Klaus Lamotke’s research while affiliated with University of Bonn and other places

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Publications (27)


Verzweigte Überlagerungen
  • Chapter

June 2009

·

11 Reads

Klaus Lamotke

In diesem Kapitel werden verzweigte Überlagerungen η : X → Y zwischen Riemannschen Fl¨achen untersucht. Wir beginnen mit der Betrachtung von oben (4.1-4.5): Die Fl¨ache X und eine Untergruppe G < Aut(X) sind ¨ vorgegeben. Es sollen Uberlagerungen mit der Deckgruppe D(η)= G gefunden werden. Diese Aufgabe l¨aßt sich f¨ur endliche Untergruppen von Aut( [^(\mathbb C)]\hat{\mathbb C} ) durch rationale Funktionen l¨osen, siehe 4.2. Im allgemeinen Fall wird Y erst als topologischer Raum konstruiert (4.1) und dann mit garbentheoretischen Methoden zu einer Riemannschen Fl¨ache gemacht, siehe 4.4. Dabei spielt die Diskontinuit¨at der Gruppe eine wichtige Rolle (4.3).


Divisoren und Abbildungen in projektive Räume

June 2009

·

2 Reads

Bei der Untersuchung kompakter Flöchen X spielen positive Divisoren und ihre Zusammenfassung zu Linearscharen eine bedeutende Rolle. Den Linear- scharen entsprechen Abbildungen X → ℙ n in projektive Röume. Dadurch werden kompakte Riemannsche Flöchen zu komplex-projektiven Kurven, welche mit Methoden der projektiven Geometrie untersucht werden können. Diese Vorgehensweise hat eine Fülle von Ergebnissen hervorgebracht, siehe [ACGH]. Das vorliegende Kapitel ist nur eine Einführung. Es wird durch ein genaueres Studium des ebenen Falles (n = 2) im 9. Kapitel ergönzt.


Die Riemannsche Thetafunktion

June 2009

·

17 Reads

Die Grundlage für das Studium elliptischer Funktionen war im 2. Kapitel die Weierstra×sche ℘-Funktion. Jacobis ältere Methode, welche von der Theta -Reihe Σ∞ n=-∞ exp π in(nτ + 2z) für t ϵ ℍ und z ϵ ℂ ausgeht, ist komplizierter. Aber sie ermüglicht auch einen Zugang zu den Abelschen Funktionen, welche nicht mehr elliptisch sind, wenn die zugehürige Fläche ein Geschlecht g<1 hat. Wie bereits von Jacobi vorgeschlagen wurde, benutzt man dann eine Thetareihe in g Variablen. Diese Idee, welche sich bei Jacobi noch auf den hyperelliptischen Fall beschränkte, griff Riemann auf und verwirklichte sie in derWeise, daß er jeder kompakten Fläche X eine Thetafunktion zuordnete, aus der sich alle meromorphen Funktionen auf X gewinnen lassen. Diese Riemannsche Theorie der Thetafunktion steht im Mittelpunkt des Kapitels.


Der Periodentorus

June 2009

·

5 Reads

Nach Abels frühem Tod (1829) versuchte Jacobi die erfolgreiche Umkehrung elliptischer Integrale durch doppelt-periodische Funktionen auf Abelsche Integrale auszudehnen. Er entdeckte an Beispielen, daß für das Geschlecht g die Abelschen Funktionen, d.h. die Umkehrfunktionen Abelscher Integrale von g komplexen Variablen abhängen und 2 g-fach periodisch sind, also modern ausgedrückt einen komplex g-dimensionalen Torus als Definitionsbereich haben. Wir beginnen in 14.1 mit der Geschichte einiger Resultate von Euler, Abel und Jacobi, die zur “Entdeckung” der Periodentori durch Riemann führten. Die systematische Darstellung ab 14.2 folgt nicht dem historischen Ablauf sondern stützt sich von Anfang an auf die Homologie kompakter Flächen.


Tori und elliptische Funktionen

June 2009

·

2 Reads

Nach einer langen Vorgeschichte, die um 1650 mit Integralformeln f¨ur die L¨ange eines Ellipsenbogens begann, wurden zu Beginn des 19. Jahrhunderts bei der Untersuchung solcher Integrale doppelt-periodische Funktionen entdeckt, welche Jacobi wegen ihrer Herkunft elliptisch nannte. Darunter versteht man auf ℂ meromorphe Funktionen f, deren Werte sich bei den Translationen durch Elemente eines Gitters Ω wiederholen: f(z+ω)=f(z) f¨ur alle z ∈ ℂ und alle ω ∈Ω. Die Theorie der elliptischen Funktionen geh¨ort zu den großen mathematischen Sch¨opfungen des 19. Jahrhunderts. Sie beeinflußte maßgeblich die gleichzeitige Entwicklung der allgemeinen Funktionentheorie und fand durch Weierstraß’ Vorlesungen eine bis heute g¨ultige Gestalt. Eine elementare Darstellung, die keine Riemannsche Fl¨achen benutzt, enth¨alt Kapitel 5 in [FB].


