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L’algorithme : pourquoi et comment le dénir pour
l’enseigner
Emmanuel Beara
To cite this version:
Emmanuel Beara. L’algorithme : pourquoi et comment le dénir pour l’enseigner. epiDEMES, 2024,
3 | 2024, �10.46298/epidemes-11418�. �hal-04112182v3�
ÉpiDEMES – (2024), 3 soumis le 02/06/2023, accepté le 18/10/2024ÉpiDEMES – (2024), 3 soumis le 02/06/2023, accepté le 18/10/2024
L’algorithme : pourquoi et comment le définir pour
l’enseigner
Emmanuel Beffara
Abstract. The question of the definition of what is an algorithm is recurrent. It is found in teaching, at different levels
and particularly in secondary education because of the recent evolutions in high school, with immediate consequences in higher
education. It is found in mediation, with the different meanings that the word “algorithm” is charged with in the media space. It is
also found in research, with issues in different branches of computer science, from foundations in computability and complexity to
applications in big data. Beyond the issue of definition, it is the raison d’être of the notion of algorithm that should be questioned:
what do we want to do with it and what is at stake? It is by trying to specify this that we can identify didactic elements that are
likely to help teach the algorithm, in interaction with mathematics or not, and to different audiences.
Keywords. Algorithm; Computational thinking; Didactic transposition
Résumé. La question de la définition de ce qu’est un algorithme est récurrente. Elle se trouve dans l’enseignement, à différents
niveaux et singulièrement le secondaire du fait des évolutions récentes au collège et au lycée, avec des conséquences immédiates
dans le supérieur. Elle se trouve dans la médiation, avec les différents sens dont le mot « algorithme » est chargé dans l’espace
médiatique. Elle se trouve aussi dans la recherche, avec des enjeux dans différentes branches de l’informatique, depuis les fondements
en calculabilité et complexité jusqu’aux applications dans le traitement des données massives. Au delà du problème de la définition,
c’est la raison d’être de la notion d’algorithme qu’il convient de questionner : que veut-on en faire et de quels enjeux est-elle le
nom ? C’est en cherchant à préciser cela que l ’on peut i dentifier les éléments didactiques susceptibles d’enseigner l’algorithme, en
interaction avec les mathématiques ou pas et à différents publics.
Mots-Clés. Algorithme ; Pensée informatique ; Transposition di dactique
Table des matières
1. Introduction ........................................................... 1
2. L’algorithme, de la pratique à l’objet d’étude ...................................... 2
2.A. Procédures codifiées ..................................................... 2
2.B. Machines programmables .................................................. 3
2.C. Calculabilité .......................................................... 3
2.D. L’algorithme au delà du calcul ............................................... 4
3. Une définition problématique ................................................. 4
3.A. Définitions formelles ..................................................... 5
3.B. Définitions conceptuelles ................................................... 6
3.C. L’usage dans les médias ................................................... 8
4. L’algorithme comme ob jet d’enseignement ........................................ 9
4.A. Dans l’enseignement supérieur ................................................ 9
4.B. Dans l’enseignement secondaire ............................................... 10
4.C. Dans l’enseignement primaire ................................................ 12
4.D. Les compétences de l’algorithmique ............................................. 12
5. Conclusion : pourquoi définir ................................................. 13
Références ............................................................... 14
1. Introduction
L’objectif de cet article est de s’interroger sur la bonne définition à donner au mot algorithme dans un
contexte d’enseignement, dans différents contextes. Savoir définir ce dont on parle est une nécessité dès
qu’il s’agit de développer un discours scientifique, or l’introduction encore récente dans l’enseignement
2Emmanuel Beffara2Emmanuel Beffara
général de la notion d’algorithme, parmi d’autres notions fondamentales de la science informatique,
répond à une volonté de faire évoluer l’enseignement scientifique pour y intégrer ces notions.
Donner une définition n’est pas difficile en soi et de nombreux ouvrages en proposent. Le problème
se situe plutôt dans la variété des définitions disponibles, car chaque contexte d’utilisation correspond
à des intentions et des contraintes différentes, au point que certaines formulations et certains usages
peuvent sembler contradictoires. Dans un contexte d’enseignement, cette variété suscite de surcroît un
enjeu de cohérence : si des définitions différentes peuvent être nécessaires dans des disciplines ou à des
niveaux différents, l’enseignante ou la formatrice doit savoir dissiper l’incohérence en ayant conscience
de la transposition didactique qui est faite dans ces différents contextes. Ces questions se posent bien
entendu dans toute situation où un savoir expert fait l’objet d’une transposition, particulièrement à
un public large et non spécialiste.
Pour aborder ces questions dans le cas de l’algorithme, nous adoptons une démarche de « vigilance
épistémologique » à visée didactique, au sens d’Artigue (1990), en analysant les différentes manifesta-
tions de la notion d’algorithme dans la littérature scientifique et les usages afin de dégager les raisons
d’être des différentes approches et les relations qu’elles entretiennent. Nous commençons en section 2.
par décrire l’émergence de la notion d’algorithme comme objet d’étude, pour en évoquer les origines
et la situer dans la science actuelle. Nous identifions dans la section 3. différents types de définitions
qui en sont proposées dans la littérature et l’usage, afin d’en caractériser les différences essentielles.
Nous poursuivons en section 4. par une comparaison de la façon dont se positionnent différents ni-
veaux d’enseignement, de l’école primaire à l’université (dans le système français). Nous concluons en
section 5. par une réflexion sur la raison d’être des définitions de la notion d’algorithme.
2. L’algorithme, de la pratique à l’objet d’étude
On ne cherche pas ici à faire une histoire des algorithmes, mais plutôt à distinguer différentes phases
dans l’élaboration de cette notion. Il n’est d’ailleurs pas évident que ces phases soient fidèles à la
chronologie historique, il s’agit plutôt de mettre en évidence, dans l’esprit de la dialectique outil-
objet (Douady,1986), les différents statuts que l’algorithme prend successivement dans l’esprit d’un
apprenant ou d’une communauté. Pour une approche historique, on pourra se référer à des ouvrages
comme celui de Chabert (2010).
2.A. Procédures codifiées
La première phase de construction de la notion concerne la systématisation des procédures de calcul et
la recherche de l’extension de leur domaine de validité. On peut citer quelques étapes emblématiques,
dans une longue histoire des mathématiques et du calcul (Chabert,2010) :
— les méthodes de calcul posé, notamment pour l’addition et la multiplication, liées à chaque sys-
tème de numération (méthodes promues par les algoristes exploitant la numération de position,
à l’opposé des abacistes qui utilisaient les abaques) ;
— l’approximation des racines carrées, déjà étudiée chez les babyloniens (d’où vient la méthode
qui porte aujourd’hui le nom de Héron d’Alexandrie) ;
— le calcul des diviseurs communs chez Euclide, qui est souvent la première méthode de calcul
qui reçoit explicitement le nom d’algorithme dans l’enseignement actuel ;
— la résolution d’équations chez Al-Khwarizmi (dont le nom est notoirement à l’origine du mot
« algorithme »), qui fait intervenir des décisions dépendant des données d’entrée.
