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La machine arithmétique de Christian Huygens : le chaînon manquant ?

Authors:
  • www.arithmometre.org

Abstract

The aim of this study is to highlight the genius of Christian Huygens (1629–1695) in the field of mechanical computation. Among thousands of notes, I have uncovered several exceptional pages that reveal Huygens' keen interest, in the 1660s, in Blaise Pascal's arithmetic machine. Some of these drawings were published in 1932 in volume XVII of Huygens' complete works under the evocative title "Modification of Pascal's Machine." In reality, it is much more than that. Huygens conceptualized an entirely new calculating machine that features, on one hand, a compact adder with an efficient carry mechanism, and on the other hand, a surprisingly modern multiplier. He was the first, during Pascal's lifetime or shortly thereafter, to envision such a mechanism.
Nouvelle version 03/2025
L’additionneur - Multiplicateur
de Christian Huygens
Le chaînon manquant ?
A Walter Szrek, mon ami disparu
/ Valéry Monnier
2025
Schématisation de l’additionneur et du multiplicateur de Huygens
L’additionneur
Le multiplicateur
1
SOMMAIRE
1. Introduction .................................................................................................................. 4
2. Huygens et la machine arithmétique de Pascal......................................................... 5
3. Mise en perspective : le calcul mécanique au 17e siècle .........................................6
3.1. Wilhelm Schickard (vers 1623) : un précurseur sans échos ........................... 6
3.2. Blaise Pascal (vers 1643)..................................................................................7
3.3. Leibniz réinvente la machine arithmétique (vers 1671-1672)............................8
4. L’additionneur-Totalisateur de Huygens...................................................................10
4.1. Introduction......................................................................................................10
4.2. Description de l’additionneur-totalisateur........................................................ 10
4.3. L’inscripteur..................................................................................................... 10
4.4. Le totalisateur et le mécanisme de retenue.....................................................12
4.4.1. Le totalisateur..................................................................................................12
a) Les cadrans........................................................................................ 12
b) Les lucarnes........................................................................................13
c) Roue dentée sous cadran...................................................................14
4.5. Mécanisme de retenue....................................................................................14
4.5.1. Le reporteur de Huygens.................................................................................15
a) Roue de transmission......................................................................... 15
b) Roue à rochet..................................................................................... 16
c) La came.............................................................................................. 17
d) Le sautoir............................................................................................ 18
e) Evolution du mécanisme de retenue...................................................18
4.6. Roues intermédiaires et sens de rotation........................................................19
4.6.1. La roue à lanterne........................................................................................... 20
4.7. Ressorts et cliquets......................................................................................... 21
4.8 Vue latérale de l’additionneur..........................................................................22
4.8.1 Superposition possible du totalisateur et du mécanisme de retenue.............. 23
4.9. Conclusion : un bond vers la modernité.......................................................... 24
4.10. Schématisation de l’additionneur.....................................................................24
5. Le multiplicateur de Huygens.................................................................................... 26
5.1. Introduction......................................................................................................26
5.2. Description du multiplicateur........................................................................... 26
5.2.1. L’axe E.............................................................................................................27
5.2.2. L’axe D.............................................................................................................28
5.2.3. Connectivité entre les roues des 2 axes A et D.............................................. 28
5.2.4. Multiplicateur et Multiplicande......................................................................... 29
5.2.5. Avantage de la constante à 10 dents sur l’axe D............................................ 29
5.2.6. La contrainte du module..................................................................................30
2
5.2.7. Calcul du diamètre des roues.........................................................................30
5.2.8. Schéma avec les nouvelles valeurs............................................................... 32
5.2.9. Erreur dans le schéma original.......................................................................33
5.2.10. Déplacement physique de l’axe D..................................................................33
5.3. Le mécanisme d’entraînement....................................................................... 34
5.3.1. Différence entre crémaillère et règle dentée.................................................. 34
5.3.2. Hypothèses ....................................................................................................35
5.3.3. Schématisation en escalier.............................................................................37
5.3.4. Impact sur le fonctionnement......................................................................... 38
5.4. Mode opératoire............................................................................................. 39
5.5. Rotation de manivelle / Nombre de tours....................................................... 38
5.6. “Le pignon A de cuivre doit être long pour recevoir 9 règles dentées”............40
5.7. Usage du contrepoids.....................................................................................41
5.8. Configuration possible du multiplicateur.........................................................41
6. Les apports de Huygens et de Leibniz...................................................................43
6.1. La première esquisse de Leibniz (1672)........................................................ 43
Points de convergence avec le multiplicateur de Huygens................45
6.2. La seconde esquisse de Leibniz (1673).........................................................46
Un rajout possible............................................................................... 47
6.3. La troisième esquisse de Leibniz (1673?)......................................................47
6.4. Evolution du multiplicateur (Huygens-Leibniz)............................................... 48
7. La machine arithmétique de Huygens dans son ensemble.................................... 49
7.1. Connexion entre l’additionneur et le multiplicateur.........................................49
7.2. Schématisation de la machine arithmétique de Huygens ..............................50
7.3.. La machine arithmétique de Huygens est-elle fonctionnelle ......................... 52
8. Conclusion ....................................................................................................................53
Annexe 1 : Inventaire des figures................................................................................55
Annexe 2 : Le calcul mécanique au 17e siècle (Complément)..................................64
Le petit avorton de Rouen (vers 1642)........................................................... 64
La machine de Roberval (vers 1646) .............................................................64
Tito Livio Burattini (1658)................................................................................64
L'additionneur de Perrault (1660)................................................................... 65
Les machines de Samuel Morland (1666)......................................................66
Les “curiosités” de René Grillet (1673)...........................................................66
Tableau récapitulatif ......................................................................................67
Annexe 3 : Au sujet de l’auteur ....................................................................................68
Annexe 4 : Bibliographie courte .................................................................................. 69
3
L’additionneur-multiplicateur
de Christian Huygens (Circa 1660)
/ Valéry Monnier
Remerciements : Merci à Ina Prinz, directrice de l’Arithmeum, de m’avoir suggéré que, peut-être, Huygens avait
travaillé sur l’idée d’une machine arithmétique. Cela m’a conduit à décupler mes efforts de recherche.
L’objectif de cette étude est de mettre en lumière le génie de Christian Huygens1 (1629-1695)
dans le domaine du calcul mécanique. J’ai retrouvé, dispersés parmi des milliers de notes,
plusieurs feuillets exceptionnels qui témoignent du vif intérêt que Huygens porta, dans les
années 1660, à la machine arithmétique de Blaise Pascal. Certains dessins ont été publiés en
1932 dans le tome XVII des œuvres complètes de Huygens2 sous le titre évocateur de
Modification de la machine de Pascal”3. En réalité, il s'agit de bien plus que cela. Huygens a
conceptualisé une machine à calculer complètement nouvelle qui propose d’une part un
additionneur compact disposant d'un mécanisme de retenue performant, et d'autre part, d'un
multiplicateur étonnamment moderne. Il est le premier, du vivant de Blaise Pascal, ou juste
après, à avoir imaginé un tel mécanisme. Malheureusement, les quelques dessins imprimés
dans le tome XVII étaient de mauvaise qualité et ne permettaient pas d'approfondir la recherche.
C'est en consultant les archives numérisées de Huygens (Codices Hugeniani online)4, dont les
manuscrits sont conservés à la bibliothèque de Leyde5, que son génie créateur s'est révélé. La
première étape du travail a été de retrouver les documents originaux. Au fil du temps, des milliers
de pages manuscrites ont été réunies dans une cinquantaine de recueils. Certains d'entre eux
sont datés et parfaitement indexés, tandis que d'autres sont de simples assemblages sans
organisation chronologique ni description détaillée. Le feuilletage méthodique des pages a vite
fait ressortir que de nombreux feuillets contenant des dessins d’engrenages n'étaient pas
rattachés à un instrument en particulier et encore moins à une machine à calculer. Les efforts de
recherche ont porté leurs fruits, et la surprise a été de taille car Huygens a réalisé en fait plus de
60 dessins répartis sur une dizaine de feuillets.
Nous présenterons dans un premier temps son additionneur, qui est tout à fait remarquable. Il
possède un mécanisme de retenue basé sur une combinaison came-ressort-sautoir
incroyablement moderne qui permet à la machine d’être plus compact et de s'affranchir de la
contrainte de pesanteur.
5 Leiden University Library, Witte Singel 27, 2311 BG Leiden, The Netherlands
4 Codices Hugeniani Online. Advisors: André Bouwman, Mart van Duijn, Joella G. Yoder. Brill, Leiden Boston - Singapore, 2016.
<http://primarysources.brillonline.com/browse/codices-hugeniani>
3 Chapitre V des Travaux divers de physique, de mécanique et de technique rédigés de 1650 à 1666
2 Publiées par la Société hollandaise des sciences entre 1888 et 1950 (Ed. Martinus Nijhoff, La Haye).
1 Mathématicien, physicien, astronome, ses inventions et découvertes ont marqué l’histoire des sciences. Il est l’inventeur de l’horloge
à pendule (1657), de la montre à ressort spirale, d’instruments d'optique. Considéré comme un alter ego de Galilée, il a découvert la
planète Titan et a décrit le système de Saturne. Sa théorie ondulatoire de la lumière a jeté les bases de l’optique moderne. Nous ne
décrirons ici que sa machine arithmétique !
4
1. Introduction
Mais le véritable joyau, c’est son multiplicateur. Il dispose d'une technologie innovante
ressemblant à une “boîte de vitesses” qu’on retrouve par exemple sur les vélos. En variant le
nombre de dents sur des couples d’engrenages, on obtient un rotation proportionnelle du
totalisateur correspondant au produit de la multiplication.
Quelle place donner à cette découverte qui rebat un peu les cartes de l’Histoire du calcul
mécanique ? Entre la machine arithmétique de Pascal et la multiplicatrice de Leibniz, c’est
peut-être le chaînon manquant.
2. Huygens et la machine arithmétique de Pascal
Le 17 mars 1648, Christian Huygens prend connaissance de l’invention de Pascal par le biais
d’une lettre envoyée par Mersenne à son père Constantin. En post-scriptum, l’auteur précise :
Votre Archimède6 verra l’invention dudit Pascal pour supputer sans peine et sans rien savoir”7.
Son intérêt pour la machine arithmétique ne se manifestera que plus tard, en 1659. Afin de
l’étudier, il demande à Charles Bellair, gentilhomme du duc de Luynes, de lui envoyer un
exemplaire. Le 4 juillet 16598, Bellair l’informe que l’envoi a pris du retard, mais il a la bonne idée
d’accompagner sa lettre de dessins fort bien réalisés. Ce sont d’ailleurs les plus anciennes
représentations de la Pascaline connues à ce jour. Le 16 juillet, il annonce à Huygens que le
Libraire Petit est sur le point de lui envoyer la machine. Il précise par ailleurs qu'il pourra la
garder le temps qu’il lui plaira et en faire une copie s’il le souhaite9. Mais la mort de Charles
Bellair et les soucis personnels de Petit avec les Jésuites retardèrent la livraison. La machine
arrive finalement à la fin du mois de février 1660 avec 6 mois de retard10. On sait par une lettre à
son frère Constantin qu'il la gardait précieusement dans un coffre, aux côtés de ses objets les
plus précieux11. Il la gardera plus de 2 ans. A la mort de Blaise Pascal, survenue le 19 août 1662,
il décide de renvoyer la machine au libraire Petit le 31 du même mois12.
Huygens a donc disposé de suffisamment de temps pour étudier la machine arithmétique de
Pascal. Mais il s’en affranchit très rapidement. Toutes les esquisses recensées nous dévoilent
une machine d’un genre nouveau.
12 T.IV, p.213
11 T.III, p.265
10 T.III, p.28
9 T.II, p.439
8 T.II, p.426
7 Oeuvres complètes de Huygens, T.1, p.86
6 Il s’agit de Christian Huygens
5
3. Mise en perspective : le calcul mécanique au 17e siècle.
Pour mieux apprécier l’approche novatrice de Huygens, il semble utile de présenter ici les
grandes étapes qui ont conduit à l'avènement de la machine arithmétique. Ces contributions sont
pour certaines isolées, tandis que d'autres sont nées de l'émulation provoquée par l’invention de
Blaise Pascal.13
3.1. Wilhelm Schickard (1592-1635) : le précurseur sans écho
Wilhelm Schickard est un pasteur universitaire souabe connu pour ses nombreux travaux
scientifiques (mathématiques, astronomie, cartographie, etc..). On a retrouvé dans la
correspondance de l’astronome Kepler une lettre de Schickard, datée du 20 septembre 1623,
dans laquelle il décrit une horloge à calcul “automatique” (Fig.1).
La machine se compose de quatre parties distinctes :
Des cylindres népériens, qui permettent, avec facilité,
d’effectuer des multiplications.
Un inscripteur, composé de roues chiffrées. L’opérateur
inscrit avec un stylet les nombres en tournant les roues une
à une.
Un totalisateur d’une capacité de 5 chiffres.
Un mémento, qui permet de garder en mémoire un résultat
intermédiaire.
Le mécanisme de retenue est assez primitif. Il se
rapproche de celui qu'on retrouve dans les podomètres de
l’époque. Sous chaque roue, une “dent unique” va, au
passage de 9 à 0, faire tourner d’un cran la roue du rang
décimal supérieur (Fig.2)
Malheureusement, l'année suivante14, Schickard déclare avoir perdu
son horloge à calcul dans un incendie. Était-ce un malheureux accident
? La peur d'être considéré comme un hérétique dans une Allemagne
encore très obscurantiste ? Ou un aveu implicite que sa machine ne
fonctionnait pas ? Quoi qu’il en soit, aucune machine n’a jamais été
retrouvée. Mais les faits sont : en 1617, un homme a dessiné les
contours de la machine à calculer moderne, avec une interface
utilisateur (inscripteur et totalisateur) et un mécanisme de report automatique des retenues,
aussi perfectible soit-il15.
