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Revista Sergipana de Matemática e Educação Matemática
https://doi.org/10.34179/revisem.v9i4.20984
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REFLETINDO SOBRE APREENSÕES FIGURAIS NA RESOLUÇÃO
DE PROBLEMAS GEOMÉTRICOS: PERSPECTIVAS DE ALUNOS
DO 8.º ANO
REFLECTING ON FIGURAL APPREHENSIONS IN SOLVING GEOMETRIC
PROBLEMS: PERSPECTIVES FROM 8TH-GRADE STUDENTS
Antônio Alexandre Aparecido da Silva
Colégio Domus
alex01166@gmail.com
Angelica da Fontoura Garcia Silva
Unopar – Anhanguera
angelicafontoura@gmail.com
Ruy Cesar Pietropaolo
Unopar – Anhanguera
rpietropaolo@gmail.com
Resumo
Esta pesquisa teve como objetivo investigar possibilidades de apreensões figurais mobilizadas
durante a resolução de problemas geométricos por alunos do 8.º ano do Ensino Fundamental.
Utilizaram-se os estudos de Duval (1994, 1995, 2006, 2012, 2018) sobre apreensões para conduzir
esta investigação – de caráter qualitativo e com características intervencionistas –, envolvendo 23
estudantes de uma escola particular em São Paulo. A coleta de dados incluiu protocolos de tarefas
respondidas pelos participantes, observações e registros escritos e gravados em vídeo e áudio. Os
resultados destacaram que a manipulação direta com figuras potencializa o desenvolvimento das
apreensões figurais, em especial para compreender conceitos geométricos; incentiva a exploração
de estratégias; estimula a visualização espacial e o raciocínio dedutivo; proporcionando aos alunos
uma aprendizagem mais significativa A sistematização dessas estratégias e o uso de materiais
manipulativos desempenharam um papel relevante no desenvolvimento das habilidades
matemáticas dos alunos, preparando-os para enfrentar situações-problema com confiança e
criatividade. Salienta-se, assim, a relevância das apreensões e manipulações figurativas como
elementos potencialmente ricos no ensino de Geometria.
Palavras-chave: Ensino e aprendizagem de Matemática. Ensino Fundamental. Apreensão
Figural. Resolução de Problemas. Materiais Manipuláveis.
Abstract
This research investigated the possibilities of figural apprehensions mobilized during geometry
problem solving by elementary school students in the 8th grade. Based on Duval's studies (1944,
1995, 2006, 2012, 2018) on apprehensions, this qualitative research with interventionist
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characteristics involved 23 students from a private school in São Paulo. Data collection included
protocols of tasks completed by participants, observations, written registers, and video and audio
records. The results highlighted that manipulating figures enhances the development of figural
apprehensions and provides students with more meaningful learning, stimulating spatial
visualization, and deductive reasoning. Direct interaction with manipulative materials encouraged
students to explore different approaches using the apprehensions, contributing to a deeper
understanding of geometric concepts. The importance of figural apprehensions and manipulations
as strategic elements in geometry teaching is highlighted. The systematization of these approaches
and the use of manipulative materials can play a relevant role in developing students' mathematical
skills, preparing them to face contemporary challenges with confidence and creativity.
Keywords: Mathematics Teaching and Learning. Elementary School. Figural Apprehension.
Problem solving. Manipulative Materials
INTRODUÇÃO
A figura desempenha um papel central dentre os recursos disponíveis para um
estudante resolver uma situação-problema envolvendo conceitos geométricos, pois pode
permitir a análise de possibilidades distintas para o desenvolvimento de estratégias que
conduzem à solução do problema.
Uma figura pode ser ampliada, reduzida, movimentada, ou ter partes destacadas e
isoladas para estudo, bem como ser inserida em um contexto mais amplo como parte de
uma figura maior. Pode também ser dividida de acordo com a necessidade imposta pelo
problema e de forma que as subfiguras obtidas recebam tratamento individual ou sejam
recombinadas, originando novas figuras que preservam propriedades da figura inicial,
como a área por exemplo.
