Théorie de bifurcation et de stabilité pour une équation de Schrödinger avec une non-linéarité compacte

Article (PDF Available) · January 2008with522 Reads
DOI: 10.5075/epfl-thesis-4233 · Source: OAI
Abstract
The nonlinear Schrödinger equation (1) i∂tw + Δw +V(x)|w|p-1w = 0 w = w(t,x) : Ι × R^N → C, N ≥ 2, is studied, with p > 1, V : R^N \ {0} → R and Ι ⊂ R an interval. The coefficient V is subject to various hypotheses. In particular, it is always assumed that V (x) → 0 as |x| → ∞. Situations where V is unbounded at the origin are considered. A special attention is paid to the radial case. Seeking solutions of (1) as standing waves w(t,x) = e^{iλt}u(x) leads naturally to the semilinear elliptic equation (2) Δu - λu + V(x)|u|^{p-1}u = 0 u : R^N → R, N ≥ 2. The main goals of the thesis are to establish existence and bifurcation results for (2), to discuss the orbital stability of the standing waves of (1) corresponding to the solutions found in (A). First, in Chapter 1, in the case where V is radial, a variational approach shows the existence of ground states for (2). A non-degeneracy property of these solutions is proved, which plays a crucial role in the continuation arguments of Chapter 2. The first part of Chapter 2 establishes local existence and bifurcation results for (2), without any symmetry assumption on V . Under certain hypotheses on the power p and the coefficient V , two branches of solutions are obtained, in a neighborhood of λ = 0 and in a neighborhood of λ = +∞. The branches are of class C^r if V ∈ C^r(R^N \ {0},R), for r = 0, 1. These independent results are proved by requiring respectively that lim_{|x|→∞} V (x)|x|^b = B > 0 with b ∈ (0, 2) and that lim_{x→0} V (x)|x|^a = A > 0 with a ∈ (0, 2). The asymptotic behaviour along the branches is discussed in detail and depends on the value of p. The second part of Chapter 2 proves the existence of a global branch of solutions of (2), in the case where V is radial. Under appropriate hypotheses, in particular if a ∈ (0, b], the global branch "sticks together" the two local branches obtained in the first part. Chapter 3 is concerned with the orbital stability of the standing waves of (1) corresponding to the solutions of (2) found in the first part of Chapter 2. It is explained in detail how to apply the general theory of orbital stability to (1). Local stability/instability results are proved, in a neighborhood of λ = 0 and in a neighborhood of λ = +∞.
POUR L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR ÈS SCIENCES
PAR
acceptée sur proposition du jury:
Suisse
2008
Prof. C. Pfi ster, président du jury
Prof. C. Stuart, directeur de thèse
Prof. T. Cazenave, rapporteur
Prof. L. Jeanjean, rapporteur
Prof. T. Ratiu, rapporteur
Théorie de bifurcation et de stabilité pour une équation de
Schrödinger avec une non-linéarité compacte
François GENOUD
THÈSE N
O
4233 (2008)
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE
PRÉSENTÉE LE 19 DÉCEMBRE 2008
À LA FACULTÉ SCIENCES DE BASE
CHAIRE D'ANALYSE
PROGRAMME DOCTORAL EN MATHÉMATIQUES
Remerciements
Je tiens tout d’abord à remercier très chaleureusement Charles Stuart de m’avoir donner l’op-
portunité de me lancer dans cette belle aventure mathématique. Je ne saurais dire à quel point
je lui suis reconnaissant, tant pour sa générosité humaine que pour ses hautes compétences pé-
dagogiques et mathématiques. J’ai énormément bénéficié de son enthousiasme, de sa disponib il ité
et de la grande liberté qu’il m’a accordée. Il a aussi su me redonner confiance dans des périodes
de doutes et c’est en partie grâce à lui que je suis mai ntenant décidé à poursuivre l’aventure et à
entreprendre une carrière académique.
Ma reconnaissance va également aux experts, membres de mon jury de thèse, Thierry Cazenave,
Louis Jeanjean et Tudor Ratiu, ainsi qu’au président du jury, Charles Pfister, pour leur lecture
attentive et leurs questions et remarques pertinentes. Je remercie en particulier Louis Jeanjean qui
a mis le doigt sur certaines lacunes dans mon travail et m’a ainsi permis de corriger et de compléter
le présent rapport.
Il y a un peu plus de trois ans que j’ai intégré la Section de Mathématiques de l’EPFL, après
avoir fait mes études en Physique, également à l’EPFL. Mais avant ça, ayant fait ma scolarité
dans des domaines littéraires, je suis passé par le Cours de Mathématiques Spéciales (CMS) de
l’EPFL, qui forme les personnes qui n’ont pas un niveau suffisant, en vue d’intégrer l’école. J’ai
également passé une ann ée en échange à l’ETH de Zürich pendant mes études. Ma formation a ainsi
traversé quatre phases distinctes, au cours desquelles j’ai eu la chance de recevoir un enseignement
d’une grande qualité. Je tiens donc aussi à remercier ceux que je considère aujourd’hui comme mes
mentors.
