Content uploaded by Dmitrii Tverdyi
Author content
All content in this area was uploaded by Dmitrii Tverdyi on Oct 24, 2024
Content may be subject to copyright.
ИТОГИ НАУКИ И ТЕХНИКИ.
Современная математика и ее приложения.
Тематические обзоры.
Том 154 (2018). С. 105–112
УДК 517.9
ЭРЕДИТАРНОЕ УРАВНЕНИЕ РИККАТИ
С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ПЕРЕМЕННОГО ПОРЯДКА
c
2018 г. Д. А. ТВЕРДЫЙ
Аннотация. Рассматривается дифференциальное уравнение Риккати с дробной производной пе-
ременного порядка. Введение производной дробного переменного порядка в исходное уравнение
определяет свойство среды — эффект памяти, или эредитарность, который заключается в зави-
симости текущего состояния динамической системы от предыдущих ее состояний. Разработана
компьютерная программа NSFDRE (сокращение от Numerical Solution of a Fractional-Differential
Riccati Equation) на языке С++, которая позволяет получить численное решение задачи Ко-
ши для дифференциального уравнения Риккати с производной переменного дробного порядка.
Численный алгоритм, реализованный в программе, основан на аппроксимации производной пе-
ременного порядка конечными разностями и решении соответствующей алгебраической нели-
нейной системы уравнений. Были получены новые режимы распределений, которые зависят от
конкретного вида переменного порядка дробной производной. Показано, что некоторые кривые
распределений характерны для других эредитарных динамических систем.
Ключевые слова:уравнение Риккати, дробная производная, эредитарность, численные методы,
дифференциальное уравнение.
AMS Subject Classification:34K37
1. Введение. Дифференциальные уравнения дробных порядков представляют большой ин-
терес для исследования, поскольку часто находят свое применение во многих областях
науки (см. [11, 15]). Уравнения с дробными производными принадлежат классу интегро-
дифференциальных уравнений и называются по терминологии В. Вольтерра эредитарными;
это означает наличие в изучаемом процессе эффекта памяти и характеризуется ядром интегро-
дифференциального уравнения — функцией памяти. Если функция памяти является степенной,
то естественным образом получаются уравнения с дробной производной, которые изучаются в
рамках дробного исчисления (см. [5]). Одним из таких уравнений является эредитарное уравнение
Риккати (см. [9, 10]).
В [9,10] автор исследовал эредитарное уравнение Риккати численно с помощью аппроксимации
дробной производной конечной разностью. Далее реализация численного алгоритма сводилась к
решению системы квадратных уравнений. Считая порядок дробной производной функцией време-
ни, автор построил семейство расчетных кривых и фазовые траектории, получил новые режимы
распределений, которые зависят от конкретного вида переменного порядка дробной производной,
а также показал, что некоторые кривые распределений характерны для других эредитарных ди-
намических систем. Также был проведен анализ погрешности численного метода с помощью
правила Рунге.
Для автоматизации расчетов была разработана программа NSFDRE на языке C++ для чис-
ленного решения уравнения Риккати с дробной производной переменного порядка, описанная в
настоящей работе. В программе реализован численный алгоритм и предусмотрена возможность
визуализации результатов расчета.
Автор выражает признательность своему научному руководителю Р. И. Паровику за ценные советы при пла-
нировании исследования и подготовке статьи.
ISSN 0233–6723 c
ВИНИТИ РАН, 2018
106 Д. А. ТВЕРДЫЙ
2. Постановка задачи и метод решения. Рассмотрим следующее эредитарное уравнение
(см. [11]):
t
Z
0
K(t−τ) ˙u(τ)dτ +u2(t)−1 = 0,(1)
где K(t−τ)— функция памяти, t∈[0, T ],T > 0, — время моделирования, u(t)— функция ре-
шения. Уравнение (1) является аналогом классического уравнения Рикккати, но оно учитывает
эффект памяти (эредитарности).
