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General solution of linear homogeneous difference equations with variable coefficients.

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Abstract

A constructive theory for the general solution of kth-order difference equation is given as in a forthcoming paper of the author. As complement of the analytical theory [George D. Birkhoff, General theory of linear difference equations, Transactions of the American Mathematical Society, volume 12, number 2, pages 243–284, 1911], this constructive approach permits us an explicit and nonrecurrent representation of the general solution, for any initial conditions, and any sequences of complex numbers . If k = 1, then the solution is straightforward.

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... La representación relativamente explícita de la solución para el caso homogéneo puede verse en [5]. De forma independiente a dicho trabajo, una representación equivalente basada en funciones anidadas de cocientes de coeficientes p k−l (z), con z entero fue introducida en [1]. Las estructuras anidadas se clasifican completamente, evitando las ecuaciones diofánticas de la representación de [5]. ...
... La representation compacta equivalente de la solución (3), [1], y(n) = det H n−k+1 , es un hessenbergiano, [7], determinante de cierta matríz de Hessenberg con k + 1 bandas y de orden n − k + 1. ...
... El método constructivo usado en [1] se aplica aquí a la solución general de la ecuación en diferencias (1). La representación de y(n) = y c (n) + y p (n) se resuelve seleccionando primero como solución particular y p (n) cuando la ecuación homogénea asociada sea indénticamente nula. ...
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Palabras clave: Ecuación en diferencias lineal general, Función anidada, Hessenbergiano. Resumen Representaciones explícitas de las soluciones de la ecuacíón en diferencias lineal son obtenidas, en términos de los coeficientes variables de la recurrencia, tanto en el caso general como en el problema de valor inicial. Estas representaciones se basan en una combinación lineal de funciones anidadas de cocientes adecuados de coeficientes. Las soluciones también pueden expresarse de forma compacta equivalente con el uso de determinantes hessenbergianos.
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