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Campo Abierto, 2003, nº 24
1
Caracterización de la enseñanza-aprendizaje de
la Geometría en Primaria y Secundaria
Characteristics of teaching-learning Geometry in Primary and
Secundary
Manuel Barrantes López
-------------------------------------------------------
Departamento Didáctica de las C. Ex. y de las Matemáticas
Universidad de Extremadura
Resumen
Actualmente, en la caracterización de la enseñanza-
aprendizaje de la Geometría se han producido algunos
cambios que consideramos deben ser conocidos por los
profesores de Primaria y Secundaria.
Comenzamos reflexionando sobre aquellos aspectos
actuales de la enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas
que inciden más directamente en la Geometría, para
estudiar después algunas variables como los contenidos,
metodología, recursos, materiales y actividades a partir
de los diferentes documentos currículares y desde las
investigaciones y trabajos revisados. Otros aspectos
importantes como el aprendizaje, el papel del maestro y
del alumno, y la evaluación en la enseñanza-aprendizaje
de la Geometría serán tratados en otro trabajo.
Palabras Clave: Geometría, Enseñanza, Aprendizaje,
Primaria, Secundaria.
Summary
Some changes, that we considerer must be know, by
Primary and Secundary teachers, have come about Geometry
and its teaching-learning.
We begin reflecting on those present aspects about of
Matematics and its teaching-learning that directly fall
on research in Geometry for studing after some variables
like contents, metodology, resources, materials and
activities from different curriculares documents and
review investigations and works.
Other important aspects like learning, role of teachers
and pupils and teaching-learning evaluation in Geometry
will be treated in another study.
Key Words: Geometry, Teaching, Learning, Primary,
Secundary
Caracterización de la enseñanza- aprendizaje de la Geometría en Primaria y Secundaria
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La Geometría escolar y su enseñanza-aprendizaje
En los últimos años, se ha puesto de manifiesto en
todos los ámbitos educativos un gran interés por
potenciar la enseñanza-aprendizaje de la Geometría en la
enseñanza obligatoria.
Si hacemos un poco de historia sobre la enseñanza de la
Geometría en las últimas décadas podemos observar que
esta enseñanza se caracterizaba:
-Por una fuerte tendencia a la memorización de
conceptos y propiedades que muchas veces se basaban en
otros conceptos anteriores.
-La resolución automática de problemas en la que se
trataban aspectos métricos (aritmetización).
-Y una exclusión de la intuición, demasiado pronto,
como acceso al conocimiento geométrico.
Estas características de la enseñanza de la Geometría
daban lugar a una serie de problemas entre los que
podemos destacar las grandes dificultades de comprensión
de los conceptos por parte de los alumnos, que implicaba
un fuerte desánimo en el maestro (Morales, 1990).
Actualmente, esta materia ha pasado de ser considerada
una materia secundaria a ser una disciplina importante
cuyos contenidos ocupaban dos bloques de los cinco del
curriculo oficial de Matemáticas de Enseñanza Primaria y
de Enseñanza Secundaria (M.E.C., 1992 a y b) y en la más
reciente Ley Orgánica 10/2002, de 23 de diciembre, de
Calidad de la Educación (LOCE) se le sigue dando la misma
consideración.
Uno de los principales cambios en el curriculo actual
de las Matemáticas escolares ha sido precisamente la
recuperación de la Geometría, no en el sentido
tradicional como materia de contenidos, sino como
disciplina mediante la que podemos conseguir un mejor
conocimiento del espacio, como fuente de modelos y
situaciones problemáticas útiles en otros contextos o
contenidos matemáticos (N.C.T.M., 1989).
Así, la principal finalidad de la enseñanza-aprendizaje
de la Geometría es conectar a los alumnos con el mundo en
el que se mueven pues el conocimiento, la intuición y las
relaciones geométricas resultan muy útiles en el
desarrollo de la vida cotidiana.
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La Geometría además de estar presente en múltiples
facetas de la vida actual tiene una gran influencia en el
desarrollo del niño, sobre todo en las capacidades
relacionadas con la comunicación y la relación con el
entorno. Ésta favorece y desarrolla en los alumnos una
serie de capacidades como la percepción visual, la
expresión verbal, el razonamiento lógico y la aplicación
a problemas concretos de otras áreas de Matemáticas o de
otras materias.
Es una materia especialmente importante en estas edades
en las que el alumno necesita verificar mediante la
manipulación de objetos reales, pues esto influye en el
desarrollo posterior de las capacidades matemáticas
necesarias (Mora, 1995).
La capacidad espacial de los alumnos es muchas veces
superior a su destreza numérica e impulsar y mejorar esta
capacidad junto con el dominio de los conceptos
geométricos y el lenguaje le posibilita para aprender
mejor las ideas numéricas, las de medición e incluso
otros temas más avanzados (N.C.T.M., 1989).
Por tanto proponemos dos grandes objetivos para la
enseñanza de la Geometría. Por una parte desarrollar su
adecuación al medio ambiente, es decir, dar oportunidades
para que el niño explore el espacio tridimensional y por
otra, preparar al alumno para el aprendizaje de niveles
superiores, esto es, familiarizarles con cuestiones que
surgirán en un futuro mediante un enfoque basado en el
razonamiento lógico.
Así pues, la enseñanza de la Geometría debe motivar
desde la edad infantil aquellos contenidos útiles en el
futuro desarrollados mediante una metodología dinámica
en la que el alumno realice razonamientos,
representaciones, relaciones y resolución de actividades.
