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古典論の観測理論
古典論と量⼦論の観測におけるある違いについて
⽚桐奏⽻(放送⼤学)
1
Katagiri,So."Measurementtheoryinclassicalmechanics.”
ProgressofTheoreticalandExperimentalPhysics2020.6
(2020):063A02.
⾃⼰紹介
⽚桐奏⽻
筑波⼤学⼤学院数理物質科学研究科博⼠課程単位取得退学(物理学修⼠)
専⾨: 場の量⼦論、量⼦論、⾮平衡熱⼒学、および弦理論
現在: 放送⼤学場の理論ゼミにおいて場の量⼦論とその周辺分野を研究
“Beyond Squeezing à la Virasoro Algebra” (共著 PTEP(2019) 123B04)
“Gravity Analog Model of Non-equilibrium Thermodynamics”(共著 PTEP(2019)
073A02)
“Non-equilibrium thermodynamics as gauge fixing” (単著 PTEP(2018)
093A02)
量⼦論の哲学については槌⽥さん(元北⼤⽯垣研)にレッドヘッドの教科書の輪講で教わりました。
2
興味
南部括弧の量子化単著IJMPA(2023)
伝送線のホログラフィ理論単著IJMPA(2024)
南部非平衡熱力学の構築 共著cond-mat:2209.08469v8
ランダムな速度場による異常拡散共著CNSNS(2023)
量子力学の境界
物理の構造と拡張
QM(量⼦⼒学)
CM(古典⼒学)
4
最も重要な違いは何か
5
QM(量⼦⼒学)
CM(古典⼒学)
QM
CM
物理量
q数
c数
状態
波動関数ψ
位相空間の1点(x,p)
測定
量⼦測定理論
なし
6
QMとCMの比較
お互いが非常に異なった形式で書かれている
7
同じ形式を⽤いて初めて⾒え
てくる差があるのではないか?
QMとCMは
形式を揃えることができる。
Koopman(1931), von Neumann (1932)
8
QM
CM(KvN)
物理量
q数
q数
状態
波動関数ψ
波動関数ψ
測定
量⼦測定理論
?
9
QMとCMの比較
同⼀の形式で測定理論を考え両
者の差を考察し、その違いを調
べた。
10
本論でやったこと
古典⼒学の測定理論において射影測定
が不⾃然であると考えたため、Everett
の相対状態の考え⽅を⽤いた。
11
結果
QM
CM
測定装置が測定対象の位置xを知る。
測定対象が測定装置の運動量Pを知る。
測定装置が測定対象の位置xを知る。
測定対象が測定装置の運動量Pを知る。
かつ
または
12
古典⼒学
状態は位置と運動量で記述される。 (x,p)
13
古典力学
状態は位置と運動量で記述される。 (x,p)
状態の時間発展は正準⽅程式で記述される。
dx
dt =∂H(x,p)
∂p
dp
dt =−∂H(x,p)
∂x
H(x,p)ハミルトニアン
14
古典⼒学
H(x,p) = p2
2m+V(x)
·
x=∂H(x,p)
∂p=p
m
·
p=−∂H(x,p)
∂x=−∂V(x)
∂x
m··
x=−∂V(x)
∂x
15
量⼦⼒学
状態はベクトルで記述される。 |ψ⟩
16
量⼦⼒学
状態はベクトルで記述される。 |ψ⟩
状態の時間発展はシュレディンガー⽅程式で記
述される。
iℏd
