Content uploaded by Cristina De Francisco
Author content
All content in this area was uploaded by Cristina De Francisco
Content may be subject to copyright.
Disponible en: http://redalyc.uaemex.mx/src/inicio/ArtPdfRed.jsp?iCve=77812441005
Redalyc
Sistema de Información Científica
Red de Revistas Científicas de América Latina, el Caribe, España y Portugal
Arce, Constantino;Francisco, Cristina de;Arce, Iria
ESCALAMIENTO MULTIDIMENSIONAL: CONCEPTO Y APLICACIONES
Papeles del Psicólogo, Vol. 31, Núm. 1, enero-abril, 2010, pp. 46-56
Consejo General de Colegios Oficiales de Psicólogos
España
¿Cómo citar? Número completo Más información del artículo Página de la revista
Papeles del Psicólogo
ISSN (Versión impresa): 0214-7823
papeles@correo.cop.es
Consejo General de Colegios Oficiales de
Psicólogos
España
www.redalyc.org
Proyecto académico sin fines de lucro, desarrollado bajo la iniciativa de acceso abierto
l escalamiento multidimensional, en su formula-
ción más básica, pretende representar un conjun-
to de objetos en un espacio de baja
dimensionalidad. La palabra objeto es muy genérica y
se refiere, en realidad, a cualquier entidad que desee-
mos escalar. Otro término equivalente utilizado en Psico-
logía es estímulo. El número de dimensiones,
habitualmente reducido (dos, tres, cuatro), las decide el
investigador por razones sustantivas, aunque también
puede hacerse por criterios estadísticos. Los modelos y
métodos de construcción de escalas unidimensionales,
que fueron desarrollados en la primera mitad del siglo
XX, entre los que cabe citar a Thurstone, Likert, Guttman
o Coombs, constituyen los antecedentes de los modelos y
métodos más modernos de escalamiento multidimensio-
nal y, en muchas ocasiones, pueden éstos últimos consi-
derarse como generalizaciones de aquellos.
El primer autor en desarrollar un modelo y un método
de escalamiento multidimensional ha sido Torgerson
(1958). A su modelo se le conoce, hoy en día, con el
nombre de modelo métrico clásico. La denominación de
métrico tiene que ver con la escala de medida que se re-
quiere, o asume, para los datos que es de intervalos, en
la jerarquía de Stevens. Pocos años después Shepard
(1962) y Kruskal (1964a, 1964b) han propuesto un mo-
delo que permite un descenso en la escala de medida
hasta el nivel ordinal. A este modelo se le denomina no-
métrico clásico. Carroll y Chang (1970) lograron un
avance significativo con la propuesta de un modelo que
permite derivar, además del espacio de objetos, un es-
pacio de sujetos sobre el que se representa el peso o
ponderación que cada sujeto concede a cada una de las
dimensiones del espacio de objetos. El modelo de Carroll
y Chang, que se conoce con el nombre de modelo INDS-
CAL, tiene gran interés psicológico dado que permite o
tiene en cuenta las diferencias individuales en la percep-
ción del espacio de objetos. Existe un espacio de objetos
común, compartido por todos los sujetos, pero permite
las diferencias entre unos individuos y otros en la per-
cepción de dicha configuración.
Existen programas informáticos específicos para cada
uno de los modelos señalados anteriormente pero hoy en
día es posible resolver problemas múltiples de escala-
miento multidimensional con un único programa de or-
denador como, por ejemplo PROXSCAL O ALSCAL, que
tienen implementados numerosos modelos y forman am-
bos parte del paquete estadístico SPSS de uso universal.
Uno de los rasgos que más diferencia al escalamiento
ESCALAMIENTO MULTIDIMENSIONAL:
CONCEPTO Y APLICACIONES
Constantino Arce, Cristina de Francisco e Iria Arce
Universidad de Santiago de Compostela
A través del presente artículo se ofrece una visión conceptual, a la vez que operativa, del concepto de escalamiento multidimen-
sional. En la forma de presentación se busca, en primer lugar, que los psicólogos interesados comprendan lo que es el modelo
de escalamiento multidimensional a través de varios ejemplos muy sencillos e intuitivos y, en segundo lugar, adquieran compe-
tencias que le permitan resolver distintos problemas de escalamiento multidimensional con el uso de software específico. Se pre-
tende igualmente descargar la presentación de fórmulas y métodos matemáticos sin renunciar por ello al rigor metodológico
que el tema requiere.
Palabras clave: Escalamiento de objetos, Escalamiento de sujetos, Datos de proximidad, Datos de preferencia, Reducción de la di-
mensionalidad.
The present article offers a conceptual, and at the same time operative, vision of the concept of multidimensional scaling. In the man-
ner it is presented, the aim is, firstly, to help interested psychologists understand what the multidimensional scaling model is, using a
number of simple, intuitive examples; and, secondly, for them to acquire the competence required to resolved different problems in
multidimensional scaling through the use of specific software. The aim is also to download the presentation of mathematical formulae
and method, without renouncing the methodological rigour that the subject demands.
Key words:
Scaling, Proximity data, Preference data, Dimensionality reduction.
Correspondencia: Constantino Arce, Facultad de Psicología,
Universidad de Santiago de Compostela, 15.782 Santiago de
Compostela. España. E-mail: constantino.arce @usc.es
Sección Monográfica
46
Papeles del Psicólogo, 2010. Vol. 31(1), pp. 46-56
http://www.cop.es/papeles
E
Sección Monográfica
47
multidimensional de otros modelos estadísticos de análi-
sis de datos es la matriz de entrada. En Psicología, esta-
mos habituados a utilizar una matriz de datos
rectangular X con n sujetos en las filas y p variables en
las columnas, donde un elemento xij representa la medi-
da obtenida para un sujeto i en una variable j. En su for-
ma más típica, la matriz de entrada para el
escalamiento multidimensional es una matriz de datos
cuadrada de orden p con una misma entidad represen-
tada en las filas y en las columnas: los objetos que inten-
tamos representar en el espacio multidimensional. Un
elemento en esta matriz ∅representa la distancia o de-
semejanza entre dos objetos i y j. Lo que tenemos en la
matriz es, en realidad, una matriz de distancias o dese-
mejanzas entre todos los pares de objetos.