O exemplo do fracionamento da figura é uma das possibilidades de operações de
modificações figurais, estudadas por Raymond Duval, pesquisador francês, pioneiro no
estudo da semiótica no contexto matemático. Duval (1994) afirma que a visualização de
uma figura, no âmbito da resolução de problemas, é complexa e não ocorre de maneira
imediata. Uma figura pode ser vista e descrita de formas distintas que dependem de fatores
internos da própria figura (como a capacidade de apresentar elementos que contribuam
para encontrar a solução do problema) e fatores externos (que podem estar associados às
habilidades de percepção de quem resolve o problema). Neste estudo analisaremos os
dados nessas duas perspectivas.
Diversos artigos do autor (Duval, 1994, 1995, 2006, 2012, 2018) discutem as
possibilidades de se explorar uma figura em busca de revelar alternativas para a solução de
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um problema ou apontar um caminho que conduza a ela. Destaca igualmente os obstáculos
encontrados no desenvolvimento das apreensões e considera fatores que dificultam o
desenvolvimento das apreensões que podem auxiliar o professor na construção de
estratégias de resolução dos problemas.
Este artigo foi escrito a partir da análise dos dados coletados na tese de Silva (2023).
Nosso propósito foi investigar as possibilidades de apreensões figurais mobilizadas durante
a resolução de problemas geométricos por alunos do 8.º ano do Ensino Fundamental. A
questão norteadora deste artigo é: quais são as possibilidades de apreensão proporcionada
a estudantes que resolveram um determinado problema geométrico?
Para respondê-la, expomos aqui as estratégias e os comentários utilizados pelos
estudantes em uma das sessões de estudos na qual eram convidados a resolver uma
situação-problema.
Para desenvolver este estudo, aprofundamos questões relacionadas à
fundamentação teórica, descrevemos os procedimentos metodológicos utilizados na
pesquisa, expomos a discussão e a análise dos dados e, ao final, tecemos nossas
considerações acerca dos dados analisados.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Duval (1994, 2012) contribui para a compreensão do papel das figuras na resolução
de problemas geométricos, ressaltando os motivos pelos quais elas conseguem ou não
auxiliar na resolução dos problemas. O autor considera de fundamental importância
desenvolver a capacidade de criar registros semióticos, de modo a representar esses objetos
e resolver as situações em que se inserem. Ele define que a apreensão de um objeto
matemático decorre da “descoberta pelo próprio sujeito do que até então ele mesmo não
supunha, mesmo que outros lhe houvessem explicado” (Duval, 1994, p. 41).
Duval (1994, 2012) discute sobre as possibilidades de apreensões consideradas
relevantes e as denomina: perceptiva, discursiva, sequencial e operatória. Considera ainda
o tratamento cognitivo correspondente a cada uma delas, que é a função psicológica
presente na aquisição do conhecimento, e a correspondente função epistemológica, que é
o conhecimento científico associado a cada apreensão, conforme apresentado no Quadro
1.
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Quadro 1: Tipos de apreensão das figuras geométricas
A apreensão perceptiva se dá de forma imediata e automática, quando se observa
uma figura geométrica desenhada no papel, e ela está associada à identificação dos objetos,
independentemente do enunciado. Duval (2012) explica que os objetos revelados pela
figura por meio dessa apreensão podem ser diferentes dos tipos de objetos que a situação
necessita.
Duval (2012) descreve a apreensão discursiva da figura como sendo o ato de ler o
enunciado, recorrer à figura e, a seguir, valer-se desses dois registros para explicar outras
propriedades ou elaborar hipóteses. Segundo o autor, a atitude de ler o enunciado e procurar
integrá-lo à figura é favorecida pela congruência semântica entre o enunciado do problema
e a figura apresentada, ou seja, pela correspondência entre os elementos do enunciado e da
figura. A apreensão discursiva de uma figura, segundo Duval, possibilita explicitar ou
demonstrar as propriedades matemáticas indicadas, às vezes, por uma legenda ou pelas
hipóteses identificadas no enunciado do problema. Essa apreensão corresponde a inserir
uma figura geométrica em uma rede de relações conceituais, o que exige organizar as
informações para estabelecer conexões entre elas.