dt |ψ⟩=H(
x,
p)|ψ⟩
17
量⼦⼒学
状態はベクトルで記述される。 |ψ⟩
状態の時間発展はシュレディンガー⽅程式で記
述される。
iℏd
dt |ψ⟩=H(
x,
p)|ψ⟩
x,
pは位置と運動量のq数(⾏列)で⾮可換
[
x,
p] =
x
p−
p
x=iℏ
18
量⼦⼒学
H(
x,
p) =
p2
2m+V(
x)
iℏ∂
∂t|ψ(t)⟩=(
p2
2m+V(
x))|ψ(t)⟩
|ψ(t)⟩=
U(t)|ψ(0)⟩
U(t)=e−iH(
x,
p)t/ℏ
19
量⼦⼒学
|ψ⟩=∫dx |x⟩⟨x|ψ⟩=∫dp |p⟩⟨p|ψ⟩
状態は固有状態の重ね合わせで書ける
x|x⟩=x|x⟩
p|p⟩=p|p⟩
20
ψ(x) = ⟨x|ψ⟩確率振幅
射影測定
|ψ⟩=∫dx |x⟩⟨x|ψ⟩
|x⟩
Pr(x) = |⟨x|ψ⟩|2
フォン-ノイマンモデル
H=
x
PA: (
x,
p), B: (
X,
P)
22
測定対象 測定装置
時間発展
|Ψ(0)⟩=|ψA⟩|ψB⟩
|Ψ(t)⟩=
U(t)|Ψ(0)⟩
U(t) = e−i
Ht
以下でtは1で考える。
23
間接測定
M(X,t) = ⟨X|
U(t)|ψB⟩
|Ψ(t)⟩=∫dX |X⟩⟨X|
U|ψA⟩|ψB⟩
=∫dX
M(X,t)|ψA⟩|X⟩
クラウス演算⼦
24
間接測定
Pr(X) = ⟨Ψ(t)|
X|Ψ(t)⟩
=⟨Ψ(t)|
M†
M|Ψ(t)⟩=⟨Ψ(t)|
E|Ψ(t)⟩
EPOVM演算⼦
観測装置の位置を射影測定すると確率Pr(X)でXが測定され、
測定後の状態は次のようになる。
M(X,t)|ψA⟩|X⟩
∫dX
M(X,t)|ψA⟩|X⟩
25
相対状態 Everett
(1957)
|Ψ⟩ =e−i
x
P|ψA⟩|ψB⟩
=∫dxe−i
x
P|x⟩⟨x|ψA⟩|ψB⟩
=∫dxe−ix
P|x⟩⟨x|ψA⟩|ψB⟩
=∫dxψA(x)|x⟩e−ix
P|ψB⟩
=∫dxψA(x)|x⟩|ψB[x]⟩|ψB[x]⟩=e−ix
P|ψB⟩
26
相対状態
|Ψ⟩ =∫dxψA(x)|x⟩|ψB[x]⟩
測定装置は測定対象の位置をxと記録している。
測定装置は測定対象の位置をxと知っている。
27
相対状態
|Ψ⟩ =∫dPψB(P)|ψA[P]⟩|P⟩
測定対象は測定装置の運動量をPと記録している。
測定対象は測定装置の運動量をPと知っている。
28
測定装置は測定対象の位置をxと知っている。
ことと
測定対象は測定装置の運動量をPと知っている。
は同じ相対状態としては成⽴していない。
29
量子力学の相対状態の帰結
KvN形式
Koopman(1931), von Neumann (1932)
30
KvN形式
(
x,
p,
πx,
πp)
31
KvN形式
(
x,
p,
πx,
πp)
[
x,
p] = 0, [
x,
πx] = i, [
p,
πp] = i
32
[
x,
p] = iℏ
量⼦⼒学の演算⼦形式
古典⼒学の演算⼦形式
(
x,
p)
KvN形式
(
x,
p,
πx,
πp)
H=−∂H(
x,
p)
∂
p
πx+∂H(
x,
p)
∂
x
πp
[
x,
p] = 0, [
x,
πx] = i, [
p,
πp] = i
33
(
x,
p,
πx,
πp)
[
x,
p] = 0, [
x,
πx] = i, [
p,
πp] = i
古典⼒学の演算⼦形式
KvN形式
(
x,
p,
πx,
πp)
