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Danksagung
Um das dieser Arbeit zugrundeliegende Projekt erfolgreich
durchzuführen, war die Benützung von unterschiedlichsten For-
schungseinrichtungen notwendig. Hierzu möchte ich mich zum einen
generell bei der AG Scheer bedanken, die dies überhaupt ermöglichte.
Diesbezüglich gebührt auch einen speziellen Dank an Prof. Dr. Elke
Scheer, an welche man sich für Diskussionen oder bei Probleme
stets wenden konnte.
Zum anderen bin ich aber auch zu Dank verpflichtet bei den
Verantwortlichen Personen für die kompetenten Einführungen in die
Gerätschaften und die Laboreinrichtungen. Im speziellen meinem
Betreuer Torsten Pietsch, welchem ein Dankeschön gebührt, für
die gute Betreuung und die Zeit, welche er sich stets genommen hat,
um über Zusammenhänge zu diskutieren oder mit gutem Rat oder
Tat zur Seite zu stehen.
Auch im technischen Bereich standen alle Mitarbeiter in der
Arbeitsgruppe stets gerne zur Seite und haben ihr Wissen gerne
weitergegeben. Im speziellen danke ich hierbei Thomas Lorenz, wel-
cher beim Umbau des Kryostaten stets nützliche Tipps geben konnte,
Christian Ortolf, welcher für die Umsetzung von Schaltplänen und
die Herstellung von Leiterplatinen einen wichtigen Beitrag geleistet
hat und natürlich unserem Techniker Ansgar Fischer, welcher sich
für die Umsetzung mechanischer Konstruktionen eingesetzt hat.
Zudem danke ich auch für die gute Zusammenarbeit mit Marcel
Rudolf, welcher ein ähnliches Projekt bearbeitete und es so zu
einer nützlichen Symbiose kommen konnte, und dem WMI in
München, welche es ermöglichten Aufbauten in einer auswärtigen
Forschungseinrichtung anzuschauen und Knowhow von erfahrenen
Leuten zu sammeln.
Im Weiteren danke ich Julian Braun, welcher sich die Zeit genom-
men hat, den Bonder und die Aufdampfanlage zu zeigen; Matthias
Hagner, welcher der Verantwortliche für das Elektronenstrahlmikro-
skop war; Florian Strigl, er kannte den Entmischungskryostat
sehr gut und half bei Unsicherheiten immer gerne weiter und
David Weber, welcher freundlicherweise seine Kalibrierung des
Elektronenstrahlmikroskop zur Verfügung stellte.
Sind Fragen aufgetaucht in Datenhandling und Programmierung
waren Simon Diesch und Christopher Espy kompetente An-
sprechpartner, daher auch ihnen zwei herzlichen Dank.
Zu guter letzt möchte ich meiner Frau Sarah Thalmann danken
für ihre Energie und Geduld, welche sie aufgebracht hat, wenn ich
Abends oder am Wochenende die Stunden im Labor oder im Büro
verbrachte, und auch meinen Kindern Tillian und Marlena für
ihre Lebensfreude, welche in stressigen Zeiten einen schönen Ausgleich
brachte.
i
Abstract
Ferromagnet Superconductor junctions (SFS junctions) are rich in
exciting quantum-physical phenomena, which are still poorly under-
stood but may provide promising prospects for new applications.
This thesis investigates the non-equilibrium transport properties of
lateral S/F heterojunctions, defined via electron beam lithography.
The first part establishes the theoretical background of integrated mi-
crowave circuits and superconducting systems like josephson junctions
The second part introduces development details about a new cryogenic
HF readout platform, advanced electronic filtering and the production
procedure of the measuring chip in the setup.
The results on Al-based heterojunctions are shown in the last part
together with the analysis of the IV characteristics under high fre-
quency influences.
In conclusion, this project will kick off the research of mesoscopic S/F
heterostructures here at the University of Konstanz.
ii
Zusammenfassung
Ferromagnet-Supraleiter-Kontakte (S/F-Kontakte) beherrbergen eine
große Anzahl an quantenphysikalischen Phänomenen, welche zum
Teil nur schlecht verstanden sind aber dennoch die Tür zu neuen
Anwendungen aufstoßen könnten.
Diese Arbeit zeigt Untersuchungen am Ladungstransport durch late-
rale S/F-Heterokontakte, welche mittels Elektronenstrahllithographie
strukturiert worden sind, und Einblicke in die Entwicklung eines neuen
Filterkonzepts und der Messplattform.
Der erste Abschnitt zeigt die theoretischen Grundlagen von inte-
grierten Mikrowellenschaltungen und supraleitenden Systemen wie
Josephson Kontakte.
Dieser Abschnitt bildet damit den Leitfaden für den zweiten Teil, in
welchem Entwicklungdetails von Messplattform, Filterkonzept und
den Herstellungsprozess des Mess-Chips vorgestellt wird.
Die Messungen der Al-basierten Heterostrukturen und deren Verhal-
ten unter Hochfrequenzeinfluss finden sich im letzten, analytischen
Abschnitt.
Zusammenfassend bildet dieses Projekt den Start für die Forschung
an S/F-Heterostrukturen hier an der Universität Konstanz.
iii
“Der Stoff aller Dinge, ihr letztes Substrat ist nicht materiell, sondern abstrakt:
eine reine Idee, deren Umriß sich nur mit Hilfe eines
mathematischen Akts indirekt einkreisen lässt.”
Jean Guitton
iv
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 Theoretische Grundlagen 2
2.1 Mikrowellen........................................ 2
2.1.1 Passive, elektrische Bauteile in alternierendem Strom . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.2 Verhalten an Diskontinuitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.3 Integrierte Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.4 Messung...................................... 6
2.2 Ferromagnetische Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Supraleitung ....................................... 9
2.3.1 London-Gleichungen............................... 9
2.3.2 Ginzburg-Landau-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.3 BCS-Modell.................................... 10
2.4 Josephson-Kontakt.................................... 11
2.4.1 Supraleitende Tunnelprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.2 Josephson-Effekt................................. 12
2.4.3 ShapiroStufen .................................. 13
2.4.4 RCSJ-Modell................................... 14
2.4.5 Josephson-Kontakt im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.6 Proximity-Effekt im ferromagnetischen Josephson-Kontakt . . . . . . . . . . 16
2.4.7 Andreev-Reflektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Technischer Abschnitt 20
3.1 Funktionsweise eines Verdünnungskryostats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Aufbau........................................... 21
3.2.1 Messvorrichtung ................................. 22
3.2.2 Probenhalter ................................... 24
3.2.3 Filterstufen.................................... 25
3.3 Proben........................................... 27
3.3.1 Zuleitungsstruktur................................ 27
3.3.2 Probenstruktur.................................. 29
3.3.3 Herstellung .................................... 30
4 Analytischer Abschnitt 36
4.1 Bestimmung von Rnoberhalb Tc............................ 36
4.2 Transmissionsspektrum ................................. 37
4.3 IV-Charakteristik..................................... 38
4.3.1 IV-Charakteristik Probe C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3.2 IV-Charakteristik Probe C9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4 IV-Charakteristik im B-Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4.1 ProbeC3 ..................................... 41
4.4.2 ProbeC9 ..................................... 42
4.5 ShapiroStufen ...................................... 45
4.5.1 Spannungsstufen ................................. 45
4.5.2 Stromstufen.................................... 50
5 Fazit und Ausblick 52
6 Literatur 54
7 Abkürzungen 58
8 Abbildungsverzeichnis 58
9 Tabellenverzeichnis 59
v
vi
1 EINLEITUNG
1 Einleitung
Die Supraleitung ist eine faszienierende Eigen-
schaft von Materie, welche fast magisch erscheint.
Dass ein Metall einen Phasenübergang erlebt und
so in einen Zustand mit unendlich hoher Leitfä-
higkeit übergeht, klingt nach einem unglaubwür-
digen Kuriosum. Doch wie es sich zeigt, verhält
sich die Natur tatsächlich so.
Daher verwundert es nicht weiter, dass die Su-
praleitung eine der größten Herausforderungen
darstellt in der Physik der kondensierten Ma-
terie. Die erste theoretische Beschreibung kam
von den London-Brüdern im Jahre 1935 [
Lon35
].
Fünfzehn Jahre später stand die Theorie des Pha-
senübergangs von Ginzburg und Landau [
Gin50
]
und schließlich im Jahre 1957 erschien im Zu-
ge der Ausarbeitung der Quantenmechanik die
BCS-Theorie [Bar57].
Jede dieser drei Theorien besitzen auch heute
noch ihre Daseinberechtigung und bilden die Ba-
sis zur Beschreibung von Supraleiter-Phänomene.
Aber auch ihnen sind Grenzen gesetzt und de-
cken bei weitem nicht alle Bereiche ab.
So ist die Supraleitung heute wohl ein Themen-
gebiet, bei welchem die Theorie dem Experi-
ment weit hinterherhinkt. Dies trifft vorallem bei
Hochtemperatur-Supraleiter wie den Kupraten
oder Pniktiden zu. Aber auch das Umgekehr-
te lässt sich beobachten. Namentlich in diesen
Teilgebieten, in welchen Materialien mit starker
Kopplung der Spins - wie Ferromagnete - unter-
sucht werden.
Die BCS-Theorie behilft sich mit der Definiti-
on von Cooper-Paaren, welche eine Kohärenz
zweier Elektronen beschreibt. Da nun aber zwei
Elektronen in einem solchen Zustand stets einen
entgegengesetzten Spin vorweisen, impliziert dies,
dass einen supraleitenden Zustand in ferroma-
gnetischer Materie nicht möglich ist.
Nichtsdestotrotz wurde bereits 1963 theore-
tisch vorhergesagt, dass neben dem Singulett-
Zustand auch Triplett-Zustände möglich sein soll-
ten [
Bal63
]. Dazu wurden solche Wellenzustände
unabhängig voneinander von den Amerikanern
Fulde/Ferrel [
Ful64
] und den Russen Lar-
kin/Ovchinnikov [
Lar65
] kurz darauf im Jah-
re 1964 theoretisch näher behandelt. Eine rei-
ne Triplett-Supraleitung wurde dann erst 2010
auch tatsächlich nachgewiesen [
Spr10
]. Hierbei
fiel die Wahl für das Material des Abstandshal-
ter eines Josephson Kontakts auf eine Heusler-
Legierung mit einer vollständigen Spinpolarisati-
on, um s-Wellen vollständig zu unterdrücken.
Indirekt konnte man aber schon viel früher auf
die Existenz von Triplett-Paarungen schließen.
Denn auch wenn sich nicht alle Cooper-Paare in
einem Triplett-Zustand befinden, so gibt es doch
immer einen Teil, welcher sich in diesem Zustand
aufhält, bis er wieder auf die Singulett-Paarung
zurückfällt. Ein solcher Misch-Zustand entspricht
gerade der Beschreibung eines Fulde-Ferrel-
Larkin-Ovchinnikov-Zustands und lässt sich
durch den Proximity-Effekt in Supraleiter-
Ferromagnet-Heterosystemen gut beobachten
[Kon01].
Wird die Barriere durch einen aufgeprägten
Wechselstrom und einem äußeren Magnetfeld in
ferromagnetischer Resonanz getrieben, hat dies
direkte Auswirkungen auf das Transportverhal-
ten eines solchen Kontakts. So zeigte die theore-
tische Arbeit von Hikino eine Veränderung der
Stromstufenhöhen von Shapiro-Stufen [
Hik11
].
Nach dem von Hikino erweiterten RSJ-Modell
für reale Josephson-Kontakte unter FMR kor-
respondieren die Stufenpositionen zu einer gera-
den Anzahl Magnonen. Dies bedeutet, dass ein
Suprastrom in einer eigentlich zu dicken ferroma-
gnetischen Grenzschicht induziert werden kann,
wenn darin eine Spinwelle angeregt wird. Dies be-
deutet wiederum, dass das Mischungsverhältnis
zu Gunsten der Triplettpaarung verändert wird.
Das Ziel dieser Arbeit besteht nun sowohl darin
einen Messaufbau zu konzipieren als auch mit
üblichen lithografischen Methoden Heterostruk-
turen auf Siliziumwafer herzustellen und erste
Messungen durchzuführen.
1
2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN
2 Theoretische Grundlagen
Als Grundverständnis für supraleitende Tunnel-
kontakte sowie für die Herangehensweise zur Er-
stellung des Versuchaufbaus, werden hier eini-
ge Grundlagen erörtert. Dieser theoretische Ab-
schnitt gliedert sich in vier Teile.
Der erste Teil handelt über das Verhalten
von elektrischen Schaltungen für Hochfrequenz-
Wechselströme. Diese sind wichtig für die Kon-
zeption des Aufbaus und sollen ein Verständnis
geben, wie sich Hochfrequenzsignale speziell in
integrierten Schaltkreisen verhalten.
Der zweite Teil ist bewusst kurz gehalten und
beinhaltet eine Kurzeinführung in die Theorie
von Spinwellen. Hierbei wird die Theorie nicht
über den Grundzustand, d. h. nicht über die fer-
romagnetische Resonanz hinweggehoben.
Im dritten Teil findet sich eine Einführung in die
Supraleitung. Neben einem kleinen geschichtli-
chen Abriss, finden sich die drei Grundmodelle
zur Beschreibung des Phänomen.
Schließlich im letzten Abschnitt werden die wich-
tigsten Grundaspekte von Tunnelkontakten er-
läutert. Dieser Abschnitt bildet den wichtigsten
Teil der Grundlagen, da sie das Werkzeug für
eine Analyse von solchen Systemen liefert.
2.1 Mikrowellen
Als Mikrowellen bezeichnet man elektromagneti-
sche Wellen im Frequenzbereich zwischen Radio-
wellen und Infrarot - d.h. zwischen 1 GHz und 300
GHz. Solche schnell wechselnde Felder haben die
Eigenschaft, dass sie sich gut über den Raum aus-
breiten und anderorts wieder einkoppeln können.
Daher ist eine Abschirmung, welche auf Mas-
sepotential liegt, unabdingbar. Dies lässt sich
einfach über den Poynting-Vektor
S
=
E×H
veranschaulichen. Diese Größe beschreibt den
Energiefluss einer TEM-Welle (transversalelek-
tromagnetische Welle) und zeigt bei einem offen
liegenden Leiter in orthogonale Richtung wäh-
rend sie für einen Koaxialleiter wie gewünscht
entlang des Leiters gerichtet ist (Abb. 2.1).
In diesem Abschnitt wird zunächst auf grundle-
gende Eigenschaften von passiven elektronischen
Bauteilen und deren Beschreibung eingegangen.
Zudem soll gezeigt werden, auf was es zu achten
gilt bei der Gestaltung von integrierten Schalt-
kreisen.
S
EH
a)
S
H
E
b)
Abbildung 2.1
a) Bei einem offenen Draht zeigt
S
or-
thogonal auf den Leiter. Es muss mit einer parasitären
elektromagnetischen Abstrahlung und Einkopplung ge-
rechnet werden. b) Bei einem Koaxialleiter bildet sich das
E-Feld axial um den Leiter und
S
zeigt entlang des Lei-
ters. So kann die Leitung gegenüber Umgebungseinflüsse
abgeschirmt werden.
2.1.1 Passive, elektrische Bauteile in
alternierendem Strom
Arbeitet man mit Mikrowellen, muss man sich
stets bewusst sein, dass jedes Bauteil parasi-
täre Erscheinungen aufweist. So zeigt (siehe Abb.
2.2):
1.
ein Widerstand
R
eine Selbstinduktivität
Lsund Kapazität Cp
2.
ein Kondensator
C
einen Serienwiderstand
Rsund -induktivität Ls
3.
und eine Spule
L
ebenso einen Serienwider-
stand Rsund eine Kapazität Cp
2
2.1 Mikrowellen 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN
Grundsätzlich bildet so jedes elektrische Bau-
teil einen realen Schwingkreis oder dann bei ei-
ner hohen Dämpfung einen Tiefpassfilter zweiter
Ordnung.
Abbildung 2.2
Die Ersatzschaltbilder von Widerstand
R
, Spule
L
und Kondensator
C
. Parasitäre Effekte ma-
chen aus jedem elektronischem Element einen realen
Schwingkreis.
Um das elektronische Bauteil zu beschreiben, be-
gnügt man sich mit der Impedanz
Z
, welche sich
aus einem Realteil
R
und einem Imaginärteil
X
zusammensetzt. Aus dieser Größe lassen sich alle
drei Grundeigenschaften Transmission, Reflekti-
on und Dissipation herleiten. Natürlich lässt sich
auch den Kehrwert - die Admittanz
Y
- definie-
ren. Diese eignet sich eher bei Berechnungen von
Parallelschaltungen während die Impedanz ge-
eigneter für Serieschaltungen ist. Alle definierten
Größen sind in Tabelle 1 aufgeführt.
Tabelle 1
Eine Übersicht aller Größen bezüglich des
komplexen Widerstands.
Symbol Name Beschreibung
Z=R+jX Impedanz kompl. Widerstand
ZImpedanz Scheinwiderstand
XReaktanz Blindwiderstand
RResistanz Wirkwiderstand
Y=G+jB Admittanz komplexer Leitwert
YAdmittanz Scheinleitwert
BSuszeptanz Blindleitwert
GKonduktanz Wirkleitwert
So erhält man für eine ideale Induktivität stets
eine Reaktanz von
XL=ωLs(1)
und für eine ideale Kapazität stets eine Suszep-
tanz von
BC=−ωCp.(2)
Das führt zu einer Impedanz eines RLC-Gliedes
von
Z=R+X=R+jωL −1
jωC .(3)
Für
ω
nahe der Resonanzfrequenz gilt die Nähe-
rung
Z≈R
+
X
=
R
+
ωL −1
ωC
. Die Resonanz-
frequenz ist erreicht, wenn sich Induktivität und
Kapazität auf Null summieren. Dies ist erfüllt,
wenn
ωr=1
√LC (4)
gilt. Daraus lässt sich eine normalisierte Frequenz
Ω = ω/ωrdefinieren.
Die Transferfunktion A(ω) = ua/ueist definiert
als das Verhältnis von Ausgangsspannung
ua
und
Eingangsspannung
ue
und wird in der Hochfre-
quenztechnik üblicherweise in Neper angegeben.
Wir verwenden im Folgenden aber die zugäng-
lichere Einheit Dezibel [dB]. Dabei sei zu er-
wähnen, dass Neper eine Leistungswurzelgröße
im natürlichen Logarithmus und Dezibel eine
Leistungspegelgröße im Zehnerlogarithmus be-
schreibt. Die Transferfunktion eines RLC-Gliedes
lautet dann
G(ω) = 1
jωC
1
jωC +R+jωL
=1
1 + jωRC −ω2LC .(5)
Mit der Definition eines Dämpfungsfaktors
D
=
R
/2pC/Llässt sich diese dann schreiben als
G(Ω) = 1
1+2jDΩ−Ω2.(6)
Der Frequenzgang für verschieden große Dämp-
fungsfaktoren ist in Abbildung 2.3 gezeigt. Darin
lässt sich auch gut erkennen, dass sich Schwing-
kreise mit
D <
1und Tiefpassfilter mit
D >
1
über ein einfaches RLC-Glied beschreiben las-
sen.
3
2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 2.1 Mikrowellen
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
A [dB]
D=0.05
D=0.2
D=0.5
D=1
D=2
D=10
D=5
Abbildung 2.3
Frequenzgang der Amplitude eines
RLC
-
Filtesr nach Gleichung
(6)
mit verschiedenen Dämpfungs-
faktoren D.
2.1.2 Verhalten an Diskontinuitäten
Elektromagnetische Wellen reagieren sensitiv auf
Diskontinuitäten des Wellenleiters. Dies können
Substrat- oder Dielektrikum-Änderungen sowie
Übergänge an Steckern oder Kontaktierungen als
auch simple Formänderungen wie Kurven, Ecken
oder Verengungen auf Leiterplatinen sein. Jede
solcher Diskontinuitäten rufen parasitäre Effek-
te hervor und verändern die Impedanz. Für die
exakte Beschreibung muss deshalb jede Diskonti-
nuität als eigenes Bauteil angesehen werden.
In einer perfekt abgestimmten Schaltung stim-
men die Impedanzen aller einzelnen Bauteilen
überrein. Ist dies nicht der Fall, entstehen Re-
flektionen und es kann neben stehenden Wellen
auch zu betrachtlichen Transmissionsverlusten
kommen.
Wieviel effektiv reflektiert wird, lässt sich mit
dem Reflektionsfaktor
r=ZA−Z0
ZA+Z0
(7)
beschreiben.
Z0
stellt die Impedanz des Leiters
vor der Diskontinuität und
ZA
die Impedanz des
darauf folgende Bauteil dar.
Dieses Verhalten lässt sich gut an einem Ende
eines Koaxialkabels beschreiben (s. Abb. 2.4).
Es lassen sich drei klar definierte Abschlüsse be-
schreiben. Mit diesen werden Netzwerkanalysa-
toren vor der Messung kalibriert.
1.
Fall: Schild und Leiter werden kurzge-
schlossen. Der Abschlusswiderstand be-
trägt
ZA
= 0 und der Reflektionsfaktor
ergibt
r= lim
ZA→0
ZA−Z0
ZA+Z0
=−1.
Das bedeutet, dass die Welle am Kabelende
zu 100% reflektiert wird mit einer Phasen-
verschiebung von 90◦.
2.
Fall: Schild und Leiter bleiben offen. Der
Abschlusswiderstand beträgt
ZA
=
∞
und
damit gilt
r= lim
ZA→∞
ZA−Z0
ZA+Z0
= 1.
Das bedeutet, dass die Welle am Kabelende
zu 100% ohne Phasenverschiebung reflek-
tiert wird.
3.
Fall: Schild und Leiter werden mit einem
Abschlusswiderstand
ZA
=
Z0
verbunden.
Für den Reflektionsfaktor gilt dann
r=ZA−Z0
ZA+Z0
= 0
In diesem Fall enstehen keine Reflektionen.
openshort load
1.) 2.) 3.)
Abbildung 2.4
Die drei Spezialfälle eines Abschlusswi-
derstandes am Koaxialkabel.
Da üblicherweise in der Hochfrequenz-Technik
keine Reflektionen erwünscht sind, versucht man
Schaltungen stets auf eine bestimmte Impedanz
anzupassen. Die Wahl fällt meistens auf den Wert
von 50 Ω, dieser Ein- und Ausgangswiderstand
wird auch bei den verwendeten HF-Messgeräten
verwendet.
2.1.3 Integrierte Schaltungen
In den Anfangszeiten der Mikrowellentechnik
in den dreissiger und vierziger Jahren wurden
nur wenige Komponenten wie Röhrensender und
Eindioden-Empfangsmischer mit Koaxial- und
Hohlleiter benutzt. Dieses Feld hat sich bis heute
massiv erweitert. Ein geschichtlicher Abriss lässt
sich in [Poz12] finden.
Mit den geeigneten lithografischen Verfahren ka-
men integrierte Digitalschaltungen auf und kurze
zeit später auch integrierte Mikrowellenschaltun-
gen – abgekürzt mit MIC für “microwave inte-
grated circuit”.
4
2.1 Mikrowellen 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN
Seit den achziger Jahren werden Mikrowellen-
schaltungen monolithisch mit Streifenleiter und
Halbleiterbauelemente gemeinsam auf demselben
Halbleitersubstrat wie Silizium hergestellt. Die
Theorien über entstehende Feldverzerrungen an
Diskontinuitäten, Strahlung, Oberflächenwellen
und Gehäuseresonanzen wurden nach und nach
gut ausgearbeitet und lassen sich beispielsweise
detailiert in [
Hof83
] oder [
Poz12
] nachlesen. Im
Folgenden werden einige zentrale Aussagen, wel-
che für das Gestalten des Mikrochips nötig sind,
wiedergegeben.
Streifenleiter.
Die Geometrie und Art des
Streifenleiters ist von entscheidender Bedeutung.
Je nachdem, wo der Massebezug ist, bilden sich
andere Felder aus und führen zu anderen Impe-
danzen.
a.) b.) c.)
Abbildung 2.5
Drei Streifenleitervarianten von Haupt-
leitungen für integrierte Schaltkreise. a.) Mikrostreifenlei-
tung b.) Triplateleitung c.) Suspended-Substrate-Leitung.
Aufgrund von verschiedenen Anwendungen in
verschiedenen Frequenzbereichen ist eine Viel-
zahl von Streifenleitungsvarianten entstanden.
In Abbildung 2.5 sind mögliche Varianten für
Hauptleitungen gezeigt. Diese werden üblicher-
weise verwendet, da sie geeignet sind, eigenstän-
dige Schaltkreise aufzubauen.
In Abbildung 2.6 sind weitere Varianten für Strei-
fenleiter gezeigt. Diese bilden im Allgemeinen
aber keine eigenständige Schaltkreise und wer-
den daher als Hilfsleitungen bezeichnet.
a.) b.) c.)
Abbildung 2.6
Drei Streifenleitervarianten von Hilfslei-
tungen für integrierte Schaltkreise. a.) Koplanarleitung
b.) Schlitzleitung c.) Bandleitung.
Eine weitere Gruppe bilden gekoppelte Mikrowel-
lenstreifenleitungen wie eine Zweibandleitung. Ei-
ne solche Kopplung ist für Messungen über zwei
nebeneinander liegende Transmissionlinien an
Josephson-Kontakten allerdings unerwünscht,
weshalb die Wahl auf eine koplanare Tribandlei-
tung fällt. Im Folgenden wird nur dieser Leitungs-
typ näher behandelt. Für andere Leitervarianten
sei auf [Hof83] verwiesen.
In einer koplanaren Tribandleitung, wie sie
in Abbildung 2.7 nochmals abgebildet ist, bil-
den sich quasi transveral elektromagnetische
Wellen (Quasi-TEM-Wellen) aus. TEM-Wellen
zeichnen sich dadurch aus, dass sie in Aus-
breitungsrichtung keinen Feldbeitrag leisten
(vgl. [Poz12, S. 96ff])
. Als Quasi-TEM-Wellen
werden Wellen bezeichnet, welche sich nicht nur
durch ein Dielektrikum sondern durch zwei oder
mehrere unterschiedliche Dielektrikas ausbrei-
ten.
t
s s
quasi TEM-Welle
w
dh
Abbildung 2.7
Aufbau einer symmetrischen, koplanaren
Tribandleitung mit unendlich breiten Masseleitungen.
Für die Bestimmung der effektiven Permittivität
εr,eff
und der Impedanz
ZL
werden numerische
Verfahren auf analytische Näherungslösungen an-
gewendet. Falls die Substratdicke genügend groß
ist (
s/h
1), lässt sich mit guter Näherung mit
einem unendlich dickem Dielektrikum rechnen.