Ces quelques cas ne sont que des exemples parmi d’autres. Les méthodes systématiques existent
depuis aussi longtemps que les mathématiques mais ne sont probablement pas perçues comme objets
en elles-mêmes, elles sont de l’ordre du savoir-faire. On n’éprouve pas le besoin de définir ce que serait
une méthode en général, même si on trouve chez Al-Khwarizmi l’idée d’étudier les méthodes pour
elles-mêmes.
L’algorithme : pourquoi et comment le définir pour l’enseigner 3L’algorithme : pourquoi et comment le définir pour l’enseigner 3
Il se pose quand même, dès l’époque de ces exemples, les premières questions de nature algorith-
mique : on s’interroge sur la faisabilité de certaines choses par des méthodes systématiques. C’est le
cas notamment des trois grand problèmes géométriques de l’Antiquité : la quadrature du cercle, la
trisection de l’angle et la duplication du cube. Dans les trois cas, on se demande s’il est possible de
construire une certaine grandeur avec les outils de la géométrie, autrement dit on cherche un algo-
rithme pour résoudre un problème donné au moyen d’opérations élémentaires explicitement choisies.
L’impossibilité de résoudre ces trois problèmes à la règle et au compas ne sera établie que bien plus
tard, quand la notion de construction sera suffisamment formalisée pour établir des résultats négatifs.
2.B. Machines programmables
Parallèlement à l’élaboration de méthodes de calcul en mathématiques, l’histoire des techniques a
connu le développement de machines pour réaliser diverses tâches. Les automates existent depuis
l’Antiquité, ce sont des machines qui agissent de façon plus ou moins autonome selon un plan établi,
mais c’est à partir du xviiesiècle que l’idée de programmation apparaît plus distinctement.
D’une part, il y a les machines à calculer, à commencer par la Pascaline de Blaise Pascal, dont la
première réalisation remonte à 1645, et qui apporte l’idée de mécanisation du calcul, là où bouliers et
abaques servaient essentiellement à aider la mémoire tout en laissant à l’opérateur humain toute la
charge de la manipulation. Les machines à différences sont imaginées plus tard comme extensions de
ce principe pour produire des tables de valeurs de fonctions.
D’autre part, au xviii esiècle, on voit apparaître l’idée d’un objet qui porte explicitement de
l’information qu’un dispositif mécanique utilise pour déterminer son action : ce sont les métiers à
tisser semi-automatiques. Le premier métier à rubans perforés est dû à Bouchon en 1725, suivi par
le métier Jacquard à cartes perforées en 1801. Il y a alors l’idée de transcrire une procédure dans
un langage artificiel et explicitement défini, c’est un précurseur de la notion de programme au sens
informatique : un objet identifié, une information qui détermine l’action d’une machine (alors que
l’opérateur concerné par les procédures codifiées évoquées plus haut est humain).
La machine analytique de Babbage, conçue en 1834 mais jamais entièrement réalisée, combine
les deux aspects : la mécanique fait des calculs guidés par des instructions indiquées sur des cartes
perforées. De plus, certaines instructions permettent le branchement conditionnel, donc les structures
de contrôle : il est possible de transcrire dans le langage de la machine les structures comme « si . . .
alors . . . sinon . . . » et « tant que . . . faire . . . », ce qui rend la machine universelle pour le calcul (au
sens où elle peut théoriquement calculer tout ce qui pourrait être calculé avec tout autre dispositif
mécanique). C’est pour la machine de Babbage que fut écrit ce qui est considéré comme le premier
véritable programme informatique, œuvre d’Ada Lovelace en 1843, destiné à calculer les nombres de
Bernoulli et reposant sur une itération conditionnelle (Dufour,2019).
2.C. Calculabilité
Certains problèmes d’aspect algorithmique, comme les grands problèmes géométriques de l’Antiquité,
ou encore la résolution d’équations algébriques par radicaux, ont été résolus négativement au moyen de
différentes notions d’invariants. Au début du xxesiècle, Hilbert énonce deux problèmes fondamentaux
qui sont eux aussi de nature algorithmique :
— la recherche d’une méthode de résolution des équations diophantiennes, dixième problème de
la liste formulée au Congrès international des mathématiciens de 1900 (Hilbert,1902) ;
— le problème de la décision, formulé en 1928, qui consiste à établir une procédure permettant de
déterminer si un énoncé donné est un théorème en logique du premier ordre (Hilbert & Ackermann,
1959).
La résolution négative de ces deux problèmes, par Gödel (1931) pour le second et par Matiyasevich
(1993) pour le premier, nécessite la formalisation de la notion de calcul. Plusieurs modèles de calcul
sont proposés, notamment par Church (1941) avec le λ-calcul, Turing (1936) avec la machine qui porte
4Emmanuel Beffara4Emmanuel Beffara
son nom (évoquée plus précisément en section 3.A.), ou Herbrand (1930) avec les fonctions récursives
qui sont au cœur des travaux de Gödel. L’équivalence établie entre ces modèles fait émerger l’idée que
la calculabilité est en fait indépendante du modèle de calcul et que tout modèle physiquement plausible
définirait la même notion, affirmation que l’on appelle habituellement thèse de Church-Turing.
L’algorithme est alors un objet d’étude en soi et on essaie de l’approcher par des définitions
formelles, notamment pour établir des résultats d’impossibilité. Parmi ceux-ci, il y a l’identification de
problèmes dits indécidables, pour lesquels on montre qu’il ne peut pas exister d’algorithme : outre les
deux problèmes mentionnés ci-dessus, citons l’exemple classique du problème de l’arrêt (déterminer si
l’exécution d’un programme donné, pour une entrée donnée, finira par s’arrêter ou pas) ou encore le
problème consistant à déterminer si une expression donnée, formée avec les quatre opérations et les
fonctions usuelles de l’analyse, est égale à 0 (Richardson,1969).
Plus tard, la théorie de la complexité raffine cette notion en tentant de classifier les problèmes
calculatoires selon leur difficulté intrinsèque, vue comme borne inférieure de l’efficacité des algorithmes
susceptibles de les résoudre (Perifel,2014).
2.D. L’algorithme au delà du calcul
Ainsi, la calculabilité a formalisé la notion de procédure de calcul pour résoudre des problèmes de
décidabilité puis a permis le développement de la théorie de la complexité, fondée au départ sur l’idée
de calcul séquentiel. La sens même du mot calcul s’en est trouvé étendu, de la manipulation de nombres
à l’idée plus large de manipulation de symboles. Mais la technique ne s’arrête pas au calcul sur machine
séquentielle et les ordinateurs ont été développés bien au delà de cet objectif initial : les machines sont
devenues capables de faire plusieurs calculs en même temps (parallélisme), de communiquer avec un
utilisateur en cours d’exécution (notion d’interface humain-machine), de communiquer de l’information
avec d’autres dispositifs (capteurs et actionneurs) et d’autres ordinateurs (réseaux), sans évoquer
l’hypothèse de machines changeant fondamentalement la façon de calculer comme les processeurs
quantiques. Ces différents développements s’accompagnent de techniques de programmation différentes
qui dépassent aussi le cadre des seules procédures de calcul des origines, et ces techniques nécessitent
d’enrichir le cadre théorique de l’algorithmique par de nouvelles notions et de nouveaux outils.