Esta metodología debe lograr que los alumnos no
recuerden la Geometría como una materia aburrida sino que
se produzca un cambio en su actitud y se interesen por
las actividades geométricas de una forma natural, es
decir, que les resulte una materia atrayente y
motivadora.
En estos niveles debemos enseñar Geometría para todos,
independientemente del futuro trabajo que el alumno
desarrolle. El objetivo es que el alumno adquiriera una
cultura geométrica con visión histórica que le permita
Caracterización de la enseñanza- aprendizaje de la Geometría en Primaria y Secundaria
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aplicar los conocimientos alcanzados a otra áreas
curriculares y a la vida cotidiana.
Los alumnos deben saber resolver los problemas que se
le puedan plantear en la vida ordinaria adaptados a su
nivel, pues a veces los problemas reales son demasiados
complejos. Mediante estas tareas pretendemos desarrollar
capacidades intelectuales que le permitan saber informar
sobre el espacio exterior en el que se mueve y utilizar
los conocimientos geométricos para interpretar distintas
situaciones.
Estas reflexiones nos sirven para mostrar que desde la
perspectiva de la caracterización de la enseñanza-
aprendizaje de Geometría se han producido cambios tanto
en el conocimiento, la enseñanza y el aprendizaje
geométrico como en los papeles y responsabilidades del
maestro y del alumno.
En los apartados siguientes estudiamos esta
caracterización actual centrándonos en los contenidos,
metodología, recursos, materiales y actividades
relacionadas con la enseñanza-aprendizaje de la
Geometría. Trataremos otras variables importantes de
analizar como son el aprendizaje, el papel del maestro y
el alumno y la evaluación en un futuro artículo. Un
estudio completo sobre éstas puede ser consultado en
Barrantes (2002).
De los contenidos
En la enseñanza-aprendizaje tradicional de la Geometría
se formaban excelentes calculistas de medida, alumnos
teóricos que en el contexto del aula eran capaces de
resolver complicados problemas geométricos pero que en la
práctica de la vida cotidiana dudaban cuando tenían que
resolver un problema geométrico elemental.
En los contenidos actuales de la enseñanza-
aprendizaje de la Geometría se pretende establecer una
serie de destrezas cognitivas de carácter general que
puedan ser utilizadas en muchos casos particulares y que
contribuyen por sí mismas a desarrollar las capacidades
cognitivas de los alumnos.
Estos contenidos se caracterizan por tener una visión
práctica del aprendizaje, valorando y aplicando los
alumnos sus conocimientos dentro y fuera del aula, es
decir, tomando cuerdas y midiendo longitudes,
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investigando sobre mapas o croquis, buscando simetrías,…
Se pasa de inventar problemas y de suponer datos sobre la
pizarra a resolver ejemplos reales que desarrollan la
creatividad, el ingenio y la iniciativa de los alumnos
promoviendo unos contenidos más intuitivos que
analíticos.
Estos contenidos potencian también la elaboración y
utilización de estrategias personales que muestren al
profesor la manera de pensar y actuar de los alumnos de
forma que pueda adaptar o modificar estas estrategias,
cuando sea necesario, para realizar un aprendizaje más
preciso y significativo.
Otras características de estos contenidos son la
conexión de la Geometría espacial con la Geometría plana
mediante la representación del espacio cotidiano. Podemos
observar como estas partes de la Geometría aparecían
totalmente desligadas en otros curricula anteriores y
hacían concebir a los alumnos que eran dos componentes de
la Geometría totalmente independientes.
A este respecto es conveniente comenzar por el estudio
de la Geometría tridimensional (Jaime y Gutiérrez, 1990;
Fouz, 1994) de manera que el estudio del plano se haga
integrado dentro de dicho espacio tridimensional y como
una abstracción a partir de los elementos de los cuerpos
tridimensionales.
En la misma línea, Calvo (1996) afirma que se deben
dar a los alumnos de los primeros niveles modelos que
permitan la reconstrucción de la Geometría basándose en
su propia historia mostrándoles el proceso mediante el
que se ha ido construyendo.
La Geometría debe servir en Primaria para interpretar y
actuar sobre el espacio. Por ello, este autor considera
necesario la utilización de materiales para construir
dichos modelos que favorezcan la interacción del medio
con el alumno y conseguir un aprendizaje significativo.
En las experiencias concretas que realiza con niños de
6 y 7 años, las ideas de trabajo que propone se basan en
la construcción de figuras del espacio de manera libre o
con pautas predeterminadas, reproducción de figuras a
partir de modelos y representación en el plano de figuras
tridimensionales.
Relacionados con los contenidos geométricos, existen
diferentes estudios e investigaciones que se centran
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específicamente en un tema o contenido específico de
Geometría, aunque también incluyen aspectos metodológicos
y actividades sobre dicho tópico. Por ejemplo, Fernández
y otros (1991) nos muestran actividades de aproximación a
conceptos y teoremas relacionados con el círculo. Baena
y otros (1996) tratan los conocimientos básicos de la
esfera y su uso didáctico. Por otra parte, Del Río
(1994) hace un estudio pormenorizado sobre los lugares
geométricos desde el punto de vista histórico, su
presencia en la sociedad y su estudio en los curricula de
la Educación Secundaria.
