Horst Hischer’s research while affiliated with Klinikum Braunschweig and other places

Dieses Buch widmet sich ausgewählten grund­legenden Begriffen, und zwar im Zusammenhang mit fundamentalen Ideen, beschränkt auf Struktur (Logik, Mengen, Axiomatik, algebraische Strukturen, Gleichungen), Funktion (verallgemeinert: Relation) und Zahl (von den Anfängen über Brüche, Bruchzahlen, natürliche Zahlen bis hin zu reellen Zahlen und Quaternionen). Ziel ist, solche grundlegenden Aspekte bewusst zu reflektieren und zu vertiefen. Das Buch ist daher sowohl für Lehramtsstudierende als auch für Lehrende eine wertvolle Ergänzung zum üblichen Fachwissen. Zusätzlich wird dies unterstützt durch die reiche Bebilderung und zahlreiche Aufgaben mit Lösungsvorschlägen. Wesentliche Grundlage ist dabei die Erfahrung, dass die hier dargestellten grundlegenden Aspekte für ein ertragreiches Unterrichten weder allein aus der Mathematik heraus noch allein aus einer pädagogischen Perspektive heraus vermittelbar sind, sondern dass beide Seiten unter Berücksichtigung der historischen Dimension der Entstehung von Mathematik zusammengehören. Für diese zweite Auflage wurde das Werk nicht nur gründlich überarbeitet, sondern teilweise erheblich ergänzt, so etwa beim Funktionsbegriff, zugleich um ein neues Kapitel mit Ergebnissen aktueller Untersuchungen zum Gleichungs- und Gleichheitsbegriff erweitert. Der Autor Prof. Dr. rer. nat. Dr. phil. habil. Horst Hischer, Universität des Saarlandes, war bis zu seiner Emeritierung Inhaber des Lehrstuhls für Mathematik und ihre Didaktik an der Fakultät für Mathematik und Informatik, zuvor war er in unterschiedlichen Positionen in Schule, Universität, Schulverwaltung und Lehrerausbildung tätig. Seine Arbeitsgebiete betreffen den Mathematikunterricht in seinen Verflechtungen mit Allgemeinbildung, Elementarmathematik, Geschichte der Mathematik, Informatik und Neuen Medien.

Die Mathematik begegnet uns seit ihren Anfängen in vorgeschichtlicher Zeit bis heute im Spannungsfeld zwischen zwei verschiedenen Seiten einer Medaille: einerseits mit einer nicht auf Nutzen und Anwendung gerichteten, quasi philosophischen Seite, die zur „Reinen Mathematik“ (bzw. „Theoretischen Mathematik“) gehört, andererseits auch mit einer auf Anwendung gerichteten utilitaristisch-technischen Seite, die typisch ist für die „Angewandte Mathematik“ (bzw.: „Praktische Mathematik“) und etliche Anwendungsdisziplinen wie z. B. Physik, Ingenieurwissenschaften und Wirtschaftswissenschaften. Im Spannungsfeld zwischen diesen beiden Seiten ist ein der Allgemeinbildung verpflichteter Mathematikunterricht zu inszenieren.

Diese Frage scheint trivial zu sein. Aber was würden Sie denn antworten? Was antwortet eine Schülerin oder ein Schüler (der Oberstufe, der zehnten Klasse, der fünften Klasse, der ersten Klasse), was antwortet ein Kind im Vorschulalter, etwa ein vierjähriges Kind? (Zur philosophischen Vertiefung sei hier auf die subtilen Analysen in [Felgner 2020 b] verwiesen.)

Das „Gebäude“ der Mathematik wird durch „Strukturen“ getragen, deren Grundlagen nachfolgend skizziert werden, beginnend mit einem Einblick in die Entstehung der „Algebra“ auf der Basis ihrer historischen Wurzeln, nämlich den Verfahren zur Auflösung von Gleichungen.

Zu den Lösungen der Aufgaben.

Diese Überschrift enthält die implizite Behauptung, dass das durch den angeordneten Halbring (ℕ, +,٠, ≤) (vgl. Abschnitt 6.5) gegebene Axiomensystem nicht vollständig ist. Gemäß Abschnitt 5.3.2.4 und Anmerkung (6.6.c) auf S. 257 würde das bedeuten, dass es möglich ist, ein weiteres Axiom hinzuzufügen, welches mit Hilfe der bereits vorhandenen nicht beweisbar ist, wobei dieses neue Axiomensystem dennoch widerspruchsfrei ist und damit nach Abschnitt 5.3.2.2 ein Modell besitzt.

Der mit „Funktion“ bezeichnete Begriff nimmt in der Mathematik die zentrale Stellung eines nicht mehr weg zu denkenden Grundbegriffs ein. Wie und wann kam es zur Entwicklung und Entstehung dieses Begriffs? Wo stehen wir heute?

Warum ein Kapitel mit diesem Titel in diesem Buch? Zwar betreffen die Termini „Gleichung“ und „Gleichheit“ einerseits zweifelsfrei wesentliche grundlegende Begriffe der Mathematik, begegnen sie uns doch beide in nahezu allen Gebieten der Mathematik. Doch andererseits wurden diese Termini im vorliegenden Buch bisher von Anfang an stets selbstredend verwendet.

Bruchrechnung ist im Mathematikunterricht schon immer ein Ärgernis gewesen – und ist es oft auch heute noch. Aber „Bruchrechnung“ erschöpft sich nicht etwa nur im „kompetenten“ Beherrschen der sog. „Bruchrechenregeln“ – denn diese kann man durchaus „erfolgreich“ einüben und praktizieren, ohne zu „wissen“ bzw. zu „verstehen“, was ein Bruch denn „eigentlich“ ist.

„Relation“ bedeutet wörtlich „Beziehung“, und so wird es im einfachsten Fall darum gehen, „Beziehungen“ zwischen zwei Mengen bzw. genauer: zwischen den Elementen von zwei Mengen zu beschreiben, also darum, ob a zu b „gehört“ bzw. ob a zu b „in Beziehung steht“, falls etwa a∈A und b∈B gilt. Sofort ist ersichtlich, dass eine konkrete, etwa mit R bezeichnete Relation dann zutreffend durch die Angabe derjenigen geordneten Paare (a,b)∈A×B gekennzeichnet werden kann, die hier „in Beziehung stehen“.