La diferencia entre distancia (concepto geométrico) y
desemejanza (concepto psicológico) está en que el pri-
mero, al ser un concepto matemático, no contiene error;
mientras el segundo, al ser un concepto psicológico, per-
ceptivo o subjetivo, sí contiene error. Las desemejanzas
son, en realidad, distancias que contienen error o distan-
cias distorsionadas por los mecanismos perceptivos de
los seres humanos. Los modelos y métodos de escala-
miento multidimensional pueden resolver ambos tipos de
problemas, con error y sin error en los datos de entrada.
En Psicología es más habitual trabajar con datos que
contienen error y los modelos de escalamiento multidi-
mensional pueden tratar este problema.
DERIVACIÓN DE UNA CONFIGURACIÓN DE PUNTOS
A PARTIR DE UNA MATRIZ DE DISTANCIAS
En la Tabla 1 se ofrece la matriz de distancias quilomé-
tricas entre 7 ciudades españolas: A Coruña, Bilbao,
Barcelona, Cáceres, Madrid, Sevilla y Valencia.
Nos proponemos elaborar, a partir de dicha matriz, un
mapa de España; es decir, obtener una representación
espacial de las 7 ciudades sobre un plano, donde uno
de los ejes será la dirección norte-sur y otro eje será la
dirección este-oeste. Utilizamos, para ello, el procedi-
miento PROXSCAL, implementado en SPSS.
El resultado que nos ofrece es el que se puede observar
en la Figura 1.
Dado que el mapa de España es conocido, podemos
valorar subjetivamente el grado en que el mapa deriva-
do por el programa se ajusta al mapa real. Podemos de-
cir que el mapa conseguido es bastante bueno, aunque
no perfecto. En la investigación en Psicología, es habi-
tual trabajar con configuraciones que no tienen una con-
traparte objetiva conocida de antemano. Por eso, cuan-
do el programa nos deriva una solución se vuelve muy
importante tener un indicador o, incluso, varios--cuántos
más mejor--, del grado en que la configuración derivada
por el programa se ajusta a la ideal (desconocida). To-
dos los programas de escalamiento multidimensional
ofrecen al usuario indicadores de ajuste para que pueda
valorar lo “buena” que es la solución obtenida por el
programa para su problema.
Los indicadores de bondad de ajuste ofrecidos por
PROXSCAL para el mapa de España se ofrecen en la Ta-
bla 2.
Hay dos tipos de indicadores. Aquellos para los que el
cero representa un ajuste perfecto. De este primer tipo
serían los indicadores Stress bruto normalizado, Stress-I,
Stress-II y S-Stress. Y aquellos para los que el ajuste per-
fecto está representado por el 1. De este segundo tipo
serían los dos últimos de la Tabla: Dispersión explicada
CONSTANTINO ARCE, CRISTINA DE FRANCISCO E IRIA ARCE
TABLA 1
DISTANCIAS QUILOMÉTRICAS ENTRE 7 CIUDADES ESPAÑOLAS
A Coruña Barcelona Bilbao Cáceres Madrid Sevilla Valencia
A Coruña 0
Barcelona 1050 0
Bilbao 542 567 0
Cáceres 617 895 591 0
Madrid 586 600 379 294 0
Sevilla 857 971 847 256 507 0
Valencia 937 341 569 615 352 637 0
FIGURA 1
MAPA DE ESPAÑA DERIVADO POR PROXSCAL
Sección Monográfica
48
(D.A.F.) y Coeficiente de congruencia de Tucker. Obser-
vando los valores de unos y otros siempre se llega a la
misma conclusión: que el ajuste del modelo es bueno o
muy bueno en este caso. Esto es así porque el grado de
error en los datos (distancias) era muy pequeño. Las dis-
tancias utilizadas como entrada eran las distancias por
carretera. Si utilizáramos las distancias lineales el ajuste
sería perfecto. Los cuatro primeros índices de ajuste de-
berían ser iguales a 0 y los dos últimos iguales a 1.
PERCEPCIÓN DE LOS MEDIOS DE TRANSPORTE
PÚBLICO
Arce (1993) se propuso obtener un mapa perceptivo de
los medios de transporte utilizados por los ciudadanos
de Santiago de Compostela. Para ello, elaboró una lista
de todos los medios de transporte (públicos y privados)
que podrían estar a su disposición en la ciudad, formó
con ellos todos los pares posibles y pidió a una muestra
de ciudadanos que juzgaran la desemejanza para cada
par de medios de transporte.
Los medios de transporte estudiados fueron nueve:
avión, tren, autobús interurbano, autobús urbano, taxi,
coche particular, moto, ciclomotor y bicicleta. Con nueve
objetos o estímulos (aquí, medios de transporte) se pue-
den formar 36 pares. Para averiguar el número de pares
se utiliza la fórmula n(n-1)/2, donde n es el número de
objetos o estímulos. Sustituyendo, en este caso, donde n
= 9, nos queda 9(9-1)/2 = 36. En la Tabla 3 se ofrecen
los 36 pares formados en el estudio, siguiendo un méto-
do, denominado rotación estándar, muy útil porque los
datos (desemejanzas) ya quedan ordenados en la forma
en que luego se van a introducir en la matriz de entrada.