Für ein Dielektrikum mit einer unendlichen Di-
cke
h→ ∞
gilt für die effektive Permittivität für
alle Abmessungen k=w/d
εr,eff =εr+ 1
2.(8)
Für die Impedanz gilt
ZL=ZL0√εr,eff =η0K(k0)
1√εr,eff ·K(k),(9)
wobei
k0
=
√1−k2
das komplementäre Mo-
dul von
k
und
η0≈
120
π
Ωden Wellen-
widerstand im Vakuum darstellt. Die Funkti-
on
K
ist ein vollständig elliptisches Integral
erster Ordnung und hat die Form
K
(
k
) =
R1/p(1 −x2)(1 −k2x2)dx.
5
2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 2.1 Mikrowellen
Die Leiterschichtdicke ist auf
t
= 0 genähert wor-
den. Wird diese erhöht, so nehmen
ZL
und
εr,eff
ab [Dub73].
Wird die Substratdicke klein (
s/h ≈
1) gilt nach
dem Verfahren der Überlagerung von Teilkapazi-
täten (vgl. [Hof83, S.126ff])
ZL=η0K(k0)
4K(k)√εr,eff
(10)
wobei sich die effektive relative Permittivität nun
durch
εr,eff = 1 + (εr−1) ·K(k0
1)·K(k0)
2·K(k1)·K(k)(11)
berechnen lässt. Hierbei ist
k0
1
=
p1−k2
1
wie-
der das komplementäre Modul der elliptischen
Integrale, wobei k1=p1/(1 + q)mit
q=sinh2(πw/(4h))
sinh(πs/(2h)) ·sinh(π(w+s)/(2h)) (12)
darstellt. Diese Ausdrücke lassen nur numerisch
lösen und bilden die Grundlage für simple Simu-
lationsrechner wie TX-LINE von National Instru-
ments.
Eine einfache und kostenfreie Berechnung ist auf
der Webseite easycalculation.com möglich.
Dynamsiche Analysen haben gezeigt (bspw.
[
Kno75
]), dass mit steigender Frequenz
εr,eff
an-
steigt während ZLleicht sinkt.
Ein Massepotential auf der Unterseite des Sub-
strats bewirkt ein Sinken von
ZL
von nicht
über 2 %, solange der Abstand zur Masse
aB
groß bleibt, d.h. solange
aB/h >
1
.
5gilt
[Hof83, S. 354].
Knick, Kurve und Vias.
Wie bereits erwähnt,
ändert sich das elektrische Verhalten, wenn die
Form nicht kontinuierlich verläuft. So z. B. wenn
der Streifenleiter einer Kurve folgen muss oder
geknickt wird.
Wird ein Knick, so wie er in Abbildung 2.8a
gezeigt ist, eingefügt, entsteht an der äußeren
Ecke überschüssige Feldenergie. Diese bewirkt
ein Absinken der Impedanz. Wird dem Knick
am äußeren Ecken angeschrägt (siehe Abb. 2.8b),
lässt sich diese Feldenergie verkleinern und da-
durch die Impedanz auskompensieren.
b90°
45°
a
a.) b.)
w
Abbildung 2.8
Rechtwinkliger, symmetrischer Mikro-
streifenleitungsknick. a.) Unkompensierter Knick b.) Kom-
pensierter Knick
Entscheidend bei der Abschrägung ist das richti-
ge Verhältnis
S
=
b/a
. Wird dieses zu groß, wird
der Knick überkompensiert und die Impedanz
steigt über den Optimalwert.
S
hängt wesent-
lich von dem Verhältnis
w/h
und der relativen
Permittivität
εr
ab. Beschränkt man sich auf Im-
pedanzen
ZL
= 50Ω, Frequenzen unter 10 GHz
und Permittivitäten 1
< εr<
16 lässt sich
Sopt
empirisch mit
Sopt ≈46 + 2.5εr(13)
bestimmen [
Hof83
, S. 293]. Hierbei ist
Sopt
in %
zu verstehen.
Natürlich lassen sich solche Knicke vermeiden,
wenn genug Platz vorhanden ist. Denn dann lässt
sich auch nur eine leichte Krümmung machen.
In einer solchen Kurve hat man zwar keine star-
ke Diskontinuität, jedoch entstehen parasitäre
Kopplungseffekte auf naheliegende Leiterbahnen.
Das Resultat ist ein hohes Übersprechen des Si-
gnals.
Indem man am Kurvenverlauf Durchführungen
an ein Massepotential auf der Rückseite macht
(sogenannte Vias), lässt sich dies weitgehend ver-
hindern. Mit genügend kleinen Abständen lässt
sich die Wellenausbreitung zu anderen Leitungen
so erschweren, dass man auch von einer Via-
Barriere oder einem Via-Zaun spricht. Eine Un-
tersuchung des Einflusses von Vias findet sich in
[Fis14, Abschn. 4.1].
Beides – Vias und Knicke – stellen ein wichti-
gen Punkt dar, für das Design des Probenhal-
terungsboard, welches im Abschnitt 3.2.2 vorge-
stellt wird.
2.1.4 Messung
Die Art und Weise, wie man Hochfrequenzsigna-
le misst, hängt natürlich von der Fragestellung
6
2.1 Mikrowellen 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN
ab. Eine vollumfängliche Messung, d.h. die Mes-
sung aller Streuparameter
S11, S12 , S21
und
S22
(s. Abb. 2.9) würde zwar das System vollständig
beschreiben aber birgt auch viele Schwierigkeiten
und Nachteile mit sich.
Assembling
Port 1 Port 2
S11 S21
S12 S22
Abbildung 2.9
Schematische Zeichnung einer Messung
eines Assembling von Messkabel und zu messende Einheit
zwischen den zwei Messport 1und 2.
So besteht das Assembling nicht nur aus der zu
messenden Einheit (DUT), sondern eben auch
aus der Messvorrichtung wie Verbindungskabel
oder Probenhalter. Da man diese nicht mitmes-
sen will, muss man den Netzwerkanalysator auf
die Messvorrichtung kalibrieren. Hierzu wird je-
weils bei beiden Ports die Messkabel bis zum
DUT kurzgeschlossen (short), offen (open) und
mit Abschlusswiderstand (load) (vgl. Abb. 2.4)
gemessen und den Frequenzgang angepasst, so-
dass bei einer Transmissionsmessung im Smith-
Chart die Kurve als Punkt zu sehen ist.
Wird nur die Transmissionscharakteristik be-
stimmt, genügt eine einfache Durchgangskalibrie-
rung. Das heißt die DUT wird entfernt und man
setzt die Transmission durch die Messvorrich-
tung auf 0 dB - also auf volle Transmission. In
einem solchen Fall, in dem Phase und Reflektion
nicht von Bedeutung sind, lässt sich die Mes-
sung auch mit einem Spektrumanalyser tätigen.
Besitzt dieser eine Tracking-Funktion zu einem
dazugehörigen Generator, lässt sich damit die
Transferfunktion A(ω)bestimmen.
7
2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 2.2 Ferromagnetische Resonanz
2.2 Ferromagnetische Resonanz
In ferromagnetischen Materialien kommt eine
Austausch-Wechselwirkung zwischen den Spins
zustande. Dies bedeutet, dass ein makroskopi-
sches Moment entstehen kann, wenn die Spins
gerichtet vorliegen. Dies lässt sich mit einem
angelegten Magnetfeld B0erreichen.
Wird nun zusätzlich durch ein Hochfrequenz-
signal
~ω
ein wechselndes Magnetfeld erzeugt,
beginnen die einzelnen magnetischen Momente
m
=
µS
zu präzedieren. Da nun das Drehmo-
ment
Γ
=
µS×B
gerade der zeitlichen Ableitung
des Drehimpulses J=~Sentspricht, gilt
dS
dt =µ
~S×B.(14)
Für
B0
=
B0ez
und der Definition
S±:
=
Sx±iSy
lautet die Lösung für das Differential-
gleichungssystem (14)
S±(t) = S±
0exp∓iµ
~B0t.(15)
Das Ergebnis beschreibt eine einfache Präzession
um die
z
-Achse und entspricht betraglich genau
der Zeeman-Aufspaltung µB0=~ω.
Mit dem Übergang zur makroskopischen Magne-
tisierung
m−→ M/N
, der Definition des gyro-
magnetischen Verhältnisses
γ
=
µ/~
=
gµB/~
und der magnetischen Feldstärke
B
=
Hµ0
erhält man aus Gleichung
(14)
die Landau-
Lifschitz-Gleichung (LLG, vgl. [Lan35])
dM
dt =γµ0M×H.(16)
Diese Gleichung stellt die Grundlage für die Be-
rechnung von Spinwellen dar. Eine einfache Prä-
zession, wie oben beschrieben, kann als Grund-
mode solcher Wellen interpretiert werden.
Da nun Spinwellen beispielsweise auch mit Pho-
nonen koppeln, weisen diese stets eine Dämp-
fung auf. So wurde die LLG dann später
durch Gilbert um einen Term erweitert, wel-
che diese Dämpfung über eine Dämpfungskon-
stante
αG
berücksichtigt. Die Gleichung ist als
Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung (LLGG,
vgl. [Gil55]) bekannt und hat die Form
dM
dt =γµ0M×H+αG
MsM×dM
dt .(17)
Die effektive Feldstärke
H=H0+Hac(t) + Hex +HD+Hani +. . . (18)
besteht nebst dem statischen äußeren Feld
H0
und dem dynamische angelegten Feld
Hac
(
t
)
auch aus Anteilen von der Austauschwechselwir-
kung
Hex
, der Dipol-Dipol-Wechselwirkung
HD
,
der Anisotropie
Hani
und andere Anteile, die
hauptsächlich vernachlässigt werden können.
Im Weiteren werden näherungsweise nur der dy-
namische und statische Anteil beachtet. Die zu-
sätzlichen Einflüsse sollen aber kurz erläutert
werden:
•
Für
Hex
lässt sich in der Literatur (vgl.
[
Aha00
], [
Oha00
], [
Yos96
], [
Gur96
]) häufig
die Näherung
Hex =D
µ0Ms∇2M(19)
finden.
D
beschreibt hierbei die Austausch-
steifigkeit, diese hängt von der Austausch-
konstante und der Sättigungsmagnetisie-
rung Msab.
•
Magnetische Oberflächenladungen erzeu-
gen durch die dipolare Wechselwirkung ein
Magnetfeld
HD
welches sich über die ma-
gnetosstatischen Maxwell-Gleichungen
berechnen lässt [
Sta09
]. Sie ist zwar lang-
weitreichender als die Austauschwechsel-
wirkung aber um Größenordnungen schwä-
cher.
•
Eine magnetische Anisotropie
Hani
verur-
sacht eine Vorzugsrichtung der Magnetisie-
rung und kann im Experiment störend sein.
Ein beschreibender Entmagnetisierungsten-
sor [
Sta09
] kann allerdings nur numerisch
berechnen werden.
Mit einem statischen Feld entlang der
z
-Achse
und einem mikrowellenbetriebenen magnetischen
Wechselfeld
Hac
=
Hac exp
(
i
Ω
t
)erhält man die
linearisierte Lösung [Hik11]
M±(t) = γMzHac
Ω−ωr∓iαΩ·exp(±iΩt)(20)
der Gleichung
(17)
. Diese Lösung beschreibt eine
Präzession von
M±
(
t
) =
Mx
(
t
)
±iMy
(
t
)um
H0
mit der Frequenz Ωund der Resonanzfrequenz
ωr=γH0.
8
2.3 Supraleitung 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN
2.3 Supraleitung
In der Zeit vor 1903 wurden Verflüssigungsver-
fahren noch nicht messtechnisch angewendet. So-
mit blieb es damals reine Spekulation, was mit
dem elektrischen Widerstand bestimmter Lei-
ter passieren würde in sehr tiefen Temperaturen.
Grundsätzlich waren bis 1911 drei Hypothesen
aufgestellt worden. Alle drei beschrieben eine
kontinuierliche Kurve, bei welcher der Wider-
stand zunächst sinkt für kleiner werdende Tem-
peraturen. Für
T→
0gingen die Erwartungen
hingegen auseinander. Nach Dewar müsste
R
gegen unendlich, nach Mathiesen gegen einen
endlichen Wert und nach Kelvin gegen Null
streben. Als Heike Kamerlingh-Onnes 1911
flüssiges Helium bei 4 K verwendete, um eine
der drei Hypothesen zu verifizieren, waren leider
keine dieser drei Beschreibungen zutreffend. Der
Widerstand fiel ab einer bestimmten kritischen
Temperatur
Tc
schlagartig auf Null ab. Er hatte
die Supraleitung entdeckt.
Seither ist viel passiert. Supraleiter sind nun seit
mehr als hundert Jahren ein breites Forschungs-
gebiet. Bevor überhaupt Theorien zur Beschrei-
bung des Phänomens existierten, wurden SL be-
reits auf spezielle magnetische Eigenschaften hin
untersucht. Der grundlegendste davon ist der
Meissner-Ochsenfeld-Effekt (MOE, [
Mei33
]),
welcher besagt, dass im Inneren eines Supralei-
ter ein angelegtes Magnetfeld völlig verdrängt
wird.
s
u
p
r
a
l
e
i
t
e
n
d
n
o
r
m
a
l
l
e
i
t
e
n
d
T
Start-
zustand
Ziel-
zustand
Weg 1
Weg 2
Ba
0
Bc(0)
Abbildung 2.10
Wegabhängigkeit durch MOE: Wird
das Magnetfeld noch im normalleitenden Zustand einge-
schaltet und danach abgekühlt, werden bei Eintritt in die
Supraleitfähigkeit Abschirmströme angeworfen, welche
das Feld aus dem Inneren des Leiters verdrängen (Weg 1).
Befindet sich der Leiter bereits im supraleitenden Zustand
wenn das Feld eingeschaltet wird, würde sich aber das In-
nere durch fehlende Abschirmströme nicht feldfrei zeigen
(Weg 2). Daher genügt eine Erklärung mittels idealem
Leiter nicht.
So erklärt sich auch das kritische Feld: Wenn die
durch das B-Feld angeworfenen Abschirmströ-
me die kritische Stromdichte erreicht, bricht die
Supraleitung zusammen. Diese Erklärung formu-
lierte Silsbee bereits im Jahre 1916 [Sil16].
Nähme man für dieses Phänomen die Erklärung
eines idealen Leiters, würde sich der MOE nicht
zeigen, wenn das äußere Magnetfeld erst im supra-
leitenden Zustand eingeschaltet wird (vgl. Abb.
2.10). Da aber dies nicht der Fall ist, bedeutet
das, dass sich Normalleiter im Gegensatz zum
Supraleiter nicht im thermodynamischen Gleich-
gewicht befindet.
Bei einigen Supraleitern können sich Flussschläu-
che bilden, welche den magnetischen Fluss in den
SL eindringen lassen. Auf diese Weise lassen sich
Supraleiter in erste und zweite Art unterteilen.
Es werden kritische Magnetfelder
Bc
(SL 1. Art)
und
Bc1
,
Bc2
(SL 2. Art) definiert. Letztere zwei
lassen sich mit sogenanntem Pinning beeinflus-
sen, was dann zu dem Begriff “harte” SL führt.
Zudem konnte 1961 durch Doll/Näbauer
[
Dol61
] sowie durch Deaver/Fairbank [
Dea61
]
gezeigt werden, dass der Fluss im SL 2. Art quan-
tisiert ist. Weitere Details über die Klassifizierung
und magnetischen Eigenschaften von Supralei-
tern lassen sich in der einschlägigen Literatur wie
[Buc04] oder [Tin04] nachlesen.
2.3.1 London-Gleichungen
Die erste theoretische Beschreibung wurde 1935
durch die London-Brüder [
Lon35
] aufgestellt.
Hierbei gingen sie vom Drude-Modell
m˙
v+me
τvD=−eE(21)
mit einer mittleren Stoßzeit
τ
=
∞
aus. Formt
man die Gleichung um, erhält man die erste
London-Gleichung
m
nse2
s
dj
dt := Λdj
dt =E.(22)
Dies bedeutet, dass die Suprastromdichte
j
stetig
wächst bei einem angelegten elektrischen Feld.
Bildet man in Gleichung
(22)
auf beiden Sei-
ten die Rotation, setzt die Maxwell-Gleichung
9
2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 2.3 Supraleitung
rotE
=
−˙
B
ein und integriert über die Zeit, führt
dies zur zweiten London-Gleichung
Λ·rotj+B= 0.(23)
Setzt man nun bei der Suprastromdichte
j
die
Maxwell-Gleichung
µ0j
=
rotB
in Gleichung
(23)
ein und löst die entstandene Differenzial-
gleichung über den Halbraum der Grenzfläche
NL/SL, beschreibt dies einen exponentiellen Ab-
fall eines externen B-Feldes im Supraleiter und
damit den MOE.
Wie schnell das Feld abklingt, lässt sich mit der
london’schen Eindringtiefe
λL
=
pΛ/µ0
be-
schreiben und liegt üblicherweise zwischen 10
und 50 nm [
Sch14
]. Damit lässt sich nun auch
die erwähnte Silsbee-Regel mit
Bc=λLµ0jc(24)
konkretisieren und liefert einen unmittelbaren
Zusammenhang von kritischem Feld und Strom-
dichte.
2.3.2 Ginzburg-Landau-Gleichungen
Der Übergang von normalleitendem zu supralei-
tendem Zustand lässt sich auch als Phasenüber-
gang auffassen. Daher lässt sich die Supraleitung
durch die Theorie der Phasenübergänge nach
Ginzburg und Landau [Gin50] beschreiben.
Hierbei stellt der Ordnungsparameter Ψden Zu-
stand dar, in welchem sich das Material befindet.
Konkret bedeutet dies, dass das Material normal-
leitend ist, wenn
|
Ψ
|
= 0 und supraleitend, wenn
|Ψ|= 1 gilt.
Die Variationsrechnung zur Minimalisierung der
Gibbs-Funktion
Gs
nach dem Vektorpotential
A
und dem komplex konjugierten Ordnungspa-
rameter Ψ
∗
mit der Bedingung der detailierten
Balance ergeben die zwei Ginzburg-Landau-
Gleichungen (GLG)
∂Gs
∂A= 0 ∂Gs
∂Ψ∗= 0 (25)
Aus der Definition der Suprastromdichte und
der ersten GLG sowie der Entwicklung des
Ordnungsparameter und der zweiten GLG zu-
sammen mit einigen Forderungen ergibt nach
langwieriger Rechnung die Ginzburg-Landau-
Kohärenzlänge
ξGL
, welche eine charakteristische
Länge eines SL darstellt und angibt, auf welcher
Längenskala sich Ψändern kann. Im Halbraum
NL/SL bedeutet dies konkret [Sch14]
Ψ(x)=Ψ0tanh x
√2ξGL
(vgl. Abb. 2.11). (26)
00 2 4
1
NL SL
~ 0.6
Abbildung 2.11
Die Bedeutung der Ginzburg-Landau-
Kohärenzlänge an der Grenzfläche von Normalleiter (NL)
und Supraleiter (SL).
Aus
ξGL
und
λL
lässt sich den Ginzburg-
Landau-Parameter
κ:
=
λL/ξGL
definieren. An-
hand der Größe des Parameters
κ
lässt sich auf
den Typ des Supraleiters schließen. So ist die-
ser Wert bei einem Supraleiter 1. Art kleiner
1
/√2≈
0
.
707 während er für einen Supraleiter
2. Art größer als dieser Wert ist.
Insbesondere nimmt er zu, wenn sich die mittle-
re freie Weglänge
l
vergrößert. Dieser Umstand
lässt sich ausnutzen, um einen Supraleiter 1. Art
mittels Dotierung in einen Supraleiter 2. Art zu
verwandeln [Sch14].
Eine ausführlichere Beschreibung der Ginzburg-
Landau-Theorie findet sich ebenfalls in [
Buc04
]
oder [Tin04].
2.3.3 BCS-Modell
Die Supraleitung wurde im Zuge der Entwick-
lung der Quantenmechanik als kohärente Elek-
tronenwelle erkannt und gilt seither als einer der
wenigen makroskopischen Quantenphänomenen.
Der Schlüssel zu einer befriedigenden atomis-
tischen Theorie lag in der Beschreibung ei-
ner Phononen-Elektronen-Wechselwirkung. Die
Grundidee hierzu war, dass ein sich durch den
Leiter bewegendes Elektron mit den Gitteratome
wechselwirkt und dadurch eine für das nachfolgen-
de Elektron günstige Polarisation erschafft. Die-
ser Ansatz wurde 1957 von Bardeen,Cooper
und Schrieffer [
Bar57
] ausgearbeitet und wur-
de als BCS-Theorie bekannt.
10
2.4 Josephson-Kontakt 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN
Ein solcher gebundener Elektronenzustand bil-
det im Normalfall ein Singulett und damit ein
Skalarboson – das Cooper-Paar (CP). Durch
die Bildung eines solchen Paares wird Energie
frei – die Kondensationsenergie. Diese lässt sich
aus den beiden Grundzustandsenergien von nor-
malleitenden
hWNi
und supraleitenden
hWBCSi
Elektronen berechnen und beträgt nach BCS
hWBCSi−hWNi=−1
2ΩN(EF)∆2.(27)
Hierbei ist
N
(
EF
)die Zustandsdichte im nor-
malleitenden Zustand an der Fermi-Kante, Ω
das Volumen des SL und ∆die Energielücke,
welche genau die Hälfte der Energie repräsen-
tiert, welche benötigt wird, um ein einzelnes
CP aufzubrechen. Die Berechnungen hierzu ge-
hen von einer allgemeinen Gesamtwellenfunktion
über einen Zwei-Teilchen-Hilbert-Raum, einem
Paar-Hamilton-Operator und diversen Nähe-
rungen aus. Eine gute Beschreibung der Herlei-
tungen lässt sich bspw. in [Buc04] finden.
Betrachtet man Temperaturen
T >
0brechen
einige CP auf in Quasiteilchen (QT), welche sich
wie Fermionen verhalten und daher der Fermi-
Verteilungsfunktion folgen. Da die Zahl der CP
verringert wird, nimmt auch die supraleitende
Energielücke ∆ab und geht für
T→Tc
qua-
dratisch gegen Null. In dem Fall
T
=
Tc
für
ein Volumen von
V
liefert die BCS-Theorie den
Zusammenhang
kBTc= 1.13·~ωDexp−1
N(EF)V,(28)
welcher unmittelbar aus der Definition der
Debye-Frequenz
ωD
den Isotopeneffekt erklärt.
Denn
ωD
verhält sich reziprok zur Wurzel der
Atommassen des Metallgitters, d.h.
Tc∝M−1
/2
.
Da der Exponent allerdings nicht immer
1
/2
be-
trägt, wurde von McMillan [
Mil68
] eine ver-
besserte Formel vorgeschlagen, welche auf die
theoretische Arbeiten von Eliashberg [
Eli60
],
[Eli61] zurückgreift.
Der Parameter
V
in Gleichung
(28)
beschreibt
schließlich die Cooper-Paar-Wechselwirkung.
Im Fall
T
= 0 lässt sich aus der BCS-Theorie
den Ausdruck
2∆0= 3.52·kBTc(29)
gewinnen somit einen direkten Zusammenhang
zwischen Sprungtemperatur und Energielücke
herstellen. Der Vorfaktor 3.52 variert je nach
Supraleiter, da diese eine unterschiedlich große
Kopplung vorweisen können. Im Allgemeinen
gilt die BCS-Theorie nur für supraleitende Ma-
terialien, welche eine schwache Cooper-Paar-
Wechselwirkung vorweisen.
Das bedeutet, dass
V·N
(
EF
)
1gelten muss,
damit die in der BCS-Theorie angewendeten Nä-
herung für eine schwache Kopplung ihre Legitima-
tion besitzt. Diese Bedingung ist beispielsweise
für Hochtemperatursupraleiter nicht gegeben.
2.4 Josephson-Kontakt
Ein Josephson-Kontakt beschreibt einen
Tunnel-Kontakt zwischen zwei Supraleiter, des-
sen Zwischenschicht dünner ist als die Kohä-
renzlänge der Cooper-Paare. Sie bilden die
Grundlage für ein breites Forschungsfeld und
vielen Anwendungen. So werden sie für extrem
sensible Magnetometer verwendet und haben
auch in der Medizin als Magnetoenzephalogra-
phen Fuß gefasst.
In diesem Abschnitt wird auf die grundlegenden
Eigenschaften eingegangen. Als weiterführende
Literatur sind [
Lik86
], [
Bar82
] oder auch ein
exzellenter Review von Likharev [
Lik79
] zu
empfehlen.
2.4.1 Supraleitende Tunnelprozesse
Eine unmittelbare Konsequenz der BCS-Theorie
ist das Tunneln von Quasiteilchen durch Bar-
rieren zwischen zwei Supraleitern. Die Barriere
besteht aus einem nicht- oder normalleitendem
Material, sodass die CP aufgebrochen werden.
Wenn die Barriere genügend klein ist, wird sich
ein QT-Tunneln einstellen, welches sich in der
IV-Kurve erkennen lässt. Die IV-Charakteristika
von NL/NL, NL/SL und SL/SL-Grenzflächen
sind in Abbildung 2.12 zu sehen.
Ist die Barriere kleiner als die Kohärenzlänge von
den Cooper-Paaren, werden diese zwar auch
aufgebrochen, jedoch kommen die entstandenen
Quasiteilchen mit dem selben Wellenvektor auf
der anderen Seite an und bilden sofort wieder
ein CP. Bei einem solchen kohärenten Tunneln
kann man vereinfacht auch von einem Cooper-
Paar-Tunneln sprechen, obwohl dies nach der
mikropskopischen Theorie nicht ganz korrekt ist.
Wie man sich den Transport eines CP durch eine
normalleitende Schicht vorstellen kann, wird in
Abschnitt 2.4.7 vorgestellt. Die IV-Charakteristik
zeigt bei diesem Tunnelprozess – wie bei einem
11
2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 2.4 Josephson-Kontakt
Supraleiter ohne Barriere – wieder einen Supra-
strom.
T>0
T=0
EF
EF1
NL/NL NL/SL SL/SL
EF2
T>0
T=0
I=GV
Abbildung 2.12
Zustandsdichten und IV-
Charakteristika von durch eine Barierre getrennte
Grenzflächen in verschiedenen Kombinationen von
Supraleiter (SL) und Normalleiter (NL).
Nimmt man eine Messkurve über einen solchen
Kontakt auf, in dem man den Strom erhöht und
dann wieder erniedrigt, lässt sich im Optimalfall
eine Hystere beobachten, in welcher alle rele-
vanten Arten von Tunnelprozessen vorkommen.