A apreensão sequencial de uma figura é aquela demandada na sua construção
auxiliada por instrumentos de desenho (régua, compasso, software). Segundo Duval
(2012), a formulação das instruções no processo de construção deve respeitar três
princípios que permitem a um estudante construir uma figura: não fornecer mais que uma
informação por frase, na medida do possível; evitar ambiguidades no enunciado de cada
instrução; e definir um quadro de referência autônoma, permitindo uma descrição de tudo
que é simplesmente apresentado.
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A apreensão operatória, segundo Duval (1994), está relacionada às modificações
e/ou às reconfigurações da figura, por meio de sua função de exploração, denominada de
epistemológica heurística: as modificações posicionais (que envolvem o deslocamento da
figura no plano); as modificações óticas (que articulam a ampliação, diminuição ou
deformação da figura) e, por fim, as modificações denominadas mereológicas1 que
trabalham a relação entre as partes e o todo.
Essas modificações mereológicas podem ser de natureza global, ao centrar-se na
divisão de toda a figura inicial; ou analítica, ao centrar-se nas partes elementares da figura.
As modificações globais consistem em dividir uma figura em subfiguras e, por meio do
reagrupamento dessas partes elementares, originar uma operação de reconfiguração
intermediária. Segundo Duval (2012), uma operação ligada à apreensão operatória é o
mergulhamento que, apoiada em uma modificação mereológica, consiste em inserir uma
figura em outra figura, a fim de que a primeira se torne subfigura da nova figura construída.
As modificações, tidas por Duval (1994) “heuristicamente relevantes”, são aquelas
que objetivam expor a ideia da solução ou da demonstração, mesmo supondo que há
congruência semântica entre a apreensão operatória e um tratamento matemático do
problema. Em qualquer das situações consideradas, observa que as modificações sofrem
influências de fatores que tanto podem favorecê-las quanto inibi-las, os quais, por sua vez,
dependem de outros aspectos associados à organização interna da figura. Duval (1994)
explica que os conceitos não são os principais fatores que dificultam a aprendizagem da
Geometria. Uma grande dificuldade é a proximidade entre tratamentos relevantes e
irrelevantes dentro de um mesmo registro. Segundo o autor, os tratamentos relevantes são
as modificações promovidas na figura que aproximam da resolução, enquanto os
tratamentos irrelevantes afastam o estudante desse objetivo.
O estudo das apreensões na perspectiva de Duval é importante para compreender o
processo de resolução de problemas em Geometria, conforme evidenciado por pesquisas
como as de Barroso (2015), Gridos et al. (2022), Karpuz e Atasoy (2019), Karpuz e Güven
(2022), Moretti e Cans (2024) e Pirola (2012). Essas pesquisas reiteram a importância das
1 A palavra "mereologia" tem sua origem no grego antigo, derivando de "meros", que significa "parte", e
"logia", que denota "estudo". Portanto, a Mereologia seria um campo de estudo dedicado às relações lógicas
entre as partes e o todo.
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ideias de Duval no desenvolvimento teórico e metodológico do ensino de Geometria,
enfatizando a utilização de diferentes registros de representação semiótica e a compreensão
das apreensões figurais. Ao abordar as dificuldades dos professores, a competência
heurística dos estudantes e a influência das ideias de Duval na resolução de problemas
geométricos, esses estudos corroboram a relevância das apreensões perceptivas,
discursivas, sequenciais e operatórias na aprendizagem em Geometria.
Esse entendimento embasa a escolha de utilizar materiais manipuláveis como
recurso didático, conforme será discutido em estudos subsequentes. Esses materiais não
apenas promovem a visualização e a representação de figuras geométricas, mas também
facilitam a compreensão dos processos cognitivos envolvidos na resolução de problemas.