15 Que son idée n’ait eu aucun écho dans le monde scientifique de l'époque n’enlève rien au génie de sa création.
14 Lettre du 25 février 1624
13 Pour ne pas alourdir la présentation, certaines d’entre elles seront décrites en annexe.
6
3.2. Blaise Pascal (1623-1662)
Blaise Pascal est le 16 juin 1623 à Clermont-Ferrand. En 1639, son père est nommé
commissaire député pour la levée des impôts en Haute-Normandie. Afin d’alléger sa charge de
travail, il a l’idée de construire une machine arithmétique16 fonctionnelle avec report automatique
des retenues.
L’inscripteur et le totalisateur se situent sur la platine supérieure (Fig.3). Pour inscrire un chiffre,
l’opérateur place son stylet entre 2 rayons, et tourne la roue jusqu’à ce qu’il soit arrêté par le
butoir. Un rayon correspond à une unité de l’ordre décimal ou monétaire choisi.17
Dessin de la Pascaline par C. Bellair (1659)
Machine du Chevalier Durant-Pascal
Fig.3 - HUG45
© Musée Lecoq, Clermont-Ferrand
La rotation de la roue entraîne le mécanisme, qui est en prise directe. On y retrouve des roues à
chevilles, qui assurent la transmission des données au totalisateur; des cliquets, permettant aux
différentes roues de bien se positionner; et des sautoirs, dont la mission est de transmettre la
retenue à l’ordre décimal supérieur.
Lorsque le totalisateur tourne, le sautoir se lève progressivement (Fig.4). Au passage de 9 à 0, il
tombe sous l'effet de la pesanteur, et ajoute une retenue (Fig.5).
Ce mécanisme de report automatique des retenues est une innovation majeure. A la différence
de Schickard, dont le reporteur à dent unique limite considérablement la capacité de la machine,
l’accumulation d’énergie18 sur chaque rang décimal autorise la construction de grands modèles à
5,6,8 ou 10 chiffres, avec une gestion des retenues beaucoup plus fiable.
18 Energie de pesanteur
17 Pour les deniers, on a des roues à 12 rayons ; pour les sols, des roues à 20 rayons ; et pour le système décimal, des roues à dix
rayons.
16 On pense qu’il en a fabriqué une cinquantaine, vendues entre 100 et 400 livres l’unité, soit plusieurs mois d’un salaire confortable.
Neuf exemplaires ont été conservés : 4 au Musée des Arts & Métiers, 2 à Clermont-Ferrand (Musée Henri Lecoq), 1 au Musée de
Dresde en Allemagne, 1 dans la collection IBM aux USA (exposée actuellement à l’Arithmeum de Bonn), 1 dans une collection privée
en Europe.
7
Le sautoir en position haute (= 9)
Passage de la retenue (= 1-0)
Fig.4 - © Institut Français de
Mécanique Avancée / Christophe Bascoul
Fig.5 - © Institut Français de
Mécanique Avancée / Christophe Bascoul
3.3. Leibniz réinvente la machine arithmétique (1672-....)
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) est un esprit polymathe dont le champ de connaissance
est considérable. Ses premières réflexions sur le calcul mécanique remontent aux années
1671-167219. Pendant cette période, il esquisse un concept de machine arithmétique combinant
un additionneur simple et un multiplicateur à roues proportionnelles20. Cette invention sera
détaillée au chapitre III.
Très rapidement, le système évolue vers une externalisation du multiplicateur avec emploi d’un
compteur de tours. Le principe est simple : on ajoute “pas à pas” le multiplicande au totalisateur
autant de fois que nécessaire. C’est un peu l’idée de Pascal en ce sens que la multiplication
procède par somme d’additions, mais il y a une différence fondamentale, c’est que l’opérateur
n’a plus besoin de réinscrire à chaque fois les chiffres du multiplicande. Ceux-ci sont pour ainsi
dire gardés en mémoire. Leibniz a pour cela séparer physiquement l’inscripteur du
totalisateur, et introduire un nouvel élément intermédiaire.
Il dessine dans un premier temps une roue à dents mobiles”21 dont les dents extractibles
définissent la valeur d’un chiffre. Une fois que celui-ci est posé, chaque rotation ajoute la même
valeur au totalisateur.
L’idée est rapidement abandonnée au profit d’un autre organe qui portera le nom de l’inventeur :
le cylindre de Leibniz22.
22 Voir p.43-44
21Aussi appelé “Roue à nombre variable de dents”. On retrouve ce système sur de nombreuse machines à calculer (Poleni, Braun,
Odhner)
20 Dans cette configuration, plus la valeur du multiplicateur est élevée, plus le diamètre de la roue motrice est important.
19 Il s’installe à Paris à l’automne 1672 et découvre par l'intermédiaire de Pierre de Carcavy la machine arithmétique de Pascal
8
Dans sa première conceptualisation23, le cylindre est divisé en 9 tranches dont chacune porte un
nombre croissant de dents, allant de 1 à 9.
Imaginons un pignon coulissant sur un axe carré relié mécaniquement au totalisateur. Si on
positionne ce pignon24 le long du cylindre et qu'on effectue une rotation, celui-ci va tourner et
transmettre autant d’unités au totalisateur qu’il y a de dents sur la portion dentée. Le nombre de
dents rencontrées équivaut tout simplement à la valeur du chiffre posé ! Pour le chiffre 1, une
dent. Pour le chiffre 2, deux dents et ainsi de suite.
Le cylindre est donc l’organe répétiteur de la machine de Leibniz. Il équipera toute une lignée de
machines à calculer dont le grand représentant est l’arithmomètre de Thomas de Colmar25.
L’autre grande amélioration apportée par Leibniz à sa machine arithmétique est le décalage
possible entre l’inscripteur et le totalisateur. Pour multiplier un nombre par 99, l’opérateur
déplace l’inscripteur de 2 rangs vers la gauche, puis tourne la manivelle une fois (= x100). Il lui
suffit de replacer l’ensemble en position initiale et de retrancher le multiplicande une fois.
Leibniz26 passa beaucoup de temps à finaliser sa machine (1694) et dépensa des sommes
considérables27. Malgré les efforts consentis, la machine n’est pas exempte de défauts. Son
mécanisme de retenue en particulier gère assez mal les retenues en cascade28. Mais ce sera la
bête noire de tous les inventeurs de machines à calculer !
La machine arithmétique de Leibniz, vers 1694
© Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek, Hannover
28 96 + 4 ne donnait pas 100 comme il se devrait mais 000 ! Un système de roues dodécagonales indiquait à l'opérateur où la retenue
n'était pas passée. Il lui fallait alors remettre les inscripteurs à zéro et refaire un tour de manivelle pour terminer le processus.
27 10000 florins
26 Pour plus d’informations sur ses machines à calculer, nous renvoyons le lecteur vers le livre d'Ariane Walsdorf : “Die
Leibniz-Rechenmaschine, publié en 2020.
25 Cf www.arithmometre.org
24 Pignon monté sur un axe carré et relié mécaniquement au totalisateur
23 Par la suite le cylindre évoluera et prendra l’apparence d’un cylindre cannelé
9
4. L’additionneur-totalisateur de Huygens
4.1. Introduction
Replacé dans son contexte historique, l’additionneur-totalisateur de Huygens constitue une
avancée technique remarquable. Il faut avoir à l’esprit que dans les années 1660, peu de
machines à calculer ont été fabriquées. On pourrait bien sûr citer celles de Tito Livio Burattini
(1658)29, Samuel Morland (1666)30, ou encore René Grillet (1673)31, mais nous n'avons, pour la
première, aucune description détaillée, et les autres ne possèdent pas de report automatique de
retenue.
Le seul point de comparaison antérieur est donc la machine arithmétique de Pascal que Huygens
a pu étudier à loisir.
4.2. Description de l'additionneur-totalisateur
Le nombre significatif de dessins retrouvés permet de retracer le cheminement cognitif de
l’inventeur. Tous les éléments nécessaires à la conception d'un additionneur-totalisateur sont
représentés.
En voici le détail :
Inscripteur.
Totalisateur.
Mécanisme de retenue.
Roues intermédiaires diverses.
Cliquets, ressorts.
Assemblage
4.3. L’inscripteur
L’inscripteur se compose d'une série de disques sur lesquels on a percé des trous de manière
uniforme tout au long de la circonférence (Fig.7). Le
nombre de trous dépend de la base utilisée. La ligne
7D (Fig.6) du feuillet HUG26-ff.93r suggère que
l’additionneur est configuré en base 10 pour le calcul
arithmétique, mais également, sur les deux derniers
rangs, en base 20 (Sous) et 12 (Deniers) pour le calcul monétaire. Cette disposition se retrouve
sur plusieurs exemplaires de la machine de Pascal. Pour les besoins de la démonstration, nous
n'utiliserons que la base décimale.
31Ibid
30Ibid
29 Voir Annexe II
10
Limbe et butoir
Superposition de l’inscripteur et
du limbe
Fig.8 - HUG26-ff.093r
Fig.9 - HUG26-ff.093r
/ Coloriage par V. Monnier
Une couronne circulaire numérotée, le limbe, entoure chaque inscripteur (fig.8). Le butoir est
positionné sur la partie haute, entre 0 et 9. Comme le précise Huygens32, les nombres sont
directement gravés sur la platine33. En comparaison, cela nous rapproche plus de l'inscripteur dit
de Lépine34(Fig.11) que de celui de Pascal (Fig.10).
Inscripteur de Pascal
Avec roues et limbes extériorisés
Inscripteur de Lépine*
Avec roues et limbes intégrées
Fig.10 - © Musée des Arts et Métiers
Fig.11 - © Musée des Arts et Métiers
Pour entrer un chiffre, l'opérateur enfonce la pointe du stylet dans le trou correspondant à la
valeur désirée et tourne la roue de l'inscripteur jusqu’à ce qu’elle soit stoppée par le butoir (Fig.9).
Montée sur le même axe, une roue d'engrenage35 de 10 dents36, visible partiellement sur la fig.7,
est connectée au totalisateur par le biais de roues tierces37. La valeur transmise est égale au
chiffre entré sur l'inscripteur.
37 Soit un via les roues à chevilles horizontales, soit en connection semi-directe avec la roue du reporteur
36 Notons que le nombre de dents de cette roue dépend de la base de numération choisie.
35 La roue d'engrenage est partiellement représentée avec 3 dents, mais elle en comporte 10.
34 Une étude en cours (Valéry Monnier - Lépine 2025) indique que la “machine de Lépine” a été fabriquée antérieurement.
33 A la différence de la Pascaline dont la roue d’inscription et le limbe sont posés sur la platine supérieure
32Nombres gravés sur la plaque”. - Ligne 11D du feuillet HUG26-ff.93r
11
4.4. Totalisateur et mécanisme de retenue
Le totalisateur et le mécanisme de retenue sont les deux faces d’une même pièce. Ils
fonctionnent toujours conjointement.Huygens a dessiné de nombreuses fois ce dispositif. Dans la
grande majorité des cas, ils sont disposés sur deux axes différents et semblent être connectés
mécaniquement. Bien que cette disposition soit tout à fait fonctionnelle, un schéma représentant
une “vue latérale de l’additionneur” propose une version plus compacte.
4.4.1 Le totalisateur
a) Les cadrans
Chaque cadran du totalisateur comporte une double série de chiffres
(Fig.12), disposée en cercle concentrique, allant pour l’une, de 0 à 9 et
pour l’autre, de 9 à 0. Cette numérotation, dite complémentaire,
permet d'opérer des additions, mais aussi des soustractions, sans
qu’on ait besoin de tourner les roues dans l’autre sens. Huygens
semble avoir privilégié la méthode du “complément à 10”, plutôt que
celle “à 9” utilisée par Blaise Pascal sur ses machines. Mais cela
revient au même : pour soustraire un nombre à un autre, on prend le
complément à 9 ou à 10 du premier nombre, on l’additionne au
second, celui-là même que l'on voulait soustraire, et on obtient une somme dont le complément
donne le résultat de la soustraction.
Prenons l’exemple suivant : 364-27
364 - 27 = (complément à 9 de 364) + 27 = 635 + 27 = 662
Résultat de la soustraction= (complément à 9 de 662) = 337
Cela fonctionne non seulement pour le complément à 9, mais pour n'importe quelle base (12, 20
par exemple)
364 - 27 = (complément à 10 de 364) + 27 = 746 + 27 = 773
Résultat de la soustraction= (complément à 10 de 662) = 337
Chiffre(s)
3
6
4
2
7
Complément à 9
6
3
5
7
2
Complément à 10
7
4
6
8
3
12
Cette technique résout de manière fort habile l’impossibilité qu’ont ces machines de tourner dans
les deux sens. Ce handicap est lié à la structure même du mécanisme de retenue. Il faut donc
jouer avec les compléments en occultant l’un ou l'autre des chiffres, soit par une lecture
attentionnée, soit en utilisant des “caches” de type réglette ou autre.38
b) Lucarnes
Des lucarnes ont été percées sur la platine pour que l’opérateur puisse lire le résultat (chiffre +
complément) (Fig.14). On remarque que la disposition des chiffres évolue au fil des dessins, de
même que le positionnement de la lucarne (Fig.13-16). Il n’est pas fait mention d’un quelconque
système facilitant la lecture39 comme c’est le cas sur la Pascaline.
Totalisateur & roue dentée plate
avec fenêtre supérieure
Totalisateur & roue dentée plate
avec fenêtre supérieure
Fig.13 - HUG26-ff.093r
Fig.14 - HUG10-ff.115r
Totalisateur et roue à picots
avec fenêtre inférieure
Totalisateur et roue à picots
avec fenêtre inférieure
Fig.15 - HUG26-ff.096r
Fig.16 - HUG28-ff-114r
39 Du nombre ou de son complément
38 Il existe heureusement des solutions : Leibniz a complexifié son mécanisme de retenue pour pouvoir opérer dans les deux sens ;
Thomas de Colmar a contourné le problème en créant un inverseur de marche spécifique au totalisateur.
