Available via license: CC BY-NC 4.0
Content may be subject to copyright.
ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА, ТЕХНИКА. 2023, №1
УДК 517.956.6
https://doi.org/10.52754/16948645_2023_1_59
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НАГРУЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛО-
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА В БЕСКОНЕЧНОЙ
ТРЁХМЕРНОЙ ОБЛАСТИ
Исломов Бозор Исломович, д.ф.-м.н., профессор,
Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека,
islomovbozor@yandex.com
Аликулов Ёлкин Кодирович, д.ф.ф.-м. (PhD), и.о.доцент,
Ташкентский университет информационных технологий имени Мухаммада ал-Хоразмий и
Нурафшонский филиал Ташкентского университета информационных технологий имени Мухаммада ал-
Хоразмий,
aliqulov.yolqin.1984@mail.ru
Ташкент, Узбекистан
Аннотация. В данной работе формулируется и изучается задача с условиями Геллерстедта на разных
характеристических плоскостях для нагруженного уравнения параболо-гиперболического типа третьего
порядка в трехмерной области. Основным методом исследования поставленной задачи является
преобразование Фурье. На основе преобразования Фурье задача и уравнение сводится к плоскому аналогу
задачи Геллерстедта со спектральным параметром, как в уравнении, так и в граничных условиях.
Доказана единственность решения поставленной задачи с помощью нового принципа экстремума для
нагруженных уравнений смешанного типа третьего порядка. Используя общего представления решения,
доказывается существования решения задачи методом интегральных уравнений. Кроме того, изучено
асимптотическое поведение решения задачи при больших значениях спектрального параметра. Найдены
достаточные условия, при которых все операции законны.
Ключевые слова: Уравнение третьего порядка, нагруженное уравнение, задача Геллерстедта,
преобразование Фурье, регулярное решение, принцип экстремума, оценка решения.
BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR LOADED THIRD-ORDER PARABOLIC-
HYPERBOLIC EQUATION IN AN INFINITE THREE DIMENSIONAL DOMAIN
Islomov Bozor Islomovich, Dr Sc, professor,
National university of Uzbekistan named after Mirzo Ulugbek,
islomovbozor@yandex.com
Alikulov Yolqin Kodirovich, PhD, a.a.professor,
Tashkent university of information technologies named after Muhammad al-Khwarizmi and Nurafshon
branch of the Tashkent university of information technologies named after Muhammad al-Khwarizmi,
aliqulov.yolqin.1984@mail.ru
Tashkent, Uzbekistan
Abstract. In this paper, we formulate and study the problem with Gellerstedt conditions on different
characteristic planes for a loaded parabolic-hyperbolic equation of the third order in a three-dimensional domain.
The main method of the study of the problem is the Fourier transform. Based on the Fourier transform, the problem
and equation are reduced to a planar analogue of the Gellerstedt problem with a spectral parameter, both in the
equation and in boundary conditions.
The uniqueness of the solution of the problem is proved using a new extremum principle for loaded equations of
mixed type of the third order. Using a general representation of the solution, the existence of a solution to the problem
by the method of integral equations is proved. In addition, the asymptotic behavior of the solution of the problem for
large values of the spectral parameter is studied. Sufficient conditions have been found under which all operations
are legal.
Key words:. Third-order equation, loaded equation, Gellerstedt problem, Fourier transform, regular solution,
extremum principle, estimation of the solution.
Рассмотрим уравнение
(1)
0
1 2 3
( ,0, ) ,
0( ,0, ) .
y xx zz
yy xx zz
U U U U x z в
xU U U U x z в
Пусть
- область трёхмерного пространства , ограниченная поверхностями:
где
(2)
Уравнения (1) является параболическим и гиперболическим в областях и
соответственно.
Введём обозначения:
, ,
,
, , ,
, , .
Определение 1. множество функций , определенных в и
абсолютно интегрируемых по переменному z в интервале .
Определение 2. Функция называется регулярным решением уравнения (1),
если она удовлетворяет следующим условиям:
1)
2) кроме того, функции
и могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы на
линиях и ;
3)
и удовлетворяет уравнению (1).
В области для уравнения (1) исследуем следующую задачу.