El texto de Del Olmo, Moreno y Gil (1989) es una
aportación desde la reflexión didáctica de los tópicos de
área y volumen en el que se pone de manifiesto los
variados y ricos matices de estos conceptos. Jaime y
Gutiérrez (1996) tratan el tema de las isometrías en el
plano estudiando sus elementos matemáticos y didácticos,
incluyendo diferentes unidades de enseñanza sobre las
traslaciones, giros y simetrías.
Luengo y Casas (2000) trabajan sobre el concepto de
ángulo en Primaria y Secundaria, exponiendo la dificultad
y las concepciones parciales que tienen los alumnos sobre
este concepto, a pesar de su simplicidad. Ya dedicados a
Secundaria, Esteban y otros (1998) hacen un estudio muy
completo dedicado a los conceptos trigonométricos.
En Alsina y otros (1989) se ofrece una guía amplia y
documentada sobre el tema de las transformaciones
geométricas y las figuras generadas por ellas. Luengo y
otros (1990) hace un estudio sobre la semejanza en el
curriculo escolar teniendo en cuenta las posibilidades de
la relación de la semejanza con diversas áreas
curriculares como el Conocimiento del Medio, Astronomía,
Expresión Artística, Topografía, Literatura, etc. También
Fiol y Fortuny (1990) aunque está más enfocado a la
proporcionalidad aritmética trabajan la proporcionalidad
geométrica.
Por último, el trabajo de Chamorro y Belmonte (1988)
dedicado a la medida proporciona las bases psico-
pedagógicas mínimas para abordar una progresión didáctica
de la medida en la escuela. Todas las tareas que
presentan están fundamentadas desde un punto de vista
estrictamente matemático atendiendo siempre a la
viabilidad en el aula.
De la Metodología
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La enseñanza de la Geometría tradicionalmente ha tenido
un enfoque deductivo dándose prioridad a la memorización
de conceptos, teoremas y fórmulas. Estas limitaciones
formales simbólicas y algebraicas iban en perjuicio de la
intuición como una primera manera de acceder al
conocimiento geométrico pues la manipulación, el tacto,
la vista y el dibujo deben permitir al alumno habituarse
a las figuras, formas y movimientos de su entorno para
posteriormente establecer las abstraciones
correspondientes.
Actualmente la línea general es trabajar la Geometría
desde una metodología de resolución de problemas o de
laboratorio mediante la que el alumno además de jugar,
sobretodo aprende. La enseñanza de la Geometría se debe
planificar de forma progresiva, cíclica, activa y
comunicativa que propicie simultáneamente la
representación gráfica y la expresión oral, manual o
escrita.
Se parte de una concepción constructivista del
aprendizaje basada en que aquellos conocimientos
construidos por los propios alumnos son realmente
operativos, duraderos y generalizables a diferentes
contextos. Por el contrario, los conocimientos que
simplemente se transmiten a los alumnos, no construidos
por ellos, no quedan integrados en sus estructuras
lógicas y sólo pueden aplicarlos en situaciones similares
a las del aprendizaje.
También se consideran las experiencias iniciales que
presentan los alumnos para saber de dónde partimos y
para identificar las diferencias que pueden existir de
unos a otros. Por ello se deben abordar los contenidos
matemáticos desde las experiencias que posee el alumnado,
sobre todo en Primaria. Pero esto debe ser solamente un
punto de partida para posteriormente llegar de una manera
progresiva a la abstracción y a la formalización del
conocimiento matemático. Es en la Secundaria cuando el
profesor debe aprovechar los conocimientos empíricos de
los alumnos para transformarlos en otros más
estructurados y rigurosos sin olvidar, en esta etapa,
los planteamientos experimentales.
La metodología de resolución de problemas, nombrada
anteriormente, está basada en la aplicación de los
conceptos geométricos a diversas situaciones o problemas
más o menos complejos, pudiendo aparecer con datos
completos o incompletos, tener una solución o varias,
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estar presentados de forma gráfica o no, con datos
numéricos o sin ellos, etc.
En esta metodología es muy importante tener en cuenta
que los estudiantes resuelvan problemas adecuados a su
nivel de conocimientos pues en caso contrario el alumno,
al fracasar repetidas veces, no se ve compensado con el
éxito y no desarrollará capacidades de resolución de
problemas satisfactoriamente.
La resolución de los problemas geométricos requiere una
serie de etapas que se pueden identificar con el modelo
de Polya (1986). Básicamente la idea es que una vez que
el alumno sabe cual es el problema planteado (lectura
atenta del enunciado, traducción a los lenguajes
geométricos, distinguir datos, incógnitas, etc.) utilice
diversas estrategias para resolver el problema (esquemas
gráficos, materiales, recursos, relación con otros
problemas conocidos etc.). Una vez resuelto el problema
el alumno realiza varias reflexiones: comprobar la
solución hallada es acorde con los datos del problema,
razonar el sentido de la solución, estudiar la adecuación
del método utilizado de resolución, etc.
La justificación de la conveniencia de utilizar esta
metodología es puesta de manifiesto por diferentes
autores como Malaty (1994) que considera que la
dificultad de aprendizaje está más relacionada con las
estrategias de enseñanza de la Geometría que con el
contenido.
Malara y Gherpelli (1994) investiga la posibilidad real
de los estudiantes de 12-13 años de plantear problemas
sobre figuras geométricas elementales planas, mediante la
construcción de los enunciados de dichos problemas. Nos
muestran como la elaboración de dichos enunciados por
los alumnos favorece el desarrollo de las capacidades de
resolución de los problemas planteados y estimula el
metaconocimiento. Metodológicamente ponen de manifiesto
la eficacia del trabajo en grupo tanto en el ámbito del
planteamiento o en la resolución de problemas como en la
superación de las dificultades de los alumnos menos
dotados.
