Content uploaded by Philip Petrov
Author content
All content in this area was uploaded by Philip Petrov on Jul 05, 2023
Content may be subject to copyright.
Математическото образование
75-годишна мисия
и история
Сборник с научни статии от годишен семинар
на катедра „Обучение по математика и информатика“,
октомври 2022 г.
Университетско издателство „Св. Климент Охридски“
Сборник с научни статии от годишен семинар на катедра
„Обучение по математика и информатика“,октомври 2022 г.
Математическото образование
75-годишна мисия и история
ISBN 978-954-07-5742-1
www.unipress.bg
Цена 30 лв.
75-
75-
„ “,
2022 .
• 2023
„. “
© 2023 , ,
© 2023 ,
© 2023 „. “
ISBN 978-954-07-5763-6
доц. Филип Петров
Софийски университет „Св. Климент Охридски“
доц. Евгения Сендова
Българска академия на науките
проф. Борислав Лазаров
Българска академия на науките
проф. Елиза Стефанова
Софийски университет „Св. Климент Охридски“
Всяка от публикуваните статии поотделно е рецензирана ано-
нимно от двама независими рецензенти – университетски пре-
подаватели с докторска степен в съответната научна област.
5
, , ,
, , , –
„ -
“ 7
–
– ,
28
, , –
52
–
à 73
– -
87
, –
„ “, -
104
– –
XXI . 137
, – 142
, , -
–
150
–
-
70- XX .,
178
– -
209
–
225
6
– -
:
73. „ “ 237
–
, -
246
, , -
– -
1:1 „
“ 261
– -
-
273
, –
297
– -
309
7
„ “
, , ,
, , ,
.
( ) „-
“
„. “.
. (2005), -
, .
Ключови думи: катедра, сектор, обучение по математика,
обучение по информатика, история
„ “ (1948–1955)
„ ,
“ (1955–1963)
-
( . 2015). , -
,
-
, „
“ „ “
. 1948 . ( 1990).
(1969):
…след реорганизацията на методическото обучение на сту-
дентите в Софийския университет през 1948 г. на катедра
„Висш анализ“ бе възложена подготовката и обучението на сту-
дентите по методика на преподаването на математиката. Бе
създаден и съответен сектор към катедрата, в който влизаха
преп. П. Иванов и асистентите Н. Павлов и Р. Раденков.
1955 . -
„ ,
“ -
.
8
-
.
(1969) , -
:
След хабилитирането на др. П. Иванов в 1955 г. секторът се
обособи в отделна Катедра по методика на математиката, фи-
зиката и химията с ръководител доц. П. Иванов. В нея влизаха
тогава и преподавателите по методика на другите две посочени
специалности.
-
, -
-
. „ -
“
„ “
.
-
- „-
“. -
. .
1950 .,
-
. ()
1965 . ( 1965). .
1957 .
„ “ .
1950 . -
,
.
. 1960–
1961 . , , -
„
“ „ “.
. . -
.
1946 1951 . (
1959), – -
( 1947 .), (
1947 .) - ( 1950 .).
9
.
:
• 1948 –1955 . „ “:
o – ,
o : ( 1950 .), -
( 1951 .);
• 1955–1960 . -
, :
o . – ,
o – : , -
;
• 1960–1963 . -
, :
o . – ,
o – : , -
, , ( 1961 .), -
( 1963 .).
„ “
(1963–1971)
1963 . - -
: . -
„ -
“. . .
( 1969).
-
. 1962 .
- -
, .
„ -
-
“, 1967 . .
10
1966 .
( )
. ,
.
1963 . -
-
. - -
- ,
1967 . -
. , , -
,
, ,
„ -
“ „ “ (
).
60-
-
-
. -
-
-
. -
– . 1964 .
,
.
, --
. (2019) ,
, -
, -
.
. (2015) , 1971 .
– , -
, . ,
. -
„ -
11
“ .
– , -
. 1962 . .
. -
„“.
1979 . .
1968 . -
-– --
(). -
. -
.
,
, ,
, [1].
:
• 1963–1968 . „ -
“:
o . – ,
o : , , -
, ;
• 1968–1971 . „ -
“:
o . – ,
o : , , -
, .