13
c) Roue dentée sous cadran
Des roues dentées sont fixées sous les cadrans (Fig.13-14). Leur structure évolue au fil des
dessins. Les engrenages à picots” (Fig.15-16) sont remplacés par des dents plus larges,
mécaniquement plus adaptées. Elles possèdent toutes 10 dents.
4.5. Le mécanisme de retenue
La gestion mécanique des retenues a toujours été un problème majeur pour les constructeurs de
machines à calculer. Un mauvais fonctionnement impacte directement la justesse du calcul et
rend toute commercialisation impossible40.
On trouve déjà des “reporteurs” dans les podomètres du 16e siècle. Leur mécanisme à “dent
unique” est bien adapté à ce type d’instrument au fonctionnement très linéaire. Mais c'est plus
compliqué en revanche sur une machine à calculer les nombres qui s'additionnent peuvent
générer des retenues en cascades (99999+1 ; 94678+5322).
Dans ce cas précis, le cumul des forces en présence rend difficile la rotation simultanée des
roues, surtout s’il y en a beaucoup. Par ailleurs, si les roues ont un peu de jeu, les petits
décalages angulaires successifs vont bloquer de manière intempestive le mécanisme.
Certains inventeurs en ont fait l’amère expérience et l’ont parfois reconnu : Hillerin de
Boistissandeau (1704-1776), qui fabriqua trois modèles41 de machine arithmétique (Fig.17) le dit
en ces termes: Outre les frottements dans la première [machine], elle se trouve encore bornée
au point de ne pouvoir calculer que des livres, sols et deniers”. Au-delà de deux ou trois reports,
“le fonctionnement du mécanisme devenait erratique”42
Mécanisme à dent unique de la première machine de Hillerin de Boistissandeau
Fig.17 - in “Machines approuvées par l’Académie royale des sciences”, vol. 5, 1735
42 Jean Marguin, Histoire des instruments et des machines à calculer, p.81, Hermann, 1994
41 Vers 1730
40 Il faudra attendre la seconde moitié du 19e siècle pour avoir des machines techniquement parfaites
14
L’apport technique de Pascal est sur ce point très intéressant. Pour pallier cet inconvénient, il
utilise l'énergie de pesanteur pour la convertir en énergie cinétique. Lorsque l’opérateur fait
tourner le cadran du totalisateur, le sautoir, décrit précédemment, s'élève progressivement avant
d’être libéré d’un coup, au passage de 9 à 0.
Les retenues s'effectuent en douceur, sans forcer, à condition que la machine soit posée à
l’horizontale ! (Fig.18)
Reporteur de la Pascaline
Fig.18 © Arithmeum, Bonn, 2024
4.5.1. Le reporteur de Huygens
Le reporteur de Huygens garde de Pascal les principes de répartition et de cumul de l'énergie sur
chaque rang décimal tout en s'affranchissant de la contrainte de gravité. Il se compose d’un
ensemble de pièces disposées sur un même axe dont voici le détail :
Roue de transmission
Roue à rochet
La came
Le sautoir
a. Roue de transmission
La roue de transmission a une double fonction. Elle établit un lien mécanique entre l’inscripteur et
le totalisateur43, et elle fait tourner la came qui arme le sautoir. Les dessins ci-dessous (Fig.19-20)
montrent deux variantes de cette même roue dont la plus avancée techniquement est
représentée fig.19.
43 Nous verrons plus loin qu’une autre disposition est possible
15
Roue de transmission
Lien Inscripteur / Totalisateur
Roue de transmission
Lien Inscripteur / Totalisateur
Fig.19 - HUG26-ff.093r
Fig.20 - HUG28-ff.114r
b. Roue à rochet
Placée sous la roue de transmission, la roue à rochet a également une double fonction. C’est
d’une part un dispositif anti-retour qui empêche le mécanisme de tourner dans l’autre sens. Mais
c’est aussi la pièce qui reçoit la retenue du rang décimal inférieur via “le sautoir”(Fig.21-22). Une
fois encore, Huygens a imaginé différents agencements possibles44.
Roue à rochet à double fonction
Roue à rochet à double fonction
Fig.21 - HUG10-ff.115r / Coloriage par V. Monnier
Fig.22 - HUG26-ff.093r
44 La fig.22 étant la plus aboutie.
16
c. La came
La came est fixée sous la roue à rochet. Sa forme particulière (Fig.23-24) lui permet de tendre le
“sautoir” qui est contraint par un ressort. Lorsque le totalisateur passe de 9 à 0, le sautoir est
libéré d’un coup, et fait tourner la roue à rochet de la décade supérieure, ajoutant ainsi une unité
au totalisateur.
Came ou limaçon
Esquisses de limaçons
Fig.23 - HUG10-ff.115r
Fig.24 - HUG26-ff.093r + HUG10-ff.115r
L'utilisation d'une came à effet tenseur est un apport technique exceptionnel qu'il convient ici de
souligner. On pensait que son intégration dans une machine à calculer datait des années 184045.
L’inventeur, David-Didier Roth était docteur en médecine et avait une passion pour le calcul
mécanique. Au terme de nombreux essais46, il réussit en 1841 à commercialiser de petits
additionneurs dont le report de retenue fonctionnait avec une “double came”47 (Fig.25-26). Roth se
plaisait à dire, en parlant de son reporteur, que sa machine faisait un feu de filecar elle gérait
parfaitement les retenues en cascade48.
Mécanisme à double came, de l’inscripteur et du
sautoir de David-Didier Roth
Dessin de la double came et de l’inscripteur
David-Didier Roth
Fig.25 - © Photo V. Monnier 2024
Fig.26 - © www.ami19.org (V. Monnier)
48 Il disait également que la machine de Pascal “faisait un feu de bataillon” (retenue simultanée), ce qui est inexact.
47 La double came permet d’agrandir le cadran car il sert également d’inscripteur. Cela nécessite de fait le doublage de la
numérotation sur les cadrans (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
46 Voir l’article sur Roth sur le site www.ami19.org
45 Notons que la deuxième et troisième machine d’Hillerin de Boistissandeau (1730) possédait déjà un mécanisme de retenue
composé de secteurs dentés. Cette variante était plus fragile et plus complexe.
17
d. Le sautoir
Le sautoir ressemble à une grande tige pliée en deux comme une équerre. Huygens a beaucoup
travaillé cette pièce, comme on peut le voir sur les nombreux dessins qu’il a laissés. Pour que la
retenue opère, il faut que le ressort puisse pousser le sautoir sans qu’il ne soit gêné par la came.
C’est ce qui explique sa forme si particulière, visible sur les fig.27-28.
e. Evolution du mécanisme de retenue
Les figures ci-dessous donnent une idée du travail de représentation mentale de Huygens
(Fig.30-44). Elles sont disposées ici selon leur niveau de technicité estimé.49
Fig.30 - HUG3-ff.056r
Fig.31 - HUG3-ff.056r
Fig.32 - HUG3-ff.056r
Fig.33 - HUG3-ff.056r
Fig.34 - HUG10-ff.115r
Fig.35 - HUG3-ff.056r
49 Comme nous le verrons plus loin (Annexe 1, page 56), certains dessins ont été recouverts par des textes manuscrits datés 1666,
ce qui fausse la datation (HUG3-ff.056r). En réalité, ils sont antérieurs, Huygens ayant probablement réutilisé des feuilles par souci
d'économie.
18
Détail du sautoir en position
Autres exemples de sautoirs
Fig.27 - HUG26-ff.093r-Fig1
Fig.28 - HUG 26-fr.093r
Fig.29 - HUG26-ff.093r
Fig.36 - HUG3-ff.107v
Fig.37 - HUG26-ff.093r
Fig.38 - HUG26-ff.096r
Fig.39 - HUG28-ff.114r
Fig.40 - HUG10-ff.115r
Fig.41 - HUG10-ff.115r
Fig.42 - HUG26-ff.093r
Fig.43 - HUG26-ff.096r
Fig.44 - HUG 26-fr.093r
4.6. Roues intermédiaires et sens de rotation
Lorsque deux roues dentées engrènent l’une avec une autre, elles tournent dans un sens
opposé. Certaines ont, de par leur fonctionnement, un sens de rotation contraint. C’est le cas de
la roue de transmission (Fig.45) dont la came arme le sautoir. Elle ne peut agir que dans un sens,
ici antihoraire.
Sens de rotation de la roue de transmission
Fig.45 - HUG26-ff.093r
19
Concernant l’inscripteur, l’ordre des chiffres sur le limbe, ainsi que la structure du butoir, nous
indiquent qu’il tourne dans un sens antihoraire (Fig.45). Il ne peut donc être en prise directe avec
la roue de transmission, qui tourne dans le même sens.
L’inscripteur
Fig.45 - HUG26-ff.093r
L'ajout d’une roue intermédiaire entre l’inscripteur et la roue de transmission s’avère donc
indispensable.
4.6.1. La roue à lanterne
Cette “roue intermédiaire” pourrait bien être la “roue à lanterne” représentée Fig.46. Elle est
visible également dans la vue latérale de l’additionneur (Fig.47).
Roue à lanterne
Vue latérale de l’additionneur avec sa roue à lanterne
Fig.46 - HUG26-ff.093r
Fig.47 - HUG26-ff.093r
Mais ce choix interroge. Dans leur usage classique, les roues à lanterne engrènent avec des
roues à cheville dans le but de transformer une rotation verticale en une rotation horizontale ou
inversement.
20
On pourrait ainsi imaginer que l’inscripteur est connecté à la roue à lanterne par le biais d’une
axe horizontal portant à chaque extrémité deux roues à chevilles, un peu à la manière de Pascal.
Malheureusement, les quelques dessins retrouvés manquent de pertinence et ne suffisent pas à
valider cette hypothèse (Fig.48-49).
Roue à simili-chevilles taillées dans la masse
Roue à chevilles doublées
Fig.48 - HUG10-ff.115r
Fig.49 - HUG26-ff.093r
La roue à lanterne a sans doute une autre fonction. Comme le précise Huygens, les dentures
des roues sont “minces” et “plates”. Le fait qu’elles s’insèrent entre les fuseaux d’une roue à
lanterne rend donc la rotation plus sûre en évitant que les dents ne se chevauchent en tournant.
Elle permet donc de “sécuriser” l’engrènement.
4.7. Ressorts et cliquets
La majorité des ressorts représentés dans les feuillets (Fig.50-55) est liée au mécanisme de
retenue. Certains servent à tendre le sautoir, tandis que d'autres ont une fonction anti-retour.
Dans sa version la plus avancée (Fig.60), un cliquet supplémentaire est ajouté. Cette disposition
est toujours d'usage aujourd'hui.
Fig.50 - HUG3-ff.056r
Fig.51- HUG3-ff.056r
Fig.52 - HUG26-ff.096r
21
Fig.53 - HUG10-ff.115r
Fig.54 - HUG10-ff.115r
Fig.55 - HUG26-ff.093r
4.8. Vue latérale de l’additionneur
La fig.56 nous renseigne sur la manière dont l’additionneur est assemblé. Le mécanisme est
maintenu par deux plaques fixées entre elles par des piliers. Des goupilles sécurisent
l’ensemble50. On distingue assez nettement la roue à lanterne qui engrène avec la roue de
transmission. Cette dernière est comme prise en “sandwich”, ce qui empêche tout
chevauchement51. Le positionnement de la roue à lanterne en “extrême” bordure autorise une
connexion à l'inscripteur, qui n’est pas représenté sur le schéma, et/ou éventuellement au
multiplicateur. Notons que le cliquet, le poussoir, et les ressorts additionnels ne sont pas visibles
sur la figure. Ce qui impressionne, c'est la faible épaisseur de la machine. Comparée à la
Pascaline, la différence est vraiment notoire.
Vue latérale de l’additionneur
Fig.56 - HUG26-ff.093r / Coloriage par V. Monnier
51 Huygens précise dans le feuillet HUG26-ff.093r que les denture sont plates et fines
50 Voir feuillet Hug26-ff.093r en annexe.
22
4.8.1 Superposition possible du totalisateur et du mécanisme de retenue
La grande majorité des dessins de Huygens représente le totalisateur connecté au mécanisme
de retenue sur deux axes différents. On imagine alors un inscripteur qui se connecte par le biais
d’une roue tierce afin de respecter le sens de rotation de l’inscripteur et du mécanisme de
retenue. Leur structure les contraint à tourner dans le sens inverse des aiguilles d’une montre52.
La figure 57 représente parfaitement cette idée (Version 1).
Mais la vue latérale de l’additionneur (Fig.56) nous livre peut-être une version différente. Il
apparait en effet clairement qu’un élément (colorié en jaune) est disposé au-dessus du
mécanisme de retenue, apparemment sur le même axe . Cela nous conduit à émettre plusieurs
hypothèses :
C’est une vue en perspective du totalisateur, qui est placé dans le prolongement..
Le totalisateur et le mécanisme de retenue sont sur le même axe.(Version 2)
L’inscripteur, le totalisateur, et le mécanisme de retenue sont tous les trois sur le même
axe (Version 3). La roue à lanterne sert alors à connecter le multiplicateur.
(Version 1)
Version 2
Version 3
Fig.57 / © V. Monnier 2025
Fig.58 / © V. Monnier 2025
Fig.59 / © V. Monnier 2025
Il serait bien hasardeux de dire quelle est la bonne option. Si le totalisateur et le multiplicateur
sont effectivement positionnés l’un au-dessus de l’autre (Version 2), on peut se poser la question
de savoir pourquoi Huygens les a représentés systématiquement sur deux axes. S’agit-il dans ce
cas d’une approche autodidactique permettant de mieux visualiser les mécanismes ?
52 Cet aspect a été décrit précédemment
23
Les quelques notes manuscrites disponibles ne nous aident malheureusement pas beaucoup
plus.