De ce fait, l’étude des algorithmes comporte de nombreux enjeux dans la recherche actuelle, dans
des domaines très variés, des plus théoriques, comme la logique et la complexité, aux plus concrets,
comme l’analyse de données pour la décision et la planification, en passant par la cryptologie, le calcul
formel ou numérique, le traitement automatique des langues, l’analyse et évaluation de performances,
et d’innombrables autres sujets.
Ce qui unifie ces différents développements, et rend légitime de les inclure dans le domaine gé-
néral des algorithmes, est le fait qu’il s’agit toujours de traiter des données par la manipulation de
leur représentation symbolique. Pour autant, la notion de calcul, comprise même au sens large de
manipulation symbolique destinée à obtenir un résultat à partir d’une donnée d’entrée, ne suffit plus
à décrire la portée de ces algorithmes lorsque leur but n’est plus de produire un résultat mais d’agir
sur le monde. Le domaine d’application du concept d’algorithme doit donc être considéré comme plus
large que le calcul.
3. Une définition problématique
Au vu de ces différents statuts de l’algorithme, qui acquiert progressivement la qualité d’objet, on
s’intéresse maintenant aux définitions possibles de ce qu’est un algorithme, selon les contextes et les
usages. Le substantif algorithmique désigne le domaine de savoir consacré à l’élaboration, l’étude et
l’analyse des algorithmes, sa définition découle donc implicitement de celle de l’algorithme.
L’algorithme : pourquoi et comment le définir pour l’enseigner 5L’algorithme : pourquoi et comment le définir pour l’enseigner 5
3.A. Définitions formelles
Les résultats formels nécessitent une définition mathématique, ce qui mène à la notion de modèle de
calcul. Parmi les modèles les plus classiques, on trouve la machine de Turing, qui formalise l’idée d’un
opérateur qui effectue un calcul en appliquant des règles précises et systématiques. On pourra penser
à une multiplication posée ou à la résolution d’un système d’équations : suffisamment précisée, la
procédure se réduit à lire et écrire des symboles à des endroits particuliers et à prendre des décisions
en fonction de ce qui est écrit.
L’espace de travail est modélisé comme un ruban illimité constitué de cases qui peuvent contenir
des symboles dans un alphabet donné. L’opérateur ne considère qu’une case à la fois et le programme
de calcul prescrit l’action à effectuer à chaque étape en fonction du contenu de la case : écrire un
symbole dans la case, se déplacer sur le ruban, poursuivre le programme à une autre étape. Cela peut
être transformé en une définition formelle, par exemple de la forme suivante (inutile de s’attarder sur
le détail, notre but n’est que de donner une idée de ce à quoi ressemble une telle définition) :
Définition 1. Une machine de Turing est un sextuplet (Σ,Γ, Q, i, f, δ)où Σest un ensemble fini non
vide (l’alphabet d’entrée et de sortie), Γest un sur-ensemble fini de Σ(l’alphabet de travail) contenant
un élément distingué ∅(le symbole vide) non élément de Σ,Qest un ensemble fini non vide (les
états), iet fsont des éléments de Q(l’état initial et l’état final) et δest une fonction de Q×Γdans
Q×Γ× {−1,0,1}(la table de transition).
À cette définition devront s’ajouter celle d’une configuration (qui comprend un état de la machine, un
contenu de ruban et une position de la tête de lecture sur le ruban) ainsi que la façon dont la machine
calcule (les règles de passage d’une configuration à la suivante). De là, on pourra obtenir une définition
mathématique de ce que calcule une machine de Turing et donc étudier les propriétés de cette notion
de calcul.
La machine de Turing est un objet formel sur lequel on peut fonder toute la théorie de la calcula-
bilité et de la complexité algorithmique, comme le font bon nombre de textes de référence. Pourtant,
sa description formelle n’est pas totalement satisfaisante si on veut lui donner le statut de définition
générale de la notion d’algorithme :
— Il y a dans la définition ci-dessus des choix assez arbitraires, comme le fait d’identifier un unique
état final f, les possibilités de déplacement de la tête (l’ensemble {−1,0,1}), le fait d’avoir le
même alphabet Σen entrée et en sortie, etc. On trouve dans la littérature de nombreuses
définitions qui font des choix différents.
— Pour un objet correspondant à la définition, il y a des détails absolument pas fondamentaux,
comme le choix de l’alphabet de travail, la dénomination des états, etc.
— Au delà de ces détails, il y a des choix particuliers de modélisation : le calcul est purement
séquentiel et déterministe, avec une donnée d’entrée et une donnée de sortie, représentées par
des suites de symboles pris dans l’alphabet Σ.
— Plus largement, il y inadéquation entre l’objet ainsi défini et l’usage de la notion d’algorithme :
dans l’algorithme d’Euclide, on n’éprouve pas le besoin de préciser l’alphabet de travail et la
représentation des nombres dans cet alphabet. Le fait d’écrire les nombres en base dix, en
binaire ou même en chiffres romains ne fait pas partie de ce qui caractérise cet algorithme.
Le même phénomène se retrouvera quel que soit le modèle de calcul : il y aura forcément des choix
de modélisation et des conventions pour la représentation des données. Cela est inhérent à l’idée de
définition formelle.
Notons au passage que si la machine de Turing fait figure de modèle de référence pour la notion
de calcul, c’est en particulier pour la simplicité de sa définition (même si cela n’est pas forcément
évident pour un lecteur qui ne serait pas habitué à lire des définitions de ce genre). On aurait aussi
bien pu choisir comme modèle un langage de programmation quelconque, mais la définition formelle
aurait été largement plus complexe et essentiellement impossible à manipuler mathématiquement
6Emmanuel Beffara6Emmanuel Beffara
(spécifier complètement des langages de programmation pour en démontrer des propriétés est un
travail de recherche en soi et il nécessite l’utilisation des logiciels pour manipuler les définitions et les
démonstrations, tellement celles-ci sont techniques). De fait, il y a une tension entre la facilité d’écriture
des programmes, effet de la richesse du langage, et la facilité de raisonnement et de démonstration,
que favorise au contraire la minimalité du langage. Ainsi, les modèles de calcul sont des langages de
programmation simplifiés à l’extrême pour ne conserver que le minimum permettant de calculer.
La thèse de Church-Turing affirme que tous les modèles de calcul qui correspondraient à des choses
physiquement réalisables, du moins dans leur principe, sont équivalents, au sens où ce qui est calculable
par un modèle le sera par les autres (ce n’est pas un théorème, parce que sa formulation n’est pas assez
précise pour le permettre, mais cette équivalence a effectivement été démontrée pour tous les modèles
de calculs précis qui ont été définis). Elle peut se raffiner pour exprimer que le choix de représentation
des données que l’on fait dans chaque usage de chaque modèle n’a pas d’importance pour ce qui est
des algorithmes que l’on peut transcrire.