„ “
(1971–1987)
„ “ -
1971 .,
-
().
„ “ -
. (2013) :
Не всички сектори имаха достатъчно сътрудници. Фрапиращо
беше положението в сектор „Обучение по математика“ (OM), кой-
то се занимаваше с подготовката на студентите от учителска-
та специалност (блок Д). През 1973 г. за това разговаря с мен
П. Кендеров (тогава партиен секретар на ЕЦ) и ми каза, че ръко-
12
водството на ЕЦ смята да потърси хора от другите сектори, кои-
то да започнат да работят в сектор ОМ. Аз бързо реших да опи-
там. Познавах ръководителя проф. А. Матеев и основната фигура
в сектора – Иван Гaнчев, който ми беше водил добри упражнения
по елементарна геометрия. Едновременно в сектора се прехвърлиха
Анани Лaнгов, добър синтетичен геометър, и Димитричка Шопо-
ва, опитен преподавател. Започна се сериозна работа по създаване
на нови учебни курсове и стажове (хоспитиране) на студентите,
бъдещи учители по математика. Значително се подобри съставът
на сектора с прехвърлянето в ОМ на Любомир Дaвидов, Иван То-
нов, Теодоси Витанов, а по-късно и Диана Раковска (при тези прех-
върляния Радослав Павлов, тогава партиен секретар на ЕЦ, изигра
съществена роля). Беше създаден отличен работен колектив.
„
“ (1971–1987 + 2 -
)
.. .
- -
. ,
– . -
1971 . :
D, ,
D′,
„ “
.
(1974):
В тригодишния блок А е организирано обучението на общите
научни курсове в математиката и механиката. То се извършва
от научни колективи за всяка учебна година, образувани от всич-
ки сектори на математиката и механиката, и се води за лек-
циите на потоци, а упражненията – на малки групи студенти.
Процесът е регламентиран чрез постоянни оценки и дисциплина.
Той представлява сравнително закръглен етап в обучението…
…Блок D е непосредствена надстройка на блок А за учители.
Блок D′ е специализация за учители. Завършилите блок B и блок D′
получават званието „магистър“ и се ползуват с правата на за-
вършилите следдипломна квалификация. Блок C заменя досегаш-
ната аспирантура при по-интензивно обучение след блоковете A,
B и D и се ръководи индивидуално от секторите. Трае две години.
13
D′ -
, D,
,
„“. -
15 . -
. -
. -
. -
-
(-
) C .
D′ , 1986 .
[2]. -
„ “.
D′
.
, .
, -
, „ “, „
“, „
“, „“ „ -
“. 1983 . -
„ “.
,
, ,
, -
1971–
1980 . ( 1988).
1972 1975 .
,
70-
.
1975 . -
.
, 1981 .
. -
(2018). , -
14
,
.
1981 1988 .,
1989 1993 ., ()
„“.
1984 . -
.
,
. 1985 1993 . -
Advisory Board -
.
-
, -
.
1977 . --
-
(),
( 1977). -
, -
. -
, ,
-
. --
, ,
1989 1993 .
. -
. . (2011) , -
80- ,
.
1981 .
,
.
15
„
“.
1983 .
() -
, 1984–1985 .
( „ “)
,
.
[3]. ,
10 . -
-
(),
. . (2015) ,
през 1984 г. за пръв път във ВТУ се осъществява обучение по
математика на студенти от специалността „Начална училищ-
на педагогика“. През същата година е създадена катедра „Начал-
на училищна педагогика“ с ръководител проф. дпн Иван Ганчев
Донев (1935–2012), тогава доцент в Софийския университет и
съвместител във ВТУ.
1984 . -
„ “ (),
1994 . (2013) :
В сектор OM се създаде група от специалисти по информатика
под ръководството на Божидар Сендов. Групата се организира в
ЛАСО (Лаборатория по автоматизирани системи на обучение).
В ЛАСО започна създаването на компютърна система по елемен-
тарна геометрия – предшественик на Cabri. Редица идеи бяха съв-
сем нови.
-
„“. -
„“
.
, -
. , ,
( 2017).
LOGO .
-
16
.
, .
LOGO,
- .
„-“ (). -
- .