Tout d’abord, au CMS, Olivier Woringer et Gui do Burmeister, qui ont été mes premiers maîtres,
respectivement de mathématiques et de physique. Quan d je suis entré au CMS, je savais bien peu
de choses dans ces deux domaines et je dois beaucoup à Olivier et à Guido, qui m’ont permis de
commencer mes études à l’EPFL avec une base solide, et surtout, qui m’ont fait découvrir les joies
des mathématiques.
Durant mes études en Physique, j’ai eu de nombreux enseignants de qualité et j’aimerais re-
mercier en particulier Tudor Ratiu, qui a été mon maître d’analyse en première année et dont le
cours (et les exercices !) est profondément gra dans ma m émoire. Pour l’analyse, merci encore à
Charles Stuart, grâce à qui j’ai découvert l’analyse complexe, qui est peut-être la plus belle théorie
mathématique que l’on puisse enseigner à un niveau élémentaire. En ce qui concerne la physique,
je dois beaucoup à Christian Gruber, qui était très exigeant et qui a su me montrer la bea uté
de l’interaction entre les mathématiques et la physique, introduisant d’ailleurs souvent dans ses
cours des notions mathématiques que j’ignorais totalement ! J’ai découvert grâce à lui la mécanique
quantique et la relativité générale et ces deux rencontres m’ont profondément bouleversé.
A Zürich, j’ai étudié l’analyse fonctionnelle avec Michael Struwe, dans un cours d’une élégance
rare. C’est durant cette année passée à Zürich que mon idée d’aller plutôt en direction des mathé-
matiques que de la physique s’est trouvée définitivement confirmée et je le dois en partie à Michael
Struwe.
i
ii
Je dois aussi énormément à Charles Pfister, qui a été mon superviseur durant mon travail de
diplôme, et avec qui j’ai appris à avoir des exigences de rigueur élevées et à ne pas prendre pour
argent comptant les textes scientifiques que je lis. C’est avec lui que j’ai fait mes premiers pas dans
la recherche.
J’aimerais encore remercier mon collègu e Gilles Évéquoz, pour les nombreuses heures passées
ensemb le à étudier dans le calme et pour toutes les discussions intéressantes que nous avons eues.
Merci aussi à Boris Buffoni, dont j’ai été l’ ass istant pour le cours d’ anal yse fonctionnelle et avec
qui j’ai eu des discussions fort intéressantes.
Ma plus grande gratitude va également à ma famille, et particulièrement à ma mère, Martine,
pour son soutien, sa grande sagesse et son regard toujours si serein sur le monde, qui m’apportent
beaucoup.
Malgré la distance, je suis resté très proche de mo n ami physicien(-mathématicien !) Sven Bach -
mann, avec qui j’ai fait mes études. Cette amitié m’ est très chère et nos innombrables conversations,
scientifiques ou non scientifiques, sont pour moi inestimables. Je lui su is aussi très reconnaissant
de me tenir au courant de ce qui se passe da ns le monde de la p hysique théorique.
Finalement, merci à Jim, mon vieux frère, mon éternel ami, qui est toujours là.
Résumé
L’équation de Schrödin ger non-linéaire
i∂
t
w + w + V (x)|w|
p1
w = 0 w = w(t, x) : I ×R
N
C, N 2, (1)
est étudiée, p > 1, V : R
N
\{0} R et I R est un intervalle. Le coefficient V fait l’objet de
diverses hypothèses. En particulier, il est toujours supposé que V (x) 0 lorsque |x| . Des
situations V est non-borné à l’origine sont envisagées, voire imposées. Une attention spéciale
est portée au cas V est radial.
La recherche de solutions sous la forme d’ondes stationnai res w(t, x) = e
iλt
u(x) conduit natu-
rellement à l’équation elliptique semi-linéaire
u λu + V (x)|u|
p1
u = 0 u : R
N
R, N 2. (2)
Les deux objectifs principaux de la thèse sont
(A) établir des résu ltats d’existence et de bifurcation pour (2),
(B) discuter la stabilité orbitale des ondes stationnaires de (1) correspondant aux solution s
trouvées en (A).
Tout d’abord, au Chapitre 1, dans le cas V est radial, une approche variationnelle montre
l’existence d’états fondamentaux de (2). Une propriété de non-dégénérescence de ces solutions est
démontrée, qui joue un rôle cruci al dans les arguments de continuation du Chapitre 2.
La première partie du Chapitre 2 établit des résultats locaux d’existence et de bifurcation pour
(2), sans hypothèse de symétrie sur V . Moyennant certaines conditions sur la pu iss ance p et le
coefficient V , deux branches de solutions sont obtenues, au voisinage de λ = 0 et au voisinage de
λ = +, qui sont de classe C
r
si V C
r
(R
N
\ {0}, R), pour r = 0, 1. Ces résultats indépendants
sont démontrés en imposant respectivement que lim
|x|→∞
V (x)|x|
b
= B > 0 avec b (0, 2) et que
lim
x0
V (x)|x|
a
= A > 0 avec a (0, 2). Le comportement asymptotique le long des branches
de solutions est discuté en détail, en fonction de la valeur de p. La seconde partie du Chapitre
2 montre l’existence d’une branche globale de solutions de (2), dans le cas V est radial. Sous
certaines hypothès es, en particulier si a (0, b], la branche gl oba le “réunit” les deux branches
locales obtenues dans la première partie.
