Bruno Poizat's research while affiliated with Claude Bernard University Lyon 1 and other places

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Résumé L'analyse de la démonstration par contradiction de Frécon 2018 qui est faite dans Poizat 2018 met en évidence la structure symétrique des groupes de rang de Morley fini sans involutions; en effet, cette démonstration consiste en la construction d'un espace symétrique de dimension deux (“un plan”), puis à montrer que ce plan ne peut exister....
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This paper is a general introduction to Positive Logic, where only what we call h-inductive sentences are under consideration, allowing the extension to homomorphisms of model-theoric notions which are classically associated to embeddings; in particular, the existentially closed models, that were primitively defined by Abraham Robinson, become here...
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Résumé Motivated by a recent result of Olivier Frécon, we develop a general notion of convex set in a group, which behaves decently in the absence of involutions, and in particular in a group of finite Morley rank without involutions. We show that the geometry of a minimal bad group degenerates, its only convex subsets being points, lines and the w...
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There is no sad group of Morley rank 2n + 1 with an abelian Borel subgroup of rank n. In particular, Fr{\'e}con's Theorem follows: There is no bad group of Morely rank 3.
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Nous définissons dans les modèles libres infiniment engendrés d’une classe équationnelle arbitraire une relation d’indépendance, qui est nécessairement l’indépendance au sens de la Théorie des Modèles au-dessus de l’ensemble vide quand il se trouve que ces structures sont des groupes stables \(\upomega \)-homogènes. Nous établissons les propriétés...
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We make explicit the central role played by the binomial coefficients in the description of the coefficient-function of a polynomial computed in polynomial time (no bound on the degree), following the works of Guillaume Malod. Our results are obtained with the help of a universal polynomial which is simpler than the one used by Malod. As a corollar...
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Etant donné un sous-groupe G d'un groupe Γ stable (au sens modèle-théorique), et en particulier quand Γ est un groupe de rang de Morley fini, les traces sur G des sous-ensembles définissables de Γ ont une propriété remarquable : si la clôture définissable de G est connexe, elles sont soit supergénériques, soit de complémentaire supergénérique, au s...
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We comment on an early and inspiring remark of an Omskian mathematician concerning the Cherlin—Zilber Conjecture, meeting in passing some well-known properties of algebraic groups whose generalization to arbitrary groups of finite Morley rank seems to be very uncertain. This paper assumes a familiarity with the model theoretic tools involved in the...
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Résumé Si k est un corps fini, toute fonction f ( x 1 , … , x m ) de {0, 1} m dans k s'écrit de manière unique comme un polynôme, à coefficients dans k , de degré un ou zéro en chacune de ses variables ; on peut donc lui associer une fonction f *( x 1 , … , x m ), sa duale inverse, qui exprime les coefficients de son polynôme canonique. Nous consid...
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A value space is a topological algebra B equipped with a non-empty family of continuous quantifiers :B∗→B. We will describe first-order logic on the basis of B. Operations of B are used as connectives and its relations are used to define statements. We prove under some normality conditions on the value space that any theory in the new setting can b...
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La Logique positive a été introduite au début de ce troisième millénaire par Itaï Ben Yaacov, qui y a été conduit par une nécessité interne à la Théorie des modèles. Dans ce contexte de validité du Théorème de compacité, l’absence de négation provoque des situations inhabituelles, comme celle des structures infinies qui ont une extension élémentair...
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Les groupes de rang de Morley fini satisfont des conditions extraordinairement favorables d'additivité et de définissabilité du rang, ainsi que des propriétés de généricité optimales, et pourtant leur étude pose des problèmes sérieux dès le rang trois, comme il a été montré dans un célèbre article de Gregory Cherlin [Cherlin, 1979]. Nous allons ici...
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We make some attempts to define a general notion of groups and fields of dimension one, and to determine their algebraic properties.
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Nous définissons une classe de suites de polynômes, calculés par des circuits de complexité polynomiale comprenant des additions, des soustractions. des multiplications et des sommations de Valiant. Nous montrons que cette classe est close pour la prise de la fonction-coefficient. définie au paragraphe 3 de cet article; nous en déduisons l'existenc...
