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Università degli studi di Palermo
SCUOLA DELLE SCIENZE DI BASE E APPLICATE
Corso di Laurea in Matematica
Dipartimento di Matematica e Informatica
TEORIA DELLE CATEGORIE
E TEORIA DI GALOIS
Tesi di Laurea di:
Manuel Mancini
Relatore:
Prof. Giuseppe Metere
ANNO ACCADEMICO 2017/2018
Indice
Introduzione ii
1 Introduzione alla Teoria delle Categorie 1
1.1 Categorie .................................. 1
1.2 Funtori e Trasformazioni Naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Aggiunzioni ................................. 11
2 La Teoria di Galois 16
2.1 Le Estensioni di Campi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Gruppi e Estensioni di Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Il Teorema Fondamentale della Teoria di Galois . . . . . . . . . . . . . 21
3 La Teoria di Galois nel linguaggio categoriale 22
3.1 La Connessione di Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Il Teorema Fondamentale della Teoria di Galois . . . . . . . . . . . . . 25
Bibliograa 33
i
Introduzione
Il presente lavoro ha come obiettivo primario quello di introdurre la teoria delle cate-
gorie e di fornirne un'applicazione all'interno della Teoria di Galois.
La Teoria delle Categorie è una teoria matematica che studia in modo astratto gli
oggetti matematici e le relazioni tra essi. Essa è stata introdotta nel 1945 da Samuel
Eilenberg e Saunders MacLane nei loro lavori sulla topologia algebrica, con l'obiettivo
di determinare i processi che preservassero determinate strutture matematiche. Oggi
le categorie sono usate in diverse branche della matematica, dalla logica all'informatica
teorica, dalla topologia algebrica alla sica matematica, oltre ad avere applicazione
nella teoria dei linguaggi di programmazione. Inoltre possono essere utilizzate come
base concettuale per l'insegnamento della matematica, sostituendo così la "classica"
teoria degli insiemi.
Il lavoro è suddiviso in tre capitoli.
Il primo capitolo è interamente dedicato all'introduzione della Teoria delle Categorie;
in particolare, all'inizio verranno fornite le nozioni elementari di oggetto e morsmo
di una categoria, di diagramma commutativo, di isomorsmo e di proprietà universali,
per poi dare degli strumenti utili e versatili per poter stabilire relazioni tra diverse
categorie, quali i funtori, le trasformazioni naturali e il concetto di aggiunzione.
Il secondo e il terzo capitolo presentano invece un'applicazione algebrica della Teo-
ria delle Categorie relativamente alla Teoria di Galois: dopo una breve introduzione
alla teoria delle estensioni di campi e ai concetti di gruppo e estensione di Galois,
verrà mostrato come riformulare e dimostrare il teorema fondamentale della Teoria di
Galois attraverso il linguaggio categoriale. Per fare ciò sarà data una generalizzazione
del teorema con l'introduzione del concetto di "connessione di Galois" tra due insiemi
ii
Introduzione
iii
parzialmente ordinati.
La Teoria di Galois è una branca dell'algebra astratta. Fu introdotta dal matematico
francese Èvariste Galois con l'obiettivo di descrivere come le varie radici di un poli-
nomio sono collegate le une con le altre, e per trovare una formula risolutiva per una
generica equazione di grado n, usando solo le operazioni del campo e l'
estrazione di
radice
. Essa inoltre rappresenta un ponte di collegamento tra la teoria dei campi e
la teoria dei gruppi, in particolare il teorema fondamentale mostra, per determinate
estensioni di campi, lo stretto legame tra il reticolo dei sottocampi di un'estensione e il
reticolo dei sottogruppi del gruppo di Galois della stessa. Questa relazione può essere
rappresentata dal punto di vista categoriale attraverso la nozione di "connessione di
Galois", o più in generale di aggiunzione. Tutto ciò permette di comprendere come il
punto di partenza della Teoria di Galois derivi da un risultato formale ben più generale
che la Teoria delle Categorie riesce a descrivere in modo appropriato.
Capitolo 1
Introduzione alla Teoria delle
Categorie
In questo capitolo vengono presentati le nozioni principali della Teoria delle Categorie,
in particolare la denizione assiomatica di categoria, i concetti di funtore, trasforma-
zione naturale e aggiunzione. Per una trattazione completa dell'argomento si rimanda
il lettore a [1], principale testo di riferimento per la Teoria delle Categorie, all'intero
testo [2], al terzo e al quarto capitolo di capitolo di [3].
1.1 Categorie
Denizione 1.1.1.
Una categoria
C
consiste in:
•
una classe, denotata con
Ob(
C
)
, i cui elementi si chiameranno
"oggetti della
categoria"
.
•
per ogni coppia di oggetti
A
,
B
di
C
un insieme, denotato con
C(A, B)
, i cui
elementi si chiameranno
"morsmi"
o
"frecce"
da
A
a
B
.
•
per ogni oggetto
A
di
C
un morsmo
1A∈ C(A, A)
chiamato
identità di
A
.
•
per ogni tripla di oggetti
A
,
B
,
C
di
C
una
legge di composizione
:
C(A, B)× C(B, C)→ C(A, C )
(f, g)→gf
dove
gf
indica la composizione di
f
con
g
.
1
2
Inoltre questi dati soddisfano i seguenti tre assiomi:
1.
Assioma dell'identità
: per ogni
f∈ C(A, B )
e per ogni
g∈ C(B , C)
si ha che:
1Bf=f
e
g1B=g
2.
Assioma dell'associatività
: per ogni tripla di morsmi
f∈ C(A, B )
,
g∈ C(B , C)
,
h∈ C(C, D)
si ha che:
hg(f) = h(gf)
3.
C(A, B)∩ C(C, D)6=∅ ⇐⇒ A=C e B =D
Chiameremo
categorie piccole
(
small categories
) le categorie in cui
Ob(C
) è un insie-
me. Inoltre se
f∈ C(A, B )
si scriverà
f:A→B
, e si dirà che
A
è il
dominio
di
f
, e
B
è il
codominio
di
f
.
Vediamo ora alcuni esempi di categorie:
•
0
è la categoria banale. Essa è composta da una classe vuota di oggetti e da una
classe vuota di frecce.
•
1
è la categoria composta da un oggetto con il relativo morsmo di identità.
•
Set
è la categoria degli insiemi. Gli oggetti sono gli insiemi e i morsmi sono le
funzioni tra essi. Questo esempio è fondamentale in quanto permette di capire
che, nonostante non sia denito l'insieme di tutti gli insiemi, è invece denita la
categoria degli insiemi.
•
Mon
è la categoria dei monoidi. I suoi oggetti sono i monoidi mentre i morsmi
sono gli omomorsmi di monoidi.
•
Grp
è la categoria dei gruppi. I suoi oggetti sono i gruppi mentre i morsmi
sono gli omomorsmi di gruppi.
•
In analogia con l'esempio precedente
Ab
è la categoria dei gruppi abeliani.
•
Rng
e
CRng
sono rispettivamente le categorie degli anelli unitari e degli anelli
commutativi unitari.
3
•
Fld
è la categoria dei campi, i cui morsmi sono i monomorsmi di campi. Si
ricorda infatti che ogni omomorsmo di anelli unitari che ha come dominio un
campo è un monomorsmo.
•K
Vect
è la categoria degli spazi vettoriali sul campo
K
, i cui morsmi sono le
applicazioni lineari.
•
Top
è la categoria degli spazi topologici. I suoi morsmi sono le funzioni continue
tra spazi topologici.
•
FldExt
è la categoria delle estensioni di campi mentre, ssato un campo
K
,
K
Ext
è la categoria delle estensioni del campo
K
. Daremo una descrizione più
dettagliata di queste due categorie nel prossimo capitolo.
