May 2020
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Quels rôles joue l'anticipation au moment du pilotage du problème mathématique en classe ? Cette question a été abordée dans le cadre d'une recherche collaborative menée avec huit conseillers pédagogiques (CP) en mathématiques au primaire, provenant de cinq commissions scolaires différentes. Cette recherche qui s'est étalée sur trois ans (2015-2018) visait, plus globalement, à clarifier les enjeux auxquels font face les CP au regard de la résolution de problèmes mathématiques et de l'accompagnement des enseignants. Elle s'est particulièrement attardée au pilotage du problème en classe et aux défis qu'il pose pour l'enseignant, de manière à cerner les interventions possibles en accompagnement. L'analyse des verbatim des rencontres réflexives amène ici un éclairage intéressant sur l'anticipation et sur les rôles qu'elle joue dans l'action, au moment du travail en classe. Nous revenons dans ce texte sur cette analyse et sur les enjeux qu'elle soulève du point de vue de l'accompagnement des enseignants.
![Figure 10. Division produite au tableau par l'élève Dominique : 1 ÷ 9 Cette dernière lui propose alors de faire le calcul avec des nombres plus gros, soit 100 et 90, dans lequel Dominique s'engage avec une verbalisation portant uniquement sur les nombres (par exemple : « 9 entre dans 10 une fois et il me reste 1 ») ... sans beaucoup plus de succès. On constate donc que le travail au tableau passe ici à une contextualisation dominée par les aspects numériques et algorithmiques : la situation de référence et l'illustration ne sont plus sollicitées. Il est intéressant de mettre en lien cette transformation avec la difficulté algorithmique, justement, observée dans le résultat (partiel) de « 0,10 » d'abord obtenu par Dominique. Au moment où un retour à l'illustration d'une barre de chocolat aurait pu aider à faire voir la nuance entre la division par neuf, le fractionnement de l'entier en dixièmes, et la nature du reste (un dixième), c'est plutôt une centration sur l'algorithme et sur les nombres qui prend le dessus. L'aspect algorithmique est même tellement dominant que le problème de l'équivalence entre les deux calculs proposés (1 ÷ 9 ≠ 100 ÷ 90) n'est relevé par aucune des deux étudiantes. Qui plus est, Justine et Dominique semblent rapidement se trouver dans une impasse, toutes deux face à un résultat qui les laisse coites, jusqu'à l'intervention de la formatrice qui revient avec elles sur le modèle partage de la division : Formatrice : Dans un de mes groupes, quand l'élève est arrivé à son reste 1 [fig. 10] il s'est passé quelque chose d'intéressant... quelque chose d'imprévu surtout aux yeux de l'enseignante : l'élève a partagé son reste en 10 plutôt qu'en 9 ! Qu'est-ce que vous en pensez ? Une discussion s'enclenche alors et la classe est amenée à voir le fait que le fractionnement en dix du morceau qui reste permet de distribuer de manière récursive un morceau (à chaque fois de plus en plus petit) à chacune des 9 personnes : 1/10, puis 1/100, puis 1/1 000, etc., ce qui permet d'écrire la part de chacun sous forme décimale (18 181 ÷ 9 = 2 020,111…). La conversation avec le groupe s'est poursuivie encore un peu plus loin, amenant les étudiants à reconnaître des égalités surprenantes telles que « 1/9 = 1/10 + 1/100 + 1/1 000 + … » ou encore « 1 = 0,999 99… ». À](https://www.researchgate.net/profile/Caroline-Lajoie/publication/329044153/figure/fig8/AS:697594695151633@1543330944779/Division-produite-au-tableau-par-leleve-Dominique-1-9-Cette-derniere-lui-propose_Q320.jpg)