[
x,
p] = 0, [
x,
πx] = i, [
p,
πp] = i
i∂
∂t|ψ⟩=
H|ψ⟩
34
(
x,
p,
πx,
πp)
H=−∂H(
x,
p)
∂
p
πx+∂H(
x,
p)
∂
x
πp
[
x,
p] = 0, [
x,
πx] = i, [
p,
πp] = i
(
x,
p,
πx,
πp)
[
x,
p] = 0, [
x,
πx] = i, [
p,
πp] = i
古典⼒学の演算⼦形式
⾃由粒⼦
H=−
p
m
πxi∂
∂t|ψ⟩=−
p
m
πx|ψ⟩
i∂
∂t⟨πx,p|ψ⟩=−p
mπx⟨πx,p|ψ⟩
⟨πx,p|ψ⟩=Aeiπx
p
mt
⟨x,p|ψ⟩=∫dπxdp′ ⟨x,p|πx,p′ ⟩⟨πx,p|ψ⟩
=Aδ(x−p
mt)
35
KvN形式の測定理論
A: (
x,
p,
πx,
πp)
B: (
X,
P,
πX,
πP)
H(
x,
p,
X,
P) =
x
P
Katagiri(2018)
=
P
πp−
x
πX
H=−∂H
∂
p
πx+∂H
∂
x
πp−∂H
∂
P
πX+∂H
∂
X
πP
36
観測対象
観測装置
時間発展
|Ψ(0)⟩=|ψA⟩|ψB⟩
|Ψ(t)⟩=
U(t)|Ψ(0)⟩
U(t) = e−i
Ht
以下でtは1で考える。
37
古典⼒学のフォン・ノイマンモデル
の時間発展
|Ψ⟩ =e−i(
P
πp−
x
πX)|ψA⟩|ψB⟩
=∫dxdpe−i(
P
πp−x
πX)|x,p⟩|ψB⟩ψA(x,p)
=∫dxdpdXdPe−i(P
πp−x
πX)|x,p⟩|X,P⟩ψA(x,p)ψB(X,P)
=∫dxdpdXdPe−i(P
πp−x
πX)|x,p⟩|X,P⟩ψA(x,p)ψB(X,P)
=∫dxdpdXdP |x,p[−P]⟩|X[x], P⟩ψA(x,p)ψB(X,P)
38
相対状態
|Ψ⟩ =∫dxdpdXdP |x,p[−P]⟩|X[x], P⟩ψA(x,p)ψB(X,P)
測定装置は測定対象の位置をxと記録している。
測定装置は測定対象の位置をxと知ってい
る。
測定対象は測定装置の運動量をPと記録している。
測定対象は測定装置の運動量をPと知っている。
⼀つの相対状態で成⽴している。
39
クラウス演算⼦の⽐較
QM
M(X,t) = ∫dxψB(X−x)|x⟩⟨x|
CM
M(X,P,t) = ∫dxdpψB(X−x,P)|x,p⟩⟨x,p+P|
40
測定誤差と測定の反作⽤
N(t) =
X(t)−
x
D(t) =
p(t)−
p
誤差演算⼦
反作⽤演算⼦
⟨Ψ(t)|
N|Ψ(t)⟩= 0 誤差の不偏性条件 ⟨ΔX(t)2⟩=⟨
N2⟩+⟨Δx2⟩
⟨Ψ(t)|
D|Ψ(t)⟩= 0 反作⽤の不偏性条件 ⟨Δp(t)2⟩=⟨
D2⟩+⟨Δp2⟩
測定誤差と測定の反作⽤
N=
X+ (αt−1)
x
D=−αt
P
量⼦⼒学 古典⼒学
N=
X+ (αt−1)
x
D=−αt
P
同じ
⼩澤の不等式
[
N,
D] + [
X,
p]+[
x,
p(t)] = [
x,
p]
⟨[
N,
D] + [
X,
p]+[
x,
p(t)]⟩≥ℏ
σ(
D)σ(
N)≥1
2⟨[
D,
N]⟩
ϵ=⟨
N2⟩ ≥ σ(
N)
η=⟨
D2⟩ ≥ σ(
D)
σ(
A)2=⟨
A2⟩ − ⟨
A⟩2
[
N,
D] = [
X,
p(t)] −[
X,
p]−[
x,
p(t)] + [
x,
p]
ϵη ≥ ⟨[
N,