Если функция памяти K(t−τ)является функцией Хевисайда, то можно говорить, что процесс
обладает полной памятью; если это функция Дирака, то память отсутствует. В настоящей работе
будем рассматривать степенную функцию памяти:
K(t−τ) = (t−τ)−α(t)
Γ(1 −α(t)) ,0< α(t)<1,(2)
где Γ(1 −α(t)) — гамма-функция Эйлера. Многие естественные процессы имеют степенные зако-
ны распределения. Процессы с функцией памяти вида (2) называются процессами с частичной
потерей памяти и требуют особого внимания в их изучении, поскольку в большинстве случаев
потеря памяти приводит к появлению фрактальности (см. [12]).
Подставив функцию памяти (2) в уравнение (1), получим следующее интегро-дифференциальное
уравнение, называемое эредитарным уравнением Риккати:
1
Γ(1 −α(t))
t
Z
0
˙u(τ)
(t−τ)α(t)dτ +u2(t)−1 = 0.(3)
В уравнении (3) введем обозначение
∂α(t)
0tu(τ) = 1
Γ(1 −α(t))
t
Z
0
˙u(τ)
(t−τ)α(t)dτ (4)
для обобщенного дробного оператора Герасимова—Капуто.
Отметим, что существуют другие определения производной дробного переменного порядков
(см. [7]). Мы остановимся на определении (4), так как для уравнения (3) в компактной форме
∂α(t)
0tu(τ) + u2(t)−1 = 0 (5)
справедливо начальное условие
u(0) = ρ, (6)
где ρ= const.
Таким образом, задача для эредитарного уравнения Риккати в данном случае сводится к задаче
Коши (5), (6).
Заметим, что при α(t) = const получается задача Коши, рассмотренная в [16], а при α(t) = 1 —
классическая задача Коши для уравнения Риккати (5).
Не известно, имеет ли задача Коши (5), (6) точное решение в общем случае; попытаемся при-
менить для ее решения численные методы. Разбив временной отрезок t∈[0, T ]на Nравных
частей, получим сетку tn=nτ,n= 0,...,N −1, где τ=T/N — шаг дискретизации, и обозначим
через u(tn) = unсеточную функция решения. Аппроксимацию дробной производной (4) проведем
согласно [8, 14] в следующем виде:
∂α(t)
0tu(τ)≈σαn,τ
n
X
j=1
ωj,αn(un−j+1 −un−j), n = 1,...,N −1,(7)
где
σαn,τ =τ−αn
Γ(2 −αn), ωj,αn=j1−αn−(j−1)1−αn.
Можно показать, что аппроксимация (7) имеет первый порядок.
ЭРЕДИТАРНОЕ УРАВНЕНИЕ РИККАТИ С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ 107
Интегро-дифференциальную задачу Коши (5), (6) можно переписать в разностной форме:
σαn,τ
n
X
j=1
ωj,αnun−j+1 −un−j= 1 −u2
n, u0=ρ. (8)
В результате получим систему нелинейных алгебраических уравнений, алгоритм решения кото-
рой был реализован в программе NSFDRE.
Решение полученной системы проведем особым образом, суть которого заключается в том, что-
бы свести вычисление значения функции в каждом узле сетки к решению квадратного уравнения
вида
ax2+bx +c= 0.(9)
Выведем формулы, по которым вычисляются коэффициенты квадратных уравнений. Для этого
положим n= 1, т.е. рассмотрим состояние системы в первом узле расчетной сетки. В этом случае
задача Коши (8) примет вид
σα1,τ u1−σα1,τ u0−1 + u2
1= 0.(10)
Чтобы проследить динамику, рассмотрим второй узел, т.е. n= 2:
σα2,τ u2−2σα2,τ u1+2σα2,τ u1
2α2−2σα2,τ u1
2α2+σα2,τ u0−1 + u2
2= 0.(11)
Из уравнений (10) и (11) видно, что коэффициенты квадратного уравнения (9) имеют вид
a= 1, b =σαn,τ
аcполучается после подстановки известных значений.