Задача . Требуется найти в области регулярное решение
0 1 2 3 0 1 0 2
13
23
( , , )x y z
0: 0, 0 , ( , ),x y h z
1: 1, 0 , ( , ),x y h z
2: , 0 1, ( , ),y h x z
0
1: 0, 0, 0 , ( , ),
2
x
S x y y x z
0
2 0 0
:, 0, , ( , ),
2
x
S x y x y x x z
0
3 0 0
:1
, 0, , ( , ),
2x
S x y x y x x z
4:1
1, 0, 1, ( , ),
2
S x y y x z
0[0,1],x
0const
0
( 1,3)
jj
0 1 0 2 3
(0,0, ) , ( ,0, ) ,A z S S E x z S S
0 0 0 0
1 1 2 2 3 4 1 4
11
; ; , ; ; , (1,0, ) ,
2 2 2 2
x x x x
C z S S C z S S B z S
0,( , , ): 0, 0, ( , )x y z x y z
1 2 3
1 2 1 2
, , ,AC E EC B C EC B
0, , : 0 1, 0, ( , )I x y z x y z
10
, , : 0 , 0, ( , )I x y z x x y z
20
, , : 1, 0, ( , )I x y z x x y z
0 0 1,lS
1 1 4 ,lS
2 2 3,l S S
0 , 0 , ( 0,3)
ii
D z D z i
0 , ( 1,4)
jj
S z j
0 , ( 0,2)
ii
zi
0 , 0,2
jj
J I z j
10 1 2
,0E x J J
0 1 2
J J J
,L
( , , )x y z
,
( , , )U x y z
( , , ) ( ) ( , );U x y z C L
( , , ), ( , , ), ( , , ) ( ) ( , ),
x y z
U x y z U x y z U x y z C L
,,
x
U x y z
,,
y
U x y z
01
,ll
2
l
0 1 2 3 0
, ( ) ( , ), ( ) ( , ),
xxx xzz xy
UU С L U C L
1 2 3
( ) ( , )
xyy
U C L
AG
( , , )U x y z
уравнения (1), удовлетворяющее условиям
, (3)
, (4)
, (5)
, (6)
, (7)
где внутренняя нормаль, заданные функции,
причем
(8)
(9)
О предположениях относительно поведения функций мы можем ввести
следующие преобразования Фурье по переменной z:
(10)
Если функция
(11)
является решением задачи , то функция должна быть регулярным решением
задачи
01
01
( , ), ( , ), 0 , ( , )U y z U y z y h z
1
0, , 0 , ( , )
x
U y z y h z
30
20
22
( , ), ( , ), , ( , )
2
SS
U
n
x
U x z x z x x z
45
0
0
33
1
( , ), ( , ), , ( , )
2
SS
U
n
x
U x z x z x x z
( , , ) ( , , ) ( , , )
lim ( , , ) lim lim lim 0
z z z z
U x y z U x y z U x y z
U x y z x y z
n
01
( , ), ( , ), ( , ), ( 1,5)
j
y z y z x z j
2 0 3 0
( , ) ( , ) 0,x z x z
01
0( , ) ( , ),hzz
11
1( , ) ( , ),hzz
( , ) 0; ( , ), ( , ) (0; ) ( , ), ( 0,1),
j jy
y z C h R L y z C h R L j
2
1( , ) 0, 0, ( , ),y z C h R C h R L
23
00
2 0 0
( , ) , , ( , ),
22
xx
x z C x R C x R L
13
00
3 0 0
( , ) , , ( , ),
22
xx
x z C x R C x R L
23
00
3 0 0
11
( , ) , , ( , ),
22
xx
x z C x R C x R L
13
00
5 0 0
11
( , ) , , ( , ),
22
xx
x z C x R C x R L
0, ,lim ( , ) 0, ( 0,1),
i
zhy z y i
0
00
0
,,
2
1
lim ( , ) 0, ( 2,3), lim ( , ) 0, ( 4,5).
2
m
k
zz
x
xx
x z x k x z x x m
( , , )U x y z
1
( , ; ) ( , ; ) .