•
Consideriamo l'isieme
N
dei numeri naturali. Per ogni coppia di elementi
x, y ∈N
deniamo un morsmo
f:x→y
se e solo se
x≤y
. Se esiste un morsmo da
x
a
y
lo denoteremo con
x≤y
. Abbiamo costruito così la categoria
(N,≤)
i cui
oggetti sono i numeri naturali e i morsmi sono le frecce appena denite. Questo
esempio può essere generalizzato a un insieme parzialmente ordinato (
poset
) e
testimonia come non sia sempre detto che i morsmi siano funzioni.
•
Consideriamo come classe di oggetti i numeri naturali e come morsmi tra
n
e
m
le matrici a coecienti in un anello commutativo unitario aventi
n
righe ed
m
colonne. Così emerge una categoria dove la composizione tra morsmi non
è nient'altro che la moltiplicazione riga per colonna tra matrici. Denoteremo
suddetta categoria con
Matr
A.
Denizione 1.1.2.
Sia
C
una categoria. Si denisce
categoria opposta
di
C
la
categoria
Cop
i cui oggetti sono gli oggetti
C
e i cui morsmi sono in corrispondenza
biunivoca con i morsmi di
C
. In particolare, ad ogni freccia
f∈ C(A, B )
corrisponde
una ed un'unica freccia
fop ∈ Cop (B, A)
.
Ad esempio
Set
op
è la categoria i cui oggetti sono gli insiemi e, presi due insiemi
A
e
B
, un morsmo tra essi è una funzione
f:B→A
.
Denizione 1.1.3.
Sia
C
una categoria. Siano
A, B, C, D ∈Ob(C)
e siano inoltre
f:A→B
,
g:B→D
,
h:A→C
e
k:C→D
. Diremo che il diagramma, i cui vertici
4
sono dati dagli oggetti della categoria e le cui frecce sono date dai relativi morsmi, è
commutativo se i morsmi, composti lungo percorsi diversi danno lo stesso risultato.
A B
C D
f
hg
k
Ovvero il diagramma commuta se e solo se
gf =kh
.
Introduciamo adesso la denizione categoriale di isomorsmo.
Denizione 1.1.4.
Sia
C
una categoria. Siano
A, B ∈Ob(C)
e sia
f:A→B
.
Si dirà che
f
ha
inverso destro
se esiste
g:B→A
tale che
fg = 1B
. In modo
analogo si denisce l'
inverso sinistro
di
f
. Inne
f
si dirà
isomorsmo
(o sempli-
cemente
iso
), se esiste
g:B→A
tale che
fg = 1B
e
gf = 1A
. In tal caso
g
è detto
inverso di
f
.
Proposizione 1.1.5.
L'inverso di un isomorsmo è unico.
Dimostrazione.
Siano
g
e
g0
due inversi di
f
. Allora risulta:
g=g1B=gf g0= 1Ag0=g0
Ovvero
g=g0
.
Ad esempio nella categoria
Set
gli
iso
sono le funzioni biunivoche, nella categoria
Grp
gli
iso
sono gli isomorsmi di gruppi. Invece nella categoria
Top
gli
iso
sono
gli
omeomorsmi
, funzioni continue biunivoche tra spazi topologici le cui inverse sono
anch'esse continue. Un classico esempio di biezione in
Top
che non risulta essere
iso
è
la mappa:
[0,1) −→ {z∈C| |z|= 1}
t−→ e2πit
Denizione 1.1.6.
Si denisce
gruppoide
una categoria dove ogni morsmo è iso.
Possiamo subito osservare che un gruppo può essere visto come una categoria avente
un solo oggetto e tanti iso dall'oggetto in sè stesso quanti sono gli elementi del gruppo.
Dunque un gruppo è un gruppoide con un unico oggetto.
5
Osserviamo adesso come, assegnata una categoria
C
, possiamo costruire delle particolari
categorie i cui oggetti sono morsmi di
C
:
1. Sia
C
una categoria e sia
Z∈Ob(C)
. Costruiamo la categoria i cui oggetti sono
la classe dei morsmi di
C
aventi come codominio
Z
e, presi due oggetti
f, g
in tale classe, i morsmi tra
f
e
g
saranno tutte e sole le frecce
h
che rendono
commutativo il seguente diagramma:
A B
Z
h
fg
dove A e B sono oggetti di
C
. Si verica che la struttura così determinata soddisfa
gli assiomi di categoria. Chiameremo tale categoria
slice category di
C
su
Z
e
la indicheremo con
C/Z
.
2. In modo completamente analogo costruiamo la categoria i cui oggetti sono la clas-
se dei morsmi di
C
aventi come dominio
Z
e, presi due oggetti
f, g
in tale classe,
i morsmi tra
f
e
g
saranno tutte e sole le frecce
h
che rendono commutativo il
seguente diagramma:
Z
A B
f g
h
dove A e B sono oggetti di
C
. Siatta categoria prende il nome di
coslice
category di
Z
su
C
e la indicheremo con
Z/C
.
Esempio 1.1.7.
Sia
(Z∗,|)
la categoria in cui gli oggetti sono i numeri interi non nulli
e, per ogni
a, b ∈Z∗
, esiste un morsmo
f:a→b
se e solo se
a|b
. Si puè vericare che
per ogni numero intero
a
la slice category
Z∗/a
è la categoria dei divisori di
a
, mentre
la coslice category corrispondente è la categoria dei multipli di
a
.
Denizione 1.1.8.
Sia
C
una categoria e siano
I
e
F
due oggetti di
C
.
•F
è detto
oggetto terminale
in
C
se per ogni
A∈Ob(C)
esiste un unico morsmo
f:A→F
.
6
•I
è detto
oggetto iniziale
in
C
se per ogni
A∈Ob(C)
esiste un unico morsmo
f:I→A
.
Si osservi che in una categoria non sempre esistono oggetti iniziali o terminali. Ripor-
tiamo alcuni esempi:
1.
Z
è oggetto iniziale nella categoria
CRng
. Infatti per ogni anello commutativo
unitario
A
esiste un unico omomorsmo di anelli unitari
ϕ:Z→A
tale che:
ϕ(0) = 0A
ϕ(1) = 1A
ϕ
è detto
omomorsmo caratteristico
dell'anello A.
2. Nella categoria
(Z,6)
non esistono oggetti nè oggetti terminali nè iniziali.
3. Nella categoria
(N,6)
non esistono oggetti terminali ma
0
è oggetto iniziale.
Proposizione 1.1.9.
Sia
C
una categoria. Siano
A
e
B
due oggetti terminali in
C
e
siano
C
e
D
due oggetti iniziali in
C
. Allora esiste un unico
f:A→B
iso ed un unico
f:C→D
iso.
Dimostrazione.
Poichè
A
è terminale in
C
allora esiste un unico
f:B→A
. Poiché
B
è terminale in
C
allora esiste un unico
f:A→B
. Inoltre il seguente diagramma
commuta:
B A
B
f
1Bg
Ovvero
g
è l'inverso di
f
. Dunque esiste un unico
f:A→B
iso. La dimostrazione è
analoga per gli oggetti iniziali
C
e
D
.
Per concludere questa prima sezione diamo la denizione di proprietà universale.
Denizione 1.1.10.
Si dice che una costruzione
soddisfa una proprietà univer-
sale
, oppure
risolve un problema universale
, o è
universale
, se può essere vista
come oggetto iniziale o nale in una categoria
C
.