Arrieta (1995) considera que hay que dar más
importancia a los procedimientos como objeto de contenido
y para ser coherente con los principios del aprendizaje
significativo interesa, partiendo de una situación real
de nuestro entorno, distinguir tres fases en el
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tratamiento de un tema o concepto. Una primera fase
motivadora de experimentación en la que se realicen
diferentes pruebas o ensayos relacionados con el entorno
real. Una segunda fase de comprensión mediante la
representación gráfica y simbólica, reflexión e
interiorización y comunicación oral o escrita en la que
los aprendizajes sean lo más significativos posible.
Una última fase de aplicación, para profundizar y
comprobar los conocimientos aprendidos, en la que se
realicen otros ejercicios y problemas del entorno real en
los que también puedan surgir nuevos conceptos. En estas
tres fases se deben tener en cuenta los grupos de
procedimientos que figuran en los diseños curriculares,
es decir, las estrategias, el lenguaje y los algoritmos
y destrezas.
Atendiendo a estas tres fases y a los grupos de
procedimientos Arrieta (1995) recoge una clasificación de
los procedimientos geométricos por niveles (Infantil,
Primaria y Secundaria). Relacionado con el lenguaje
propone actividades de descripciones, usos de símbolos y
vocabulario, así como representaciones, lecturas e
interpretaciones de distintos conceptos geométricos.
Relacionado con los algoritmos y destrezas considera que
el alumno debe familiarizarse con los trazados y
construcciones y la utilización de instrumentos de
dibujo y medida para calcular perímetros, áreas, escalas,
etc. La consecución de estrategias se debe hacer mediante
la exploración, composición, descomposición, la
clasificación o comparación de figuras de forma que el
alumno llegue a encontrar aquellos elementos, propiedades
y relaciones válidas para la resolución de problemas. Los
ejemplos que nos muestra ponen de manifiesto la
importancia de los procedimientos en la resolución de
problemas.
Basándonos, también, en la resolución de problemas es
interesante nombrar la técnica conocida como “proyectos
de aula”, más indicada para Secundaria, que consisten en
“un fragmento de investigación personal emprendida por el
estudiante, o en grupo, usando materiales de referencia y
descrita en la forma de un informe. “(De la Torre, 1998,
p. 25).
Dichos proyectos ofrecen un aspecto de
individualización y personalización de la enseñanza, tan
a menudo ausente del curriculo matemático habitual,
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fomentando la interdisciplinariedad y estimulando la
actividad de los alumnos a un nivel reflexivo.
De la Torre (1998) propone diversos temas o ideas para
el desarrollo de estos proyectos obtenidas de la sociedad
del pasado, del presente y del futuro como son: división
de tierras que sigue a las inundaciones del Nilo, diseño
de edificios o planificación de una nueva ciudad.
Otra de las actividades que De la Torre recomienda es
la realización de “investigaciones”, es decir, un trabajo
propuesto a uno o a un grupo de alumnos que consiste en
imitar alguna de las actividades de los matemáticos como
diferentes pruebas de teorema de Pitágoras, modelos de
tejidos de telas, diseños de mosaicos islámicos, etc.
En esta línea, Fernández (1994) realiza una
investigación con los alumnos centrada en la resolución
de problemas, por medio de la propuesta:
Tenemos n cuadrados de lado unidad ¿cuál será el mínimo
cuadrado capaz de enmarcar los n cuadrados unitarios?
Este trabajo describe como se marcan los pasos a seguir
por el alumno, cómo va avanzando y solucionando las
cuestiones que van surgiendo al enfrentarse con este
problema abierto, de forma que mediante la actividad hay
una mayor compresión de los contenidos geométricos.
También Reeuwijk (1997) presenta cuatro ejemplos de
contextos (excursión, alas delta, sombras, bomberos)
diferentes entre sí pero relacionados con los conceptos
geométricos de proporción, la inclinación y la pendiente.
Mediante los distintos contextos y después de unas fases
de exploración y desarrollo del proceso de aprendizaje,
los alumnos aprenden esos conceptos geométricos de forma
intuitiva.
Los contextos adecuados al tipo de alumno que tengamos
en el aula, motivan y hacen relevante el uso de las
Matemáticas en la vida ordinaria. Determinados contextos
posibilitan que los alumnos sean más creativos y
desarrollen estrategias personales y de sentido común,
además pueden ser la vía para que los alumnos conozcan la
historia de las Matemáticas u otras disciplinas.
Sin embargo, aunque las teorías innovadoras de la
Educación Matemática consideran que el contexto debe ser
realista y de la vida cotidiana es necesario que el
contexto tenga sentido para el alumno para que pueda
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posibilitar y respaldar el desarrollo de la reinvención
de las Matemáticas. Por ello incluso un contexto
artificial relacionado con algo que no procede de la vida
real puede ser bueno si tiene sentido para el alumno
(Reeuwijk, 1997).Aunque no debemos confundir artificial,
como puede ser un cuento o relato, con forzado.