2
iz
u x y U x y z e dz
1
, , , ;
2
iz
U x y z u x y e d
AG
( , ; )uxy
.AG
Применяя преобразование Фурье (11) к уравнению (1) и задачу , получим
следующее уравнение
(12)
и задаче : Определить функцию такую, что
1)
2) является регулярным решением уравнения (12) в областях ;
3) удовлетворяет условиям
(13)
(14)
, (15)
(16)
где заданные функции, причем
(17)
и
(18)
(19)
(20)
(21)
, (22)
Любое регулярное решение уравнения (12) представимо в виде[1],[2]:
, (23)
где решение уравнения
(24)
здесь
AG
2
2
( ,0, ), 0, 0, , ,
0( ,0, ), 0, 0, ,
y xx
yy xx
u u u u x x y
xu u u u x x y
AG
( , , )u x y
1
( , , ) ;u x y C D C D
( , , )u x y
, ( 0,3)
k
Dk
( , , )u x y
01
01
( , ), ( , ), 0 , ( , ),u y u y y h
1
2( , ), 0 1, ( , ),u x x
30
20
22
( , ), ( , ), , ( , )
2
u
n
x
u x x x x
45
0
0
33
1
( , ), ( , ), , ( , ),
2
u
n
x
u x x x x
01
( , ), ( , ), ( , ), ( 1,3)
j
y y x j
,,
11
( , ) ( , ) , ( 0,1) ( , ) ( , ) , ( 1,5)
22
i z i z
i i j j
y y z e dz i x x z e dz j
2 0 3 0
( , ) ( , ), 0xx
01
( , ) (0, ),h
11
( , ) (1, ),h
1
( , ) 0; (0, ), ( 0,1),
iy C h C h i
3
1( , ) 0,1 (0,1),x C C
23
00
2 0 0
( , ) , , ,
22
xx
x C x C x
13
00
3 0 0
( , ) , , ,
22
xx
x C x C x
23
00
4 0 0
11
( , ) ; ;
22
xx
x C x C x
13
00
5 0 0 .
11
( , ) ; ;
22
xx
x C x C x
( , ; ) ( , ; ) ( ; )u x y x y y
( , , )xy
2
2
0
1 2 3
( ,0, ), ( , ) , , ,
0( ,0, ), ( , ) , , ,
y xx
yy xx
x x y D
x x y D D D
(25)
а произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции [3],
[4] причем без ограничения общности можем полагать, что
(26)
В силу представления (23) с учетом (25), задача редуцируется к задаче
нахождения регулярного в области решения уравнения (24),
удовлетворяющего условиям
(27)
(28)
, (29)
, (30)
, (31)
(32)
где пока неизвестная функция.
Применяя метод, использованный в работе [5], любое регулярное решение
уравнения (24) представим в виде
, (33)
где решение уравнения
(34)
а решение следующего обыкновенного дифференциального уравнения
, (35)
где , .
Замечание 1. Учитывая, что функция удовлетворяет
уравнению (34), при исследовании задачи без ограничения общности можно
предполагать, что
0
0
0
1
2
( ; ), 0, ,
( ; ) ( ; ), ,0 ,
2
1
( ; ), ,0 ,
2
y y h
x
y y y
x
yy
( , )
iy
( 0,2)i
0 0 1 1 0 0
(0; ) (1; ) 0, (0; ) ( ; ) 0, ( ; ) (1; ) 0.xx
AG
*
AG
D
( , ; )xy
00
01
01
( ; ) ( ; ), ( ; ) ( ; ), 0 , ,y y y y y h R
1
2( ; ), 0 , ,
xy y h R
02 0 0
21
( ; ) ( ; ), 2 ,x x x x x x R
03 0 0
21
1
( ; ) ( ; ), 2 ,
2
nx x x x x x R
04 0 0
32
( ; ) ( ; ), 1 2,x x x x x x R
5 0 0
320
1
( ; ) ( ; ), 1 2, ,
2
nx x x x x x R
( ; ) ( 0,2)
iyi
( , , ) ( , , ) ( , )x y w x y x
( , , )w x y
20
2
,
0( 1,3),
y xx
yy xx j
w w w вD
w w w в D j
( , )x
2
''( , ) ( , ) ( ,0, )x x w x
0 1,x
00
( , ) ( , ),x x x J
11
,( , ) ( , ),x x x J
22
( , ) ( , ),x x x J
, ( 0,2)
jj
a ch x b sh x j
*
AG
, (360)
, (361)
(362)
Решение задач (35), (360); (35), (361) и (35), (362) соответственно представим в виде
(370)
(371)
и
.
