Dr.-Ing./Dipl. Math. Ekkehard Holzbecher’s research while affiliated with Lofarma Germany and other places

Im folgenden wird als Beispiel der radioaktive Zerfall von Thorium und Radium behandelt. Zum Anfangszeitpunkt der Simulation sei nur Thorium (Th-230) im Fluid gelöst vorhanden. Das Tochternuklid Radium (Ra-226) entsteht durch Zerfall von Thorium. Zusätzlich sind beide Nuklide Sorptionsprozessen unterworfen, die im Vergleich zu den Zerfallsprozessen langsam ablaufen. Dabei ist die Wechselwirkung des Thoriums mit dem Festgestein weit größer als die des Radiums. Das Verhältnis zwischen den Retardationen wurde mit etwa 50 angenommen. Das ist ein Wert, der in vielen Böden noch überschritten wird (vergleiche Bütow u.a. 1995). Alle Eingabewerte sind in Tabelle 9.1 zusammengestellt1.

Bei der Diskretisierung gehen die Variablen, die üblicherweise für Intervalle der reellen Zahlenebene definiert sind, in eine diskrete Darstellung über, bei der sie lediglich an einzelnen Punkten definiert sind. Die Anzahl der unendlich vielen Unbekannten wird damit auf eine endliche Zahl reduziert.

Wie in Abschnitt 7 erläutert wurde, führt die Betrachtung von Ausbreitungsprozessen in einem Strömungsfeld stets zu Differentialgleichungen der folgenden Form: $R\varphi S\frac{{\partial \theta }}{{\partial t}} = \nabla \operatorname{D} \nabla \theta - \operatorname{v} \nabla \theta + q$ (8.1)

Wie sich ein Inhaltsstoff im Wasser verteilt, wird durch die Natur und Stärke der einzelnen Ausbreitungsprozesse bestimmt. Vorgänge, die möglicherweise relevant sein können, werden in diesem Abschnitt qualitativ behandelt. Die Verteilung des Stoffs wird durch das Konzentrationsfeld im Modellgebiet beschrieben. Bei der Ausbreitung von Wärme, ist es zumeist das Temperaturfeld, das zur Darstellung der Wärmeverteilung verwandt wird. Im folgenden werden diese grundlegenden Variablen und die wichtigsten Prozesse kurz erläutert.

In und zwischen den Gesteinen der Erde finden sich Hohlräume unterschiedlichster Form, unterschiedlichster Verteilung, unterschiedlichster Größe und mit unterschiedlichster Verbindung. Diese Hohlräume sind mit Flüssigkeiten - zumeist Wasser - und/oder mit Gasen - zumeist Luft - gefüllt. Nach dem Aggregatzustand lassen sich drei Phasen unterscheiden: Gestein/Boden (feste Phase), das Fluid/Wasser (flüssige Phase) und Gas /Luft (gasförmige Phase). Man spricht vom gesättigten Fall, wenn die gasförmige Phase nicht vorhanden ist. Obwohl das Festgestein als gesonderte Phase im Untergrund stets vorhanden ist, findet man in der Literatur oft eine Zählung, bei der die feste Phase nicht berücksichtigt ist: z.B. Ein-Phasen System für den gesättigten Fall. Hier werden lediglich die Phasen im Porenraum gezählt.

Dies ist ein Beispiel für die Modellierung einer stationären Strömung in einem 2D-Horizontalschnitt durch ein gesättigtes poröses Medium.

Unabhängig von der gewählten Diskretisierungsmethode - seinen es Finite Elemente, Finite Differenzen oder Finite Volumen - gibt es eine gemeinsame Eigenschaft der Gleichungen, die sich für die Unbekannten θi ergeben. Jede Gleichung repräsentiert eine lokale Darstellung der Differentialgleichung und stellt daher eine Beziehung eines Punktes mit Nachbarpunkten dar -seien die Punkte nun Knoten, wie bei Finiten Elementen - oder Blöcke, wie bei Finiten Volumen.

In seiner klassischen Arbeit aus dem Jahre 1856 (‘Les fontaines publiques de la ville de Dijon’) beschreibt Henry Darcy die Experimente, deren Resultate zur Grundlage der quantitativen Behandlung von Grundwasserströmungen geworden sind. Der Versuchsaufbau mit einem Sandfilter ist schematisch in Abb. 3.1 dargestellt. Gesucht wurde eine Beziehung zwischen der Standrohrspiegelhöhe h, dem Durchfluß Q und den geometrischen Abmessungen des Filters.

Der mathematischen Beschreibung der Strömung des Grundwassers bzw. der Ausbreitung von Inhaltsstoffen sowie von Wärme liegen fünf Gesetzmäßigkeiten zugrunde. Das sind die Prinzipien der Masse- und Energieerhaltung, sowie die Gesetze von Darcy, Fourier und Fick. Diese werden in differentieller Form für Variablen definiert, die, wie soeben beschrieben, über einen Mittelungsprozeß als Funktionen von Ort und Zeit definiert sind.