Pour ces raisons, toute définition formelle de la notion d’algorithme apparaît comme réductrice
parce qu’elle fixe nécessairement des détails et des contraintes qui ne s’imposent pas dans l’absolu. En
somme, poser une définition formelle au sens des mathématiques fait passer à côté du sujet puisqu’on
en vient à définir ce qu’est un programme. Il semble donc plus pertinent de chercher une définition qui
s’attache plutôt au concept, c’est-à-dire caractériser le propriétés opératoires de la notion d’algorithme,
ainsi que les techniques et modes de raisonnement qui s’y appliquent (Vergnaud,1990).
3.B. Définitions conceptuelles
Dans leur ouvrage Introduction à l’algorithmique, qui est une des références classiques au niveau
universitaire, Cormen, Leiserson, Rivest, et Stein (2004) proposent la définition suivante :
Voici une définition informelle du terme algorithme : procédure de calcul bien définie qui
prend en entrée une valeur, ou un ensemble de valeurs, et qui donne en sortie une valeur,
ou un ensemble de valeurs. Un algorithme est donc une séquence d’étapes de calcul qui
transforment l’entrée en sortie.
Cette définition met en avant le fait d’éviter l’ambiguïté et le fait de concerner des valeurs prises
dans des ensembles mathématiquement bien définis. Elle reste cependant très vague (volontairement)
puisqu’elle repose sur l’idée de procédure de calcul, elle-même non définie.
Dans son ouvrage de référence The Art of Computer Programming,Knuth (1969) ne définit pas
non plus formellement ce qu’est un algorithme, mais introduit la notion par un exemple (l’algorithme
d’Euclide, notamment parce qu’il est le premier à porter ce nom dans la littérature mathématique)
avant de préciser des critères qu’une procédure doit respecter pour être qualifiée d’algorithme :
— finitude : l’exécution d’un algorithme doit toujours se terminer après un nombre fini d’étapes;
— définition précise : chaque étape doit être définie précisément, les actions doivent être spécifiées
rigoureusement et sans ambiguïté pour chaque cas ;
— entrées : des valeurs, prises dans un ensemble d’objets spécifié, qui sont données avant que
l’exécution ne commence ;
— sorties : une ou plusieurs valeurs produites à l’issue de l’exécution et qui ont une relation
spécifiée avec les entrées ;
— effectivité : les opérations à accomplir doivent être assez basiques pour pouvoir être en principe
réalisées en un temps fini par une personne utilisant un papier et un crayon.
Knuth fonde sur une machine idéalisée (MIX dans les premières éditions, MMIX dans les éditions
plus récentes) les notions nécessitant un modèle de calcul précis, néanmoins la différence entre ce
modèle et la notion d’algorithme est ainsi explicitement posée. Il en ressort donc le côté opérationnel
(effectivité et non-ambiguïté) et, à nouveau, le fait de concerner des valeurs prises dans des ensembles
mathématiquement bien définis. La « relation » spécifiée entre entrée et sortie est le plus souvent une
L’algorithme : pourquoi et comment le définir pour l’enseigner 7L’algorithme : pourquoi et comment le définir pour l’enseigner 7
fonction au sens mathématique (il y a un unique résultat attendu pour chaque donnée d’entrée) mais
ce n’est pas une nécessité.
La définition proposée par Modeste (2012) dans sa thèse synthétise ces points, sur la base de
différentes définitions dont celles évoquées plus haut, en ajoutant explicitement la référence à un
problème que l’algorithme est censé résoudre :
Un algorithme est une procédure de résolution de problème, s’appliquant à une famille
d’instances du problème et produisant, en un nombre fini d’étapes constructives, effectives,
non-ambiguës et organisées, la réponse au problème pour toute instance de cette famille.
(Modeste,2012, p. 25)
La notion de problème ici est à comprendre au sens informatique : c’est la spécification d’un ensemble
de valeurs d’entrées possibles (les instances du problème) et d’une réponse attendue pour chaque
entrée. L’algorithme est alors vu comme une méthode permettant de calculer effectivement cette
réponse, sachant que la définition du problème permet de caractériser la réponse attendue mais pas
la façon de l’obtenir. Cette mise en avant des notions de problème et d’instance souligne l’importance
de la généricité attendue d’un algorithme, puisqu’il doit traiter de façon systématique un ensemble
généralement infini de cas, et en corollaire la notion de domaine de définition attendu (que l’on
pourrait aussi appeler sa portée), élément important dès que l’on cherche à caractériser et comparer
des algorithmes.
Le chapeau de l’article Algorithme de l’encyclopédie en ligne Wikipédia 1donne une formulation
concise cohérente avec celle de Modeste :
Un algorithme est une suite finie et non ambiguë d’instructions et d’opérations permettant
de résoudre une classe de problèmes.
L’expression « classe de problèmes » exprime ici l’idée de généricité, comme le mot « problème »
au sens plus précis évoqué plus haut, d’une façon seulement plus explicite pour être accessible à un
lectorat moins expert. Des définitions similaires à celle-ci sont données par les dictionnaires généralistes
(notamment le Larousse, le Robert, le TLFi 2ainsi que le Wiktionnaire, chacun consultés en juin 2024).
D’autres variantes, notamment issues de documents destinés aux enseignants, reprennent ce principe
d’une procédure destinée à résoudre un problème. Ainsi, dans leur brochure destinée aux enseignants
de mathématiques en classe de seconde, Sopena et al. (2012) écrivent :
Un algorithme décrit un enchaînement d’opérations permettant, en un temps fini, de ré-
soudre toutes les instances d’un problème donné. Un algorithme permet donc, à partir
d’une instance du problème (les données en entrée), d’obtenir un résultat correspondant
à la solution du problème sur cette instance. Ce résultat est obtenu en réalisant « pas à
pas » une succession d’opérations élémentaires. (Sopena et al.,2012, p. 7)
Cette formulation met en avant l’idée d’opération « élémentaire », ce qui reprend l’idée d’effectivité
dans les critères de Knuth (1969).
Cette comparaison de différentes définitions informelles révèle donc une différence fondamentale
avec les définitions formelles évoquées plus haut : la référence à la notion de problème. Dans la définition
de Knuth (ibid.), la « relation spécifiée » entre les entrées et les sorties, bien que plus allusive, dit
quelque chose de similaire : une suite d’opérations prend le statut d’algorithme quand on précise la
nature des entrées et des sorties ainsi que la façon dont la sortie est censée dépendre de l’entrée. Ainsi,
selon ces définitions, le texte suivant est bien une procédure effective et non ambiguë mais pas un
algorithme, car il ne contient pas de spécification :
Entrées : aet b, entiers naturels
Tant que b6= 0,
1. https://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme, consulté le 21 novembre 2024
2. Le TLFi mentionne aussi le sens archaïque de « Système de numération décimale en chiffres arabes » avec les
règles opératoires qui s’y rapportent, ce que l’on retrouve avec le mot algoriste évoqué plus haut.