7
Esempio 1.1.11. Proprietà universale del quoziente
Sia
A
un insieme e sia
∼
una relazione di equivalenza denita su
A
. Allora la proiezione
canonica
π:A7→ A/ ∼
è universale rispetto alla proprietà di mappare
A
verso un
altro insieme, in modo tale che elementi nella stessa classe di equivalenza abbiano la
stessa immagine. Ovvero, per ogni
f:A→Z
che soddis la proprietà:
f(a) = f(a0)⇐⇒ a∼a0
esiste un unico
˜
f:A/ ∼→Z
tale che il seguente diagramma commuti:
A
A/ ∼Z
f
π
∃!˜
f
Possiamo applicare la proprietà universale del quoziente nella categoria
Grp
per otte-
nere la proprietà universale dell'epimorsmo canonico
π:G7→ G/N
, dove
G
e
N
sono
due gruppi tali che
NG
. Si ricordi che il gruppo quoziente
G/N
è l'insieme delle
classi di equivalenza (che prendono il nome di
laterali
) della congruenza
∼
denita su
G
nel modo seguente:
g∼g0⇐⇒ g0g−1∈N∀g, g0∈G
Allora per ogni omomorsmo di gruppi
f:G→H
con
f(N)=1H
, esiste un unico
˜
f:G/N →H
tale che il seguente diagramma commuti:
G
G/N H
f
π
∃!˜
f
1.2 Funtori e Trasformazioni Naturali
Introduciamo ora una nozione di "morsmo" tra categorie. Si segue la trattazione di
[1] per la teoria, di [2] per gli esempi.
Denizione 1.2.1.
Siano
C
e
D
due categorie. Un
funtore covariante
, o sem-
plicemente
funtore
,
F
da
C
a
D
consiste di:
•
una mappa
Ob(C)→Ob(D)
detta
mappa degli oggetti di
F
. Denoteremo l'imma-
gine di un oggetto
A
di
C
con
F(A)
o
F A
.
8
•
per ogni coppia
A
,
B
di oggetti di
C
una mappa
C(A, B)→ D(F A, F B )
detta
mappa dei morsmi di
F
. Denoteremo l'immagine di un morsmo
f∈ C(A, B )
con
F(f
) o
F f
.
Inoltre deve valere che:
1. per ogni
f∈ C(A, B )
e per ogni
g∈ C(B , C)F(gf )=(F g)(F f )
.
2. per ogni
A∈Ob(C)F(1A)=1F A
.
Denoteremo il funtore con
F:C → D
.
Riportiamo alcuni esempi di funtori tra categorie:
•
Per ogni categoria
C
è possibile denire il funtore identità
id :C → C
•
Il
funtore dimenticante
U
collega una categoria di insiemi dotati di una struttura
ad un'altra categoria avente gli stessi insiemi ma privati della loro struttura o di
parte di essa. Ad esempio:
U:
Grp
→
Set
associa ad ogni gruppo l'insieme soggiacente e ad ogni omomorsmo di gruppi la
corrispondente mappa tra insiemi.
•
In topologia algebrica il funtore
π1:
Top*
→
Grp
associa ad ogni spazio topolo-
gico puntato
(X, x0)
il proprio gruppo fondamentale
π1(X, x0)
, ovvero il gruppo
delle
classi di omotopia di cappi
centrati in
x0
. In particolare, ad ogni morsmo
f: (X, x0)→(Y, y0)
in
Top*
(funzione continua tale che
f(x0) = y0
) corrisponde
l'omomorsmo di gruppi:
π1(f) : π1(X, x0)−→ π1(Y, y0)
[γ]−→ [f◦γ]
È facile vericare che
π1(f)
è ben denito per ogni cappio
γ
centrato in
x0
e per
ogni morsmo
f
di
Top*
. Risultano inoltre
π1(id(X,x0)) = idπ1(X,x0)
e
π1(fg) = π1(f)◦π1(g)
.
9
Proposizione 1.2.2.
I funtori covarianti preservano gli isomorsmi. Ovvero in una
categoria
C
, se
f
è iso con inverso
g
e se
F:C → D
è un funtore covariante, allora
F f
è iso con inverso
F g
.
Dimostrazione.
Sia
f:A→B
, con A e B oggetti di
C
. Allora:
(F f )(F g) = F(fg) = F(1B)=1F B
(F g)(F f ) = F(gf ) = F(1A)=1F A
Dunque F preserva gli iso.
Possiamo introdurre un altro tipo di funtore, simile al funtore covariante con l'uni-
ca dierenza la proprietà di mandare morsmi in morsmi di "verso opposto".
Denizione 1.2.3.
Siano
C
e
D
due categorie. Un
funtore contravariante
F
da
C
a
D
è un funtore covariante
F:C → Dop
. Esplicitamente, esso consiste di:
•
una mappa
Ob(C)→Ob(D)
detta
mappa degli oggetti di
F
. Denoteremo l'imma-
gine di un oggetto
A
di
C
con
F(A)
o
F A
.
•
per ogni coppia
A
,
B
di oggetti di
C
una mappa
C(A, B)→ C(F B , F A)
detta
mappa dei morsmi di
F
. Denoteremo l'immagine di un morsmo
f∈ C(A, B )
con
F(f
) o
F f
.
Inoltre deve valere che:
1. per ogni
f∈ C(A, B )
e per ogni
g∈ C(B , C)F(gf ) = (F f )(F g)
.
2. per ogni
A∈Ob(C)F(1A)=1F A
.
Denoteremo il funtore con
F:C → D
.
Daremo un esempio molto importante di funtore contravariante nel
capitolo 3
.
Denizione 1.2.4.
Siano
C
e
D
due categorie e sia
F:C → D
un funtore cova-
riante o contravariante tra categorie. Diremo che
F
è un
isomorsmo covariante
o contravariante di categorie
se le mappe degli oggetti e dei morsmi di
F
sono
biettive.
10
Cerchiamo adesso di trovare una mappa che colleghi "in modo naturale" due fun-
tori aventi stesso dominio e stesso codominio.
Denizione 1.2.5.
Siano dati due funtori covarianti
F, G :C → D
. Una
trasforma-
zione naturale
η:F⇒G
è una mappa che assegna ad ogni oggetto
A∈Ob(C)
un morsmo
ηA:F A →GA
in
modo tale che per ogni morsmo
f:M→N
il seguente diagramma commuti:
F M GM
F N GN
ηM
F f Gf
ηN
Osservazione 1.2.6.
Se
F
e
G
sono due funtori contravarianti, la denizione di
trasformazione naturale può essere data, usando la stessa notazione, richiedendo la
commutatività del seguente diagramma:
F M GM
F N GN
ηM
ηN
F f Gf
Vediamo ora alcuni esempi di trasformazioni naturali:
•
Per ogni funtore
F
esiste una trasformazione naturale identica
1F:F⇒F
. Ciò è
determinato dall'esistenza del morsmo identità per ogni oggetto della categoria
codominio di
F
.
•
Il determinante di una matrice quadrata è una trasformazione naturale.
Per ogni anello commutativo
R
, le matrici quadrate di dimensione
n
a coecienti
in
R
formano un monoide
Mn(R)
con la consueta operazione di prodotto tra
matrici. Inoltre ogni omomorsmo di anelli commutativi
ϕ:R→S
induce un
omomorsmo di monoidi:
˜ϕ:Mn(R)−→ Mn(S)
(ai,j )−→ (ϕ(ai,j))
Ciò denisce un funtore covariante
Mn:
CRng
→
Mon
tra la categoria degli
anelli commutativi e la categoria dei monoidi.
Gli elementi di un generico anello commutativo
R
formano un monoide
U(R)
11
con l'operazione di moltiplicazione; possiamo così denire il funtore dimenticante
U:
CRng
→
Mon
.
Data una generica matrice
M
a coecienti in un anello commutativo
R
, il suo
determinante
detR:Mn(R)→U(R)
è un omomorsmo di monoidi (ovvero una
freccia in
Mon
) e, poiché esso è denito ugualmente in ogni anello commutativo,
ogni omomorsmo
f:R→S
rende commutativo il seguente diagramma:
Mn(R)U(R)
Mn(S)U(S)
detR
Mnf Uf
detS
Dunque
det :Mn⇒U
è una trasformazione naturale tra i due funtori
CRng
→
Mon
.
•
Siano
A
e
B
due preordini (classi di oggetti dotati di una relazione riessiva
e transitiva). Allora un funtore tra essi è una funzione monotona e, presi due
funtori
F, G :A→B
, esiste una trasformazione naturale tra essi se e solo se per
ogni
x∈A F (x)≤G(x)
.
