PLANEAMIENTO DE SUBESTACIONES Y ALIMENTADORES EN SISTEMAS DE DISTRIBUCIÓN USANDO PROGRAMACIÓN ENTERA

Abstract

Se presenta una metodología matemática para resolver el problema del planeamiento de redes de distribución que incluye la localización y dimensionamiento de nuevas subestaciones y redimensionamiento de las existentes, reconductorización, de alimentadores existentes y enrutamiento y selección de conductor de los alimentadores nuevos. Para la solución del modelo matemático se emplea un algoritmo de Branch and Bound . Este modelo es del tipo Lineal Entero Mixto (PLEM), y es de difícil solución por su carácter combinatorial, debido a su gran complejidad computacional. Para su comprobación se emplea un sistema de la literatura especializada, obteniéndose resultados de alta calidad.

Full text

Scientia et Technica Año XI, No 27, Abril 2005. UTP. ISSN 0122-1701 7
Fecha de recepción: 31 Enero de 2005
Fecha de aceptación: 29 Marzo de 2005
PLANEAMIENTO DE SUBESTACIONES Y ALIMENTADORES EN
SISTEMAS DE DISTRIBUCIÓN USANDO PROGRAMACIÓN ENTERA
RESUMEN
Se presenta una metodología matemática para resolver el problema del
planeamiento de redes de distribución que incluye la localización y
dimensionamiento de nuevas subestaciones y redimensionamiento de las
existentes, reconductorización, de alimentadores existentes y enrutamiento y
selección de conductor de los alimentadores nuevos. Para la solución del
modelo matemático se emplea un algoritmo de Branch and Bound . Este
modelo es del tipo Lineal Entero Mixto (PLEM), y es de difícil solución por
su carácter combinatorial, debido a su gran complejidad computacional. Para
su comprobación se emplea un sistema de la literatura especializada,
obteniéndose resultados de alta calidad.
PALABRAS CLAVES:
Sistemas de Distribución, programación lineal, Branch and Bound,
optimización combinatorial.
ABSTRACT
This paper presents a mathematical methodology used to solve the power
distribution planning problem which includes the location and sizing of the
new substations and resizing the old ones; existing feeders reconductorizing,
and routing and selection of the new conductors on the new feeders. To solve
the mathematical problem a Branch and Bound algorithm is used. The model
is Lineal Mixed Integer Programming type, considering that it is a difficult
problem due to its combinatorial characteristics, and its high computational
complexity. To test the proposed algorithm a well documented power
distribution system is used, and high quality results were obtained.
KEYWORDS:
Distribution Systems, linear programming, Branch and Bound, combinatorial
optimization.
RICARDO ALBERTO HINCAPIÉ
ISAZA
Ingeniero Electricista, Ms.C
Universidad Tecnológica de Pereira
ricardohincapie@utp.edu.co
MAURICIO GRANADA ECHEVERRI
Ingeniero Electricista, Ms.C
Profesor Auxiliar
Universidad Tecnológica de Pereira
magra@utp.edu.co
RAMÓN ALFONSO GALLEGO
RENDÓN
Ingeniero Electricista, Ph.D.
Profesor Titular
Universidad Tecnológica de Pereira
ragr@utp.edu.co
Grupo de Investigación en
Planeamiento de Sistemas Eléctricos.
1. INTRODUCCIÓN
El crecimiento de la carga en los sistemas de distribución
obedece, por una parte al crecimiento propio de las
cargas ya existentes y por otra, a la incorporación al
sistema de nuevas. Este crecimiento de la carga requiere
ser abastecido teniendo en cuenta mayor cantidad de
energía y aumento en la capacidad de la red para el
transporte y distribución de la misma con adecuados
estándares de calidad, confiabilidad y costos. El
suministro de esta energía debe ser oportuno y de
calidad, convirtiéndose en un reto para las empresas de
energía eléctrica el garantizar un suministro de energía a
corto, mediano y largo plazo sin incurrir en costos muy
altos para los usuarios. El estudio del crecimiento de la
demanda de energía eléctrica y la adecuada expansión de
los sistemas de distribución es conocido como el
planeamiento de sistemas de distribución, donde su
objetivo principal es garantizar la continuidad y calidad
del servicio eléctrico manteniendo la viabilidad de las
empresas y un costo mínimo de la energía para el
usuario.
Como se presenta en [7], la complejidad matemática para
la solución del modelo planteado para un sistema en el
cual se lleve en cuenta localización y dimensionamiento
de subestaciones nuevas y enrutamiento de alimentadores
nuevos, es alta. Si se considera que en este trabajo en el
modelo matemático son incorporadas nuevas condiciones
operativas, como son: reconductorización de
alimentadores existentes y redimensionamiento de
subestaciones existentes, la complejidad matemática del
modelo es mucho mayor y por lo tanto su solución
presenta un mayor grado de dificultad.
Con el fin de presentar un modelo más ajustado a la
operación real de los sistemas de distribución, este
modelo es resuelto en varias etapas (planeamiento
multietapa). Esta forma de planeamiento por etapas
incorpora una mayor complejidad en la solución que hace
más difícil encontrar el óptimo global del problema.