В программной реализации для нахождения cположим un= 0 на каждом соответствующем
шаге n. В результате на каждом шаге n= 0,...,N −1, будем получать два корня, но значению
функции в узле сетки будет соответствовать только положительный корень.
Отметим, что метод не тривиален. Можно было бы использовать для численного решения ме-
тод Ньютона или аппроксимации Паде, как, например, в [16]. Но указанные методы требуют
больше машинного времени и памяти для решения; это становится заметно, если шаг дискре-
тизации τв численном эксперименте брать много меньше, чем в экспериментах, рассмотренных
далее.
3. Результаты моделирования. Рассмотрим следующие примеры численного решения зада-
чи Коши (5), (6) в зависимости от различных представлений функции α(t)и значений управля-
ющих параметров.
Пример 1. Рассмотрим случай, изученный в [16], когда α(t) = const. Значения параметров
задачи выберем следующим образом: T= 3,N= 1000,τ= 0,003,ρ= 0,2. Построим на одном
графике несколько расчетных кривых, соответствующих различным значениям α(t).
На рис. 1 показано семейство кривых, соответствующих решению задачи Коши (5), (6) в зави-
симости от значений дробного параметра: α(t) = 1 (кривая 1 представляет классическое решение
уравнения Риккати), α(t) = 0,9(кривая 2), α(t) = 0,7(кривая 3), α(t) = 0,5(кривая 4), α(t) = 0,3
(кривая 5), α(t) = 0,1(кривая 6).
Замечено, что уменьшение значения дробного параметра α(t)в исходном уравнении приво-
дит к перестройке расчетных кривых численных решений задачи Коши (5), (6). Это связано с
тем, что наличие памяти в рассматриваемом процессе приводит к так называемым «тяжелым
затягивающимся хвостам» в кривых распределения полученных решений, например, кривая 5 из
рис. 1.
Среды, обладающие эффектами памяти, иногда называют фрактальными; в этом случае дроб-
ный параметр α(t)связан с фрактальной размерностью среды. Поэтому исследование параметра
α(t)имеет важное значение для различных приложений, где изучаются свойства сред или мате-
риалов.
108 Д. А. ТВЕРДЫЙ
Рис. 1. Семейство расчетных кривых, полученных из решения системы (8) для различных зна-
чений дробного параметра α.
Рис. 2. Поведение α(t).
Пример 2. Пусть случайная величина α(t)∈[0,1] распределена в соответствии непрерыв-
ным стандартным равномерным законом распределения с математическим ожиданием µ= 0,5
(см. рис. 2). Для численного решения задачи системы (8) значения параметров возьмем следую-
щими: T= 20,N= 300,ρ= 0. Результат изображен на рис. 3 (случайная функция решения) и
рис. 4 (хаотический режим на фазовой плоскости).
ЭРЕДИТАРНОЕ УРАВНЕНИЕ РИККАТИ С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ 109
Рис. 3. Результаты моделирования для примера 2. Расчетные кривые: 1 — классическое решение
α(t) = 1; 2 — кривая численного решения системы (8).
Рис. 4. Результаты моделирования для примера 2. Фазовая траектория.
Пример 3. Теперь рассмотрим пример, когда α(t)— периодическая функция. Пусть α(t) =
1
2h(1 −δ−θ) cos(µt) + (θ−δ+φ)i. Положив значения параметров равными δ= 0,θ= 0,05,µ= 9,
φ= 1,T= 20,N= 1000,ρ= 0, получим результат, изображенный на рис. 5 и 6.
Пользователь может выбрать некоторые функциональные зависимости для переменного дроб-
ного порядка и в зависимости от этого построить кривые распределения численного решения,
фазовую траекторию, а также наблюдать погрешность метода на каждом шаге вычислений. В
частности рис. 5 и 6 получены в программе NSFDRE.