Diese Tunnelprozesse sind in der Abbildung 2.13
gezeigt und beschreiben im Wesentlichen das Ver-
halten eines Josephson Kontakt (JJ).
CP CP
CP CP
QP QP
QP QP
CP QP
CP QP
weak link
weak link
weak link
Abbildung 2.13
Oben sind die Zustandsdichten darge-
stellt bei verschiedenen angelegten Spannungen. Ausgefüll-
te Punkte representieren Quasipartikel während unausge-
füllte Punkte kohärent gekoppelte Elektronen als Cooper-
Paare darstellen. Unten sieht man die Strom-Spannungs-
Charakteristik einer solchen dünnen Supraleiter-Barriere.
Die IV-Charakteristik eines solchen Kontakts
wird zwar durch die supraleitenden Energielücke
des Elektrodenmaterials und möglichen Neben-
effekte beeinflußt, doch hauptsächlich hängt sie
vom Produkt des kritischen Stromes und des
normalleitenden Widerstand IcRneines solchen
Kontakts ab.
2.4.2 Josephson-Effekt
Betrachtet man die Wellenfunktionen
Ψ1,2(x) = qnCP
1,2(x)eiθ1,2(x)(30)
des einlaufenden und auslaufenden Cooper-
Paars auf beiden Seiten einer Grenzfläche, wer-
den diese innerhalb der Barierre nicht abrupt
absterben, sondern aufrund des supraleitenden
Proximity-Effekts exponentiell abfallen. Auch
umgekehrt wird eine kleine Schicht des Supra-
leiters normalleitend. Die CP-Dichte an einer
solchen Grenzfläche ist in Abbildung 2.14 veran-
schaulicht.
weak link
Abbildung 2.14
Links sind die Zustandsdichten in den
beiden supraleiter-Elektroden abgebildet. Das Bild rechts
zeigt qualitativ den Verlauf der Cooper-Paar-Dichte
durch die Barriere.
Setzt man diese in die zeitabhängige, gekoppelte
Schrödinger-Gleichung
i~∂Ψ1,2
∂t=E1,2Ψ1,2+KΨ2,1(31)
ein und separiert diese nach
∂θ1,2
∂t
und
∂n1,2
∂t
, er-
geben sich die zwei Gleichungen
∂n1,2
∂t=±2
~K√n1n2sinϕ(32)
∂θ1,2
∂t=−K
~rn1
n2
cosϕ±eV
~.(33)
Hierbei wurde berücksichtigt, dass sich die ge-
samte CP-Dichte
nges
=
n1
+
n2
nicht ändert.
Wenn dies der Fall wäre, würde sich das Sys-
tem nicht mehr im Gleichgewicht befinden. Der
Parameter
V
=
Φ0
h
(
E1−E2
)beschreibt die an-
gelegte Spannung am Kontakt. Die Konstante
Φ
0
=
h
2e≈
2
.
07
·
10
−15
Wb [
Lik86
, S. 5] ist das
bereits in der Einleitung des Abschnittes 2.3 er-
wähnten Flussquant und die Variable
ϕ
=
θ2−θ1
12
2.4 Josephson-Kontakt 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN
bildet die Phasendifferenz zwischen ein- und aus-
laufender Wellenfunktion.
Identifiziert man die Änderung der Cooper-
Paar-Dichte
˙n
als Suprastromdichte
js
und der
Vorfaktor der Sinusfunktion in Gleichung
(32)
als kritische Stromdichte
jc
, erhält man die erste
Josephson-Gleichung
js=jcsinϕ. (34)
Bildet man zudem die zeitliche Ableitung der
Phasendifferenz aus Gleichung
(33)
, erhält man
noch die zweite Josephson-Gleichung
˙ϕ=2e
~V=2π
Φ0V . (35)
Herleitungen zu diesen zwei fundamentalen Glei-
chungen können in [
Tin04
], [
Buc04
], [
Lik86
] und
natürlich in der Originalpublikation [
Jos64
] nach-
geschlagen werden. Diese zwei Gleichungen sind
angesichts der klassischen Elektrodynamik doch
ziemlich ungewöhnlich. Daher sind auch ihre Kon-
sequenzen um so spannender. Im Folgenden sind
die grundlegensten Eigenschaften, die daraus fol-
gen, aufgelistet.
1. Suprastrom
Aus der Gleichung
(34)
lässt sich eine kon-
stante Phase – die Josephson-Phase – de-
finieren. Durch einfaches Umstellen erhält
man
ϕ= arcsinjs
jc+ 2πn mit n∈N.(36)
Setzt man diese Relation in
(35)
ein, erhält
man
V
= 0. Konkret bedeutet dies, dass
bei einem Strom
Is< Ic
am Kontakt keine
Spannung abfällt.
2. Energiespeicher
In einem solchen Kontakt wird keine Ener-
gie dissipiert, da über ihm auch keine Span-
nung abfällt. Dennoch wird – wie in ei-
nem Kondensator – Energie gespeichert.
Der Beitrag zur sogenannten Josephson-
Energie
EJ(ϕ) = Φ0
2πAZϕ
0
jcsinφdφ
=Φ0
2πIc(1 −cosϕ)(37)
leistet die Phasenverschiebung
ϕ
und wur-
de als erstes von Anderson [
And63
] be-
schrieben.
A
beschreibt die Fläche des Kon-
takts.
3. Josephson-Oszillation
Integriert man Gleichung
(35)
über die Zeit
und setzt diese in die Gleichung
(34)
ein,
erhält man die sinusoidale Oszillation des
Stromes
Is=Icsin2π
Φ0
V t +ϕ0.(38)
Dies bedeutet, dass bei einer konstant an-
gelegten Spannung
V
ein Wechselstrom
Is
mit der sogenannten Josephson-Frequenz
ωJ= 2π/Φ0·V(39)
durch den Kontakt ensteht. Bei Erhöhung
der Spannung steigt also die Frequenz line-
ar mit dem Faktor 1
/
Φ
0≈
483
.
6MHz/
µ
V.
Damit wird die zeitliche Mittelung der Pha-
senentwicklung messbar über die abfallende
Spannung hVi=h∂ϕ/∂ti·Φ0/(2π).
Der erste Nachweis für den unter Punkt 3
beschriebenen AC-Josephson-Effekt kam von
Giaever [
Gia65
] und wurde mit einem großarti-
gen Versuchskonzept indirekt über die Messung
von Shapiro-Stufen (siehe Abschnitt 2.4.3) der
IV-Charakteristik zustande gebracht. Für eine
direkte Messung der Abstrahlungsleistung eines
Kontakts bei angelegter Spannung ist im pW-
Bereich [
Sch14
] und wäre für eine Detektion viel
zu gering.
2.4.3 Shapiro Stufen
Aufgrund des AC-Josephson-Effekts kommt es
bei einem induzierten oder aufgeprägten Wech-
selstrom mit der Frequenz
ωrf
über dem Kontakt
zu einer Phasenkopplung mit dem Josephson-
Wechselstromes sobald die Frequenz ein ganzzah-
liges Vielfaches der Josephson-Frequenz beträgt,
das heißt wenn ωJ=nωrf gilt.
Daraus folgt mit der Gleichung
(39)
einen Bei-
trag zur Spannung bei
V=Φ0
2πωrf |n|=~ωrf
2e|n|.(40)
Das heißt, dass in der IV-Charakteristik Stufen
sichtbar sind, welche in Spannungsrichtung eine
konstante Breite von
Vstep
=
~ωrf /
(2
e
)aufweisen.
Die Höhe der Spannungsstufen hängt also line-
ar von der Frequenz
νrf
ab mit dem Flussquant
Φ0≈2.07 µV/GHz als Proportionalitätsfaktor.
Die Stufen wurden nach ihrem experimentellen
Entdecker Shapiro-Stufen [
Sha63
] benannt, ob-
wohl diese Eigenschaft von Josephson schon ein
Jahr zuvor vorausgesagt wurde [Jos62].
13
2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 2.4 Josephson-Kontakt
Für die Stufen in Stromrichtung betrachtet man
eine ideale Bias-Spannung
V
=
V0
+
V1cosωrft
.
Setzt man die zweite Josephson-Gleichung
(35)
für
V
ein, verwendet die Definition der
Josephson-Frequenz in
(39)
für
V0
und inte-
griert nach der Zeit ergibt dies ein Ausdruck für
die Phasenverschiebung
ϕ(t) = ϕ0+ωJt+2eV1
~ωrf
sinωrf .(41)
Setzt man dieses Resultat schließlich in die erste
Josepshon-Gleichung
(34)
und entwickelt den
Ausdruck nach Bessel-Funktionen
Jn
, erhält
man
Is=IcX
n
(−1)nJn2eV1
~ωrf (42)
·sin(ϕ0+ [ωJ−nωrf ]t).
Anders ausgedrückt liegt die Hälfte der Stufenhö-
hen jeweils bei
In
=
IcJn
(2
eV1/~ωrf
)[
Tin04
, S.
212]. Die Höhe der Stufen für kleine Werte von
V1ωrf
der Funktion folgt mit der n’ten Potenz
und beginnt zu oszillieren für große Werte wie in
Abbildung 2.15 gezeigt.
0 2 4 6 8 10 12 14
-0.5
0
0.5
1
Abbildung 2.15
Bessel-Funktionen
Jn
bis zur vierten
Ordung.
2.4.4 RCSJ-Modell
Über einem realen Josepshon-Kontakt entsteht
stets ein zusätzlicher Verschiebungsstrom auf-
grund von intrinsisch auftretender Kapazität
C
und Widerstand
R
, daher braucht es eine Erwei-
terung der zwei Josephson-Gleichungen. Das
RCSJ-Modell (Resistively and Capacitively Shun-
ted Junction) liefert diese Erweiterung. Ein ver-
einfachtes Ersatz-Schaltbild ist in Abbildung 2.16
gezeigt.
Abbildung 2.16
Ersatzschaltbild eines realen Josephson-
Kontakts.
Der Verschiebungsstrom beträgt
V/R
+
C·
dV
/
dt
und erweitert die erste Josephson-Gleichung
(34) zu
Is=Icsinϕ+V
R+CdV
dt .(43)
Beachte, dass sich der Koeffizient
Ic
bei einem
realen JJ bei
T >
0K ein wenig absenkt [
Tin04
,
S.205ff] und daher nicht exakt mit dem idealen
kritischen Strom übereinstimmt. Der Einfachheit
zuliebe wird aber hier keine neue Variable einge-
führt.
Wenn man nun die zweite Josephson-Gleichung
(35)
verwendet, um
V
zu eliminieren, erhält man
mit
I
Ic
=d2ϕ
dτ2+1
Q·dϕ
dτ+ sin ϕ(44)
eine nicht-lineare Differentialgleichung zweiter
Ordnung. Hierbei wurde die dimensionslose Zeit
τ=ωpteingeführt. Die Variable
ωp=p2eIc/(~C)(45)
wird als Josephson-Plasmafrequenz bezeichnet
und der Faktor
Q
=
ωpRC
definiert eine Art
Qualitätsfaktor für Josephson-Kontakte. Er
beträgt gerade die Wurzel aus dem Stewart-
McCumber-Parameter
βc=2πIcR2C
Φ0
,(46)
welcher nach den Entwicklern des Modells Mc
Cumber [
Cum68
] und Stewart [
Ste68
] benannt
wurde.
Eine Lösung für diese Gleichung bildet den als
“Waschbrettpotential” bezeichnete gekippte Kosi-
nusfunktion
U(I, ϕ) = −EJ(ϕ)−~I
2eϕ
=−~Ic
2ecosϕ+I
Ic
ϕ−1.(47)
Dies bedeutet, dass ein angelegter Strom das Po-
tential kippt. Solange
I/Ic<
1gilt, sind stabile
14
2.4 Josephson-Kontakt 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN
Zustände in den lokalen Minimas möglich. Siehe
hierzu auch Abbildung 2.17.
0
2
Abbildung 2.17
Das “Waschbrettpotential” nach Glei-
chung
(47)
für drei verschiedene Stromstärken. Die Varia-
ble
˜
EJ
=
~Ic/
2
e
bildet die Josephson-Kopplungsenergie.
Es werden zwei Grenzfälle unterschieden: Der un-
terdämpfte Fall bei
Q
1und der überdämpfte
Fall bei
Q
1. Jeder Fall repräsentiert eine
ganz charakteristische Strom-Spannungskurve.
Im unterdämpften Fall lässt sich ein Kurvenver-
lauf ähnlich wie im idealen Fall in Abbildung
2.13 beobachten, d.h. der Kontakt zeigt hystere-
tisches Verhalten. Im überdämpften Fall ist die
Hysterese nicht zu verzeichnen und die Spannung
gleicht sich für Werte
I > Ic
stetig an den linea-
ren normaleitenden Zweig. Dieser Sachverhalt ist
in Abbildung 2.18 gezeigt.
überdämpft: unterdämpft:
Abbildung 2.18
Links: IV-Charakteristik eines über-
dämpften Josephson-Kontakts. Bei
T >
0K lässt sich
ein Phasenschlüpfen beobachten. Rechts ist die IV-Kurve
eines unterdämpften Kontakts zu sehen. Hier sieht man
für
T >
0K thermische Fluktuationen von
Ic
. Im RCSJ-
Modell definieren sich die beiden Fällen über den Quali-
tätsfaktor Q=ωJRC.
Bei Temperaturen
T >
0K kommt es zu ther-
mische Störungen. Die Phasenverschiebung, wel-
che jeweils in einem lokalen Minimum gemäß
dem Waschbrettpotential verharrt, kann durch
thermische Anregungen über das nächste Ma-
ximum gehoben werden und damit einen ande-
ren Wert einnehmen. Dieser Vorgang wird als
Phasenschlüpfen bezeichnet und lässt sich in der
IV-Charakteristik im überdämpften Fall durch
einen abgerundeten Übergang zum Suprastrom
erkennen, siehe hierzu Abbildung 2.18.
Beim unterdämpften Fall macht sich dieser Effekt
durch die Fluktuation der kritischen Stromdichte
bemerkbar. Die Konsequenz ist eine statistische
Verteilung der Sprünge zum Suprastrom-Ast, wel-
che näher an
Ic
größere Abweichungen vorweist.
Eine genauere Behandlung von diesem als
Plasma-Fluktuation bekannte Phänomen lässt
sich in [Lik86, Kap. 5.3] finden.
Dass ein Teilchen dem Null-Spannungszustand
entkommt, kann nicht nur durch thermische An-
regung erreicht werden. Es lässt sich auch aktiv
durch Mikrowellen gezielt anregen. Dies eröffnet
eine neue Spektroskopie-Methode, welche bereits
1987 von Martinis et al. [
Mar87
] angewendet
wurde. Der zugrundeliegende Effekt wird als ma-
kroskopisches Quantentunneln bezeichnet und ist
schon von seit 1969 bekannt [Iva69].
Weiterführend können mit dieser Spektrosko-
piemethode “gebundene Phasenzustände” unter-
sucht werden, welche wichtig sind für supralei-
tende Qubit-Implementierungen [Wal03].
2.4.5 Josephson-Kontakt im Magnetfeld
Eine der markantesten Besonderheiten von
Josephson-Kontakten sind Interferenzerschei-
nungen des Suprastromes, wenn ein äußeres Ma-
gnetfeld angelegt wird. Diese Eigenschaft ist eine
direkte Konsequenz des Wellencharakters und
der Phasenkohärenz der CP. Zudem ist sie ver-
antwortlich für die extreme Sensitivität auf Ma-
gnetfelder von Quanteninterferenzbauteile.
Abbildung 2.19
Schematische Zeichnung eines
Josephson-Kontakts mit der Kontaktfläche
w·L
im Ma-
gnetfeld
µ0H
und einer Barriere der Schichtdicke
d
. Die
Variable
λJ
kennzeichnet die Josephson-Eindringtiefe
und representiert die Einschnürung des Vektorpotentials
(gestrichelte Linie).
Betrachte einen Kontakt wie in Abbildung 2.19
mit den Seitenlängen
w
und
L
, welcher in einem
Magnetfeld entlang der xy-Ebene liegt.
15
2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 2.4 Josephson-Kontakt
Die Phasenverschiebung
ϕ
=
θ2−θ1
erhält durch
das magnetische Vektorpotential
A
einen zusätz-
lichen Term. Es gilt dann
ϕB=ϕ−2π
Φ0ZAdl=ϕ+2π
Φ0
Φ.(48)
Die Variable Φstellt den magnetischen Fluss dar,
welcher durch das äußere Magnetfeld erzeugt
wird. Setzt man die neue Phasenverschiebung in
die erste Josephson-Gleichung, erhält man für
die Stromdichte
js
=
jcsin
(
ϕ
+ 2
π
Φ
/
Φ
0
). Diese
Definition gilt nun aber nur lokal, da Φ = Φ(
x
)
vom Ort des Stromflusses abhängt. Eine Kon-
sequenz daraus ist eine sinusoidale Stromdich-
teverteilung entlang der x-Achse so wie sie für
verschiedene Φin Abbildung 2.20 gezeigt ist.
Abbildung 2.20
Die resultierende Stromdichte
js
ent-
lang eines Josephson-Kontakts für verschiedene Werte
des magnetischen Flusses Φ.
Der resultierende Gesamtstrom lässt sich schließ-
lich durch das Integral über der Fläche berechnen
[Sch14, S. 110] und beträgt
Is=Ic
sinϕ·sincπΦ
Φ0
.(49)
Die Relation des Stromes zum magneti-
schen Fluss beträgt demnach ein typisches
Fraunhofer-Muster, wie man es von Beugungs-
experimente am Doppelspalt kennt. Bei diesem
Beugungsphänomen verläuft die Sinc-Funktion
nicht wie beim Fraunhofer-Muster quadra-
tisch sondern betraglich. Dies bedeutet, dass die
Amplituden der Maximas nicht im quadrat son-
dern einfach reziprok abfallen. Siehe hierzu Ab-
bildung 2.21.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0
0.5
1quadratisch
betraglich
Abbildung 2.21
Die Abhängigkeit des Suprastroms vom
magnetischen Fluss gemäß Gleichung
(49)
. Der Verlauf
ist analog zur Intensität eines Beugungsexperimentes mit
dem Unterschied, dass die Amplituden aufrund des Be-
trags reziprok abfallen.
Bisher wurde angenommen, dass der Kontakt ei-
ne feste Phasenverschiebung
ϕ
vorweist. Jedoch
kann die Phasenverschiebung durch den Kon-
takt lokale Unterschiede aufweisen. Dies bedeutet
dann, dass die Berechnung des Gesamtstromes
durch ein Flächenintegral nicht mehr legitim ist.
Dieser Fall tritt ein, wenn die Abmessungen
w
oder
L
eines Josephson-Kontakts deutlich grö-
ßer wird als die Josephson-Eindringtiefe (siehe
Abb. 2.19)
λJ=sΦ0
2πµ0d0jc
(50)
mit
d0
=
d
+
λL
(
coth t1
λL
+
coth t2
λL
)[
Wei69
]. Für
t1, t2λL
gilt in guter Näherung
d0≈d
+ 2
λL
.
Die Größe
λL
ist die London’sche Eindringtiefe,
jc
die kritische Stromdichte,
µ0
die magnetische
Feldkonstante und Φ0das Flussquant.
Behandelt wird ein solcher “long Josephson-
Junction” wie viele parallel geschaltete reale, kur-
ze Kontakte [
Lik86
, S.232]. Dies führt dann zum
Sine-Gordon-Modell.
Solche Kontakte bieten weitere erstaunliche Ei-
genschaften, wie beispielsweise Fiske-Stufen in
der IV-Charakteristik [
Fis64
]. Weiterführende In-
formationen lassen sich in [Bar82] nachlesen.
2.4.6 Proximity-Effekt im ferromagnetischen
Josephson-Kontakt
Betrachtet man eine normalleitende und nicht
ferromagnetische Barriere, wird der Ordnungspa-
rameter
Ψ(z) = Ψ(0)exp(−z/ξ),(51)
wie in der Abbildung 2.14 gezeigt, exponentiell
gedämpft. Die Kohärenzlänge
ξ
ist ein Maß für
16
2.4 Josephson-Kontakt 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN
die Stärke der Kopplung von QT und korreliert
daher direkt mit dem exponentiellen Abfall. Da
ein Normalleiter an einer dünnen Schicht an der
Grenzfläche supraleitend wird, spricht man auch
vom supraleitenden Proximity-Effekt.
Gerät ein CP aber in eine ferromagnetische Um-
gebung, spürt es ein Austauschfeld
Hex
. Dies
führt dazu, dass das Potential des
↑
-Elektron um
δE
erhöht und dasjenige des
↓
-Elektrons entspre-
chend um
δE
erniedrigt wird. Damit verschieben
sich aber auch die Impulse um
δk
. Der resultie-
rende Impuls wird dann zu
k1
+
k2
= 2
δk 6
= 0.
In Abbildung 2.22 ist dieser Sachverhalt schema-
tisch gezeigt.
Die Konsequenz daraus ist eine Raummodulati-
on der Paarwellenfunktion nach dem Wellenvek-
tor 2
δk
. Dies bildet den grundlegenden Unter-
schied von SF- zu SN-Strukturen und zugleich
die Existenzgrundlage von FFLO-Zuständen
[Ful64]/[Lar65].
SP
Abbildung 2.22
Aufgrund eines Austauschfeldes
Eex
spalten sich die Energiezustände der beiden Singulett-
CP-Elektronen auf. Dies hat eine Schwerpunktsimpuls-
verschiebung um 2∆pzur Folge.
Der Proximity-Effekt zeigt in diesem Fall nicht
mehr nur ein exponentieller Abfall wie in Glei-
chung
(51)
, sondern oszilliert im diffusen Regime
(dirty limit, `ξF1) mit
Ψ(z)=Ψ0∆exp−x
ξFcosx
ξF(52)
und im ballistischen Regime (clean limit,
`
ξF1) mit
Ψ(z)=Ψ0
1
xexp−x
ξF1 sinx
ξF2 .(53)
Die Herleitungen lassen sich über die
Bogoliubov-deGennes-Gleichungen oder die
quasiklassische Eilenberger-Gleichung bewerk-
stelligen und lassen sich beispielsweise in [
Buz05
,
S. 940ff] nachvollziehen. Die Variable Ψ
0
repre-
sentiert den Realteil der Paarwellenfunktion im
SL,
`
die mittlere freie Weglänge eines Elektrons
und ∆die supraleitende Bandlücke nach BCS.
Die Größen
ξF1
,
ξF
sind die Kohärenzlängen der
Einhüllenden während
ξF2
die Kohärenzlänge
der Oszillation bezeichnet. Der Verlauf an einer
Grenzfläche ist in Abbildung 2.23 gezeigt.
SL FM
Abbildung 2.23
Der supraleitende Proximityeffekt an-
hand einer Grenzfläche Supraleiter/Ferromagnet. Die hel-
le Kurve zeigt die Paarwellenfunktion im diffusen Regime
während die dunkle Kurve diejenige im ballistischen Re-
gime zeigt.
2.4.7 Andreev-Reflektionen
Im Abschnitt 2.4.1 wurde bereits angedeutet,
dass der Begriff CP-Tunneln für einen JJ nach
mikroskopischer Theorie nicht wirklich eine ad-
äquate Beschreibung darstellt. Wie man sich den
Transport von Cooper-Paare durch eine nor-
malleitende Schicht vorstellen kann, hat sich im
laufe der Zeit aus einer Grundidee von Andreev
herauskristallisiert.
Dieser hatte das Unterbleiben von Energietrans-
port durch eine SN-Grenzfläche quantitativ un-
tersucht [
And64-2
]. Darin behalf er sich einer
Retroreflektion eines Elektrons an der Grenzflä-
che, so ähnlich wie man dies in der Optik als
Phasen-Konjugation kennt [Bee99].
Der Unterschied dieser Retroreflektion zu einer
„normalen“ Reflektion besteht darin, dass nicht
ladungserhaltend und impulsändernd reflektiert
wird, sondern der Impuls ändert nur das Vorzei-
chen und die Ladung verliert den Wert 2
e
. Das
heißt, beim Reflektionsvorgang wird ein Loch
erzeugt, welches genau den entgegengesetzten
Impuls besitzt, wie das auslösende Elektron (sie-
he Abbildung 2.24). Den Ladungsunterschied 2
e
nimmt ein erzeugtes CP im Supraleiter auf.
17
2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 2.4 Josephson-Kontakt
IN N SL
Abbildung 2.24
Die Grundidee einer Andreev-
Reflektion bildet eine Retroreflektion mit Ladungsverlust.
Den Ladungsunterschied wird gebraucht für die Erzeu-
gung eines Cooper-Paares.
In einem SNS-Kontakt bedeutet dies nun, dass
sich die Energie des Elektrons des ankommenden
CP von der Fermikante um
anhebt während
das andere Elektron um denselben Betrag abge-
senkt wird und im Normalleiter einen Lochzu-
stand besetzt. Das eine Elektron driftet durch
die Barierre und wird an der Grenzfläche zur
anderen supraleitenden Elektrode wieder mit ei-
nem Elektron mit der Energie
EF−
zu einem
Cooper-Paar kondensieren. Hierbei wird wieder-
um ein Loch erzeugt, welches dann als Platzhalter
für ein Elektron eines nachfolgendes CP dient.
Dieser Vorgang ist in Abbildung 2.25 gezeigt.
SLSL
Abbildung 2.25
Die Andreev-Reflektion als Beschrei-
bung für den CP-Transport in einem SNS-Kontakt. Die
resultierende Phasenverschiebung ergibt sich aus den Wel-
lenfunktionen der entgegenlaufenden Teilchen in der Bar-
riere.
Die Andreev-Reflektion bildet also eine perfek-
te Retroreflektion, wenn sich ein Elektron auf
der Fermi-Kante befindet. Bei Energien über-
halb und unterhalb
EF
erzeugen die Wellenvek-
toren des Elektrons
kF
+
δk/
2und des Loches
−kF
+
δk/
2eine Phasenverschiebung [
Pan99
]
∆φ= 2δkd =2d
~vF
=ϕ+ 2 arccos(/∆) + 2πn. (54)
Hierbei stellt
d
die Dicke der Zwischenschicht, ∆
die Energielücke,
ϕ
die makroskopische Phasen-
verschiebung und
vF
die Fermi-Geschwindigkeit
dar. Ist die Verschiebungsenergie
= 0 oder
∆lässt sich den Arcuscosinus auf
π/
2nä-
hern. Diese zusätzliche Phasenverschiebung von
insgesamt
π
ist der Ursprung für das Widerstand-
sparadoxon: einen endlichen Widerstand von SN-
Kontakten bei T= 0 [Bee99].