Le Chapitre 3 traite de la stabilité des ondes stationnaires de (1) qui correspondent aux solutions
de (2) trouvées dans la première partie du Chapitre 2. Il est expliqué en détail comment appliquer
la théorie générale de stabilité à (1). Des résu ltats locaux de stabilité/instabilité sont dém ontrés,
au voisinage de λ = 0 et au voisinage de λ = +.
Mots clés : équations de Schrödinger non-linéaires, équations elliptiques semi-linéaires, bifur-
cation, stabilité orbital e.
iii
Abstract
The nonlinear Schrödi nger equation
i∂
t
w + w + V (x)|w|
p1
w = 0 w = w(t, x) : I ×R
N
C, N 2, (1)
is studied, with p > 1, V : R
N
\ {0} R and I R an interval. The coefficient V is subject
to various hypotheses. In particular, it is always assumed that V (x) 0 as |x| . Situations
where V is unbounded a t the origin are considered. A special attention is paid to the radial case.
Seeking solutions of (1) as standing waves w(t, x) = e
iλt
u(x) leads naturally to the semi li near
elliptic equation
u λu + V (x)|u|
p1
u = 0 u : R
N
R, N 2. (2)
The main goals of the thesis are
(A) to establish existence and bifurcation results for (2),
(B) to discuss the orbital stability of the standing waves o f (1) corresponding to the solutions
found in (A).
First, in Chapter 1, in the case where V is radial, a variational approach shows the existence
of ground states for (2). A non-degeneracy property of these solutions is proved, which plays a
crucial role in the continuation arguments of Chapter 2.
The first part of Ch apter 2 establishes local existence and bifurcation results for (2), without
any symmetry assumption on V . Under certain hypotheses on the power p an d the coefficient V ,
two branches of solutions are obtained, in a neighborhood of λ = 0 and in a neighborhood of
λ = +. The branches are of class C
r
if V C
r
(R
N
\ {0}, R), for r = 0, 1. These independent
results are proved by requiring respectively that lim
|x|→∞
V (x)|x|
b
= B > 0 with b (0, 2) and
that lim
x0
V (x)|x|
a
= A > 0 with a (0, 2). The asymptotic behaviour along the branches
is discussed in detail and depends on the value of p. The second part of Chapter 2 proves the
existence of a global branch of solutions of (2), in the case where V is radial. Under appropriate
hypotheses, in particular if a (0, b], the gl obal branch “sticks together” the two local branches
obtained in the first part.
Chapter 3 is concerned with the orbital stability of the standin g waves of (1) corresponding
to the solutions of (2) found in the first part of Chapiter 2. It is explained in detail how to apply
the general theory of orbital stability to (1). Local stability/instability results are proved, in a
neighborhood of λ = 0 and in a neighborhood of λ = +.
Key words : nonlinear Schrödinger equations, semilinear elliptic equations, bifurcation, orbital
stability.
v
Table des matières
1 États fondamentaux 13
1.1 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 Non-dégénérescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Bifurcation 35
2.1 Théorie locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.1 Étude des problèmes auxiliaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.2 Retour aux variables initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 Théorie globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.1 Une propriété d’accumulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.2 Unicité locale des états fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2.3 Continuation globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3 Stabilité 65
3.1 Le problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2 Formalisme hami ltoni en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3 Les conditions spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4 La condition de pente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
A Estimati ons utiles 89
B Continuité et différentiabilit é de quelques opérateurs 91
C EDO, comportement asymptotique 95
D Régularité par ‘boot-strap’ 99
E Harmoniques sphériques 103
F Opérateurs différentiels ordinaires, théorie spectrale 105
vii
Int roduction
L’objet de cette thès e est l’étude de quelques aspects de l’équation de Schrödinger non-linéaire
i∂
t
w + w + V (x)|w|
p1
w = 0 w = w(t, x) : I ×R
N
C, N 2, (NLS)
p > 1, V : R
N
\ {0} R et I R est un intervalle. désigne ici le laplacien par rapport
à la variable d’espace, x R
N
. Nous ferons diverses hypothèses sur la puissance p et sur le
coefficient V selon les résultats à démontrer. Typiquement, pour assurer l’existence de solutions,
nous supposerons toujours que p est borné supérieurement par une quantité qui dépend de V , c.f.
l’hypothèse (H2) du Chapitre 1. La fonction V pourra être non-bornée à l’origine, ce qui entraîne
des difficultés techniques importantes, mais nous supposerons toujo urs que V (x) 0 lorsque
|x| , c.f. (H2). Comme il apparaîtra clairement par la suite, c’est cette dernière hypothèse qui
justifie le terme ‘non-linéarité compacte’.
