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Ein einfacher Approximationsansatz für die Geschwindigkeitspolare eines Segelflugzeugs

Authors:
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Ein einfacher Approximationsansatz f¨
ur die
Geschwindigkeitspolare eines Segelflugzeugs
Prof. Dr.-Ing. Johannes Wandinger
12. Oktober 2011
1 Einleitung
Die Geschwindigkeitspolare beschreibt den Zusammenhang zwischen der Sinkge-
schwindigkeit und der Fluggeschwindigkeit eines Segelflugzeugs und charakterisiert
damit seine Flugleistungen. Experimentell lassen sich Punkte auf der Geschwin-
digkeitspolare im Vergleichsflug oder im H¨
ohenstufenverfahren bestimmen [7].
F¨
ur theoretische Untersuchungen oder die Verwendung in Sollfahrtgebern wird
ein mathematischer Zusammenhang zwischen Fluggeschwindigkeit und Sinkge-
schwindigkeit ben¨
otigt. Dazu wird die Geschwindigkeitspolare meist durch eine
quadratische Parabel approximiert, die durch drei ausgew¨
ahlte Punkte verl¨
auft
[4]. Dieser Ansatz liefert brauchbare Ergebnisse f¨
ur den Geschwindigkeitsbereich,
der f¨
ur den Streckensegelflug interessant ist. Er hat allerdings den Nachteil, dass es
sich um einen rein mathematischen Ansatz handelt, f¨
ur den es keine physikalische
Begr¨
undung gibt.
Im Folgenden wird zun¨
achst ein zweigliedriger Ansatz f¨
ur die Geschwindigkeitspo-
lare aus aerodynamischen ¨
Uberlegungen hergeleitet. Dieser Ansatz liefert wie der
Parabelansatz gute Ergebnisse im f¨
ur den Streckenflug relevanten Geschwindig-
keitsbereich, hat aber den Vorteil, dass er nur von zwei Parametern abh¨
angt, aus
denen sich die beste Gleitzahl und das geringste Sinken einfach ermitteln lassen.
Durch eine Erweiterung auf einen dreigliedrigen Ansatz gelingt auch eine Appro-
ximation im Bereich niedriger Geschwindigkeiten.
2 Geschwindigkeitspolare und Widerstandspolare
Die Geschwindigkeitspolare kann aus der Widerstandspolare berechnet werden,
sofern diese bekannt ist.
Im station¨
aren Flug folgt aus dem Kr¨
aftegleichgewicht in x- und y-Richtung (vgl.
Abbildung 1)
Gsin(γ) = W=1
2cWρv2S(1)
1
Abbildung 1: Station¨
arer Flugzustand
und
Gcos(γ) = A=1
2cAρv2S . (2)
Dabei ist Gdie Gewichtskraft, γder Gleitwinkel, ρdie Massendichte der Luft, cW
der Widerstandsbeiwert, cAder Auftriebsbeiwert und Sdie Bezugs߬
ache.
Division von Gleichung (1) durch Gleichung (2) ergibt
tan(γ) = cW
cA
.(3)
Aus Gleichung (2) folgt
cA= 2Gcos(γ)
ρS
1
v2.(4)
Aus Abbildung 1 kann
vS=vsin(γ) (5)
abgelesen werden. Da der Gleitwinkel γklein ist, gilt sin(γ)tan(γ)γsowie
cos(γ)1 und damit
cA=2G
ρS
1
v2(6)
sowie
vS= =vcW
cA
=cW
ρS
2Gv3.(7)
Mit der Bezugsgeschwindigkeit
vref =s2G
ρS (8)
l¨
asst sich Gleichung (7) in der dimensionslosen Form
VS=cWV3(9)
2
schreiben. Dabei wurden die dimensionslosen Geschwindigkeiten V=v/vref und
VS=vS/vref eingef¨
uhrt. Die dimensionslose Form von Gleichung (6) lautet
cA=1
V2.(10)
Der Widerstand setzt sich zusammen aus dem Formwiderstand und dem induzierten
Widerstand. Mit dem Formwiderstandsbeiwert cW F und einer von der Geometrie
des Trag߬
ugels abh¨
angigen Konstanten kgilt (siehe z.B. [1], [5])
cW=cW F +kc2
A.(11)
Einsetzen der Gleichungen (10) und (11) in Gleichung (9) ergibt
VS=cW F V3+k
V.(12)
Diese Gleichung dient als Ausgangspunkt f¨
ur die Entwicklung der Approximations-
ans¨
atze.