Por otra parte, comentamos la metodología de estructura
de laboratorio que nombramos al principio de este
apartado. Mientras en la resolución de problemas queremos
desarrollar habilidades y procesos, en la metodología de
laboratorio ponemos el acento en la formación de los
conceptos. Aunque estos aspectos van íntimamente ligados
pues el desarrollo de habilidades y procesos produce una
formación sólida de conceptos y viceversa. Por tanto
estas metodologías son complementarias y deben ser
tratadas simultáneamente.
En el laboratorio de Geometría se sigue un proceso
gradual y personal de construcción de los conceptos, a la
vez que se realiza una actividad investigadora sobre
dicha construcción, resolución de problemas, innovación
educativa, técnicas de colaboración, etc.
El lema del laboratorio de Geometría es "aprender
haciendo", es decir, el alumno participa activamente en
la construcción de su propio conocimiento (Alsina,
Fortuny y Pérez, 1997). Las tareas se proponen de forma
que los alumnos aprendan mediante los sentidos de la
vista y el tacto, la interrelación entre ellos y la
interiorización.
El trabajo se hace en grupos y las investigaciones a
realizar se componen de una serie graduada de actividades
que se presentan a los alumnos divididas en los
siguientes apartados: trabajo a realizar, material a
utilizar, exploración de lo que ha hecho y
descubrimientos realizados. Debemos tener cuidado en la
utilización de esta metodología pues puede ocurrir que
no se cumplan los objetivos deseados debido a la
demasiada sofisticación del material. Otras veces la poca
cantidad de material hace que el alumno apenas lo
manipule y no aprenda nada. Por último, debemos
cerciorarnos que el material que hemos elegido asegura
el aprendizaje del correspondiente concepto pues puede
ocurrir que esto no sea así.
Por último, un elemento metodológico importante a tener
en cuenta en la enseñanza de las matemáticas en general y
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de la geometría en particular es el desarrollo de la
estimación.
Las actividades de estimación se deben realizar antes
de efectuar el cálculo o la medición como una respuesta
aproximada y después de la operación, para juzgar si el
resultado es razonable o medir el grado de estimación del
alumno.
Es necesario un cambio y pasar de la exactitud del
cálculo a la estimación de la medida. Ésta puede ser
aplicada a las distintas materias transversales y a la
enseñanza en un contexto de resolución de problemas
(Chamorro, 1996; 1998).
En este sentido destacar el estudio de Giménez (1993)
con alumnos de Primaria, sobre la estimación de medidas
de capacidad a partir de un estudio exploratorio de
objetos reales en el que se analizan las estrategias y
dificultades que la estimación de medida les plantea.
Luego, en los primeros niveles se deben realizar
estimaciones mediante el cálculo mental y el trabajo con
números aproximados. Para los niveles superiores, los
alumnos deberán realizar actividades que permitan
interiorizar las unidades de medida convencionales de
cada una de las magnitudes y manejar diferentes
referentes como su peso, su altura, etc. que le permitan
la realización de estimaciones por comparación en
diversas situaciones (Segovia y Rico, 1996).
La obsesión por la exactitud debe dar paso a unas
actividades de estimaciones en las que se pierde la
exactitud, pero se compensa con cálculos más sencillos y
resultados más fiables que los que pueden producir los
cálculos exactos.
La figura 1 resume las ideas generales expresadas sobre
la metodología de enseñanza de la Geometría.
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Figura 1. Metodología de enseñanza de la Geometría escolar.
De los materiales, recursos y actividades
Al considerar al alumno como el sujeto central de su
aprendizaje, que construye el conocimiento a partir de la
reflexión obtenida de sus actividades, el libro de texto
se revela como un recurso insuficiente. Su concepción
estática no permite dar respuesta a todas las relaciones
dinámicas que se van a establecer entre los estudiantes,
el maestro y los conocimientos geométricos. Por ello, las
tareas en el aula deben tener un comienzo basado en el
uso de los recursos y del material didáctico (Socas,
1999).
Los materiales son herramientas que pueden facilitar la
descripción de situaciones o la identificación de
variables (Fiol y De la Torre, 2000). Además colaboran en
determinadas actividades geométricas que de otra manera
serían difíciles de visualizar. Sin embargo, no basta
solamente con la utilización de materiales sino que
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posteriormente hay que definir, deducir, resolver
problemas y aplicar los resultados en la sociedad en la
que nos desenvolvemos.
También, los profesores deben realizar una programación
minuciosa y atenta a las necesidades de sus futuros
alumnos. Para ello las unidades didácticas que integren
dichas programaciones deberán constar de diferentes
actividades relacionadas unas con otras en las que se
utilicen todos los materiales y recursos posibles para
que se realice un aprendizaje significativo.
Se deben, por tanto, equipar de todos los recursos que
faciliten la actividad docente y que contribuyan al
aprendizaje del alumno. Deben proporcionarles desde
materiales reales y cotidianos a materiales más
convencionales y simbólicos. Concretamente en el tema de
la medida, el alumno debe acostumbrase a utilizar
instrumentos cotidianos de medida como libretas para
trazar rectas o cuerdas para trazar circunferencias
junto con los instrumentos como regla, escuadra,
cartabón, semicírculo, entre otros. Además del libro de
texto debe contemplarse en el aula distinto material
impreso como fichas de trabajo, catálogos, folletos,
hojas de publicidad etc. En resumen, el empleo de
material didáctico y recursos debe ser norma de conducta
en la enseñanza de la Geometría.