Nous nous intéresserons spécialement à l’existence et aux propriétés des solutions particulières
de (NLS) que sont les ondes stationnaires. Une onde stationnaire est une fonction de la forme
ϕ(t, x) = e
iλt
u(x), nous supposons que la fonction u, définie sur R
N
, est à valeurs réelles. Une
telle fonction est solution de (NLS) si et seulement si la fonction u satisfait l’équation elliptique
semi-linéaire
u λu + V (x)|u|
p1
u = 0 u : R
N
R, N 2. (E
λ
)
Les solutions des équations (NLS) et (E
λ
) seront pour nous des solutions faibles, ces notions étant
précisées respectivement dans les Définitions 3.0. 1 et 1.1.3. Il existe une abond ante littérature
concernant les équations de Schrödinger semi-linéaires de la forme générale
i∂
t
w + w + f(x, w) = 0 (NLSG)
et il serait par trop ambitieux de vouloir en faire une présentation exhaustive. Nous nous concentre-
rons donc dans cette introduction sur certaines questions traitées dans le présent rapport et nous
tenterons de les situer a u mieux dans la littérature existante. L’équation (NLSG) intervient dans
la modélisation de nombreux systèmes physiques dans des domaines aussi variés que la physique
des plasmas, la physique des gaz froids et l’optique non-linéaire. Néanmoins, nous n’entrerons pas
sur le terrain des appli cation s dans ce travail. Nous notons tout de même en passant qu’en dimen-
sion N = 1, des méthodes dans le même esprit que celles présentées ici permettent de donner des
conditions générales garantissant l’existence et la stabilité d’ondes stationnaires pour une équation
du type (NLS), dans le contexte des guides d’ondes planaires en optique non-linéaire, c.f. [47, 48].
Ces résultats seront présentés dans un prochain travail [15].
Avant de résumer les résultats consignés dans ce rapport, laissez-nous brièvement inscrire notre
travail dans une perspective historique.
Héritage historique
Les théorèmes principaux que nous établissons dans cette thèse sont des résultats d’exis tence,
de bifurcation et de stabilité d’o ndes stationnaires pour (NLS). Des recherches mathématiques
1
rigoureuses sur ces question s pour des équations de Schrödinger et de Kl ein-Gordon non-linéaires
ont commencé à la fin des années 70. Le problème de l’existence de solutions stationn aires pour
ces équations est ramené à cel ui de l’existence de solutions d’une équation elliptique non-linéa ire
de la forme
u + g(x, u) = 0 (1)
((E
λ
) dans le contexte de (NLS)). Sur cette question, on retiendra en particulier les travaux précur-
seurs de Strauss [37], d e Stuart [42] et de Berestycki et Lions [4], dans lesquels les auteurs utilisent
des méthodes de minimisation sous contrainte dans l’espace de Sobolev H
1
(R
N
). L’originalité de
ces travaux réside en ce que les techniques utilisées permettent de prouver l’existence de solutions
pour (1) sur tout l’espace R
N
, sous des conditions assez générales sur la non-linéarité g et pou r
des dimensions N > 1. Le défi majeur consistait alors à ad apter les méthodes variationnelles qui
avaient depuis longtemps fait leurs preuves pour des équations définies sur des domaines bornés
réguliers de R
N
, le problème principal étant, lorsque l’on travaille sur tout l’espace, d e palier la
perte de compacité dans les injections de Sobolev. Une méthode à la fois efficace et élégante pour
combl er ce manque de compacité fut introduite par Strauss [37], qui consiste à utiliser des suites
de fonctions à symétrie sphérique comme suites minimisantes. Nous faisons l’usage de ce genre
d’arguments dans la Section 1, nous prouvons l’existence d’un état fondamental pour l’équation
(E
λ
), pour tout λ > 0. Le travail de Strauss [37] concerne essentiellement des équations autonomes
avec des non-linéarités de la forme g(x, u) = |u|
p1
u α|u|
q1
u, α 0. Dans [4], Berestycki et
Lions ont considérablement généralisé le type de non-linéarités g pouvant être traitées par la mé-
thode variationnelle. Cependant, ils ne considèrent également que des non-linéarités autonomes, i.e.
g(x, u) = g(u). L’article [42] de Stuart s’inscrit dans une série de travaux novateurs [38, 26, 40, 41]
qui mettent en évidence des phénomènes de bifurcation pour des équations elliptiques non-linéaires
à partir d’un point du spectre essentiel de l’opérateur linéarisé. Plus précisément, des équation s de
la forme
Su F (u) = λu (2)
sont considérées dans [42] , S est un opérateur auto-adjoint agissant dans un espace fonctionnel
approprié (typiquement S = agissant dans H
1
(R
N
)), F (0) = 0 et F est sur-linéaire à l’origine.
On s’intéresse alors à la bifurcation à partir de points λ pour lesquels S λI n’est pas un opérateur
de Fredholm. C’est le cas si λ est un point du spectre essentiel de S. La bifurcation à partir d’un
point du spectre essentiel ne peut être démontrée en utilisant la théorie standard de bifurcation via
la méthode de réduction de Liapounov-Schmidt car l’opérateur S λI est typiquement injectif et
pas surjectif. La méthode mise en oeuvre dans [42] consiste alors à établir l’existence de solutions
de (2) par des arguments de minimisation sous contrainte du même genre que ceux mentionnés
ci-dessus, puis à établir des relations entre certaines normes des solutions ainsi obtenues et le
paramètre λ afin de prouver la bifurcation dans les normes en question. Les résultats obtenus dans
[42] concernent le problème de Dirichlet associé à des équations non-autonomes du genre de (E
λ
).