110 Д. А. ТВЕРДЫЙ
Рис. 5. Результаты моделирования для примера 3. Расчетные кривые: гладкая кривая — класси-
ческое решение α(t) = 1; осциллирующая кривая — численное решение системы (8).
Рис. 6. Результаты моделирования для примера 3. Фазовая траектория.
Из результатов моделирования, приведенных на рис. 5, можно сделать следующий вывод: если
выбрать параметр α(t)в виде периодической функции (в рассмотренном случае — тригономет-
рической), то решение задачи Коши (5), (6) описывает колебательный режим. Колебательный
режим, приведенный на рис. 6 (красная кривая), похож на один из колебательных режимов ав-
тогенератора Ван дер Поля (см. [1, 3, 6]); это представляет большой практический интерес при
моделировании нелинейных осцилляторов. Из рис. 5 и 6 видно, что колебания происходят снача-
ла с возрастанием амплитуды, затем амплитуда устанавливается. Фазовая траектория выходит
на предельный цикл, некоторую стабильную траекторию. Этот пример показывает, что с по-
мощью эредитарного уравнения Риккати с переменным дробным порядком производной можно
моделировать различные колебательные режимы несмотря на то, что 0< α(t)<1.
ЭРЕДИТАРНОЕ УРАВНЕНИЕ РИККАТИ С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ 111
Таблица 1. Результаты исследования численной схемы на ошибку и точность.
N τ =T/M ǫ p
Пример 1. α= 0,9999 Время расчета T= 3
65 0,04615 0,0080057826 1,569552780
131 0,02290 0,0040108135 1,461309925
263 0,01141 0,0020088245 1,388207803
527 0,005693 0,0010069838 1,335141320
1055 0,002844 0,0005117944 1,292511738
2111 0,001421 0,0002509894 1,264446995
Пример 2. α— случайная функция
65 0,3077 — —
131 0,1527 0,2377066800 0,7644291134
263 0,07605 0,2097918140 0,6061273146
527 0,03795 0,2041156020 0,4857356500
1055 0,01896 0,2370777185 0,3629666165
2111 0,00947 0,2733792145 0,2783524258
Пример 3. α— периодическая функция
65 0,3077 — —
131 0,1527 0,157214319 0,9843999572
263 0,07605 0,093047735 0,9216824185
527 0,03795 0,047894435 0,9288660948
1055 0,01896 0,024516910 0,9351487980
2111 0,00947 0,01227877 0,9443462189
4. Погрешность метода и расчетная точность. Рассмотрим изменение абсолютной ошиб-
ки ǫи расчетный порядок точности p=ln(|ǫ|)
ln(τ)схемы (8) при изменении шага τ. Для вычисления
абсолютной ошибки ǫ, в примере 1 будем рассматривать разность между точным и численным
решением. В примерах 2 и 3 будем использовать правило Рунге (см. [2]):
ǫ= max
i|ui,τ −ui,τ /2|
2papr−1,(12)
где i= 1,...,N. Априорную точность papr решения в данном методе положим равной 1. Это
следует из общего порядка аппроксимации схемы, задаваемого в граничных узлах сетки.
Из табл. 1 для примеров 1 и 3 следует, что абсолютная ошибка ǫуменьшается примерно в два
раза при уменьшении шага τтакже в два раза. В обоих случаях ошибка уменьшается пропорцио-
нально уменьшению шага. Однако в примере 2 имеем ǫуменьшается лишь до значений N≈500,
112 Д. А. ТВЕРДЫЙ
после чего начинает возрастать (см. табл. 1). По-видимому, это связано с тем фактом, что α(t)
имеет случайное распределение.