La literatura sobre diferentes actividades, materiales
y recursos para la enseñanza de la Geometría en Primaria
y Secundaria es muy extensa. Además de los ya citados
son muy conocidos los textos de la editorial Síntesis
(C. Matemática: Cultura y aprendizaje) dedicados a la
Geometría como Alsina y otros (1987, 1988), Hernán y
Carrillo (1988) o Martínez y otros (1989). Son textos de
tipo general, es decir, no se dedican a un contenido,
recurso o material concreto. En éstos, encontramos
múltiples fichas y actividades que pueden realizarse en
el entorno del niño con distintos materiales o a partir
de fenómenos naturales, la ciencia y la tecnología o el
arte.
De las numerosas tareas propuestas podemos destacar
aquellas de tipo inductivo o deductivo que desarrollan el
razonamiento, y las de representación en la que se
engloban la visualización, la representación gráfica y
los modelos manipulativos (Alsina y otros, 1987) o los
diferentes juegos mentales o situaciones abiertas que
plantean Hernán y Carrillo (1988).
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Nos parecen estimulantes las reflexiones y propuestas
didácticas que para la E.S.O. realizan Alsina, Fortuny y
Pérez (1997) sobre la Geometría y su enseñanza-
aprendizaje.También encontramos aportaciones interesantes
sobre las nuevas tecnologías y la enseñanza de la
Geometría en García y otros (1995) o sobre juegos
geométricos en Corbalán (1994).
Dentro de estos estudios de tipo general sobre
materiales y recursos, Fortuny (1998) propone una serie
de actividades que se pueden realizar con los alumnos
utilizando la realidad como recurso. Incluye, este
trabajo una lista extensa de materiales de diversos
tipos: (modelos, constructores, mecanismos, juegos) y de
diferentes recursos tecnológicos (audiovisuales,
fotografía, informático,…) ya que:
“Un estilo de trabajo movido por los recursos
de todo tipo, actúa como referencia y
catalización de los contenidos geométricos y
como provocador de situaciones, actúa como un
micromundo más en donde desarrollar contenidos
y modelos y sobre ellos generar estrategias.”
(Fortuny, 1998, p. 45).
Un análisis sobre la introducción de los recursos
didácticos en el aprendizaje de la Geometría es realizado
por Mora (1995), planteándose por qué, para qué y cómo
utilizar los materiales, ofreciendo además una lista de
recursos geométricos, una bibliografía y direcciones de
interés.
También Miras(2000), a partir de una metodología
contructivista y basándose en los niveles de Van Hiele,
propone distintas actividades con materiales ya clásicos
como los poliminós, tangram, mosaicos, etc. para Tercer
Ciclo de Primaria. Además de los contenidos matemáticos
que tratamos al realizar dichas actividades, este autor
nos ofrece diferentes actividades-tareas para evaluar
estos contenidos.
De los materiales y las actividades
Existe un acuerdo general en investigadores y docentes
que recomienda el empleo de materiales experimentales
desde los niveles más bajos. Éstos deben ser elegidos de
forma que faciliten el cambio de los alumnos a niveles
superiores. Es decir, el reto no consiste en hacer
Geometría sino en cómo plantear actividades geométricas
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sobre materiales concretos que permitan construir una
estructura mental adecuada (Villarroya, 1994).
El uso de los materiales ha tenidos en las últimas
décadas diferentes planteamientos. Así podemos partir de
las propuestas de Gattegno y otros (1967) en el año 57,
donde los materiales se proponían como modelos; pasar por
los años 70 y 80 donde los materiales son dedicados a la
adquisición de rutina, mecanismos,… hasta la actual
década donde los materiales, volviendo a la ideas
primeras, se consideran multivalentes (múltiples tipos de
actividades) y como planteadores de problemas o
situaciones (Barba y Esteve, 1996).
Para hablar de materiales para construir la Geometría
hay que tener en cuenta la variable didáctica “Tamaño del
espacio” estudiada por Brousseau (1987). Dicha variable
toma los valores que se nombran como: micro-espacio,
meso-espacio y macro-espacio. Micro-espacio es el mundo
de objetos pequeños y manipulables de tamaños hasta la
mitad de la estatura del alumno. El meso-espacio abarca
desde el límite superior anterior hasta 50 ó 100 veces
la estatura de éste y el macro-espacio corresponde a
tamaños mayores al límite superior del meso-espacio
(Villarroya, 1994).
Evidentemente las concepciones mentales asociadas a
cada espacio son diferentes. Así en el micro-espacio el
alumno no se desplaza ni necesita sistemas de
referencias; en el meso-espacio se mueve en dos
dimensiones y es necesaria la medida, mientras que en el
macro-espacio el alumnos apenas se desplazan y las
medidas se hacen imprescindibles.
Dentro de los materiales podemos distinguir aquellos
que desarrollan una geometría estática o una geometría
dinámica, es decir, los conceptos se aprenden mediantes
actividades en movimiento, como ángulos que rotan o
líneas que se abren.
Relacionado con la Geometría dinámica, Damiani y otros
(2000) presentan una metodología de trabajo con modelos
dinámicos, es decir, objetos geométricos con elementos
móviles que dan firmeza a los conceptos y situaciones
matemáticas, y que puede ser utilizada tanto en Primaria
como en Secundaria.
El dinamismo con el que se dota a los modelos aumentan
la percepción y permiten la construcción del conocimiento
Campo Abierto, 2003, nº 24
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en pasos de tiempo y espacio mediante el descubrimiento
de semejanzas y la comprensión de los pasos seguidos. La
finalidad de los modelos es construir esquemas mentales
abstractos aplicables a una variedad más amplia de
problemas. Los modelos permiten prevenir, diagnosticar y
superar errores o desconocimientos y aumentar el uso del
lenguaje y la motivación de los alumnos.