. . (2015) -
, :
Целта на ЛАСО беше да отговори на нарасналите потребно-
сти от обучение на учители, които да преподават информатика
и да подпомогнат навлизането на компютрите в съвременното
учебно дело.
1986 . -
.
( ),
( „. “ – ,
) (
„. “,
) -
( . 1986).
.
, ,
– -
, , .
„ 8“ -
GarfSys TextPrint,
.
-
. -
.
- -
-
.
-
.
17
-
.
- – -
, .
. -
1989–1990 . -
8. -
„“ (Sendova 2013).
,
-
.
LEGO , -
, : (, -
), -
. „ 8“,
„ 16“. - -
.
,
– , -
.
- ()
[1]. 1982 .
2007 ., 2009 . -
. ,
, , -
, , .
,
.
,
.
, -
-
.
.
18
:
• 1971–1978 . „ “:
o . – ,
o : , ,
,
o : , , -
, (1972–1974);
• 1978–1981 . „ “:
o . – ,
o : , ,
,
o : , , -
, , , (
1980 .), ( 1980 .);
• 1981–1982 . „ “:
o . – ,
o : , ,
, ,
o : , , -
, , , ;
• 1982–1984 . „ “:
o . – ,
o : , , -
, , ( 1984 .), -
( 1984 .), ( 1984 .),
o : , , -
, ( 1983 .);
• 1984–1987 . „ “:
o . – ( 1985 . – ),
o : , , -
, , , ,
,
o : , , -
, , ( 1985 .),
o „ “
():
. – ,
, , -
, .
19
„ “ (1987–1994)
1986 .
. -
„ “ -
. -
. „ “.
, 1988 .
- (2003)
-
„“.
1990–1991 . „
“,
. -
: „ “, „
“, „ “, „-
“, „ “, „
“, „-
“, „“ „--
“.
1986 1989 . -
-
, -
.
. 1991–1994 . -
„ -
– “.
-
. . (2015) : през 1989 г.
ЛАСО се отдели като самостоятелна катедра по информационни
технологии, от която пък се отдели Катедра по софтуерни тех-
нологии. Научно-преподавателският състав на катедрата включ-
ва висококвалифицирани кадри – професори, доценти, доктори.
1989 1994 .
„ “.
„ “,
„ “. -
20
„ -
“.
1989–1993 .
. ,
, , -
, , :
• 4. : 4.
( ); -
4. ; 4.
( );
( ); --
( ); ;
• 5. : 5. ( );
5. ( ); ,
5. ( ); -
5.
;
• 6. : 6.
( ); -
6. (
); , -
6. ( );
• 7. : 7.
( ); () 7.
( ); ()
7. (
);
7. ; ,
-
7. ; -
(7. );
7. .
-
,
21
, -
.
- -
.
,
, .
90-.
:
• 1987–1989 . „ “:
o . – ,
o : ,
o : , , ,
, , ,
o : , , -
, , ,
,
o „ “
():
. – ,
, , -
, ;
• 1989–1994 . „ “:
o . – ,
o : ,
o : , ( 1992 .),
, ( 1991 .), -
( 1992 . – ),
o : , , -
, , ,
( 1990 .), ( 1992 .).
„ “
(1994 – )
– „ -
“ () – 1994 . -
30-
- . 1993 . -
-
22
TIMSS.
. ( )
-
7. .
2000/2001 .
1995 . -
-
.
„ –
“.
(2018) , 1997 . -
-
. 7., 8. 9. ,
15,5 -
. 26
. -
.
2003–2004 . „ -
“
. „
“ () -
( . 2015). .
, -
. -
, .
- -
.
– D’, -
… -
.
„
“, „ -
“ „ -
“.
, -
. -
, , ,
23
,
. , -
-
,
. -
, -
.
.
2004 .
-
, - -
.
-
,
.
, - -
.
.
,
„ -
“ , :
• ;
• – I ( -
);
• – II;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• .
24
,
. „-
“, „ -
“, „
“, „, -
“, „ -
“, „ “,
„ “,
„ “, „ -
“, „ “, „ -
“, „Visual basic “, „
–
“, „ -
–
“, „ “,
„ “ .
„ “ „ -
“
. -
-
„ -
“, „ “ „
“.