8Emmanuel Beffara8Emmanuel Beffara
si a > b alors retrancher bàa
sinon échanger aet b.
Renvoyer a.
Ce texte devient un algorithme si sa spécification est explicitée, en l’espèce si on exprime que la valeur
renvoyée doit être le plus grand diviseur commun de aet b, ou si on annonce qu’il est censé résoudre
le problème du calcul du PGCD.
Le fait que la spécification fasse partie de l’algorithme ne signifie pas que la procédure sans spéci-
fication ne soit pas un objet digne d’intérêt. C’est même plutôt le contraire : une part conséquente de
l’activité algorithmique consiste justement à étudier des procédures pour déterminer si elles respectent
certaines spécifications, c’est la question de la correction des algorithmes. Ainsi, le fait d’inclure la
spécification dans la définition du mot algorithme, ce qui peut être discuté (et ne fait probablement
pas consensus), correspond surtout au besoin de distinguer la procédure brute et l’intention qu’on lui
attribue, un élément au cœur des compétences liées à l’algorithmique (voir section 4.D.).
Selon ces définitions, il y a donc deux dimensions importantes : d’une part le fait qu’il y ait une
procédure, plan d’action ayant une certaine généricité et décrite de façon finie, et d’autre part le
fait qu’il y ait un problème à résoudre, donc une finalité. La finitude de la description est cruciale
et impose de distinguer clairement la procédure de son exécution : dès que le domaine d’entrée est
infini, il est impossible d’identifier un algorithme à l’ensemble de ses exécutions, la façon de décrire
la procédure est donc partie intégrante de ce qui caractérise un algorithme. Certaines définitions
laissent ce point assez implicite (comme celle de Wikipédia citée plus haut qui évoque une « suite
[...] d’instructions et d’opérations ») alors que la dualité entre l’objet statique (la description) et le
comportement dynamique (l’exécution sur une entrée) est fondamentale.
3.C. L’usage dans les médias
Au-delà des tentatives de définitions, qu’elles soient formelles ou informelles, il est indispensable d’évo-
quer l’usage médiatique du mot «algorithme », étant donnée la place croissante qu’il a pris ces dernières
années. Comme dans le cas de beaucoup de termes issus du vocabulaire scientifique repris par les mé-
dias, le sens attribué à ce mot est très flou, probablement autant pour les rédacteurs que pour les
lecteurs. On peut néanmoins identifier quelques traits significatifs.
Le mot est principalement utilisé pour désigner des systèmes informatiques utilisés dans de nom-
breux contextes de le vie publique, de l’administration à la finance, et notamment les systèmes de
captation et de monétisation de l’attention développés dans les réseaux sociaux et sites de commerce,
ou encore les systèmes de surveillance. On pourra citer quelques titres glanés dans la presse parmi de
nombreux autres : « Consulter Facebook sans algorithme et sans contenu toxique, le pari fou du Digital
Services Act » (Le Soir, 25 août 2023), « Comment le complotisme prospère grâce à l’algorithme des
réseaux sociaux » (Ouest France, 27 mai 2023), « Contre le terrorisme, le fantasme de l’algorithme pré-
ventif » (Le Monde, 12 mai 2021), « La “ville sûre” ou la gouvernance par les algorithmes » (Le Monde
diplomatique, juin 2019). Il est clair que le mot « algorithme » s’écarte ici des définitions précédentes,
non seulement parce qu’il est difficile d’identifier précisément un problème à résoudre (au sens de la
section précédente), mais aussi parce que l’intérêt n’est pas porté sur les méthodes systématiques de
traitement de données mais sur le phénomène d’automatisation et ses effets.
Par ailleurs, il y a souvent une confusion entre « algorithme » et « intelligence artificielle ». Cette
expression, dont on connaît le potentiel médiatique, est elle-même prise dans un sens plutôt restreint
qui correspond aux dernières applications connues du grand public, notamment l’apprentissage pro-
fond, le traitement des grandes masses de données ou les applications des grands modèles de langage. Il
est inutile de préciser qu’une telle interprétation ne rend justice ni à l’algorithmique ni à l’intelligence
artificielle, domaines dont la richesse et la diversité excèdent largement ces quelques thèmes.
Il est tout à fait normal que ces sujets préoccupent les médias et l’ensemble des citoyens, puisque ces
systèmes affectent le quotidien de tout le monde avec des effets préoccupants dont le grand public prend
L’algorithme : pourquoi et comment le définir pour l’enseigner 9L’algorithme : pourquoi et comment le définir pour l’enseigner 9
progressivement conscience ; les effets des bulles informationnelles sur les comportements de consom-
mation et sur les processus démocratiques sont d’ailleurs bien connus et documentés (Ertzscheid,2017).
C’est un manque de culture scientifique qui mène à cette confusion dans le vocabulaire médiatique,
quand on désigne du nom savant d’algorithme un objet fantasmé, mystérieux et inquiétant, sorte de
cerveau immatériel qui prendrait des décisions sur la vie de chacun de façon autonome et incontrôlée.
Ce ne sont pas « les algorithmes » qui nous gouvernent. Les infrastructures informatiques des
réseaux sociaux sont conçues par des humains qui y impriment leur vision du monde et ce sont
des humains qui font le choix de les utiliser dans le fonctionnement de leurs plateformes. Savoir
correctement définir la notion d’algorithme est indispensable pour pouvoir prendre le recul nécessaire
pour comprendre ces enjeux.
4. L’algorithme comme objet d’enseignement
La transposition didactique (Chevallard,1991) est le phénomène selon lequel un savoir savant, notion
définie et utilisée par les experts d’un domaine, est transformé pour en faire un savoir enseigné, notion
adaptée au contexte didactique, c’est-à-dire aux connaissances et savoir-faire supposés de la part du
public ciblé et aux objectifs d’apprentissage choisis. Ce phénomène inhérent à l’enseignement est le
résultat d’une action plus ou moins consciente et volontaire guidée par la contrainte que la notion à
enseigner doit être accessible tout gardant une certaine fidélité à la notion savante. Par ailleurs, cette
fidélité est en partie une « fiction » (Artigue,1990) parce que les savoirs savants et enseignés obéissent
à des dynamiques différentes qui peuvent justifier certaines infidélités.
Ainsi, dans le cas de l’algorithme, des approches assez différentes se rencontrent selon les niveaux.
Au delà des contraintes propres de la transposition didactique, la variété d’approches correspond à
différentes intentions que l’on peut mettre dans l’enseignement de la notion, c’est-à-dire différentes
raisons qui poussent à l’inclure dans les disciplines d’enseignement et leurs programmes. Dans cette
partie, on s’intéresse à aux approches que l’on rencontre dans l’enseignement en France.