Dans le cadre de cette étude, nous privilégierons la version 1 pour rester dans l’esprit des
dessins de Huygens, et garderons à l'esprit les versions 2 et 3 qui sont des agencements
possibles,
4.9. Un bond vers la modernité
L’étude des feuillets de Huygens a permis de mettre en lumière un additionneur-totalisateur d’une
grande modernité. Il présente des caractéristiques techniques que l’on retrouve sur des
machines beaucoup plus récentes comme celle construite par David-Didier Roth au 19e siècle.
Sa compacité la rend également plus facilement transportable.
A la différence de Pascal, Huygens a développé des compétences certaines dans le domaine de
l’horlogerie. Rappelons qu’il est l’inventeur de l’horloge à pendule (1657) et du ressort spiral53
(1675). Les tâtonnements successifs observables sur les dessins l’ont amené à des solutions
techniques que personne à cette époque n’a été en mesure d‘apporter.
4.10. Schématisation de l’additionneur
La fig.60 représente une vue possible de l’additionneur de Huygens. Comme décrit
précédemment, il possède un totalisateur complet avec mécanisme de retenue, et un inscripteur
circulaire de type Pascalien. Sa capacité a volontairement été limitée à 4 chiffres pour faciliter la
lecture54. Des figures originales ont été insérées comme élément de comparaison. Une version
plus compacte est également proposée (Version 2). Il convient à nouveau de préciser, qu’à ce
jour, il n’y a aucune certitude de représentation. Le but affiché étant simplement de comprendre
le cheminement de Huygens dans l’élaboration de sa machine à calculer.
54 L’additionneur pourrait avoir une capacité de 9 chiffres
53 En 1675, Huygens propose sa première montre à ressort-spiral dans le "Journal des Savans", il confie sa réalisation à Isaac Thuret,
l'un des meilleurs horlogers de Paris. Cette invention est également revendiquée par l’abbé Hautefeuille.
24
L’additionneur-totalisateur de Huygens / Schéma Valéry Monnier 2025
Fig.60 / © V. Monnier 2025
25
5. Le multiplicateur de Huygens
5.1. Introduction
Si l’additionneur-totalisateur constitue déjà une avancée technique remarquable, le multiplicateur
de Huygens est encore plus exceptionnel. Sa conception unique permet d’opérer des
multiplications avec une grande rapidité, sans qu’on ait besoin à chaque fois de réintroduire les
chiffres du multiplicande, comme c’est le cas sur la machine arithmétique de Pascal.
Les nombreuses esquisses retrouvées nous éclairent par ailleurs sur le cheminement cognitif de
l’inventeur. Malheureusement, aucune description détaillée n’a été retrouvée, et seules quelques
notes sont disponibles. L’étude va donc porter essentiellement sur l’analyse comparative des
dessins et sur l’observation des lois élémentaires propres à la mécanique.
5.2. Description du multiplicateur
La Fig.61 représente une vue du multiplicateur pour un rang décimal. Il sera donc monté en
série autant de fois qu’il y a de chiffres au multiplicande.
Un “blocest constitué de 2 axes D et E portant chacun 9 roues dentées. Les chiffres inscrits sur
leur tranche correspondent au nombre de dents affectées à chaque roue.
Schéma du multiplicateur de Huygens
Fig.61 - HUG26-ff.092r
26
5.2.1. L’axe E
Toutes les roues de l’axe E possèdent des dents dont le nombre correspond à des multiples de
9 (9,18,27,36,45,54,63,72,81). Curieusement, leur diamètre n'est pas proportionnel au nombre
de dents55 (Fig.62). Cela peut signifier deux choses : soit le dessin est mal réalisé ; soit les roues
dentées n’ont pas le même module56. En soi, ce n’est pas un problème. Elles peuvent très bien
avoir un même diamètre et ne pas avoir le même nombre de dents. Mais il y a une contrainte :
chaque roue de l’axe E doit engrener avec une roue de l’axe D. Cet aspect sera développé plus
loin.
Non proportionnalité des roues (multiples de 9)
Fig.62- HUG26-ff.092r
Sur le côté droit, connecté à l’axe E, on distingue un pignon A. Il est constitué d’une roue X dotée
de 9 dents obliques réparties uniformément sur la circonférence (Fig.63). Un cliquet à ressort
maintient la roue et l'empêche de revenir en arrière. Jointe à elle, une roue polygonale B de 9
côtés plats est contrainte par un ressort fort C (Fig.64).
Roue X à 9 dents obliques et crémaillère
Roue polygonale B
Fig.63 - HUG26-ff.092r
Fig.64 - HUG26-ff.092r
56 Le module sert de base aux calculs de dimensionnement de la denture.Il se calcule très facilement en divisant le diamètre du
cercle primitif par le nombre de dents (M=D/Z). Pour pouvoir engrener ensemble, deux engrenages doivent avoir le même module (la
même taille de denture). Deux engrenages de module différent ne sont pas compatibles.
55 La roue de 9 dents devrait être 9 x plus petite que celle de 81 dents, par exemple.
27
Une crémaillère F fait tourner le pignon A par tranche(s) de 1/9. En conséquence, les roues
dentées présentes sur l’axe E vont tourner de 1/9, 2/9, 3/9 …etc. jusqu’à faire si besoin un tour
complet (9/9).
5.2.2. L’axe D
Toutes les roues de l’axe D possèdent 10 dents (Fig.65). Le fait que leur diamètre soit différent
suggère que leur module l’est également. Il reste donc à étudier la compatibilité avec les roues
de l’axe E57.
Non proportionnalité des roues de 10 dents
Fig.65 - HUG26-ff.092r
5.2.3. Connectivité entre les roues des 2 axes A et D
Le schéma ci-dessous (Fig.66) montre, qu’en position neutre, les roues de l’axe D ne sont pas en
prise avec celles de l’axe E. De petits pointillés, ici volontairement coloriés, suggèrent que l'axe D
est mobile et qu'il se déplace horizontalement de droite à gauche. Le nombre de points entre
chaque roue diminue à mesure qu’on se déplace vers la gauche.
Mobilité de l’axe D
Fig.66 - HUG26-ff.092r / Coloriage par V. Monnier
57Le module sert de base aux calculs de dimensionnement de la denture.Il se calcule très facilement en divisant le diamètre du cercle
primitif par le nombre de dents (M=D/Z). Pour pouvoir engrener ensemble, deux engrenages doivent avoir le même module (la même
taille de denture). Deux engrenages de module différent ne sont pas compatibles.
28
5.2.4. Multiplicateur et Multiplicande
Concrètement, cela veut dire que si l’opérateur déplace l’axe D de 8 crans vers la gauche, seule
la roue RD8 va entrer en prise avec la roue RE8. Les autres restent déconnectées. Si maintenant
il tire la crémaillère F, le pignon A va tourner de 1/9, 2/9; 3/9, …9/9. La roue RE8, qui a 72 dents,
tourne en conséquence de 8,16,24,32,40,48,56,64, ou 72 équivalent-unités (1 dent = 1 unité).
Nous avons donc ici deux éléments essentiels dans la création d’une multiplicatrice, à savoir
un multiplicateur, et un multiplicande.
Le tableau ci-dessous (Fig.67) donne toutes les configurations possibles de la table de pythagore,
que Huygens a réussi à matérialiser.
Fig. 67 - © V. Monnier 2024
5.2.5. Avantage de la constante à 10 dents sur l’axe D
Pour qu’un produit soit correctement transmis au totalisateur, il faut que les roues de l’axe D aient
le même nombre de dents. Si leur nombre varie, le résultat est différent. Prenons l’exemple de
24, qui est le produit de 8x3, 3x8, 6x4, ou 4x6. On obtient, avec une roue de 10 dents, 2,4
rotations ; avec une roue de 12 dents, 2 rotations, et avec une de 24 dents, 1 rotation. Dans ces
conditions, la roue de transmission, placée à l'extrémité de l’axe D ne transmettra pas la même
valeur au totalisateur, d'où la nécessité d'avoir cette constante de 10.
29
5.2.6. La contrainte du module
Le fait que les roues dentées d’un même axe ne possèdent pas le même module n’a pas
d’incidence puisqu'elles n’engrènent pas entre elles. En revanche, il est indispensable que les
couples de roues RE1/RD1, RE2/RD2, ….RE9/RD9 aient le même module.
5.2.7. Calcul du diamètre des roues
En prenant en considération cette contrainte mécanique, la question de la faisabilité se pose.
Pour bien comprendre la problématique rencontrée par Huygens, il semble utile dans un premier
temps de réaliser un schéma avec les bonnes proportions (Fig.68). Dans cette configuration58, les
roues dentées de l’axe E ont un diamètre qui suivent une progression parfaitement
arithmétique59. Les roues de l’axe D, quant à elles, sont identiques puisqu’elles ont le même
nombre de dents.
Fig.68 - © V. Monnier 2024
RE1 (9 dents) = 11mm
RE2 (18 dents) = 20mm
RE3 (27 dents) = 29mm
RE4 (36 dents) = 38mm
RE5 (45 dents) = 47mm
RE6 (54 dents) = 56mm
RE7 (63 dents) = 65mm
RE8 (72 dents) = 74mm
RE9 (81 dents) = 83mm
RD (10 dents) = 12mm
59 allant de 11mm à 83mm.
58 On prendra pour l’exemple un module = 1. En réalité le module est plus important
30
A l’évidence, 8 des 9 couples ne sont pas connectés, ce qui rend inopérant le mécanisme60.
Huygens a réalisé plusieurs dessins qui témoignent d'une réelle recherche de solutions. La
Fig.69 par exemple propose une version avec des entraves multiples montés sur des supports
d’axes différenciés.
Entraxes multiples avec supports d’axes
Fig.69 - HUG3-ff.107v
Il est possible également d’augmenter proportionnellement le diamètre de chaque couple
REn/RDn afin d’obtenir un même entraxe. Pour ce faire, il suffit de diviser l’entraxe de référence
RE9/RD9 par l'entraxe théorique de chaque couple. Le ratio obtenu est ensuite multiplié par le
rayon de chaque roue.
Cela nous donne les ajustements suivants :
Pour RE1/RD1 : 47,5mm (11mm+12mm)/2] = 4,13
RE1’ = 11mm x 4,13 = 45,44mm
RD1’ = 12mm x 4,13 = 49,56mm
Entraxe = [(45,44mm+49,56mm)/2] = 47,5mm
👍
Pour RE2/RD2 : 47,5mm / [(20mm+12mm)/2] = 2,97
RE2’ = 20mm x 2,97 = 59,4mm
RD2’ = 12mm x 2,97 = 35,6mm
Entraxe = [(59,4mm+35,6mm)/2] = 47,5mm
👍
Pour RE3/RD3 : 47,5mm / [(29mm+12mm)/2] = 2,32
RE3’ = 29mm x 2,32 = 67,2mm
RD3’ = 12mm x 2,32 = 27,8mm
Entraxe = [(67,2mm+27,8mm)/2] = 47,5mm
👍
Pour RE4/RD4 : 47,5mm / [(38mm+12mm)/2] = 1,9
RE4’ = 38mm x 1,9 = 72,2mm
RD4’ = 12mm x 1,9 = 22,8mm
Entraxe = [(72,2mm+22,8mm)/2] = 47,5mm
👍
60 Seul le couple RE9/RD9 est connectable
31
Pour RE5/RD5 : 47,5mm / [(47mm+12mm)/2] = 1,61
RE5’ = 47mm x 1,61 = 75,67mm
RD5’ = 12mm x 1,61 = 19,33mm
Entraxe = [(75,67mm+19,33)/2] = 47,5mm
👍
Pour RE6/RD6 : 47,5mm / [(56mm+12mm)/2] = 1,4
RE6’ = 56mm x 1,4 = 78,2mm
RD6’ = 12mm x 1,4 = 16,3mm
Entraxe = [(78,2mm+16,3mm)/2] = 47,5mm
👍
Pour RE7/RD7 : 47,5mm / [(65mm+12mm)/2] = 1,234
RE7’ = 65mm x 1,234 = 80,2mm
RD7’ = 12mm x 1,234 = 14,8mm
Entraxe = [(80,2mm+14,8mm)/2] = 47,5mm
👍
Pour RE8/RD8 : 47,5mm / [(74mm+12mm)/2] = 1,104
RE8’ = 74mm x 1,104 = 81,75mm
RD8’ = 12mm x 1,104 = 13,25mm
Entraxe = [(81,75mm+13,25mm)/2] = 47,5mm
👍
Pour RE9/RD9 : base de référence
RE9 = 83mm
RD9 = 12mm
Entraxe = 47,5mm
👍
5.2.8. Schéma avec les nouvelles valeurs
Fig.70 © V. Monnier 2024
En comparant ce nouveau schéma (Fig.70) avec l’original de Huygens ci-dessous (Fig.71), la
ressemblance est frappante. Les contraintes de connectivité sont respectées et les couples de
roues gardent le même module, ce qui est essentiel pour le bon fonctionnement du multiplicateur.
32
Multiplicateur de Huygens pour comparaison
Fig. 71 - HUG26-ff.092r
5.2.9. Erreur dans le schéma
Il convient néanmoins de signaler une erreur dans la fig.71 qui est sans doute dûe à la limite
imposée par la largeur du feuillet manuscrit. Pour que l’axe D et ses 9 roues dentées puissent se
déplacer vers la gauche, il est nécessaire qu'un espace soit réservé entre la cage et la roue RD1.
La fig.70 propose donc une vue corrigée du multiplicateur avec l’espace obligé.
5.2.10. Déplacement physique de l’axe D
La manière dont l’axe D se déplace mécaniquement n'est pas précisée61. Il est possible qu'en
tirant la grande roue W vers la gauche (Fig.70), l’axe D se décale, cran par cran. Mais on pourrait
contre-argumenter en disant que c’est une roue dentée servant à transmettre les données au
Totalisateur.
La fig.72 propose une autre version avec un axe D62 muni d'une sorte de tirette chiffrée. Ce
système63 permet à l’opérateur de contrôler facilement la valeur du multiplicande.
63 Il a été utilisé sur un certain nombre de machines à calculer comme l’Arithmaurel de Maurel et Jayet (1849-1854) ou encore
l'arithmomètre de Shires (vers 1900).
