Jean Brossard

University Joseph Fourier - Grenoble 1, Grenoble, Rhône-Alpes, France

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    Full-text · Book · Jan 2014
  • Jean Brossard · Michel Emery · Christophe Leuridan
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    ABSTRACT: Let Z be a complex Brownian motion starting at 0 and W the complex Brownian motion defined by W-t = integral(t)(0) (Z) over bar (s) / vertical bar Z(s vertical bar) dZ(s) . The natural filtration F-W of W is the filtration generated by Z up to an arbitrary rotation. We show that given any two different matrices Q(1) and Q(2) in O-2(R), there exists an F-Z-previsible process H taking values in {Q(1), Q(2)} such that the Brownian motion integral H . dW generates the whole filtration F-Z. As a consequence, for all a and b in R such that a(2) + b(2) = 1, the Brownian motion a R(W) + b (sic)(W) is complementable in F-Z.
    No preview · Article · Jan 2014 · Lecture Notes in Mathematics -Springer-verlag-
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    Jean Brossard · Christophe Leuridan
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    ABSTRACT: Let $M = (M_t)_{t \ge 0}$ be any continuous real-valued stochastic process such that $M_0=0$. Chaumont and Vostrikova proved that if there exists a sequence $(a_n)_{n \ge 1}$ of positive real numbers converging to 0 such that $M$ satisfies the reflection principle at levels 0, $a_n$ and $2a_n$, for each $n \ge 1$, then $M$ is an Ocone local martingale. They also asked whether the reflection principle at levels 0 and $a_n$ only (for each $n \ge 1$) is sufficient to ensure that $M$ is an Ocone local martingale. We give a positive answer to this question, using a slightly different approach, which provides the following intermediate result. Let $a$ and $b$ be two positive real numbers such that $a/(a+b)$ is not dyadic. If $M$ satisfies the reflection principle at the level 0 and at the first passage-time in $\{-a,b\}$, then $M$ is close to a local martingale in the following sense: $|\eef[M_{S \circ M}]| \le a+b$ for every stopping time $S$ in the canonical filtration of $\wwf = \{w \in \CC(\rrf_+,\rrf) : w(0)=0\}$ such that the stopped process $M_{\cdot \wedge (S \circ M)}$ is uniformly bounded.
    Full-text · Article · Aug 2012 · Lecture Notes in Mathematics -Springer-verlag-
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    Jean Brossard · Christophe Leuridan
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    ABSTRACT: Soit T une transformation mesurable d’un espace probabilisé $(E,\mathcal {E},\pi)$ préservant la mesure π et soit $B\in \mathcal {E}$ . Nous donnons une condition suffisante pour que l’orbite sous T de π-presque tout point visite B : il suffit que B soit accessible depuis π-presque tout point pour une chaîne de Markov de noyau K, où K(⋅, ⋅) est une version régulière de la loi conditionnelle de X sachant T(X) lorsque X est une variable aléatoire de loi π. ¶ Nous appliquons ensuite ce résultat général à la transformation de Lévy, qui à un mouvement brownien W associe le mouvement brownien |W| − L où L est le temps local en 0 de W. Cela nous permet de donner une nouvelle démonstration du théorème de Malric qui affirme que l’orbite sous la transformation de Lévy de presque toute trajectoire visite tout ouvert non vide de l’espace de Wiener pour la topologie de la convergence uniforme sur les compacts.
    Full-text · Article · Aug 2012 · Annales de l Institut Henri Poincaré Probabilités et Statistiques
  • Jean Brossard · Christophe Leuridan

