Conference PaperPDF Available

MODELING FLEXIBLE BODIES WITH ABSOLUTE NODE COORDINATES IN MULTIBODY SYSTEM DYNAMICS (in Russian)

Authors:

Abstract

A method for modeling the dynamics of flexible bodies allowing an arbitrary gross motion, large elastic displacements and small deformations is considered. Equations of motion are derived in absolute nodal coordinates by finite element method using the known Craig-Bampton approach. The method is intended for modeling elastic solids, shells and rods included in a multibody system. Examples of practical use in modeling the dynamics of a car tire, air spring, mechanical springs are given.
XIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике
Санкт-Петербург, 21-25 августа 2023 года
425
МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГИХ ТЕЛ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АБСОЛЮТНЫХ
УЗЛОВЫХ КООРДИНАТ В ДИНАМИКЕ СИСТЕМ ТЕЛ
Погорелов Д.Ю.1, Родиков А.Н.2
1 - Брянский государственный технический университет, Брянск, Россия
2 - ООО "Вычислительная механика", Брянск, Россия
pogorelov@umlab.ru
Аннотация. Рассмотрен метод моделирования динамики упругих тел, допускающих произвольное движение
в пространстве, подверженных большим упругим перемещениям и малым деформациям. Приведены уравнения
движения в абсолютных узловых координатах, выведенные методом конечных элементов с использованием
подхода Крейга-Бэмптона. Метод предназначен для моделирования упругих трехмерных тел, оболочек и стержней,
входящих в систему абсолютно твердых и деформируемых тел. В качестве практического использования
приведены примеры моделирования динамики автомобильной шины, пневматической рессоры, механических
пружин.
Введение
Моделирование технических систем методами динамики систем тел часто требует включения упругих
тел в состав модели. Для этой цели обычно применяется метод Крейга-Бэмптона [1], позволяющий построить
уравнения движения упругого тела, совершающего произвольное движение. Для данного метода характерно
эффективное снижение числа степеней свободы, однако не допускаются большие упругие перемещения тел и,
как следствие, невозможен учет важных нелинейных эффектов, таких как потеря устойчивости, зависимость
собственных частот от нагруженности и т.д. Альтернативный подход предлагает метод абсолютных узловых
координат (ANCF) [2], который снимает указанные недостатки. Использование абсолютных координат
позволяет в явном виде и безытерационно вывести уравнения движения упругого тела с учетом как
произвольного пространственного движения, так и больших упругих перемещений. Типичными примерами
являются лента транспортера, бурильная колонна в криволинейной скважине, шина автомобиля. Примеры
стержневых, пластинчатых и оболочечных конечных элементов в формализме ANCF приведены в работах
[3–6]. В работе [7] нами предложен вариант применения ANCF, отличающийся от традиционного способом
введения абсолютных координат и методикой построения уравнений. В качестве координат рассматриваются
три декартовы координаты, определяющие положение узла, и три угла ориентации связанной с узлом системы
координат. Для вывода явных уравнений движения используется подход Крейга-Бэмптона, примененный не ко
всему упругому телу, а к каждому элементу конечноэлементной сетки.
В данной работе кратко рассмотрены уравнения движения упругого тела и приведены примеры
динамических моделей автомобильной шины, баллона пневморессоры и механических пружин различной
формы.
Уравнения движения отдельного конечного элемента в абсолютных координатах
В соответствии с классическим методом конечных элементов упругое тело предварительно разбивается
на элементы, имеющие различную геометрическую форму. В нашем случае это могут быть объемные
восьмиузловые элементы (для моделирования упругих тел), четырехугольники или треугольники (для оболочки
или пластины), отрезки (для упругих стержней). Рассмотрим отдельный конечный элемент, имеющий n узлов.
С каждым узлом свяжем систему координат (СК), положение которой относительно инерциальной СК
определяется радиусом-вектором ¯0 и матрицей направляющих косинусов %#0- g $ D- Ç - ±. В соответствии с
методом Крейга-Бэмптона свяжем с конечным элементом сопутствующую систему координат (СКf),
разделяющую движение материала на произвольное пространственное движение как абсолютно твердого тела
вместе с СКf и малое относительное движение за счет упругих деформаций. Введем вектор упругого смещения
материала +&´( относительно СКf, где ´ вектор, определяющие положение точки материала относительно
СКf в недеформированном состоянии. Абсолютное движение СКf определяется радиусом-вектором ¯$ и
матрицей направляющих косинусов %#$, которые должны быть выражены через положения СК узлов ¯0- %#0.