El método sigue la secuencia (1,2), (1,3) … (1,9), (2,3),
(2,4) … (2,9), (3,4) (3,5) … (3,9) … (8,9).
Para la formación del número de pares, hemos asumi-
do la simetría de los juicios de desemejanza, queriendo
esto decir que para un par dado (p.e. avión/tren), se
asume que el juicio emitido por un sujeto sería el mismo
si el par se presenta en el orden avión/tren que en el or-
den tren/avión. Salvo raras excepciones, este supuesto
es habitual en la investigación en Psicología.
Una vez que tenemos el listado con todos los pares que
queremos que los sujetos nos juzguen, debemos elaborar
la escala de respuesta que deben utilizar los sujetos para
juzgar la desemejanza de los objetos o estímulos inclui-
dos en cada par. En la mencionada investigación se ha
utilizado una escala de nueve puntos, donde 1 indicaba
que los medios de transporte incluidos en el par eran
muy parecidos y 9 que eran muy distintos. A modo de
ejemplo:
Avión/tren
Muy parecidos Moderadamente parecidos Muy distintos
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Los sujetos utilizaron esta escala para juzgar la dese-
mejanza en los 36 pares formados en el estudio.
En el Figura 2 se ofrece el mapa perceptivo de los
medios de transporte para un sujeto de la muestra. En
la configuración de puntos obtenida ahora tenemos un
problema añadido con respecto a la configuración de
la Figura 1. En el problema de las distancias entre ciu-
dades conocíamos el significado de los ejes, un eje era
la dirección norte-sur y otro eje era la dirección este-
oeste. Pero ¿qué significado tienen ahora los ejes de la
ESCALAMIENTO MULTIDIMENSIONAL
TABLA 2
ÍNDICES DE AJUSTE OFRECIDOS POR PROXSCAL
Stress bruto normalizado ,00055
Stress-I ,02349
Stress-II ,06824
S-Stress ,00117
Dispersión explicada (D.A.F.) ,99945
Coeficiente de congruencia de Tucker ,99972
TABLA 3
LISTADO DE PARES DE MEDIOS DE TRANSPORTE, ORDENADOS
POR ROTACIÓN ESTÁNDAR
1. Avión/tren 19. Autobús interurbano/moto
2, Avión/autobús interurbano 20. Autobús interurbano/ciclomotor
3. Avión/autobús urbano 21. Autobús interurbano/bicicleta
4. Avión/taxi 22. Autobús urbano/taxi
5. Avión/coche particular 23. Autobús urbano/coche particular
6. Avión/moto 24. Autobús urbano/moto
7. Avión/ciclomotor 25. Autobús urbano/ciclomotor
8. Avión/bicicleta 26. Autobús urbano/bicicleta
9. Tren/autobús interurbano 27. Taxi/coche particular
10. Tren/autobús urbano 28. Taxi/moto
11. Tren/taxi 29. Taxi/ciclomotor
12. Tren/coche particular 30. Taxi/bicicleta
13. Tren/moto 31. Coche particular/moto
14. Tren/ciclomotor 32. Coche particular/ciclomotor
15. Tren/bicicleta 33. Coche particular/bicicleta
16. Autobús interurbano/autobús urbano 34. Moto/ciclomotor
17. Autobús interurbano/taxi 35. Moto/bicicleta
18. Autobús interurbano/coche particular 36. Ciclomotor/bicicleta
Sección Monográfica
49
configuración que hemos obtenido? El sujeto probable-
mente haya utilizado en sus juicios distintos ejes o di-
mensiones para evaluar la desemejanza entre los
medios de transporte. Por ejemplo, puede que para
juzgar la desemejanza para un par dado se haya fija-
do en la seguridad de los medios de transporte. Para
otro par pudo haberse fijado en el prestigio social, etc.
Mediante el escalamiento multidimensional se busca
obtener una configuración de puntos, pero también
averiguar el significado de cada uno de los ejes o di-
mensiones de dicha configuración. Existen varios mo-
dos para enfrentarse a esta cuestión, pero el más fiable
pasa por recoger más datos. En efecto, en la mencio-
nada investigación, además de pedir a los sujetos los
juicios de desemejanza, se les ha pedido que evalua-
ran cada uno de los medios de transporte en un serie
de propiedades entre las que figuraban la seguridad,
la estabilidad, la resistencia, la fuerza, el peso, la
atracción, el prestigio, la puntualidad, el estatus social
o la confortabilidad de los medios de transporte. Lue-
go, se ha averiguado si existía algún tipo de relación
entre alguna de estas propiedades y el posicionamiento
de los medios de transporte en cada una de las dimen-
siones derivadas. En una primera fase exploratoria se
probaron soluciones con 2, 3 y 4 dimensiones. La solu-
ción a la que se le encontró mejor significado fue la de
3 dimensiones. Análisis estadísticos de regresión múlti-
ple, donde se tomaba como variable dependiente una
propiedad dada de los medios de transporte y como
variables independientes las coordenadas de los me-
dios de transporte derivadas por los programas de es-
calamiento multidimensional, mostraron que la
dimensión 1 (eje horizontal) representaba la seguridad
percibida de los medios de transporte, la dimensión 2
(eje vertical) se refería al atractivo de los medios de
transporte, y la dimensión 3 (eje de profundidad) re-
presentaba el prestigio social de los medios de trans-
porte. En la Figura 2, donde se representan las dos
primeras dimensiones de la solución tri-dimensional,
los medios de transporte situados a la izquierda (tren,
autobús interurbano, autobús urbano, etc.) se perciben
como más seguros y los situados a la derecha (bicicle-
ta, moto, ciclomotor) como más inseguros. De modo se-
mejante, los medios de transporte situados más arriba
(avión, taxi, coche, moto) se perciben como más atrac-
tivos y los situados más abajo como menos atractivos
(autobús urbano, tren, ciclomotor, autobús interurbano,
bicicleta).