62 L’axe D est placé ici en position supérieure
61 Dans les quelques indications manuscrites de Huygens, il est précisé que l’axe D “est plutôt mobileque E
33
Indicateur chiffré ( à tirette ?)
Fig. 72 - HUG3-ff.106v / Coloriage par V. Monnier
5.3. Le mécanisme d’entraînement
Le feuillet HUG-ff.092r offre une description manuscrite peu explicite du mécanisme
d’entraînement : “Le pignon A de cuivre doit être long pour recevoir 9 règles dentées [...]. Une
roue de plomb pour tirer par son pignon les règles, de f vers g, lesquelles seront en crémaillère
par-dessus tout du long, [texte raturé], ou plutôt on les tirera par une corde ou chaîne”.
Difficile de comprendre ce que Huygens a voulu dire précisément. Qu’entend-il par “règles
dentées” ? Et en quoi le pignon A doit être long ?
5.3.1. Différence entre crémaillère et règle dentée
Le terme “règle dentée" est couramment utilisé pour définir une crémaillère. Le dictionnaire de
l’Académie française la définit comme une pièce métallique rectiligne munie de dents qui
engrènent sur un pignon, transformant un mouvement rectiligne en mouvement circulaire ou
inversement.
Huygens a dessiné de nombreuses crémaillères, mais aucune ne nous renseigne directement
sur la forme éventuelle de ces 9 règles dentées. Les fig.73-75 donnent néanmoins l'impression
qu'elles ne couvrent pas l'intégralité des pignons A64.
Fig.73 - HUG26-ff.092r
Fig.74 - HUG3-ff.107v
Fig.75 - HUG3-ff.107v
64 La structure “double face” de la crémaillère (fig.75) ne trouve pas encore d’explication. C’est peut-être une manière graphique de
différencier une crémaillère dentée “tout du long” d’une règle dont le nombre de dents est choisi (voir 5.3.1)
34
5.3.2. Hypothèses
Le verso du feuillet HUG-ff.092r nous livre quelques indices. Il présente, en vue latérale, le
multiplicateur et son système d'entraînement (fig.76).
Vue latérale de la multiplicatrice
Fig. 76 - HUG26-ff.92v
On y voit une série de 8 pignons (A) disposés horizontalement sur le côté gauche de la boîte65.
Une longue crémaillère est placée au-dessus d’eux. Comme le précise Huygens, elle est fixée “à
une corde ou une chaîne” qui court jusqu’à une grande poulie66 munie d’une manivelle.
Curieusement, cette “crémaillère”67 n’est dentée que sur le premier pignon de gauche. Cela nous
conduit à émettre plusieurs hypothèses :
Hypothèse n°1 : La crémaillère est dentée “tout du long”
Il est possible que Huygens ait juste dessiné quelques dents pour représenter l’idée même d’une
crémaillère qui est dentée sur toute sa longueur (Fig.77). Dans ce cas, Les pignons A tournent
simultanément et transmettent en même temps les produits partiels de chaque rang décimal au
totalisateur68. L’opérateur actionne le multiplicateur en tournant la manivelle de n/9 de tours.
Hypothèse n°1 de la “crémaillère dentée tout du long
Fig.77 - © V. Monnier 2025
68 Nous verrons que le transfert simultané des produits partiels au totalisateur provoque un dysfonctionnement de la retenue.
67 Dessinée, certes, très sommairement
66 Il s’agit sans doute de “la roue de plomb” mentionnée par Huygens.
65 Les axes E et D sont disposés en série à l’intérieur et ne sont pas visibles.
35
Mais alors, comment expliquer le texte de Huygens qui ne cadre pas avec l’idée d’une
crémaillère unique ?
Hypothèse n°2 : Utilisation de 9 règles dentées
On peut imaginer un autre système d’entraînement composé de 9 règles disposées côte à côte
dont chacune possède un nombre croissant de dents, allant de 1 à 9 (Fig.78). Après avoir
déterminé le multiplicande, l’opérateur choisit le multiplicateur en plaçant la règle adéquate sur
les pignons A69. .
Crémaillère ou règles dentées
Fig.78 - © V. Monnier 2025
Exemple avec un multiplicande de 970 et un multiplicateur de 4 :
La règle de 4 dents (Fig.79) fait tourner les pignons de 4/9 de tours. La roue RE9 correspondant
au multiplicande 9 tourne également de 4/9. La valeur transmise à la roue totalisatrices est égale
à 36 (4/9 X 81).
Hypothèse n°2 des “ 9 règles dentées” interchangeables
Fig.79 - © V. Monnier 2025
70 En fonction de la manière dont le totalisateur est connecté au multiplicateur, le premier pignon de gauche peut correspondre à 9 ou
à 9(0000000)
69 Soit les règles sont interchangeables, soit elles sont alignées côte à côte, et dans ce cas, ce sont les pignons A qui se déplacent.
36
Cette hypothèse présente certains avantages :
Elle cadre bien avec le texte de Huygens qui mentionne 9 règles dentées et une longueur
de pignon suffisante pour les recevoir.
Elle est en adéquation avec le dessin de la crémaillère que l’on pensait rapidement
esquissée (Fig.76) et qui représenterait en fait l’une de ces 9 règles dentées.
La vue latérale du multiplicateur (Fig.91) montre par ailleurs qu’un espace important a été
réservé entre la manivelle et le bloc du multiplicande. Si la partie dentée de la règle doit
passer sur chaque pignon, il faut obligatoirement ce débattement à droite.
Elle facilite le passage des retenues, qui s’effectuent successivement.
5.3.3. Schématisation en “escalier”
Le positionnement des dents sur chaque règle peut aussi se faire de manière inversée (fig.80).
Cela donne une disposition en escalier (Fig.81) qui n'est pas sans rappeler le cylindre de Leibniz
(Fig.82-84). Dans le dispositif de Huygens, les règles sont plates et le déplacement est latéral,
tandis que celui de Leibniz, on a des tronçons dentés et le mouvement est rotatif.
Disposition inversée des dentures
Schématisation en escalier
Fig.80 - © V. Monnier 2025
Fig.81 - © V. Monnier 2025
Cylindre de Leibniz
Schématisation du cylindre de Leibniz
Fig.82 - © LH XLII, 5, Bl 23r.
GWLB, Hannover
Fig.83 - © arithmometre.org
Fig.84 - © V. Monnier 2025
37
5.3.4. Impact sur le fonctionnement
Quelque soit l’hypothèse retenue, le principe reste le même : les roues RE du multiplicande
tournent de n/9 de tours et transmettent via les roues RD des produits partiels au totalisateur. La
différence réside dans la manière dont les données sont transférées. Dans la première
hypothèse, elles arrivent en simultanée71, et dans la seconde, les unes après les autres.
Cela a une conséquence immédiate sur la marche du totalisateur. La fig.85 schématise la
multiplication de 267 par 8. Si les pignons A tournent simultanément72, les cadrans de chaque
rang décimal (Unités, dizaines, centaines) vont recevoir des données du produit partiel tout en
ayant à ajouter des retenues. Le problème, c’est que le totalisateur ne peut pas gérer cette
double entrée simultanée. Si un cadran tourne, la retenue est inopérante car le sautoir n’a plus
de prise.
Arrivée des données au totalisateur (267 x 8)
Fig.85 - © V. Monnier 2025
La situation est bien différente si les produits partiels sont ajoutés successivement. Chaque
cadran totalisateur dispose alors de tout le temps nécessaire pour recevoir et transférer si besoin
des retenues au rang décimal supérieur.
72 Hypothèse de la crémaillère dentée tout du long
71 Crémaillère unique qui fait tourner tous les pignons en même temps.
38
5.4. Mode opératoire
Exemple de multiplication : 267 x 8 = 2136
Pose du multiplicande :
Déplacement de l’axe Du (rang des unités) de 7 crans (connexion des roues
RDu7/REu7)
Déplacement de l’axe Dd (rang des dizaines) de 6 crans (connexion des roues
RDd6/REd6)
Déplacement de l’axe Dc (rang des centaines) de 2 crans (connexion des roues
RDc2/REc2)
Choix du multiplicateur
Hypothèse n°1 : Rotation de la manivelle de 8/9 (= les roue R tournent de 8/9).
Hypothèse n°2 : Choix de la règle de 8 dents + 3 tours de la manivelle (un par
rang décimal).
Sortie vers totalisateur
La roue RDu7 (63 dents) tourne de 8/9, soit 56
La roue RDd6 (54 dents) tourne de 8/9, soit 48(0)
La roue RDc2 (18 dents) tourne de 8/9, soit 16(00)
TOTAL = 2136
5.5. Rotation de la manivelle / Nombre de tours
Le choix du type de crémaillère va modifier le cycle de rotation de la manivelle. Dans l'hypothèse
d'une crémaillère unique qui couvre l’ensemble des pignons A, la multiplication va s'opérer par
fractions de tours (8/9 de tours pour le multiplicateur 8). Pour rappel, les roues RE du
multiplicande sont augmentées de leurs multiples. La roue RE9 par exemple a 81 dents car cela
correspond au multiplicande 9 avec tous ses multiples (9,18,27,36,45,54,63,72,81)
L'usage de règles dentées change le mode opératoire. Le choix du multiplicateur se fait en
connectant l’une des 9 règles aux pignons A. Pour le multiplicateur 8, on choisit la règle de 8
dents. En un tour de manivelle, le premier pignon A fait 8/9 de tours. Mécaniquement, la roue RE
tourne aussi de 8/9 de tours, ainsi que la roue RD qui transmet au totalisateur.
39
Pour que chaque rang du multiplicande puisse être multiplié, il faut que la manivelle déplace
latéralement la partie dentée de la règle sur chaque pignon. Si donc le multiplicande est à 3
chiffres (267), la manivelle doit faire 3 cycles de rotation.
Il est possible de réduire le nombre de tours en modifiant le diamètre de la poulie. Si celle-ci est
égale au diamètre du pignon A, il faut autant de tours qu'il y a de chiffres au multiplicande. Mais
on pourrait très bien imaginer une poulie de diamètre supérieur. Un diamètre 8 fois supérieur
permettrait de multiplier un nombre de 8 chiffres par un multiplicateur à un chiffre en un seul tour
de manivelle73.
5.6. “Le pignon A de cuivre doit être long pour recevoir 9 règles dentées”
La seule information dont on dispose provient du feuillet HUG-ff.092r dans lequel Huygens
mentionne que le pignon A doit être long pour recevoir 9 règles dentées. En restant toujours dans
l’hypothèse 2, on peut imaginer ces 9 règles disposées côte à côte sur les pignons. Comme seule une
règle peut être connectée en même temps, soit l’opérateur change de règle, soit les pignons se déplacent
sous la règle choisie (Fig.86).
Disposition des règles sur les pignons A (Hypothèse 2)
Fig.86 - © V. Monnier 2025
73 A condition que l’espacement entre chaque pignon soit égale à la largeur de 9 dents. Si l’espacement est plus grand, il faut
augmenter le diamètre de la poulie.
40
5.7. Usage de contrepoids
L’usage de contrepoids est couramment utilisé en horlogerie. Son usage est multiple : il sert à
fournir l'énergie nécessaire pour alimenter le mouvement de l’horloge, permet d'équilibrer les
forces, et améliore la précision des pendules. Huygens semble l'utiliser ici pour aider au retour
des composants dans leur position initiale (fig.87-88).
Utilisation de contrepoids pour le retour de crémaillère
Fig.87- © V. Monnier 2024
contrepoids dessiné par Huygens
Fig.88 - HUG3-ff.107v
5.8. Configuration possible du multiplicateur
La fig.89 représente une vue possible du multiplicateur avec les différents composants qui ont été
décrits précédemment. Pour des convenances graphiques, le multiplicateur a été réduit à trois
rangs décimaux et certains éléments n’ont pas les bonnes proportions. C’est le cas par exemple
des tirettes pour choisir le multiplicande, des contrepoids, ou encore de la taille des dentures
(Module).
41
Le multiplicateur de Huygens
/ Schéma Valéry Monnier 2025
Fig. 89 © V. Monnier 2025
42
6. Les apports de Huygens et de Leibniz
C. Huygens
G.-W. Leibniz
En 1672, le jeune Leibniz rencontre Huygens. Ce dernier deviendra pendant quelque temps son
mentor dans des domaines aussi variés que les mathématiques, la géométrie, et la mécanique.
La même année, Pierre de Carcavy lui montre la machine arithmétique de Pascal. Très
rapidement, il élabore un concept de multiplicateur venant s’ajouter à un additionneur de type
Pascalien.
6.1. La première esquisse de Leibniz (circa 1672)
C'est sans doute l'une des premières représentations conceptuelles de la multiplicatrice de
Leibniz (Fig.90-91). Elle est composée d'une série de roues disposées sur 3 niveaux. Le
multiplicateur X est connecté au multiplicande M par un jeu de courroies, lesquelles font tourner
les roues du multiplicande de manière proportionnelle. Ces dernières engrènent ensuite avec les
roues du totalisateur T.
Concept de multiplicateur à courroie
Multiplicateur, Multiplicande et Totalisateur
Fig.90- Machina Arithmetica, LH XLII, 5, p.1v.
GWLB Hannover
Fig.91 - Machina Arithmetica, LH XLII, 5, p.1v.
GWLB Hannover / Coloriage par V. Monnier
43
Prenons l’exemple du multiplicateur x4, visible sur le rang des unités. Sa poulie est 2 fois plus
grosse que le multiplicateur x2, et 4 fois plus grosse que le multiplicateur x1. La transmission est
proportionnelle : une rotation complète de la poulie va provoquer 4 rotations du côté du
multiplicande.
Le fait que plusieurs multiplicateurs soient connectés en même temps au multiplicande est une
manière didactique de visualiser la taille des poulies et les rapports qu'elles génèrent. Vu d’une
manière plus large, c’est aussi une possibilité d’avoir à disposition tous les multiplicateurs sous la
main, pour peu qu’on ait 9 roues au multiplicande (Fig.92).