    No preview · Article · Jan 2012 · Annales de l Institut Henri Poincaré Probabilités et Statistiques
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    Jean Brossard · Michel Émery · Christophe Leuridan
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    ABSTRACT: Let Z=(X, Y) be a planar Brownian motion, $\mathcal{Z}$ the filtration it generates, and B a linear Brownian motion in the filtration $\mathcal{Z}$ . One says that B (or its filtration) is maximal if no other linear $\mathcal{Z}$ -Brownian motion has a filtration strictly bigger than that of B. For instance, it is shown in [In Séminaire de Probabilités XLI 265–278 (2008) Springer] that B is maximal if there exists a linear Brownian motion C independent of B and such that the planar Brownian motion (B, C) generates the same filtration $\mathcal{Z}$ as Z. We do not know if this sufficient condition for maximality is also necessary. ¶ We give a necessary condition for B to be maximal, and a sufficient condition which may be weaker than the existence of such a C. This sufficient condition is used to prove that the linear Brownian motion ∫(X dY−Y dX)/|Z|, which governs the angular part of Z, is maximal.
    Full-text · Article · Aug 2009 · Annales de l Institut Henri Poincaré Probabilités et Statistiques
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    Christophe Leuridan · Jean Brossard
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    ABSTRACT: Dans la première partie, nous comparons la filtration naturelle d'un mouvement brownien $B$ dans $\rrf^d$ à celle du mouvement brownien $B' = \int_0^\cdot H dB$ o\`u $H$ est un processus prévisible dans la filtration de $B$ à valeurs dans $O_d(\rrf)$. Nous montrons l'existence d'une variable aléatoire $U$ indépendante du mouvement brownien $B'$ et de loi uniforme sur $[0,1]$ ou sur un ensemble fini telle que $\sigma(B) = \sigma(B') \vee \sigma(U)$ dans deux situations particulières :- lorsque la transformation est « assujettie » à une subdivision de $\rrf_+$ ; - lorsque la transformation $B \mapsto B'$ commute avec les changements d'échelle.La variable aléatoire $U$ code l'information perdue par la transformation $B \mapsto B'$. Nous montrons que tous les types de perte d'information peuvent se produire : le nombre de valeurs de $U$ peut être infini ou égal à n'importe quel entier $\ge 1$. Dans la seconde partie, nous étudions une question voisine : nous nous donnons un mouvement brownien plan $(X,Y)$ et un mouvement brownien linéaire $X'$ dans la filtration naturelle de $(X,Y)$. Peut-on trouver un autre mouvement brownien linéaire $Y'$ dans la filtration naturelle de $(X,Y)$, indépendant de $X'$ et tel que le mouvement brownien $(X',Y')$ ait la même filtration naturelle que $(X,Y)$ ? Nous donnons une condition nécessaire pour que le mouvement brownien $X'$ possède un complément brownien indépendant et nous étudions quelques exemples.
    Full-text · Article · Jan 2008
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    Jean Brossard · Christophe Leuridan
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    ABSTRACT: In the first part the natural filtration of an R d -valued Brownian motion B is compared to that of the BM \(B\prime = \int_0^ \cdot {HdB}\), where H is previsible in the filtration of B and valued in O d (R). We show that there exists a r.v. U, independent of B′ and uniformly distributed on [0, 1] or on some finite set, such that σ(B)=σ(B′) V σ(U), provided either of the following two conditions holds: when the transform B ↦B′ is “subordinated” to some subdivision of R +; —|when this transform commutes with Brownian scaling. The r.y. U encodes the information lost by the transform B ↦ B′. We show that all kinds of information loss are possible: U may take infinitely many or any finite number of values. In the second part, we study a related question: suppose given a linear BM X′ in the filtration generated by some planar BM (X, Y). Can one find another linear BM independent from X′ and such that the planar BMs (X′, Y′) and (X, Y) generate the same filtration? We give a necessary condition for X′ to have such an independent Brownian complement, and we study some examples.
    Full-text · Article · Jan 2008
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    Jean Brossard · Christophe Leuridan

    Full-text · Article · Jul 2007
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    Jean Brossard · Christophe Leuridan
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    ABSTRACT: Nous étudions les chaînes de Markov (X<sub>n</sub>)<sub>n∈Z</sub> gouvernées par une relation de récurrence de la forme X<sub>n+1</sub>=f(X<sub>n</sub>, V<sub>n+1</sub>), où (V<sub>n</sub>)<sub>n∈Z</sub> est une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi telle pour tout n∈Z, V<sub>n+1</sub> est indépendante de la suite ((X<sub>k</sub>, V<sub>k</sub>))<sub>k≤n</sub>. L’objet de l’article est de donner une condition nécessaire et suffisante pour que les innovations (V<sub>n</sub>)<sub>n∈Z</sub> déterminent complètement la suite (X<sub>n</sub>)<sub>n∈Z</sub> et de décrire l’information manquante dans le cas contraire.
    Full-text · Article · Mar 2007 · The Annals of Probability
  • Jean Brossard · Christophe Leuridan

    No preview · Article · Jan 2007 · The Annals of Probability
  • Christophe Leuridan · Jean Brossard

    No preview · Article · Jan 2007
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    Jean Brossard · Christophe Leuridan
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    ABSTRACT: Soit (ɛ<sub>n</sub>)<sub>n∈Z</sub> un jeu de pile ou face, c’est-à-dire une suite de variables aléatoires indépendantes de loi (δ<sub>−1</sub>+δ<sub>1</sub>)/2, et (H<sub>n</sub>)<sub>n∈Z</sub> un processus à valeurs dans {−1,1}, prévisible dans la filtration naturelle de (ɛ<sub>n</sub>)<sub>n∈Z</sub>. Alors (H<sub>n</sub>ɛ<sub>n</sub>)<sub>n∈Z</sub> est encore un jeu de pile ou face, dont la filtration naturelle est contenue dans celle de (ɛ<sub>n</sub>)<sub>n∈Z</sub>. Le but de l’article est d’obtenir des conditions pour que ces filtrations soient égales et de décrire l’écart entre ces filtrations lorsqu’elles sont différentes. Nous nous intéressons plus particulièrement au cas des transformations homogènes, où le processus (H<sub>n</sub>ɛ<sub>n</sub>)<sub>n∈Z</sub> est une fonctionnelle de (ɛ<sub>n</sub>)<sub>n∈Z</sub> qui commute avec les translations. Nous étudions de façon approfondie les transformations homogènes de longueur finie, où H<sub>n</sub> est de la forme ϕ(ɛ<sub>n−d</sub>,…,ɛ<sub>n−1</sub>) avec d∈N et ϕ:{−1;1}<sup>d</sup>→{−1;1} fixés.
    Full-text · Article · Jul 2006 · The Annals of Probability
  • Jean Brossard · Christophe Leuridan