Fällt die Phasenverschiebung in
(54)
mit derje-
nigen der zwei supraleitenden Wellenfunktionen
auf den beiden Seiten der Barriere zusammen,
entsteht ein gebundener Andreev-Zustand. Füh-
rend in der Untersuchung von solchen Andreev-
Zuständen ist die Quantronic-Gruppe in Saclay
(Frankreich).
Mit dem Bild der Andreev-Reflektionen kann
nicht nur der Transport von CP durch einen Nor-
malleiter erklärt werden, sondern es liefert auch
die Erklärung für eine subharmonische Struk-
tur der supraleitenden Energielücke. Diese als
“multiple Andreev reflections” (MAR) bekann-
te Substruktur in der IV-charakteristik ist in
Abbildung 2.26 gezeigt.
00.5 11.5 22.5 3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
Abbildung 2.26
Multible Andreev-Reflektionen im dif-
fusen SNS-Kontakt. Immer wenn die angelegte Span-
nung den Wert
Vn
= 2∆
/ne
erreicht, wird ein zusätz-
licher Transporteffekt in der IV-Charakteristik sichtbar.
Man spricht auch von einer Substruktur der Energielücke.
[Cue05, S. 3]
Bei angelegter Spannung verschieben sich die
Fermi-Level der beiden Seiten zueinander. Im-
mer wenn die Energie
eVn=2∆
n(55)
18
2.4 Josephson-Kontakt 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN
beträgt, wird ein ein weiterer Transportkanal
geöffnet [
Tin04
, S. 427]. Dieser Übergang lässt
sich als Besonderheit in der IV-Charakteristik
beobachten. Eine gute Erklärung des Phänomens
lässt sich auch in [Cue03] finden.
Bisher wurden nur Reflektionen in einer normal-
leitenden Schicht betrachtet. Besteht die Zwi-
schenschicht aus ferromagnetischem Material,
wird das erläuterte Bild der Andreev-Reflektion
empfindlich gestört, da das eintretende Elektron
und das reflektierte Loch jeweils ein der Polari-
sation entgegengesetzten Spin vorweisen.
Dieser Umstand führt dazu, dass Andreev-
Reflektionen in SFS-Kontakten unterdrückt wer-
den. Die Stärke dieser Unterdrückung hängt von
der Polarisation der ferromagnetischen Schicht
ab und kann daher genutzt werden, um den Grad
der Spinpolarisation zu messen [Sou98].
19
3 TECHNISCHER ABSCHNITT
3 Technischer Abschnitt
Zur Messung der Transporteigenschaften wird
ein Kelvinox-Mischungskryostat MX400 der Fir-
ma Oxford Instruments verwendet und der Kryo-
stateinsatz umgebaut. Zuvor wurde dieser für
die Messung von mechanischen Bruchkontakten
verwendet. Neu zu implementieren waren
1. Hochfrequenzverkabelung
Wichtig war hier eine geringe Dämpfung
bis in hohe Frequenzen und eine gute Schir-
mung. Die zweite Eigenschaft erfüllt sich
gut mit gewöhnlichen Koaxialkabel. Die
Erstere zeigte sich schwierig, da ein Kom-
promiss gesucht werden musste zwischen
Dicke, thermische Ankopplung, Verfügbar-
keit und Preis. Hierbei wurde auf Koaxial-
kabel UT-020SS-SS der US-amerikanischen
Firma Micro Coax zurückgegriffen.
2. Filterstufen
Die thermische Anregung von Elektronen
in den DC-Leitungen gilt es nicht nur wegen
dem Wärmeeintrag sondern auch wegen
dem Signal-Rausch-Verhältnisses zu filtern.
Es wurden drei unterschiedliche Tiefpass-
Filter verbaut. Neben den bereits verbau-
ten Kupferpulverfilter kamen neu Eccosorb-
Filter und RC-Filter hinzu.
3. Messplattform
Da anstelle von Messingwafer für Bruchkon-
takte nun Siliziumwafer verwendet werden,
musste eine neue Messplattform konzipiert
werden. Hierzu wurde eine Leiterplatte her-
gestellt, auf welchem die DC-Leitungen zu-
sätzlich nochmals kapazitiv an das Masse-
potential und die Bias-Leitungen resistiv
an die Hochfrequenzleitung gekoppelt wur-
den. Damit kein Gleichstrom in den Hoch-
frequenzleitungen entstehen kann, wurden
diese vor der Bias-Einkopplung kapazitiv
getrennt.
Die eigentliche Probe wird dann mit Leit-
silber auf der Leiterplatte fixiert und an
den Kontaktflächen gebondet.
In diesem Abschnitt wird hauptsächlich auf die
Messvorrichtung und auf die Probenherstellung
eingegangen. Zudem wird kurz die Funktions-
weise des Kühlsystems umrissen und ein neues
Tiefpassfilter-Konzept vorgestellt.
3.1 Funktionsweise eines
Verdünnungskryostats
Ein einfacher Badkryostat besteht aus zwei dop-
pelwandigen Gefäße, welche ineinander gesetzt
werden. Der Hohlraum dieser Gefäße wird abge-
pumpt, sodass ein Isoliervakuum entsteht. Das
äußere Gefäß wird mit flüssigem Stickstoff ge-
füllt, während im Innern flüssiges Helium für
Kühlung sorgt. Direkt in das Heliumbad kommt
dann der Einsatz, die sogenannte IVC (Inner Va-
cuum Can). Auf diese Art und Weise erreicht
man für seine Experimente die Temperatur von
4.2 K, welche der Temperatur von flüssigem He-
lium entspricht.
Will man Temperaturen unter 4.2 K erreichen,
kann ein Verdampfungskryostat genommen wer-
den. Durch Abpumpen von Helium in einer Ver-
dampfungskammer, können Temperaturen bis
1.3 K [
Hun00
, S. 373] erreicht werden. Verwendet
man in solchen Systemen anstelle von Helium-4
das Isotop Helium-3, können auch Temperaturen
bis 300 mK möglich sein. Der Grund dafür liegt
an einem niedrigeren Dampfdruck von Helium-3.
Benötigt man noch tiefere Temperaturen, wer-
den meist Entmischungskryostaten oder auch
Verdünnungskryostaten verwendet. Diese nutzen
eine spezielle Mischungseigenschaft der beiden
Helium-Isotope He-3 und He-4 aus. Denn liegt
He-4 in flüssiger Phase vor, kann diese nur mit
maximal 6.4 % [
Hun00
, S. 377] mit He-3 ver-
dünnt werden, da die Bindungsenergie bei dieser
Konzentration für
T→
0verschwindend klein
wird. Dies bedeutet, dass zwei getrennte Phasen
energetisch günstiger sind als eine He-3/He-4 Lö-
sung. Es bildet sich – aufgrund des geringeren
Dichte von Helium-3 – einen He-3 Film auf der
flüssigen Phase. Das kann man sich in etwa so
vorstellen wie Öl auf einer dispersen Flüssigkeit.
Die Kühlleistung wird nun dadurch erreicht, in-
dem man die verdünnte Phase in der Mischungs-
kammer mit einer zweiten Kammer – dem Ver-
dampfer – über einen Wärmetauscher miteinan-
der verbindet. Über dem Verdampfer wird nun
das Helium-3 gepumpt und über einer Rückfüh-
rungsimpedanz in die Mischkammer zurückge-
führt. Helium-4 wird aufgrund des niedrigeren
Dampfdrucks nahezu keines abgepumpt. Eine
schematische Zeichnung ist in Abbildung 3.27 zu
sehen.
20
3.2 Aufbau 3 TECHNISCHER ABSCHNITT
1K pot
Stell-
Ventil
He-4
Pumpe
He-3
Pumpe
Heizung
Verdampfer
Misch-
kammer
Wärme-
tauscher
> 90% 3He
100% 3He
6.4% 3He
Messvolumen
~50 mK
~0.7 K
< 1% 3He
4He
Durchfluss-
impedanz
Kon-
denser
Kühl-
falle
Abbildung 3.27
Schematische Zeichnung eines Mi-
schungskryostaten. Die Kühlleistung für das Messvolumen
wird durch Abpumpen von Helium-3 aus der Mischkam-
mer erreicht. Das Pumpen bewirkt, dass stetig He-3 aus
der konzentrierten Phase in die verdünnte Phase diffun-
diert, um das System ins Gleichgewicht zu bringen. Der
Vorgang kostet Energie, welche aus der Umgebung ent-
nommen wird. Die Werte wurden entnommen von [
Hun00
,
S.379].
Da beim Abpumpen von Helium-3 in der ver-
dünnten Phase ein Konzentrationsgefälle und da-
mit ein osmotischer Druck entsteht, muss ständig
He-3 in die verdünnte Phase hineindiffundieren.
Da dies ein endothermischer Phasenübergang be-
schreibt, wird dabei die Umgebung gekühlt.
Auf diese Weise ist theoretisch eine Tempera-
tur von 0 K erreichbar. Allerdings gibt es stets
eine endliche thermische Last auf das System,
welches dies verhindert. Mit Verdünnungskryo-
staten sind aber doch schon Temperaturen unter
2 mK [
Cou99
] erreicht worden. Weiterführende
Beschreibungen zu Verdünnungskryostaten las-
sen sich beispielsweise in [
Hun00
, S. 377ff] finden.
3.2 Aufbau
Der gesamte Aufbau besteht grundsätzlich aus
drei Teilen. Dem Kryostaten, den Signalgebern
und dem Mess- und Steuerungscomputer. Hierbei
wurden folgende Komponenten verwendet:
1. Levelmeter Oxford ILM2115
für
Stickstoff- und Heliumstand. Ersterer misst
kapazitiv während der Helium-Levelmeter
den Füllstand mit dem Widerstand über
einen supraleitenden Draht bestimmt.
2. Spannungsgenerator Oxford IPS
120-10
für Magnetspule, er erzeugt die
Spannung für die Erzeugung eines Magnet-
feldes. Das Gerät ist gekoppelt mit dem
Helium-Levelmeter, damit die Spannungs-
quelle abgehängt wird, falls der kritische
Füllstand unterschritten wird. Diese Sicher-
heitsvorkehrung verhindert ein ungewolltes
Quenchen des Magneten.
3. Einsatz und Halterung
, welcher in der
IVC liegt und in das Heliumbad abgesenkt
wird. An ihm ist das gesamte Mischsystem,
Thermometer, Verkabelung und Filterstu-
fen befestigt und ist in Abbildung 3.28 ab-
gebildet.
4. Funktionsgenerator Stanford DS360,
welcher das Referenzsignal für die Lock-In-
Verstärker erzeugt. Das Signal wird über
ein Symmetrierer mit der DC-Spannung
der Yokogawa überlagert und wurde bei
117.7 Hz betrieben.
5. Spannungsquelle Yokogawa 7651
, wel-
che die Bias-Spannung erzeugt.
6. Spannungsverstärker Femto DLPVA
,
welche die Ausgangsspannungen verstär-
ken.
7. Vorverstärker Stanford SR560
, wel-
cher die geringe Ausgangsspannung zusätz-
lich zu den Femto’s rauscharm verstärkt.
8. Lock-In Verstärker Stanford SR830
DSP
, welche die differentiellen Werte der
Ausgangsspannungen messen.
9. Transienten-Rekorder MF-Instruments
TransCom-RackX
, er zeichnet alle Kanä-
le auf und speichert diese in einer tpc5-
Datei. Er bildet den Messcomputer.
21
3 TECHNISCHER ABSCHNITT 3.2 Aufbau
10. Widerstandsmessgerät Picowatt
AVS-47B
, welche die Widerstände der
Thermometer ausliest. Die Werte können
dann mit einer Umrechnungstabelle oder ei-
ner Kalibrierfunktion in Temperatur-Werte
umgerechnet werden.
11. Signalgenerator Keysight MXG
für
die Erzeugung von Hochfrequenzsignale.
12. Spektrumanalysator Keysight PXA
zur Aufnahme von Transmissionsspektren.
Abbildung 3.28
Der Einsatz des Kryostaten besteht
neben dem ganzen Mischsystem auch aus der Messver-
kabelung und den drei Filterstufen. Hier ist der Einsatz
von 1K-Flansch, auf welchem der 1K-Topf befestigt ist,
bis zur Probenhalterung gezeigt.
3.2.1 Messvorrichtung
Die Messung der Strom-Spannungscharakteristik
wird so gemessen, dass bei der Yokogawa Span-
nungswerte durchgefahren werden und über die
Messleitung
U
die Spannung über der Probe ab-
gegriffen wird. Der Strom wird über die abge-
griffene Spannung über dem Referenzwiderstand
Rref ≈
6
.
68 kΩbestimmt. Eine schematische Auf-
stellung ist in Abbildung 3.29 gezeigt.
Der Signalgenerator (SigGen) kann Signale zwi-
schen einigen kHz und 40 GHz erzeugen. Am
Spektrumanalyser (SA) kann das transmittie-
rende Signal gemessen werden. Zudem wird mit
einem Funktionsgenerator (FuncGen) ein Refe-
renzsignal für die Lock-In-Verstärker erzeugt.
Transientenrekorder
R1
R2
R1
R2C2
C1
C2
C1
C2
C1
Messleitung U
Biasleitung
Koaxial-Kabel
Messleitung I
Femto Stanford
PCBF CuPF
CuPF
CuPF
PCBF
PCBF Femto
Yokogawa
Lock-In Lock-In
FuncGen
SA
Sym
Probe
Rref
RBT
RBT
CBT
CBT
HF-Leitung
SigGen
Abbildung 3.29
Schematische Aufstellung der Messvor-
richtung. Die erzeugenden Einheiten sind Funktionsgene-
rator (FuncGen), DC-Spannungsquelle (Yokogawa) und
Signalgenerator (SigGen). Die Zeitliche Abtastung der
Messleitungen leistet der Transientenrekorder. Um ther-
misch angeregte Elektronen aus dem System fernzuhal-
ten, sind drei Filterstufen implementiert: Printet Circuit
Board Filter (PCBF), RC-Filter und Kupferpulver-Filter
(CuPF).
22
3.2 Aufbau 3 TECHNISCHER ABSCHNITT
Als Hochfrequenzkabel wurden Mikrokoaxialka-
bel UT-020SS-SS verwendet, die nicht unbedingt
optimal waren, da diese eine verhältnismäßig ho-
he Dämpfung aufweisen. Insbesondere für Mes-
sungen über 7 GHz sind solche Kabel nicht ge-
eignet. Für tiefere Frequenzen können diese ver-
wendet werden, wenn keine Dämpfungsglieder
eingesetzt werden.
Hierzu wurde ein Stück des Koaxialkabels auf
die Hälfte eines Meters gekürzt und mit SMA-
Steckern assembliert. Die Transmission dieses
Testkabels zeigt bereits im einstelligen GHz-
Bereich eine starke Dämpfung und erreicht bei ca.
22 GHz das Rauschlevel bei ca. -80 dB. Die Län-
gen der eingebauten Kabel betrugen knapp einen
Meter und zeigten eine gute Überreinstimmung
mit den Werten aus dem Datenblatt, welches
die Einfügedämpfung in dB/m beinhaltet. Der
Frequenzgang von diesen Messungen ist in Ab-
bildung 3.30 gezeigt.
Frequenz [GHz]
210.5 4 6 8 12 18 28 40
Einfügedämpfung [dB]
-100
-50
-75
-25
0
Testkabel 50cm
Werte Datenblatt dB/m
Messkabel
Abbildung 3.30
Der Frequenzgang von Messkabel, Test-
kabel und die Werte aus dem Datenblatt des Herstellers.
Bereits hier hat sich angedeutet, dass Messun-
gen in höheren Frequenzbereichen ein schlechtes
Signal-Rausch-Verhältnis haben werden. Es wur-
de für die Analyse der Qualität des Antwortsi-
gnals ein Chip mit einer simplen Transmissions-
linie hergestellt (siehe Abbildung 3.31).
Der Chip wurde mittels Photolithografie auf ei-
nem Siliziumwafer strukturiert. Die genaue Her-
stellung und Struktur wird im Abschnitt 3.3 er-
läutert.
Beide Transmissionslinien wurden kontaktiert,
d.h. zu Beginn sind vier HF-Leitungen imple-
mentiert worden, jeweils eine Hin- und Rück-
leitung zum Chip für die Linie A und Linie B.
Mit dem Spektrumanalysator konnte jeweils das
Transmissionspektrum durch das Assemble Ver-
bindungskabel - Mikrokoaxialkabel - Bonddraht
- Transmissionline - Bonddraht - Mikrokoaxial-
kabel - Verbindungskabel mit einer Auflösungs-
bandbreite von 100 Hz gemessen werden.
A
B
8 mm
8 mm
Abbildung 3.31
Die Chip-Struktur für eine Transmiss-
ionsmessung durch die Messapparatur. Aus dem normier-
ten Frequenzgang kann die Qualität des Antwortsignals
in Abhängigkeit der Frequenz abgeschätzt werden.
Auf dieses Spektrum wurde kalibriert und er-
neut gemessen. Bei einer vollständigen Impe-
danzanpassung würde man dann auf dem ganzen
Frequenzgang eine Normabweichung von 0 dBm
messen. In Abbildung 3.32 sieht man, dass die
Leitung A eine Abweichung von bis zu 4 dBm
um 7 GHz aufweist. Die Leitung B zeigt eine
bessere Performance. Bei ihr liegt die maximale
Abweichung bei knapp 9 GHz um 2 dBm.
Frequenz [GHz]
12345678910
Norm Error [dBm]
-8
-6
-4
-2
0
2
4
A
B
Abbildung 3.32
Normierter Frequenzgang beider Hoch-
frequenzverkabelungen A und B. Die Kurve für Leitung B
wurde zwecks Ansicht um 5 dBm nach unten verschoben.
Die Messungen wurden bei 4.2 K durchgeführt.
Der Versuch mit dem neuen Einsatz einzukon-
densieren misslang zu Beginn, da mit optimalem
23
3 TECHNISCHER ABSCHNITT 3.2 Aufbau
He-4-Fluss am 1K-Topf zwei Kelvin nicht unter-
schritten werden konnte. Da die thermische Last,
welche offensichtlich auf dem 1K-Topf herrsch-
te, den Verdacht hegte, dass die zusätzlichen
HF-Kabel dies hervorrufen könnten, wurde die
Verkabelung zur Leitung A wieder entfernt. So
kam im Weiteren nur die Leitung B zur Anwen-
dung.
Die DC-Leitungen bestanden aus verdrillten,
polyimid-isolierten Manganin-Drähte mit einem
Durchmesser von 50
µ
m. Diese wurden durch ein
Silikonbad in eine Stahlkapillare gezogen, sodass
mögliche Lufteinschlüsse verhindert werden konn-
ten. Die Kapillare hat einen Innendurchmesser
von 150 µm.
Im Bereich unterhalb der Mischkammer wurde
anstelle von Silikon kolloidal gelöstes Silber ver-
wendet, sodass das von der Masse trennendes
Dielektrikum nur gerade die ca. 7
µ
m dicke Poly-
imidschicht bildet. Damit erzielt man eine hohe
Kapazität und verhindert ein Ausbreiten von
hochfrequenten Signalen. Der Frequenzgang von
solchen Kapillaren ist in [Tha13] zu finden.
Als Steckverbinder kamen im oberen Bereich
Fischer- und im unteren Bereich Lemo-Stecker
zum Einsatz. Für die HF-Verbindungen wurden
SMA-Steckverbinder der Firma Huber + Suhner
gewählt.
3.2.2 Probenhalter
Am unteren Ende der Kryo-Einsatzes befindet
sich eine Steckvorrichtung für die Probenhalte-
rung. So kann die Leiterplatte, auf welcher die
Probe kontaktiert wird, einfach herausgenommen
werden, um gegebenfalls eine neue Probe zu kon-
taktieren. Sie besteht aus dem für Leiterplatten
üblichem Verbundwerkstoff FR-4 auf welchem die
Leiterstruktur aus Gold gefertigt und abschlie-
ßend ein Schutzlack appliziert wurde.
Jede Leitung wurde kapazitiv mit SMD-
Bauteilen an das Massepotential auf dem Board
gekoppelt. Hierbei wurde eine Abschneidefre-
quenz von fc= 100 kHz gewählt und mit
C=1
2πRfc
(56)
die Kapazitäten bestimmt. Als Widerstandswert
wurden die Widerstände der Kabel ab RC-Board
auf Höhe der Mischkammer und den Wider-
standswert
RBT
= 1 kΩder beiden Bias-T-
Stücke verwendet. Die so eruierten Kapazitäten
sind in Tabelle 2 aufgeführt.
Abbildung 3.33
Die eingesteckte Leiterplatte mit
kontaktierter Probe. Die Leiterbahnen sind mit SMD-
Kapazitäten an das Masse-Potential gekoppelt. Zu sehen
sind die SMA-Steckverbinder, welche die Mikrokoaxialka-
bel mit dem Board verbindet. Das große zylinderförmige
Bauteil in der oberen Hälfte ist ein resistives Thermome-
ter.
Tabelle 2
Widerstände der Messkabel bis RC-
Filterboard und die mit Gleichung
(56)
berechneten Ka-
pazitäten für die SMD-Bauteile.
Leitung R C
Floating Bias 34 Ω46.8 nF
Bipolar Bias 101 Ω15.8 nF
Messleitung 90 Ω17.7 nF
Die Floating Bias Leitung ist war von früheren
Messungen noch integriert, wurde aber nicht ver-
wendet. Da diese aber für weitere Messungen von
Bedeutung sein könnte, wurde sie belassen.
Es musste darauf geachtet werden, dass sich die
Werte der Kondensatoren nicht stark verändern
bei tiefen Temperaturen. Hierzu wurde die Veröf-
fentlichung [
Tey10
] zu Rate gezogen und entspre-
chend nur C0G-Kondensatoren verbaut. Gewählt
wurde für die Bias-T-Stücke 10 nF, für das Floa-
ting Bias 47 nF und für die Messleitung sowohl
für das bipolare Bias 15 nF.
24
3.2 Aufbau 3 TECHNISCHER ABSCHNITT
3.2.3 Filterstufen
Insgesamt sind drei Filterstufen integriert. Al-
le drei besitzen eine andere Abschneidefrequenz
und ergänzen sich so optimal. In Abbildung 3.34
sind die Frequenzgänge aller Filterstufen gezeigt.
Mit einer vierten Filterstufe mit einer Abschnei-
defrequenz zwischen 100 MHz und 1 GHz könnte
das Tiefpassverhalten noch verbessert werden.
Geeignet wären hierzu beispielsweise Pi-Filter.
Frequenz [GHz]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
[dB]
-100
-80
-60
-40
-20
0RCF CuPFPCBF
Abbildung 3.34
Alle drei Filterstufen – Eccosorbfilter
(PCBF), RC-Filter (RCF) und Kupferpulverfilter (CuPF)
– ergänzen sich optimal für ein Tiefpassverhalten auf einer
großen Bandbreite.
Zuoberst auf der 1K-Platte sind Kupferpulver-
filter befestigt. Diese bestehen aus einer Kupfer-
hülse, welche mit Körner aus Kupfer mit einem
mittleren Durchmesser von 50
µ
m gefüllt sind.
Darin eingebettet befinden sich zwei gewundene
Drähte, welche zu einer induktionsfreien Spule
aufgewickelt sind. Weitere Details über diesen
Typ Filter entnehme man aus [Tha13].
Die zweite Filterstufe ist direkt über der Misch-
kammer befestigt und besteht aus einer Leiter-
platte mit SMD-Kapazitäten und -Widerständen.
Diese bilden einen RC-Tiefpassfilter zweiter Ord-
nung. Die verwendeten Größen sind in Tabelle 3
gelistet und das Schaltbild im Messschema 3.29
ersichtlich.
Tabelle 3
Eingebaute Widerstände und Kapazitäten der
RC-Filter.
Cut-Off R1R2C1C2
150 kHz 510 Ω2.0 kΩ1.2 nF 220 pF
Da zu der Zeit die Transmissionsspektren noch
mit einem Netzwerkanalysator gemessen wurden
und dieser nur für Frequenzen oberhalb 50 MHz
angewendet werden konnte, wurde auf Funktions-
generator und Oszilloskop zurückgegriffen, um
herauszufinden, bei welcher Frequenz die Ab-
schneidefrequenz ist. Diese ist so definiert, das
bei dieser Frequenz nur noch die Hälfte (d.h.
-3 dB) der eingespeisten Leistung an der Messein-
heit detektierbar ist. Auch oberhalb von 50 MHz
wurde gemessen, denn wie in Abbildung 3.35 er-
sichtlich ist, nimmt die Dämpfung in höheren
Frequenzen (> 50 MHz) wieder ab.
−25
−20
−15
−10
−5
0
1 kHz 10 kHz 100 kHz 1 MHz 10 MHz
[dB]
200 MHz 500 MHz 1 GHz
−100
−75
−50
−25
Abbildung 3.35
Oben: Messung mit Oszilloskop und
Funktionsgenerator. Die Kombination von Widerstands-
und Kapazitätswerten aus Tabelle 3 ergibt eine Abschnei-
defrequenz von 150 kHz. Unten: Messung mit Netzwerk-
analysator überhalb von 50 MHz. Man sieht schon im
MHz-Bereich ein deutlicher Rückgang der Dämpfung.
Um auch in hohen Frequenzen eine gute Dämp-
fung zu erhalten, wurde noch eine dritte Stufe
eingefügt. Hier kam ein neuer Filtertyp hinzu.
Sie funktionieren ähnlich wie Kupferpulverfilter,
welche aufgrund eines hohen dielektrischen Ver-
lustfaktor des Pulversubstrats eine Transmissi-
onsbarriere bilden.
Ein Pulver aus Ferrit wird in einem Verbundstoff
verarbeitet, sodass ein hoher magnetischer Ver-
lustfaktor entsteht. Man würde denken, dass dies
bei weitem nicht so effektiv ist, wie eine Dämp-
fung des elektrischen Feldanteil einer em-Welle,
da der magnetische Anteil um ein Vielfaches klei-
ner ist.
Es zeigt sich aber, dass dies nur in niedrigeren
Frequenzen um 1 GHz der Fall ist. Bei Frequen-
zen bis mindestens 40 GHz ist dann aber kein
Rückgang der Dämpfungscharakteristik mehr zu
verzeichnen, d.h. der Frequenzgang bleibt stabi-
ler auf Rauschlevel in höheren Frequenzen als die
üblichen Kupferpulverfilter.
Dieser Filtertyp ist keinesfalls neu, denn für so-
gennante Mantelwellenfilter werden seit langer
Zeit Ferritkerne verwendet, welche um Kabel
25
3 TECHNISCHER ABSCHNITT 3.2 Aufbau
geklemmt werden. In [
San08
] werden zudem im-
pedanzangepasste Tiefpassfilter mit dem Silikon-
und Epoxyverbundstoff Eccosorb vorgestellt.