Sous des hypothèses appropriées, ils sont o btenus dans les cas la fonction V est bornée sur R
N
et, soit tend vers zéro à l’infini, soi t est radiale. Ces deux dernières hypothèses permettent chacune
de récupérer de la compacité, assurant par la convergence des suites minimisantes. La méthode a
été considérablement améliorée dans [45], qui ne suppose plus que V tend vers zéro à l’infini, ni de
symétrie particulière. Cependant, il est toujours supposé que V est borné alors que nous prouvons
ici un résultat de bifurcation depuis l’infimum du spectre essentiel dans des situations V n’est
pas borné à l’origine. Nous obtenons au Chapitre 1 l’existence de solutions par minimisation sous
contrainte sou s l ’hypo thèse que V est radiale. En revanche, au Chapitre 2, nous obtenons des
résultats de bifurcation locale sans hypothèse de symétrie sur la fonction V . Nous obtenons en fait
bifurcation le long de b ranches (au moins) continues de solutions dans R ×H
1
(R
N
), ce qui diffère
des résultats purement variationnels mentionnés ci-dessus. Des résultats du même genre on été
2
établis dan s [44, 31, 46] et, plus récemment, dans [1, 2]. Nous verrons que le cas les branches
de solutions sont de classe C
1
permet de discuter la stabil ité des ondes stationnaires à l’ai de d’un
critère simple.
A cette époque de travail intensif sur les problèmes elliptiques semi-linéaires est finalement
apparue la méthode la plus aboutie permettant de palier le manque de compacité d ans les problèmes
variationnels, à savoir la méthode de concentration-compacité de P.-L. Lions [28, 29]. Parmi ses
nomb reuses applications, cette techn ique a notamment contribué à établir certains des premiers
résultats rigoureux concernant la stabilité orbitale des ondes stationnaires pour les équations de
Schrödinger et de Klein-Gordon non-linéaires, voir l’article célèbre de Cazenave et Lions [8]. On
retiendra aussi les résultats d’instabilité par ‘blow-up’ de Berestycki et Cazenave [3] et de Berestycki
et Lions [5], également démontrés par des arguments variationnels. On consultera avec profit [ 7, 27]
pour un regard plus récent sur ces travaux. Signalons encore la référence [20] pour un travail récent
dans le même esprit, des équations de Schrödinger asymptotiquement périodiques sont étudiées.
En parallèle de l’école française, un travail important a été entrepris par d’autres auteurs à la même
époque sur la question de la stabilité pour des problèmes similaires, voir par exemple [35, 36]. Ces
derniers travaux ont finalement abouti à une théorie générale de la stabilité orbitale pour des
systèmes hamiltoniens [17] et nous expliquons en détail à la Section 3.2 comment appliquer cette
théorie à la situation qui nous intéresse. La notion de stabilité orbitale es t rappelée au Chapitre
3, c.f. Définition 3.0.2. Il existe de nombreuses notions de stabilité différentes, dépendant du type
d’équations considéré. L’idée générale est que, plus le système ad met de symétries, plus la notion
de stabilité qui convient est faible. Grill akis, Shatah et S trauss traitent d’ailleurs de groupes de
symétrie assez généraux dans la seconde partie de leur théorie de stabilité [18]. Dans notre cas,
nous observons que si w est une solution de (NLS), alors e
w est aussi une solution, pour tout
θ R. Ainsi, l’équation est invariante par rapp o rt à l’action du groupe {e
}
θR
sur l’ensemble des
solutions et la notion de stabilité qui convient est ici celle de la Définition 3.0.2. La situation
V est constant, i.e. l’équation est autonome en espace, présente une symétrie supplémentaire,
l’invariance par les translations de R
N
. La notion de stabilité adaptée est alors celle considérée
dans [8]. Notons finalement que, même sans symétrie supplémentaire, il est possible de considérer
des notions de stabilité plus faib les. Voir par exemple le Théorème 1.2 de [11] pour un résultat
dans cette direction.
Résultats récents
Notre travail sur (NLS) a été stimulé par deux contributions récentes [6, 23], qui établissent
des résultats d’existence et de stabilité d’ondes stationnaires sous des hypothèses analogues aux
nôtres. Dans [6], De Bouard et Fukuizumi con sid èrent (NLS) pour N 3 avec les hypothèses
suivantes, b (0, 2) et 1 < p < 1 +
42b
N2
:
(A1) V C(R
N
\ {0}, R) avec V 0 mais V 6≡ 0 et V L
θ
(|x| 1) avec θ =
2N
(N+2)(N2)p
.
(A2) Il existe C > 0 et a >
(N+2)(N2)p
2
> b tel que
V (x) |x|
b
C|x|
a
pour |x| 1.