Расчетный порядок точности pв первом случае ожидаемо стремится к 1. Однако во втором
случае напротив, порядок точности падает с ростом N; вероятно, как и для абсолютной ошибке,
это связано со случайностью распределения. В третьем же случае порядок точности при малых
Nтакже падает, но не столь резко, однако при N > 263 вновь начинает расти, и, вероятно,
стремится к 1. Возможно, такое поведение в примерах 2 и 3 объясняется свойствами логарифма
при вычислении p.
5. Заключение. Введение дополнительного дробного параметра в уравнение Риккати при-
водит к появлению новых кривых распределений, которые характеризуют решение задачи Ко-
ши (5), (6), вследствие чего становится возможным моделировать колебательные режимы и стро-
ить модели различных сигналов. Анализ абсолютной ошибки и расчетного порядка точности для
примеров 1 и 3 позволяет предположить, что численная схема (8) применима к данной задаче.
Возможное продолжение исследований эредитарного уравнения Риккати связано с приклад-
ными задачами, например в экономике (см. [4,13]), а также в решении обратной задачи оценки
параметра α(t)по известным экспериментальным данным.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Баранов С. В., Кузнецов С. П., Пономаренко В. И. Хаос в фазовой динамике осциллятора Ван дер
Поля с модулированной добротностью и дополнительной запаздывающей обратной связью// Изв.
вузов. Прикл. нелин. динамика. — 2010. — 18, № 1. — С. 12–23.
2. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 2. — М.-Л., 1962.
3. Кумакшев С. А. Исследование регулярных и релаксационных колебаний осцилляторов Рэлея и
Ван дер Поля// Вестн. Нижегород. ун-та им. Н. И. Лобачевского. — 2011. — № 4-2. — С. 203–205.
4. Макаров Д. В., Паровик Р. И. Обобщенная математическая модель Дубовского для прогнозирования
экономических кризисов// Науч.-техн. вестн. Поволжья. — 2016. — № 1. — С. 74–77.
5. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. — М.: Физматлит, 2003.
6. Новикова Е. Р. Осциллятор Ван дер Поля—Дуффинга с эффектом эредитарности// Вестн. КРАУНЦ.
Физ.-мат. науки. — 2017. — № 2 (18). — С. 65–75.
7. Паровик Р. И. Математическое моделирование линейных эредитарных осцилляторов. —
Петропавловск-Камчатский: КамГУ имени Витуса Беринга, 2015.
8. Паровик Р. И. О численном решении уравнения фрактального осциллятора с производной дробного
переменного порядка от времени// Вестн. КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. — 2014. — № 1 (8). — С. 60—65.
9. Твердый Д. А. Уравнение Риккати с производной дробного переменного порядка// Междунар. студ.
науч. вестн. — 2017. — № 2. — С. 42—42.
10. Твердый Д. А. Уравнение Риккати с переменной эредитарностью// Вестн. КРАУНЦ. Физ.-мат. нау-
ки. — 2017. — № 1 (17). — С. 44—53.
11. Учайкин В. В. Метод дробных производных. — Ульяновск: Артишок, 2008.
12. Федер Е. Фракталы. — М.: Мир, 1991.
13. Makarov D. V., Parovik R. I. Modeling of the economic cycles using the theory of fractional calculus//
J. Internet Banking Commerce. — 2016. — 21, № S6. — С. 1.
14. Parovik R. I. Explicit finite-difference scheme for the numerical solution of the model equation of nonlinear
hereditary oscillator with variable-order fractional derivatives// Arch. Control Sci. — 2016. — 26, № 3. —
С. 429–435.
15. Petras I. Fractional-Order Nonlinear Systems: Modeling, Analysis and Simulation. — Springer, 2011.
16. Sweilam N. H., Khader M. M., Mahdy A. M. S. Numerical studies for solving fractional Riccati differential
equation// Appl. Appl. Math. — 2012. — 7, № 2. — С. 595—608.
Д. А. Твердый
Камчатский государственный университет им. Витуса Беринга, Петропавловск-Камчатский
E-mail: diplomat95@mail.ru