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We revisit the foundations of positive model theory, introducing h-inductive sentences. These allow a considerably simplified presentation of positive model theory, as well as a characterisation of Hausdorff cats by an amalgamation property of their h-inductive theory.
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We define elementary extension and elementary equivalence in Positive Logic.
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Ne estas prima orda formulo, kiu definas la Zariskijajn slositojn inter la konstruitoj, malpli ke la konektojn inter la slositoj.
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If G is an omega-stable group with a normal definable subgroup H, then the Sylow-2-subgroups G/H are the images of the Sylow-2-subgroups of G. Zusammenfassung. Sei G eine omega-stabile Gruppe und H ein definierbarer Normalteiler von G. Dann sind die Sylow-2-Untergruppen von G/H Bilder der Sylow-2-Untergruppen von G.
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If G is an omega-stable group with a normal definable subgroup H, then the Sylow-2-subgroups of G|H are the images of the Sylow-2-subgroups of G.
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Ni konstruas korpojn de Morleja ranko du, kiuj estas ricevitaj per memsuficanta amalgameco de korpoj kun unara predikato, lau la Hrushovkija maniero.
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Resumo Ni montras propecon de el j eteco de la kvantoro (∃y ∈ M ) pri la (sufi c e) belaj paroj de modeloj de una O -plimalpova teorio. G i havas korolaron ke, se ni aldonas malkavajn unarajn predikatojn a la lingvo de kelka O -plimalpova strukturo, ni ricevas malforte O -plimalpovan strukturon. Tui c i rezultato estis en speciala kaso pruvita de [...
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If $G$ is an omega-stable group with a normal definable subgroup $H$, then the Sylow-$2$-subgroups of $G/H$ are the images of the Sylow-$2$-subgroups of $G$.
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Les corps algébriquement clos, réels clos et pseudo-finis n'ont, pour chaque entier n, qu'un nombre fini d'extensions de degré n; nous montrons qu'ils partagent cette propriété avec tous les corps qui, comme eux, satisfont une propriété très rudimentaire de préservation de la dimension, de nature modèle-théorique. Ce résultat est atteint en montran...
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We develop a Sylow theory for stable groups satisfying certain additional conditions (2-finiteness, solvability or smallness) and show that their maximal $p$-subgroups are locally finite and conjugate. Furthermore, we generalize a theorem of Baer-Suzuki on subgroups generated by a conjugacy class of $p$-elements.
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1. In an Abelian group, a module, or more generally a one-based group H, the only definable groups are the obvious ones: if G is interpretable in H, then it has a definable subgroup of finite index which is definably isomorphic to a quotient A/B, where A and B are definable subgroups of a Cartesian power of H. 2. In such a group the introduction of...
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Le rêve secret de tout logicien, c’est de prouver un résultat mathématique significatif avec des moyens de fortune; ce rêve se réalise parfois de manière quelque peu biaisée, le théorème obtenu n’étant qu’une version trop simplifiée, ou bien trop adaptée aux besoins de la logique, pour convaincre un mathématicien normal. C’est pour cela que j’annon...
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Le plus souvent, la logique reste une discipline à la périphérie des mathématiques, qu’elle observe de l’extérieur, sans y pénétrer vraiment. C’est un discours sur les mathematiques qui ne dit rien au mathématicien; il n’y reconnait pas son activité favorite, ni ne croit qu’elle puisse avoir une influence sur sa pratique. L’illustration la plus ext...
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Et qui sait si les fleurs nouvelles que je rěve Trouveront dans ce sol lavé comme une grève Le mystique aliment qui ferait leur vigueur.
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Dans Poizat [1981], le second auteur a montré qu'un sous-groupe infiniment définissable d'un groupe stable était intersection de sous-groupes définissables; il a posé la question de savoir si une relation d'équivalence E , infiniment définissable dans un modèle M d'une théorie stable T , était conjonction de relations d'équivalence définissables. N...
Article
Cette note est consacrée à quelques compléments à mon article [6], que le lecteur est supposé avoir sous les yeux, et qui traite de la propriété de recouvrement fini, de Keisler. Je rappelle seulement ici que: a) La définition originale est la suivante: une théorie complète T n'a pas la p.r.f. si à toute formule f(x, ȳ) de son langage est associé u...
