Content uploaded by Dmitry Pogorelov
Author content
All content in this area was uploaded by Dmitry Pogorelov on Mar 31, 2024
Content may be subject to copyright.
XIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике
Санкт-Петербург, 21-25 августа 2023 года
425
МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГИХ ТЕЛ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АБСОЛЮТНЫХ
УЗЛОВЫХ КООРДИНАТ В ДИНАМИКЕ СИСТЕМ ТЕЛ
Погорелов Д.Ю.1, Родиков А.Н.2
1 - Брянский государственный технический университет, Брянск, Россия
2 - ООО "Вычислительная механика", Брянск, Россия
pogorelov@umlab.ru
Аннотация. Рассмотрен метод моделирования динамики упругих тел, допускающих произвольное движение
в пространстве, подверженных большим упругим перемещениям и малым деформациям. Приведены уравнения
движения в абсолютных узловых координатах, выведенные методом конечных элементов с использованием
подхода Крейга-Бэмптона. Метод предназначен для моделирования упругих трехмерных тел, оболочек и стержней,
входящих в систему абсолютно твердых и деформируемых тел. В качестве практического использования
приведены примеры моделирования динамики автомобильной шины, пневматической рессоры, механических
пружин.
Введение
Моделирование технических систем методами динамики систем тел часто требует включения упругих
тел в состав модели. Для этой цели обычно применяется метод Крейга-Бэмптона [1], позволяющий построить
уравнения движения упругого тела, совершающего произвольное движение. Для данного метода характерно
эффективное снижение числа степеней свободы, однако не допускаются большие упругие перемещения тел и,
как следствие, невозможен учет важных нелинейных эффектов, таких как потеря устойчивости, зависимость
собственных частот от нагруженности и т.д. Альтернативный подход предлагает метод абсолютных узловых
координат (ANCF) [2], который снимает указанные недостатки. Использование абсолютных координат
позволяет в явном виде и безытерационно вывести уравнения движения упругого тела с учетом как
произвольного пространственного движения, так и больших упругих перемещений. Типичными примерами
являются лента транспортера, бурильная колонна в криволинейной скважине, шина автомобиля. Примеры
стержневых, пластинчатых и оболочечных конечных элементов в формализме ANCF приведены в работах
[3–6]. В работе [7] нами предложен вариант применения ANCF, отличающийся от традиционного способом
введения абсолютных координат и методикой построения уравнений. В качестве координат рассматриваются
три декартовы координаты, определяющие положение узла, и три угла ориентации связанной с узлом системы
координат. Для вывода явных уравнений движения используется подход Крейга-Бэмптона, примененный не ко
всему упругому телу, а к каждому элементу конечноэлементной сетки.
В данной работе кратко рассмотрены уравнения движения упругого тела и приведены примеры
динамических моделей автомобильной шины, баллона пневморессоры и механических пружин различной
формы.
Уравнения движения отдельного конечного элемента в абсолютных координатах
В соответствии с классическим методом конечных элементов упругое тело предварительно разбивается
на элементы, имеющие различную геометрическую форму. В нашем случае это могут быть объемные
восьмиузловые элементы (для моделирования упругих тел), четырехугольники или треугольники (для оболочки
или пластины), отрезки (для упругих стержней). Рассмотрим отдельный конечный элемент, имеющий n узлов.
С каждым узлом свяжем систему координат (СК), положение которой относительно инерциальной СК
определяется радиусом-вектором ¯0 и матрицей направляющих косинусов %#0- g $ D- Ç - ±. В соответствии с
методом Крейга-Бэмптона свяжем с конечным элементом сопутствующую систему координат (СКf),
разделяющую движение материала на произвольное пространственное движение как абсолютно твердого тела
вместе с СКf и малое относительное движение за счет упругих деформаций. Введем вектор упругого смещения
материала +&´( относительно СКf, где ´ – вектор, определяющие положение точки материала относительно
СКf в недеформированном состоянии. Абсолютное движение СКf определяется радиусом-вектором ¯$ и
матрицей направляющих косинусов %#$, которые должны быть выражены через положения СК узлов ¯0- %#0.