4.A. Dans l’enseignement supérieur
Dans l’enseignement supérieur, la notion d’algorithme se trouve dans les filières pour lesquelles l’in-
formatique fait partie des objectifs d’apprentissage, comme discipline principale ou secondaire. On y
vise donc un savoir expert, qu’il s’agit de construire avec très peu d’effet de transposition. Selon que
les filières concernées sont plus orientées vers la pratique ou vers la théorie, il s’agit d’apprendre à
de futures informaticiennes ou scientifiques à concevoir leurs programmes ou bien de poser les bases
pour comprendre des résultats de calculabilité et de complexité. On retrouvera donc les algorithmes
classiques et les techniques pour les programmer, la démonstration de correction des algorithmes par
rapport à leur spécification et l’analyse de la complexité des algorithmes et des problèmes.
Même si on n’éprouve pas le besoin de donner une définition précise de ce qu’est un algorithme,
comme en témoignent les choix de Knuth (1969) ou de Cormen et al. (2004), on voit en fait l’algorithme
comme l’idée derrière la conception d’un programme. En d’autres termes, l’objectif est l’implémenta-
tion sous forme d’un programme sur une machine, l’algorithme est la description de haut niveau de
l’organisation d’un programme, indépendamment des aspects liés spécifiquement à la mise en œuvre
(détails de syntaxe du langage utilisé, choix des structures de données à employer, utilisation de biblio-
thèques logicielles). La programmation sert donc de justification et de référence et les résultats formels
portant sur la correction et la complexité sont fondés sur l’intuition partagée par les étudiants après
plusieurs années de pratique de la programmation. Les modèles de calcul définis mathématiquement
n’apparaissent dans les cursus universitaires qu’en fin de licence ou en master, en s’appuyant sur cette
pratique de la programmation, dans le but de fonder les notions de calculabilité et de complexité des
problèmes.
Une étude de Rafalska et Modeste (2018) sur les préconceptions des élèves et étudiants quant à
10 Emmanuel Beffara10 Emmanuel Beffara
la notion d’algorithme montre que, à partir de la licence, l’idée d’algorithme est fondamentalement
liée à la notion de problème à résoudre : on n’envisage pas ce que serait une procédure de calcul
indépendamment de ce qu’elle est censée calculer. De fait, à partir de la deuxième année de licence,
la notion de preuve d’algorithme, c’est-à-dire de démonstration de l’adéquation entre la procédure
décrite et une spécification donnée indépendamment, prend une importance majeure ; on étudie un
algorithme pour démontrer qu’il est correct. À cela s’ajoute le critère d’efficacité dans la qualité d’un
algorithme, qui est présent dans les conceptions des étudiants dès la première année de licence.
4.B. Dans l’enseignement secondaire
Dans l’enseignement obligatoire en France (jusqu’à 16 ans), l’algorithmique est explicitement présente
depuis les programmes de 2016. Que ce soit dans l’enseignement primaire ou secondaire, de tronc
commun ou optionnel, elle est abordée comme un objet de culture générale scientifique, contribuant
à développer la « pensée informatique 3» telle que la présente Wing (2006). Néanmoins, le rapport à
l’algorithme change fondamentalement entre le cycle 3 (transition du primaire au collège) et le cycle 4
(trois dernières années du collège) et les définitions pertinentes doivent être adaptées aux attentes.
On se concentrera donc dans cette section sur le cycle 4, où la notion d’algorithme est installée pour
l’usage qui en est fait dans l’enseignement de tronc commun jusqu’à la seconde générale. On pourra
se reporter à la brochure de la CII Lycée (Beffara, More, & Prouteau,2017) pour une étude plus
détaillée des notions en jeu à ce niveau. On ne se penchera pas explicitement sur le cas du lycée parce
que la notion y est traitée en continuité avec le collège, sauf pour certains sujets dans les disciplines
de spécialité touchant à l’informatique où ce sont les approches suivies dans le supérieur qui seront
pertinentes (par exemple pour la sensibilisation à la preuve de correction ou la décidabilité, qui font
partie des programmes de la spécialité « Numérique et sciences informatiques »).
Au collège, la notion d’algorithme est introduite explicitement et elle se construit en même temps
que la pratique de la programmation, comme en témoigne le « Thème E – Algorithmique et program-
mation » du programme de mathématiques de cycle 4, dont les attendus de fin de cycle indiquent :
Écrire, mettre au point, exécuter un programme
Connaissances
— Notions d’algorithme et de programme.
— Notion de variable informatique.
— Déclenchement d’une action par un événement.
— Séquences d’instructions, boucles, instructions conditionnelles.
Compétences associées
— Écrire, mettre au point (tester, corriger) et exécuter un programme en réponse à un
problème donné.
(Ministère de l’Education Nationale et de la Jeunesse,2020a, annexe 3)
Dans l’esprit des documents institutionnels pour le collège, les notions d’algorithme et de programme
sont implicitement distinguées, mais l’algorithme est essentiellement vu comme un brouillon de pro-
gramme : sa raison d’être est l’implémentation qui en sera faite. De plus, le logiciel Scratch est utilisé
systématiquement comme référence (il n’est pas mentionné explicitement dans les programmes officiels
mais son influence y est visible, de plus il est explicitement utilisé dans les documents d’accompagne-
ment et dans les sujets du brevet).
Les choix des différents manuels pour le cycle 4 quant à la définition de la notion d’algorithme
sont variés, mais des traits communs se retrouvent. La distinction entre algorithme et programme est
toujours présente, même si elle est plus ou moins claire selon les documents, et parfois formulée de
3. J’emploie ici le mot informatique comme traduction de l’anglais computational faute de mieux : on rencontre
parfois le mot computationnel dans des textes en français mais c’est plus une adaptation phonétique de l’anglais qu’une
traduction, quant au mot calculatoire qui en est une traduction correcte dans certain cas, il est trop restrictif dans le
contexte qui nous intéresse.
L’algorithme : pourquoi et comment le définir pour l’enseigner 11L’algorithme : pourquoi et comment le définir pour l’enseigner 11
façon discutable. Ainsi, le Cahier d’algorithmique et de programmation Cycle 4 (éd. Delagrave, 2016,
pp. 4-5), écrit :
Je comprends
— Un algorithme est une suite d’instructions à appliquer dans un ordre logique pour
résoudre un problème et obtenir rapidement 4un résultat. Il est écrit à la main ou à
l’aide d’un logiciel dans un langage compréhensible par tous.
Je retiens
— Un algorithme sert à préparer l’écriture d’un programme informatique.
De façon similaire, le manuel Transmath cycle 4 (éd. Nathan, 2016, p. 548) écrit :
Je retiens
— Un algorithme décrit la démarche logique d’un programme. Il met en évidence la struc-
ture de ce programme et fait apparaître ses variables.
— Un fois mis au point, l’algorithme est codé dans un langage de programmation.
On comprend de ces formulations que l’algorithme est considéré comme une méthode, par opposition
au programme qui est une mise en œuvre concrète, et que le fait qu’il soit communicable est mis en
avant.