1.3 Aggiunzioni
Concludiamo questo primo capitolo con l'introduzione del concetto di aggiunzione.
L'impostazione seguita è quella di [1] per la teoria (si veda il capitolo IV.1 e IV.6), di
[2] per gli esempi.
Intuitivamente l'idea è quella di stabilire una relazione tra due categorie
C
e
D
median-
te due funtori
F:C → D
,
G:D → C
e una famiglia di biezioni naturali tra i morsmi
delle due categorie.
Denizione 1.3.1.
Siano
C
e
D
due categorie. Un'
aggiunzione
da
C
a
D
è una
tripla
hF, G, ϕi
tale che
F:C → D
e
G:D → C
sono funtori e per ogni coppia di
oggetti
c∈Ob(C)
e
d∈Ob(D)
esiste una biezione naturale in
c
e
d
:
ϕc,d :D(F c, d)←→ C(c, Gd)
Diremo che
F
è
aggiunto sinistro
di
G
e che
G
è
aggiunto destro
di
F
.
Useremo la notazione:
FaG
.
12
Denizione 1.3.2.
Sia
F:C → D
un funtore tra categorie e sia
d∈Ob(D)
. Una
freccia universale
da
d
a
F
consiste in una coppia
(c, u)∈Ob(C)×D(d, F c)
tale che
per ogni coppia
(c0, u0)∈Ob(C)× C(d, F c0)
esiste un unico morsmo
f:c→c0
in
C
tale che il seguente diagramma commuti:
d
F c F c0
uu0
F f
Riportiamo alcune implicazioni fondamentali della denizione di aggiunzione.
Teorema 1.3.3
Un'aggiunzione
hF, G, ϕi:C → D
determina:
1. una trasformazione naturale
η: 1C⇒GF
tale che per ogni oggetto c di
C
esiste
la freccia universale
ηc
da c a
G
, ed ogni morsmo
f:F c →d
ha immagine
tramite
ϕ
:
ϕf =Gfηc:c→Gd
2. una trasformazione naturale
ε:F G ⇒1D
tale che per ogni oggetto d di
D
esiste
la freccia universale
εd
da d a
F
, ed ogni morsmo
g:c→Gd
ha immagine
tramite
ϕ−1
:
ϕ−1g=εgF g :F c →d
Inoltre valgono le seguenti composizioni:
(Gε)(ηG)=1G
e
(εF )(F η)=1F
o, equivalentemente, per ogni coppia di oggetti
(c, d)∈Ob(C)×Ob(D)
i seguenti
diagrammi sono commutativi:
Gd
GF Gd Gd
ηGd 1Gd
Gεd
F c
F GF c F c
F ηc1F c
εF c
13
Chiameremo
η
e
rispettivamente
unità
e
counità
dell'aggiunzione.
Teorema 1.3.4.
Siano
C
e
D
due categorie,
F:C → D
e
G:D → C
due funto-
ri e siano
η: 1C⇒GF
e
ε:F G ⇒1D
due trasformazioni naturali tali che per ogni
coppia di oggetti
(c, d)∈Ob(C)×Ob(D)
i seguenti diagrammi commutino:
Gd
GF Gd Gd
ηGd 1Gd
Gεd
F c
F GF c F c
F ηc1F c
εF c
Allora esiste un'aggiunzione
hF, G, ϕi
, con
ϕ
e
ϕ−1
deniti come nel teorema 1.3.3.
A fronte di questi risultati è preferibile a volte denotare un'aggiunzione con una qua-
drupla
hF, G, η, εi
.
Per una dimostrazione dettagliata di questi teoremi si veda [1]. Riportiamo adesso
alcuni esempi di aggiunzione.
Esempio 1.3.5.
La costruzione del gruppo libero è un esempio chiaro e illumi-
nante del concetto di aggiunzione. Siano
U:
Grp
→
Set
il funtore dimenticante
e
F:
Set
→
Grp
il funtore che assegna ad ogni insieme
X
il gruppo libero
F X
ge-
nerato da
X
. Allora risulta denita un'aggiunzione
FaG
dalla categoria
Grp
alla
categoria
Set
in quanto è possibile estendere in modo naturale ogni funzione da un
insieme
X
a un gruppo
G
(ovvero una freccia
X→U(G)
in
Set
) ad un omomor-
smo di gruppi
F X →G
e viceversa. La proprietà universale del gruppo libero
F X
si traduce in una freccia universale dall'insieme
X
all'aggiunto destro
U
, che consi-
ste nella coppia
(F X, ηX)∈Ob(
Grp
)×
Set
(X, U (F X))
tale che per ogni altra coppia
(G, u)∈Ob(
Grp
)×
Set
(X, U (G))
esiste un unico omomorsmo di gruppi
f:F X →G
tale che il seguente diagramma commuti:
X
U(F X )U(G)
ηXu
Uf
14
Possiamo descrivere l'unità e la counità di tale aggiunzione:
•
l'unità
η: 1Set ⇒U F
associa ad ogni insieme
X
l'inclusione canonica
ηX:X→U(F X )
;
•
la counità
ε:F U ⇒1Grp
associa ad ogni gruppo
G
l'omomorsmo di gruppi
εG:F U (G)→G
, dato dalla valutazione in
G
.
Inoltre
η
e
ε
sono tali che i seguenti diagrammi sono commutativi:
U(G)
U(F U (G)) U(G)
ηU(G)1U(G)
UεG
F X
F U (F X)F X
F ηX1F X
εF X
Si osservi che tale aggiunzione può essere generalizzata alla costruzione di una generica
struttura algebrica libera
. Ad esempio il funtore covariante
F:
Set
→
Mon
che associa
ad ogni insieme
X
il monoide libero
F X
, ovvero l'insieme delle stringhe sull'alfabe-
to
X
con l'operazione di concatenazione, è aggiunto sinistro del funtore dimenticante
U:
Mon
→
Set
.
Esempio 1.3.6.
Siano dati due insiemi
A
e
B
. Consideriamo il prodotto cartesia-
no
A×B
e l'insieme
BA
di tutte le funzioni da
A
in
B
(ovvero
BA=
Set
(A, B)
).
Fissato adesso un insieme
B
possiamo denire i seguenti funtori:
− × B:
Set
→
Set
A→A×B
(−)B:
Set
→
Set
C→CB
Allora, per ogni coppia di insiemi
A
e
C
, risulta denita una biezione naturale in
A
e
C
tra gli insiemi:
Set
(A×B, C )←→
Set
(A, BC)
Infatti, per ogni morsmo
g:A×B→C
è possibile denire un morsmo
˜g:A→BC
nel modo seguente:
(˜g(a))(b) = g(a, b)
15
Viceversa, per ogni morsmo
f:A→BC
, deniamo un morsmo
˜
f:A×B→C
nel
modo seguente:
˜
f(a, b) = (f(a))(b)
In altre parole, per ogni insieme
B
, abbiamo costruito un'aggiunzione
− × Ba(−)B
dalla categoria
Set
in sè stessa.
Capitolo 2
La Teoria di Galois
In questo capitolo presentiamo un'introduzione
classica
alla Teoria di Galois. Verranno
prima mostrati e analizzati i concetti introduttivi della teoria delle estensioni di campi.
Ci si rifà essenzialmente alla trattazione di [4] e al settimo capitolo di [3].
2.1 Le Estensioni di Campi
Denizione 2.1.1.
Siano
K0
e
F
due campi. Un'estensione di campi è un monomor-
smo
ϕ:K0F
. Identicando, a meno di un isomorsmo,
K0
con la sua immagine
ϕ(K0) = K
, diremo che
F
è un'estensione di campi di
K
.
Osservazione 2.1.2.