3 Approximationsans¨
atze
3.1 Zweigliedriger Ansatz
Gleichung (12) zeigt, dass die Sinkgeschwindigkeit f¨
ur h¨
ohere Geschwindigkeiten
im Wesentlichen vom Formwiderstandsbeiwert cW F abh¨
angt. Bei h¨
oheren Ge-
schwindigkeiten ist wegen Gleichung (10) der Auftriebsbeiwert klein. Da sich der
Widerstandsbeiwert f¨
ur kleine Austriebsbeiwerte meist nur wenig ¨
andert, wenn
sich der Auftriebsbeiwert ¨
andert, liegt der folgende Ansatz f¨
ur die Geschwindig-
keitspolare nahe:
VSC1V3+C2
V(13)
F¨
ur die dimensionsbehafteten Geschwindigkeiten lautet der Ansatz
vSc1v3+c2
v.(14)
Die Konstanten C1und C2bzw. c1und c2werden so bestimmt, dass die Summe
der Quadrate der gewichteten Residuen minimal wird. Die L¨
osung dieses Aus-
gleichsproblems wird in Abschnitt 3.3 beschrieben.
Die Beispiele in Abschnitt 4 zeigen, dass der Ansatz f¨
ur Geschwindigkeiten ober-
halb der Geschwindigkeit des geringsten Sinkens gute Ergebnisse liefert.
Mit dem Ansatz (13) lassen sich die Geschwindigkeiten VGdes besten Gleitens
und Vmdes geringsten Sinkens leicht berechnen. F¨
ur den Gleitwinkel γgilt
γ=VS
V=C1V2+C2
V2.(15)
3
Der Gleitwinkel wird minimal f¨
ur
0 =
dV = 2C1VG2C2
V3
G
.(16)
Daraus folgt f¨
ur die Geschwindigkeit VGdes besten Gleitens
VG=4
rC2
C1
.(17)
Der zugeh¨
orige Gleitwinkel berechnet sich zu
γmin =C1rC2
C1
+C2rC1
C2
= 2pC1C2.(18)
F¨
ur die beste Gleitzahl Eopt folgt
Eopt =1
γmin
=1
2C1C2
.(19)
Die Geschwindigkeit Vmdes geringsten Sinkens berechnet sich aus der Bedingung
0 = dVS
dV = 3C1V2
mC2
V2
m
(20)
zu
Vm=4
rC2
3C1
=VG
4
3= 0,76VG.(21)
Die Geschwindigkeit des geringsten Sinkens betr¨
agt also unabh¨
angig vom Flugzeug-
typ etwa 75% der Geschwindigkeit des besten Gleitens.