En revanche, ces deux définitions suggèrent une méthode de travail qui consiste en deux phases
bien marquées et distinctes : premièrement élaborer un algorithme sur papier jusqu’à ce qu’il soit
parfaitement au point, deuxièmement le programmer sur ordinateur. Cette vision est discutable tant
du point de vue épistémologique que du point de vue pratique. D’une part, l’écriture d’un programme
n’est pas la seule raison d’être d’un algorithme : l’algorithme de l’addition posée est étudié et pratiqué
en détail par les élèves à l’école primaire, mais on ne cherche pas à le faire programmer aux élèves.
D’autre part, une informaticienne qui élabore un algorithme ne s’interdira pas d’en programmer des
ébauches dans un but d’expérimentation, car c’est ce qui permet d’acquérir des intuitions sur son
fonctionnement. Néanmoins, identifier l’élaboration de l’algorithme et sa programmation comme deux
activités différentes est pertinent et utile pour l’enseignement car ces activités mettent en œuvre des
compétences différentes.
Quelques manuels évitent la référence à la programmation comme un passage obligé et emploient
des analogies avec des situations où l’ordinateur n’intervient pas. Ainsi, le manuel Myriade Cycle 4
(éd. Bordas, 2016, p. 20) propose :
Un algorithme est une suite finie d’instructions permettant de résoudre un problème.
Exemple : Une recette de cuisine est un algorithme.
En effet, on dispose d’ingrédients au départ, on applique les instructions données par la
recette et on obtient le plat désiré à la fin.
Si l’image avec la recette de cuisine est tentante et permet de faire comprendre l’idée de suite d’opé-
rations communicable, il convient de prendre garde à ne pas pousser trop loin l’analogie, pour éviter
de créer des confusions (les ingrédients ne sont pas des données d’entrée, le problème à résoudre est
difficile à identifier, etc.).
Au delà de la question de définir la notion d’algorithme, les manuels scolaires du secondaire se foca-
lisent sur les structures perçues comme fondamentales : les structures de contrôle (séquence, condition,
itération), la notion de variable, et plus tard les structures de données (listes et tableaux, au lycée)
et la notion de fonction au sens informatique (avec les notions d’abstraction, décomposition et géné-
ralisation qu’elle porte). L’enjeu de la correction des algorithmes est évoqué dans les dernières années
de l’enseignement secondaire sans être un sujet central : ce sont la compréhension des techniques et
le savoir-faire algorithmique qui sont les objectifs principaux.
4. On considèrera la référence à la rapidité dans cette définition comme une simple maladresse : l’intention est
certainement de suggérer que l’efficacité des algorithmes est une préoccupation importante, mais il est bien clair qu’une
méthode systématique et non ambiguë qui permettrait d’obtenir un résultat sans que ce soit rapide mériterait tout
autant d’être appelée algorithme.
12 Emmanuel Beffara12 Emmanuel Beffara
4.C. Dans l’enseignement primaire
À l’école élémentaire, les sujets explicitement informatiques sont plutôt anecdotiques mais les prémices
de l’algorithmique sont présents. La notion d’algorithme n’est explicitement mentionnée en mathéma-
tiques qu’en référence aux procédures du calcul posé, mettant donc en avant l’enjeu de développer un
savoir-faire calculatoire. Ainsi, le programme officiel indique :
Calcul posé. Connaître et mettre en œuvre un algorithme de calcul posé pour effectuer :
— l’addition, la soustraction et la multiplication de nombres entiers ou décimaux ;
— la division euclidienne d’un entier par un entier ;
— la division d’un nombre décimal (entier ou non) par un nombre entier.
(Ministère de l’Education Nationale et de la Jeunesse,2020a, annexe 2)
La notion est également vue comme objet à découvrir dans le cadre des apprentissages en Sciences et
technologie :
Les élèves découvrent l’algorithme en utilisant des logiciels d’applications visuelles et lu-
diques.
Néanmoins, des activités de programmation sont évoquées, en lien avec le repérage. Ainsi, dans la
partie Espace et géométrie du programme de mathématiques de cycle 2, on trouve parmi les attendus
détaillés de fin de cycle :
(Se) repérer et (se) déplacer en utilisant des repères et des représentations
[. . .]
— Programmer les déplacements d’un robot ou ceux d’un personnage sur un écran :
— repères spatiaux ;
— relations entre l’espace dans lequel on se déplace et ses représentations.
(Ministère de l’Education Nationale et de la Jeunesse,2020a, annexe 1)
L’esprit de cet attendu, qui est confirmé dans les diverses ressources proposées aux enseignants comme
dans les pratiques en classe, est de mettre en avant la notion de suite d’opérations et les deux pre-
mières compétences fondamentales liées à l’informatique que sont l’anticipation et l’évaluation (voir
section 4.D.). En effet, à la différence de l’attendu sur les algorithmes de calcul posé où il n’est ques-
tion que de connaître et savoir appliquer un algorithme donné, les problèmes de programmation de
déplacement mettent en jeu la planification d’un trajet et sa formulation au moyen de codes et de
conventions. Ceux-ci peuvent être fournis, comme dans le cas du langage de commande d’un robot ou
des instructions élémentaires de Scratch, ou élaborés par l’élève, comme dans les activités telles que
le robot idiot (Romero, Duflot-Kremer, & Viéville,2018).
À l’école maternelle, le mot « algorithme » est employé par les programmes (Ministère de l’Education Nationale
2020b) pour désigner ce qu’on désignerait dans un langage plus courant comme des suites logiques,
parfois qualifiées dans ce contexte de « suites algorithmiques ». Dans ce contexte, l’initiation à une
pensée informatique ne fait pas partie des objectifs (à juste titre, car distinguer une forme de pensée
typiquement informatique à l’âge de l’école maternelle n’est certainement pas pertinent). Néanmoins,
l’attention est portée sur l’identification de régularités dans un processus, en lien avec l’idée de rythme
(travaillée aussi avec le corps, par la musique et la percussion) et de répétition. L’attendu qui consiste
à savoir identifier un motif et le reproduire peut être envisagé comme un précurseur de l’identification
de « motifs » opératoires, plus tard formalisés en algorithmes. L’utilisation de suites logiques, par op-
position aux situations de déplacement pratiquées à l’école élémentaire, a l’avantage de ne pas recourir
au repérage spatial, compétence qui est en cours de construction à cet âge et se développe encore dans
les années suivantes (Léonard, Peter, Secq, Alvarez, & Fluckiger,2021).
4.D. Les compétences de l’algorithmique
Comme on l’a vu, les façons d’aborder l’objet algorithme sont très variées d’un niveau d’enseignement
à l’autre, ce qui pose la question de la cohérence vis-à-vis de la notion sous-jacente. L’approche didac-
L’algorithme : pourquoi et comment le définir pour l’enseigner 13L’algorithme : pourquoi et comment le définir pour l’enseigner 13
tique, en analysant les compétences en jeu dans les tâches considérées comme liées à l’algorithmique,
permet de dégager de grands principes qui permettent de faire le lien entre les différentes approches. On
reprend ici la structuration en cinq compétences élaborée notamment par Declercq à l’occasion de la
mise en place des formations d’enseignants lors de l’introduction de la nouvelle discipline « Numérique
et sciences informatiques » au lycée général (Declercq,2021).
