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PRECESIÓN DEL PERIHELIO DE MERCURIO
CIENCIAS EXACTAS
López Zavala Jesús, Fraire Bonilla Elizabeth, Pérez Ruiz Juan Diego.
Rodríguez Rodríguez Simón, Burgos García Jaime (1)
(1)Universidad Autónoma de Coahuila, Unidad Saltillo, Facultad de Ciencias Físico
Matemáticas, Unidad Campo Redondo Edificio “A”, Saltillo, Coahuila, 25000, México.
Asesor Contacto: simonrodriguez@uadec.edu.mx
RESUMEN
Para mediados del siglo XIX se descubrió que la posición del perihelio de Mercurio
sufría un desplazamiento del punto anterior observado desde la Tierra. Durante años
varios científicos buscaron el valor de este desplazamiento, fue hasta 1915 que
Albert Einstein encontró el valor de este corrimiento utilizando la relatividad general.
En este trabajo se utilizó el método numérico de Runge Kutta Felhberg 4-5 para
encontrar el valor del perihelio de Mercurio de tal manera que se evitó recurrir a
cálculos analíticos complejos de la relatividad general. El valor numérico obtenido
fue segundos de arco por siglo con un error relativo porcentual de
comparado con el resultado que obtuvo Einstein segundos de arco por siglo.
Palabras clave: Precesión, Perihelio, Relatividad general, Gravitación, Orbitas
planetarias.
INTRODUCCIÓN
La primera ley de Kepler establece una órbita elíptica para el movimiento de cada
uno de los planetas, con el Sol en uno de sus focos. La teoría gravitacional de
Newton también predice este comportamiento, sin embargo, debido a que los
planetas también interactúan entre ellos, las órbitas reales de los planetas presentan
anomalías, una de ellas es la conocida como precesión del perihelio. El punto en el
cual un planeta que gira alrededor del Sol está a una distancia mínima a él se le
llama perihelio, por lo contrario, al punto en el que el planeta se encuentra a una
distancia máxima del Sol se le conoce como afelio.
El astrónomo francés Urbain Jean Joseph Le Verrier descubrió entre 1845 y 1859
que la órbita de Mercurio manifestaba una irregularidad puesto que no volvía a pasar
por el mismo punto en su órbita, gran parte de esta irregularidad se puede explicar
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incluyendo las interacciones con los demás cuerpos del sistema solar. Sin embargo,
queda un efecto residual, un desplazamiento del perihelio de segundos de arco
por siglo. Le Verrier pensó que esta anomalía podía ser causada por un planeta
desconocido (llamado Vulcano) o por una nube de asteroides, ya que otras
anomalías en otros planetas se pudieron explicar así (Urano y Neptuno). Le Verrier
calculó esta desviación aplicando la teoría de Newton, pero los cálculos arrojaron
una diferencia incompatible con las mediciones obtenidas de las observaciones. El
valor que Le Verrier calculó para la precesión del perihelio de Mercurio era de
segundos de arco por siglo, una diferencia de segundos de arco por siglo,
suficiente para descartar la hipótesis de Vulcano.
Albert Einstein, resolvió el problema de la precesión del perihelio de Mercurio
haciendo una pequeña corrección a la ley del inverso del cuadrado de la gravitación
newtoniana, esta corrección proviene de la teoría de la Relatividad General,
desarrollada por el propio Einstein entre 1905 y 1915. Esta explicación de la
precesión del perihelio constituyó el primer éxito de la teoría gravitacional de
Einstein.