Aufgrund dieser Publikation fiel die Entschei-
dung, neue kryogene Filter mit Starrflex-
Leiterplatten und Eccosorbmatten herzustellen.
In [
San08
] wurde eine einfache Stripline-Struktur
getestet und gute Ergebnisse erzielt.
Jedoch wurde das Rauschlevel erst bei 6 bis
10 GHz erreicht. Um die Abschneidecharakteris-
tik noch zu verbessern, wurde eine Leiterplatte
mit typischen Tiefpassstrukturen nach [
Hof83
,
S. 15] kreiert. Verschiedene Geometrien wurden
mit dem HF-Simulationsprogramm Sonnet simu-
liert, um zu sehen, welche Frequenzen mit den
Querflächen in Resonanz gehen. Erreicht man
Resonanzfrequenzen unterhalb der Abschneide-
frequenz aufgrund der Eccosorbmatten – so die
Idee – würde die Dämpfungsflanke verbessert
werden.
In Abbildung 3.36 zeigt eine mögliche Struktur
eines integrierten Tiefpassfilters und den Zusam-
menhang zwischen Resonanzfrequenz der Quer-
flächen zu deren Längen mit ν∝1/L.
Bi
Li
[GHz]
10.5
8.5
4.6
5 6 10 L [mm]
Abbildung 3.36
Links ist eine typische Tiefpassstruk-
tur für integrierte Schaltkreise zu sehen. Jede Querfläche
korrespondiert gemäss deren Länge zu einer bestimmten
Resonanzfrequenz. Länge und Frequenz verhalten sich
reziprok zueinander.
Eine solche Struktur wie in Abb. 3.36 verhält sich
wie ein LC-Filter fünfter Ordnung. Ob nun die
Serieninduktivitäten oder die Parallelkapazitäten
überwiegen, lässt sich über das Verhältnis
L/B
steuern. Es ist hierbei stets darauf zu achten, dass
Bλ/
4eingehalten wird, so dass die Feldver-
teilung "quasi-konzentriert" bleibt
[Hof83, S. 15]
.
Das Filterdesign ist kreisrund gestaltet worden,
da auf diese Weise die größtmöglichste Fläche
in der inneren Abschirmhülse ausgenutzt werden
kann. Auf einer Leiterplatte konnten so zwei Lei-
terbahnen positioniert werden.
Der Bereich der Lötstellen für die Anschlusste-
cker ist verstärkt und besteht aus FR-4 mit einer
Dicke von einem Milimeter während die Leiter-
bahnen auf einem 35
µ
m dünnem Polyimid auf-
gebracht sind. Je dünner das Trägermaterial ist,
um so mehr Feldanteil entsteht im dämpfenden
Eccosorbmaterial d.h. um so besser ist nachher
die Dämpfung. Eine solche Starrflex-Leiterplatte
liessen wir von der Firma Contag AG herstellen
und ist in Abbildung 3.37 gezeigt.
Abbildung 3.37
Starrflexleiterplatte mit verstärktem
Teil aus 1mm-FR-4 und flexibler Teil aus 35
µ
m Poliymid.
Die Leiterbahnen sind aus Kupfer mit einer Gold-Nickel-
Adhäsionsschicht.
Abbildung 3.38
Der Prototyp des Eccosorbfilter. Zuse-
hen sind Eccosorbmatten auf beiden Seiten der Starrflex-
Leiterplatinen, welche mit Kupferplatten und Schrauben
verklemmt werden. Als Steckverbinder dienen zweipolige
Lemo-Stecker.
Jeweils zwei solche Leiterplatinen sind zueinander
verdreht auf einer Halterungsplatte, welche an
26
3.3 Proben 3 TECHNISCHER ABSCHNITT
den sechseckigen Stab befestigt wird, angebracht.
Diese sind auf beiden Seiten durch zugeschnit-
tene Matten aus Eccosorb GDS-U-SA von den
Kupferplatten getrennt. Der Prototyp des Filters
ist in Abbildung 3.38 ersichtlich.
Mit dem Spektrumanalysator wurde der Fre-
quenzgang des Eccosorbfilters, wie er in Abb. 3.38
zu sehen ist, bei Raum- und Stickstofftempera-
tur aufgenommen. Es konnte eine steilere Flanke
erzielt werden, als bei den einfachen Stripline-
Filter von Santavicca. Im Vergleich zu dessen
Messungen erreicht man mit den aus GDS-U-SA
konzeptionierten Filter ein um 60% besseres Re-
sultat. Siehe hierzu das Spektrum in Abbildung
3.39.
1 GHz100 MHz 10 GHz 40 GHz
Einfügedämpfung [dBm]
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0300K
77K
Rauschen 77K
Rauschen 300K
Abbildung 3.39
Das Spektrum des Eccosorb-Filters
wurde in Stickstoff sowie in Raumtemperatur gemessen.
Das Dämpfungsverhalten zeigt sich nicht wesentlich tem-
peraturabhängig. Beide Messungen zeigen ein Erreichen
des Rauschlevels um 4 GHz.
3.3 Proben
Die präparierten Proben bestehen aus einem Sili-
ziumchip der Größe von 8x8 mm und einer Dicke
von 625
µ
m. Sie sind auf einem 4 Zoll Wafer
strukturiert und dann durch Einritzen herausge-
brochen worden.
Zunächst musste eine Probengeometrie gezeich-
net werden. Die Geometrie sowie auch den Her-
stellungsprozess lässt sich in zwei Teile auftei-
len: Die Zuleitungsstruktur und die eigentliche
Probenstruktur. Für erstere wird die photolitho-
graphische Methode angewendet und bildet die
Zuleitungen von den Bond-Flächen zum 1000
µ
m
Feld, in welches dann mit Elektronenstrahllitho-
graphie die eigentliche Probenstruktur hineinge-
schrieben wird.
Im diesem Abschnitt werden die Geometrien der
verschiedenen Strukturen vorgestellt und auf die
Herstellung eingegangen. Darin findet sich auch
das fertige Rezept für eine meist erfolgreiche
Strukturierung. Dass diese nicht zu 100%iger
Sicherheit erfolgreich ist, liegt daran, dass bei
jedem Herstellungsvorgang gewisse weniger gut
kontrollierbare Parameter wie Luftfeuchtigkeit
oder die Konzentration des Entwicklers leicht un-
terschiedlich sein können. Diesbezüglich findet
man im Abschnitt 3.3.3 näheres.
3.3.1 Zuleitungsstruktur
Die Struktur des Mess-Chips sollte so gestaltet
sein, dass einfach um zusätzliche DC-Leiter er-
weitert werden kann und die Impedanz des Wel-
lenleiters möglichst angepasst ist, sodass es nicht
zu ungewollten Reflektionen und damit zu Ver-
lusten kommt.
Es wurden die drei Basis-Typen
•Transmission (T)
•Verbinder (C)
•Resonator (R)
für die Zuleitungsstruktur mit dem Vektorbear-
beitungsprogramm Adobe Illustrator gezeichnet
und anschließend als DXF exportiert. Aus diesem
CAD-Format konnte dann mit dem Konvertie-
rungsprogramm LinkCAD zu dem in der Leiter-
plattenindustrie üblichen Gerber-format GDSII
konvertiert werden.
Als Erstes werden aber die Dimensionen be-
stimmt. Hierzu wird zuerst die Abmaße des ko-
planaren Waveguide nach
(10)
berechnet. Eine
Geometrie wie in Abbildung 2.7 mit einem Strei-
fenleiter der Breite von
w
= 30
µ
m, einem Ab-
stand zur parallel geführten Masse von jeweils
s
= 10
µ
m und einer Dicke des Dielektrikums von
h
= 625
µ
m führt zu einen akzeptablen Ergebnis
nahe ZL= 50Ω.
Da das Dielektrum neben dem reinen Silizium
mit einer relativen Permittivität von
εr≈
11
.
68
auch aus einer Schicht Siliziumoxid mit
εr≈
3
.
9
besteht, werden bewusst Maße genommen, die
auf eine etwas zu kleine Impedanz von
ZL≈
43Ω
hinauslaufen, wenn mit der Permittivität von Sili-
zium gerechnet wird. Denn die Oxidschicht führt
auf eine leichte Erhöhung der effektiven Impe-
danz.
Für die Resonatorlinien wurde eine Ankopplung
zu einem 20
µ
m-Leiter gewählt, sodass die Lei-
tung gut mäandert werden kann für die benötigte
27
3 TECHNISCHER ABSCHNITT 3.3 Proben
Längenanpassung. Die Ankopplungsgeometrie ist
in Abbildung 3.40 gezeigt.
50 µm
10 µm
20 µm
30 µm
Abbildung 3.40
Die Dimensionen der kapazitiven An-
kopplung eines Resonators (nach rechts verlaufend) an
den koplanaren Waveguide (nach links verlaufend).
Aus geometrischen Gründen muss zudem eine Lei-
tung geknickt werden. Um die Impedanz dieses
Knickes anzupassen, wird er nach der Gleichung
(13)
kompensiert. Mit der relativen Permittivität
von
εr
= 11
.
68 führt dies auf ein Kompensations-
verhältnis von Sopt = 75%.
Damit ist die rechnerische Vorarbeit geleistet und
die ersten zwei Chipdesigns T und C können ge-
staltet werden. Die Vorlage für die Photomaske
ist für Struktur T in Abbildung 3.41 und für
Struktur C in Abbildung 3.42 ersichtlich.
Für die Resonatorstrukturen müssen zuerst die
Längen bestimmt und eine Auswahl von Frequen-
zen getroffen werden. Nach [
Hof83
, S. 210] gilt
für ein gerader Resonator
νr=nc0
2Lr√εr,eff
(57)
mit
n∈N
, der Lichtgeschwindigkeit
c0
und der
Resonatorlänge Lr.
Abbildung 3.41
Die gezeichnete und eingefärbte Vorla-
ge für die Photomaske der Chip-Struktur T.
Abbildung 3.42
Die gezeichnete und eingefärbte Vorla-
ge für die Photomaske der Chip-Struktur C.
Da wir von der relativen Permittivität
εr,eff
nur
wissen, dass es zwischen 3.9 (SiO) und 11.68
(Si) liegen muss, wird auf Erfahrungswerte zu-
rückgegriffen. Mit Rücksprache mit dem WMI
in München erhielten diese für eine Resonator-
länge von 13.9 mm eine Resonanzfrequenz von
4.896 GHz [
Bau14
]. Mit diesen Werten erhält
man mit Gleichung
(57)
eine effektive relative
Permittivität von εr,eff = 4.85.
Tabelle 4
Resonanzfrequenzen und dazugehörige Längen
eines Waveguide-Resonator berechnet mit Gleichung
(57)
.
Benützt wurde der Erfahrungswert εr,eff = 4.85.
ν[GHz] Lr[mm]
3.0 22.69
3.5 19.45
4.0 17.02
4.5 15.13
5.0 13.61
7.0 9.724
11 6.188
13 5.236
17 4.004
19 3.582
Die Auswahl der gewünschten Resonanzen sollte
so erfolgen, dass höhere Moden eines niederfre-
quenteren Resonator nicht die Frequenz eines
anderen Resonator getroffen werden kann. So
fällt die Auswahl auf 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17 und 19
28
3.3 Proben 3 TECHNISCHER ABSCHNITT
GHz wobei noch zusätzlich in tieferen Frequenzen
die Zwischenwerte 3.5 und 4.5 GHz hinzugenom-
men werden. Die dazugehörigen Resonatorlängen
sind in Tabelle 4 gelistet.
Nun können diese Längen nicht gerade konzipiert
werden, da die Anschlusspositionen ja bei allen
diesselben sind. Hierzu werden die Waveguides
mäandert. Das führt dazu, dass sich die Reso-
nanzfrequenzen ein wenig verschieben. Das ist
aber weiter nicht schlimm, da diese sowieso vor
der Anwendung für jeden Resonator einzeln be-
stimmt werden sollten.
Um die gewünschte Länge zu erreichen, muss
also ein Streckenausschnitt des Wellenleiters der
Länge
L
um ∆
l
=
l−L
erweitert werden. Durch
n
Mäanderlinien mit dem Bogenradius
r
kann
die Differenz ∆
l
erreicht werden mit der Höhe
H=∆l−πr −4r
4n−πr
2+r. (58)
Die dazugehörige Geometrie ist in Abbildung 3.43
zu sehen. Als Radius wird
r
= 33
µ
m gewählt.
L
H
r
Abbildung 3.43
Konstruktion der Mäanderlinie für die
Verlängerung des Wellenleiters.
Auf diese Art und Weise wird die Chip-
Struktur T verändert, sodass zwei unterschiedli-
che Resonatoren auf einem Chip integriert sind.
Aus Platzgründen wird immer ein langer mit ei-
nem kurzem Leiter kombiniert. Das bedeutet,
dass der 3 GHz Resonator mit dem 19 GHz
Resonator, der 3.5er mit 17er, usw. kombiniert
wird. Daraus entstehen dann fünf verschiedene
R-Chips. Einer davon ist in Abbildung 3.44 zu
sehen.
Abbildung 3.44
Eine der fünf gezeichnete und einge-
färbte Vorlage für die Photomaske der Chip-Struktur R.
Bei der Erstellung der Resonator-Strukturen wur-
de auch immer darauf geachtet, dass der Ab-
schnitt innerhalb des 1000
µ
m Feld in der Mitte
zwischen den beiden Ankopplungspunkten zu lie-
gen kommt. Damit wird gewährleistet, dass je
nach Mode entweder Amplitudenmaximum oder
Knotenpunkt der stehenden Welle bei den inne-
ren Ankopplungspunkte für eine weiterführende
Struktur zur Verfügung stehen.
3.3.2 Probenstruktur
Während die Zuleitungsstruktur nur die Verbin-
dung von den Bondpads zum 1000
µ
m Feld dar-
stellt, bildet die Probenstruktur die Verbindung
der Waveguide-Anschlüsse der Chip-Struktur C.
Dasselbe Design ist dann mit kleinen Änderungen
natürlich auch für die Resonatorstruktur geeig-
net. Jedoch wurden diese im Zuge dieser Arbeit
nicht untersucht, da dies zeitlich nicht mehr mög-
lich war.
Es wurden verschiedene Möglichkeiten durch-
dacht, einen durch eine dünne ferromagnetische
Schicht unterbrochenen Supraleiter zu realisieren.
Um den Herstellungsprozess möglichst einfach
zu halten, wurde das Ziel gesetzt, die Struktur
nur mit einer einzigen Maske herzustellen. Das
heißt, dass die Leiterstruktur in jeweils nur einem
Prozessschritt fertig sein sollte.
29
3 TECHNISCHER ABSCHNITT 3.3 Proben
Abbildung 3.45
Oberstes Bild zeigt den 8x8 mm Chip
in dessen Mitte das 1000
µ
m Feld liegt. Darin wird mit ei-
ner großen Blende die grobe Struktur (grün) und mit einer
kleineren Blende die feine Struktur (gelb) mit dem Elek-
tronenstrahl geschrieben. Die eigentliche Probenstruktur
bildet dann zwei versetzte Elektroden mit einer Insel in
der Mitte, welche im untersten Bild dargestellt ist. Darin
angedeutet ist der benötigte Unterschnitt (grau), um eine
erfolgreiche Schattenbedampfung zu erzielen.
Diese Vorgabe führt unumgänglich auf eine Schat-
tenbedampfung. In Abbildung 3.45 ist die Mas-
kengeometrie gezeigt. Sie besteht aus zwei ver-
setzten Elektroden mit einer Insel in der Mitte.
Die dazugehörigen Maße sind in Tabelle 5 ersicht-
lich. Hierbei bildet
d0
der minimale Unterschnitt,
damit die Schattenbedampfung erfolgreich um-
setzbar ist.
Beim Aufdampfen wird nun der Winkel
α
so ein-
gestellt, dass die eine seitliche Elektrode genau
in der Mitte zu liegen kommt. Wenn dann einmal
Aluminium im Winkel von
α
, dann Kobalt im
Winkel von 0
◦
und dann nochmals Aluminium
im Winkel von
−α
aufgedampft wird, erhält man
eine Struktur wie in Abbildung 3.46.
Tabelle 5
Die Abmessungen der Probenstruktur aus
Abbildung 3.45.
Maß Länge [nm]
d0120
d1140
d0320
d00 150
h0=d0120
h1= 2h0240
h2= 3h0360
Aluminium: 50 nm Aluminium: 50 nmKobalt: 7 nm
Abbildung 3.46
Zu sehen ist eine schematische Zeich-
nung der eigentlichen Probe: Ein Supraleiter, welche durch
eine dünne ferromagnetische Barriere getrennt ist.
3.3.3 Herstellung
In diesem Abschnitt findet man eine Schritt-
für-Schritt-Rezeptur zur Herstellung eines Mess-
Chips. Auf das detailierte Aufführen der verschie-
denen Tests zur Erlangung dieser Rezeptur, wird
verzichtet. Denn wirklich relevant für die Herstel-
lung ist ja nur eine funktionierende Vorgehens-
weise.
Auf dem Chip wird als erstes die Zuleitungsstruk-
tur erstellt. Hierzu wird der Photolack AR-P 5350
der Firma Allresist aufgebracht. Da auf Silizium
die Gefahr besteht, dass bei Strukturen unterhalb
von 10
µ
m sich der Lack ablöst, wird noch der
Haftvermittler AR 300-80 appliziert. Die Lacke
werden mit dem Rotationsbeschichter aufgetra-
gen.
Mit der aus der GDSII-Datei hergestellten Photo-
maske wird dann der lichtempfindliche Photolack
belichtet und anschließend mit dem dazugehö-
rigen Entwickler AR 300-26 entwickelt. Danach
wird der Chip mit destilliertem Wasser abgespült
und mit Stickstoff trockengeblasen.
Nach diesem Prozessschritt ist der Chip bereit
für die Aufdampfung. Für die Zuleitungen wird
Gold verwendet. Auch hier braucht es eine Ad-
häsionsschicht aus Titan, da sich sonst das Gold
leicht ablöst von der Siliziumoberfläche.
30
3.3 Proben 3 TECHNISCHER ABSCHNITT
Tabelle 6
Prozessschritte zur Vorbereitung des Mess-
Chips mit Photolithographie. Die Spincoating-Parameter
sind wie folgt definiert: ramping [10 s] / rpm / spin ti-
me [10 s]
Haftvermittler AR 300-80
Spincoating:
30/300/45//30/4500/500//30/300/30//10/0
Hotplate: 2 min. 180◦C
Photolack AR-P 5350
Spincoating:
50/500/50//100/4000/600//100/0
Hotplate: 4 min. 90◦C
UV-Belichtung
Belichtungszeit:16 s
Entwickler AR 300-26
Verdünnungsverhältnis: 1:6
Entwicklungszeit: 18-20 s
Aufdampfen Titan
Schichtdicke: 5 nm
Aufdampfen Gold
Schichtdicke: 25 nm
Schichtdicke Bond Pads: 75 nm
Abbildung 3.47
Ein halbierter Wafer im Acetonbad
während dem Lift-Off. Man sieht, wie sich das aufgedampf-
te Gold löst und die Struktur darunter zum Vorschein
kommt.
Danach werden die Prozesschritte nochmals wie-
derholt für die Bond Pads. Für ein sicheres Bon-
den wird an den Anschlussstellen nochmals 75 nm
Gold aufgedampft und so eine Schichtdicke von
ca. 100 nm erreicht. Der Prozessablauf und deren
Parameter ist in Tabelle 6 zusammengefasst.
Nach dem Aufdampfvorgang kommt die Probe
in ein leicht erwärmtes Acetonbad (ca. 50
◦
C) für
den Lift-Off. Entweder man legt die Probe mit
dem Metall nach unten ins Bad oder man spült
vorsichtig mit einer Pipette das angelöste Metall
vom Wafer. In Abbildung 3.47 sind Proben wäh-
rend dem Lift-Off gezeigt.
Sind die Zuleitungsstrukturen fertig, kann sich
daran gemacht werden, die Belackung für die
Elektronenstrahllithographie durchzuführen.
1 2
3 4
5 6
Silizium
MMA-MAA EL11
PMMA A2
MIBK 1:3
Aluminium/Kobalt
Aceton
Abbildung 3.48
Die Prozessschritte der Elektronen-
strahllithographie: Rotationsbeschichtung mit Copoly-
mer Rotationsbeschichtung mit Acrylat Schreiben
der Struktur mit Elektronenstrahl Entwickeln Be-
dampfen in drei verschiedenen Winkeln Lift-Off mit
Aceton
Hierzu werden zwei verschiedene Lacke benötigt.
Das Copolymer MMA-MAA EL11 der Firma
Micro Chem fungiert als Abstandshalter für die
eigentliche Maske, welche aus dem Polymethyl-
methacrylat (PMMA) A2 desselben Herstellers
besteht.
Die zwei Lackschichten werden mit dem Elek-
tronenstrahl beschrieben, entwickelt und in drei
31
3 TECHNISCHER ABSCHNITT 3.3 Proben
Winkeln alternierend Aluminium und Kobalt auf-
gedampft. Eine Übersicht über die einzelnen Pro-
zessschritte ist vorab schon in Abbildung 3.48
gezeigt.
Während das EL11 nur mit der Hotplate ausge-
heizt wird, kommt die Probe nach der Rotati-
onsbeschichtung mit A2 für 30 Minuten in den
Konvektionsofen.
Am Elektronenstrahlmikroskop (REM) wird
dann die Probe eingeschleust und auf die Mar-
ker der Zuleitungsstruktur eingepasst. Um mög-
liche Fehlanpassungen zu vermeiden, wurde nur
mit dem Objekttisch gefahren und die Mög-
lichkeit, den Elektronenstrahl zu neigen, deakti-
viert. Insbesondere ist es wichtig, dass mit der
kleineren Blende mit der Einstellung "low cur-
rent" eingemessen wird. Denn es werden zwei
unterschiedliche Blenden verwendet (siehe Abbil-
dung 3.45). Die äussere Struktur wird mit der
120
µ
m Blende im „high current“ Modus und die
innere Struktur mit der 10
µ
m Blende geschrie-
ben.
A
BC
D
E
100er Feld
1000er Felder
Abbildung 3.49
Für eine gute Ausrichtung von Zulei-
tungsstruktur, grobe und feine Probenstruktur sind fünf
Ausrichtungpunkte zu definieren. Auf diese Weise können
die Anschlüsse im 100
µ
m Feld passgleich mit dem 1000er
Feld geschrieben werden, da für beide der Objekttisch
nicht gefahren werden muss.
Das Einpassen auf eine Genauigkeit von nur ei-
nigen
µ
m erwies sich als schwierig, da der Ob-
jekttisch einen kleinen Totgang besitzt und da-
mit beim Fahren an die Position xy jedes mal
an einem leicht verschobenen Punkt hin ver-
schiebt, je nachdem von welcher Richtung sie
dahin fährt. Dieses Problem lässt sich in klei-
nen Feldern (<500
µ
m) mit der „Autobacklash“ -
Funktion ausgleichen. In einem 1000
µ
m Feld
half dies jedoch nicht. Dieses Problem kann aber
umgangen werden, wenn die Zentren der Schreib-
felder beider Blenden am selben Ort zu liegen
kommen.
Genau das kann für diese Probenstruktur mit
einem 6-Schritt-Schreibverfahren erzielt werden.
Hierzu werden fünf Ausrichtungspunkte A bis D
definiert. Punkt A bildet die Mitte des 1000
µ
m
Feld. Die Punkte B und D liegen zentral auf der
Insel zwischen den Elektroden und die Punkte C
und E definiere man an den horizontal gespiegel-
ten Punkten B und D. In Abbildung 3.49 sind
diese fünf Ausrichtungspunkte für die Schreibfel-
der aufgezeichnet.
Der Schreibvorgang am Elektronenstrahlmikro-
skop wurde als Positions-Liste ab Schritt 1 auto-
matisiert und läuft wie folgt ab:
0.
Koordinaten setzen: Probenrand horizon-
tal ausrichten und Koordinaten-Punkt an
großem Marker am linken oberen Rand
des Chips als Position
x
=-3.6,
y
=-3.6
setzen. Mit abgeblendetem Elektronen-
strahl zum ersten inneren Marker an Po-
sition
x
=-0.45,
y
=-0.45 fahren und mit
Dreipunkt-Verfahren Schreibkoordinaten
an zwei weiteren Marker definieren. Damit
ist Koordinaten-Ursprung A definiert und
die Ausrichtung an die Zuleitungsstruktur
abgeschlossen.
1.
Schritt: Fahre an Position B (
x
=0.255,
y=-0.255)
und schreibe gelbe Struktur mit
10er Blende. Das Schreibfeld besitzt eine
Größe von 100 µm.
2.
Schritt: Bleibe an Position B, wechsle in
„high current“ - Modus und schreibe mit
120er Blende die hellgrüne Struktur. Das
Schreibfeld besitzt nun eine Größe von 1000
µm.
3.
Schritt: Fahre an Position C (
x
=-0.255,
y=-0.255)
und schreibe dunkelgrüne Struk-
tur mit 120er Blende. Das Schreibfeld be-
sitzt die unveränderte Größe von 1000
µ
m.
4.
Schritt: Fahre an Position D (
x
=-0.255,
y=0.255)
und schreibe untere dunkelgrüne
Struktur mit 120er Blende. Das Schreibfeld
besitzt auch eine Größe von 1000 µm.
5.
Schritt: Fahre an Position E (
x
=0.255,
y=0.255)
und schreibe hellgrüne Struktur
mit 120er Blende. Das Schreibfeld besitzt
immernoch eine Größe von 1000 µm.
32
3.3 Proben 3 TECHNISCHER ABSCHNITT
6.
Schritt: Bleibe an Position E, deaktiviere
„high current“ - Modus und schreibe mit
10er Blende die gelbe Struktur. Das Schreib-
feld besitzt nun eine Größe von 100 µm.
Tabelle 7
Prozessschritte der Elektronenstrahllithogra-
phie. Die Spincoating-Parameter sind wie folgt definiert:
ramping [10 s] / rpm / spin time [10 s]
Copolymer MMA-MAA EL11
Spincoating:
30/400/45//30/2500/900//50/0
Hotplate: 5 min. 100◦C
PMMA A2
Spincoating:
30/400/45//30/5000/600//30/400/45//50/0
Konvektionsofen: 30 min. 170◦C
Elektronenstrahlbelichtung
10er Blende: I≈0.025 nA
120er Blende: I≈5.5nA
Flächendosis: 160 µAs/cm2
Stromparameter veränderlich!