Sous ces hypothèses, il a été montré dans [10] que, pour tout λ > 0, (E
λ
) possède une solution u
λ
H
1
(R
N
)\{0}. (Notez que le travail sur la stabilité orbitale pour (NLS) avec des hypoth èses du genre
de (A1)-(A2) a commencé dans [10], un résultat d’instabilité est prouvé.) Il est démontré dans
[6] que, pour λ > 0 suffisamment petit, l’onde stationnai re correspondante, e
iλt
u
λ
, est orbitalement
stable si p < 1 +
42b
N
.
Ces résultats ont ensuite été étendus et améliorés dans [23] par Jeanjean et Le Coz. A la place
de (A1) et (A2), ils font les hypothèses plus faibles suivantes :
3
(B1) V L
γ
loc
(R
N
) pour un γ >
2N
(N+2)(N2)p
.
(B2) Il existe b (0, 2) tel que lim
|x|→∞
V (x)|x|
b
= 1.
Ils supposent encore 1 < p < 1 +
42b
N2
. Il faut noter que Jeanjean et Le Coz considèrent en fait
(NLSG) avec une non-linéarité plus générale f(x, s) = V (x)g(s) que le cas g(s) = |s|
p1
s, et ils
supposent alors, en plus de (B1) et (B2), que g(e
s) = e
g(s) pour tout θ, s R et que
g C
1
(R, R), g(0) = 0, lim
s0
+
g
0
(s)
ps
p1
= 1 et lim
s→∞
|g
0
(s)|
s
α
< pour un α (0,
4
N2
).
Nous mentionnons plus loin un travail, qui ne sera pas présen dans ce rapport, dans lequel
nous recouvrons essentiellement le cas considéré par Jeanjean et Le Coz et qui traite même de
non-linéarités un peu plus générales. Sous les hypothèses ci-dessus, il est démontré dans [23] que,
pour 1 < p < 1 +
42b
N
, il existe λ
0
> 0 tel que, pour tout λ (0, λ
0
), il existe une solution
u
λ
H
1
(R
N
) \ {0} de
u λu + V (x)g(u) = 0,
que l’on a
ku
λ
k
H
1
(R
N
)
0 et |u
λ
|
L
(R
N
)
0 lorsque λ 0,
et que l’onde stationnaire associée à u
λ
est orbitalement stable.
Les approches utilisées dans [6] et dans [23] sont similaires. To ut d’abord, l’existence de solutions
est établie par des arguments va riation nels : minimisation sur la variété de Nehari dans [6] et une
version du théorème du col dans [23]. Ensuite, la stabilité orbitale est démontrée en utilisant
un critère qui peu t être déduit de l’analyse très générale présentée dans [17]. Ce critère (c.f. la
Proposition 3 de [23]), qui est discuté en détail dans la Section 3 de [50], convient bien au x
situations l’on ne sait pas si les solutions u
λ
sont dérivables par rapport à λ. C’est typiquement
le cas lorsque les solutions sont obtenues par une approche variationnelle. Si l’application λ 7→ u
λ
est dérivable, la stabilité peut être déduite d’un critère souvent plus simple à vérifier, la condition
de pente, dont nous parlerons plus loin. La vérification du critère de stabilité dans [6] et [23]
présente des difficultés techniques importantes et peut être résumée comme suit. Tout d’abord, il
est démontré qu’après un changement de variables (similaire au changements de variables que nous
utilisons dan s la Section 2.1), les solutions u
λ
convergent, lorsque λ 0, vers l’unique solution
positive et radiale ψ H
1
(R
N
) de
u u + |x|
b
|u|
p1
u = 0, (3)
l’unicité étant assurée, en dimension N 3, par un théorème de Yanagida (c.f. Section 1.3). Il est
ensuite montré que cette solution est non-dégénérée, dans le sens que v = 0 est l’unique solution
dans H
1
(R
N
) de
v v + p|x|
b
ψ
p1
v = 0.
Cette propriété de non-dégénérescence permet alors de montrer que le critère de stabilité est vérifié
dans les nouvelles variables, dans la limite λ 0, et par suite, pour tout λ > 0 assez petit. La
partie la plus difficile consiste à prouver la non-dégénérescence de la solution ψ de (3) et, pour ce
faire, les auteurs de [ 6] et [23] utilisent des équations auxiliaires satisfaites par ψ et le théorème
d’unicité de Yanagida.
Nous allons maintenant donner une description détaillée du contenu de la thèse, tout en situant
nos résultats par rapport à ceux de [ 6, 23].
4
Contenu de la thèse
Dans la suite de cette introduction, nous ferons référence aux hypothèses (H0) à (H8), qui sont
formulées au début des Chapitres 1 et 2.
Les résultats des deux premiers chapitres ne concernent que l’équation stationnaire (E
λ
). Néan-
moins, comme nous verrons au Chapitre 3, la stabilité orbitale des ondes stationnaires repose
essentiel lement sur les propriétés de l’équation stationnaire.
Dans le Chapitre 1, nous prouvons l’existence pour tout λ > 0 d’un état fondamental de
(E
λ
), c.f. Théorème 1.1.8. Pour nous, un état fondamental est une solution faible qui minimise la
fonctionnelle dont (E
λ
) est l’équation d’Euler-Lagrange, sur la variété de Nehari dans H
1
(R
N
), c.f.