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El modelo multietapa generalmente se aplica al
planeamiento de largo plazo. Este período es dividido en
varios intervalos de acuerdo al tiempo de estudio, al
sistema y al criterio del planificador.
Para la solución del problema anterior se han propuesto
en la literatura técnicas heurísticas, optimización clásica
y optimización combinatorial. En la línea de solución
usando optimización clásica son propuestas técnicas de
programación lineal entera mixta usando Branch and
Bound [1,7], programación cuadrática entera mixta [5] y
algoritmos basados en técnicas de descomposición [3].
En la línea de investigación que propone la solución a
través de algoritmos combinatoriales se tienen los
Algoritmos Genéticos [6] y Búsqueda Tabú [2].
En el artículo [7] los autores presentan una metodología
para el planeamiento de redes de distribución que incluye
ubicación de subestaciones y enrutamiento de
alimentadores nuevos.
En este, artículo además de lo anterior, se incluyen:
restricciones de radialidad del sistema, capacidades
máximas de subestaciones y alimentadores, caídas de
tensión permitidas en los nodos y balance nodal de todo
el sistema. La técnica de solución empleada es un
Algoritmo de Branch and Bound aplicada a un sistema de
la literatura especializada [4].
2. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA
Con el fin de atender el crecimiento de la demanda de los
sistemas de distribución se hace necesario un adecuado
planeamiento, construcción y operación de los mismos.
El crecimiento de la carga en los sistemas de distribución
requiere de las siguientes adecuaciones:
• Instalación de nuevos alimentadores.
• Instalación de nuevas subestaciones.
• Ampliación de las subestaciones existentes.
• Cambio del calibre de los alimentadores existentes.
• Instalación de equipos para inyección de reactivos.
• Instalación de seccionadores e interruptores.
• Instalación de reguladores de tensión.
Si el crecimiento de la demanda no se atiende
adecuadamente se pueden presentar los siguientes
problemas:
• Sobrecargas en los alimentadores cuando su
capacidad máxima de potencia es excedida.
• Sobrecargas en los transformadores primarios
cuando su capacidad máxima de potencia es
excedida.
• Desmejoramiento del perfil de tensión debido a
problemas de regulación.
• Incremento en las pérdidas en transformadores y
alimentadores.
• Se puede perder la radialidad del sistema.
El modelo matemático formulado en este trabajo
corresponde a un problema de Programación Lineal
Entera Mixta (PLEM) debido a que incluyen variables
enteras y continuas. Las variables enteras son variables
de decisión que corresponden a la instalación de nuevos
alimentadores y nuevas subestaciones y las variables
continuas corresponden al flujo de potencia por los
alimentadores. El modelo es lineal ya que tanto la
función objetivo planteada como las restricciones son de
este tipo.
Para implementar el modelo matemático se deben tener
en cuenta los siguientes aspectos:
• Los alimentadores y subestaciones existentes no
tienen asignado un costo de inversión pero si tienen
asignado un costo de operación.
• Con el fin de facilitar el modelamiento matemático y
la solución del problema del planeamiento, los
centros de demanda son definidos y representan un
grupo de alimentadores primarios y/o secundarios, los
cuales para propósitos eléctricos y de cálculos son
considerados como un único nodo.
• No hay pérdida de potencia por el tramo de un
alimentador.
• Los costos de inversión y la localización de los
alimentadores y subestaciones propuestas son
conocidos anticipadamente.
• El factor de potencia del sistema es considerado
constante.
• Las cargas son representadas por un modelo de
corriente continua o sea que no varían con sus
respectivas tensiones.
3. MODELO MATEMÁTICO
Con base en lo descrtito anteriormente, se plantea el
siguiente modelo matemático:
( *CF ) + ( *CR ) +
ij ij
min z = [CV *(X +X )] + ( *CF )
ij ij ji i
⎡
⎤
∑∑
⎢
⎥
⎢
⎥
∑∑
⎣
⎦
ij RECij
i
δδ
δ
(1)
s.a. (Xij - Xji) - S + D = 0
ii (2)
_
X X
ij ij
≤ (3)
_
S S
ii
≤ (4)
n - 1
∑≤
ij
δ
(5)
∆Vmin ≤ ∆Vi ≤ ∆Vmax (6)
, , Binarias
ij i
RECij
δδ δ
(7)