Для вывода кинематических уравнений и построения уравнений движения введем функции формы,
аппроксимирующие упругие смещения материала относительно СКf. Выбор форм зависит от типа конечного
элемента и в общем случае может быть записан как матрицафункция Î&´(, размером ^ × `±. Матрица
состоит из 2n блоков Îi0&´(- ÎU0 &´( размером ^ × ^ каждый. Блоки соответствуют упругим перемещениям
материала для поступательных (Îi0) и вращательных (ÎU0) степеней свободы узла i
Î&´( $ 6Îi%&´(CÎU%&´( ÇCÎi(&´(CÎU(&´(8H
XIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике
Санкт-Петербург, 21-25 августа 2023 года
426
Обозначим Á¯0$- Áj0$ смещение начала отсчета и вектор поворота СК узла i относительно СКf за счет упругих
деформаций; данные величины предполагаются малыми. С использованием функций формы упругое смещение
отдельной точки материала относительно СКf может быть выражено через перемещения узлов
+&´($M6Îi0&´(Á¯0$ )ÎU0&´(Áj0$8
(
01% $Î&´(Á„-C
Á„$6Á¯%$
6Áj%$
6Ç Á¯($
6Áj($
68*H
Узловые перемещения Á„ включают движения конечного элемента как абсолютно твердого тела. Для
их исключения выполняется линейная замена координат Á¯0$ $Ai0Ád- Áj0$ $AU0Ád, Á„$AÁd, где Ád
матрица-столбец упругих координат размером 6(n-1). Для вывода этой замены используются матрицы масс и
жесткостей конечного элемента, а также процедура расчета собственных частот и форм колебаний конечного
элемента [7].
Уравнения движения свободного конечного элемента получаются с использованием принципа
возможных перемещений [8]. В переменных Крейга-Бэмптона, соответствующих положению СКf и
относительным упругим перемещениям Ád, уравнения имеют следующий вид, [7]:
ŽÂ$EŽ´l˜Ì$)®inAÁdV$$³$´˜-
Ž´l˜Â$)$)®UnAÁdV$$$-
A*®in
*Â$)A*®Un
*Ì$)ÁdV$EÒÁdEA*€6³$8H
Здесь Ž-5 масса и матрица тензора инерции конечного элемента, ´˜ радиус вектор центра масс
относительно СКf, Â$-Ì$ ускорение начала отсчета и угловое ускорение СКf, Ò$dJTg6³%
'Ç ³cX(+%Y
'8
диагональная матрица квадратов собственных частот конечного элемента,
®in $%#$ Î&´(-®Un $%#$ ´lÎ&´(-€6³$8$·³$
*%#$&›6´Î=*&´(E=*&´(´8𝐸8(%$#³$¸H
Для приведения к окончательному виду в уравнениях следует перейти от координат Крейга-Бэмптона к
абсолютным узловым координатам. Для этого используются кинематические соотношения
¯0$¯$)%#$6j$8&´0)Ai0Ád(-%#0&j0($%#$6j$8%$0&AU0Ád(-g$DDZH
Решение этих нелинейных уравнений позволяет получить значения координат Крейга-Бэмптона при заданных
значениях абсолютных координат узлов. Две производные по времени от уравнений дают связь между
скоростями и ускорениями и позволяют преобразовать уравнения движения свободного конечного элемента к
абсолютным узловым координатам.
Для вывода полных уравнений движения упругого тела следует сформировать уравнения для каждого
элемента и применить стандартную процедуру метода конечных элементов, сводящуюся к сложению и
позиционированию отдельных блоков составляющих уравнений в соответствии с топологией сетки.
Моделирование динамики автомобильной шины
Рис. 1. Конечноэлементная модель шины (слева). Нормальные силы контакта протектора с опорной поверхностью (справа).
Одним из основных приложений разработанного метода является моделирование динамики катящейся
упругой шины, рис. 1. Шина моделируется конечными элементами типа «плоская оболочка» трапецеидальной
формы, построенными по прикладной теории многослойных пластин [9]. Контактное взаимодействие
протектора с опорной поверхностью моделируется с использованием «щеточного» подхода. Точками на рис.1
отмечены концы безынерционных упруго-диссипативных балочных силовых элементов (щетинок), входящих в
контактное взаимодействие с поверхностью дороги.
XIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике
Санкт-Петербург, 21-25 августа 2023 года
427
Моделирование динамики баллона пневморессоры
Другим перспективным направлением является моделирование пневморессор транспортных средств
(грузовых автомобилей, пассажирских железнодорожных вагонов) с учетом упругости баллона, рис. 2.
Использование абсолютных узловых координат не только позволяет учитывать большие упругие перемещения
материала баллона при движении транспортного средства, но и с высокой точностью моделировать нелинейные
эффекты, в частности, потерю устойчивости оболочки.
Рис. 2. Конечноэлементная модель баллона пневморессоры (слева). Потеря устойчивости при кручении (справа).
Моделирование пружин
Динамическое поведение механических пружин различной формы цилиндрической, конической,
гиперболической и т.д. достаточно точно описывается моделью гибкого стержня [10]. В процессе своей работы
пружины подвержены большим перемещениям, которые вызывают изменение жесткостей и потерю
устойчивости, если пружина гибкая. Разработанный стержневой конечный элемент позволяет моделировать
описанные эффекты. Следует отметить, что большинство аналитических решений относится к цилиндрическим
пружинам. Метод конечных элементов, благодаря своей универсальности, дает возможность единообразно
моделировать пружины различных форм.
Рис. 3. Форма потери устойчивости цилиндрической пружиной (слева). Коническая пружина(справа).
Литература
1. M. Bampton, R. Craig // Coupling of Substructures for Dynamic Analyses. AIAA Journal. 6:7 1968. 1313-1319.
2. A. A. Shabana // Flexible multibody dynamics: review of past and recent developments. Multibody System Dynamics. 1 1997.
189-222.
3. O. N. Dmitrochenko, D. Yu. Pogorelov // Generalization of plate finite elements for absolute nodal coordinate formulation.
Multibody System Dynamics. 10 2003. 1743.
4. A. L. Schwab, J. Gerstmayr, J. P. Meijaard // Comparison of three-dimensional flexible thin plate elements for multibody
dynamic analysis: finite element formulation and absolute nodal coordinate formulation. Proceedings of the ASME 2007
International Design Engineering Technical Conferences & Computers and Information in Engineering Conference. Las Vegas,
Nevada, USA. 2007. DETC2007-34754.
5. Yu. Vetyukov // Finite element modeling of Kirchhoff-Love shells as smooth material surfaces. Zeitschrift für Angewandte
Mathematik und Mechanik. 94:1-2 2014. 150 163.
6. H. Ebel, M.K. Matikainen, V. Hurskainen, A. Mikkola // Higher-order beam elements based on the absolute nodal coordinate
formulation for three-dimensional elasticity. Nonlinear Dynamics. 88 2017. 10751091.
7. D. Pogorelov, A. Rodikov // The trapezoidal finite element in absolute coordinates for dynamic modeling of automotive tire
and air spring bellows. Part 1: Equations of motion. Transport Problems. 16:3 2021. 5-16.
8. B. Simeon // DAEs and PDEs in elastic multibody systems. Numerical Algorithms. 19 1998. 235-246.
9. L.P. Kollar, G.S. Springer // Mechanics of Composite Structures. 2003. 480 p.
10. Р.Н. Бадиков // Расчетно-экспериментальное исследование напряженно-деформированного состояния и резонансных
режимов вращения винтовых пружин в пружинных механизмах. Дис. … канд. техн. наук. Москва, 2009. 166 с.
ResearchGate has not been able to resolve any citations for this publication.
Article
Full-text available
The second part of the paper includes numerical tests verifying equations of motion of flexible bodies in absolute coordinates with rectangle and isosceles trapezoid finite elements. The equations are formulated in the first part of the paper. The verification is based on three types of problems: calculation of natural frequencies and modes, evaluation of buckling, and computation of large static and dynamic deflections of flexible bodies. Tests show good agreement with the theoretical results and the results obtained by other authors.