Come già anticipato nello scorso capitolo, è possibile deni-
re la categoria
FldExt
delle estensioni di campi. Gli oggetti di tale categoria saranno
le estensioni
i:KF
, mentre i morsmi tra due estensioni di campi
i:KF
e
i0:K0F0
saranno tutte e sole le coppie di frecce
(j, k)
, con
j:K→K0
e
k:F→F0
morsmi della categoria
Fld
, tali che il seguente diagramma sia commutativo:
K//i//
j
F
k
K0//
i0
//F0
Fissato un campo
K
, è possibile costruire la categoria
K
Ext
delle estensioni del campo
K
. Date due estensioni
i:KF
e
i0:KF0
in tale categoria, i morsmi tra esse
sono le frecce
k:F→F0
che rendono commutativo il seguente diagramma:
16
17
K
~~
i
~~
!!
i0
!!
Fk
//F0
Si può vercare banalmente che i morsmi di
FldExt
e
K
Ext
soddisfano gli assiomi
di identità e associatività. Si osservi inoltre che
K
Ext
è la
coslice category
K
/
Fld
.
Osservazione 2.1.3.
Un primo risultato che segue dalla 2.1.1 è che, data un'esten-
sione di campi
KF
,
F
può essere visto come uno spazio vettoriale su
K
. Infatti
possiamo denire il funtore dimenticante
U:K
Ext
→K
Vec
il quale agisce restrin-
gendo la moltiplicazione di
F
(operazione interna) a
K
; in questo modo otteniamo il
prodotto esterno
K×F→F
dello spazio vettoriale
F
. Ciò ci permettere utilizzare
alcuni risultati dell'algebra lineare, nella teoria delle estensioni di campi.
Denizione 2.1.4.
Sia
KF
. Chiameremo
grado dell'estensione
, che indi-
cheremo con
[F:K]
, la dimensione di
F
su
K
, ovvero:
[F:K] = dimKF
Chiameremo inoltre
base dell'estensione
una base di
F
su
K
.
Esempio 2.1.5.
Consideriamo l'estensione
Q→Q(√5)
. Ricordiamo che
Q(√5)
è
il campo generato da
Q
e
√5
, e può essere descritto come segue:
Q(√5) = a+b√5|a, b ∈Q
Allora
[Q(√5) : Q]=2
in quanto una base di
Q(√5)
su
Q
è data da
1,√5
.
Denizione 2.1.6.
Un'estensione di campi
KF
si dice
nita
se il suo grado
[F:K]
è nito.
Vediamo come è possibile esprimere una relazione tra i gradi di una catena di estensioni
nite. Per una dimostrazione formale del seguente teorema si veda il capitolo VII di
[3].
18
Teorema 2.1.7. (Teorema dei Gradi)
Sia data la catena di estensioni di campi
KFL
, dove le estensioni
KF
e
FL
sono entrambe nite. Allora
KL
è un'estensione nita e il suo grado sarà:
[L:K] = [L:F][F:K]
Mostreremo nel prossimo capitolo che non è una semplice coincidenza che tale risultato
sui gradi di una catena di estensioni nite sia simile al
teorema di Lagrange
, il quale
collega l'ordine di un gruppo nito con l'ordine e l'indice di un suo sottogruppo. Que-
sto è il primo accenno di stretta connessione tra la teoria dei gruppi e la teoria dei campi.
Per molti settori della teoria dei campi, come ad esempio la teoria di Galois, rico-
prono una notevole importanza le estensioni algebriche, ossia le estensioni
KF
tali
che ogni elemento di
F
è radice di un polinomio a coecienti in
K
.
Denizione 2.1.8.
Sia
KF
un'estensione di campi e sia
a
un elemento di
F
.
•a
è detto
elemento algebrico
su
K
se esiste un polinomio
f(x)∈K[x]
che
ammette
a
come radice.
•a
è detto
elemento trascendente
su
K
se non è algebrico.
Denizione 2.1.9.
Sia
KF
un'estensione di campi. L'estensione è detta
al-
gebrica
se ogni elemento
a∈F
è algebrico su
K
. Altrimenti l'estensione è detta
trascendente
.
Denizione 2.1.10.
Sia
KF
un'estensione di campi e sia
a∈F
un elemento
algebrico su
K
. Si denisce polinomio minimo di
a
su
K
il polinomio
f(x)∈K[x]
monico, irriducibile, che ammette
a
come radice.
Esempio 2.1.11.
Sia data l'estensione
Q→Q(3
√5)
.
3
√5
è un elemento algebrico su
Q
e il suo polinomio minimo è dato da
f(x) = x3−5
.
Inne è possibile dare una caratterizzazione sul grado e sulla base di un'estensione
algebrica
semplice
, ovvero un'estensione
KF
tale che
F=K(a)
per qualche
a∈F
.
19
Tale caratterizzazione ci tornerà utile negli esempi del prossimo paragrafo.
Teorema 2.1.12.
Sia
KF
un'estensione di campi e sia
a∈F
un elemento
algebrico su
K
con polinomio minimo
f(x)∈K[x]
di grado
n
. Allora il grado dell'e-
stesione
KK(a)
è
[K(a) : K] = n
e una base è data da
{1, a, a2, ....., an−1}
.
E' suciente infatti mostrare, attraverso gli strumenti dell'algebra lineare, che gli
elementi
1, a, a2, ....., an−1
sono linearmente indipendenti sul campo
K
e formano un
sistema di generatori per
K(a)
.
2.2 Gruppi e Estensioni di Galois
Facciamo vedere adesso come ci sia uno stretto legame tra un'estensione di campi
KF
e il gruppo degli automorsmi di
F
che ssano il "campo base"
K
. Per ulte-
riori approfondimenti si rimanda il lettore a [4] e [5].
Denizione 2.2.1.
Sia
KF
un'estensione di campi. Si denisce
gruppo di Galois
associato all'estensione, e si indica con
Gal(F/K)
, l'insieme
AutKF
degli automorsmi
di
F
che ssano
K
, ovvero:
Gal(F/K) = {σ∈AutF |σ(k) = k∀k∈K}
Si osservi che
Gal(F/K)
è un gruppo relativamente all'operazione di composizione.
Inoltre
|Gal(F/K)| ≤ [F:K]
.
È interessante notare come l'azione del gruppo di Galois associato a un'estensione
sia quella di permutare le radici dei polinomi irriducibili sul campo base.
Proposizione 2.2.2.
Sia
KF
un'estensione di campi e sia
α∈F
un elemen-
to algebrico su
K
. Allora per ogni
σ∈Gal(F/K)σ(α)
è una radice del polinomio
minimo di
a
su
K
. In altre parole
Gal(F/K)
permuta radici di polinomi irriducibili.
Dimostrazione.
Sia
f(x) = a0+a1x+a2x2+.... +xn∈K[x]
il polinomio minimo di
α
su
K
e sia
σ∈Gal(F/K)
. Allora facendo agire
σ
su
f(α)
si ha che:
20
0 = σ(f(α)) = σ(a0+a1α+.... +αn) = a0+a1σ(α) + .... +σ(α)n=f(σ(α))
Dunque
σ(α)
è una radice di
f(x)
.
Denizione 2.2.3.
Sia data una catena di estensioni di campi
KEF
e
sia
H6Gal(F/K)
. Si denisce
campo sso di H in F
il seguente sottocampo
dell'estensione
KF
:
H∗={a∈F|σ(a) = a∀σ∈H}
Si osservi che se
1G
è il sottogruppo banale di
Gal(F/K)
, allora
1∗
G=F
, mentre in
generale
Gal(F/K)∗⊇K
. L'interesse principale della teoria di Galois è lo studio delle
estensioni il cui campo sso dal gruppo degli automorsmi
AutK(F)
coincide con il
campo base
K
.
Denizione 2.2.4.
Sia
KF
un'estensione di campi. Diremo che
F
è esten-
sione di Galois di
K
o, equivalentemente, che
KF
è
estensione di Galois
, se
il campo sso di
Gal(F/K)
in
F
coincide con
K
.