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X , X Irrestricto
ij ji (8)
Donde z es el costo de inversión en alimentadores y
subestaciones, CFij, CVij y CRij son los costos de adición,
de operación y de reconductorización de un alimentador
entre los nodos i-j respectivamente, δij y δRECij son las
variables de decisión para la instalación y
reconductorización de un alimentador entre los nodos i-j
respectivamente, δi es la variable de decisión para la
instalación o no de una subestación en el nodo i, _
Xij es
la capacidad máxima de los alimentadores y _
Si es la
capacidad máxima de las subestaciones respectivamente,
Xij y Xji son los flujos de potencia por los alimentadores
entre los nodos i-j y CFi el valor de adicionar una nueva
subestación. ∆Vmin y ∆Vmax son los límites de tensión
mínimos y máximos permitidos, ∆Vi el nivel de tensión
de cada nodo y n el número total de nodos del sistema en
la configuración final.
La función objetivo tiene en cuenta los costos fijos y
variables de los elementos que componen el sistema tanto
en la operación como en la expansión durante un período
de planeamiento. La solución óptima se refiere al menor
costo calculado para una configuración inicial dada de la
red. Los costos fijos representan la inversión en la
instalación de nuevos alimentadores y nuevas
subestaciones en el sistema y la reconductorización de
alimentadores existentes. Los costos variables
representan los costos necesarios para operar el sistema
eléctrico de potencia principalmente debido a las
pérdidas óhmicas. Este es considerado en forma lineal.
Las restricciones planteadas en el modelo son:
Balance de Demanda: se basa en la aplicación de la
Primera Ley de Kirchhoff a cada nodo del sistema. Estas
restricciones aseguran para cada nodo que la sumatoria
de flujo de potencia sea nula. Todos los nodos, incluidas
las subestaciones son incluidas en las ecuaciones. Los
flujos en las subestaciones deben ser considerados para
las restricciones de balance de demanda.
Máximo flujo de potencia: asegura que la capacidad
máxima de los alimentadores y las subestaciones no se
exceda durante el período de planeamiento.
Radialidad: busca que la configuración óptima sea
radial. Se implementó considerando que la sumatoria de
variables binarias correspondientes a los alimentadores
que quedaran en la configuración final fueran menor o
igual al número de nodos menos 1.
Caídas de tensión permitidas: estas restricciones deben
ser incluidas dinámicamente en el modelo, donde la caída
de voltaje a lo largo de un alimentador propuesto debe
ser considerado solamente cuando el modelo decide su
instalación. La caída de tensión de todos los nodos es
calculada entre el nodo de entrada a la red (subestación)
y cada uno de los nodos.
4. MÉTODO DE SOLUCIÓN
El algoritmo de Branch and Bound (separar y sondear) es
un método exacto para encontrar la solución de un
problema lineal con soluciones enteras (PLE) o entero
mixto (PLEM) [3].
La filosofía del Branch and Bound es resolver un PLEM
resolviendo un conjunto de problemas de programación
lineal (PL) que son versiones relajadas del PLEM, los
cuales pueden ser resueltos por técnicas de solución
conocidas o mediante software especializado.
Inicialmente se resuelve el problema original relajando la
integralidad de sus variables enteras (permitiendo que las
variables enteras tengan valor real), al cual llamaremos
Problema P0. Si el problema tiene solución entera en
todas las variables enteras, esto significa que se ha
encontrado la solución óptima global.
Si el problema no presenta solución entera, se debe
separar el problema en dos subproblemas escogiendo una
variable con valor actual no entero para separar,
obteniendo los problemas de la siguiente manera.
Subproblema P1
- Es el Problema P0 más una restricción de la forma
*
ij ij
nn
⎡⎤
≤⎣⎦
Subproblema P2
- Es el Problema P0 mas una restricción de la forma
*
ij ij
nn+1
⎡⎤
≥⎣⎦
Donde *
ij
n
⎡
⎤
⎣
⎦ es el mayor entero contenido en la variable
ij
n que es separada.
Lo que se hace al restringir estos subproblemas es
resolver un PL con un espacio solución menor que
encierra la solución entera buscada, por lo tanto estos
subproblemas se deben resolver al igual que el primero, y
si no tienen solución entera se debe repetir el proceso
hasta que el espacio solución sea agotado, convirtiéndose
en un problema de enumeración donde son listadas todas
las posibles soluciones de un problema y se determina
cual es la mejor, lo cual facilita encontrar soluciones
óptimas alternativas. Sin embargo este método presenta
problemas de eficiencia computacional por la gran
cantidad de datos a almacenar en problemas de gran
tamaño.