Algebraische Funktionen

June 2009

·

10 Reads

Im Zentrum dieses Kapitels steht die Aufgabe, alle L¨osungen einer polynomialen Gleichung P (z, w) = 0 mit komplexen Koeffizienten durch analytische Funktionen w = f(z) zu einer algebraischen Funktion zusammenzufassen. Im Bericht [BN 2] von Brill und Noether aus dem Jahre 1894 heißt es dazu: “Um f¨ur die Functionszweige einer algebraischen Function einen geometrischen Ort zu beschreiben, in welchem sie eindeutig verl¨auft, wird eine ¨uber der imagin¨aren Ebene n-bl¨attrig ausgebreitete Riemannsche Fl¨ache ben¨otigt”. Wie selbstverst¨andlich erstreckt bereits Riemann die Ausbreitung auch uber ¨den unendlich fernen Punkt der Zahlenkugel [^(\mathbb C)]\hat{\mathbb C} . Durch eine sorgf¨altige Betrachtung von Windungspunkten ber¨ucksichtigt er die M¨oglichkeit, daß das Polynom P (z, w) f¨ur gewisse Stellen z mehrfache Wurzeln besitzt


Differentialformen und Integration

June 2009

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10 Reads

Um die Differentiation und Integration in die Theorie Riemannscher Flächen zuübertragen, werden den Funktionen die Differentialformen gleichberechtigt zur Seite gestellt. Sie treten als Ableitungen meromorpher Funktionen und als Integranden der Wegintegrale auf.


Fundamentalgruppe und Überlagerungen

June 2009

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7 Reads

Die topologische Theorie unverzweigter Überlagerungen η : X → Y wird von der Fundamentalgruppe π(Y) beherrscht. Nach ihrer Definition in 3.1 ¨ stellen wir in 3.2 ihre Beziehung zur Überlagerungstheorie her, welche im Monodromiesatz gipfelt. Dieses nach heutigem Verst¨andnis rein topologische Ergebnis entstand historisch aus Problemen der analytischen Fortsetzung. Wir betrachten sie und andere funktionentheoretische Anwendungen in 3.3-5. Anschließend werden die topologischen Untersuchungen fortgesetzt, um weitere Ergebnisse zu erzielen, die in sp¨ateren Kapiteln f¨ur Riemannsche Fl¨achen ¨relevant werden.– Im vorliegenden Kapitel sind alle Uberlagerungen un¨ verzweigt. Im 4. Kapitel folgt das Studium verzweigter Überlagerungen.


Die J - und λ-Funktion

June 2009

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4 Reads

Nach der erfolgreichen Klassiflkation aller diskontinuierlichen Untergruppen von Aut(ℂ) in 2.6 und von Aut( [^(\mathbb C)]\hat{\mathbb C} ) in 4.2 erwartet der Leser vielleicht ein ¨ahnliches Ergebnis f¨ur die Halbebene ℍ . Hier l¨aßt sich jedoch die Vielfalt aller M¨oglichkeiten mit den derzeit verf¨ugbaren Methoden nicht ¨uberschauen.


Ebene Kurven

June 2009

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9 Reads

Die Kurventheorie begann mit der Untersuchung der Kegelschnitte durch Menächmus (4. Jh. v.Chr.) und Apollonius von Perga (ca. 225 v.Chr.). Nach Erfindung der analytischen Geometrie durch Descartes (1637) stellten sich die Kegelschnitte als Quadriken heraus: Sie werden durch polynomiale Glei- chungen P(x,y) = 0 zweiten Grades definiert. Bei analytischer Betrach- tungsweise bilden die Kubiken (Kurven dritten Grades) die nächste Klasse. Hier treten zusätzliche Phänomene auf: Es gibt Wendepunkte und Singularitäten wie den Doppelpunkt der Newtonschen parabola nodata oder die Spitze der Neileschen Parabel. Newton klassifizierte alle möglichen Kubiken, [New 2] 2, p.137 ff., teilweise reproduziert in [BK], S. 113 ff.