Diamo ora alcuni esempi di estensioni di Galois e non:
1. Consideriamo l'estensione
R→C∼
=R(i)
. Si noti che l'unità immaginaria
i
è un
elemento algebrico sul campo
R
e il suo polinomio minimo è dato da
x2+1
, dunque
[C:R]=2
. Allora per la
Proposizione 2.2.2
, se
σ∈Gal(C/R)
, necesseriamente
σ(i) = i
oppure
σ(i) = −i
. Nel primo caso
σ
è l'automorsmo identico, nel
secondo caso
σ:a+bi →a−bi
. Dunque si ha che
|Gal(C/R)|= 2
, ovvero
Gal(C/R)∼
=Z2
. Inoltre un numero complesso è ssato dall'automorsmo non
identico se e solo se la sua parte immaginaria è nulla. Possiamo concludere che
Gal(C/R)∗=R
, quindi l'estensione è di Galois.
2. Sia data l'estensione
Q→Q(3
√5)
. Come già vericato nell'
Esempio 2.1.10
3
√5
è algebrico su
Q
con polinomio minimo dato da
x3−5
, le cui radici sono date
da
3
√5
,
3
√5ω
e
3
√5ω2
(dove
ω
rappresenta una radice terza primitiva dell'unità).
Inoltre ogni automorsmo
σ∈Gal(Q(3
√5)/Q)
è univocamente determinato dal-
l'azione su
3
√5
ma, poiché le altre due radici non sono elementi di
Q(3
√5)
, l'unica
possibilità è che
σ
l'automorsmo identico. Allora
Gal(Q(3
√5)/Q)
è il gruppo
banale e il relativo campo ssato è
Q(3
√5)
. Dunque l'estensione non è di Galois.
21
2.3 Il Teorema Fondamentale della Teoria di Galois
Il teorema fondamentale della Teoria di Galois, detto anche teorema di corrispondenza
di Galois, mostra la corrispondenza biunivoca tra i sottocampi di un'estensione nita di
Galois e i sottogruppi del relativo gruppo di Galois. Per una dimostrazione dettagliata
del teorema si rimanda il lettore all'intero capitolo 12 di [4].
Teorema 2.3.1. (Teorema Fondamentale della Teoria di Galois)
Sia
KF
un'estensione di Galois di grado nito. Esiste una corrispondenza biuni-
voca, detta
corrispondenza di Galois
, tra tutti i sottocampi
E
di
F
contententi
K
e tutti i sottogruppi
H
di
Gal(F/K)
. Tale corrispondenza è data da:
E−→ Gal(F/E)∀K⊆E⊆F
e con inversa:
H−→ H∗∀H≤Gal(F/K)
Ovvero ad ogni sottocampo
E
viene associato il gruppo degli automorsmi di
F
che
ssano
E
e ad ogni sottogruppo
H
viene associato il campo sso di
H
in
F
.
Inoltre si ha che
EF
è un'estensione di Galois.
Dall'enunciato è facile notare come la corrispondenza di Galois inverta le inclusioni,
cioè se
E1⊆E2
sono due sottocampi dell'estensione allora
Gal(F/E1)>Gal(F/E2)
e,
analogamente, se
H16H2
sono due sottogruppi di
Gal(F/K)
allora
H∗
2⊇H∗
1
.
Capitolo 3
La Teoria di Galois nel linguaggio
categoriale
Presentiamo adesso un'applicazione della teoria delle categorie all'interno della teoria
di Galois. Verrà dapprima introdotto il concetto di connessione di Galois tra due
poset
,
per poter inne enunciare e dimostrare il teorema fondamentale della teoria di Galois
attraverso il linguaggio categoriale. Per ulteriori approfondimenti si rimanda il lettore
a [6].
3.1 La Connessione di Galois
Denizione 3.1.1.
Siano
A= (A, ≤)
e
B= (B, ≤)
due
poset
considerati come
categorie. Si denisce
Connessione di Galois monotona
tra
A
e
B
un'aggiunzione
da
A
a
B
, ovvero una tripla
hF, G, ϕi
tale che
F:A→B
e
G:B → A
sono due funtori
covarianti e, per ogni coppia di oggetti
a∈Ob(A)
e
b∈Ob(B)
, esiste una biezione
naturale in
a
e
b
ϕa,b :B(F a, b)←→ A(a, Gb)
In altre parole, poiché
A
e
B
sono
poset
, una connessione di Galois è una coppia di
funzioni monotone
F:A→B
e
G:B→A
tale che per ogni coppia di elementi
a∈A
e
b∈B
si ha che:
F a ≤b⇐⇒ a≤Gb
Useremo la notazione
(F, G) : AB
.
22
23
In generale, quando un funtore ammette aggiunto, quest'ultimo può essere univoca-
mente determinato (si vedano
Theorem 2.
e
Corollary 2.
del capitolo IV.1 di [1]). Nel
caso di una connessione di Galois, questo fatto può essere vericato semplicemente.
Osservazione 3.1.2.
Uno dei due aggiunti (destro o sinistro) della connessione di
Galois determina univocamente l'altro. Infatti risulta:
•F a =min {b∈B|a≤Gb}
per ogni
a∈A
;
•Gb =max {a∈A|F a ≤b}
per ogni
b∈B
.
Ciò implica che se uno tra
F
e
G
è invertibile, allora
F=G−1
, ovvero
F
è un isomor-
smo covariante di categorie.
La denizione di connessione di Galois ci permette di fornire una nozione astratta
di
operatore di chiusura.
Denizione 3.1.3.
Sia
(F, G) : AB
una connessione di Galois monotona. Si
deniscono
operatori di chiusura relativi alla connessione di Galois
le composizioni
GF :A→A
e
F G :B→B
.
Si osservi che gli operatori di chiusura sono monotoni e idempotenti. Inoltre in ge-
nerale risulta che
a≤GF a
per ogni
a∈A
e
F Gb ≤b
per ogni
b∈B
.
Osservazione 3.1.4.
Sia
(F, G) : AB
una connessione di Galois monotona.
Siano
a∈A
e
b∈B
:
•a
è detto
oggetto chiuso
di
A
se
GF a =a
;
•b
è detto
oggetto chiuso
di
B
se
b=F Gb
.
In modo analogo deniamo un altro tipo di connessione di Galois, analoga alla connes-
sione monotona, con l'unica dierenza che i due aggiunti
F
e
G
sono funzioni
antitone
,
ovvero due funzioni monotone di
verso opposto
. Tale connessione di Galois ha la pro-
prietà di invertire il verso dei morsmi nella categoria codominio di
F
.
24
Denizione 3.1.5.
Siano
A= (A, ≤)
e
B= (B, ≤)
due
poset
considerati come
categorie e sia
Bop = (B, ≤op )
la categoria opposta di
B
. Si denisce
Connessione di
Galois antitona
tra
A
e
B
un'aggiunzione da
A
a
Bop
, ovvero una tripla
hF, G, ϕi
tale che
F:A→B
e
G:B → A
sono due funtori contravarianti e, per ogni coppia di
oggetti
a∈Ob(A)
e
b∈Ob(B)
, esiste una biezione naturale in
a
e
b
ϕa,b :B(F a, b)←→ A(a, Gb)
In altre parole tale connessione consiste di una coppia di funzioni antitone
F:A→B
e
G:B→A
tale che per ogni coppia di elementi
a∈A
e
b∈B
si ha che:
b≤F a ⇐⇒ a≤Gb
Useremo la notazione
(F, G) : AB
.
Osservazione 3.1.6.
Anche in questo caso i due aggiunti si determinano univocamente
l'un l'altro, in quanto risulta:
•F a =max {b∈B|a≤Gb}
per ogni
a∈A
;
•Gb =max {a∈A|b≤F a}
per ogni
b∈B
.
Inoltre se uno tra
F
e
G
è invertibile,
F
è un isomorsmo contravariante di categorie
con inverso
G
.