Для вывода кинематических уравнений и построения уравнений движения введем функции формы,
аппроксимирующие упругие смещения материала относительно СКf. Выбор форм зависит от типа конечного
элемента и в общем случае может быть записан как матрица–функция Î&´(, размером ^ × `±. Матрица
состоит из 2n блоков Îi0&´(- ÎU0 &´( размером ^ × ^ каждый. Блоки соответствуют упругим перемещениям
материала для поступательных (Îi0) и вращательных (ÎU0) степеней свободы узла i
Î&´( $ 6Îi%&´(CÎU%&´( ÇCÎi(&´(CÎU(&´(8H
XIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике
Санкт-Петербург, 21-25 августа 2023 года
426
Обозначим Á¯0$- Áj0$ смещение начала отсчета и вектор поворота СК узла i относительно СКf за счет упругих
деформаций; данные величины предполагаются малыми. С использованием функций формы упругое смещение
отдельной точки материала относительно СКf может быть выражено через перемещения узлов
+&´($M6Îi0&´(Á¯0$ )ÎU0&´(Áj0$8
(
01% $Î&´(Á„-C
Á„$6Á¯%$
6Áj%$
6Ç Á¯($
6Áj($
68*H
Узловые перемещения Á„ включают движения конечного элемента как абсолютно твердого тела. Для
их исключения выполняется линейная замена координат Á¯0$ $Ai0Ád- Áj0$ $AU0Ád, Á„$AÁd, где Ád –
матрица-столбец упругих координат размером 6(n-1). Для вывода этой замены используются матрицы масс и
жесткостей конечного элемента, а также процедура расчета собственных частот и форм колебаний конечного
элемента [7].
Уравнения движения свободного конечного элемента получаются с использованием принципа
возможных перемещений [8]. В переменных Крейга-Бэмптона, соответствующих положению СКf и
относительным упругим перемещениям Ád, уравнения имеют следующий вид, [7]:
ŽÂ$EŽ´l˜Ì$)®inAÁdV$E³…$³…$´˜-
Ž´l˜Â$)5Ì$)®UnAÁdV$E³…$5³$-
A*®in
*Â$)A*®Un
*Ì$)ÁdV$EÒÁdEA*€6³$8H
Здесь Ž-5 – масса и матрица тензора инерции конечного элемента, ´˜ – радиус – вектор центра масс
относительно СКf, Â$-Ì$ – ускорение начала отсчета и угловое ускорение СКf, Ò$dJTg6³%
'Ç ³cX(+%Y
'8 –
диагональная матрица квадратов собственных частот конечного элемента,
®in $%#$ ›Î&´(cŽ-®Un $%#$ ›´lÎ&´(cŽ-€6³$8$·³$
*%#$&›6´Î=*&´(E6Î=*&´(´8𝐸8cŽ(%$#³$¸H
Для приведения к окончательному виду в уравнениях следует перейти от координат Крейга-Бэмптона к
абсолютным узловым координатам. Для этого используются кинематические соотношения
¯0$¯$)%#$6j$8&´0)Ai0Ád(-%#0&j0($%#$6j$8%$0&AU0Ád(-g$DDZH
Решение этих нелинейных уравнений позволяет получить значения координат Крейга-Бэмптона при заданных
значениях абсолютных координат узлов. Две производные по времени от уравнений дают связь между
скоростями и ускорениями и позволяют преобразовать уравнения движения свободного конечного элемента к
абсолютным узловым координатам.
Для вывода полных уравнений движения упругого тела следует сформировать уравнения для каждого
элемента и применить стандартную процедуру метода конечных элементов, сводящуюся к сложению и
позиционированию отдельных блоков составляющих уравнений в соответствии с топологией сетки.
Моделирование динамики автомобильной шины
Рис. 1. Конечноэлементная модель шины (слева). Нормальные силы контакта протектора с опорной поверхностью (справа).