A utilização de materiais manipuláveis na educação matemática é amplamente respaldada
pela literatura, destacando-se sua importância na promoção do desenvolvimento de
habilidades visuais e espaciais nos alunos. Pesquisas nacionais e internacionais, como as
de Clements (1999, 2004), Bartolini e Martignone (2020), Matos e Serrazina (1996),
Passos (2010) e Weiss (2006), têm comprovado a eficácia dos materiais manipuláveis em
processos de ensino e aprendizagem da Matemática. Como destacado por Bartolini e
Martignone (2020) e Galvão e Panossian (2022), os estudantes necessitam de habilidades
não apenas para criar, manipular e interpretar imagens mentais, mas também para
compreender informações espaciais e quantitativas apresentadas visualmente. A
manipulação de materiais concretos, conforme defendido por Duval (1994, 1995, 2006,
2012, 2018), facilita compreender os conceitos matemáticos e confere um aspecto
dinâmico ao processo de aprendizagem, permitindo ao aluno explorar e investigar
propriedades e possibilidades de forma mais efetiva.
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Esta pesquisa, de natureza qualitativa, discute e amplia discussões dos resultados
do estudo de doutorado do primeiro autor Silva (2023). Para o seu desenvolvimento foi
solicitada avaliação ética pelo sistema CEP/CONEP CAAE: 45236821.3.0000.5493. A
investigação foi desenvolvida no decorrer do segundo semestre de 2021, em quatro sessões
de estudo, realizadas no turno oposto das atividades escolares.
A investigação ocorreu com 23 estudantes do 8.º ano, de uma escola particular da
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cidade de São Paulo, os quais aceitaram dela participar. Para proteger a identidade dos
participantes, decidimos substituir os nomes individuais por nomes de flores.
A sessão ocorreu de forma híbrida, na qual os estudantes participaram
presencialmente e on-line, uma vez que estávamos impactados com a Pandemia Covid-19.
Para essa coleta, foram utilizados os seguintes instrumentos: observações com registros
escritos e gravados em vídeos e áudios, protocolos da resolução dos estudantes. Para este
artigo, analisaremos os dados da resolução de um problema geométrico, apresentado na
primeira sessão de estudo.
A seleção desse problema (Figura 1) para iniciar a discussão se deu por
considerarmos que ele poderia gerar diferentes apreensões.
Figura 1: Situação-problema proposta aos estudantes
Fonte: Situação apresentada na OBMEP 2018 – N2, Q03, F2
Notamos que, na situação-problema, estava presente a ideia manipulativa de
sobreposição de peças. Além disso, apoiados em Passos (2010), no transcorrer da sessão,
estimulamos que os estudantes se utilizassem de materiais manipuláveis, pois, , muitas
vezes, eles não relacionam as experiências concretas com a matemática formal, por
enxergarem diferentes possibilidades das que os elaboradores e/ou professores tinham, ao
selecionarem os materiais.
Para proceder a análise dessa experiência, recorremos a Bardin (2011). Assim,
inicialmente, realizamos uma pré-análise, denominada pela autora como leitura flutuante,
que é quando ocorre o primeiro contato com os dados. Foi, nesse momento, que surgiram
as hipóteses e as informações provisórias. Em seguida, houve a etapa mais longa,
Silva, A. A. A; Silva, A. F. G.; Pietropaolo, R. C.
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denominada exploração do material, a qual permitiu organizar os dados de forma a agrupá-
los em torno de categorias das apreensões previstas por Duval (1994). Por fim, na etapa de
interpretação dos dados, buscamos os significados, em profundidade, das interpretações
dos estudantes, e esses dados nos permitam compreender nosso objeto de estudo.
ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS DADOS
Antes de descrever e analisar o ocorrido na sessão, consideramos fundamental
discutir sobre o potencial heurístico da figura do problema.