Mithilfe der Gleichungen (17) und (19) lassen sich die Koeffizienten C1und C2
auch aus der Geschwindigkeit VGdes besten Gleitens und der besten Gleitzahl
Eopt berechnen. Zun¨
achst folgt aus Gleichung (17)
C1V4
G=C2(22)
und aus Gleichung (19)
C1C2=1
4E2
opt
.(23)
Au߬
osen nach den Koeffizienten ergibt
C1=1
2V2
GEopt
und C2=V2
G
2Eopt
.(24)
Damit gilt f¨
ur die Sinkgeschwindigkeit
VS
V=1
2Eopt "V
VG2
+VG
V2#(25)
und f¨
ur den Gleitwinkel
γ
γmin
=Eopt
E=1
2"V
VG2
+VG
V2#.(26)
4
3.2 Dreigliedriger Ansatz
Bei niedrigen Flugeschwindigkeiten ist ein hoher Auftriebsbeiwert n¨
otig. Dabei
steigt der Widerstandsbeiwert stark an. Um diesen Anstieg zu erfassen, wird f¨
ur
den Formwiderstandsbeiwert cW F der Ansatz
cW F cW1+cW2
(cAcP)2(27)
mit den Konstanten cW1,cW2und dem Pol cPgemacht. Mit
cA=1
V2
und
cP=1
V2
P
(28)
folgt
cW F =cW1+cW2
1
V21
V2
P2=cW1+cW2V2
PV2
V2
PV22
.(29)
Einsetzen von Gleichung (29) in Gleichung (11) und anschließend in Gleichung (9)
ergibt
VS=cW1V3+cW2V2
PV2
V2
PV22
V3+k
V.(30)
Das f¨
uhrt auf den dreigliedrigen Ansatz
VSC1V3+C2
V+C3V2
PV2
V2
PV22
V3(31)
bzw.
vSc1v3+c2
v+c3v2
Pv2
v2
Pv22
v3.(32)
Die Polgeschwindigkeiten VPbzw. vPwerden vorgegeben. Sie m¨
ussen unterhalb
der Mindestgeschwindigkeit liegen. Die Koeffizienten C1bis C3bzw. c1bis c3
werden wieder durch die L¨
osung eines Ausgleichsproblems bestimmt.
Die Beispiele in Abschnitt 4 zeigen, dass sich mit dem dreigliedrigen Ansatz eine
hervorragende ¨
Ubereinstimmung f¨
ur den gesamten Geschwindigkeitsbereich errei-
chen l¨
asst. Die Lage der Polgeschwindigkeiten wurde dabei von Hand angepasst.
3.3 L¨
osung des Ausgleichsproblems
Sowohl der zweigliedrige als auch der dreigliedrige Ansatz lassen sich in der Form
VS(V) = f(V)c(33)
5
mit
f=f1(V). . . fm(V)(34)
und
c=
C1
.
.
.
Cm
(35)
schreiben. F¨
ur den zweigliedrigen Ansatz gilt m= 2 und f¨
ur den dreigliedrigen
m= 3. Die Funktionen lauten
f1(V) = V3, f2(V) = 1
V, f3(V) = V2
PV2
V2
PV22
V3.
Die nMesswerte k¨
onnen in der Regel durch einen Ansatz mit m < n Koeffizienten
nicht exakt wiedergegeben werden. Daher bleiben die Residuen
ri=f(Vi)cVSi , i = 1, . . . , n . (36)
Die Koeffizienten cwerden so bestimmt, dass die Summe der Quadrate der ge-
wichteten Residuen
s(c) =
n
X
i=1
(wiri)2(37)
minimal wird. Dabei sind die wivorgegebene Gewichtungsfaktoren.
Mit den Matrizen
r=
w1r1
.
.
.
wnrn
,F=
w1f(V1)
.
.
.
wnf(Vn)
und b=
w1VS1
.
.
.
wnVSn
lautet Gleichung (37):
s(c)=(Fc b)T(Fc b) = cTFTFc 2cTFTb+bTb(38)
Der Ausdruck hat ein Minium f¨
ur (siehe z.B. [6])
FTFc =FTb.(39)
Obwohl Gleichung (39) ein lineares Gleichungssystem mit symmetrischer Matrix
ist, empfiehlt sich eine direkte L¨
osung nicht, da das Gleichungssystem in der Regel
sehr schlecht konditioniert ist [6]. Eine stabilere L¨
osung ergibt sich mithilfe der
QR-Zerlegung
F=QR .(40)
Dabei ist Qeine orthogonale Matrix und Reine obere Dreiecksmatrix.
Einsetzen der QR-Zerlegung (40) in Gleichung (39) ergibt
RTQTQRc =RTQTb.(41)
6
Wenn die Ansatzfunktionen linear unabh¨
angig sind, ist die Matrix Rregul¨
ar.