Définition 1.1.4. La méthode de minimisatio n sous contrainte que nous employons est fortement
inspirée de [45] (voir aussi [43]) et remonte à Nehari [33]. Pour obtenir ce résultat d’existence en
dimension N 2, nous formulons des hypothèses assez fortes sur le coefficient V . Nous supposons
que V C(R
N
\{0}) est une fonction radiale telle que V (r) = V (x) > 0 est décroissante en r > 0 et
qu’il existe k (0, 2) tel que |x|
k
V (x) est borné sur R
N
. En particulier, V tend vers zéro à l’infini.
Nous supposons égalem ent que 1 < p < 1 +
42b
N2
. Nous obtenons alors des solutions positives,
radiales et radialement décroissantes. La suite du Chapitre 1 est consacrée à l’étude de certaines
propriétés des états fondamentaux de (E
λ
). Par la Proposition 1.1.10, ces solutions sont radiales et
nous ferons donc largement recours à des équations différentielles ordinaires. La Section 1.2 traite
de la régularité des états fondamentaux, sous les mêmes hypothèses qu’au Chapitre 1. Le Théorème
1.2.7 résume ces propriétés. Dans la Section 1.3, nous supposons que V C
1
(R
N
\ {0}) et nous
faisons de plus l’hypothèse (H4), qui stipule que rV
0
(r)/V (r) < 0 est une fonction décroissante.
Nous prouvons alors, grâce au théorème de Yanagida mentionné ci-dessus, un résultat d’unicité (c.f.
1.3.2) des états fondamentaux de (E
λ
), valable en dimension N 3. Finalement, dans la Section
1.4, nous montrons que, sous les mêmes hypothèses supplémentaires mais en toute dimension
N 2, les états fondamentaux sont des solutions non-dégénérées de (E
λ
) (c.f. 1.4.10), au sens de
la Définition 1.4.2. Le résultat de non-dégénérescence est un élément essentiel dans la théorie de
bifurcation développée au Chapitre 2.
Les résultats de ce premier chapitre sont obtenus sous des hypothèses assez fortes et sont appli-
qués dans le Chapitre 2 aux équations auxiliaires qui interviennent dans la théorie de bifurcation
locale et qui apparaissent comme des cas particulier de (E
λ
), ainsi qu’à l’équation (E
λ
) elle-même
dans la théorie globale, qui nécessite des hypo thèses plus restrictives.
Le Chapitre 2 présente des résultats de bifurcation locale dans la Section 2.1 et un résultat
de continuation globale dans la Section 2.2. Nous travaillons en dimension N 2 pour la théorie
locale mais la continuation globale utilise de façon essentielle le résultat d’unicité 1.3.2, qui n’est
valable qu’en dimension N 3. De plus, dans la Section 2.1, nous ne faisons pas d’hypothèse de
symétrie sur la f onction V . Dans la Section 2.2, V est supposée positive, radiale et radialement
croissante. La théorie locale établit l’existence dans R × H
1
(R
N
) d’une branche de solutions de
(E
λ
) de la forme
{(λ, u
λ
) : 0 < λ < λ
0
} R × H
1
(R
N
) (4)
(c.f. Théorème 2.1.10) et d’une branche de solutions de la forme
{(λ, u
λ
) : λ
< λ < ∞} R × H
1
(R
N
) (5)
(c.f. Théorème 2.1.11). Commençons par discuter les résultats au voisinage de λ = 0. Nous obtenons
une branche continue de la forme (4) sous les hypothèses (H0) et (H5). Si, de plus, (H1) et (H6)
sont vérifiées, la branche est de classe C
1
. Les hypothèses (Hr), r = 0, 1, stipulent simplement que
5
V C
r
(R
N
\{0}). L’hypothèse (H5) prescrit le comportment de V à l’infini, de façon analogue à
l’hypothèse (B2) ci-dessus, et, avec (H0), remplace les hypothèses d’intégrabilité locale (A1)/(B1).
On pourrait certainement se contenter de telles hypothèses mais l’analyse est déjà assez technique
sous notre hypothèse plus forte, qui stipule que V (x)|x|
b
est borné à l’origine. Dans le cas C
1
,
l’hypothèse (H6) contrôle le comportement asymptotique du g radient de V . Nous obtenons la
branche (4) pour tout 1 < p < 1 +
42b
N2
et le Théorème 2.1.10 montre que différents scénarios de
bifurcation se présentent suivant les valeurs de p. Notre résultat englobe le résultat de bifurcation
de Jeanjean et Le Coz, si ce n’est que nous travaillons sous des hypothèses plus fortes. De fait, les
restrictions concernant la régularité de V sont nécessaires pour obtenir une branch e de solutions
ayant la même régularité. La méthode que nous employons pour démontrer le Théorème 2.1.10
utilise deux ingrédients essentiels, un argument de perturbation et un argument de continuation.