Potencial heurístico das figuras do problema
Considerando a discussão apresentada por Duval (1994), que enfatiza a necessidade
de um conhecimento detalhado dos fatores envolvidos e sua influência na visibilidade das
operações, notamos que o problema possibilita mobilizar a apreensão perceptiva,
permitindo a identificação imediata de uma forma ou objeto. Essa apreensão possibilita
reconhecer uma figura composta por três quadrados coloridos, bem como outra figura
formada pela sobreposição desses quadrados. Ao ler o enunciado, é possível confirmar que
as três peças são quadradas e que foram sobrepostas para criar a figura a ser analisada. A
leitura do enunciado igualmente promove a apreensão discursiva, destacando que as figuras
são quadradas, fornecendo informações sobre suas áreas e o propósito do cálculo. A
abordagem da situação, utilizando material manipulativo, viabiliza aos estudantes
constatarem, por exemplo, que as figuras não precisam estar na posição indicada no
problema. É importante observar a invariância das áreas visíveis, independentemente da
posição dos quadrados na sobreposição das figuras (Figura 2).
Figura 2: Algumas possibilidades de sobreposição dos quadrados
Fonte: Elaboração dos pesquisadores a partir de OBMEP 2018 – N2, Q03, F2
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Há diversas formas de apreender uma figura em um contexto geométrico e, para
cada tipo de apreensão, é mobilizada uma aprendizagem específica, que vislumbra e se
apoia em uma maneira matemática de olhar uma figura em Geometria, como propõe Duval
(1994). Assim, a exploração desse problema poderia fornecer-nos indícios das apreensões
mobilizadas pelos estudantes e, inclusive, favorecer, eventualmente, a ampliação do
repertório dos participantes para que as utilizassem em estratégias de resolução de outros
problemas.
Discussão e análises do ocorrido na sessão de estudos
Durante a primeira etapa, foi concedido um tempo para que os 23 alunos presentes
resolvessem o Problema A. O Quadro 1 ilustra a quantidade de alunos que realizaram ou
não o registro da resolução, além daqueles que conseguiram resolver corretamente ou não.
Quadro 2: Registro quantitativo da resolução da situação-problema
Problema
Estudantes
Total
Usou a figura
na resolução
Não usou a figura
na resolução
A
Acertou
15
4
11
Não acertou
7
1
6
Não resolveu
1
Total
23
Fonte: Elaboração dos pesquisadores
Ao final da primeira etapa, o pesquisador perguntou quem gostaria de comentar o
trabalho. Os comentários sobre as dificuldades encontradas na resolução da situação se
concentraram na compreensão do enunciado, em saber o que deveria ser feito e sobre os
conceitos usados, conforme os depoimentos exemplares, expostos a seguir:
Rosa: No começo achei meio confuso, demorou um pouco para entender.
Tulipa: A primeira vez que li, entendi o que era para fazer, mas não
consegui fazer por que não ficou muito claro como fazer, tive que ler
mais vezes.
Begônia: Tive dificuldade na compreensão de área visível (conceito).
Mesmo considerando difícil entender o enunciado, alguns estudantes ponderaram
Silva, A. A. A; Silva, A. F. G.; Pietropaolo, R. C.
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que seus processos de visualização de representações contribuíram para elaborar uma
estratégia de resolução:
Crisântemo: Eu achei o exercício até que fácil, demorei um pouco para
raciocinar, só vi que usando a figura me ajudaria a pensar.
Dália: No início há muitas palavras repetidas, achei confuso, também
não entendi de cara o que fazer, mas depois de reler algumas vezes
entendi que era fácil. No começo não percebi que a figura me ajudaria,
aí prestei mais atenção e vi que ela ajudou a entender o que pedido.
Resolvi sem problemas no fim.
Apesar das dificuldades iniciais expostas, observamos que apenas um estudante não
resolveu a situação, justificando-se não ter entendido o que “era para fazer”. A discussão
inicial sobre a situação revela ao pesquisador que os estudantes compreenderam o que foi
solicitado, e a maioria conseguiu resolver o problema de maneira correta, e um deles até
não se utilizou da figura na resolução: “Eu tive dificuldades no começo, mas depois de ler
e entender o que estava sendo pedido, foi fácil, eu até fiz de cabeça, mas foi legal eu ter
que escrever o que eu pensei” (Estudante Cravo), como mostra a Figura 3.