Article
Full-text available
This study thoroughly examines various higher-order three and four-node beam elements for use in the absolute nodal coordinate formulation (ANCF). The paper carefully investigates which potential benefits and drawbacks the utilization of higher-order ANCF beam elements without in-slope vectors has in the case of the usage of full three-dimensional elasticity. When the elastic forces for shear-deformable ANCF beam elements are calculated using full three-dimensional elasticity—especially in the form of the St. Venant–Kirchhoff material law—Poisson locking severely deteriorates the accuracy of the numeric results. As shown in this paper, an existing approach to preventing this locking phenomenon for three-node beam elements can still produce unsatisfying results in load cases involving bidirectional bending. The results of this study show that enriching the polynomial basis used to approximate the beam kinematics provides a natural solution to this issue. As will be seen, these findings for three-node elements can also be extended to four-node elements. When using a sufficient approximation order in transverse directions, satisfying accuracy can be achieved both in conventional one-dimensional bending and in the above-mentioned bidirectional load case.
Article
Full-text available
We propose a way to generate new finite elements in the absolute nodalcoordinate formulation (ANCF) and use a generalization of displacementfields and degrees of freedom (d.o.f.) of ordinary finite elements usedin structural mechanics. Application of this approach to 16- and12-d.o.f. rectangle plate elements as well as to 9-d.o.f. triangleelement gives, accordingly, 48-, 36- and 27-d.o.f. ANCF plate elements.We perform a thorough study of a 48-d.o.f. Hermitian element. Its shapefunction set is a Cartesian product of sets of one-dimensional shapefunctions for beam elements. Arguments of the shape functions aredecoupled, that is why an explicit calculation of terms of equations ofmotion leads to single integration only. We develop several models ofelastic forces of different complexity with their Jacobian matrices.Convergence and accuracy of the finite element is demonstrated ingeometrically nonlinear static and dynamic test problems, as well as inlinear analysis of natural frequencies.
Article
Preface List of symbols 1. Introduction 2. Displacements, strains, stresses 3. Laminated composites 4. Thin plates 5. Sandwich plates 6. Beams 7. Beams with shear deformation 8. Shells 9. Finite element analysis 10. Failure criteria 11. Micromechanics Appendix A. Cross-sectional properties of thin-walled composite beams Appendix B. Buckling loads and natural frequencies of orthotropic beams with shear deformation Appendix C. Typical material properties Index.
Article
A method for treating a complex structure as an assemblage of distinct regions, or substructures, is presented. Using basic mass and stiffness matrices for the substructures, together with conditions of geometrical compatibility along substructure boundaries, the method employs two forms of generalized coordinates. Boundary generalized coordinates give displacements and rotations of points along substructure boundaries and are related to the displacement modes of the substructures known as "constraint modes." All constraint modes are generated by matrix operations from substructure input data. Substructure normal-mode generalized coordinates are related to free vibration modes of the substructures relative to completely restrained boundaries. The definition of substructure modes and the requirement of compatibility along substructure boundaries lead to coordinate transformation matrices that are employed in obtaining system mass and stiffness matrices from the mass and stiffness matrices of the substructures. Provision is made, through a RayleighRitz procedure, for reducing the total number of degrees of freedom of a structure while retaining accurate description of its dynamic behavior. Substructure boundaries may have any degree of redundancy. An example is presented giving a free vibration analysis of a structure having a highly indeterminate substructure boundary.
Shabana // Flexible multibody dynamics: review of past and recent developments
A. A. Shabana // Flexible multibody dynamics: review of past and recent developments. Multibody System Dynamics. 1 1997. 189-222.
Meijaard // Comparison of three-dimensional flexible thin plate elements for multibody dynamic analysis: finite element formulation and absolute nodal coordinate formulation
  • A L Schwab
  • J Gerstmayr
A. L. Schwab, J. Gerstmayr, J. P. Meijaard // Comparison of three-dimensional flexible thin plate elements for multibody dynamic analysis: finite element formulation and absolute nodal coordinate formulation. Proceedings of the ASME 2007 International Design Engineering Technical Conferences & Computers and Information in Engineering Conference. Las Vegas, Nevada, USA. 2007. DETC2007-34754.
Vetyukov // Finite element modeling of Kirchhoff-Love shells as smooth material surfaces
Yu. Vetyukov // Finite element modeling of Kirchhoff-Love shells as smooth material surfaces. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 94:1-2 2014. 150 -163.
Simeon // DAEs and PDEs in elastic multibody systems
B. Simeon // DAEs and PDEs in elastic multibody systems. Numerical Algorithms. 19 1998. 235-246.