Otro tipo de actividades son las relacionadas con el
dibujo. Éstas son importantes pues el dibujo en Geometría
sirve para poder representar figuras, mapas, planos, etc.
en un principio de manera informal, para, posteriormente,
poder efectuar una representación fiel y más precisa de
la realidad.
El alumno debe adquirir conocimientos que le permitan
manejar correctamente los instrumentos de dibujo para
efectuar representaciones y poder hacer aplicaciones a la
vida diaria. La escuadra y el cartabón, junto con el
compás y la regla serán de uso obligado para el alumno en
los distintos niveles y con una progresiva utilización.
Además, el empleo de mallas y papel cuadriculado servirá
tanto para el cálculo de áreas de polígonos como para
efectuar traslaciones o giros, o dibujar figuras
semejantes con un cambio de escala.
En la misma línea Luelmo (1997), a partir de una
experiencia que realiza con profesores de dibujo, nos
muestra la importancia de los instrumentos de dibujo para
resolver problemas. Incluye, también, una serie de
instrumentos geométricos prácticos que han sido
utilizados a lo largo de la historia debido a la
necesidad de precisión, de adaptación a la materia sobre
la que se dibujaba, o la economía de medios.
Para Clements y Battista (1992) los dibujos son
importantes porque pueden hacer que los alumnos intuyan y
comprendan algunas ideas geométricas, pero hay que tener
cuidado de que no formen ideas erróneas del concepto. Es
mejor manipular que dibujar pues el inconveniente de
aquellos es que no son flexibles o modificables de una
forma dinámica, salvo que utilicemos dibujos de programas
de ordenador.
En esta línea, Santinelli y Siñeriz (2001) nos
muestran las variantes de las construcciones con regla y
compás, de cuando se utiliza el lápiz y el papel a cuando
se aplica el ordenador mediante el programa Cabri. Para
estas autoras, la discusión y comparación de estos
Caracterización de la enseñanza- aprendizaje de la Geometría en Primaria y Secundaria
18
métodos alternativos favorece la comprensión de los
conceptos geométricos y la adquisición de estrategias de
resolución de problemas.
De los recursos y las actividades
Por otra parte, hacer un recorrido por el Arte y el
diseño actual es un recurso muy importante por su íntima
relación con estas materias. Debemos hacer que los
alumnos revisen en contextos no matemáticos ideas
geométricas, poniéndose de manifiesto el carácter
interdisciplinar de la Geometría y sus raíces culturales.
Estas relaciones les darán diferentes oportunidades para
el desarrollo de su pensamiento espacial, su creatividad
y el pensamiento divergente en las Matemáticas (De la
Fuente, 1998).
Mencionamos también las distintas actividades de
realización de rutas matemáticas (Calderón y otros
(1995), González (1997), Barrantes y otros, 1998b) en las
que con motivo de una visita a una ciudad, un monumento,
un parque, etc. se programan tareas que aúnan y dan
significados a aspectos como: visualización,
construcción, dibujar y medida, etc.
También Luengo, Casas y Sánchez (1998) y Casas, Luengo
y Sánchez (2000) presentan actividades con diferentes
magnitudes de medida para mostrar las ventajas de la
interdisciplinariedad con el patrimonio artístico, que
genera en los alumnos interés por su estudio y
conservación.
La utilización de la imagen como recurso didáctico
tiene, también, diferentes ventajas:
“La utilización de la imagen como recurso
didáctico en el proceso de enseñanza-
aprendizaje permite además: el estudio dinámico
de distintos momentos (significativos) de un
proceso (origen, fase de producción,...).
Simplificar realidades complejas, difícilmente
aprehensibles y aprendibles en su estructura y
configuración natural. Establecer comparaciones
entre aspectos distintos de una misma realidad
o entre diferentes realidades (en el espacio y
en el tiempo). Acceder al pasado (memoria
histórica).Aproximarse a fenómenos difícilmente
accesibles o reproducibles desde el aula.
Campo Abierto, 2003, nº 24
19
(Simulaciones, animaciones, recursos visuales y
gráficos).” (Pérez, 1995, p. 27).
Los medios audiovisuales de comunicación están
provocando en los alumnos, y en la sociedad en general,
unos grandes cambios en sus formas de percibir y en sus
procesos mentales debido al paso de una cultura escrita a
una cultura audiovisual.
En esta misma línea, Maier (1995) hace hincapié en la
importancia de los modelos visuales para la adquisición
de conceptos geométricos y para fomentar la habilidad de
los alumnos a la hora de dar razones lógicas que
expliquen y le hagan comprender la validez de las
fórmulas geométricas.
Las impresiones visuales son esenciales para la
adquisición de los conocimientos por lo que es necesario
dar mayor importancia a la percepción y a la intuición
espacial que la que actualmente tiene en el curriculo.
Por ello, Gracia (1994) propone distintas ideas para
trabajar en Secundaria: las imágenes, la orientación, las
distintas vistas de un mismo objeto, la relación plano y
espacio y la relación tacto-mente, es decir, obtener una
imagen en la mente por la sensación que produce el tacto.