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Criterios de convergencia:
• El problema resuelto tiene solución entera, por lo
tanto no se puede separar.
• El problema no tiene solución entera pero presenta
una solución de peor calidad que la de una solución
entera ya encontrada, esto es, el problema puede tener
solución entera dentro de su región factible, pero esta
no otorgaría una mejor respuesta que la ya conocida.
Es así como el contar con un una buena incumbente
inicial puede acelerar el proceso de convergencia.
• La solución del problema es infactible, por lo tanto
cualquier problema que se desprenda de él posee
mayor nivel de infactibilidad.
Con el fin de facilitar la solución del PL existen
diferentes estrategias, la más común es utilizar la regla
LIFO (Last In First Out), en donde se resuelve siempre el
ultimo PL generado ahorrando espacio en memoria al
utilizar la respuesta inmediatamente anterior para
resolver el nuevo problema mediante una técnica de dual
Simplex canalizado.
5. PRUEBAS Y RESULTADOS
El algoritmo de Branch and Bound fue implementado en
el software de optimización GAMS.
El sistema propuesto cuenta con seis (6) alimentadores
existentes (líneas llenas) y quince (15) alimentadores
propuestos (líneas discontinuas), dos subestaciones
existentes (22 y 44) y dos subestaciones propuestas (33 y
55). Se tienen tres tipos de conductores propuestos para
los alimentadores nuevos y dos calibres para efectuar la
reconductorización de los alimentadores existentes.
El estudio se lleva a cabo en tres etapas, cada una de
estas de igual duración. La demanda para la primera
etapa se ilustra en la Figura 1. La demanda para la
segunda etapa tiene un incremento del 20% con respecto
a la primera etapa y la demanda para la tercera etapa
tiene un incremento del mismo valor con respecto a la
segunda etapa.
Los costos fijos y variables y el límite máximo permitido
de potencia para todos los calibres de los alimentadores
se muestra en la Tabla 1. Los costos fijos y los límites
máximos de potencia de las subestaciones se ilustran en
la Tabla 2. La máxima caída de voltaje permitida para
todos los nodos del sistema es del ±5% con respecto al
Voltaje Nominal del sistema (11 kV). La impedancia
para todos los calibres de los alimentadores es la misma e
igual a 0.1 [pu/km].
Figura 1. Configuración inicial del sistema de prueba
LÍNEA CONDUCTOR COSTO
FIJO
(UNID)
COSTO
VARIABLE
(UNID)
CAPACIDAD
(MVA)
3_44 a 0.000 6.00 20.0
3_44 b 1.875 8.00 25.0
3_44 c 0.900 12.00 30.0
7_44 a 0.000 6.00 20.0
7_44 b 1.875 8.00 25.0
7_44 c 0.900 12.00 30.0
16_44 a 0.000 8.00 20.0
16_44 b 1.875 10.66 25.0
16_44 c 0.900 16.00 30.0
2_22 a 0.000 6.00 20.0
2_22 b 1.875 8.00 25.0
2_22 c 0.900 12.00 30.0
1_22 a 0.000 6.00 20.0
1_22 b 1.875 8.00 25.0
1_22 c 0.900 12.00 30.0
2_12 a 0.000 2.00 10.0
2_12 b 1.250 2.66 12.5
2_12 c 0.600 4.00 15.0
1_4 a 2.500 4.80 10.0
1_4 b 3.125 6.40 12.5
1_4 c 1.500 9.60 15.0
5_55 a 1.000 4.00 20.0
5_55 b 1.250 5.33 25.0
5_55 c 0.600 8.00 30.0