L’opérateur choisit alors son multiplicateur et tourne la poulie correspondante avec une
manivelle. Comme les roues du multiplicande sont connectées par une poulie, elles tournent
ensemble avec la même proportionnalité. Quant aux roues du multiplicateur, elles tournent
librement sans impacter le résultat74.
Représentation possible du Multiplicateur de Leibniz
Fig.92 - © V. Monnier 2024
Une autre manière de concevoir le multiplicateur est de disposer 9 poulies de taille croissante sur
un même axe et de relier l’ensemble à l’une des roues du multiplicande. Mais dans cette
configuration, il est nécessaire de changer de courroie lorsque l'on change de multiplicateur, car
elles n'ont pas les mêmes longueurs. Cela semble donc compliqué à employer.
Quelque soit l’option choisie, la multiplication doit être progressive75. En reprenant l’exemple de
Leibniz (Fig.90-91), il faut multiplier d'abord par 4, puis par 20, et enfin par 100 en prenant soin de
décaler d'un cran soit le totalisateur, soit le bloc multiplicateur-multiplicande.
75 Dans cette configuration, trois tours (équivalent tour de manivelle) suffisent pour effectuer l’opération.
74 Il conviendra néanmoins de les repositionner au point 0, car leur taux de rotation est différent.
44
a) Points de convergence avec le multiplicateur de Huygens
C'est la première fois dans l'histoire du calcul mécanique que des multiplicatrices sont
conceptualisées. Comme la machine de Pascal, elles sont capables d'effectuer des
multiplications par sommes d’additions, mais il n’y a plus besoin ici de réintroduire à chaque fois
les chiffres du multiplicande. Cette différence est fondamentale car elle augmente
considérablement les capacités opératoires de la machine.
On ignore à ce jour si Leibniz a eu vent des travaux de Huygens sur le sujet. Il est légitime de se
poser la question car une dizaine d’années seulement séparent les deux projets. Ils se sont
rencontrés en 1672 à Paris et ont peut-être discuté de la machine de Pascal et des améliorations
éventuelles à y apporter.
Les deux “machines” utilisent un multiplicateur de type “boite de vitesse” qui va modifier le cycle
de rotation des roues du multiplicande.
Chez Huygens, chaque roue (du multiplicande) possède un nombre de dents égal à la valeur
d’un chiffre (1 à 9) augmentée de son plus grand multiple. La roue RE7, par exemple, a 63 dents
(Multiplicande = 7x9); la roue RE3 a 27 dents (3x9). La multiplication se fait en tournant ces
roues de n/9 de tours. Selon le type de “crémaillère” choisie (Hypothèse n°1 ou n°2)76, l’opérateur
tourne la manivelle de la manière appropriée.77
Avec un multiplicateur à plusieurs chiffres (365 X 124), on pose dans un premier temps le
multiplicande (365), puis on fait tourner chaque roue du multiplicande de 4/9 de tours. Celles-ci
reviennent en position neutre sous l'effet des contrepoids78. On décale ensuite d'un rang décimal
le totalisateur, et on retourne les roues de 2/9 de tours. L’opération est répétée autant de fois qu'il
y a de chiffres au multiplicateur.
Chez Leibniz, les rapports varient également dans un rapport de 1 à 9, mais ici, c'est le choix de
la poulie à laquelle est attaché l’organe de rotation (manivelle?) qui fait office de multiplicateur. Le
multiplicande, quant à lui, est plus “classiquement” constitué de roues à 1,2,3,..., 8 ou 9 dents.
Une grande courroie provoque la rotation simultanée de l'ensemble des roues du multiplicande.
Quelque soit le multiplicateur, l’opération se fait en un tour complet de manivelle.
Pour multiplier 365 par 124, il faut poser le multiplicande et choisir la roue correspondant au
multiplicateur 4. Un seul tour de manivelle suffit. On décale ensuite d'un rang le totalisateur79 (ou
le bloc multiplicateur-multiplicande). L'opération continue de la même manière pour chaque
chiffre du multiplicateur.
79 Après repositionnement des roues du multiplicateurs en position initiale.
78 Le type d’engrenage du pignon A (roue à rochet) autorise en théorie un retour de la crémaillère. Mais cet aspect n’est pas explicité
par Huygens.
77 Fraction de tour ou 1 tour par chiffre du multiplicande.
76 Crémaillère entièrement dentée (Hypothèse n°1) ou une règle partiellement dentée (Hypothèse n°2). Voir description 5.3 : le
mécanisme d’entraînement.
45
6.2. La seconde esquisse de Leibniz (1673)
Le second dessin (fig.93) présente une version différente du multiplicateur. Ce n'est plus une
configuration “boîte de vitesses” comme décrite précédemment. La multiplication est en quelque
sorte “externalisée”, c'est-à-dire que le multiplicande est ajouté au totalisateur lorsque l’opérateur
tourne une fois la manivelle. Un compteur de tours lui permet de suivre l'avancement de
l'opération80.
Seconde esquisse de l’additionneur-Multiplicateur de Leibniz
Fig.93 - GWLB, LH XLII_5_Bl_29r
Ce qui est très intéressant, c'est qu'on retrouve, condensé dans ce dessin, les deux types
d'entraîneurs qui ont marqué l'Histoire du calcul mécanique:
Roues à dents mobiles81 : Ce sont des roues dont on peut changer manuellement le
nombre de dents. Le principe a été utilisé par de nombreux inventeurs comme Giovanni
Poleni, Anton Braun, Philippe Vayringe, Israël Abraham Staffel, Frank Baldwin, et surtout
Willgodt Theophil Odhner. Le schéma de Huygens n'est pas suffisamment détaillé pour
qu'on puisse en faire une description précise, mais l’idée en tout cas est là.
Cylindre dentée mobile : le cylindre primitif de Leibniz est constitué d’une série de
tranches dont chacune possède un nombre décroissant (ou croissant) de dents. On le
voit représenté assez sommairement dans la fig.95 et de manière plus détaillée dans la
fig.96. Il sera par la suite modifié pour prendre la forme d’un cylindre muni de “cannelures
de longueurs inégales”. Ce système sera privilégié par Leibniz et équipera toute une
lignée de machines à calculer82 dont le plus grand représentant est l’arithmomètre de
Thomas de Colmar.
82 Philipp-Matthaüs Hahn, J.C. Schuster, Johann-Helfrich Müller, Maurel & Jayet etc…
81 Egalement appelées “Roues à nombre variable de dents”
80 Notons que pour un multiplicateur à plusieurs chiffres, il convient également de décaler progressivement le multiplicateur vers la
gauche.
46
Mais il y a une incohérence frappante, c’est qu’il ne peut y avoir qu’un seul multiplicande. Leur
utilisation combinée est impossible.
un rajout possible
L’observation du schéma donne l’impression que les cylindres positionnés sur les roues
d’additions ont été ajoutés ultérieurement au crayon, de même que le dessin de la boîte. On
remarque également que certains éléments descriptifs n’ont pas la même couleur d’encre. Le
terme “Cylindre… de chiffres” semble avoir été ajouté ainsi que certains autres petits caractères.
Il s’agit donc probablement d’une “proposition ultérieure”. En retirant cet “ajout”, la machine
redevient fonctionnelle.
6.3. La troisième esquisse de Leibniz
Le troisième dessin (fig.94) reprend exactement l’idée du multiplicande unique. Le système de
roues à dents mobiles a été abandonné au profit des cylindres qui avaient été ajoutés.
Troisième esquisse de l’additionneur-Multiplicateur de Leibniz
Fig.94 - GWLB, LH XLII, 5, Bl 23r.
47
6.4. Evolution du multiplicateur : Exemple 8 x6
Fig.95 - © V. Monnier 2025
Première esquisse de leibniz (1672)
Deuxième et troisième esquisses de Leibniz (1673)
Fig.96 - © V. Monnier 2024
Fig.97 - © V. Monnier 2024
48
7. La machine arithmétique de Huygens dans son ensemble
7.1. Connexion entre l’additionneur et le multiplicateur
A ce jour, aucune figure, ni aucun texte ne donnent d'éclairage sur la manière dont le
multiplicateur est connecté au totalisateur. On ignore si la transmission passe par les roues de
l'inscripteur ou si la connexion est directe. Mécaniquement, rien n’empêche le passage par
l’inscripteur, et c'est sans doute la solution technique la plus simple.83
L’autre aspect dont il faut tenir compte est le décalage nécessaire du totalisateur dans le cas
d’une multiplication avec un multiplicateur à plusieurs chiffres. Huygens décrit un curieux
mécanisme qui pourrait remplir cette fonction. Il s’agit peut-être du triangle qui fait avancer la
Paschaline84 mentionné sur le feuillet HUG26-ff.092r.
“Le triangle qui fait avancer la Paschaline”
Système similaire
Fig.98 - HUG26-ff.092r
Fig.99 - HUG3-ff.107v
C’est une pièce (Fig.98-99) dont la rotation déplace latéralement, par soulèvement, un élément.
Ce système permettrait de décaler mécaniquement, cran par cran, le totalisateur du
multiplicateur, ou inversement.
Notons que la manœuvre est similaire à celle que l’on fait lorsque l’on pose une multiplication sur
le papier : les produits partiels sont décalés d’un rang (Fig.100).
84 C’est la seule fois que Huygens utilise le terme de “Paschaline” dans les textes attenants aux figures.
83 Les premières esquisses de Leibniz procèdent d'ailleurs de la sorte.
49
Décalage des produits partiels
Fig.100 - © V. Monnier 2024
7.2. Schématisation de la machine arithmétique de Huygens.
Le schéma ci-dessous (Fig.101) propose une vue possible de ce que pourrait être la machine
arithmétique de Huygens. Elle n’a pas d’autres prétentions.
Remarques préliminaires :
Pour les besoins du dessin, les axes E et D du multiplicande ont été dessinés sur un
même plan, ce qui provoque un écartement des roues de l’inscripteur et du totalisateur.
Les sautoirs sont donc représentés beaucoup plus allongés qu'ils ne le devraient.
Si Huygens a dessiné des roues à lanternes pour établir la connexion entre l’inscripteur et
le totalisateur (Fig.51-52), il peut aussi en avoir employé pour connecter le multiplicateur.
Le fait de connecter le multiplicateur via l’inscripteur a une incidence sur la manière dont
les produits partiels vont être transférés au totalisateur. Comme les règles dentées vont
de gauche à droite, c’est le plus grand rang décimal qui va générer un produit partiel en
premier, avant les rangs plus petits. Autrement dit, pour multiplier 267x8, la machine de
Huygens commence par les centaines, puis par les dizaines, et enfin par les unités.85
Cela ne pose aucun problème car le travail se fait rang décimal par rang décimal et de
manière successive
85 On retrouve cette manière de procéder chez Blaise Pascal. Dans “L’usage de la machine”, seul mode d'emploi connu de la
machine arithmétique de Pascal. Il est dit : “L’effet de la machine est égal; et l'opération est la même, soit qu'on commence à opérer
par les étoiles du côté gauche en allant à droite, ou que l'on aille de droite à gauche. Mais il est plus naturel d'aller de gauche à droite
comme on ferait pour écrire.
50
La machine arithmétique de Huygens
Fig.101 - © V. Monnier 2025
51
7.2. La machine arithmétique de Huygens est-elle fonctionnelle ?
Les feuillets qui ont été retrouvés sont riches en illustrations, mais pauvres en description. Les
quelques lignes manuscrites ne suffisent pas à décrire précisément la machine arithmétique de
Huygens dans son ensemble. L’essentiel du travail a donc porté sur l’analyse descriptive des
dessins et sur leur interprétation. Leur quantité significative a permis néanmoins de comprendre
le cheminement intellectuel de Huygens dans sa recherche de solutions, ce qui est déjà
extraordinaire.
Huygens a fait preuve d’une grande modernité dans la conceptualisation de sa machine
arithmétique. C’est un peu une fusée à étage avec un totalisateur, un additionneur, et un
multiplicateur. Pris séparément, ils semblent tout à fait fonctionnels. Mais c’est le mariage entre le
multiplicateur et le totalisateur qui peut éventuellement poser un problème.
L’analyse du multiplicateur a mis en évidence que les produits partiels86 de la multiplication
étaient transmis au totalisateur, soit simultanément, soit successivement, selon le type
d'entraînement privilégié.
Dans l'hypothèse d’une crémaillère unique dentée tout du long, comme tous les pignons tournent
en même temps, la transmission au totalisateur est de fait simultanée. Chaque roue totalisatrice,
sauf celle des unités, reçoit à la fois des données directes (produit partiel) et des retenues,
parfois à grande vitesse87 et en grande quantité. La multiplication de 29 par 8 va par exemple
générer en moins d’une rotation88 sept passages de retenues dans le totalisateur des
“dizaines”89, alors que celui-ci reçoit en même temps le produit en continu de 2x8.
Dans ces conditions, le totalisateur ne peut pas gérer correctement l’opération.
En revanche, l'emploi de règles partiellement dentées permet une gestion progressive des
données transmises au totalisateur. Les risques de blocage sont alors écartés.
La mise en place d’un projet de modélisation 3D (en cours) permettra d'en évaluer la
fonctionnalité.
89 Rang des dizaines
888/9 de rotation du pignon A, et des roues R
87C’est le principe des roues proportionnels, en une rotation, la roue de 81 dents fera tourner le totalisateur de 10 dents plus vite que
la roue de 63, ou 27 dents
86Produits de chaque chiffre du multiplicande par un multiplicateur à un chiffre (63x7 = 21 + 420)
52
10. Conclusion
L’analyse des feuillets de Christian Huygens vient rebattre les cartes de l’Histoire du calcul
mécanique. Le 17e siècle, berceau de l’invention, s’enrichit d’un nouveau contributeur. Il ne s’agit
pas d’une simple amélioration de la machine de Pascal, mais bien d’un nouveau concept. L’idée
de créer un multiplicateur capable de gérer les opérations sans réintroduction du multiplicande
était initialement attribuée à Leibniz (1672), mais Huygens en a défini les contours 10 ans plus
tôt, peut-être déjà même du vivant de Pascal.