Tout d’abord, nous effectuons dans (E
λ
) le changement de variable (2.6) qu i conduit à l’équation
auxiliaire
v v + µ
b
V (x/µ)|v|
p1
v = 0, (
e
E
µ
)
le paramètre λ a été remplacé par le nouveau paramètre µ =
λ. Utilisant le fait que V (x)|x|
b
B > 0 lorsque |x| (hypothèse (H5)), un passage à la limite µ 0 dans (
e
E
µ
) conduit
formellement à l’équation limite
v v + B|x|
b
|v|
p1
v = 0, (
e
E
0
)
qui correspond précisément à (3) si B = 1. A ce stade, notre démarche procède en un certain sens
à l’inverse de ce qui est fait dans [6] et [23]. Par perturbation de l’équation limite (
e
E
0
), en utilisant
une versio n du théorème des fonctions implicites, nous produisons dans R ×H
1
(R
N
) une branche
de solutions (µ, v(µ)) de (
e
E
µ
), pour µ 0 assez petit (c.f. 2.1.6). On obtient alors le Théorème
2.1.10 en revenant aux variables initiales. L’intérêt du chan gement de variable est qu’il nous place
dans une situation le théorème des fonctions implicites peut effectivement être appliqué, alors
que dans les variables initiales, des phénomènes de bifurcation ont lieu. Les résultats du Chapitre
1 assurent l’existence d’un état fondamental non-dégénéré ψ H
1
(R
N
) \ {0} de l’équation limite
(
e
E
0
). C’est cette propriété de non-dégénérescence qui permet d’appliquer le théorème des fonctions
implicites à une fonction appropriée au point (0, ψ) R × H
1
(R
N
). Par construction, nous avons
alors que v(µ) v(0) = ψ dans H
1
(R
N
) lorsque µ 0. Utilisant les propriétés du changement de
variables (2.6), nous obtenons alors le comportement précis des quantités |u
λ
|
L
2
(R
N
)
, |∇u
λ
|
L
2
(R
N
)
et |u
λ
|
L
(R
N
)
, le long de la branche (4), lorsque λ 0, ce qui permet de discuter des résultats de
bifurcation/bifurcation asymptotique en fonction de la val eur de la puissance p. Nous obtenons en
particulier que
|u
λ
|
L
(R
N
)
0 lorsque λ 0, pour tout 1 < p < 1 +
42b
N2
et
|∇u
λ
|
L
2
(R
N
)
0 lorsque λ 0, pour tout 1 < p < 1 +
42b
N2
, alors que
|u
λ
|
L
2
(R
N
)
0/ lorsque λ 0, selon que p < 1 +
42b
N
/p > 1 +
42b
N
.
Nous verrons que ces résultats sont cohérents avec la vérification de la condition de pente et que,
pour λ > 0 assez petit, nous avons précisément stabil ité/in stabil ité de l’onde stationnaire associée
à u
λ
selon que p < 1 +
42b
N
/p > 1 +
42b
N
.
Les résultats d’existence et de bifurcation au voisinage de λ = + contenus dans le Théo-
rème 2.1.11 sont obtenus de façon tout à fait similaire, en utilisant cette fois le changement de
variable (2.8) et le problème auxiliaire (E’
τ
). Puisque les deux situations présentent des analogies
structurelles très fortes, nous sommes en mesure de donner un traitement unifié des deux pro-
blèmes dans la Section 2.1.1. Le Théorème 2.1.11 donne précisément le comportement des normes
6
|u
λ
|
L
2
(R
N
)
, |∇u
λ
|
L
2
(R
N
)
et |u
λ
|
L
(R
N
)
, le long de la branche (5), lorsque λ . En particulier,
nous avons que
|∇u
λ
|
L
2
(R
N
)
lorsque λ , pour tout 1 < p < 1 +
42a
N2
, que
|u
λ
|
L
2
(R
N
)
/0 lorsque λ , selon que p < 1 +
42a
N
/p > 1 +
42a
N
et que
|u
λ
|
L
(R
N
)
lorsque λ , si N = 2 ou si N {3, 4, 5}, a < 3 N/2 et 1 < p <
42a
N2
.
Pour certaines valeurs des paramètres, nous observons donc un phénomène de concentration des so-
lutions lorsque λ , dans le sens que |u
λ
|
L
(R
N
)
alors que |u
λ
|
L
2
(R
N
)
0. Ce phénomène
est discuté plus en détail aux points 2.1.12 et 2.1.15.
Remarquons que le Théorème 2.1.11, qui concerne la bifurcation au voisinage de λ = + est
totalement indépendant du Théorème 2.1.10. Il est établi sous les hypothèses (H7) et (H8), qui
prescrivent le comportement de V à l’origine, alors que le Théorème 2.1.10 utilise les hypothèses
(H5) et (H6), qui prescrivent le comportement de V à l’infini. C’est seulement à la Section 2.2 que
nous ferons ces hypothèses simultanément, de sorte que la branche globale de solu tions donnée par
le Théorème 2.2.10 réunira les deux branches lo cales (4) et (5).
Remarquons également que le Théorème 2.1.10 présente un phénomène de bifurcation du
spectre essentiel car la valeur λ = 0 est précisément l’infimum du spectre essentiel du laplacien,
vu comme un opérateur non-born é agissant dans L
2
(R
N
).