EL CASO DE MÁS DE UNA MATRIZ DE ENTRADA:
EL MODELO INDSCAL
En los ejemplos utilizados hasta ahora disponíamos de
una matriz de entrada. En el primer problema, la matriz
de distancias quilométricas entre las siete ciudades espa-
ñolas; y, en el segundo problema, la matriz de deseme-
janzas entre los medios de transporte para un sujeto de
la muestra. En el primer problema, en realidad, no exis-
tía otra posibilidad porque la matriz de distancias es
única, pero en el segundo problema disponemos de múl-
tiples sujetos y nos hubiera gustado introducir la matriz
de desemejanzas de cada sujeto. De hecho, en la investi-
gación original se ha hecho así. Hoy en día cualquier
programa de escalamiento multidimensional permite la
obtención de un espacio de objetos común compartido
por una muestra de sujetos u otra fuente de datos.
Entre los modelos que tratan el tema de múltiples matri-
ces de entrada, existe uno que merece especial atención
porque dispone de propiedades que pueden resultar
muy interesantes desde el punto de vista psicológico. Se
trata del modelo INDSCAL de Carroll y Chang (1970).
Este modelo permite obtener dos espacios: el espacio de
objetos, común para todos los sujetos de la muestra, y el
espacio de sujetos. El aspecto novedoso del modelo es
realmente este último espacio. En el espacio de sujetos se
representa el peso, la ponderación o importancia que
CONSTANTINO ARCE, CRISTINA DE FRANCISCO E IRIA ARCE
FIGURA 2
MAPA PERCEPTIVO DE LOS MEDIOS DE TRANSPORTE
(DIMENSIÓN 1 VERSUS DIMENSIÓN 2)
Sección Monográfica
50
cada sujeto de la muestra concede a cada una de las di-
mensiones de la configuración de objetos. Es decir, los
sujetos comparten un mismo espacio de objetos pero el
modelo permite que cada uno perciba dicho espacio de
manera distinta; permite en definitiva las diferencias in-
dividuales entre unos y otros sujetos.
Arce (1994) pidió a dos sujetos que evaluaran la dese-
mejanza entre 7 marcas de coches: Ferrari, Porche,
BMW, Mercedes, Renault, Seat y Opel. Obtuvo dos ma-
trices de desemejanzas y utilizó ambas como entrada
para un escalamiento multidimensional. Los resultados
evidenciaron que la primera dimensión perceptiva eran
los rasgos deportivos de la marca de coches y la segun-
da su confortabilidad. En la Figura 3 se ofrece el espacio
de objetos, común, compartido por los dos sujetos. Los
coches situados más a la derecha (dimensión 1) se perci-
ben como más deportivos que los situados a la izquierda
y los situados más abajo (dimensión 2) como más con-
fortables que los situados más arriba.
En la Figura 4 se ofrece el espacio de sujetos. Mientras
el espacio de objetos es común para los dos objetos, el
espacio de sujetos nos indica que el sujeto 1 (SRC_1 en
el gráfico) concede más importancia a la dimensión 1,
los rasgos deportivos del coche, mientras el sujeto 2
(SRC_2, en el gráfico) concede más importancia a la
confortabilidad de los coches. A diferencia del espacio
de objetos donde cada objeto se representa por un pun-
to, en el espacio de sujetos, el sujeto se representa por
un vector (una línea). Cuanto más cerca esté el vector de
una dimensión, más importancia le concede el sujeto a
dicha dimensión y cuanto más alejado menos importan-
cia. En efecto, se observa en el gráfico que el sujeto 1
está más cerca de la dimensión 1 (diseño deportivo),
concediendo por tanto más importancia a esta dimen-
sión, mientras el sujeto 2 está más cerca de la dimensión
2 indicando que en su caso es ésta la dimensión (confor-
tabilidad de los coches) la que adquiere más peso en sus
juicios sobre las marcas de coche.
ESCALAMIENTO MULTIDIMENSIONAL CON DATOS
DE PREFERENCIA
Aunque el escalamiento multidimensional utiliza, en su
forma más típica, una matriz de desemejanzas entre ob-
jetos como entrada, se han desarrollado modelos y mé-
todos que permiten el escalamiento multidimensional de
objetos a partir de datos de preferencia (p.e. Bennett y
Hays, 1960; Carroll, 1980; Tucker, 1960). Si tenemos n
objetos que queremos escalar, al sujeto simplemente se
le pide que los posicione por orden de preferencia, asig-
nándole el número 1 al objeto más preferido, el 2 al se-
gundo más preferido y así sucesivamente hasta el último
objeto, al que debe asignar el número n. Estos datos tie-
nen la ventaja de que son más cómodos de obtener que
los datos de desemejanza. La tarea suele ser mucho más
simple tanto para el sujeto como para el investigador.
Los datos de preferencia se ordenan, luego, en una ma-
triz rectangular, con sujetos en las filas y objetos en las
ESCALAMIENTO MULTIDIMENSIONAL
FIGURA 3
ESPACIO DE OBJETOS
FIGURA 4
ESPACIO DE SUJETOS
Sección Monográfica
51
columnas. Cada fila es un sujeto y un elemento de la fila
representa el orden (o preferencia) que dicho sujeto ha
concedido a un objeto dado.
A modo de ejemplo, supongamos que estuviésemos in-
teresados en obtener un mapa perceptivo de los deportes
y actividades físicas que los ciudadanos pueden practi-
car en su tiempo de ocio. Para hacer el ejemplo maneja-
ble, elegimos 8 deportes o actividades físicas y 16
sujetos, a los que les pedimos que nos indiquen sus pre-
ferencias marcando con un 1 el deporte o actividad físi-
ca más preferida para él/ella, con un 2 el deporte o
actividad física que prefiere en segundo lugar y así suce-
sivamente hasta marcar el que prefiere en último lugar,
al que le asignaría el número 8.