Em seguida, os alunos se agruparam para resolver o problema A novamente, desta
vez, utilizando material manipulativo. Para favorecer um outro “olhar” para as apreensões,
o pesquisador discutiu com eles, tendo por base as contribuições apresentadas na etapa
inicial, possibilidades de utilizar as figuras na resolução dos problemas. Inicialmente, o
pesquisador retomou as discussões desenvolvidas com os estudantes Cravo e Rosa que
conduziam às subfiguras, apresentadas na Figura 3.
Figura 3: Resolução padrão do problema A (Estudante Cravo)
Fonte: Acervo da Pesquisa
Silva, A. A. A; Silva, A. F. G.; Pietropaolo, R. C.
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Nesse momento, para que todos os estudantes vivenciassem as ações e realizassem
os cálculos para obter os resultados, lhes entregamos uma ficha: para os estudantes que
participavam presencialmente, ela estava impressa com os modelos dos três quadrados
para serem utilizados de modo manipulativo na resolução do problema (Figura 4). Para os
alunos que participavam de maneira remota, a mesma ficha foi enviada digitalmente pela
plataforma do Google Sala de Aula, assim todos os estudantes teriam acesso ao mesmo
material manipulativo.
Os estudantes foram orientados a pintar, a recortar e a usar os quadrados para
montar as subfiguras descritas nas discussões, além de calcular as áreas sobrepostas e fazer
um novo comentário sobre a abordagem, então com a manipulação de figuras.
Fonte: Elaborado pelos pesquisadores
Por fim, na etapa seguinte, as resoluções foram apresentadas e discutidas
coletivamente, permitindo destacar diferentes estratégias e verificar a compreensão dos
participantes.
Por meio dos comentários, o pesquisador pôde constatar que a dinâmica de trabalho
com as apreensões e material manipulativo ampliou a compreensão tanto dos estudantes
que já tinham resolvido corretamente a situação como dos demais. Lirio e Acácia, por
exemplo, já tinham interpretado e resolvido corretamente a situação, mas avaliaram que o
Figura
4
:
Ficha com quadrados
Silva, A. A. A; Silva, A. F. G.; Pietropaolo, R. C.
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processo os ajudou a ampliar seu conhecimento:
Lírio: Depois da discussão na aula descobri mais uma maneira de
resolver o problema.
Acácia: Compreendi melhor o enunciado, consegui resolver mais rápido
e expliquei melhor a resposta.
Já Rosa que declarou, inicialmente, ter achado o problema “meio confuso”, ao ser
questionada sobre a utilização do material, afirmou: “Entendi melhor o que era para fazer,
ficou mais fácil quando eu mexi com as figuras de papel.” (Rosa).
A melhora na compreensão relatada por Rosa pôde ser verificada em seu relato
escrito sobre a segunda resolução:
Rosa: Se colocarmos um em cima do outro, do maior para o menor,
teria um centro, no meio ficaria o papel azul inteiro com 18 cm²
[de área] e as laterais do papel amarelo com 18 cm² [de área] e do
verde com 28 cm² [de área].
De acordo com Duval (1995, p.147), “cada uma das diferentes modificações pode
ser realizada mentalmente ou fisicamente por meio de várias operações”, como
apresentado na Figura 5, que ilustra a utilização da apreensão operatória na obtenção da
área visível verde e área visível amarela descritas pela estudante Rosa em seu relato escrito
e nos comentários do estudante Cravo: Área visível verde = (área) verde – (área) amarela
e área visível amarela = (área) amarela – (área) azul (Figura 2). Intuitivamente, e depois
por manipulações de figuras, os estudantes se valeram da apreensão operatória para
solucionar o problema.
Figura 5: Apreensão operatória descrita pelos estudantes Cravo e Rosa das áreas visíveis
Fonte: Elaboração do pesquisador a partir dos relatos dos estudantes Cravo e Rosa.