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Le paradigme de théorie stable est la théorie T d'un corps algébriquement clos; une autre théorie stable T ′ est celle de la structure formée d'un corps algébriquement clos, avec en outre un symbole relationnel unaire interprétant un de ses sous-corps propres algébriquement clos. C'est à l'éclaircissement des rapports de T et de T ′ qu'est consacré...
Article
Cet article ne contient rien de révolutionnaire, et son auteur a conscience du risque qu'il court de le voir dépassé, lors de sa parution, par des travaux plus profonds. Il a pensé qu'il n'était pas inutile de publier, faute de mieux, les résultats simples auxquels il est parvenu (le lecteur lui saura gré de ce caractère reposant), en espérant qu'i...
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On sait, depuis les travaux de Zil'ber et de Cherlin, que le degré de Morley de la théorie T d'un groupe G totalement transcendant est l'indice du plus petit sous-groupe définissable d'indice fini de G . Il est clair qu'il lui est supérieur, et l'inégalité inverse peut s'obtenir de la manière suivante: on fait agir G sur les types de S 1 ( G ) de r...
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Resumen. Este curso es una corta introducción a un problema de clasificación que se ha planteado en un contexto estructural general de Teoría de Modelos Indice Introducción 1 1. Grupos algebraicos 2 2. Conjuntos constructibles 2 3. Universos 2 4. Universo con rango 3 5. Grupos de rango de Morley finito 3 6. Multiplicidad 3 7. Grupos de dimensión un...

Citations

... En effet, en sus de son intérêt intrinsèque, l'étude des K-boucles du point de vue de la théorie des modèles s'avère utile dans la classification des groupes strictement 2-transitifs rangés, et plus généralement des groupes de Frobenius connexes rangés de type impair. Notre analyse mobilisera de façon cruciale la théorie des symétrons développée par B. Poizat [Poi21].À partir d'une nouvelle forme du théorème des indécomposables, on produira notamment un analogue de l'analyse de Lascar dans ce nouveau contexte. On aborderaégalement la question des K-boucles sans point fixe ω-stables génériquement commutatives. ...
... A lot of model theory has been succesfully developed in this setting (e.g. [2][3][4]19]). However, as Haykazyan notes in [10] this means that in the above setup there is no distinction between definable and type-definable sets. ...
... Note. In very recent preprints [17,19], by analyzing the present paper, Poizat and Wagner generalize our main result to other groups, and they eliminate other groups of finite Morley rank. ...
... Démonstration: En effet, dans un groupe de rang de Morley fini (G, •), On peut trouver X ⊆ G fortement minimal et indécomposable avec 1 G ∈ X. Alors, le sous-groupe de G engendré par X est définissable, et interprétable dans X ( [13], théorème 2.9), ce qui est impossible si comme dans T K X a une prégéométrie triviale. ...
... The following useful lifting result is given in [28]. Note in particular that if G is torsion-free, then G/H is torsion-free. ...
... This criterion gives particularly easy proofs of the fact that modules and differentially closed fields do not have the f.c.p. [14]. ...
... These groups have been studied in [6,14] and [15], whose results are summarized in Facts 2.3 and 2.4 respectively. Later, it was shown that no bad group is existentially closed [10] or linear [13]. However, these groups appeared very resistant, and very sparse other information was known on bad groups. ...
... As far as we know, the latter only appears in later work of Poizat, cf. [21]. ...
... Dans cette section nous considérons quelques corps de rang de Morley infini. D'abord on considère un mauvais corps vert de Poizat [18], c'est-à-dire, un corps omega-stable K de caractéristique nulle et de rang de Morley ω.2 avec un sous-groupe multiplicatif propre V (les points « verts ») de rang de Morley ω, qui est distingué par un prédicat unaire. Le groupe V est un groupe divisible sans torsion, soit encore un espace vectoriel sur les rationnels. ...
Citing article
... This is equivalent to J = S(M ) in theorems of Macpherson-Marker-Steinhorn and Baizhanov, and consequently, strengthening. It is difficult to say whether the approach from [10] is alternative to the approach from [20] (Baizhanov, 1995), since they used the same principles B1-B4 from [20]. ...