Одним из основных приложений разработанного метода является моделирование динамики катящейся
упругой шины, рис. 1. Шина моделируется конечными элементами типа «плоская оболочка» трапецеидальной
формы, построенными по прикладной теории многослойных пластин [9]. Контактное взаимодействие
протектора с опорной поверхностью моделируется с использованием «щеточного» подхода. Точками на рис.1
отмечены концы безынерционных упруго-диссипативных балочных силовых элементов (щетинок), входящих в
контактное взаимодействие с поверхностью дороги.
XIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике
Санкт-Петербург, 21-25 августа 2023 года
427
Моделирование динамики баллона пневморессоры
Другим перспективным направлением является моделирование пневморессор транспортных средств
(грузовых автомобилей, пассажирских железнодорожных вагонов) с учетом упругости баллона, рис. 2.
Использование абсолютных узловых координат не только позволяет учитывать большие упругие перемещения
материала баллона при движении транспортного средства, но и с высокой точностью моделировать нелинейные
эффекты, в частности, потерю устойчивости оболочки.
Рис. 2. Конечноэлементная модель баллона пневморессоры (слева). Потеря устойчивости при кручении (справа).
Моделирование пружин
Динамическое поведение механических пружин различной формы – цилиндрической, конической,
гиперболической и т.д. достаточно точно описывается моделью гибкого стержня [10]. В процессе своей работы
пружины подвержены большим перемещениям, которые вызывают изменение жесткостей и потерю
устойчивости, если пружина гибкая. Разработанный стержневой конечный элемент позволяет моделировать
описанные эффекты. Следует отметить, что большинство аналитических решений относится к цилиндрическим
пружинам. Метод конечных элементов, благодаря своей универсальности, дает возможность единообразно
моделировать пружины различных форм.
Рис. 3. Форма потери устойчивости цилиндрической пружиной (слева). Коническая пружина(справа).
Литература
1. M. Bampton, R. Craig // Coupling of Substructures for Dynamic Analyses. AIAA Journal. 6:7 1968. 1313-1319.
2. A. A. Shabana // Flexible multibody dynamics: review of past and recent developments. Multibody System Dynamics. 1 1997.
189-222.
3. O. N. Dmitrochenko, D. Yu. Pogorelov // Generalization of plate finite elements for absolute nodal coordinate formulation.
Multibody System Dynamics. 10 2003. 17–43.
4. A. L. Schwab, J. Gerstmayr, J. P. Meijaard // Comparison of three-dimensional flexible thin plate elements for multibody
dynamic analysis: finite element formulation and absolute nodal coordinate formulation. Proceedings of the ASME 2007
International Design Engineering Technical Conferences & Computers and Information in Engineering Conference. Las Vegas,
Nevada, USA. 2007. DETC2007-34754.
5. Yu. Vetyukov // Finite element modeling of Kirchhoff-Love shells as smooth material surfaces. Zeitschrift für Angewandte
Mathematik und Mechanik. 94:1-2 2014. 150 – 163.
6. H. Ebel, M.K. Matikainen, V. Hurskainen, A. Mikkola // Higher-order beam elements based on the absolute nodal coordinate
formulation for three-dimensional elasticity. Nonlinear Dynamics. 88 2017. 1075–1091.
7. D. Pogorelov, A. Rodikov // The trapezoidal finite element in absolute coordinates for dynamic modeling of automotive tire
and air spring bellows. Part 1: Equations of motion. Transport Problems. 16:3 2021. 5-16.
8. B. Simeon // DAEs and PDEs in elastic multibody systems. Numerical Algorithms. 19 1998. 235-246.
9. L.P. Kollar, G.S. Springer // Mechanics of Composite Structures. 2003. 480 p.
10. Р.Н. Бадиков // Расчетно-экспериментальное исследование напряженно-деформированного состояния и резонансных
режимов вращения винтовых пружин в пружинных механизмах. Дис. … канд. техн. наук. Москва, 2009. 166 с.