(372)
В силу представления (33) с учетом (360), (361), (362) задача редуцируется к
задаче нахождения в области регулярного решения уравнения (34),
удовлетворяющего условиям
(38)
(39)
, (40)
(41)
(42)
00
(0, ) 1, 0
1 1 0
(0, ) , 0x
2 0 2
, (1, ) 0.x
1
22
022
0
1()
( , ) ( ,0, )
sh x
x sh t w t dt
sh
12
2,( ) ( ,0, ) , 0 1
x
sh x t w t dt x
202
0
122
0
0
()
( , ) ( ,0, )
x
sh x x
x sh t w t dt
shx
020
2( ) ( ,0, ) , 0
x
x
sh x t w t dt x x
22
12
0
222
00
( , ) (1 ) ( ,0, )
1x
shx ch x
x sh t w t dt
sh x
22
12
0
22
00
(1 ) ( ,0, )
( 1) x
chx shx sh t w t dt
sh x
20
20
( ) ( ,0, ) , 1
x
x
sh x t w t dt x x
*
AG
*
1
AG
D
( , , )w x y
00
11
01
( ; ) ( ; ), ( ; ) ( ; ), 0 ,w y y w y y y h
10
2( , ) ( , ), 0 1,
x
w y x x
00
20
11
2( ; ) ( ; ) ( , ), ,
2
x
w x x x x x x
03 0 0
212
11
( ; ) ( ; ) ( , ), 2 ,
22
n
w x x x x x x x
00
40
22
3
1
( ; ) ( ; ) ( , ), ,
2
x
w x x x x x x
(43)
где определяются из (37i ) .
Для доказательства единственности решение задачи и играет
важную роль следующая лемма.
Лемма 1. Если
и
то
, ,
здесь
Лемма доказывается с помощью аналога принципа экстремума А.В. Бицадзе [6].
Теорема 1. Если выполнены условия леммы 1 и
то в области соответственно задачи и для уравнения (24) и (34) может иметь
не более одного решения.
Теорема 1 доказывается с помощью принципа экстремума для параболических
уравнений [1], [7].
Теорема 2.Если выполнены условия теоремы 1, то в области задача может
иметь не более одного решения.
Используя представление решение (23) и (33) с учетом условия леммы 1 докажем
единственность решения задачи для уравнения (1).
Теорема 3. Если выполнены условия (2), (18) - (22), то решение задачи для
уравнения (12) существует.
Теорема 3 доказывается методом интегральных уравнений [8].
Из теоремы 3 следует существование решения задачи для уравнения (1).
Литература
1. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического
типа[Teкст] / Т.Д. Джураев, А. Сопуев, М. Мамажонов // Ташкент: «Фан». 1986. 220 с.
2. Салахитдинов, М.С. Уравнения смешанно-составного типа[Teкст] / М.С.
Салахитдинов// Ташкент: «Фан». 1974. 156 с.
3. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного
типа[Teкст] / Т.Д. Джураев // Ташкент: «Фан». 1979. 240 с.
4. Islomov, B. Boundary value problems for a third-order loaded parabolic-hyperbolic
equation with variable coefficients[Text] / B.Islomov, U.I. Baltaeva // EJDE. Texas State
University San Marcos, 2015. V. 2015. № 221. Pp. 1-10.
5. Исломов, Б. Краевые задачи для смешанного нагруженного уравнения третьего
порядка параболо-гиперболического типа[Teкст] / Б.Исломов, Д.М. Курьязов // “Узбекский
математический журнал”. 2000. № 2. С. 29-35.
6. Бицадзе, А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных[Teкст] / А.В.
Бицадзе // М.: Наука. 1981. 448 с.
05
312
11
( ; ) ( ; ) ( , ),
22
n
w x x x x
( , ), ( 0,2)
ixi
,AG
AG
AG
01
( , ) ( , ) 0, [0, ],y y y h
1( , ) 0, 0, ,y y h
0
23 0
( , ) ( , ) 0, ,
2
x
x x x x
0
5
40
1
( , ) ( , ) 0, , ,
2
x
x x x x
( , ),
( , ) 0
jx
( 0,2)
j
x J j
.( , ) ( ,0, ),
jj
x w x x J
( , ) 0,
jx
( 0,2),
j
x J j
D
AG
1
AG
AG
АG
AT
АG
7. Ильин, А.М., Линейные уравнения второго порядка параболического типа[Teкст]
/ А.М.Ильин, А.С.Калашников, О.А.Олейник // ЖВМиМФ.1965. 4(6). С.1006-1024.
8. Islomov, B.I. Boundary value problem for loaded equation of parabolic-giperbolic type
of the third order in an infinite three-dimensional domain [Text] / B.I.Islomov, Y.K. Alikulov
//International journal of applied mathematics, 2021, Vol.34, No.2, pp.158-170.