Apoiados em Duval (2006), percebemos que, para esta resolução, era preciso
Silva, A. A. A; Silva, A. F. G.; Pietropaolo, R. C.
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observar também as subfiguras obtidas pela reconfiguração. Segundo o teórico: “a solução
de certos problemas requer a comparação de certas subfiguras possíveis obtidas por
reconfiguração e, portanto, a capacidade de discerni-las rapidamente na figura original”
(Duval, 2006, p.117). As possibilidades de compreensão, proporcionadas pelas apreensões
mobilizadas, a partir da leitura do enunciado e pela interpretação da figura, propiciaram
mais confiança para os estudantes explicitarem e registrarem seu raciocínio. As evidências
coletadas durante a aplicação da atividade confirmam que a descrição da situação e a
exposição da figura funcionaram como uma ferramenta heurística na resolução do
problema, o que está alinhado com o pensamento de Duval (2006).
O grupo entendeu como válido o uso do material manipulativo e houve relatos de
não alteração da compreensão do modo de resolução do problema:
Iris: Não tenho tanta coisa para comentar sobre a orientação do primeiro
problema, já que na resolução depois da discussão não houve nenhuma
mudança no jeito que eu tinha feito, o resultado e a forma de chegar ao
resultado foram as mesmas, mas parece que fica muito mais fácil quando
conseguimos mexer com as figuras [referindo-se à ação de manipular as
figuras de papel].
Durante a etapa 1, Iris utilizou as apreensões perceptiva e discursiva para
desenvolver a resolução, como pode ser observado na Figura 6.
Figura 6: Anotações da estudante Iris sobre a resolução do problema A
Fonte: Acervo da Pesquisa
Ao final, foi possível notar que, depois da utilização do material manipulativo, todos
os alunos interpretaram corretamente a situação. Todavia quatro deles não encontraram a
Silva, A. A. A; Silva, A. F. G.; Pietropaolo, R. C.
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solução esperada ou porque se utilizaram de medidas diferentes da apresentada na situação
(Azaleia) ou porque se equivocaram nos procedimentos de cálculo (Violeta).
Azaleia, por exemplo, relatou: “Eu tinha escrito um número errado, então minhas
contas ficaram erradas, mas depois que arrumei ficou tudo certinho”. Outros dois
estudantes usaram as medidas indicadas na situação, mas erraram nos cálculos do valor da
diferença como, por exemplo, a resolução de Violeta, mostrada na Figura 7.
Fonte: Acervo da Pesquisa
Apesar de todos os estudantes terem vivenciado a utilização do material
manipulável, oito utilizaram a figura no processo resolutivo nessa etapa. Ao serem
questionados o motivo da não utilização, eles relataram que não “foi preciso” ou que foi
suficiente “deixar as contas no papel”. Pudemos inferir que a apreensão visual e a
discursiva lhes ajudaram a compreender a situação.
Foi possível identificar nesta pesquisa diferentes maneiras de os estudantes
apreenderem a figura geométrica apresentada no problema, como defendido por Duval
(1994).
Além disso, a análise do problema, proposto à luz das ideias de Duval (1994), revela
a mobilização de diferentes apreensões pelos estudantes. A percepção imediata da figura
composta por três quadrados coloridos evidencia ter havido o desenvolvimento da
apreensão perceptiva, enquanto a leitura do enunciado promoveu a apreensão discursiva,
Figura
7
:
Resolução da estudante Violeta
Silva, A. A. A; Silva, A. F. G.; Pietropaolo, R. C.