Entwickler MIBK
Verdünnungsverhältnis: 1:3
Entwicklungszeit: 20 s
Aufdampfen Aluminium
Schichtdicke: 50 nm
Aufdampfen Kobalt
Schichtdicke: 7 nm
Abbildung 3.50
Entwicklelte Maske nach Elektronen-
strahlbelichtung.
Nach dem Schreibvorgang kommt die Probe für
20 Sekunden in den Entwickler, wird anschlies-
send für fünf Minuten Isopropanol gebadet und
danach mit Stickstoff trockengeblasen. Detailier-
te Angaben zu Beschichtung und Entwicklung
sind in Tabelle 7 zu finden.
Nach einer erfolgreichen Strukturierung sieht die
applizierte Maske aus wie in Abbildung 3.50.
Um die Winkel für die Schattenbedampfung zu
bestimmen, muss die Dicke von EL11 bekannt
sein. Aus dem Datenblatt geht hervor, dass bei
der verwendeten Rotationsgeschwindigkeit eine
Schichtdicke von 600 µm entstehen sollte.
Nun hängt aber diese Schichtdicke nicht nur von
der Rotationsgeschwindigkeit des Spin Coaters,
sondern auch von der Größe des Wafers ab. Denn
am Rand wird die Beschichtung aufgrund der
Oberflächenspannung dicker. Dies kann unter
Umständen Dickendifferenzen von über 100
µ
m
ausmachen.
Da dieser Umstand zu Beginn vernachlässigt wur-
de, konnten einige produzierten Proben nicht zur
Messung verwendet werden. Jedoch waren sie
insofern von Nutzen, dass man aus ihnen die ef-
fektive Schichtdicke berechnen konnte. Wird ein
einzelner 8x8 mm Chip rotationsbeschichtet liegt
die Schichtdicke des Copolymer bei ca. 550 nm.
Im anderen Extremfall – beim Beschichten des
kompletten 4 Zoll Wafers – war eine Schichtdicke
von ca. 420 nm zu verzeichnen.
In Abbildung 3.51 sieht man ein Querschnitt
einer entwickelten Belackung.
Abbildung 3.51
Querschnitt der entwickelten Maske.
Der Unterschnitt
d0
muss mindestens 320 nm betragen,
damit die Maße
d0
= 120 nm,
d00
= 150 nm und
d1
= 140
nm ungefähr eingehalten werden können. Aus der abge-
schätzten Dicke
l1
des Copolymer wird der Winkel für
die Aufdampfanlage berechnet.
33
3 TECHNISCHER ABSCHNITT 3.3 Proben
Aus geometrischen Überlegungen folgt eine ge-
wünschte Verschiebung von 280 nm und damit
ein einzustellender Winkel von
α= arctan280 nm
l1+l2.(59)
Die Dicke von PMMA ist gemäß Datenblatt
l2≈
100 nm dick. So erhält man mit einer Co-
polymerschichtdicke von beispielsweise
l1
= 500
nm einen Winkel von 25
◦
. Dieser sollte aber bei
jedem Herstellungsvorgang neu abgeschätzt wer-
den. Nähere Untersuchungen zu den effektiven
Lackdicken wären an dieser Stelle angebracht.
Da Aluminium thermisch verdampft wird und
Kobalt mit dem Elektronenstrahlverdampfer zu
applizieren ist, müssen die Winkel dazu anlagen-
bedingt nochmals angepasst werden. Für die ver-
wendete Verdampfungsanlage (siehe Abb. 3.52)
gilt eine Verkippung von
±
4
◦
. Das bedeutet für
unser Beispiel neue Aufdampfwinkel von 29
◦
und
-21◦für Aluminium und -4◦für Kobalt.
Abbildung 3.52 Die verwendete Aufdampfanlage.
Wenn die Prozessschritte geglückt sind, erhält
man eine Probe, die im Idealfall aussehen sollte
wie in Abbildung 3.53
Die Proben werden anschließend an einer Mess-
station untersucht. Hierbei wird mit kleinen Strö-
men die Widerstände zwischen den Anschluss-
stellen und zur Masse hin gemessen. Ist ein Kurz-
schluss zur Masse oder kein Kontakt zwischen
den HF-Zuleitungen vorhanden, werden die Pro-
ben verworfen.
Das Resultat war ernüchternd und errinnerte un-
mittelbar an Murphy’s Gesetz (vgl. [
Mat95
]).
So waren meist gut strukturierte Proben schlecht
angepasst, sodass ein Kurzschluss auf Masse be-
stand, oder dann waren gut angepasste Proben
schlecht strukturiert.
Hierbei muss aber auch erwähnt werden, dass
bei einigen Herstellungsdurchgängen die 120er
Blende verwendet wurde für die Koordinatende-
finition. Für diesen als 0ter Schritt aufgeführte
Vorgang muss zwingend die 10er Blende genom-
men werden. Von ca. 25 hergestellten Proben
kamen dann nur zwei in Frage für eine Messung:
Die Probe C3 und C9.
Abbildung 3.53
Eine geglückte Probe unter dem Ras-
terelektronenmikroskop.
Grundsätzlich ist die Prozessentwicklung nahezu
abgeschlossen. Was hier noch fehlt ist eine bessere
Untersuchung von der Copolymerschichtdicke für
verschiedene Wafergrößen. Es stellt einen wichti-
gen Punkt dar für den Herstellungsprozess, dass
die Schichtdicke auf 20
µ
m genau bestimmbar ist.
Um unterschiedliche Voraussetzungen zu vermei-
den, sollte auch bei jeder Serie die gleiche Größe
des Wafers verwendet werden.
34
3.3 Proben 3 TECHNISCHER ABSCHNITT
Einige Parameter wie Luftfeuchtigkeit, Tempera-
tur oder Konzentration der Entwickler wurden
wenig kontrolliert. Bei den ersten zwei Punk-
ten wurde sich auf die Klimaanlage verlassen.
Die Entwickler wurden zu Beginn neu gemischt
und stets die gleichen weiter verwendet. Bei je-
dem Entwicklungsvorgang nimmt so natürlich
die Konzentration ein wenig ab. Erfahrungswerte
zeigen aber, dass der Einfluß über diese Menge
der hergestellten Proben vernachlässigbar ist.
Bei der Aufdampfanlage sollte verstärkt darauf
geachtet werden, dass die Tiegel ausgeheizt wer-
den vor Gebrauch, damit eine allfällige Konta-
minierung der Metalle ausgeschlossen werden
kann.
35
4 ANALYTISCHER ABSCHNITT
4 Analytischer Abschnitt
Es wurden zwei Proben gemessen, welche un-
terschiedliches Aussehen aufweisen. So war die
Probe C3 jeweils über die supraleitenden Elektro-
den kurzgeschlossen (siehe Abbildung 4.54). Dass
bedeutet, dass der Strom die ferromagnetische
Zwischenschicht nicht durchqueren musste. Die
Probe C9 zeigte dafür eine klare SFS-Struktur
(siehe Abbildung 4.55).
5872 nm
285 nm
P
Abbildung 4.54
REM-Aufnahme (Rasterelektronenmi-
kroskop-Aufnahme) der Probe C3. Zu sehen sind zwei
getrennte Leiter aus Aluminium (Blau) mit einer Zwi-
schenschicht aus Kobalt (Rot).
Am Punkt P bei der Probe C3 kann nicht aus-
geschlossen werden, dass die zwei Aluminiumlei-
tung miteinander verbunden sind. Dasselbe gilt
auch für die Abschnitte, bei denen die Struktur
senkrecht zur Drehachse für die Schattenbedamp-
fung verläuft. Ansonsten sind die Kontaktflächen
stets mit einer 7
µ
m dicken Zwischenschicht Ko-
balt getrennt.
Bei der Probe C9 sind die Zwischenräume der
Zuleitungen beim Lift-Off nicht abgelöst worden.
Da aber sowieso nur über die inneren zwei Lei-
tungen die Spannung abgegriffen wird, sollte dies
keinen Einfluss auf die Messungen haben.
Jedoch ist am Punkt Q einen sehr dünnen Leiter
zu sehen. Diese Engstelle und die Tatsache, dass
die Elektroden nur über eine kleine Fläche von
200x400 nm miteinander kontaktiert sind, wird
dazu führen, dass der Widerstand um ein Vielfa-
ches höher ausfallen wird.
Bei Proben weisen eine eher schlecht definierte
Geometrie auf und bergen damit das Potenti-
al für Überraschungen in den Messungen. Dies
führt eben auch darauf hinaus, dass ein einfaches
RCSJ-Modell nicht ausreicht, um eine quanti-
tative Auswertung zu liefern. Daher werden im
Folgenenden vielfach nur die Ergebnisse ohne
physikalische Interpretation dargestellt.
Q
3276 nm
Abbildung 4.55
Rasterelektronenmikroskopaufnahme
der Probe C9.
4.1 Bestimmung von Rnoberhalb Tc
Beide Proben wurden bei Temperaturen über-
halb der kritischen Temperatur
Tc≈
1
.
15 K
[
Gro13
] von Aluminium auf deren normalleiten-
den Widerstand untersucht. Dazu wurde durch
Probe C3 mittels einer angelegten Bias-Spannung
zwischen -5 und 5 V ein Strom aufgeprägt und
jeweils den herrschenden Strom über dem Refe-
renzwiderstand und die Spannung über der Pro-
be abgetastet. Dasselbe wurde für die Probe C9
gemacht. Hier musste das Spannungsintervall an-
gepasst werden, sodass nur von -0.6 bis 0.6 V
gefahren wurde.
Mittels linearer Regression können jeweils
Rn
be-
stimmt werden. Die Werte wurden bei C3 über
36
4.2 Transmissionsspektrum 4 ANALYTISCHER ABSCHNITT
vier und bei C9 über zwei Durchläufe gemittelt.
Die erhaltenen Werte sind in Tabelle 8 notiert.
Tabelle 8
Aus den Regressionskurven ermittelten Werte
des normalleitenden Widerstandes.
Probe Temperatur Widerstand Rn
C3 2.9 K 3.9±1.25·10−4Ω
C9 4.2 K 138.9±1.75 ·10−4Ω
Wie zu erwarten war, besitzt die Probe C9 einen
wesentlich höheren Widerstand. Um zu sehen,
ob diese Werte mit bisherigen Erfahrungen von
mesoskopischen Aluminiumstrukturen überein-
stimmen, wird der spezifische Widerstand
%
be-
rechnet.
Bei der Probe C3 kann die Querschnittsfläche
auf
A
= 50
·
540 nm
2
und die Länge zwischen
den zwei inneren Elektroden auf
L
= 3
.
2
µ
m
abgeschätzt werden. Damit erhält man einen spe-
zifischen Widerstand von
%C3 =RA
L≈0.0329 Ωmm2/m.(60)
Für die Probe C9 ist eine Abschätzung schwieri-
ger, da eine starke Einschnürung vorhanden ist.
Rechnet man aber mit dem erhaltenen Wert von
(60)
, mit einer Leiterdicke von 50 nm und einer
Länge von
L
= 3
.
2
µ
m, müsste dies eine Breite
der Leiterbahn von 15.1 nm entsprechen.
Da diese offensichtlich – abgesehen der Engstelle
am Punkt Q – breiter ist, wird hier der spezifische
Widerstand um einiges höher sein. Insbesondere
auch deshalb, weil hier kein Kurzschluss der Alu-
miniumelektroden vorkommt und der spezifische
Widerstand von Kobalt von sich aus schon höher
ausfällt.
Anhand von Erfahrungswerte von Aluminium-
Bruchkontakten mit einem spezifischen Wider-
stand von 0.0273 Ω
mm2/
m liegt nun der bei der
Probe C3 vorliegende spezifische Widerstand um
ca. 20% höher. Da Kobalt einen fast sechsmal so
hohen spezifischen Widerstand vorweist wie Alu-
minium, ist dieses Resultat durchaus plausibel.
Nichtsdestotrotz kann nicht mit absoluter Sicher-
heit ausgeschlossen werden, dass über die eine
äussere Elektrode gemessen wurde. Denn obwohl
nur die zwei inneren angeschlossen wurden, könn-
te immernoch ein Kontakt zur äusseren Elektro-
de entstanden sein. Dieser Gedanke liegt auch
deshalb nahe, da die innere Elektrode nach der
Messung unterbrochen war. Darüber, ob dies vor
oder erst nach den Messungen geschah, kann
leider keine Aussage getroffen werden.
4.2 Transmissionsspektrum
Um eine Vorhersage einer theoretischen Publi-
kation von 2011 [
Hik11
] zu bestätigen, soll das
Verhalten von Josephson-Strömen unter HF-
Einfluß untersucht werden, wenn sich die ferro-
magnetische Schicht in ferromagnetischer Reso-
nanz befindet.
Dazu werden zunächst Vorversuche durchgeführt,
um die Resonanzbedingungen zu finden. Das ap-
plizierte Feld liegt in der Probenebene senkrecht
zur Stromrichtung.
Nach Abschnitt 2.2 gilt die Resonanzbedin-
gung
ν=γH =gµB
hH. (61)
Daraus folgt mit einem gyromagnetischen Faktor
g
= 2
.
14 [
Wie01
] von Kobalt ein Proportiona-
litätsfaktor von ca.
γ≈
300 MHz/10mT. Das
heißt also, dass sich die Resonanzfrequenz einige
hundert MHz verschieben sollte, wenn das Ma-
gnetfeld um 10 mT erhöht wird. Angenommen
das effektive Feld an der Probe stimmt mit dem
angelegten Feld überrein, würde sich bei 200 mT
eine Resonanzfrequenz von fast 6.0 GHz einstel-
len.
Zunächst wird ein Kalibrierungsspektrum bei
0 mT aufgenommen. Siehe hierzu blauer Kurven-
verlauf in Abbildung 4.56. Als Vergleich ist auch
das Spektrum im B-Feld (roter Kurvenverlauf)
gezeigt.
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
-100
-80
-60
[GHz]
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
[dB]
-100
-80
-60
50 mT
0 mT
Abbildung 4.56
Unkalibrierte Transmissionsspektren
von 2 bis 8 GHz mit und ohne Magnetfelder. Die Auflö-
sungsbandbreite des Spektrumanalysators beträgt 100 Hz.
Man muss sich im Klaren sein, dass das aufgenom-
mene Spektrum natürlich nicht nur die Trans-
mission durch die Probe zeigt, sondern auch die
ganze Verkabelung. Aus diesem Grund zeigt sich
die Transmission eher schwach. Das Signal lässt
sich aber dennoch mit einer genug geringen Auflö-
sungsbandbreite gut detektieren und auswerten.
37
4 ANALYTISCHER ABSCHNITT 4.3 IV-Charakteristik
Es zeigt an der Stelle von etwa 4.4 GHz eine
ausgeprägte Resonanz und ab 6 GHz eine zuneh-
mende Dämpfung bis unter -100 dBm, welches
klar den Frequenzverlauf der Mikrokoaxialkabel
(vgl. Abb. 3.30) wiedergibt.
[GHz]
5.5
2.0
2.5
0 mT
200 mT
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
Normierte Signalantwort [dBm]
6420246
Abbildung 4.57
Transmissionsspektren von 2 bis 6 GHz
mit Magnetfelder bis 200 mT. Die Auflösungsbandbreite
des Spektrumanalysators beträgt 100 Hz. Es sind keine
Verschiebungen von Absorptionslinien zu verzeichnen.
Falls es also zu einer Resonanz kommt, wird
man dies im Spektrum erkennen durch die Fre-
quenzverschiebung über verschiedene Magnetfel-
der. Leider konnte bei den Messungen keine Re-
sonanz erkannt werden. Alle Absorptionen und
Anregungen, welche in Abbildung 4.57 zu sehen
sind, zeigen keine Frequenzverschiebung und ha-
ben ihren Ursprung in der Impedanzveränderung.
Zusätzliche Effekte, wie sie im Abschnitt 2.2 auf-
geführt sind, bewirken natürlich, dass
Hex 6
=
Heff
gilt, werden aber nicht so stark eingeschätzt, als
dass diese den Resonanzbereich aus der gemesse-
nen Bandbreite herausschieben könnten.
Es wird vermutet, dass die FMR-Intensität für
eine nur 7 nm dicke Kobalt-Schicht einfach zu
niedrig ist, als dass diese noch detektiert wer-
den könnte. Zudem weist Kobalt neben einer
eher schwachen FMR-Intensität auch eine ver-
hältnismäßig hohe Bandbreite von ca. 10 mT auf
[Zha98].
Jedoch ist es nicht unmöglich die experimentel-
le Umgebung zu schaffen, damit genug sensitiv
gemessen könnte, um Kobaltschichten unter 10
nm zu untersuchen. Als Beispiel kann hier die
Untersuchung von 1.5 nm Kobalt auf Galliumar-
senid von Beaujour et. al. [
Bea06
] angeführt
werden. Hierzu muss aber eine Breitbandanpas-
sung der Messvorrichtung überhalb von 10 GHz
gewährleistet werden. Dies war aber nur schon
wegen den verwendeten Mikrokoaxialkabel nicht
gegeben.
Durch Auswechseln der verwendeten Mikroko-
axialkabel und einer neuen Kontrollmessung der
Messverkabelung in Frequenzen überhalb von
7 GHz sollten die Grundvoraussetzungen dazu
geschaffen werden, um FMR-Untersuchungen von
den verwendeten Strukturen durchführen zu kön-
nen.
Für das Finden der effektiven Resonanzbedingun-
gen sind allenfalls auch reine FMR-Proben mit
einer dickeren Co-Schicht von Nutzen. Bei einer
solchen Probe sollte dann auch darauf geachtet
werden, dass der Waveguide nicht unterbrochen
wird. Damit kann eine weitere Fehlanpassung ver-
mieden werden. Die Kobaltschicht würde dann
über einer durchgehenden Transmissionsleitung
aufgebracht werden.
4.3 IV-Charakteristik
Trotzdem die effektiven Resonanzbedingungen
nicht gefunden wurden, können die Proben über
die Stromabhängigkeit der abfallenden Spannung
charakterisiert werden. Hierzu wird ganz analog
zur Bestimmung des Normalwiderstandes den
Bias-Strom durchgefahren.
Befindet sich das System in einem Bereich, in der
Spannung abfällt, ist ein Widerstand größer Null
vorhanden und es entsteht Joule’sche Wärme.
Bei Temperaturen um 100 mK reagiert das Sys-
tem ziemlich empfindlich darauf. Daher werden
bei den Messungen auch stets die Temperaturen
über der Spannung aufgetragen, falls sich diese
signifikant ändert.
38
4.3 IV-Charakteristik 4 ANALYTISCHER ABSCHNITT
4.3.1 IV-Charakteristik Probe C3
In Abbildung 4.58 ist Temperatur, Strom und
differentieller Leitwert über der gemessenen Span-
nung aufgetragen.
Abbildung 4.58
Temperatur, Strom und differentieller
Leitwert über der gemessenen Spannung von der Probe
C3.
Der differentielle Leitwert zeigt sich stark unter-
schiedlich für auf- oder absteigende Spannungen,
ist aber achsensymmetrisch. Sowohl die Tem-
peraturabweichung von ca. 6 mT, als auch die
Sweep-Geschwindigkeit können zu diesem Effekt
beitragen. Der gesamte Bereich wurde in 300 s
durchgefahren und gestaltete sich damit eigent-
lich genug langsam, um nicht zu solchen starken
hysteretischen Effekte des Lock-In-Verstärkers
zu führen. Damit scheinen diese gemessenen Vor-
kommnisse stark temperaturabhängig zu sein.
Es ist klar ersichtlich, dass der Kontakt über-
dämpft ist (vgl. Abb. 2.18). Interpoliert man
den Übergang von normalleitendem Ast zum
Suprastrom-Ast ergibt dies einen maximalen kri-
tischen Strom Ienh = 14.9µA.
Wie bereits im Vorfeld erwähnt, bildet die Probe
C3 keinen SFS-Kontakt, da die supraleitenden
Elektroden miteinander verbunden sind. Dies
lässt sich bereits daran ablesen, dass kein ausge-
prägter „Excess-Strom“ zu erkennen ist. Würde
nämlich ein SNS-Kontakt vorliegen, würde die
Regression der
IRn
-Linie nicht durch den Null-
punkt führen, sondern nach der BTK-Theorie bei
V= 0 durch den Excess-Strom Iex >0[Blo82].
Für diese IV-Charakteristik passt eher eine sim-
ple Einschnürung eines Supraleiters. Einen sol-
chen Kontakt wird gerne als Dayem-Brücke be-
zeichnet und zeichnet sich unter anderem da-
durch aus, dass sich die IV-Kurve schnell an die
IRn-Linie angleicht [Wal70].
Iex
Ienh
Ic
Abbildung 4.59
Bias-Strom über dem positiven Span-
nungsachsenabschnitt der Probe C3.
In Abbildung 4.59 ist ein vergößerter Ausschnitt
der Strom-Spannungscharakteristik der positiven
Spannungsachse gezeigt. Darin wurde eine lineare
Regression durchgeführt für die Spannungswerte
100µV<Ufit <210µV. Das Resultat
In=U·(0.1816 ±7.687·10−6)
+0.7390 ±1.231·10−3µA(62)
zeigt einen Excess-Strom von ca. 0.7
µ
A und
einen Widerstand Rn= 5.504 ±2.329·10−4Ω.
Da der Widerstand im supraleitendem Regime
um über 40% von dem Widerstand aus Tabelle 8
abweicht, wird vermutet, dass dies durch eine
Veränderung der Probe verursacht wurde. Die
eine innere Mess-Elektrode zeigte sich nach den
Messungen unter dem REM defekt. Sie könnte
während dem Einkondensierungsvorgang zerstört
worden sein, womit dann durch einen metalli-
schen Kurzschluss zur äusseren Elektrode einen
höheren Widerstand erst beim Mess-Vorgang bei
T < 1.2Kentstanden ist.
Die Erklärung zu einem üblicherweise stärker
ausgeprägten Excess-Strom findet sich in der
39
4 ANALYTISCHER ABSCHNITT 4.3 IV-Charakteristik
BTK-Theorie [
Blo82
], welche von dem Modell
der Andreev-Reflektionen (Abschnitt 2.4.7) aus-
geht. Werden also beispielsweise durch polarisier-
tes Material Andreev-Reflektionen unterdrückt,
folgt als unmittelbare Konsequenz auch eine Ab-
nahme des Excess-Stromes.
Dieser Ansatz könnte den niedrigen Wert für
Iex
erklären. Hierzu hat aber die in diesem Fall
nur angrenzende ferromagnetische Schicht einen
doch größeren Einfluß als zunächst gedacht für
diese Probe. Leider können allfällige Andreev-
Reflektionen nicht untersucht werden, da der Su-
prastrom schon weit unterhalb der Energielücke
∆Al auf den normalleitenden Ast zurückfällt.
Angenommen die angrenzende Schicht zeigt ei-
ne Spinpolarisation auf, würde sich nahe dem
Ferromagneten eine andere Zustandsdichte für
die eine Spinrichtung einstellen wie auf der an-
deren Seite. Dies hätte zur Folge, dass die Su-
prastromdichte in Querrichtung zum Strom ei-
ne örtliche Abhängigkeit besitzt. Ob eine solche
Grenzflächenpolarisation ähnlich wie beim Spin-
Hall-Effekt zu Leitungskanäle auf dem äusseren
Rand des Supraleiter führt und inwiefern dies
einen Einfluss auf Andreev-Reflektionen hat,
müsste überprüft werden.
Ein weiteres Augenmerk gilt den Störungen
bei 2.3, 23.9, 36.2 und 65.3
µ
V (schwarze
Pfeile in Abbildung 4.59) im Übergangsbe-
reich
8µA < I < 19µA
. Dieser Übergangsbe-
reich zeichnet sich dadurch aus, dass neben einem
immernoch vorhandenen Suprastrom auch ein
normaler Ladungsstrom fließt und zunehmend
gegen größere Ströme an Bedeutung gewinnt.
Die Abweichung zur interpolierten Kurve, welche
zu
Ienh
führt, kann mit der Theorie des Phasen-
schlüpfens (vgl. Abschnitt 2.16) erklärt werden.
Die Temperatur der Messung lag im Mittel bei
T
= 123
.
6
±
5
.
288 mK und lassen thermische
Fluktuationen zu.
Betrachtet man das Waschbrettpotential aus dem
RCSJ-Modell in Abbildung 2.17, welches ein Qua-
siteilchen verspürt, so wird bei
I > Ic
die Energie
des QT langsam angehoben, bis es das lokale
Maximum überschritten hat und fällt an dem
steilen Abschnitt auf ein niedrigeres Energieni-
veau. Dieses Herunterfallen korrespondiert mit
den Spannungspulse, welche an den genannten
Positionen erkennbar sind.
Dieser Effekt lässt sich verstärkt in langen su-
praleitenden Filamenten – so wie es eigent-
lich auch die Probe C3 darstellt – beobach-
ten [
Tin04
, S. 427]. Bei Temperaturen nahe
Tc
können da sogar richtige Stufen in der IV-
Charakteristik erscheinen. Die Untersuchung von
solchen „Nichtgleichgewichts-Phänomenen“ führ-
te zu einer Erklärung durch sogenannte Pha-
sengleitzentren (PSC), welche sich in den Fila-
menten bildet. Die dazu ausgearbeitete Theorie
lässt sich in [
Sko74
] finden. Weitere Arbeiten
darüber finden man von Tidecks in diversen
Publikationen wie beispielsweise in [Tid90].
4.3.2 IV-Charakteristik Probe C9
Die Strom-Spannungs-Charakteristik der
Probe C9
zeigt keinen ausgeprägten Suprastrom
wie bei der Probe C3. Die IV-Kurve in der Mitte
der Abbildung 4.60 sieht nahezu linear aus. Sie
ist es aber nicht ganz, wie im differentiellen Leit-
wert gut erkennbar ist.
Da auch der Strom um einiges kleiner aus-
fällt als bei der Probe C3, ist die Tempera-
tur stabiler geblieben und beträgt im Mittel
61.60 ±0.4180 mK.
Abbildung 4.60
Temperatur, Strom und differentiel-
ler Leitwert über der gemessenen Spannung von der
Probe C3.
Die Supraleitung ist in der Probe C9 stark
unterdrückt. In dem ganzen Bereich zwischen
-2 µA und 2 µA
dominiert demnach neben einem
40
4.4 IV-Charakteristik im B-Feld 4 ANALYTISCHER ABSCHNITT
sich schwach ausbildenden Suprastrom ein ge-
wöhnlicher Ladungstransport. Damit kann davon
ausgegangen werden, dass die Kohärenzlänge
ξF
kleiner ist als die Schichtdicke von Kobalt mit
7 nm.