Los deportes o actividades físicas elegidos en el ejem-
plo son: fútbol, baloncesto, tenis, atletismo, caminar, na-
dar, andar en bicicleta y correr.
Las preferencias indicadas por los sujetos se ofrecen en
Tabla 4.
En la Figura 5 se ofrece el mapa perceptivo de los de-
portes y actividades físicas evaluadas por los sujetos de
la muestra. Para interpretar el significado de las dimen-
siones, nos fijamos, en primer lugar, en las propiedades
de los deportes o actividades físicas que ocupan los lu-
gares más extremos en cada una de las dimensiones. Es
probable que tengan alguna propiedad contrapuesta
que nos ayude a interpretar el significado de la dimen-
sión respectiva. Así, se puede observar que en la dimen-
sión 1 (horizontal) a la derecha están situadas las
actividades físicas no competitivas (caminar, nadar, co-
rrer y andar en bicicleta) y a la izquierda los deportes
competitivos (fútbol, atletismo, tenis y baloncesto). Podría
interpretarse, por tanto, la dimensión 1 como la competi-
tividad de los deportes o actividades físicas. De modo se-
mejante, si observamos el posicionamiento de los
CONSTANTINO ARCE, CRISTINA DE FRANCISCO E IRIA ARCE
TABLA 4
PREFERENCIAS DE LOS SUJETOS
Sujeto Fútbol Baloncesto Tenis Atletismo Caminar Nadar Andar Bicicleta Correr
18 7 6 5 1 4 3 2
27 8 5 6 2 3 4 1
38 7 6 5 1 3 2 4
47 8 5 6 2 4 3 1
56 5 7 8 1 2 3 4
65 6 7 8 2 3 4 3
76 5 7 8 2 1 3 4
85 6 8 7 3 2 4 3
91 2 3 4 5 6 7 8
10 2 1 4 3 5 7 6 8
11 1 2 4 3 8 7 6 5
12 2 1 3 4 8 6 7 5
13 3 4 1 2 8 6 7 5
14 4 3 1 2 8 7 6 5
15 4 3 2 1 7 8 5 6
16 3 4 2 1 8 6 7 5
FIGURA 5
MAPA PERCEPTIVO DERIVADO POR PROXSCAL
PARA LOS DEPORTES Y ACTIVIDADES FÍSICAS A PARTIR DE
DATOS DE PREFERENCIA
Sección Monográfica
52
deportes y actividades físicas en la dimensión 2 (eje ver-
tical), podemos apreciar que hacia arriba están los de-
portes o actividades físicas de naturaleza individual
(atletismo, correr, tenis, etc.) y en la parte inferior los de-
portes colectivos (fútbol, baloncesto). Podría interpretar-
se, por tanto, esta segunda dimensión como el tipo de
deporte o actividad: individual versus colectivo.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ESCALAMIENTO
MULTIDIMENSIONAL CON SPSS
Hasta ahora hemos pasado por encima, sin detenernos, en
el proceso de resolución de los problemas de escalamiento
por medio de software específico. Vamos a reproducir
ahora cómo hemos resuelto el problema de las distancias
quilométricas con el procedimiento PROXSCAL implemen-
tado en SPSS. Simultáneamente, en ocasiones, indicaremos
cuáles son las diferencias en la toma de decisiones entre
este problema y los otros tres que también hemos resuelto.
Paso 1. Creamos el fichero de datos en SPSS con las
distancias quilométricas entre las siete ciudades espa-
ñolas
.Debe tener la apariencia que ofrece la Figura 6.
Dado que la matriz de entrada es cuadrada, las filas en la
matriz tienen el mismo significado que las columnas. La fi-
la 1 es Coruña, la fila 2 Barcelona y así sucesivamente
hasta la fila 7 que es Valencia. El hecho de que aparezca
el nombre de las ciudades en las columnas y no aparezca
en las filas es porque el sistema SPSS permite, utilizando
la pestaña Vista de variables, etiquetar o dar nombres a
las columnas de la matriz de datos pero no así a las filas.
Paso 2. Elegimos el procedimiento que queremos
ejecutar:
Analizar/Escalas/Escalamiento multidimensional
(PROXSCAL)
Paso 3. Forma de los datos
El procedimiento PROXSCAL permite dos tipos de datos
de entrada:
(a) datos de proximidad (matriz cuadrada)
(b) datos de perfil (matriz rectangular)
Las distancias quilométricas, al igual que las deseme-
janzas entre objetos, son datos de proximidad. Elegi-
mos, por tanto, la opción que indica al programa que
los datos son proximidades (ver Figura 7).
Si tuviésemos una matriz rectangular de entrada como,
por ejemplo, cuando disponíamos de preferencias en el
ejemplo de los deportes o actividades físicas, entonces
tendríamos que elegir la opción que indica al programa
que debe crear proximidades de los datos.
Paso 4. Número de matrices de entrada
El procedimiento PROXSCAL permite una o más de una
matriz de entrada. El número de matrices de las que dis-
ponemos en el problema se indica en el recuadro deno-
minado número de fuentes. Como, en este caso, sólo
disponemos de una matriz elegimos la opción una fuente
matricial (ver Figura 7). En el tercer problema que hemos
resuelto aquí, el de las marcas de coche, hemos elegido
la opción varias fuentes matriciales, dado que disponía-
mos de dos matrices, una por sujeto. Las matrices, en el
fichero de entrada se sitúan unas debajo de otras, respe-
tando el mismo formato en todas ellas.