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fornecendo informações sobre as figuras e sua relação com o cálculo das áreas. A
abordagem da situação com material manipulativo permitiu, por meio do desenvolvimento
da apreensão operatória, constatar a invariância das áreas visíveis, independente da
disposição dos quadrados na sobreposição das figuras. Assim com base nessas
observações, alinhadas à perspectiva de Duval (2006), reconhecemos a diversidade de
formas de apreensão de uma figura geométrica, cada uma demandando uma aprendizagem
específica que se apoie numa visão matemática apropriada. Durante a resolução do
problema, os estudantes revelaram dificuldades em entender oo enunciado, mas também
demonstraram processos de visualização que contribuíram para suas estratégias de
resolução, como exemplificado pelos relatos dos alunos Crisântemo e Dália.
Na discussão posterior, ao utilizarem material manipulativo, os alunos puderam
vivenciar as apreensões de forma mais concreta, ampliando sua compreensão e confiança
na resolução do problema, situação discutida por Karpuz e Atasoy (2019), Karpuz e Güven
(2022), Moretti e Cans (2024) e Pirola (2012). As evidências coletadas durante a atividade
confirmam que a descrição da situação e a exposição da figura funcionaram como
ferramentas heurísticas, como proposto por Duval (2006). Ao final, todos os alunos
interpretaram corretamente a situação, com destaque para o papel do material manipulativo
na facilitação desse processo. A experiência revelou que, embora nem todos tenham
utilizado o material na resolução, a apreensão operatória e discursiva lhes facilitou alcançar
a solução esperada.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste estudo, buscamos analisar as diferentes apreensões que os estudantes
mobilizaram, ao resolver um problema geométrico, especialmente explorando a figura
apresentada na situação dos “quadrados empilhados”.
A presente pesquisa teve como objetivo investigar as possibilidades de apreensões
figurais mobilizadas durante a resolução de problemas de Geometria por alunos do 8.º ano
do Ensino Fundamental. Os resultados obtidos destacaram a relevância da manipulação de
Silva, A. A. A; Silva, A. F. G.; Pietropaolo, R. C.
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figuras na potencialização do desenvolvimento das apreensões figurais. Foi evidenciado
que a interação direta com materiais manipulativos estimulou os estudantes a explorarem
diversas abordagens na resolução dos problemas geométricos, contribuindo
significativamente para a aprendizagem dos estudantes.
Durante a análise dos dados, observamos que a utilização de figuras geométricas,
como recursos visuais, desempenhou um papel importante na resolução dos problemas,
favorecendo a mobilização das diferentes apreensões figurais, tais como a perceptiva, a
discursiva, a sequencial e a operatória, conforme propõe Duval (1994, 2012). Essas
apreensões possibilitaram aos alunos uma compreensão mais abrangente dos conceitos
geométricos abordados, estimulando tanto a visualização espacial quanto o raciocínio
dedutivo.
A congruência semântica entre o enunciado do problema e a figura apresentada
facilitou a apreensão discursiva e operatória da figura, resultando numa compreensão mais
clara e eficaz do problema pelos participantes da pesquisa.
A utilização de materiais manipuláveis, como recurso didático, também se mostrou
relevante. Além de promover a visualização e a representação de figuras geométricas, tais
materiais facilitaram a construção de estratégias de resolução de problemas. Os estudantes
puderam explorar e investigar propriedades e possibilidades de forma mais efetiva, o que
contribuiu para o desenvolvimento das diferentes apreensões.
Diante dos resultados obtidos, reforçamos a importância da manipulação de
materiais como elementos estratégicos para o desenvolvimento das apreensões e o ensino
de Geometria.
Finalmente, os resultados desta pesquisa enfatizam a importância de promover
abordagens que facilitem a compreensão e a aplicação de conceitos visuais no contexto
educacional, abrangendo diversos níveis de ensino, incluindo estudantes no final da
Educação Básica. É importante reconhecer, ainda, a necessidade de uma abordagem
abrangente para o desenvolvimento dessas habilidades tanto nos cursos de formação inicial
quanto nos programas de formação continuada para professores. Os resultados deste estudo
não apenas reforçam a relevância dessas práticas, mas também sugerem oportunidades para
Silva, A. A. A; Silva, A. F. G.; Pietropaolo, R. C.
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futuras pesquisas explorarem estratégias mais eficazes e adaptáveis para promover a
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