Aufgrund der verengten Stelle an Punkt Q in
Abbildung 4.55 bildet dieser Kontakt eigentlich
einen SFS-Kontakt und eine Dayem-Brücke in
Serie.
Betrachtet man den vergrößerten Bereich in Ab-
bildung 4.61, erkennt man mit einer linearen
Regression entlang des Bereiches mit (nahezu)
konstantem differentiellen Leitwert einen eben-
falls sehr kleinen Excess-Strom von ca.
Iex
=
0.3µA.
Iex
Ic
Abbildung 4.61
Bias-Strom über dem positiven Span-
nungsachsenabschnitt der Probe C9.
Die Regressionsgerade lautet
I=U·(7.973·10−3±2.384·10−7)
+0.3264 ±7.176·10−5µA(63)
und führt auf den normalleitenden Widerstand
von
Rn
= 125
.
4
±
3
.
578
·
10
−3
Ω. Dies stimmt
mit weniger als 10% Abweichung gut mit dem
normalleitenden Widerstand bei
T
= 4
.
2K aus
Tabelle 8 überrein.
Der differentielle Leitwert zeigt bei der Spannung
von
±
207
µ
V einen kleinen Sprung. Der Span-
nungswert könnte mit nur 13 % Abweichung zur
supraleitenden Energielücke von Aluminium von
180 µeV [Gro13] korrespondieren.
4.4 IV-Charakteristik im B-Feld
Nun sollen die beiden Proben im B-Feld unter-
sucht werden. Das angelegte Feld ist parallel zur
Probenoberfläche und orthogonal zur Stromrich-
tung. Bei beiden Proben wurde von -120 bis
120 mT in 100 Schritten jeweils zweimal die Bias-
Spannung durchgefahren. Bei der Probe C3 die
Bias-Spannungswerte von -6 bis 6 V und bei der
Probe C9 von -0.9 bis 0.9 V.
4.4.1 Probe C3
Es wurden zunächst die IV-Kurven der beiden
Messungen von auf- und absteigendem Strom
miteinander verglichen. Da diese so wie im Ab-
schnitt zuvor nur anhand des Temperaturunter-
schiedes ein wenig anders verlaufen und die Mes-
sungen auch keine Hysterese zeigen, werden im
Folgenden nur die Up-Sweeps verwendet. Die
Temperatur bleib bei diesen Messung stabil bei
ca. 120 ±10 mK.
Ic
010
20
40
60
80
100
30
50
70
90
110
[mT]
Abbildung 4.62
Die IV-Kurvenschar für positive Span-
nungen und Felder der Probe C3.
In Abbildung 4.62 sieht man Strom-Spannungs-
Relationen in Abhängigkeit des Magnetfeldes.
Sie wurden in Spannungsrichtung aufgefächert,
sodass sichtbar wird, dass der Suprastrom mit zu-
nehmendem Magnetfeld abnimmt. Das liegt auch
daher, dass das Waschbrettpotential aus dem
RCSJ-Modell mit zunehmendem Strom mehr ge-
kippt wird. Auch die thermischen Störungen ver-
schieben sich in niedrigere Strombereiche, was
den Erklärungsansatz der PSC (vgl. Abschnitt
4.3.1) stützt.
41
4 ANALYTISCHER ABSCHNITT 4.4 IV-Charakteristik im B-Feld
Bei ungefähr 60 mT findet man keinen Supra-
strom mehr und bei knapp 100 mT verläuft die
IV-Kurve linear. Die kritische Stromdichte sollte
zwar überhalb von 60 mT nach Abbildung 2.21
wieder zunehmen, lässt sich aber auf Grund der
Überdämpfung nicht mehr messen, da das kriti-
sche Feld an dieser Stelle bereits überschritten
wurde.
Insbesondere sieht man keine Abnahme, wel-
che der Fraunhofer-Funktion
(49)
folgen wür-
de, sondern eher einen linearen Zusammenhang
Ic∝B
mit einem Proportionalitätsfaktor von
ungefähr -0.13
µ
A/mT. Wobei die Positionen des
zweiten Spannungsprungs (siehe graue Linie) of-
fensichtlich eher dem erwarteten Verlauf folgen.
Für jede Kurve wurden die Werte
U&
0
.
979
·B
an eine Regressionskurve angepasst und die resul-
tierenden Werte in Abbildung 4.63 aufgetragen.
Der normalleitende Widerstand sowie der Wert
des Excess-Stromes nahmen mit zunehmendem
B-Feld ab und liefen ab ca. 100 mT in einen kon-
stanten Wert. Der konstante Wert von
Iex
in ho-
hen Feldern von ungefähr 0
.
2
µ
A muss innerhalb
der Ausleseungenauigkeit um 0
µ
A liegen, da
im normalleitendem Zustand kein Excess-Strom
zustande kommen kann.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
I
ex
[
µ
A]
0 20 40 60 80 100 120
B
[mT]
5.35
5.40
5.45
5.50
5.55
Rn
[
Ω
]
Abbildung 4.63
Abhängigkeit von Excess-Strom und
normalleitender Widerstand vom angelegten B-Feld.
Interessant ist auch eine allfällige Remanenz des
Kobalts. Falls sich die dünne Kobalt-Schicht tat-
sächlich magnetisieren lässt, würde man das ef-
fektive Null-Feld an der Probe nicht bei
B
= 0
sehen, sondern bei einem Koerzitivfeld
Bk6
= 0.
Ein solches Verhalten müsste sich durch die maxi-
male gemessene Spannung im Normalzustand der
Probe in der Strom-Spannungs-Charakteristik er-
kennbar zeigen.
Es werden Felder von -120 bis 120 mT durchge-
fahren und in Abbildung 4.64 der differentielle
Leitwert über der abfallenden Spannung aufge-
tragen.
-120 mT
-100 mT
-80 mT
-60 mT
-40 mT
-20 mT
0 mT
20 mT
40 mT
60 mT
80 mT
100 mT
Abbildung 4.64
Differentieller Leitwert über der Span-
nung für 100 verschiedene B-Felder zwischen -120
und 120 mT. Die Kurvenverläufe zeigen sich eher um
Bk≈
5mT symmetrisch als um das äußere Null-Feld
bei der roten Kurve.
Die Kurven in positiven und negativen B-Feld-
Werte zeigen sich symmetrisch um eine kleine
Verschiebung um Bk(C3) = 5 ±2mT.
4.4.2 Probe C9
Auch für die Probe C9 wurde von -120 bis 120 mT
in 100 Schritten die IV-Charakteristik gemessen.
Da in diesen keine markanten Mermale erkennbar
sind, gehen wir gleich über zu den differentiel-
len Leitwerten in Abhängigkeit des aufgeprägten
Stromes.
In Abbildung 4.65 sind die differentiellen Leit-
werte über dem Strom und die Temperaturen
an der Probe aufgetragen. Aufgrund einer Insta-
bilität des Mischsystems blieb die Temperatur
leider nicht stabil, sondern pendelte nach einem
Überschwinger auf fast 250mK zwischen 100 und
160 mK.
Aber auch hier zeigt sich, dass ein Restfeld
vorhanden war beim Nullfeld-Durchgang. Das
Strommaximum des Leitwertsanstiegs liegt bei
15
±
3
.
0mT. Damit zeigt sich, dass sich bei die-
ser Probe das ferromagnetische Material besser
magnetisieren lässt als bei der Probe C3. Dies
42
4.4 IV-Charakteristik im B-Feld 4 ANALYTISCHER ABSCHNITT
liegt daran, dass sich das effektive Feld im Fer-
romagnet bei dieser Probe durch weniger starke
Abschrimströme im Supraleiter besser ausbilden
kann.
Abbildung 4.65
Differentieller Leitwert über dem Strom
für 100 verschiedene B-Felder zwischen -120 und 120 mT.
Die rote Kurve zeigt wieder die Messung bei
B
= 0 mT.
Auf der linken Seite sieht man den Temperaturverlauf.
Leider verlor das Mischsystem ihre Stabilität während
der Messung. Der Pfeil zeigt Strommaximum für einen
Anstieg des Leitswerts bei 15 mT.
In Abbildung 4.65 sind zwei Merkmale im Leit-
wert zu sehen. Die dazugehörigen Stromwerte
werden mit
Ic1
und
Ic2
bezeichnet. So wie der
Verlauf zeigt, verhält sich die Abhängigkeit linear,
wobei der Proportionalitätsfaktor temperaturab-
hängig ist. Das heißt, es gilt
Ic=Ic,0+p(T)B. (64)
Die Temperatur blieb bis zur Messung bei
-27.0 mT
stabil bei 61
.
4
±
1
.
8mK. Daher werden
für die Regressionskurven nur die Positionen der
Leitwertanstiege von den Messungen zwischen
-120 und -27 mT verwendet. Zudem wird das
vermutlich effektive Feld
B
=
Bout −
15 mT ver-
wendet.
Die ausgelesenen Daten und die Regressionskur-
ven sind in Abbildung 4.66 zu sehen. Die eruier-
ten Werte sind in Tabelle 9 gelistet. Man sieht,
dass der Wert
Ic1,0≈
1
.
82
µ
A mit der Nullfeld-
Verschiebung sehr gut mit dem Ergebnis aus
Abschnitt 4.3.2 übereinstimmt.
Abbildung 4.66
Untersuchung zweier Leitwertanoma-
lien der Probe C9 im B-Feld. Zu sehen sind ausgelesene
Datenpunkte und die dazugehörige Regressionskurve ge-
mäß Gleichung 64. Die Dazugehörigen Werte finden sich
in Tabelle 9.
Tabelle 9
Leitwertanomalien in Abhängigkeit des Ma-
gnetfeldes der Probe C9. Die Werte korrespondieren zur
Regressiongeraden gemäß Gleichung (64).
Ic1,01.82 ±1.03·10−2µA
Ic2,07.71 ±3.48·10−2µA
pc1(61.4mK) 10.6±0.13 µA/T
pc2(61.4mK) 59.4±0.38 µA/T
Nun wird die Probe C9 im B-Feld unter HF-
Einfluss bei
ν
= 1
.
65 GHz analysiert. Diese Mes-
sung bildete die erste für verschiedene Frequenzen
und erwies sich als letzte, da das Mischungssys-
tem danach nicht mehr stabil genug lief, um weite-
re Untersuchungen anzustellen. Nichtsdestotrotz
wird diese erste Messung unter HF-Eeinfluss für
die Probe C9 aufgeführt.
-120
-102
-84
-66
-48
-30
B [mT]
Abbildung 4.67
Differentieller Leitwert über dem Strom
für verschiedene B-Felder zwischen -120 und -24 mT.
Wie im vorhergehenden Abschnitt blieb die Tem-
peratur während der Messung nicht stabil. Da
die Temperatur nahezu identisch mit dem Ver-
lauf in Abb. 4.65 verlief, werden hier gleich zu
43
4 ANALYTISCHER ABSCHNITT 4.4 IV-Charakteristik im B-Feld
Beginn nur die Werte zwischen -120 und -24 mT
verwendet.
In Abb. 4.67 ist der differentielle Leitwert als
Funktion von
I
und
B
gezeigt. Alle Kurven zei-
gen deutliche Stufen bei drei Stromwerten
I1
,
I2
und
I3
. Inwiefern diese mit den kritischen Strö-
men ohne HF-Signal vergleichbar sind, wird in
Abbildung 4.4.2 gezeigt. Die Leistung des Signal-
generators betrug -36.27 dBm.
Man sieht, dass die Stromwerte
Ic1
des Leitwert-
anstiegs auf
I1
abgesenkt werden durch den auf-
geprägten Wechselstrom. Zudem ist eine neue
Signatur, welche zu den Werten
I2
und
I3
korre-
spondieren, zu erkennen. Zwischen diesen zwei
Werten erhöht sich der Leitwert in etwa gleichem
Maße wie zwischen
I
= 0 und
I1
. Dafür ist die
stärker vom B-Feld abhängige Signatur bei
Ic2
aus Abschnitt 4.4.2 verschwunden. Ein Vergleich
ist in Abbildung 4.68 gezeigt. Die Steigung und
der Null-Durchgang von
Ic1
,
Ic2
und
Ic3
ist in
Tabelle 10 gelistet.
Abbildung 4.68
Leitwertanstiege der Probe C9 unter
Einfluss von Wechselstrom mit
ν
= 1
.
65 GHz in Abhän-
gigkeit des Magnetfeldes. Zusätzlich sind die Regressions-
kurven mit den Werten aus Tabelle 10 eingezeichnet.
Tabelle 10
Leitwertanomalien in Abhängigkeit des B-
Feldes der Probe C9 unter HF-Einfluss mit
ν
= 1
.
65 GHz.
Die Werte korrespondieren zur Gleichung (64).
Ic1,01.66 ±5.87·10−3µA
Ic2,01.94 ±1.39·10−2µA
Ic3,02.92 ±1.18·10−2µA
pc1(61.4mK) 9.25 ±0.065 µA/T
pc2(61.4mK) 5.48 ±0.15 µA/T
pc3(61.4mK) 9.92 ±0.13 µA/T
Die Werte
I1
,
I2
und
I3
wurden von Hand aus-
gelesen und lagen im negativen Strombereich
betraglich im selben Bereich. Auf Grund dieser
Symmetrie wurde nur der positive Strombereich
gezeigt.
In Abbildung 4.67 erkennt man auch eine Unre-
gelmäßigkeit, welche durch den gemessenen Be-
reich zwischen -80 und -30 mT durchzieht.
Eine physikalische Interpretation der beschriebe-
nen Effekte bei der Probe C9 kann nicht schlüs-
sig gemacht werden. Es scheint aber so, dass in
zwei diskreten Strombereiche Supraleitung zum
Vorschein kommen kann, wenn die Probe unter
Hochfrequenzeinfluss steht.
44
4.5 Shapiro Stufen 4 ANALYTISCHER ABSCHNITT
4.5 Shapiro Stufen
In diesem Abschnitt werden die Messungen mit
zusätzlichem Hochfrequenz-Wechselstrom der
Probe C3 analysiert. Diese Messungen werden
sowohl mit als auch ohne zusätzliches B-Feld
durchgeführt und untereinander verglichen.
Die zu erwartenden Shapiro-Stufen können in
Spannungs- oder in Stromrichtung untersucht
werden. Beide Aspekte geben Rückschlüsse auf
die Strom-Phasen-Relation und werden in zwei
Abschnitte gegliedert. Die dazugehörigen Grund-
lagen finden sich in Abschnitt 2.4.3.
Damit die Wechselstromamplitude für alle Fre-
quenzen ungefähr gleich hoch ist, wurde die Leis-
tung bei
ν
= 1 und
ν
= 6 GHz jeweils langsam
erhöht, bis kein Suprastrom mehr vorhanden war
bei
Pmax
. Dann wurde zwischen den zwei maxi-
malen Leistungswerten linear zu den Frequenzen
durchgefahren. Diese Methode führt in unserem
Fall zu einem guten Resultat.
Je nach Dämpfungscharakteristik sollte aber
der effektive Frequenzgang als Leistungsfunktion
Pmax
(
ν
)genommen werden, um saubere Messun-
gen durchführen zu können.
4.5.1 Spannungsstufen
Zunächst werden 100 IV-Kurven mit aufgepräg-
tem Wechselstrom zwischen 1 und 6 GHz in
50 MHz-Schritten bei
B
= 0 der Probe C3 aufge-
zeichnet. In Abbildung 4.69 ist der differentielle
Leitwert über Spannung und Frequenz zu sehen.
Bei der Einschnürung bei ca. 5.5 GHz, sieht man
eine Fehlanpassung der Leistung des HF-Signals,
obwohl im Spektrum in Abbildung 4.56 keine
Resonanz detektiert worden ist. Ansonsten zeigt
sich die Dämpfungscharakteristik näherungswei-
se linear.
Um die Werte gut miteinander zu vergleichen,
werden alle gemessenen Stromwerte über eine
normierte Spannungsachse 2
eV/hν
aufgetragen
und die Sättigung der Farbgebung von überein-
anderliegenden Kurvenverläufe miteinander mul-
tipliziert. In Abbildung 4.70 ist dieser Vergleich
zu sehen.
Um die Stufenpositionen noch besser herauszuar-
beiten, werden in äquidistanten Stromabständen
die Werte der abfallenden Spannung in ein Raster
gelegt, abgezählt und aufsummiert. Das daraus
resultierende Histogramm sieht man in Abbil-
dung 4.71.
Abbildung 4.69
Anhand des differentiellen Leitwertes,
welcher über Spannung und Frequenz aufgetragen ist,
lassen sich die Shapiro-Stufen erkennen.
Abbildung 4.70
In den IV-Charakteristika auftauchen-
de Shapiro-Stufen von 100 Messungen zwischen 1 und 6
GHz bei B= 0.
Abbildung 4.71
Aus Abbildung 4.70 erstelltes Histo-
gramm, welches die Positionen der Shapiro-Stufen wie-
dergibt.
45
4 ANALYTISCHER ABSCHNITT 4.5 Shapiro Stufen
Man sieht markante Stufen bei
U= 1.5nhν/2e
und eine subharmonische Struktur bei
U= (0.5+1.5n)hν/2e.
Das ist ziemlich erstaunlich, da das Ausblei-
ben der Shapiro-Stufe erster Ordnung bei
Un=1 =hν/2e
nur in speziellen Fällen beob-
achtet werden kann. So erscheint dieser Umstand
zum Beispiel, wenn ein gebundener Andreev-
Zustand getroffen wird und damit die Strom-
Phasenrelation 4
π
-periodisch wird [
Wie15
]. Al-
lerdings würde dann klar bei
n
= 1 eine Stufe
fehlen und höhere Ordnungen wieder regulär
sichtbar sein.
Die Stufen erscheinen aber einfach um den Fak-
tor 1.5 zu groß zu sein. Ein systematischer
Fehler durch einen ungewollten Spannungsteiler
zwischen den beiden Mess-Kabel kann ausge-
schlossen werden, da in einem solchen Fall keine
größere sondern eine kleinere Spannung abfallen
müsste.
Die Erklärung dieses Phänomens ist darin zu
suchen, dass es sich bei der Probe C3 nicht um
ein einzelnen Josephson-Kontakt sondern um
zwei oder gar mehrere in Serie handelt. Denn
bei solchen „Josephson-Arrays“ können dann
sowohl fraktionelle Stufen bei
U
=
n/q ·hν/
2
e
[
Cla73
], [
Ben90
] als auch ganzahlig größere Stu-
fen U=n·Nhν/2e[Tin04, S. 243] erscheinen.
Man nehme an, das gemessene System be-
steht aus einem Josephson-Kontakt, dessen
Josephson-Frequenz – siehe Gleichung
(39)
–
mit zwei Drittel der abfallenden Spannung pha-
senkoppelt. Die übrige Spannung
U/
3fällt über
einen zweiten in Serie geschalteten Josephson-
Kontakt ab.
Abbildung 4.72
Zwei in Serie geschaltete Josephson-
Kontakte. Die gemessene Spannung
U
über beide Kontak-
te teilt sich in zwei Teilspannungen
U1
und
U2
auf. Unter
Hochfrequenzeinfluß erscheinen die Shapiro-Stufen bei
den Positionen Ustep =nR1/R2·hν/2e.
Dieser Fall entspricht zwei reale Kontakte in Se-
rie, welche zu der Schaltung in Abbildung 4.72
korrespondiert.
Hierbei gilt gerade
R1/R2
= 3
/
2, sodass eben
genau wie in der Messung Shapiro-Stufen bei
Ustep =R1
R2
n·hν
2e= 1.5n·hν
2e(65)
erscheinen. Diese Konfiguration scheint auch
plausibel zu sein, wenn man sich das REM-Bild
in Abbildung 4.54 anschaut. Wenn nämlich die
Diskontinuität in der Mitte der Elektroden als
Aufweitung betrachtet wird, können die beiden
Abschnitte zwischen Elektrode und dieser Ver-
schiebung als zwei in Serie geschaltete Kontakte
bilden.
Auch in der nicht auszuschließenden Vermutung,
dass über die obere äußere Elektrode gemessen
wurde, kann die verbliebene Kontaktierung der
inneren Elektrode diese Aufteilung gewährleis-
ten.
Beide Möglichkeiten unterteilen den gemessenen
Bereich zwischen den Elektroden in dem Ver-
hältnis von 1:2 und legen eine Erklärungsweise
zweier in Serie geschalteter Kontake nahe.
Die „Substufen“ bei (
n−
1) +
n/
3deuten dar-
auf hin, dass die Strom-Phasen-Relation nicht
sinusoidal aber periodisch ist [
Rus72
]. Dieses
Verhalten kommt bei metallischen Kontakte häu-
fig vor und wurde bereits 60er Jahren erstmals
experimentell bestätigt [And64-1], [Cla68].
Eine solche entstehende subharmonische
Josephson-Oszillation lässt sich durch Rela-
xationsprozesse beschreiben [
Zim67
]. Zusätzliche
Induktivitäten im Ersatz-Schaltbild für einen
Josephson-Kontakt führen zu einer Verkippung
der Strom-Phasen-Relation und damit auch zu
subharmonischen Signaturen [Sul70].
Wird ein Magnetfeld angelegt, folgt eine zusätz-
liche Phasenverschiebung – vgl. Gleichung
(48)
–
durch den magnetischen Fluss durch die Probe.
Da diese Verschiebung in einer sinusförmigen
Suprastromdichteverteilung in Querrichtung re-
sultiert, beeinflusst das äußere B-Feld sicherlich
die Stufenhöhen in Strom-Richtung. Doch inwie-
fern kann das Magnetfeld die Energie-Signaturen
verändern?
Hier wird zunächst wieder eine Karte des Leit-
werts bezüglich Frequenz und Spannung (Abbil-
dung 4.73), die normierten IV-Kurven (Abbil-
dung 4.74 und ein Histogramm (Abbildung 4.75)
erstellt.
46
4.5 Shapiro Stufen 4 ANALYTISCHER ABSCHNITT
Abbildung 4.73
Anhand des differentiellen Leitwertes,
welcher über Spannung und Frequenz aufgetragen ist, las-
sen sich die Shapiro-Stufen erkennen. Hier im Magnetfeld
von 30 mT.
1 GHz
6 GHz
Abbildung 4.74
In den IV-Charakteristika auftauchen-
de Shapiro-Stufen von 100 Messungen zwischen 1 und 6
GHz bei B= 30 mT.
Es fällt auf, dass die Nicht-Linearität der Dämp-
fungscharakteristik verstärkt wird, da in Abbil-
dung 4.73 die Spannungswerte des Übergangs
zum normalleitenden Regime stärker schwanken
als in Abbildung 4.69.
In Abbildung 4.74 ist ein Abflachen der Kur-
venverläufe und ein vermehrtes Ausbleiben von
subharmonischen Strukturen zu sehen.
Vergleicht man nun die beiden Histogramme mit-
einander (Abbildung 4.75), erkennt man ganz
klar ein Absinken der Stufenhöhen, welches zu
dem Abflachen die Strom-Spannungs-Verläufe
führt. Im Weiteren ist ein Rückgang der sub-
harmonischen Strukturen beobachtbar – bei der
Spannung von
eV/hν
beispielsweise können in
fast allen Fällen keine Substufen mehr beob-
achtet werden. In höheren Spannungsbereichen
(>25
µ
V) können diese schon wegen der Über-
dämpfung des Kontakts nicht mehr detektiert
werden, jedoch lässt sich ein völliges Ausbleiben
bei einigen Frequenzen auch in niedrigeren Span-
nungsbereichen beobachten.
0 mT
30 mT
Abbildung 4.75
Aus Abbildung 4.74 erstelltes Histo-
gramm, welches die Positionen der Shapiro-Stufen wie-
dergibt. Das Zurückgehen der Anzahl Zählungen im Ma-
gnetfeld zeigt, dass die Stufenhöhen kleiner sind als im
Nullfeld.
Um besser zu sehen, wie sich die Stufenpositionen
verändern unter Hochfrequenzeinfluss und inwie-
fern ein Magnetfeld dieses Verhalten beinflusst,
sind die differentiellen Leitwerte aller durchge-
fahrenen Frequenzen in Abbildung 4.76 und 4.77
auf der nächsten Seite gezeigt.
Zu sehen ist, dass die Substufen im Null-Feld
überhalb der Frequenz von
ν= 1.6±0.05 GHz
verschwinden während sie im Magnetfeld
B= 30 mT
auch unterhalb dieses Bereiches nicht
zu sehen sind.
Augenfällig sind auch Sprünge zwischen subhar-
monische und harmonische Struktur oder ein
Auftauchen von Substufen in bestimmten Fre-
quenzbereichen. Solche Phänomene scheinen im
Magnetfeld vermehrt aufzutreten.
Die Bereiche, in welchen die harmonische Struk-
tur unterdrückt und nur noch die subharmoni-
sche Struktur zu sehen ist, kann beispielsweise
bei 3.7 Ghz für
n
= 2 im Nullfeld beobachtet
werden. Dieser Umstand deutet darauf hin, dass
ein einfaches System von zwei in Serie geschalte-
ten Kontakten entweder ein zu einfaches Modell
darstellt oder, dass die durch den Wechselstrom
verursachte Impedanzänderung das Verhältnis
47
4 ANALYTISCHER ABSCHNITT 4.5 Shapiro Stufen
1 GHz
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
Abbildung 4.76
Positionen der Shapiro-Stufen anhand
des differentiellen Leitwerts mit Hochfrequenzeinfluss zwi-
schen 1 und 6 GHz bei B= 0 mT.
1 GHz
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
Abbildung 4.77
Positionen der Shapiro-Stufen anhand
des differentiellen Leitwerts mit Hochfrequenzeinfluss zwi-
schen 1 und 6 GHz bei B= 30 mT.
R1/R2
so verändert, dass ein solches Phänomen
auftreten könnte. In diesem Fall wäre aber un-
klar, warum die Stufe bei 1
.
5
·
2
eV/hν
unverän-
dert bleibt.
Die Sprünge scheinen stets den Betrag von
eV/hν
aufzuweisen und fallen in höheren Spannungen
zum Teil auch zwischen die erwarteten Werte
wie dies beispielsweise für 7
·
2
eV/hν
im Bereich
zwischen 1.65 und 2.35 GHz bei 30 mT bzw. im
Bereich von 1.85 und 2.2 GHz bei 0 mT der Fall
ist.
Um zu untersuchen, wie das Magnetfeld für das
Verschwinden von Substufen verantwortlich ist,
wird ein Wechselstrom mit konstanter Frequenz
von 2 GHz bei einer Ausgangsleistung des Signal-
generators von -40 dBm aufgeprägt und Magnet-
felder zwischen -30 und 30 mT durchgemessen.