. 2004/2005 .
-
– „-
“, „
“ „ “. -
. -
„ “ „ “ -
,
„ “
. -
,
.
25
:
• 1994–2003 . „ -
“:
o . – ,
o : , ( 2000
-),
o : , ,
o : , , -
, ( 1999 .), -
, , , (
2001 .), ( 2001 .);
• 2003–2008 . „ -
“:
o . – ,
o : (-),
o : , ,
o : , , -
, , , ,
( 2005 .);
• 2008–2012 . „ -
“:
o . – ,
o : , , ,
o : , ,
, , , ;
• 2012–2015 . „ -
“:
o . – ,
o : ,
o : , ,
o : , ,
, , , ;
• 2015–2019 . „ -
“:
o . – ,
o : ( 2018 . – -),
(-),
o : , ( 2017 .),
(-),
26
o : , , -
, ( 2018 .), (-
), ();
• 2019 . – досега. „ -
“:
o . – ,
o : (-),
(-),
o : ( 2022 .), (
2021 . – ), ( 2021 . – -
), (-),
o : , ( .
2020 .), ( 2020 .), (
. 2021 .), , (),
(), ( 2020 .),
( 2022 .), (
2022 .).
, . (2019). :
. – Математика и информатика, 62(2), 127–155.
(1988). „.
“ (1939–1988). 2, -, 659–660. : -
„. “.
, ., . , . . (1986). 1.
, .
, ., . , . . (2011). -
. . .
, ., . , . . (2005). -
„ “
„. “. – :
.
XXXIV .
, . (1990). -
. – : 100 , –, 43–57.
, . (1969).
1944–1969 . – Физико-математическо списание, 12
(45), . 3.
, . (1959). . – Математика и физика,
, , „ “.
27
, . (1965). -
( ). -
: .
, . (1974).
(). – Физико-математическо
списание, 17, . 1.
, . (2018). 120 -
. – : -
. XLVII
.
(1977). -
. – Физико-математическо списание, 20
(53), . 4.
, . (1969).
25 . – Физико-математическо списание, 12
(45), . 2.
, . (2017). -
− -
. – Математика и математическо образование, 46, 29–51.
, . (2013). 70- . . –
Мaтематика и информатика, LVI, . 1.
, ., . , . . (2015). 125 -
. – : -
. XLIV
.
Sendov, B. & E. Sendova (1995). East or West − GEOMLAND is Best, or
Does the Answer Depend on the Angle? – In: Computers and exploratory
learning (59–78). Berlin, Heidelberg: Springer.
[1] : https://npmg.org//-
[2] 40
15.10.1986 . -
1986–1987 .;
[3] 41
15.10.1986 . -
1986–1987 .
28
–
,
. . ...
-
2008 . -
. .
.
Ключови думи: методика на обучение по математика, история
За да се оцени правилно настоящето и предвиди бъдещето, добре
трябва да се познава миналото.
Историята учи, че никой не се учи от нея.
Отношението към миналото отделя интелигентността от по-
средствеността.
. .
-
.
, ,
: Дайте да видим какво ще правим в бъдеще. Условията
сега са съвсем различни от преди. Има компютри, има нови тех-
нологии, има държавни образователни изисквания, има тестове
и пр., и пр. За какво трябва да ровим в миналото?
, . . .
, , , -
.
- ,
.
29
-
. ,
. ,
, . , -
, , -
,
, ,
.
. -
- -
.
()
, ,
, „“ -
( 200 )
:
• – ;
• – ;
• – .
, ,
, 50–60 .
,
, , , , , -
, .
. -
.
, ()
, -
-
,
– ,
, , . -
30
, -
.
Фиг. 1. Извадка от статия на Антон Шоурек
XX . -
, ,
.
„ “
(Šour, 1904) „
“ (. 1).
, -
.
.
01.09.1903 .
. -
, , ,
.
1904 . -
8 .
.
31
.
:
1. ;
2. ;
3. .
-
:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .
-
.
-
.
1908 . -
. -
. 1969 . -
.
, . -
,
1972 ., -
(). 1970 .
- ,
. 2003 .
(i 2003)
„ “.
,
- .
XX . -
() -
32
.