Anticiper consiste à se mettre en posture de programmeur pour décrire l’enchaînement d’une suite
d’opérations, avant le début de l’exécution. C’est un élément fondamental du passage du statut d’outil
à celui d’objet pour l’algorithme, puisqu’il s’agit, pour reprendre l’analyse de Samurçay et Rouchier
(1985), de passer de faire une suite d’opérations pour résoudre un problème à faire faire ces opérations
à un autre opérateur (humain ou mécanique) à un autre moment. Cette planification, déconnexion
entre le temps de l’écriture et celui de l’exécution, est un trait fondamental de l’élaboration d’algo-
rithmes.
Évaluer consiste attribuer mentalement une valeur à un programme donné. Le mot « valeur » est à
prendre dans un sens très large : il peut s’agir bien entendu de suivre un algorithme pour en obtenir le
résultat, mais aussi d’évaluer le nombre d’opérations à effectuer en fonction de l’entrée, de déterminer
si le résultat respectera une spécification donnée, etc. Là encore, il s’agit de considérer l’algorithme
comme un objet, et en particulier de le considérer pour ce qu’il est (avec ses erreurs éventuelles) plutôt
que pour ce qu’on voudrait qu’il soit. Se dégager de l’intentionnalité est l’enjeu des activités d’initiation
comme le robot idiot autant que des problèmes de démonstration de correction qui se rencontrent aux
niveaux avancés.
Décomposer est une compétence liée à la résolution de problème, elle consiste à transformer un
problème complexe en un ensemble de problèmes plus simples dont l’agencement permet de résoudre le
problème initial. Cette compétence se retrouve de façon très voisine dans l’enseignement des mathéma-
tiques, sa spécificité dans le cas algorithmique est peut-être de raisonner en termes de décomposition
dans le temps.
Généraliser consiste à inférer un schéma général à partir d’une ou plusieurs instances particulières.
Cela inclut la reconnaissance de motifs, enjeu de certaines activités d’école primaire et de collège
notamment, mais aussi la capacité à repérer dans un problème particulier la répétition de traitements
ou de données suivant un même schéma. Par la suite, la capacité à généraliser consiste à formuler
un problème général à partir d’une instance, pour en rendre le traitement plus systématique ou le
rapprocher de schémas connus (par exemple en voyant le calcul du 100ème terme de la suite Fibonacci
comme un cas particulier du calcul du n-ième terme d’une récurrence linéaire d’ordre 2).
Abstraire consiste à sélectionner l’information utile pour la résolution d’un problème donné, et
donc à « faire abstraction » des informations non pertinentes. Cela met donc en jeu la notion d’infor-
mation, caractéristique de la science informatique (qui en tire son nom), puisqu’un algorithme traite
uniquement de l’information, sous forme de données bien définies. À un niveau avancé, l’abstraction
est ce qui permet de créer des solutions où la manière de résoudre un problème peut être « abstraite »
à l’aide d’une interface pertinente (par exemple, rechercher une valeur dans une liste de nombres crois-
sante ou un mot dans un dictionnaire peuvent être vus comme deux instances d’une recherche dans
une liste triée, l’interface étant cette de la structure d’ordre).
Bien entendu, la plupart des tâches algorithmiques impliquent plusieurs de ces compétences, qu’il
s’agisse d’élaborer ou d’analyser des algorithmes. C’est l’association de ces différentes dimensions qui
caractérise l’activité propre à l’algorithmique et permet en fin de compte d’établir une cohérence entre
les enseignements à différents niveaux scolaires et répondant à différents objectifs.
5. Conclusion : pourquoi définir
Comme on l’a vu, on peut tenter de définir l’algorithme de différentes façons, plus ou moins formelles.
La variété de définitions n’exclut pas la cohérence et elle correspond à différents objectifs. En fin de
14 Emmanuel Beffara14 Emmanuel Beffara
compte, il convient de se demander ce que l’on veut tirer d’une définition. Pour cette raison, il ne
semble pas pertinent de conclure cette réflexion par une définition unique qui en ferait la synthèse.
Pour obtenir des résultats mathématiques de calculabilité, comme des théorèmes d’indécidabilité
ou des bornes de complexité, il faut un modèle de calcul. C’est un élément de savoir savant qui sert de
fondement aux autres approches, comme la logique formelle sert de fondement à la preuve mathéma-
tique : c’est un point de référence théorique mais le domaine ne s’y réduit pas. Si l’on cherche un moyen
de spécifier, valider et analyser des méthodes de calcul, il faut plutôt caractériser un type de discours
univoque et opératoire. Un tel discours pourrait en principe être précisé jusqu’à être implémenté dans
un modèle de calcul (qu’il s’agisse d’un modèle théorique ou d’un langage de programmation concret),
mais cela ne nécessite pas la définition précise d’un tel modèle. Là encore, c’est un élément de savoir
savant qui suppose un fondement théorique précis et un environnement scientifique qui permet de le
faire vivre. Si la définition est envisagée comme un élément de culture scientifique sur les méthodes
de calcul et la conception de programmes, il faut alors mettre en avant le rôle des notions connexes
de donnée, information, problème, machine (ce qui permet ensuite d’aborder la notion savante en en
comprenant les enjeux). Il s’agit dans ce contexte d’introduire à la pensée informatique (Wing,2006)
en s’appuyant sur les grandes notions qui fondent la science informatique (Dowek,2011). On a alors
un élément de savoir à enseigner qui est le résultat d’une transposition didactique de la notion savante,
dans un contexte institutionnel particulier. Si l’objectif est de transmettre un élément de culture gé-
nérale pour contribuer à démystifier l’informatique, les définitions opératoires évoquées précédemment
sont secondaires, l’enjeu important est de suggérer le genre de questions qui se rapportent à la no-
tion d’algorithme et les façons de penser qui y sont associées. On est dans ce cas dans une forme de
médiation qui donne à apercevoir un domaine de connaissance et justifie son apprentissage.
Au delà de ces différentes façons d’aborder la notion d’algorithme, il convient bien entendu de
se poser la question de la pertinence de cet enseignement. Si la recherche d’une « raison d’être » de
l’enseignement de l’algorithme, pour reprendre les termes de Chiprianov, Coulange, et Train (2018),
n’est pas l’objet de nos réflexions ici, c’est une question inextricablement liée à celle de la définition de
l’objet et de l’orientation à donner à son enseignement. S’il est admis que travailler l’algorithme, au
même titre que tout autre objet de savoir scientifique, peut contribuer à apprendre à raisonner avec
rigueur, il est possible que connaître de l’algorithmique n’ait que peu d’effet sur la capacité à utiliser
des dispositifs numériques avec aisance et esprit critique. Quelle que soit l’opinion que l’on peut avoir
sur l’intérêt d’enseigner l’informatique à tous les élèves et sur l’âge à partir duquel ce serait pertinent,
la présence grandissante du mot « algorithme » dans le discours public et la sphère médiatique l’impose
comme un élément de culture générale sur lequel il est indispensable que chaque citoyen ait quelques
notions justes.
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Emmanuel Beffara
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