    No preview · Article · Jan 2006 · The Annals of Probability
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    Jean Brossard · Christophe Leuridan
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    ABSTRACT: Soit $(\epsilon_n)_{n\in\mathbf{Z}}$ un jeu de pile ou face, c'est-\`{a}-dire une suite de variables al\'{e}atoires ind\'{e}pendantes de loi $(\delta_{-1}+\delta_1)/2$, et $(H_n)_{n\in\mathbf{Z}}$ un processus \`{a} valeurs dans $\{-1,1\}$, pr\'{e}visible dans la filtration naturelle de $(\epsilon_n)_{n\in\mathbf{Z}}$. Alors $(H_n\epsilon_n)_{n\in \mathbf{Z}}$ est encore un jeu de pile ou face, dont la filtration naturelle est contenue dans celle de $(\epsilon_n)_{n\in\mathbf{Z}}$. Le but de l'article est d'obtenir des conditions pour que ces filtrations soient \'{e}gales et de d\'{e}crire l'\'{e}cart entre ces filtrations lorsqu'elles sont diff\'{e}rentes. Nous nous int\'{e}ressons plus particuli\`{e}rement au cas des transformations homog\`{e}nes, o\`{u} le processus $(H_n\epsilon_n)_{n\in\mathbf{Z}}$ est une fonctionnelle de $(\epsilon_n)_{n\in\mathbf{Z}}$ qui commute avec les translations. Nous \'{e}tudions de fa\c{c}on approfondie les transformations homog\`{e}nes de longueur finie, o\`{u} $H_n$ est de la forme $\phi(\epsilon_{n-d},...,\epsilon_{n-1})$ avec $d\in\mathbf {N}$ et $\phi:\{-1;1\}^d\to\{-1;1\}$ fix\'{e}s.
    Full-text · Article · Jun 2004
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    Jean Brossard · Christophe Leuridan
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    ABSTRACT: Dans cet article, nous donnons des conditions pour qu’il existe une chaîne de Markov indexée par $\mathbf{-N}$ dont le noyau de transition est donné. Lorsque le noyau est irréductible et lorsque de telles chaînes existent, nous décrivons leurs comportements extrémaux. Nous montrons qu’il n’y a que deux types de comportements possibles: un comportement de type stationnaire et un comportement de type transient, où le temps est une fonction déterministe de la position jusqu’àun instant aléatoire strictement supérieur à$-\infty$. Nous donnons des exemples illustrant ces situations.
    Full-text · Article · Jul 2001 · The Annals of Probability
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    Jean Brossard · Christophe Leuridan
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    ABSTRACT: Soit $X =(X _t)_t \geq 0$ un processus de Poisson ponctuel àvaleurs dans $]0;+\infty[$. On suppose que la mesure caractéristique $\mu$ est infinie, mais que $0 < \mu]a;+\infty[<+\infty$ pour tout $a>0$. On démontre qu’il n’est pas possible d’énumérer les instants de records larges du processus $X$ par une suite strictement croissante de temps d’arrêt (indexée par Z). La preuve repose sur l’inexistence de chaînes de Markov indexées par Z pour les probabilités de transition $\pi_x=\mathscr{l}_{[x;+\infty}[\mu/\mu[x;+\infty[=\mu[\cdot|[x;+\infty[]$. Lorsqu¡’on s’intéresse aux records stricts,ce résultat peut être mis en défaut: nous donnons une condition nécessaire et suffisante sur la mesure $\mu$pour que l’on puisse énumérer les instants de records stricts par une suite strictement croissante de temps d’arrêt. Enfin, nous étudions s’il est possible ou non de numéroter cycliquement et optionnellement les instants de records larges dans une filtration pour laquelle le processus $X$ soit Poissonien. Nous montrons que cela dépend de la filtration et que c’est impossible dans la filtration naturelle associée au processus $X$ .
    Full-text · Article · Jul 1999 · The Annals of Probability
  • Jean Brossard · Christophe Leuridan

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