D]⟩/2
ϵη +1
2|⟨[
N,
p]⟩+⟨[
x,
D]⟩|≥ℏ
2
ϵη +ϵσ(
p)+σ(
x)η≥ℏ
2Ozawa(2003)
古典⼒学の⼩澤の不等式
[
N,
D] + [
X,
p]+[
x,
p(t)] = [
x,
p]
⟨[
N,
D] + [
X,
p]+[
x,
p(t)]⟩= 0
σ(
D)σ(
N)≥1
2⟨[
D,
N]⟩
ϵ=⟨
N2⟩ ≥ σ(
N)
η=⟨
D2⟩ ≥ σ(
D)
σ(
A)2=⟨
A2⟩ − ⟨
A⟩2
[
N,
D] = [
X,
p(t)] −[
X,
p]−[
x,
p(t)] + [
x,
p]
ϵη ≥ ⟨[
N,
D]⟩/2
ϵη +1
2|⟨[
N,
p]⟩+⟨[
x,
D]⟩|≥0
ϵη +ϵσ(
p)+σ(
x)η≥0この式は自明に成立
してしまう。
フォン-ノイマンの測定モデル
古典力学の小澤の不等式
x(t) =
x,
p(t) =
p−t
P
X(t) =
X+t
x,
P(t) =
P,
πx(t) =
πx+t
πX,
πp(t) =
πp,
πX(t) =
πX,
πP(t) =
πP−t
πp.
⟨x,p,X,P|
N|x,p,X,P⟩=X+ (t−1)x
⟨x,p,X,P|
D|x,p,X,P⟩=−tP
ϵ=⟨
N2⟩=|X+ (t−1)x|
η=⟨
D2⟩=|tP |
σ(p) = σ(x)=0
ϵη +ϵσ(p)+ησ(x)=|X+ (t−1)x| | tP |
→XP (t= 1)
X= 0 or P= 0
で不等式は等号を満たす。
このモデルでは
量子力学との関係
xℏ= (
x−1
2ℏ
πp)
pℏ= (
p+1
2ℏ
πx)
[
xh,
pℏ] = iℏ.
フォン-ノイマンの一意性定理より
量子力学と一致
i∂
∂t|ψ⟩=1
ℏH|ψ⟩+1
2(−∂H
∂x
πp+∂H
∂p
πp)
−ℏ
2⋅22(∂2H
∂x2
π2
p+∂2H
∂p2
π2
x+ 2 ∂2H
∂x∂p
πx
πp)+ …
位相空間上の確率振幅
による量子力学
(擬確率ではない)
のある不確定性関係
π
πx=−2
ℏ(
pℏ−
p)
πp=2
ℏ(
xℏ−
x)
古典的観測量と量子論的観測量の差
として定義可能
のある不確定性関係
π
Dπx=
πx(t)−
πx
ϵηπx+ϵσ(
πx) + σ(
x)ηπx≥1
2
ηπx=⟨
Dπx⟩
πを観測できれば古典力学において
非自明な小澤の不等式が成り立つ
QM
CM(KvN)
物理量
状態
波動関数ψ(x)
波動関数ψ(x,p)
測定
量⼦測定理論
古典測定理論
相対状態
測定装置が測定対象の位置を知っている
ことと、測定対象が測定装置の運動量を
知っていることは別の相対状態
測定装置が測定対象の位置を知っている
ことと、測定対象が測定装置の運動量を
知っていることは同じ相対状態
結論
x,
p
x,
p,
πx,
πp
49
議論
•古典物理の思考実験の形式的な定式化
•古典-量⼦の混合系での測定理論
•有限温度への拡張
•⾏動経済学、量⼦意思決定理論への応⽤
50
KvN形式の量⼦⼒学
Katagiri 2020
iℏ∂
∂t|ψ⟩=H(
x− ℏ
πp
2
,
p+ℏ
πx
2)|ψ⟩
i∂
∂t|ψ⟩=1
ℏH(
x
2
,
p
2)|ψ⟩+1
2(−∂H
∂x
πp+∂H
∂p
πx)|ψ⟩
−ℏ
2 2 (+∂2H
∂x2
π2
p+∂2H
∂p2
π2
x+ 2 ∂2H
∂x∂p
πx
πp)|ψ⟩+ℏ2…