L'utilisation de roues proportionnelles vient modifier le rapport entre la valeur d’un nombre posé
et le produit qui s’affiche au totalisateur. Selon le multiple choisi, le multiplicande sera ajouté 1 à
9 fois au totalisateur en n/9 de tour.
Si l’approche de Leibniz est assez similaire au début90, le mécanisme évolue rapidement vers
une “externalisation” du multiplicateur. La multiplication devient tout simplement une somme
d’additions que l’on matérialise avec un compteur de tours91. La quasi-totalité des machines à
calculer mécaniques construites au fil des siècles procéderont de cette manière92.
Huygens a également innové en dessinant un additionneur d'une grande modernité. Il a
parfaitement compris le fonctionnement du reporteur de Pascal et l’a même sublimé. L’utilisation
d'une came en remplacement du contrepoids réduit la taille de l’additionneur et l'affranchit de la
contrainte de pesanteur. On se rapproche étonnamment de l'invention de David-Didier Roth,
quelque 180 années plus tard..
Il est probable que Huygens n'ait jamais construit de machine arithmétique malgré toutes les
améliorations qu'il a pu apporter à ses dessins. Sa grande curiosité intellectuelle l'a sans doute
conduit à jouer avec des idées et à voir où cela le mènerait.
La datation des feuillets reste pour l’instant problématique. Il est raisonnable de penser qu’ils ont
été réalisés dans les années 1660, peut-être même du vivant de Pascal. Une étude plus
poussée93 des mécanismes permettra de mieux les situer les uns par rapport aux autres.
En espérant que de prochaines études viendront compléter ce travail de recherche.
Valéry Monnier / Janvier 2025
93 Voir en annexe “L’inventaire des feuillets
92Seuls quelques inventeurs proposeront des solutions différentes
91La quasi-totalité des machines à calculer utilisent ce principe.
90Première esquisse
53
ANNEXES
54
Annexe 1 : Inventaire des figures
Les recherches effectuées dans les archives numérisées de Huygens94 (Codices Hugeniani
Online) ont permis de répertorier plus de 60 figures réparties sur plusieurs feuillets. Toutes ont un
rapport direct avec le calcul mécanique.Leur classement chronologique pose un problème car
leur datation supposée ne correspond pas à l’évolution conceptuelle de la machine.
Les feuillets HUG3-ff.055v et HUG10-ff.115r en sont une parfaite illustration. Le premier vient du
Manuscrit C dont les écrits se situent entre 1663 et 1666. Il est lui-même daté du 2 novembre
1666 et décrit une méthode pour trouver les logarithmes”. Superposés à ces écrits, plusieurs
dessins du reporteur sont représentés, ce qui laisse penser qu’ils n’ont pas été réalisés à la
même période. Le second feuillet provient du Manuscrit A. C’est une compilation de documents
écrits entre 1658 et 166095. Le problème, c’est que les dessins représentent l’additionneur à un
stade beaucoup avancé que ceux du Manuscrit C.
On peut émettre l’hypothèse que Huygens a réutilisé des feuillets dans un souci d’économie et
que ces premiers dessins sont antérieurs à 1666. La logique voudrait qu’ils datent d’avant 1660.
En attendant que d’autres recherches viennent éclairer cette datation.
I. Additionneur - Totalisateur
A. Feuillet HUG3-ff.055v - Manuscrit C (1663-1666) (En réalité plus ancien)
HUG3-ff.055v
HUG3-ff.056r
HUG3-ff.056r
95 Du vivant de Blaise Pascal
94 Codices Hugeniani Online. Advisors: André Bouwman, Mart van Duijn, Joella G. Yoder. Brill, Leiden – Boston - Singapore, 2016.
<http://primarysources.brillonline.com/browse/codices-hugeniani>
55
Recouvrement texte / Figures
HUG3-ff.056r
B. Feuillet HUG3-ff.107v - Manuscrit C (1663-1666) (En réalité plus ancien)
HUG3-ff.107v
HUG3-ff.107v
56
C. Feuillet HUG10-ff.115r - "Manuscrit A" (1658-1660)
HUG10-ff.115r
HUG10-ff.115r
HUG10-ff.115r
57
D. Feuillet HUG26-ff.093r - ""Chartae Mechanicae" - non daté
HUG26-ff.093r
HUG26-ff.093r
HUG26-ff.093r
58
E. Feuillet HUG26-ff.096r - "Chartae Mechanicae" - non daté
HUG26-ff.096
F. Feuillet HUG28-ff.114r - "Chartae Astronomicae" - non daté
HUG28-ff.114r
59
II. Additionneur - Totalisateur
A. Feuillet HUG3-ff.107r - Manuscrit C (1663-1666)
HUG3-ff.107r
HUG3-ff.107r
B. Feuillet HUG3-ff.107v - Manuscrit C (1663-1666)
HUG3-ff.107v
60
HUG3-ff.107v
HUG3-ff.107v
HUG3-ff.107v
C. Feuillet HUG3-ff.106v - Manuscrit C (1663-1666)
HUG3-ff.106v
61
HUG3-ff.106v
HUG3-ff.106v
HUG3-ff.106v
D. Feuillet HUG26-ff.092r - "Chartae Mechanicae" - non daté
HUG26-ff.092r
62
HUG26-ff.092r
HUG26-ff.092r
E. Feuillet HUG26-ff.092v - - "Chartae Mechanicae" - non daté
HUG26-ff.092v
63
Annexe 2 : Le calcul mécanique au 17e siècle (Complément)
1. Le petit avorton de Rouen (vers 1642)
Dans sa “lettre dédicatoire au chancelier Séguier”, publiée en 1645, Pascal mentionne “un
horloger de Rouen”96 qui a entrepris la construction quelques années plus tôt d'une machine
arithmétique copiée d'après son premier modèle, aujourd'hui disparu. Celle-ci est en apparence
fort bien réalisée, “polie et très bien limée par le dehors”, mais le mécanisme interne semble
quant à lui mal conçu. Aux dires de Pascal, la machine trouva place dans le “cabinet d'un curieux
de la même ville rempli de plusieurs autres pièces rares et curieuses”.
Pour protéger sa machine, il obtint en 1649 un privilège du Roi, qui n'est pas qu’une simple
protection contre la copie, mais une interdiction formelle, par qui que ce soit, de fabriquer une
machine, sous peine de 3000 Livres d’amende.
2. La machine de Roberval (vers 1646)
Le célèbre Gilles Personne de Roberval, un temps dépositaire de la Pascaline, fut peut-être tenté
d’en réaliser des copies97. Le 6 mars 1646, Pierre Desnoyers, secrétaire de la Reine de Pologne,
lui écrit : “Je ne doubte pas que vostre invention soit merveilleuse, puisque vous mesme vous le
dites, c'est pourquoi je vous en demande une”. Le 16 mars de la même année, il lui suggère
également de construire une version adaptée aux monnaies polonaises98. On ne sait pas si
Pascal a eu connaissance de ce projet. Peut-être Roberval représentait-il tout simplement
l'inventeur en tant que commercial99. Mais si c'est une trahison, le privilège du Roi, qui protège
l’invention, arrive à brûle-pourpoint.
3. Tito Livio Burattini (1658)
Une dizaine d’années plus tard (1658), un autre scientifique de renom, Tito Livio Burattini
(1617-1681), découvre la machine arithmétique de Pascal lors d'un séjour à la cour polonaise de
Cracovie. Il décide alors d'en fabriquer un modèle similaire. L’inventaire de 1660 de la collection
scientifique des Médicis précise qu'elle possède 8 roues et mesure 43x12cm. Curieusement,
cette description diffère de la machine qu'on lui attribue aujourd'hui. De récents travaux100
tendent à montrer l’exemplaire conservée à l’Istituto e Museo di Storia della Scienza de Florence
est de la main de l’anglais Samuel Morland.
100 Vanessa Ratcliff
99 Il fut un temps dépositaire officiel de la Pascaline, chez lui, rue des Noyers, au collège Maistre Gervais.
98 Ibid, page 102
97 Léon Auger. Un savant méconnu, Gilles Personne de Roberval : son activité intellectuelle dans les domaines mathématique,
physique, mécanique et philosophique. Paris : A. Blanchard, 1960, page 101.
96 On a attribué cette copie à “René Grillet, de Rouen”. En fait, rien n'indique objectivement que ce soit lui. Grillet est connu pour avoir
inventé de petits instruments à calculer dans les années 1670 ainsi que différents instruments scientifiques. Plusieurs sources
indiquent qu'il s'installe aux Pays-Bas vers 1681, puis en Grande-Bretagne en 1690 il fonde une manufacture textile. Aucune
source fiable ne vient valider cette hypothèse.
64
La machine faussement attribuée à Burattini
© Istituto e Museo di Storia della Scienza, Florence
4. L'additionneur de Perrault (1660)
Claude Perrault (1613-1688) est l’architecte de l’Observatoire de Paris et de la célèbre
colonnade du Louvre. Dans les années 1660, il met au point un petit additionneur utilisant des
réglettes chiffrées coulissantes (Fig.7). L’inscription se fait à l'aide d'un stylet. Lorsqu'une des
réglettes arrive en position basse (passage de 9 à 0), un cliquet fait avancer la réglette adjacente
d'une unité (Fig.8). Son emploi est peu indiqué pour les soustractions, les multiplications et les
divisions.
Réplique de l’additionneur de Perrault
Vue du mécanisme de report
Fig.7 - © 2024 CNAM
Fig.8 - In Recueil de plusieurs machines,
de nouvelle invention, 1735
65
5. Les machines de Samuel Morland (1666)
C'est probablement lors d'une mission diplomatique à la cour de la Reine Christine de Suède,
grande mécène des sciences, que Morland put étudier la machine arithmétique de Pascal. Dans
son livre : “The description and use of two arithmetic instruments”, publié en 1673, Morland décrit
deux instruments à calculer. Le premier, magnifiquement réalisé101, utilise un système Népérien
pour les multiplications (Fig.9). Le second est un additionneur de poche102 à 8 chiffres, dont 3
sont en base monétaires (Guinée, Shilling, Penny) et 5 en base décimale (Fig.10). Aucun des
deux ne possède de mécanisme de report automatique des retenues, ce qui les rend finalement
peu utiles.
Multiplicateur de Samuel Morland
Additionneur de Samuel Morland
Fig.9 - © 2024 Museo Galileo
Fig.10 - © 2024 Science Museum, London
6.. Les “curiosités” de René Grillet (1673)
En 1673, René Grillet édite un livre intitulé les curiosités mathématiques dans lequel il décrit
toute une série d'instruments de son invention. Il y présente deux modèles d'instruments à
calculer de petite taille en bois et en carton. Même si la description proposée par Grillet est
impressionnante, leur fonctionnement reste très simple. On a des cylindres népériens pour les
multiplications (Fig.11), et une série de roues d’additions qui ne sont pas interconnectées.
D'autres sont utilisées pour garder en mémoire les résultats partiels, et deux cylindres
spécifiques sont destinés au calcul des carrés et des cubes. Aucun de ces deux instruments ne
possède de report automatique des retenues.
102 Dimensions :12cmx7cmx8cm
101 lls ont été fabriqués par le talentueux fabricant d'instruments Henri Sutton (circa 1624-1665), et/ou l’horloger Samuel Knibb
(1625-1674).
66
“Machine” de René Grillet
Fig.11 - © 2024 CNAM
7. Tableau récapitulatif
Nom
Année
Additions
Multiplications
Réintroduction
du multiplicande
Retenue
mécanique
Neper
~ 1617
-
Système Népérien
-
non
Schickard
~ 1623
oui
Système Népérien
oui
oui
Pascal
~ 1642
oui
Somme d’additions
oui
oui
“Avorton de Rouen
~ 1643
oui
Somme d’additions
oui
?
Roberval
~ 1646
oui
Somme d’additions
oui
?
Burattini
~ 1658
oui
Somme d’additions
oui
?
Huygens
~ 1660
oui
Somme d’additions
Non
oui
Perrault
~ 1660
oui
Somme d’additions
oui
oui
Morland
~ 1660
oui
Somme d’addition
oui
non
Grillet
~ 1660
oui
Système Népérien
oui
non
Schott
~ 1660
-
Système Népérien
-
non
Leibniz
~ 1672
oui
Somme d’additions
Non
oui
Petit
~ 1672
-
Système Népérien
-
non
Leibniz
~ 1673
oui
Somme d’additions
Non
oui
67
Annexe 3 : Au sujet de l’auteur
Valéry Monnier est diplômé en psychologie expérimentale (DEA) et travaille actuellement
comme bibliothécaire dans le réseau intercommunal du Val Parisis (Val-d’Oise).
Membre de l’Association Nationale des Collectionneurs de Machines à Écrire et à Calculer
(ANCMECA), il développe depuis de nombreuses années un site entièrement dédié à
l’Arithmomètre de Thomas de Colmar, qui est la première machine à calculer à avoir été
véritablement produite en série et commercialisée (www.arithmometre.org).
Sa passion pour le calcul mécanique l’a amené à s’intéresser aux grands inventeurs du 17e
siècle, et c’est pendant ces recherches que les feuillets de Huygens ont été extraits des archives
numérisées de la Bibliothèque de Leyde aux Pays-Bas.
Valéry Monnier à l’Exposition Thomas de Colmar, Arithmeum, 2022
68
Annexe 4 : Bibliographie non exhaustive
[1617] Napier, J. Rhabdologiae seu numerationis per virgulas. Edimburg: Scotto, 1617.
[1645] Pascal, Blaise. Traité sur la Pascaline et les machines arithmétiques. Paris : Imprimerie
royale, 1645.
[1645] Pascal, Blaise. “Lettre dédicatoire à monseigneur le Chancelier, sur le sujet de la machine
nouvellement inventée par le Sieur B. P. pour faire toutes sortes d'opérations d'arithmétique, par
un mouvement réglé, sans plume ni jetons. Avec un advis nécessaire à ceux qui auront curiosité
de voir ladite machine, & de s'en servir.”