ESCALAMIENTO MULTIDIMENSIONAL
FIGURA 6
FICHERO DE ENTRADA PARA SPSS CON LAS DISTANCIAS
QUILOMÉTRICAS ENTRE LAS SIETE CIUDADES
FIGURA 7
ELECCIÓN DE LA FORMA DE LOS DATOS Y DEL NÚMERO DE
MATRICES DE ENTRADA EN EL PROCEDIMIENTO PROXSCAL
Sección Monográfica
53
Paso 5. Pulsamos el botón Definir (ver Figura 7)
Paso 6. Seleccionamos los objetos que queremos es-
calar (aquí ciudades)
Para ello marcamos las 7 ciudades en el recuadro de la
izquierda de la Figura 8 y las pasamos al recuadro de-
nominado Proximidades pulsando la flecha que está en-
tre ambos.
Paso 7. Elección del Modelo (pulsamos el botón de-
nominado Modelo)
Dado que tenemos una sola matriz de proximidades
(distancias) de entrada, el procedimiento no permite ele-
gir el modelo de escalamiento (ver Figura 9) que, en
cualquier caso, será semejante al modelo clásico.
Si tuviésemos más de una matriz de proximidades de
entrada, entonces sí que podríamos elegir el modelo de
escalamiento. Los más habituales serían el modelo con
replicación (denominado modelo de Identidad en el cua-
dro de diálogo) y el modelo INDSCAL (denominado Eu-
clídeo ponderado en el cuadro de diálogo). En el
modelo de replicación los sujetos se consideran replica-
ciones unos de otros, lo que significa que las diferencias
que puedan existir entre ellos se atribuyen a factores ale-
atorios. El modelo INDSCAL, por el contrario, permite
las diferencias individuales. En el problema de las mar-
cas de coche, hemos elegido este modelo.
Paso 8. Más decisiones sobre la forma y la naturale-
za de los datos
El programa hasta ahora sabe que tenemos una matriz
de proximidades de entrada (cuadrada), pero todavía
nos pide, bajo la denominación de Forma (ver Figura 9),
que le especifiquemos si la información la tenemos en el
triángulo inferior, en el superior o en toda la matriz. Co-
mo la matriz de distancias es simétrica, hemos optado
por disponer la información tan sólo en la mitad inferior
(matriz triangular inferior). La opción de matriz completa
sólo se usa cuando la matriz de entrada es asimétrica.
Los programas de escalamiento multidimensional pro-
yectan las desemejanzas como distancias en el espacio.
Cuanto mayor sea la desemejanza entre objetos mayor
será su distancia en el espacio multidimensional. Pero los
datos de entrada pueden ser desemejanzas o semejan-
zas. Si fuesen semejanzas entonces la relación con las
distancias sería inversa: cuanto mayor sea la semejanza
entre dos objetos en el mundo empírico menor sería la
distancia entre ellos en el espacio. Esta es, pues, una es-
pecificación sustancial que el usuario debe hacer al pro-
grama. En nuestro caso, en el recuadro Proximidades,
debemos elegir Disimilaridades (sinónimo de desemejan-
zas). Las distancias se conciben como desemejanzas.
Bajo la denominación de Transformación de las proxi-
midades (ver Figura 9), el procedimiento permite al
usuario elegir la escala de medida para los datos de en-
trada. Si elegimos razón o intervalos, el modelo será
métrico y si elegimos ordinal el modelo será no-métrico.
Rara vez en la investigación en Psicología se elige el ni-
vel de medida de razón; los más frecuentes son interva-
los u ordinal. Aquí, en este problema, sin embargo,
dado que los datos son distancias y no juicios de los su-
jetos, elegimos el nivel de medida más alto (razón).
En el problema de los deportes, donde utilizábamos
datos de preferencia, hemos especificado que el nivel de
CONSTANTINO ARCE, CRISTINA DE FRANCISCO E IRIA ARCE
FIGURA 8
SELECCIÓN DE LOS OBJETOS QUE QUEREMOS ESCALAR
(AQUÍ CIUDADES)
FIGURA 9
ELECCIÓN DEL MODELO DE ESCALAMIENTO
Sección Monográfica
54
medida era ordinal. En este caso, el programa todavía
nos permite hacer una especificación más, bajo la deno-
minación de Desempatar observaciones empatadas. Esta
es una decisión muy técnica. Si la elegimos, el programa
asumirá que el proceso de medida es continuo y si no la
elegimos que es discreto. Esta decisión tan sólo tiene re-
percusión para aquellos casos en que haya empates. Por
defecto, el programa asume que el proceso de medida
es discreto y respeta los empates en los datos. Si consi-
deramos que el proceso de medida es continuo debemos
especificar al programa que proceda a desempatar las
observaciones empatadas. En nuestro problema de los
deportes, hemos probado con las dos opciones sin que
hayamos notado diferencias en las soluciones derivadas
por el programa. De hecho, esto es lo que ocurre en la
mayoría de las ocasiones. Es decir, se trata de decisio-
nes que tienen importancia a nivel matemático pero no
tanta a nivel sustantivo.
Paso 9. Número de dimensiones
Si tenemos una hipótesis clara de partida podemos ele-
gir un número de dimensiones fijo, y si no la tenemos lo
mejor es que probemos a obtener soluciones distintas y a
posteriori seleccionemos la solución con el número de di-
mensiones que sea más interpretable desde un punto de
vista sustantivo. En nuestro ejemplo de las distancias, el
número de dimensiones que hemos elegido, dado que se
trataba de un mapa, fueron dos (ver Figura 9).
En el ejemplo de los medios de transporte, como puede
ocurrir en otras muchas investigaciones en Psicología que
se realizan con carácter exploratorio, no teníamos una hi-
pótesis tan clara en cuanto al significado de las dimensio-
nes que podríamos obtener. En consecuencia, hemos
probado a obtener soluciones en dos, tres y cuatro dimen-
siones. Luego, a posteriori, hemos intentado buscarles un
significado. Hemos comprobado que eran interpretables
tres y ésta fue la solución que hemos elegido.