Rimangono inalterate le denizioni di operatori di chiusura e di oggetti chiusi della
connessione, con la proprietà che
a≤GF a
per ogni
a∈A
e
b≤F Gb
per ogni
b∈B
.
Osservazione 3.1.7.
Dalla
Denizione 3.1.4.
è possibile aermare che tutti i risultati
sulle connessioni di Galois monotone possono essere convertiti in risultati analoghi sulle
connessioni di Galois antitone e viceversa. È suciente infatti passare dalla categoria
codominio di
F
alla sua opposta.
Teorema 3.1.8.
Ogni connessione di Galois
(F, G) : AB
induce un isomor-
smo di categorie tra la categoria degli oggetti chiusi di
A
e la categoria degli oggetti
chiusi di
B
.
Dimostrazione.
Siano
˜
A
e
˜
B
gli insiemi degli oggetti chiusi rispettivamente di
A
e
B
.
Siano
a∈˜
A
e
b∈˜
B
due oggetti chiusi della connessione. Allora:
25
GF a =a
e
F Gb =b
Inoltre
F
e
G
mandano oggetti chiusi in oggetti chiusi in quanto:
(F G)(F a) = F a
e
(GF )(Gb) = Gb
Ovvero
F
è una biezione tra tutti gli oggetti chiusi di
A
e tutti gli oggetti chiusi di
B
con inverso dato da
G
. Si osservi inoltre che
˜
A
e
˜
B
sono poset, in quanto
A
e
B
lo sono. Dunque, la restrizione di
F
alla categoria
(˜
A, ≤)
è un funtore tra poset
˜
F:˜
A→˜
B
(ovvero una funzione monotona) con mappa degli oggetti, e dunque dei
morsmi, biettiva; allora
˜
F
è un isomorsmo tra le categorie degli oggetti chiusi di
A
e
B
.
Corollario 3.1.9.
Sia
(F, G) : AB
una connesione di Galois.
F
è un isomorsmo
di categorie (con inverso
G
) se e solo se tutti gli oggetti di
A
e
B
sono chiusi.
Dimostrazione.
La tesi segue dal
Teorema 3.1.7.
.
3.2 Il Teorema Fondamentale della Teoria di Galois
Descriviamo adesso la connessione di Galois determinata da un gruppo che agisce su
un insieme.
Teorema 3.2.1.
Siano dati un gruppo
G
e un
G−insieme E
, ovvero un insieme
E
tale che sia defnita un azione
G×E−→ E
(g, e)−→ ge
Allora risulta denita una connessione di Galois antitona
(L,M) : P(E)P(G)
tra
l'insieme delle parti di
E
e l'insieme delle parti di
G
. Tale connessione è data da:
S→ LS=S∗={g∈G|ge =e∀e∈S} ∀S⊆E
H→ MH=H∗={e∈E|ge =e∀g∈H} ∀H⊆G
Dimostrazione.
L
e
M
deniscono due funzioni sugli oggetti di
P(E)
e
P(G)
.
Siano
A
e
B
due sottoinsiemi di
E
tali che
A⊆B
: per ogni
g∈B∗
si ha che
ge =e
per ogni
e∈B
. In particolare, poiché
A⊆B
,
ge =e
per ogni
e∈A
, ovvero
g∈A∗
.
26
Risulta dunque
B∗⊆A∗
, ovvero
L:P(E)→P(G)
è un funtore contravariante di
categorie. In modo analogo si dimostra che
M:P(G)→P(E)
è anch'esso un funtore
contravariante di categorie. Inoltre per ogni
S⊆E
e per ogni
H⊆G
sussiste la
seguente relazione:
H⊆S∗⇐⇒ S⊆H∗
Infatti, se
H⊆S∗
, per ogni
e∈S
si ha che
ge =e
per ogni
g∈S∗
. In particolare,
poiché
H⊆S∗
,
ge =e
per ogni
g∈H
, ovvero
e∈H∗
. Risulta dunque
S⊆H∗
.
Viceversa, se
S⊆H∗
, si prova in modo analogo che
H⊆S∗
.
Dunque
(L,M) : P(E)P(G)
è una connessione di Galois antitona.
Tale connessione, come ogni connessione di Galois, induce una biezione:
{S∈P(E)|S= (S∗)∗}{H∈P(G)|H= (H∗)∗}
tra tutti i
sottoinsiemi chiusi
di
E
e tutti i
sottoinsiemi chiusi
di
G
. Possiamo
allora enunciare e dimostrare il seguente risultato.
Proposizione 3.2.2.
Sia
P(E)P(G)
la connessione di Galois appena descritta.
Risulta che:
1.
se
H
è un sottoinsieme chiuso di
G
, allora
H6G
;
2.
se
E
è dotato di una struttura algebrica,
G
agisce su
E
tramite automor-
smi di quella struttura, e se
S
è un sottoinsieme chiuso di
E
, allora
S
è una
sottostruttura di
E
.
Dimostrazione.
Dimostreremo tale risultato nel caso in cui
(E, +,0,·,1)
sia un campo
e
G
agisca su
E
tramite automorsmi di campi. Questo vuol dire che l'azione può
essere presentata come un omomorsmo di gruppi
G−→ Aut(E)
Come conseguenza per ogni
g∈G
la permutazione
σg:E−→ E
e−→ ge
è un automorsmo di campi con inverso dato da
σg−1
.
27
1. Sia
H
un sottoinsieme chiuso di
G
. Ricordiamo che:
(H∗)∗={g∈G|ge =e∀e∈H∗}
Dimostriamo che
(H∗)∗=H
è un sottogruppo di
G
.
•1G∈(H∗)∗
poiché per ogni
e∈E
si ha che
1Ge=e
;
•
per ogni coppia di elementi
g1, g2∈(H∗)∗
e per ogni
e∈H∗
risulta:
(g1g2)e=g1(g2e) = g1e=e
ovvero
g1g2∈(H∗)∗
;
•
per ogni
g∈(H∗)∗
e per ogni
e∈H∗
risulta:
e= 1Ge= (g−1g)e=g−1(ge) = g−1e
ovvero
g−1
ssa
e
. Dunque
g−1∈(H∗)∗
.
Allora
(H∗)∗=H≤G
.
2. Sia
S
un sottoinsieme chiuso di
E
. Ricordiamo che:
(S∗)∗={e∈E|ge =e∀e∈S∗}
Dimostriamo che
(S∗)∗=S
è un sottocampo di
E
, ovvero facciamo vedere che
((S∗)∗,+) ≤(E, +)
e
((S∗)∗\ {0},·)≤(E\ {0},·)
.
•0∈(S∗)∗
e
1∈(S∗)∗
poiché per ogni
g∈S∗
risultano
σg(0) = 0
e
σg(1) = 1
in quanto
σg
è un automorsmo di campi;
•
per ogni coppia di elementi
e1, e2∈(S∗)∗
e per ogni
g∈S∗
risulta:
σg(e1−e2) = σg(e1)−σg(e2) = e1−e2
ovvero
e1−e2∈(S∗)∗
•
per ogni coppia di elementi non nulli
e1, e2∈(S∗)∗\ {0}
e per ogni
g∈S∗
risulta:
σg(e1e−1
2) = σg(e1)σg(e2)−1=e1e−1
2
ovvero
e1e−1
2∈(S∗)∗
Allora
(S∗)∗=S
è un sottocampo di
E
.
28
Nel caso particolare in cui
G
agisca
E
tramite tutti e soli gli automorsmi che ssano
una sottostruttura di
E
, la connessione di Galois assume la seguente forma:
Corollario 3.2.3.
Sia
P(E)P(G)
la connessione di Galois del Teorema 3.2.1.