Außerdem gilt
QTQ=I.(42)
Damit folgt aus Gleichung (41)
Rc =QTb,(43)
woraus sich die Koeffizientenmatrix cleicht durch R¨
uckw¨
artseinsetzen berechnen
l¨
asst.
4 Beispiele
Die Beispiele wurden mithilfe von Octave [3] berechnet. Dabei wurde die Funktion
qr f¨
ur die QR-Zerlegung verwendet.
Bei der Bewertung der Approximation muss ber¨
ucksichtigt werden, dass die im
Vergleichsflug gemessenen Werte bei der fotogrammetrischen Messmethode einen
Fehler von 2% bis 5% aufweisen [2]. Bei der in [7] beschriebenen sensorischen
Messmethode betr¨
agt der Fehler in der Vertikalgeschwindigkeit 0,01m/s.
4.1 LS1F D-7741
Bei der LS1F mit dem Kennzeichen D-7741 handelt es sich um ein Segelflugzeug,
das f¨
ur die Segelflugweltmeisterschaften in R¨
aysk¨
al¨
a 1976 gebaut wurde. Es un-
terscheidet sich durch sehr sorgf¨
altig gestaltete Rumpf-Fl¨
ugel- ¨
Uberg¨
ange von den
anderen Flugzeugen des Typs LS1F. Die Messdaten f¨
ur die Geschwindigkeitspo-
lare konnten der Lebenslauf-Akte des Flugzeugs entnommen werden. Sie beziehen
sich auf eine Fl¨
achenbelastung von 330,6N/m2.
Beim zweigliedrigen Ansatz wurden die Messwerte im Bereich der besten Gleitzahl
st¨
arker gewichtet, um in diesem Geschwindigkeitsbereich eine bessere ¨
Ubereinstim-
mung zu erzielen. Beim dreigliedrigen Ansatz wurden alle Messwerte gleich stark
gewichtet. F¨
ur die Polgeschwindigkeit vPwurde ein Wert von 13m/s gew¨
ahlt.
Damit ergeben sich die folgenden Werte f¨
ur die Koeffizienten:
c1c2c3
Zweigliedriger Ansatz: 20.0861 9.27685
Dreigliedriger Ansatz: 5.51221 5.36708 4.59609
106s2/m2m2/s21010s2/m2
Aus der Gr¨
oßenordnung der Koeffizienten kann nicht auf die Beitr¨
age der einzelnen
Funktionen geschlossen werden, da sich auch die Gr¨
oßenordnungen der Funktions-
werte stark unterscheiden. Bei einer Geschwindigkeit von 30m/s ist z. B.
f1(30m/s)=2.7·104m3/s3,
f2(30m/s)=3.3333 ·102s/m und
f3(30m/s)=1.1689 ·109m3/s3.
7
Aus den Koeffizienten f¨
ur den zweigliedrigen Ansatz berechnet sich die Geschwin-
digkeit des besten Gleitens zu
vG=4
s9,27685m2/s2
2.00861 ·105s2/m2= 26,07m/s .
F¨
ur die beste Gleitzahl ergibt sich
Eopt =1
2p2.00861 ·105·9,27685 = 36,63 .
Tabelle 1 zeigt einen Vergleich der gemessenen Werte mit den approximierten
Werten. F¨
ur beide Ans¨
atze liegen die Abweichungen in der Gr¨
oßenordnung der
Messgenauigkeit. Der dreigliedrige Ansatz liefert eine etwas bessere ¨
Ubereinstim-
mung. In der graphischen Darstellung (Abbildung 2) lassen sich die beiden Kurven
kaum unterscheiden, und die Messpunkte liegen praktisch auf den durch die Ap-
proximationen gegebenen Kurven.
4.2 Mininimbus
F¨
ur den Mininimbus standen Messwerte auch f¨
ur den Langsamflugbereich zur
Verf¨
ugung. Anhand dieser Daten konnte ¨
uberpr¨
uft werden, wie gut der drei-
gliedrige Ansatz in der Lage ist, den Langsamflugbereich abzubilden.