La interpretación de las dimensiones puede hacerla el
investigador tratando de analizar, en primer lugar, las
propiedades de los objetos que ocupan posiciones más
extremas en la dimensión. Cuando el procedimiento se-
para mucho a los objetos suele ser porque tienen alguna
propiedad contrapuesta que, si la identificamos, puede
ayudarnos a dar nombre a la dimensión. Este procedi-
miento lo hemos utilizado en el ejemplo de los deportes.
No obstante, esta interpretación basada en la opinión de
un experto (el investigador) puede ser discutida por otros
investigadores (o expertos). Lo ideal es proceder como
hemos hecho en el problema de los medios de transpor-
te, donde además de los juicios de desemejanza entre
objetos se ha pedido a los sujetos que evaluasen cada
uno de los medios de transporte sobre una serie de esca-
las bipolares que representaban hipotéticas propiedades
de los medios de transporte. Luego, por métodos estadís-
ticos de correlación y regresión, se ha podido ofrecer
evidencia de cuál era el verdadero significado de cada
una de las dimensiones retenidas.
Paso 10. Restricciones y Opciones
Tanto el botón de Restricciones como el de Opciones (ver
Figura 8) permiten al usuario tomar decisiones de un nivel
muy avanzado. En la práctica, se suelen tomar las opcio-
nes que el procedimiento tiene implementadas por defec-
to. En Restricciones, por defecto, el programa asume que
debe estimar todas las coordenadas de los objetos (sin
restricciones). A veces, de manera excepcional, las coor-
denadas se conocen y lo único que se busca es proyectar
nuevos objetos sobre un espacio ya definido. En este caso,
habría que proporcionar al programa las coordenadas
que leería en un archivo que nosotros le indiquemos.
De forma semejante, en Opciones, por defecto, el pro-
grama toma una determinada configuración inicial (sim-
plex) que nos permite cambiar por otras alternativas
(p.e. Torgerson). También nos permite cambiar los crite-
rios para alcanzar la convergencia y el número de itera-
ciones que realiza el algoritmo. Rara vez se podrán
obtener mejores resultados si se cambian las opciones
que el programa tiene incorporadas por defecto.
Paso 11. Toma de decisiones sobre la salida
En los botones denominados Gráficos y Resultados (ver
Figura 8), el programa permite al usuario elegir lo que
quiere que aparezca en la salida. Podemos oscilar desde
una salida muy simple, con los elementos sustanciales,
hasta una salida muy sobrecargada con todo tipo de de-
talles técnicos. Es aconsejable, en un primer momento,
obtener una salida simple y, luego, si fuese necesario,
obtener nuevas salidas con más elementos informativos.
Por defecto, en Gráficos, el programa nos ofrece el grá-
fico más relevante que es el espacio de objetos (espacio
común). Adicionalmente podríamos pedirle otros gráfi-
cos que nos permitirían visualizar el grado de ajuste del
modelo. Por su parte, por defecto, en Resultados, el pro-
grama nos ofrece las coordenadas de los objetos (aquí
ciudades) y los índices de ajuste del modelo, tal como
aparecen en la Tabla 2.
ESCALAMIENTO MULTIDIMENSIONAL
Sección Monográfica
55
PROGRAMAS DE ORDENADOR PARA EL
ESCALAMIENTO MULTIDIMENSIONAL
Existe una amplia lista de programas de ordenador para
la solución de problemas de escalamiento multidimensio-
nal. Nosotros hemos resuelto todos los problemas ante-
riores haciendo uso del procedimiento PROXSCAL,
implementado en SPSS, pero el mismo paquete estadísti-
co dispone de otro procedimiento, denominado ALSCAL,
que también permite la solución de múltiples problemas
de escalamiento multidimensional. Para acceder a este
procedimiento se debe seguir la secuencia Analizar/Es-
calas/Escalamiento multidimensional (ALSCAL). Cual-
quier problema de los que aquí hemos tratado se podría
haber resuelto igualmente con ALSCAL.
En la Tabla 5 se ofrece una pequeña relación de
programas de ordenador actualmente disponibles en
el mercado. Además de los ya señalados, PROXSCAL
y ALSCAL, es posible resolver problemas de escala-
miento multidimensional con otros programas tales
como GGVIS, PERMAP, MULTISCALE o NewMDSX.
GGVIS y PERMAP comparten la propiedad de ser in-
teractivos y de poderse adquirir gratuitamente por In-
ternet. MULTISCALE tiene la ventaja de estar también
disponible de forma gratuita, pero es de difícil mane-
jo. Su autor, Ramsay, goza de un gran prestigio en la
historia del escalamiento multidimensional. Finalmen-
te, NewMDSX es, en realidad, un paquete de progra-
mas que permite la solución de problemas de
escalamiento multidimensional y de otro tipo de pro-
blemas relacionados.
Si desea más información sobre programas de ordena-
dor y, de manera más general, sobre el escalamiento
multidimensional en relación con la historia, los modelos,
los métodos y las múltiples posibilidades de aplicación
en Psicología y temas relacionados pueden servirle de
ayuda los libros de Borg y Groenen (2005), el manual
más reciente que se haya escrito sobre escalamiento
multidimensional a fecha de hoy, Kruskal y Wish (1978),
Arabie, Carroll y DeSarbo (1987), Green, Carmone y
Smith (1989), o Arce (1993, 1994). Para ejemplos de
aplicaciones véase Wish, Deutsch y Kaplan (1976) o Sa-
bucedo y Arce (1990).
AGRADECIMIENTOS
Esta investigación ha sido realizada con la ayuda de la
Dirección Xeral de Investigación, Desenvolvemento e Inno-
vación de la Xunta de Galicia (PGIDIT06PXIB211187PR).