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14_55 a 2.000 8.00 20.0
14_55 b 2.500 10.66 25.0
14_55 c 1.200 16.00 30.0
13_55 a 2.000 8.00 20.0
13_55 b 2.500 10.66 25.0
13_55 c 1.200 16.00 30.0
1_14 a 1.000 2.00 10.0
1_14 b 1.250 2.66 12.5
1_14 c 0.600 4.00 15.0
2_3 a 1.500 3.00 10.0
2_3 b 1.875 4.00 12.5
2_3 c 0.900 6.00 15.0
5_15 a 1.500 3.00 10.0
5_15 b 1.875 4.00 12.5
5_15 c 0.900 6.00 15.0
6_13 a 1.000 2.00 10.0
6_13 b 1.250 2.66 12.5
6_13 c 0.600 4.00 15.0
6_15 a 1.500 3.00 10.0
6_15 b 1.875 4.00 12.5
6_15 c 0.900 6.00 15.0
6_33 a 1.500 6.00 20.0
6_33 b 1.875 8.00 25.0
6_33 c 0.900 12.00 30.0
7_8 a 1.500 3.00 10.0
7_8 b 1.875 4.00 12.5
7_8 c 0.900 6.00 15.0
7_15 a 2.000 4.00 10.0
7_15 b 2.500 5.33 12.5
7_15 c 1.200 8.00 15.0
8_33 a 1.500 6.00 20.0
8_33 b 1.875 8.00 25.0
8_33 c 0.900 12.00 30.0
4_15 a 1.000 2.00 20.0
4_15 b 1.250 2.66 25.0
4_15 c 0.600 4.00 30.0
4_16 a 1.000 2.00 10.0
4_16 b 1.250 2.66 12.5
4_16 c 0.600 4.00 15.0
Tabla 1. Datos generales de los alimentadores
Los resultados encontrados para este sistema se observan
en las figuras 2, 3 y 4 correspondientes a las etapas de
planeamiento 1, 2 y 3 respectivamente. Los valores de las
funciones objetivo se ilustran en la Tabla 3.
SUBESTACIÓN COSTO FIJO
(UNID)
CAPACIDAD
MÁXIMA (MVA)
22 0 35
44 0 35
33 600 40
55 600 40
Tabla 2. Datos generales de las subestaciones
Figura 2. Configuración de la primera etapa
Figura 3. Configuración de la segunda etapa

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ETAPA 1 2 3
VALOR DE LA FUNCIÓN
OBJETIVO (UNIDADES) 1585.49 452.388 542.86
Tabla 3. Costo de cada etapa
Figura 4. Configuración de la tercera etapa
De las figuras anteriores se observa que se mantiene la
misma configuración para las tres etapas planteadas.
Adicionalmente se observa que en los alimentadores se
emplea el mismo calibre de conductor (calibre a) para
todo el proceso de planeamiento. El motivo es que los
valores de las cargas no presentan un incremento
considerable debido al corto período de cada etapa de
planeamiento, ocasionando que los conductores elegidos
sean los de menor capacidad. A pesar de esto el
algoritmo alcanza el valor óptimo para las etapas
logrando cumplir con todos los criterios técnicos
impuestos por el sistema.
6. CONCLUSIONES
En este trabajo se propone un modelo matemático del
tipo Lineal Entero Mixto (PLEM), resuelto a través de
un algoritmo de Branch and Bound, obteniendo
resultados de alta calidad.
Los resultados obtenidos con las simulaciones del
sistema de potencia comprueban la eficiencia de la
metodología propuesta debido a que se encontró la
configuración óptima para el modelo lineal entero mixto
alcanzando la misma configuración óptima encontrada en
la literatura especializada.
El sistema de la literatura especializada se estudio
incorporando la metodología multietapas, obteniéndose
la respuesta óptima.
7. AGRADECIMIENTOS
Los Autores expresan su agradecimiento a la Universidad
Tecnológica de Pereira, Colombia, por su apoyo al grupo
de Planeamiento de Sistemas Eléctricos.
8. BIBLIOGRAFÍA
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“Colocación Óptima de Subestaciones y
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“Planeamiento de Sistemas de Distribución de
Energía Eléctrica Usando Branch and Bound”,
Revista Ingeniería y Competitividad, Universidad
del Valle, en revisión, 2005.