En otro artículo, Gracia (1995) analiza el contacto y
las ideas de los alumnos con respecto a la representación
del espacio en el plano. El trabajo indaga sobre los
diferentes sistemas de representación del espacio, así
como los errores que se pueden cometer en clase por una
incorrecta interpretación de la representación, por los
problemas surgidos al pasar del plano al espacio o
viceversa, por la utilización de figuras imposibles o por
trabajar con ilusiones ópticas. Estos errores se muestran
con un número suficiente de ejemplos y actividades.
También, las actividades de visualización, orientación
y percepción espacial que Fouz (1994) propone trabajan
el razonamiento inductivo y deductivo y un aspecto poco
tratado como es la relación de la Geometría con la
Probabilidad.
De la Torre (1998) reconoce la poca importancia que se
le da en Geometría a la visualización mental de problemas
geométricos. Por ello, nos plantea, dentro de la
Geometría dinámica, una serie de ejercicios mentales
geométricos que recurren a la imaginación espacial y se
pueden realizar con los alumnos.
Caracterización de la enseñanza- aprendizaje de la Geometría en Primaria y Secundaria
20
Otros estudios relacionados con los recursos visuales,
como el ya citado González (1997) o Bueno y Monteoliva
(1993), se han centrado en la fotografía. Se plantean
actividades geométricas mediante la realización de
fotografías y una ficha de actividades a desarrollar
durante la exposición fotográfica que se hace en el
centro escolar. Todas estas actividades tienen como
objetivos entre otros: utilizar la fotografía como
recurso para la enseñanza de la Geometría; fomentar el
trabajo interdisciplinar y enlazar las Matemáticas con el
Arte haciendo que los conceptos y nociones sean lo más
intuitivo y experimental posible.
De entre otros recursos ya conocidos como tangrams,
polióminos, cuerpos geométricos, etc. nos parece
importante destacar las actividades con los espejos y
de construcciones o doblado de papel como buenos
elementos sino para que el alumno mediante unas
actividades de laboratorio bien orientadas construya su
propio conocimiento.
Con espejos Rodríguez (1996) realiza una experiencia
con alumnos de 11-12 años trabajando diferentes
contenidos como polígonos, ángulos, superficies,
isometrías, entre otros. También Alsina y Fortuny (1992)
realizan un viaje geométrico por el país de los espejos
proponiendo diferentes actividades con uno, dos y tres
espejos. Por último, citamos a Mandly (1998) que
desarrolla una unidad didáctica sobre transformaciones
geométricas para Secundaria.
Varios estudios plantean actividades mediante la
utilización del papel. Entre ellos destacamos Jhonson y
Wenninger (l975) dedicado íntegramente a la Geometría del
papel, tanto plana como espacial. Este trabajo presenta
una gran cantidad de actividades doblando o recortando
papel con el objetivo de introducir o reforzar la
enseñanza de la mayoría de los conceptos y propiedades
geométricas de Primaria. No tienen menos interés los
artículos de Giménez (l984), Guzmán (l987), Gardner
(l982, l986)y Luelmo (1997) que sobre este tema completan
las actividades del texto de Jhonson y Wenninger.
Martínez y López (2001) además de las actividades con
papel utilizan el programa Cabri para generalizarlas y
para realizar actividades de refuerzo.
Por último, señalamos el creciente auge que va
adquiriendo las actividades mediante el ordenador
(Luengo, 1994). Dentro de estos estudios, además de los
Campo Abierto, 2003, nº 24
21
ya comentados en este artículo, destacamos a Junqueira
(1996) quien explora la enseñanza de la Geometría
desarrollando diferentes actividades de resolución de
problemas al alcance de todos los profesores y alumnos y
que, sin la ayuda del material informático, eran
reservadas para algunos especialistas geómetras. También,
Camacho (1999) trabaja la enseñanza de la Geometría en
Secundaria utilizando entornos de Geometría dinámica
(EGD) y presentando una serie de programas específicos,
actividades y un proyecto de trabajo para el estudio de
los conceptos de área y perímetro de figuras planas.
La figura 2 resume de una forma general las ideas
principales planteadas sobre los materiales, recursos y
actividades.
Figura 2. Ideas principales sobre la utilización de materiales, recursos
y actividades.
Reflexiones finales
Desde las propuestas curriculares y de las distintas
aportaciones reseñadas, podemos concluir que la nueva
culturización exige un cambio en los contenidos y
metodología de enseñanza de la Geometría tanto en la
Enseñanza Primaria como en la Secundaria.
Caracterización de la enseñanza- aprendizaje de la Geometría en Primaria y Secundaria
22
Esto implica que los profesores deben desarrollar los
conocimientos necesarios que le permitan elegir y adecuar
los recursos y materiales conocidos a las situaciones
determinadas de enseñanza-aprendizaje.
Los materiales, los recursos y las actividades deben,
por una parte, favorecer el aprendizaje de los alumnos y
por otra, servir de instrumento de formación del maestro,
pues el contraste entre su conocimiento práctico y lo que
vaya aprendiendo con el material deberá desembocar en una
mejora de su práctica docente.Las reseñas bibliográficas
de este artículo hemos pretendido que sean lo más
prácticas posibles en esta idea de mejorar las tareas de
los profesores.
Nuestro objetivo general con estas reseñas y las
reflexiones realizadas ha sido intentar que las
concepciones y creencias de los profesores, en formación
o en activo, evolucionen en un futuro hacia tendencias
más constructivas, que implican un cambio personal en su
conocimiento y metodología sobre la enseñanza-aprendizaje
de la Geometría.
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