REFERENCIAS
Arabie, P., Carroll, J.D., y DeSarbo, W.S. (1987). Three-
way scaling and clustering. Newbury Park, CA: Sage.
Arce, C. (1993).
Escalamiento multidimensional: una
técnica multivariante para el análisis de datos de pro-
ximidad y preferencia
. Barcelona: Promociones y Pu-
blicaciones Universitarias (PPU).
Arce, C. (1994).
Técnicas de construcción de escalas
psicológicas
. Madrid: Editorial Síntesis.
Bennett, J.F., y Hays, W.L. (1960). Multidimensional un-
folding: determining the dimensionality of ranked pre-
ference data.
Psychometrika
, 25, 27-43.
Borg, I., y Groenen, P.J.F.
Modern multidimensional sca-
ling. Theory and applications
. Nueva York: Springer.
Buja, A., y Swayne, D.F. (2002). Visualization methodo-
logy for multidimensional scaling.
Journal of Classifi-
cation
, 19, 7-44.
Carroll, J.D. (1980). Models and methods for multidi-
mensional analysis of preferential choice (or other do-
minance) data. En E.D. Lantermann y H. Feger (Eds.),
Similarity and choice
(pp. 234-289). Viena: Hans Hu-
ber.
CONSTANTINO ARCE, CRISTINA DE FRANCISCO E IRIA ARCE
TABLA 5
PROGRAMAS DE ORDENADOR PARA EL ESCALAMIENTO
MULTIDIMENSIONAL
NOMBRE
PROXSCAL
ALSCAL
GGVIS
PERMAP
MULTISCALE
NewMDSX
DISPONIBILIDAD
En SPSS
http://www.spss.com/
En SPSS
http://www.spss.com/
Gratuito, por Internet
http://www.ggobi.org
E-mail: ggobi-help@ggobi.org
Gratuito, por Internet
http://www.ucs.louisiana.edu/
~rbh8900
E-mail: ron@heady.us
Gratuito, por Internet
ftp://ego.psych.mcgill.ca/pub/
ramsay/multiscl/
o dirigiéndose al autor, profesor
James O. Ramsay, e-mail:
ramsay@psych.mcgill.ca
http://www.newmdsx.com/ Coxon
(2004)
DOCUMENTALES
Commandeur y Heiser
(1993), Meulman,
Heiser y SPSS (1999),
De Leeuw y Heiser
(1980)
Takane, Young y De
Leeuw (1977)
Buja y Swayne (2002)
Ron B. Heady,
University of Louisiana,
Lafayette, USA
Ramsay (1977)
Coxon (2004)
Sección Monográfica
56
Carroll, J.D. y Chang, J.J. (1970). Analysis of individual
differences in multidimensional scaling via N-way ge-
neralization of Eckart-Young decomposition.
Psycho-
metrika
, 35, 283-319.
Commandeur, J.J.F., y Heiser, W.J. (1993). Mathemati-
cal derivations in the proximity scaling (PROXSCAL) of
symmetric data matrices. Tech. Rep. No. RR-93-03.
Leiden, The Netherlands: Department of Data Theory,
Leiden University.
Coxon. A.P.M. (2004). Multidimensional Scaling. En
M.S. Lewis-Beck, A. Bryman, y T. F. Liao (Eds.),
The
Sage Encyclopedia of Social Science Research Met-
hods
. Thousand Oaks: Sage.
De Leeuw, J., y Heiser, W.J. (1980). Multidimensional
scaling with restrictions on the configuration. En P.R.
Krishnaiah (Ed.),
Multivariate analysis
(Vol. V, pp.
501-522). Amsterdam, Holanda: North-Holland.
Green, P.E., Carmone, F.J., y Smith, S.M. (1989).
Multi-
dimensional scaling. Concepts and applications
. Bos-
ton: Allyn and Bacon.
Kruskal, J.B. (1964a). Multidimensional scaling by opti-
mizing goodness of fit to a nonmetric hypothesis.
Psy-
chometrika
, 29, 1-27.
Kruskal, J.B. (1964b). Nonmetric multidimensional sca-
ling: a numerical method.
Psychometrika,
29, 115-
129.
Kruskal, J.B., y Wish, M. (1978).
Multidimensional sca-
ling
. Newbury Park, CA: Sage.
Meulman, J.J., Heiser, W.J. y SPSS (1999).
SPSS Cate-
gories 10.0
. Chicago: SPSS.
Ramsay, J.O. (1977). Maximun likelihood estimation in
multidimensional scaling.
Psychometrika
, 42, 241-
266.
Sabucedo, J.M. , y Arce, C. (1990). Types of political
participation: a multidimensional analysis.
European
Journal of Political Research
, 20, 93-102.
Shepard, R.N. (1962). The analysis of proximities: multi-
dimensional scaling with an unknown distances func-
tion (I y II).
Psychometrika
, 27, 125-139, 219-246.
Takane, Y., Young, F.W., y De Leeuw, J. (1977). Non-
metric individual differences multidimensional scaling:
an alternating least-squares method with optimal sca-
ling features.
Psychometrika
, 42, 7-67.
Torgerson, W.S. (1958).
Theory and methods of scaling
.
Nueva York: Wiley.
Tucker, L.R. (1960). Intra-individual and inter-individual
multidimensionality, en H. Gulliksen y S. Messick
(Eds.),
Psychological scaling: theory and applications
(pp. 155-167). Nueva York: Wiley.
Wish, M., Deutsch, M. y Kaplan, S.J. (1976). Perceived
dimensions of interpersonal relations.
Journal of Per-
sonality and social Psychology
, 33, 409-420.
ESCALAMIENTO MULTIDIMENSIONAL