F¨
ur den zweigliedrigen Ansatz wurden die Messwerte im Langsamflugbereich aus
der Anpassung herausgenommen, indem die Gewichte zu null gesetzt wurden.
F¨
ur den dreigliedrigen Ansatz wurden alle Messwerte gleich gewichtet und eine
Polgeschwindigkeit von 60km/h verwendet.
Damit ergeben sich die folgenden Werte f¨
ur die Koeffizienten:
c1c2c3
Zweigliedriger Ansatz: 3.49598 32.567
Dreigliedriger Ansatz: 3.09848 27.6334 2.7123
107mh3/skm3mkm/sh 1010 mh3/skm3
Die Ergebnisse sind in Tabelle 2 und Abbildung 3 dargestellt. Ab einer Geschwin-
digkeit von 85km/h liefern beide Ans¨
atze gute Ergebnisse. Mit dem dreigliedrigen
Ansatz wird auch der Geschwindigkeitsbereich unterhalb von 85km/h gut erfasst,
w¨
ahrend der zweigliedrige Ansatz hier erwartungsgem¨
versagt.
4.3 ASW20
F¨
ur die ASW20 standen Messdaten f¨
ur die einzelnen Klappenstellungen zur Ver-
f¨
ugung. Sie beziehen sich auf eine Fl¨
achenbelastung von 326N/m2.
Die Ergebnisse f¨
ur eine Approximation mit dem dreigliedrigen Ansatz sind in
Tabelle 3 und Abbildung 4 dargestellt. F¨
ur alle vier Klappenstellungen kann eine
gute ¨
Ubereinstimmung zwischen den Messwerten und den approximierten Werten
festgestellt werden.
8
5 Bewertung
Bereits mit dem zweigliedrigen Ansatz l¨
asst sich eine gute Anpassung im f¨
ur
den Streckenflug relevanten Geschwindigkeitsbereich erreichen. Der Ansatz kann
mithilfe der besten Gleitzahl und der Geschwindigkeit des besten Gleitens geschrie-
ben werden. Dazu m¨
ussen diese Daten jedoch mit hoher Genauigkeit vorliegen.
Besser ist die Ermittlung der Koeffizienten durch Minimierung der Summe der
Fehlerquadrate.
Duch Erweiterung auf einen dreigliedrigen Ansatz gelingt eine gute Anpassung
auch f¨
ur niedrige Geschwindigkeiten. Dabei muss eine Polgeschwindigkeit vorge-
geben werden. Der dreigliedrige Ansatz liefert auch im h¨
oheren Geschwindigkeits-
bereich eine etwas bessere ¨
Ubereinstimmung als der zweigliedrige Ansatz.
6 Danksagung
Es ist nicht einfach, Messwerte von Polaren zu erhalten. Die Daten f¨
ur den Mi-
ninimbus wurden von Prof. Richard Eppler und die Daten f¨
ur die ASW20 von
Nikolai Kresse zur Verf¨
ugung gestellt. Daf¨
ur m¨
ochte ich mich herzlich bedanken.