Die Messungen wurden in Stromrichtung verscho-
ben und über die Spannungsachse aufgetragen
und in Abbildung 4.78 gezeigt.
Die subharmonische Signaturen erscheinen nur
für ein Magnetfeld
|B|&
21 mT und müssen
gemäß den Messungen in Abbildung 4.77 um
30 mT wieder verschwinden. Dass subharmoni-
sche Strukturen in Dayem-Brücken schon bei
kleinen Magnetfeldern verschwinden, ist bekannt
48
4.5 Shapiro Stufen 4 ANALYTISCHER ABSCHNITT
[
And64-1
]. Aber dass diese in höheren Feldberei-
chen wieder auftauchen, wurde nicht erwartet.
27 24
2118
1512
96
30
-3 -6
-9 -12
-15 -18
-21-24
-27
-30
B [mT]
Abbildung 4.78
IV-Kurven der Probe C3 unter 2 GHz-
Wechselstrom im Magnetfeld zwischen 0 und 30 mT. Die
rote Linie kennzeichnet die Messung bei einem äußeren
Feld von B= 0 mT.
0 1 2 3 4 5
2
eV/hν
30
25
20
15
10
5
0
5
10
15
20
25
30
B
[mT]
0 5 10 15 20
U
[
µ
V]
Abbildung 4.79
Positionen der d
G
-Peaks der Probe C3
unter 2 GHz-Wechselstrom im Magnetfeld zwischen 0 und
30 mT.
In der gleichen Frequenz (2 GHz) wurden Messun-
gen (siehe Abbildung 4.80) zwischen -120 und 120
mT gemacht, aber eine geringere Leistung von -49
dBm verwendet. Die Phasenschlupf-Störungen
(vgl. Abbildung 4.62), welche in der Messung
bei
P=−40 dBm
vollständig unterdrückt sind,
erscheinen nun wieder. Dafür sind die Shapiro-
Stufen aufgrund der geringen Leistung für Feld-
stärken
B&
25 mT nicht mehr sichtbar. Die
Peak-Positionen des differentiellen Leitwerts sind
in Abbildung 4.80 aufgetragen.
Es wird vermutet, dass die subharmonischen Stu-
fen abhängig von der Frequenz in einem Bereich
[
B1
(
ν
),
B2
(
ν
)] in Erscheinung tritt. Von der Am-
plitude des Wechselstromes scheint dieser Bereich
unabhängig zu sein, da diese Signatur in Abbil-
dung 4.80 im selben Bereich wieder erscheint, wie
in der Abbildung 4.79.
P
h
a
s
e
n
s
c
h
l
u
p
f
reguläre Stufen
Abbildung 4.80
Positionen der d
G
-Peaks der Probe
C3 unter 2 GHz-Wechselstrom im Magnetfeld zwischen
-100 und 100 mT bei einer niedrigeren HF-Leistung im
Vergleich zur Messung in Abbildung 4.79.
Im Weiteren sieht man in kleinen Magnetfeldern
(
|B|<
5mT) und geringe HF-Leistung eine regu-
läre Stufe bei 2
eU/hν
(eingekreist in Abbildung
4.80. Die nächste ist dann aber auch erst wie-
der im Abstand von 1
.
5
·
2
eU/hν
sichtbar. Dieses
Phänomen muss mit der Leistung – und damit
mit der effektiven Amplitude – des Wechselstro-
mes zusammenhängen, da es sich bei der Messung
mit höherer Leistung nicht manifestiert.
Diese Darstellungen stellen einen Überblick dar,
wie sich die Abhängigkeiten zwischen Transpor-
teigenschaften, Magnetfeldstärke und Frequenz
verhalten und beherrbergen eine Vielzahl von
interessanten Phänomene.
Welche Effekte bei dem komplexen Zusammen-
spiel von Magnetfeld und Wechselstrom Über-
hand gewinnen, müsste mit weiteren Messungen
untersucht werden. Insbesondere auch Messun-
gen mit verschiedenen HF-Leistungen würden
Aufschluss geben, in welchen Energieskalen vor-
kommende Effekte sichtbar sind und welchen
diese unterdrückt werden.
49
4 ANALYTISCHER ABSCHNITT 4.5 Shapiro Stufen
4.5.2 Stromstufen
Zugrunde liegen hier diesselben Messungen, wie
im vorherigen Abschnitt, wobei aber ein anderer
Aspekt beleuchtet wird. So wie zuvor Spannung-
werte und die Breite der Shapiro-Stufen unter-
sucht wurden, sollen nun die Stromwerte und die
Höhe der Stufen näher betrachtet werden.
Auch hier wird zunächst übersichtshalber ei-
ne Karte gezeichnet, in welcher der differenti-
elle Leitwert in Abhängigkeit von Frequenz und
Strom sichtbar gemacht wird. In Abbildung 4.81
sieht man diese Abhängigkeit ohne angelegtes
Magnetfeld und in Abbildung 4.82 mit einem
B-Feld von B= 30 mT.
Wie man bereits im Histogramm der Spannungs-
stufen gesehen hat (vgl. 4.75), ist auch hier zu
erkennen, dass die Stromstufen insgesamt abge-
senkt werden.
Zudem sind Unstetigkeiten zu sehen bei den sechs
unterschiedlichen Frequenzen 1.40, 3.68, 3.78,
4.13, 4.64 und 5.04 GHz bei
B
= 0 mT bzw.
1.35, 3.63, 3.74, 4.09, 4.61 und 5.00 GHz bei
B
= 30 mT. Die Werte sind mit einem abge-
schätzten Fehler von
±
0.06 GHz ausgelesen und
zeigen im B-Feld einen um 0.03 bis 0.04 GHz
niedrigeren Mittelwert. Obwohl sich im Transmis-
sionspektrum in diesen Frequenzen keine sprung-
haften Veränderungen zeigen, muss ein Parame-
ter in den Stromabhängigkeiten einen unstetigen
Charakter haben.
Wirft man einen Blick auf Gleichung
(43)
kom-
men dafür nur die Amplitude
V1
des Wechselstro-
mes, die Josephson-Frequenz
ωJ
oder die Pha-
senverschiebung
ϕ0
des Systems in Frage. Da die
Amplitude unmittelbar mit dem Frequenzgang
korrespondiert und in diesem keine ausgeprägten
Unstetigkeiten gemessen werden konnten, kann
diese ausgeschlossen werden.
Die Josepshon-Frequenz
ωJ
und auch die zeit-
liche Ableitung der Phasenverschiebung ∂ϕ0/∂t
hängen proportional mit der abfallenden Span-
nung über dem Kontakt ab. Bei den ersten drei
oben genannten Frequenzen sieht man in Ab-
bildung 4.76 tatsächlich auch Sprünge oder ein
Verschwinden von Substufen.
Es kann davon ausgegangen werden, dass bei die-
sen Unstetigkeiten Phasenkopplungen zwischen
seriegeschalteten Kontakten aufbrechen oder zu-
standekommen. Diese Vorgänge zeigen, dass sich
die Strom-Phasen-Relation bei einem Übergang
bei einer solchen „kritischen Frequenz“ schlagar-
tig ändert.
Abbildung 4.81
Die Abhängigkeit des differentiellen
Leitwertes in Abhängigkeit des Stromes und der Frequenz
bei B= 0 mT.
Abbildung 4.82
Die Abhängigkeit des differentiellen
Leitwertes in Abhängigkeit des Stromes und der Frequenz
bei B= 30 mT.
Obwohl in den zwei abgebildeten Karten ein oszil-
lierender Verlauf der Stromstufen erahnt werden
kann, verhält es sich schwierig, eine quantitati-
ve Analyse anzustellen. Zum einen machen es
50
4.5 Shapiro Stufen 4 ANALYTISCHER ABSCHNITT
vorallem in den niedrigeren Frequenzen die Pha-
sensprünge schwierig den korrekten Verlauf zu
erkennen und zum anderen verhält sich die Am-
plitude
V1
nicht konstant bezüglich der Frequenz.
Ein Ansatz kann gemacht werden, indem die Fre-
quenzabhängigkeit der Amplitude nach der Va-
riation von
Ic
(blauer Bereich in Abbildung 4.81)
moduliert wird und die Spitzenwerte der diffe-
rentiellen Spannung als Stufenmitte identifiziert
werden. Nach Abschnitt 2.4.3 sollten dann die
Werte für die Stufen 0ter Ordnung der Funktion
In
Ic
=Jn(2eV1/~ωrf )(66)
folgen, wobei
Jn
die n-te Besselfunktion dar-
stellt. Für höhere Ordnungen folgt der Strom
einem Wert zwischen
nhν/
2
eRn−I/Ic
und
nhν/
2
eRn
+
In/Ic
[
Tin04
, S. 212]. Die Funktion
(66)
bis zur 3ten Ordnung ist in Abbildung 4.83
mit und ohne Amplitudenmodulation gezeigt.
Hierbei wurde eine Amplitude von
V1
= 30
µ
V
verwendet, welche mit dem Faktor
Ic
(
ν
)
/Ienh
moduliert wurde. Für
Ienh
= 14
.
9
µ
A wurde der
interpolierte Wert aus Abbildung 4.59 verwendet.
0te Ordnung
1te Ordnung
2te Ordnung
konstante Amplitude korrigierte Amplitude
Abbildung 4.83
Theoretischer Verlauf Halbwerthöhen
der Shapiro-Stufen nach Gleichung
(66)
. Die durchgezo-
genen Linien zeigen den Verlauf mit frequenzabhängiger
Amplitude.
Für einen qualitativen Vergleich werden die Ab-
hängigkeiten der differentiellen Spannung d
U
nach
Ic
normiert, über
I/Ic
aufgetragen und in
d
U
-Richtung aufgefächert. Auf diese Art und
Weise lassen sich die gemessenen Werte mit dem
Kurvenverlauf der Halbwertshöhe der Stufe der
0ten Ordnung aus Abbildung 4.83 vergleichen,
da für die 0te Ordnung
I0
=
I
gilt. Für höhere
Ordnungen müsste den Spannungsabfall mitbe-
rücksichtigt werden und über alle Ordnungen
< n aufsummiert werden.
So wie der theoretische Kurvenverlauf gute Überr-
einstimmung zeigt im Bereich von 3 bis 3.6 GHz,
zeigt er auch große Diskrepanzen in anderen Fre-
quenzbereichen. Dieser Vergleich ist also mit Vor-
sicht zu genießen. Insbesondere auch deshalb, da
sich viele verschiedene Effekte – viele wurden
schon angesprochen – überlagern und eine quan-
titative Analyse schwierig machen.
1 GHz
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
Abbildung 4.84
Differentielle Spannung über aufgepräg-
ten Strom bei aufgeprägtem Wechselstrom zwischen 1 und
6 GHz im Nullfeld. Die grüne Linie zeigt den theoretischen
Verlauf für die Halbwertsstufenhöhe der 0ten Ordnung
mit einer HF-Amplitude von 30 µV.
51
5 FAZIT UND AUSBLICK
5 Fazit und Ausblick
Das Zusammenspiel von Magnetismus und Su-
praleitung ist ein faszinierendes Themengebiet,
in welchem es eine große Palette von spannenden
Effekte zu erforschen gibt. Sogar auch dann noch,
obwohl die Zusammenhänge der Eigenschaften
von diversen verschiedenen Systemen in den letz-
ten 50 Jahren stetig und intensiv untersucht wor-
den sind.
Was auf der einen Seite ein Segen ist, da viele
spezielle Effekte wie photonengestützte Anregun-
gen, Phasenschlupfphänomene oder gebundene
Zustände schon beschrieben wurden, kann auf
der anderen Seite auch ein Fluch sein, sich in
dieser Flut von Veröffentlichungen zurecht zu fin-
den.
In dem eng geschnürten Zeitrahmen, in welchem
Umbau des Kryostaten, Probenherstellung und
die Durchführung der Messungen untergebracht
werden musste, kam die Einarbeitung in die Theo-
rie eher zu kurz. Insbesondere kostete die Fehler-
suche der thermischen Last auf dem 1K-Topf des
Mischsystems und die Einarbeitung in die für
mich neue Programmiersprache „Python“ Zeit,
welche sonst für das Vertiefen in theoretische
Konzepte hätte verwendet werden können.
So waren einige Aspekte nicht in diesem Ausmaß
berücksichtigt worden, wie dies für SFS-Kontakte
für eine tiefere Analyse wichtig gewesen wären.
Zu nennen sind hier FFLO-Theorie,
π
-Zustand
oder auch Flussschläuche, welche zum Beispiel in
[
And64-1
] als Argumentation für ein Verschwin-
den von subharmonischen Strukturen angeführt
werden. Diese Überlegung ist durchaus für ein
Heterosystem, bei welchem das eine Material ein
Supraleiter erster Ordnung ist, legitim, würde
aber eine ganze Palette neuer Fragen nach sich
ziehen.
Es galt einen guten Kompromiss zwischen den
einzelnen Punkten zu finden. Auf diese Weise
wurde einen guten Beitrag dazu zu geleistet, den
Einstieg für weitere Forschungen in diesem The-
ma zu erleichtern. Auch konnte mit dem neuen
Filterkonzept gute Vorarbeit geleistet werden, da-
mit der Aufbau eine verbesserte Messauflösung
erreicht, mit welchem gegebenfalls auch MAR in
hohen Ordnungen aufgelöst werden können, wie
erste Messungen an Bruchkontakten zeigten.
Die durchgeführten Messungen an den zwei Pro-
ben haben trotz ihren „Schönheitsfehler“ neue
Erkenntnisse gebracht:
•
Für die Bestimmung von FMR-
Bedingungen sollten dickere Schichten
verwendet werden als 7 nm.
•
Die gemessene Geometrie der Probe C3
führt auf ein diffuses Regime mit einem
sehr tiefen IcRn-Produkt von nur 2.8 µV.
•
Eine eigentliche SFS-Struktur wie bei der
Probe C9 unterdrückt die Supraleitung
stark, sodass davon ausgegangen werden
kann, dass die Schichtdicke von Kobalt mit
7 nm dicker ist, als die Eindringtiefe ξF.
•
Der gemessene Bereich stellt eine verhält-
nismässig lange Strecke von 3-5
µ
m dar,
mit welchem ungewollte Effekte zum Vor-
schein kommen (vgl. PSC).
•
Auch wenn Dayem-Brücken auf oder ne-
ben ein ferromagnetisches Material struk-
turiert werden, wird das Verhalten der Su-
praleitung beeinflußt. Durch eine vermu-
tete Grenzflächenpolarisation bildet dieser
Punkt einen interessanten Nebeneffekt.
•
Die Strom-Phasen-Relation zeigt sich bei
der Probe C3 nicht sinusoidal aber peri-
odisch. Insbesondere muss sie Unstetigkei-
ten in Abhängigkeit von Magnetfeld oder
Frequenz des Wechselstromes aufweisen.
•
Entweder folgt die Magnetfeldabhängigkeit
des kritischen Stromes mit der Geometrie
von C3 nicht der Sinc-Funktion oder die
Probe war zu stark überdämpft, als dass
diese gemessen werden konnte.
Die Auswertung konnte mit den Messdaten nur
auf qualitativer Ebene geführt werden, da die
gemessenen Proben nicht optimal definiert wa-
ren. Wie die Resultate zeigen, kriegt man ein
Erscheinungsbild von einer Überlagerung von
vielen ungewollten zusätzlichen Effekten, welche
thermische aber auch topologische Ursprünge ha-
ben.
52
5 FAZIT UND AUSBLICK
So sind einige Aufgaben noch offen und warten
darauf, erledigt zu werden:
•
Abschätzungen der Probenkapazität für die
Bestimmung des McCumber-Parameter
β
.
Die Aussage, welche bisher getroffen wer-
den kann, ist, dass aufgrund der Überdämp-
fung von Probe C3 β1gelten muss.
•
Finden der FMR-Bedingungen für die Be-
stimmung von den Parameter Dicke der
FM-Schicht, Frequenz und Magnetfeld.
•
Sind diese gefunden, können Probenstruk-
turen an Resonatoren gekoppelt werden,
um Kontakte in wohldefinierten Zuständen
zu betreiben und die theoretischen Überle-
gungen von [Hik11] zu bestätigen.
•
Anpassung der Probengeometrie vorneh-
men, sodass die Überdämpfung des Kon-
takts vermieden werden kann. Hierzu bil-
det eine Verkürzung der verdünnten Lei-
tung einen Ansatz. Insbesondere auch des-
halb, dass Spannungssprünge durch Pha-
senschlupfeffekte eventuell unterdrückt wer-
den können.
•
Untersuchung von verschiedenen Schichtdi-
cken vom ferromagnetischen Material.
•
Untersuchung von anderen ferromagneti-
schen Materialien als Zwischenschicht. In-
teressante Kandidaten bilden weichmagne-
tische Materialien mit einer hohen Aus-
tauschwechselwirkung. Bereits ins Auge ge-
fasst wurde Permalloy – eine Kupfer-Nickel
Legierung.
•
Die Fourier-Transformation des Spektrums,
welches aus den Spannungspositionen der
Shapiro-Stufen hervorgeht – siehe Histo-
gramm in Abbildung 4.75.
Dieser Punkt bildet eine wichtigen Teil der
Auswertung, da er auf direktem Weg zur
Strom-Phasen-Relation führt. Eine direk-
te FFT wurde versuchsweise durchgeführt,
führte aber durch einen zu großen Störan-
teil nicht zu einem verwertbaren Resultat.
Daher müsste hier die Auswerung von hin-
ten aufgerollt werden und eine entsprechen-
de Überlagerung von Wellenfunktionen für
den Phasenverlauf gefunden werden, wel-
cher zu dem periodischen Muster im Span-
nungsverlauf führt. Aus zeitlichen Gründen
blieb dies leider aus.
•
Es sollte eine feinere Leistungsanalyse der
Hochfrequenzsignale, welche an der Pro-
be ankommen, durchgeführt werden. Mit
einher geht hierbei auch eine verbesserte
– oder besser – eine „bandbreitenverbrei-
ternde“ Impedanzanpassung der Messver-
kabelung. Hierzu wurde bereits ein verbes-
sertes Mikrokoaxialkabel bestellt, welches
eine massive Verbesserung zeigen sollte.
•
Zusätzliche Messungen in Abhängigkeit
der HF-Leistung bringen zum Beispiel
neue Erkenntnisse über die Variation der
Shapiro-Stufenhöhen und helfen, die Ein-
flüsse von abfallender Spannung, fließender
DC-Strom, der Amplitude des AC-Stromes
und Phase zueinander abzuschätzen.
•
Das Auslesen der Stufenhöhen und -
positionen im Abschnitt 4.5.2 und ein an-
schließendes Anpassen an den Messwerten
stellt eine interessante Herausforderung dar
und steht damit auch auf der Pendenzen-
liste.
•
Zu guter letzt bildet eine Untersuchung
der Schichtdicke des Copolymer EL11 – sie-
he Abschnitt 3.3.3 – in Abhängigkeit der
Wafergröße die Grundlage für eine nette
Verfeinerung des Herstellungsprozesses.
Abschließend waren die Aufgaben, welche mit die-
ser Arbeit in Verbindung stehen, sehr lehr- und
facettenreich. Der ganze Prozess von Konzeptio-
nierung bis zur Messung mitgestalten zu können,
empfand ich nicht nur als Herausforderung son-
dern auch als privileg. Nicht bei allen Projekten
hat man die Möglichkeit in so vielen Bereichen
mitzuwirken. In dem Sinne bedanke ich mich bei
der AG Scheer für die interessante Zusammenar-
beit und hoffe, dass in dem Themengebiet über
SF-Heterostrukturen weitere spannende Messun-
gen durchgeführt werden können.
53
6 Literatur
6 Literatur
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8 ABBILDUNGSVERZEICHNIS
7 Abkürzungen
AC Alternating Current (Wechselstrom)
BCS Bardeen Cooper Schrieffer
BTK Blonder Tinkham Klapwijk
CP Cooper-Paar
CuPF Kupferpulverfilter
DC Direct Current (Gleichstrom)
DUT Device Under Test
FFT Fast Fourier Transformation
FM,F Ferromagnet
FMR Ferromagnetische Resonanz
FuncGen Funktionsgenerator
GLG Ginzburg-Landau-Gleichung
HF Hochfrequenz
IVC Inner Vaccum Can
IV-Kurve Strom-Spannungs-Kurve
JJ Josephson Kontakt
LLG Landau-Lifschitz-Gleichung
LLGG Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung
MAR Multible Andreev Reflektionen
MIC Microwave Integrated Circuit
MOE Meissner-Ochsenfeld-Effekt
NL,N Normalleiter
PCBF Printed Circuit Board Filter
PMMA Polymethylmethacrylat
PSC Phasengleitzentren
QT Quasiteilchen
REM Rasterelektronenmikroskop
SA Spektrumanalysator
SigGen Signalgenerator
SL,S Supraleitung / Supraleiter
SMD Surface Mounted Device
8 Abbildungsverzeichnis
2.1 Poynting-Vektor im elektrischen Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Ersatzschaltbild von R, L und C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Frequenzgang RLC-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Abschlusswiderstände am Koaxialkabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.5 Streifenleitertypen Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.6 Streifenleitertypen Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.7 Symmetrische Koplanarleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.8 Kompensierter Knick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.9 Mess-Assembling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.10 Meissner-Ochsenfeld-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.11 Ginzburg-Landau-Kohärenzlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.12 Quasiteilchentunneln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.13 Supraleitende Tunnelprozesse an dünner Barriere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.14 Betrag der CP-Wellenfunktion an einer Grenzfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.15 Besselfunktionen bis fünfter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.16 Ersatzschaltbild eines realen Josephson-Kontakts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.17 Waschbrettpotential für RCSJ-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.18 Zwei Fälle im RCSJ-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.19 Schematische Zeichnung eines JJ im B-Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.20 Sinusoidale Stromdichteverteilung durch einen JJ im B-Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.21 Fraunhofer-Muster des Suprastromes im B-Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.22 Energieverschiebung bei CP-Elektronen im Austauschfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.23 Supraleitender Proximity-Effekt in Ferromagneten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.24 Grundidee einer Andreev-Reflektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.25 Andreev-Reflektion im SNS-Kontakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.26 Multible Andreev-Reflektionen im diffusen SNS-Kontakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.27 Schematische Zeichnung eines Mischungskryostaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.28 Einsatz des Kryostaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.29Messschema.................................................. 22
3.30 Frequenzgang Mikorkoaxialkabel UT-020SS-SS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.31 Chipstruktur für Transmissionsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.32 Transmissionsmessung der HF-Verkabelung mit Transmissionschip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.33 Probenhalter-Leiterplatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.34 Frequenzgang aller drei Filterstufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.35 Frequenzgang des RC-Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.36 Integrierte Leiterplatten-Tiefpass-Struktur und Längenabhängigkeit der Resonanzfrequenz . . . . . . 26
3.37 Starrflex-Leiterplatine für Eccosorb-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.38 Prototyp des Eccosorb-Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.39 Frequenzgang des Eccosorb-Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.40 Kapazitive Ankopplung eines Resonators an den Waveguide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.41 Vorlage Photomaske Chip-Struktur T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.42 Vorlage Photomaske Chip-Struktur C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
58
9 TABELLENVERZEICHNIS
3.43 Konstruktion der Mäanderlinie zur Wellenleiterverlängerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.44 Eine der fünf Vorlagen für Photomaske Chip-Struktur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.45 Schattenbedampfungsmaske . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.46 Seitenansicht der Probenstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.47 Probe während dem Lift-Off . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.48 Prozessschritte Elektronenstrahllithographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.49 Ausrichtungspunkte für Elektronenstrahllithographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.50 Entwicklelte Maske nach Elektronenstrahlbelichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.51 Querschnitt des Unterschnitts bei der Elektronenstrahllithographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.52 Aufdampfanlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.53 Ansicht Probe B2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.54 Mikroskopbild Probe C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.55 Mikroskopbild Probe C9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.56 Transmissionspektren der Probe C3 (unkalibriert) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.57 Transmissionspektren der Probe C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.58 IV-Charakteristik der Probe C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.59 IV-Charakteristik der Probe C3: Ausschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.60 IV-Charakteristik der Probe C9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.61 IV-Charakteristik der Probe C9: Ausschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.62 IV-Kurvenschar im B-Feld der Probe C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.63 Iex und Rnim B-Feld der Probe C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.64 Differentieller Leitwert im B-Feld der Probe C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.65 Differentieller Leitwert im B-Feld der Probe C9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.66 Untersuchung zweier Leitwertanomalien der Probe C9 im B-Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.67 Differentieller Leitwert im B-Feld unter Hochfrequenzeinfluss der Probe C9 . . . . . . . . . . . . . . 43
4.68 Abhängigkeit der Signaturen im Leitwert des B-Feldes unter Hochfrequenzeinfluss der Probe C9 . . . 44
4.69 Leitwertskarte der Probe C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.70 Shapirostufen bei B=0 der Probe C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.71 Positionen der Shapirostufen bei B=0 der Probe C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.72 Ersatzschaltbild für Probe C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.73 Leitwertskarte der Probe C3 im B-Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.74 Shapirostufen bei B=30 mT der Probe C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.75 Positionen der Shapirostufen bei B=30 mT der Probe C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.76 Diff. Leitwerte der Probe C3 zwischen 1-6 GHz bei B= 0 ........................ 48
4.77 Diff. Leitwerte der Probe C3 zwischen 1-6 GHz bei B= 30 mT ..................... 48
4.78 Shapirostufen im B-Feld Probe C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.79 dG-Peaks im B-Feld @ HF -40 dBm Probe C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.80 dG-Peaks im B-Feld @ HF -49 dBm Probe C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.81 dG-I Karte Probe C3 bei B= 0 ....................................... 50
4.82 dG-I Karte Probe C3 bei B= 30 mT.................................... 50
4.83 Theoretischer Verlauf der Halbwertsstufenhöhen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.84 dUüber I/Icfür ν= 1 ...6GHz ...................................... 51
9 Tabellenverzeichnis
1 Größen des komplexen elektrischen Widerstands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 SMD-Kapazitäten auf der Messplattform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Konfiguration RC-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Resonanzfrequenzen und dazugehörige Längen eines geraden MIC-Resonators. . . . . . . . . . . . . . 28
5 Die Abmessungen der Probenstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6 Prozessschritte Photolithographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7 Prozessschritte Elektronenstrahllithographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8 Normalleitende Widerstände zweier Proben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9 Untersuchung zweier Leitwertanomalien der Probe C9 im B-Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
10 Untersuchung dreier Leitwertanomalien der Probe C9 im B-Feld unter Hochfrequenzeinfluss . . . . . 44
59