Supponiamo che
(E, +,0,·,1)
abbia la struttura di campo e sia
K
un suo sottocam-
po. Supponiamo inoltre che il gruppo
G
agisca su
E
tramite un isomorsmo di gruppi
G→AutKE
. Allora risulta che:
1.
per ogni
S
sottocampo di
E
contentente
K
,
S∗∼
=Gal(E/S)
;
2.
per ogni
H≤G
,
H∗
è il campo sso di
H
relativamente all'estensione di campi
KE
;
3.
se
H
è un sottoinsieme chiuso di
G
, allora
H∼
=Gal(E/H∗)
;
4.
se
S
è un sottoinsieme chiuso di
E
, allora
S
è un sottocampo di
E
contenente
K
.
Dimostrazione.
L'azione di
G
su
E
può essere presentata come un isomorsmo di
gruppi
G−→ AutK(E)
g−→ σg
Allora
G∼
=AutK(E)
, ovvero
G∼
=Gal(E/K)
.
1. Per ogni
S
sottocampo di
E
contentente
K
,
S∗={g∈G|σg(e) = e∀e∈S}
.
Ovvero
S∗∼
=Gal(E/S)
;
2. per ogni
H≤G
,
H∗={e∈E|σg(e) = e∀g∈H}
. Dalla
Denizione 2.2.3.
è
facile riconoscere che questo è proprio il campo sso di
H
relativamente all'esten-
sione di campi
KE
;
3. sia
H
un sottoinsieme chiuso di
G
. Risulta allora:
H= (H∗)∗={g∈G|σg(e) = e∀e∈H∗}
Ovvero
H∼
=Gal(E/H∗)
;
29
4. sia
S
un sottoinsieme chiuso di
E
. Dalla
Proposizione 3.2.2.
sappiamo già che
S
è un sottocampo di
E
. Inoltre, per ogni
a∈K
e per ogni
g∈G
, si ha che
σg(a) = a
. In particolare, poiché
S∗⊆G
,
σg(a) = a
per ogni
g∈S∗
; ovvero
S
è
un sottocampo di
E
contenente
K
.
Usando tali risultati siamo nalmente in grado di enunciare e dimostrare il teorema
fondamentale della teoria di Galois nel linguaggio categoriale.
Teorema 3.2.4. (Teorema Fondamentale della Teoria di Galois)
Sia
KF
un'estensione nita di Galois e sia
G
il gruppo di Galois associato
all'estensione. Allora la connessione di Galois tra
P(F)
e
P(G)
è tale che:
1.
un sottoinsieme
H
di
G
è chiuso se e solo se è un sottogruppo di
G
;
2.
un sottoinsieme
E
di
F
è chiuso se e solo se è un sottocampo di
F
contenente
K
.
Dimostrazione. In entrambi i casi sarà suciente dimostrare una sola implicazione.
1. Sia
H≤G
. Poiché
KF
è un'estensione nita di Galois, risulta
H=Gal(F/E) = E∗
per qualche
E
sottocampo di
F
contentente
K
. Facendo agire gli operatori di
chiusura (che ricordiamo essere idempotenti) otteniamo:
(H∗)∗= ((E∗)∗)∗=E∗=H
Ovvero
H
è un sottoinsieme chiuso di
G
.
2. Sia
E
un sottocampo di
F
contentente
K
. Dall'ipotesi che
KF
è un'estensione
nita di Galois si ottiene che il campo sso di
E∗=Gal(F/E)
è proprio
E
.
Ovvero
E
è un sottoinsieme chiuso di
F
.
30
Tale risultato ci fa capire come la corrispondenza di Galois tra il reticolo dei sottocam-
pi di un'estensione nita di Galois e il reticolo dei sottogruppi del relativo gruppo di
Galois sia in realtà un caso particolare di connessione di Galois tra due insiemi par-
zialmente ordinati. Tale connessione associerà ad ogni sottocampo dell'estensione il
gruppo degli automorsmi che ssano il sottocampo e ad ogni sottogruppo del gruppo
di Galois il sottocampo ssato dal sottogruppo.
Esempio 2.3.5.
Consideriamo l'estensione di campi
Q(√3) →Q(8
√3, i)
.
Notiamo che
1,8
√3,4
√3,8
√27, i, 8
√3i, 4
√3i, 8
√27i
è una base dell'estesione, dunque
[Q(8
√3, i) : Q(√3)] = 8
. Inoltre
8
√3i
è un elemento algebrico su
Q(√3)
con poli-
nomio minimo
f(x) = x4−√3∈Q(√3)[x]
. Le altre radici di
f(x)
sono
8
√3
,
−8
√3
e
−8
√3i
.
Vogliamo determinare gli automorsmi di
Gal(Q(8
√3, i)/Q(√3))
, ricordando che essi
permutano le radici di
f(x)
.
Poiché
σ∈Gal(Q(8
√3, i)/Q(√3))
è un automorsmo di campi,
σ(8
√3i) = σ(8
√3)σ(i)
con
σ(i) = ±i
(in quanto
i
ha periodo
4
e il periodo di un elemento viene conservato
da un automorsmo), e
σ(8
√3) = ±8
√3
oppure
σ(8
√3) = ±8
√3i
(poiché il periodo è 8).
Allora
Gal(Q(8
√3, i)/Q(√3))
consiste di
8
automorsmi:
•
l'automorsmo identico
•σ1:
i→i
8
√3→ − 8
√3
•σ2:
i→i
8
√3→8
√3i
•σ3:
i→i
8
√3→ − 8
√3i
•σ4:
i→ −i
8
√3→8
√3
•σ5:
i→ −i
8
√3→ − 8
√3
31
•σ6:
i→ −i
8
√3→8
√3i
•σ7:
i→ −i
8
√3→ − 8
√3i
È facile calcolare i periodi dei seguenti elementi:
• ◦(σ4)=2
• ◦(σ3)=4
•(σ4σ3)2
è l'automorsmo identico.
Dunque
Gal(Q(8
√3, i)/Q(√3)) ∼
=D4
(gruppo diedrale di ordine
8
). Inoltre un elemento
α=a1+a28
√3 + a34
√3 + a48
√27 + a5i+a68
√3i+a74
√3i+a88
√27i∈Q(8
√3, i)
è ssato
da tutti gli automorsmi del gruppo di Galois se e solo se
α=a1∈Q(√3)
. Dunque
l'estensione
Q(√3) →Q(8
√3, i)
è di Galois.
Possiamo adesso rappresentare il reticolo dei sottogruppi di
Gal(Q(8
√3, i)/Q(√3))
:
id
{id, σ4} {id, σ5} {id, σ1} {id, σ6} {id, σ7}
{id, σ1, σ4, σ5} {id, σ1, σ2, σ3} {id, σ1, σ6, σ7}
Gal(Q(8
√3, i)/Q(√3))
32
Analogamente rappresentiamo il reticolo dei sottocampi dell'estensione:
Q(8
√3, i)
Q(8
√3) Q(4
√3, i 8
√3) Q(4
√3, i)Q(8
√3(i+ 1)) Q(8
√3(i−1))
Q(4
√3) Q(√3, i)Q(i4
√3)
Q(√3)
Dai reticoli possiamo subito constatare quanto aermato dal
Teorema 3.2.4
: la con-
nessione di Galois agisce invertendo il verso delle inclusioni e mantenendo uguali indice
del sottogruppo e grado dell'estensione corrispondente.
Bibliograa
[1] S. MacLane,
Categories for the Working Mathematician
,
2a
edizione, Springer-
Verlag, New York, 1998.
[2] T. Leinster,
Basic Category Theory
, Cambridge University Press, Cambridge,
2014.
[3] P. Alu,
Algebra: Chapter 0
, Amer Mathematical Society, Providence, 2009.
[4] I. Stewart,
Galois Theory
,
4a
edizione, Chapman and Hall/CRC, New York, 2015.
[5] F. Borceux, G. Janelidze,
Galois Theories
, Cambridge University Press,
Cambridge, 2001.
[6] G. Janelidze,
A history of selected topics in categorical algebra I: From Galois
theory to abstract commutators and internal groupoids
, Shahid Beheshti University,
2016.
33