalten bleiben; er äußerte sich allerdings recht sibyllinisch (vgl. 4.3.7). Der in 4.3.6 bewiesene Einzigkeitssatz für den Körper ℂ ist ein überzeugendes Indiz für die Gausssche These. Um die Auslegung des Gaussschen Ausspruchs kam es noch in den 80er Jahren des 19. Jahrhunderts zu einer freundschaftlich geführten Kontroverse zwischen Weierstrass und Dedekind; es ging (in heutiger Sprache) darum, alle endlich-dimensionalen, kommutativen und assoziativen ℝ-Algebren mit Einselement zu charakterisieren, wobei Nullteiler zugelassen sind.


Cayley-Zahlen oder alternative Divisionsalgebren

January 1983

·

5 Reads

·

1 Citation

Die Erfindung der Quaternionen ist der Anfang einer neuen Epoche in der Algebra. Mit der Hamiltonschen Schöpfung eines „Systems hyperkomplexer Zahlen“, das nicht mehr kommutativ ist, setzt ein Prozeß des Umdenkens ein: Mathematiker beginnen zu begreifen, daß man bei Verzicht auf das vage Permanenzprinzip auf mannigfache Weise neue Zahlensysteme „aus dem Nichts“schaffen kann, die noch weiter als die Quaternionen von den reellen und komplexen Zahlen entfernt sind. So erfand J. T. Graves bereits im Dezember 1843, zwei Monate nach Hamiltons Erfindung, die acht-dimensionale Divisionsalgebra der Oktaven (Oktonionen), die — wie Hamilton 1844 bemerkte — nicht mehr assoziativ ist. (Graves teilte Hamilton seine Untersuchungen über die Oktaven in einem Brief vom 4. Jan. 1844 mit; sie wurden aber erst 1848 veröffentlicht (Note by Professor Sir W. R. Hamilton, respecting the Researches of John T. Graves, Esq., Trans. Roy. Irish Acad. (1848), Science 338–341)). Die Oktaven wurden 1845 von Arthur Cayley wiedergefunden und als Postscript in einer Arbeit über elliptische Funktionen veröffentlicht (Math. Papers 1, 127), sie heißen seither Cayleysche Zahlen.


Citations (9)


... In particular, we will use that rotations can be parametrized by unit quaternions (which can be identified with the unit 3-sphere S 3 ), as well as the following formulae (see, e.g. [11,22]): ...

Reference:

Fast normalized cross-correlation for template matching with rotations
Numbers
  • Citing Book
  • January 1991

... Graves communicated his discovery to Hamilton in a letter dated 4 January 1844 but it was only published in 1848 after having been rediscovered by Arthur Cayley (1821-1895) in 1845. Since then they have been called Cayley numbers; see Reference [153]. Wynn already discussed them in several of his publications [65,66,69,99]. ...

Cayley Numbers or Alternative Division Algebras
  • Citing Chapter
  • January 1991

... Over the real ground field, with being a scalar product, vector products were first considered, and classified, by Eckmann [5] in 1942, using topological methods. Other treatments are found in for example [9] and [8]. The technique of the present article is used in [3] for a comprehensive proof of the classification theorem in this special case. ...

Composition Algebras. Hurwitz’s Theorem—Vector-Product Algebras
  • Citing Chapter
  • January 1991

... by quaternions which were introduced by W.R. Hamilton in the middle of the 19th century after searching for more general number systems than complex numbers (e.g.[33] [34] which both (by definition) are real in case of real quaternions.The associative but not commutative multiplication law in the quaternion alge- ...

Hamilton’s Quaternions
  • Citing Chapter
  • January 1991

... Given any quadratic algebra A, Frobenius' lemma states that the set V = {v ∈ A | v 2 ∈ k1} \ (k1 \ {0}) of purely imaginary elements of A forms a linear subspace of A which is supplementary to k1 (cf. [9], [3], [11]). Accordingly, each x ∈ A has unique decomposition x = λ(x)1 + ι(x), with λ(x) ∈ k and ι(x) ∈ V . ...

Isomorphiesätze von Frobenius, Hopf und Gelfand-Mazur
  • Citing Chapter
  • January 1992

... Hence, in particular every alternative division algebra is quadratic. In any quadratic algebra B, the subset ImB = {b ∈ B R1 | b 2 ∈ R1} ∪ {0} ⊂ B of purely imaginary elements is a linear subspace of B, and B = R1 ⊕ ImB (Frobenius [9]). We shall write α+v instead of α1+v when referring to elements in this decomposition. ...

The Isomorphism Theorems of Frobenius, Hopf and Gelfand—Mazur
  • Citing Chapter
  • January 1991

... The basis element e 0 acts an identity and e 1 , e 2 , e 3 satisfy the following rules It is obvious that H is noncommutative. A well known fact about quaternions is any quaternion can be represented as 2 × 2 complex matrix through the bijective transformation [1,2]. In [3], a quaternion matrix which entries are quaternions have studied to a pair of complex matrices. ...

Numbers. With an introduction by Klaus Lamotke. Translated by H. L. S. Orde. Edited by John H. Ewing. Paperback ed
  • Citing Article