Literatur
[1] J. D. Anderson, Fundamentals of Aerodynamics, 3. Auflage, McGraw-Hill, 2001
[2] L. Dorn, Flugleistungsvermessung von Segelflugzeugen im Vergleichsflugver-
fahren, Vortrag zum Seminar f¨
ur Luft- und Raumfahrttechnik, Institut f¨
ur
Flugf¨
uhrung, TU-Braunschweig, 1982
[3] J. W. Eaton, Octave, http://www.gnu.org/software/octave, [27. Septem-
ber 2011]
[4] H. Reichmann, Streckensegelflug, 6. Auflage, Motorbuchverlag, Stuttgart 1985
[5] H. Schlichting, E. Truckenbrodt, Aerodynamik des Flugzeuges, Zweiter Band,
2. Auflage, Springer Verlag 1969
[6] H. R. Schwarz, H. Rutishauser, E. Stiefel, Numerik symmetrischer Matrizen,
2. Auflage, Teubner 1972
[7] G. Wende, Ermittlung der Flugleistung von Segelflugzeugen, Dissertation,
Braunschweig 2003
9
A Tabellen
v w vSvS/vSEE/E
M A2 A3 A2 A3 M A2 A3 A2 A3
20.00 0.50 0.64 0.62 0.63 -2.42 -1.98 31.25 32.02 31.88 2.48 2.02
22.50 1.00 0.64 0.64 0.64 0.17 -0.27 35.16 35.10 35.25 -0.17 0.27
25.00 3.00 0.68 0.68 0.69 0.72 0.90 36.76 36.50 36.44 -0.72 -0.89
27.50 3.00 0.75 0.76 0.76 0.68 1.67 36.67 36.42 36.06 -0.67 -1.64
30.00 2.00 0.86 0.85 0.86 -0.98 0.58 34.88 35.23 34.68 0.99 -0.58
32.50 1.00 0.99 0.97 0.99 -1.52 0.30 32.83 33.33 32.73 1.54 -0.30
35.00 1.00 1.15 1.13 1.15 -2.07 -0.26 30.43 31.08 30.51 2.11 0.26
37.50 1.00 1.33 1.31 1.33 -1.76 -0.15 28.20 28.70 28.24 1.79 0.15
40.00 1.00 1.54 1.52 1.54 -1.47 -0.18 25.97 26.36 26.02 1.49 0.18
42.50 1.00 1.78 1.76 1.78 -1.11 -0.23 23.88 24.14 23.93 1.12 0.23
45.00 1.00 2.05 2.04 2.05 -0.66 -0.22 21.95 22.10 22.00 0.66 0.22
47.50 1.00 2.34 2.35 2.35 0.34 0.33 20.30 20.23 20.23 -0.34 -0.32
50.00 1.00 2.68 2.70 2.68 0.61 0.14 18.66 18.54 18.63 -0.60 -0.14
52.50 1.00 3.06 3.08 3.06 0.76 -0.14 17.16 17.03 17.18 -0.75 0.14
m/s m/s m/s m/s % % % %
M Messwerte
A2 Approximation mit zweigliedrigem Ansatz
A3 Approximation mit dreigliedrigem Ansatz
Die Gewichte wwurden nur f¨
ur den zweigliedrigen Ansatz verwendet. F¨
ur den
dreigliedrigen Ansatz wurde eine Polgeschwindigkeit vPvon 13m/s gew¨
ahlt.
Tabelle 1: Ergebnisse f¨
ur die LS1F
10
v w vSvS/vSEE/E
M A2 A3 A2 A3 M A2 A3 A2 A3
67.50 0.00 0.75 0.59 0.75 -21.33 0.01 25.00 31.78 25.00 27.12 -0.01
70.00 0.00 0.67 0.59 0.67 -12.66 0.35 29.02 33.23 28.92 14.50 -0.35
75.00 0.00 0.62 0.58 0.61 -6.18 -1.03 33.60 35.81 33.95 6.58 1.05
80.00 1.00 0.61 0.59 0.60 -3.92 -1.95 36.43 37.92 37.16 4.08 1.99
85.00 1.00 0.60 0.60 0.60 -0.36 0.19 39.35 39.49 39.28 0.36 -0.19
90.00 1.00 0.62 0.62 0.62 -0.53 -0.65 40.32 40.54 40.59 0.53 0.66
95.00 1.00 0.64 0.64 0.64 0.40 -0.01 41.23 41.07 41.24 -0.40 0.01