La teoría de la Relatividad General fue desarrollada por Einstein buscando hacer
compatible la atracción gravitacional con los principios de su relatividad especial. Un
principio clave en esta búsqueda fue el principio de equivalencia que en esencia
afirma que la masa gravitacional es idéntica a la masa inercial. El principio de
equivalencia implica que en presencia de gravedad el espacio-tiempo debe ser
considerado como curvo, otra consecuencia de esto es que el tiempo transcurre de
manera diferente para diferentes observadores. Einstein, con su teoría de la
relatividad general y la teoría geométrica de la gravitación, interpretó la modificación
del espacio-tiempo como una deformación de la estructura gravitacional del
Universo. Así, para describir la gravedad en el mundo real fueron propuestas las
ecuaciones de campo de Einstein, cuya solución es complicada y no corresponde a
los objetivos de este trabajo, sin embargo, puede encontrarse la información en el
libro ―Gravitation and Cosmology: Principles and applications of the General Theory
of Relativity‖ del autor Steven Weinberg [1].
La primera solución a las ecuaciones de Einstein fue propuesta por K.
Schwarzschild, quien las resolvió para el caso radial en que la deformación del
espacio-tiempo ocurre por la acción de una masa esférica estática y homogénea,
despreciando la influencia de otras masas.
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Aquí no se presenta la solución de Schwarzschild sino únicamente las ecuaciones
de movimiento de un objeto bajo la acción de tal campo gravitacional [2]:
Donde:
: Masa solar
: Constante gravitacional
: Velocidad de la luz
: Ángulo polar
: Radio de Schwarzschild
: Radio entre el Sol y Mercurio
: Tiempo propio de Mercurio
: Tiempo propio de la Tierra *.
Las ecuaciones son ecuaciones diferenciales de segundo orden, sin
embargo, el método numérico requiere un sistema de ecuaciones de primer orden,
esto se puede hacer definiendo . Construimos
así un campo vectorial:
,
* El tiempo propio es aquel medido por un observador en el respectivo planeta.
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Recordando que la notación indica una derivada con respecto a formamos un
sistema
de la forma:
Puesto que se utilizaría un método numérico computacional se eligió un sistema de
unidades adecuado para el tratamiento de los datos. Se tomó como base las
unidades astronómicas () para las distancias, los años terrestres para el tiempo y
la masa solar para la unidad de masa.
Considerando que la unidad astronómica está definida como la distancia promedio
entre el Sol y la Tierra:
el tiempo medido en años terrestres (, además el valor de la
constante gravitacional se puede obtener de la teoría Newtoniana al suponer una
órbita terrestre circular [3]:
Donde
: Velocidad de la Tierra
: Masa solar
: Masa de la Tierra
: Constante gravitacional
: Radio entre el Sol y la Tierra.
De la ecuación anterior se obtiene que:
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El valor de la velocidad de la luz y otros datos astronómicos de Mercurio quedan
como [4]:
Para integrar numéricamente también es necesario conocer las condiciones
iniciales. Una vez obtenidas se calculó la desviación del perihelio de Mercurio
utilizando las ecuaciones y datos anteriores, y el método de [5] Runge Kutta Felhberg
4-5 programado en lenguaje C++.
METODOLOGÍA
Para resolver el problema planteado se consiguieron las condiciones iniciales. Se
analizó el instante en el que Mercurio se ubica en el afelio de su órbita. Desde ese
punto, considerando un tiempo inicial , y el radio () como la distancia del
afelio. Se hizo coincidir el eje con el semieje mayor de la órbita eliptica de
Mercurio, entonces se tomó el angulo () igual a cero.
Para calcular la velocidad angular en el afelio se utilizó el hecho de que el sistema
conserva la energía total, por lo que la exentricidad puede se escrita en términos de
ésta, la cual proviene de analizar el problema de Kepler [6]:
Donde:
: Energía cinética
: Energía potencial
: Momento angular
: Masa de Mercurio.