[1673] Morland, Samuel. Description and Use of Two Arithmetick Instruments. Londres : W.
Godbid, 1673.
[1673] Grillet, René . Curiosités mathématiques de l'invention du sieur Grillet, horlogeur à Paris.
Description d'un instrument qui sert à mesurer les divers changements de l'air, contenant le
Thermomètre, le Baromètre et Hygromètre. Paris : Jean-Baptiste Coignard, 1673
[1674] Leibniz, Gottfried Wilhelm. Machina Arithmetica. Acta Eruditorum, Leipzig, 1674.
[1700-1799] Blaise Pascal. Usage de la machine. Chez Charles Bossut. 24 cm , [2] - [69] p. ;
Manuscrits et archives (Patrimoine)
[1709] Poleni, J. Miscellanea. Venise, 1709
[1710] Leibniz, G.-W. Brevis description Machinæ Arithmeticæ, cum figura», dans Miscellanea
Berolinensia ad incrementum scientiarum, 1710, p.317-319 + figure
[1727] Leupold, J. Theatrum arithmetico-geometricum, Leipzig, 1727
[1735] Gallon, J.-G. Machines et inventions approuvées par l'Académie royale des sciences,
depuis 1666 jusqu'à 1734. Paris : Jean-Baptiste Coignard ; Gabriel Martin, 1735. T.1,4 et 5
[1751] Pereire, Jacob-Rodolphe. Mémoire sur une machine pour les calculs arithmétiques.
Présenté à l’Académie des sciences, 1751.
[1820] Borgnis, J.-A. Traité complet de mécanique appliquée aux arts. T.5 : Des machines
imitatives. Paris : Bachelier, 1820
[1843] Roth, David-Didier. “Rapport fait par Théodore Olivier, au nom du Comité des Arts
Mécaniques, sur des machines à calculer présentées par M. le docteur Roth, boulevard des
Capucines, 21”. Bulletin de la Société d’Encouragement pour l’Industrie Nationale, tome XLII,
471, septembre 1843, p 411-415
69
[1843] Roth, David-Didier. “Description du compteur et de la machine à calculer inventés par M.
le Dr Roth”. Bulletin de la Société d’Encouragement pour l’Industrie Nationale, tome XLII, 471,
septembre 1843, p 421-425
[1843] Olivier, Théodore. “Nomenclature chronologique des instruments à calcul”. Bulletin de la
Société d’Encouragement pour l’Industrie Nationale, tome XLII, 471, septembre 1843, p 415-421
; Notes par M. Jomard, p. 548-549
[1849] Maurel, Timoléon & Jayet, Jean . “Machine arithmétique de MM. Maurel et Jayet”. Bulletin
de la Société d’Encouragement pour l’Industrie Nationale, tome XLVIII, 542, août 1849, p.
370-371
[1849] Maurel, Timoléon & Jayet, Jean. “Rapport sur une machine à calculer, présentée à
l’Académie des Sciences, par Maurel et Jayet”. Comptes rendus des séances de l’Académie des
Sciences de Paris, 12 février 1849, p. 11178-1124
[1878] Troncet, Louis . “Appareil à calculer nommé Numérateur Troncet, par M. L. Troncet”.
Bulletin de la Société d’Encouragement pour l’Industrie Nationale, 3e série, tome V, octobre
1878, p. 569
[1890] Bollée, Léon . “Machine à calculer de M. Léon Bollée”. La Nature, 10 mai 1890, p.
359-260
[1890] Troncet, Louis . “Calculateur instantané de M. Troncet”, La Nature, 18 octobre 1890, p.
307-308
[1891] Lucas, Edouard. Récréations mathématiques. Paris : Gauthier-Villars, 1891 (en 4
volumes)
[1905] d’Ocagne, Maurice. Le calcul simplifié. Paris : Gauthier-Villars, 1905
[1911] L. Jacob. Le Calcul mécanique. L. Jacob Paris : O. Doin, 1911
[1921] Dorr E. Felt. Mechanical Arithmetic, or The History of the Counting Machine – Dorr E. Felt,
1916. 140 p.
[1921] Origin of Modern Calculating Machines. J.A.V. Turck, 1921. 160 p.
[1925] Martin, Ernst. Die Rechenmaschinen: Stuttgart : Verlagsbuchhandlung, 1925.
[1930] Kepler, Johannes, et Schickard, Wilhelm. Correspondence of Johannes Kepler. Édité et
traduit par Max Caspar. Londres : C. Black, 1930.
[1942] Sainte-Laguë, A. Du boulier des anciens aux cerveaux d’acier modernes”. La Science et
la Vie, Tome LXIII, 305, Janvier 1943, p. 15-27
[1942] Catalogue des objets prêtés à l’Exposition des machines et instruments de calcul (15 mai
au 1er juillet 1942), Paris, Conservatoire National des Arts et Métiers, 1942
70
[1949] TATON, R. “Le calcul mécanique”. Paris, Presses universitaires de France, 1949, 32 p.
(coll. « Que sais-je ? », n° 198)
[1950] Schickard, Wilhelm. Wilhelm Schickards Briefwechsel mit Johannes Kepler. Édité par
Franz Hammer. München : C.H. Beck, 1955.
[1960] Friedrich Seck. Wilhelm Schickard: Der Vater der Rechenmaschine. Tübingen : Mohr
Siebeck, 1960.
[1963] Les Trois premières machines à calculer, Schickard (1623), Pascal (1642), Leibniz (1673).
[1976] Les Machines arithmétiques de Blaise Pascal – Guy Mourlevat, 1876. 150 p.
[1978] Gerhard Betsch et Volker Bialas. Johannes Kepler und sein Wirken in Wissenschaft und
Kultur. München : Bayerische Akademie der Wissenschaften, 1978.
[1981] Roux, Suzanne. Les inventeurs oubliés : machines et outils d’autrefois. Paris : Hachette,
1981.
[1982] Boirel, R. Le mécanisme. Paris : PUF, 1982
[1985] Petzold, H. Rechnende Maschinen : eine historische Untersuchung ihrer Herstellung und
Anwendung vom Kaiserreich bis zur Bundesrepublik, 1985, Düsseldorf, VDI Verlag, 579 p.
[1988] Mourlevat, G. Les machines arithmétiques de Blaise Pascal, La Française d'Édition,
Clermont-Ferrand, 1988
[1988] Johnston S. “Le spectacle du calcul”. La revue du Musée des arts et métiers, n°23, Paris,
CNAM, juin 1998, p. 23-32
[1990] CNAM, Musée National des Techniques. De la machine à calculer de Pascal à
l’ordinateur, 350 ans d’informatique. Catalogue d’exposition du 25 avril au 23 septembre 1990.
[1994] Marguin, Jean. Histoire des instruments et machines à calculer : trois siècles de
mécanique pensante 1642-1942. Paris : Hermann, 1994.
[1994] Ifrah, George. Histoire universelle des chiffres. Paris : R. Lafont, 1994
[2000] Brody, J. “An émigré physician : Dr David (Didier) Roth, homeopath, art collector, and
inventor of calculating machines”. Journal of Medical Biography, 2000, p. 215-219.
[2001] Russo, T. A., Antique Office Machine. 600 years of calculating devices. A Schiffer book for
collectors, Atglen, Schiffer Publish. Ltd, 2011, 224 p.
[2001] Ifrah, Georges. The Universal History of Computing: From the Abacus to the Quantum
Computer. New York : Wiley, 2001.
[2004] Bouwman, A. Christiaan Huygens : Facettes d’un génie. Leyde, 2004.
71
[2003] Yoder, J. Les Lettres de Christiaan Huygens », dans : REVUE D'HISTOIRE DES SCIENCES 56
(2003), p. 135-143.
[2020] Walsdorf, Ariane. Die Leibniz-Rechenmaschine, Papierflieger Verlag GmbH, 2020
—-------------------------------
Œuvres Complètes de Christiaan Huygens, publiées par La Société Hollandaise des
Sciences. La Haye : Martinus Nijhoff, 1888-1950
Correspondance
Tome 1 : Correspondance 1638–1656
Contenu : Lettres échangées entre Huygens et des scientifiques européens.
Tome 2 : Correspondance 1657–1659
Contenu : Relations avec des astronomes concernant les satellites de Saturne et des
horlogers.
Tome 3 : Correspondance 1660–1661
Contenu : Discussions sur la mécanique et les débuts de sa théorie de la lumière.
Tome 4 : Correspondance 1662–1663
Contenu : Travaux sur l’horlogerie et la publication du Horologium Oscillatorium.
Tome 5 : Correspondance 1664–1665
Contenu : Débats scientifiques sur les forces centrifuges et les innovations mécaniques.
Tome 6 : Correspondance 1666–1669
Contenu : Années actives à l’Académie des sciences à Paris.
Tome 7 : Correspondance 1670–1675
Contenu : Dialogues sur l’astronomie, la cosmologie et ses relations avec Leibniz.
Tome 8 : Correspondance 1676–1684
Contenu : Exploration de la pluralité des mondes et la musique mathématique.
Tome 9 : Correspondance 1685–1690
Contenu : Fin de sa vie scientifique, traitant de mécanique et de cosmologie.
Tome 10 : Correspondance 1691–1695
Contenu : Dernières lettres, incluant des réflexions personnelles.
Travaux Scientifiques
Tome 11 : Travaux mathématiques 1645–1651
Contenu : Premiers essais sur la quadrature du cercle et les séries infinies.
Tome 12 : Travaux mathématiques pures 1652–1656
Contenu : Développements sur le calcul des probabilités et géométrie.
Tome 13 : Dioptrique (1653, 1666)
Contenu : Traité sur les lentilles et les instruments d’optique.
Tome 14 : Calcul des probabilités et mathématiques (1655–1666)
Contenu : Fondements de la théorie des jeux et de la probabilité.
Tome 15 : Travaux astronomiques 1658–1666
Contenu : Études sur Saturne, ses anneaux et la découverte de Titan.
Tome 16 : Mécanique (jusqu’à 1666)
72
Contenu : Percussion, mouvement absolu et forces centrifuges.
Tome 17 : Horlogerie et travaux divers (1650–1666)
Contenu : Développement de l’horloge à pendule et physique des fluides.
Tome 18 : Horlogerie (1666–1695)
Contenu : Améliorations des mécanismes horlogers et écrits divers.
Tome 19 : Physique et mécanique (1666–1695)
Contenu : Traité des forces, travaux à l’Académie royale des sciences.
Tome 20 : Musique et mathématiques
Contenu : Traité sur la théorie musicale et harmonique.
Philosophie et Cosmologie
Tome 21 : Cosmologie
Contenu : Cosmotheoros et réflexions sur l’univers et les mondes habitables.
Tome 22 : Supplément à la correspondance et biographie
Contenu : Biographie de Huygens et catalogue des ventes de sa bibliothèque.
73
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From the Publisher:In this brilliant follow-up to his landmark international bestseller, The Universal History of Numbers, Georges Ifrah traces the development of computing from the invention of the abacus to the creation of the binary system three centuries ago to the incredible conceptual, scientific, and technical achievements that made the first modern computers possible. Ifrah takes us along as he visits mathematicians, visionaries, philosophers, and scholars from every corner of the world and every period of history. We learn about the births of the pocket calculator, the adding machine, the cash register, and even automata. We find out how the origins of the computer can be found in the European Renaissance, along with how World War II influenced the development of analytical calculation. And we explore such hot topics as numerical codes and the recent discovery of new kinds of number systems, such as "surreal" numbers. Adventurous and enthralling, The Universal History of Computing is an astonishing achievement that not only unravels the epic tale of computing, but also tells the compelling story of human intelligence -- and how much further we still have to go.
Traité sur la Pascaline et les machines arithmétiques
  • Blaise Pascal
Pascal, Blaise. Traité sur la Pascaline et les machines arithmétiques. Paris : Imprimerie royale, 1645.
sur le sujet de la machine nouvellement inventée par le Sieur B. P. pour faire toutes sortes d'opérations d'arithmétique, par un mouvement réglé, sans plume ni jetons. Avec un advis nécessaire à ceux qui auront curiosité de voir ladite machine
  • Blaise Pascal
  • Lettre Dédicatoire À Monseigneur Le Chancelier
Pascal, Blaise. Lettre dédicatoire à monseigneur le Chancelier, sur le sujet de la machine nouvellement inventée par le Sieur B. P. pour faire toutes sortes d'opérations d'arithmétique, par un mouvement réglé, sans plume ni jetons. Avec un advis nécessaire à ceux qui auront curiosité de voir ladite machine, & de s'en servir.
Description and Use of Two Arithmetick Instruments
  • Samuel Morland
Morland, Samuel. Description and Use of Two Arithmetick Instruments. Londres : W. Godbid, 1673.
Acta Eruditorum, Leipzig, 1674
  • Gottfried Wilhelm Leibniz
  • Machina Arithmetica
Leibniz, Gottfried Wilhelm. Machina Arithmetica. Acta Eruditorum, Leipzig, 1674. [1700-1799] Blaise Pascal. Usage de la machine. Chez Charles Bossut. 24 cm, [2] -[69] p. ; Manuscrits et archives (Patrimoine)
Brevis description Machinae Arithmeticae, cum figura», dans Miscellanea Berolinensia ad incrementum scientiarum, 1710
  • G.-W Leibniz
Leibniz, G.-W. Brevis description Machinae Arithmeticae, cum figura», dans Miscellanea Berolinensia ad incrementum scientiarum, 1710, p.317-319 + figure
Theatrum arithmetico-geometricum
  • J Leupold
Leupold, J. Theatrum arithmetico-geometricum, Leipzig, 1727
Machines et inventions approuvées par l'Académie royale des sciences
  • J.-G Gallon
Gallon, J.-G. Machines et inventions approuvées par l'Académie royale des sciences, depuis 1666 jusqu'à 1734. Paris : Jean-Baptiste Coignard ;