100.00 1.00 0.67 0.68 0.67 0.79 0.30 41.46 41.14 41.34 -0.78 -0.30
105.00 1.00 0.72 0.71 0.71 -0.71 -1.17 40.51 40.80 40.99 0.72 1.18
110.00 1.00 0.76 0.76 0.76 0.18 -0.21 40.20 40.13 40.29 -0.18 0.21
115.00 1.00 0.80 0.81 0.81 1.86 1.56 39.93 39.20 39.32 -1.83 -1.53
120.00 1.00 0.88 0.88 0.87 -0.51 -0.72 37.88 38.07 38.15 0.51 0.72
130.00 1.00 1.02 1.02 1.02 -0.14 -0.20 35.40 35.45 35.47 0.14 0.20
140.00 1.00 1.18 1.19 1.19 1.01 1.05 32.96 32.63 32.62 -1.00 -1.04
150.00 1.00 1.38 1.40 1.40 1.23 1.31 30.19 29.83 29.80 -1.22 -1.29
160.00 1.00 1.61 1.64 1.64 1.58 1.66 27.61 27.17 27.15 -1.56 -1.64
165.00 1.00 1.76 1.77 1.77 0.44 0.51 26.04 25.93 25.91 -0.44 -0.51
170.00 1.00 1.90 1.91 1.91 0.48 0.54 24.85 24.73 24.72 -0.48 -0.53
175.00 1.00 2.05 2.06 2.06 0.47 0.51 23.71 23.60 23.59 -0.47 -0.51
180.00 1.00 2.23 2.22 2.22 -0.46 -0.45 22.42 22.52 22.52 0.46 0.45
185.00 1.00 2.42 2.39 2.39 -1.26 -1.27 21.24 21.51 21.51 1.27 1.29
190.00 1.00 2.58 2.57 2.57 -0.41 -0.46 20.46 20.54 20.55 0.42 0.46
km/h m/s m/s m/s % % % %
M Messwerte
A2 Approximation mit zweigliedrigem Ansatz
A3 Approximation mit dreigliedrigem Ansatz
Die Gewichte wwurden nur f¨
ur den zweigliedrigen Ansatz verwendet. F¨
ur den
dreigliedrigen Ansatz wurde eine Polgeschwindigkeit vPvon 60km/h gew¨
ahlt.
Tabelle 2: Ergebnisse f¨
ur den Mininimbus
11
WK1 WK2 WK3 WK4
vP= 60.00km/h vP= 60.00km/h vP= 60.00km/h vP= 67.00km/h
v vSvSvSvS
M A3 Diff. M A3 Diff. M A3 Diff. M A3 Diff.
69.50 0.76 0.75 -0.72
70.00 0.70 0.71 1.25
75.00 0.63 0.64 0.82 0.62 0.61 -1.16
80.00 0.60 0.59 -1.32 0.61 0.61 -0.44
85.00 0.59 0.59 -0.47 0.61 0.62 1.16
90.00 0.61 0.60 -1.22 0.63 0.64 0.99
95.00 0.63 0.63 0.21 0.67 0.66 -0.99
100.00 0.67 0.68 0.91 0.67 0.67 0.08
110.00 0.75 0.75 -0.13 0.76 0.78 2.07
120.00 0.88 0.87 -0.74 0.90 0.91 1.50
123.00 0.91 0.91 -0.15
130.00 1.00 1.00 0.07 1.03 1.03 -0.11 1.10 1.08 -1.53
140.00 1.15 1.15 0.25 1.21 1.21 -0.25
150.00 1.33 1.33 -0.10 1.40 1.40 0.33
160.00 1.53 1.53 -0.14 1.62 1.62 0.03
170.00 1.75 1.75 0.08
180.00 2.00 2.00 -0.00
km/h m/s m/s %m/s m/s %m/s m/s %m/s m/s %
Tabelle 3: Ergebnisse f¨
ur die ASW20
12
B Abbildungen
A2 Approximation mit zweigliedrigem Ansatz
A3 Approximation mit dreigliedrigem Ansatz
Abbildung 2: Vergleich der Polaren der LS1F
13
A2 Approximation mit zweigliedrigem Ansatz
A3 Approximation mit dreigliedrigem Ansatz
Abbildung 3: Vergleich der Polaren des Mininimbus
Approximation mit dreigliedrigem Ansatz
Abbildung 4: Vergleich der Polaren der ASW20
14
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