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Por definición:
*
Despejando la energía de la ecuación e igualando con la ecuación se
obtiene:
con [4]:
El tiempo propio inicial de la Tierra también se hizo coincidir con el tiempo propio de
Mercurio. Se consiguieron las siguientes condiciones iniciales utilizando las leyes de
Kepler y la teoría Newtoniana:
La simulación se realizó desde un tiempo inicial igual a cero hasta un tiempo final de
0.30 años terrestres, esto para observar que en efecto Mercurio no llega al mismo
punto una vez que completa su periodo orbital. El tiempo final fue elegido tomando
en cuenta que el periodo orbital de Mercurio es de aproximadamente 0.24 años
terrestres. Ya que la razón entre el periodo de Mercurio y el de la Tierra es de:
*La ecuación se obtuvo por conservación de la Energía.
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En un tiempo después a esta razón se notaría la precesión del ángulo.
En la simulación se tomó un paso de tiempo de segundos lo que equivale a
un, y una tolerancia de lo que
equivale a un .
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
La grafica de los datos obtenidos para un ciclo completo se muestra a continuación:
Figura 1. Ciclo completo de Mercurio alrededor del Sol, datos graficados en Python
En la Figura 1 es imposible observar que hay un ángulo de precesión ya que este es
muy pequeño, pero en realidad existe. Para hacer visible este hecho los datos
obtenidos de la simulación se analizaron en una hoja de Excel.
Se buscó aquel tiempo cercano a (la razón entre el periodo de Mercurio y la
Tierra) en el cual la velocidad radial () cambiara de signo, estando así en el punto
crítico del afelio y en ese punto, con el valor del radio y el ángulo se podrían obtener
las coordenadas cartesianas a partir de las polares, para obtener el ángulo de
precesión de la órbita de Mercurio como sigue a continuación.
Los datos obtenidos del programa fueron:
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Se calcularon las componentes y :
Se calculó el ángulo haciendo:
,
obteniendo como resultado un ángulo de precesión de:
Esto significa que hay una desviación de:
O bien:
A continuación, se muestra una imagen que describe la trayectoria de Mercurio en
dos períodos para alcanzar a ver la precesión (Figura 2).
Figura 2. ciclos orbitales con un paso de tiempo de años
terrestres
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El cálculo de la precesión del perihelio de Mercurio, utilizando la teoría gravitacional
de Einstein, arroja un corrimiento de segundos de arco por siglo. Comparado al
resultado que se encontró numéricamente en este trabajo de: segundos de
arco por siglo, se tiene un . la diferencia se puede
atribuir a los errores numéricos del método empleado.
CONCLUSIONES
El principal objetivo de este proyecto ha sido emplear los métodos numéricos y las
herramientas computacionales para obtener la precesión del perihelio de Mercurio,
sin recurrir a soluciones analíticas de las ecuaciones diferenciales que modelan el
problema.
Así, el resultado de la simulación ha sido aceptable, ya que el error relativo
porcentual es pequeño; comparando los segundos de arco por siglo predichos
por la relatividad general y el valor numérico obtenido en este trabajo de . Lo
cual indica la buena precisión del método de Runge Kutta Felhberg 4-5 utilizado.
Además se logró obtener una representación visual del fenómeno mediante el
procesamiento de datos en dos lenguajes de programación: Python 3.6 y C++.
BIBLIOGRAFÍA
[1] Weinberg S. 1972. Gravitation and Cosmology: Principles and applications of the General Theory
of Relativity. John Wiley & Sons. E.U.A. 641 p.
[2] D‘Inverno R. 1992. Introducing Einstein‘s Relativity. Oxford University Press. New York. 375 p.
[3] Marion J. 1998. Dinámica clásica de las partículas y sistemas. REVERTÉ. Barcelona. 643 p.
[4] Halliday. D., Resnick. R., y Krane K. 1994. Física Vol. I. México D.F.: COMPAÑÍA EDITORIAL
CONTINENTAL.
[5] Burden R. y Faires D. 2002. Análisis Numérico. Thomson Learning. E.U.A. 831 p.
[6] Goldstein P. y Safko. 2002. Classical Mechanics. REVERTÉ. Barcelona. 625 p.