, -
, , .
XIX XX .
.
, - -
,
.
-
, ,
„“
, ,
. -
30- XX .
-
. -
. , .
. . ,
.
. . , -
.
. , -
.
(. 2) -
, -
, . –
. 1941 .
„ “ ( :
„ , “, : „-
, -
“).
35 . -
:
§ 1.
§ 2.
§ 3.
§ 4.
§ 5.
33
§ 6.
§ 7.
§ 8.
§ 9.
§ 10.
§ 11.
Фиг. 2. Методика на гимназиалната математика на Георги Маринов и
Борис Стоилов
, -
, -
, , -
. , ,
,
„
“ . . [1].
, ,
34
. 1950 .
. .
( 1947). II (27–56) -
– , -
. – -
,
,
. „“
(),
.
.
-
( 1941) „
“, 8 . -
-
.
- -
. на учениците тряб-
ва да се спре вниманието върху формите на различните тела,
като им се показват модели на геометрични тела, та да си об-
разуват понятие за геометрична повърхнина, геометрична линия
и геометрична точка... -
, -
, ,
.
-
, .
.
- -
,
, , ..
-
. -
.
:
Припомняме, че геометричното място на точка, еднакво отдале-
чена от краищата на една отсечка, е симетралата на тая отсеч-
ка. Ако ни е даден ABC, то в него има три симетрали – по една
35
на всяка от страните му. Забелязваме, че две от симетралите
MO и NO се пресичат в точка. Поставяме си за задача да прове-
рим дали тая точка лежи на симетралата на третата страна
BC (. 3).
, -
,
-,
.. -
.
, „ -
“,
, ,
.
. . 1965 . ( 1965).
,
. . .
. 172.
Фиг. 3. Чертеж на задача за пресечна точка на симетралите
на триъгълник
36
-
, , -
. , -
,
.
1950 ., -
, 1965 . (. 4).
,
, -
. - -
,
. . .
Фиг. 4. Методика на обучението по математика на Петко Иванов.
Снимка от https://knizhen-pazar.net
() :
. .
. .
37
12 :
1. , , , , -
- .
2. .
.
3. -
.
4.
.
5. .
6. – , , , -
, .
7. . .
8. .
9. .
10. .
11. .
12.
.
Съществен нов момент в този учебник ( . 1996) е
оформянето като ядро на общата методика – блока от теми,
разкриващи логическите основи и проблеми на методиката на
обучението по математика, а именно:
6. Форми на мисленето – понятия, аксиоми, теореми, индук-
ция, дедукция и аналогия в ОМ.
6.1. Математическо понятие
6.2. Аксиоми
6.3. Теореми
7. Доказателство. Видове доказателства.
7.1. Същност и съставни части на доказателството
7.2. Видове доказателства
7.3. Правила на доказателствата.
:
1. – „ -
“ – .
2. – „ “ –
.
38
3. – „ -
“ – .
4. – „ -
“ – .
,
,
-
.
,
.
„ -
“ :
§ 1. -
.
§ 2. -
.
§ 3. -
.
§ 4. .
„ “
:
§ 1. , -
.
§ 2. .
§ 3. , -
.
§ 4.
.
,
-
. §4
, .
-
.
-
,
39
; , -
; -
,
;
. , ,
, .
„ “ „
“, – „-
“. ,
.
-
- -
:
) ,
;
) ,
,
„ -
“, .. .
-
() ,
.
, -
. -
, -
,
. : „-
“, „ “, „
“ . -
„ “,
.
40
, 50- XX .,
. . --
, -
60- -
, -
() . 60-
XX . -
,
.
,
,
, .
-
, .
.
,
,
. ,
-
-
, -
. , , ,
-
, ,
.
, -
, ,
,
, -
, -
.
-
, ,
,
41
1965 . . . ,
, .
-
1980 . -
-
„ “ „ “,
-
. -
, -
, -
,
.
,
, -
,
-
,
.
.
, - -
, ,
.
1980 .
1990 . .
. 1987 . -
( „ “) .
. „ “.
. . ,
,
.
,
, - -
42
. -
. .
-
, , ,
, ,
.
, ,
60- XX . . . ,
, .
, .
,
, ,
, -
, „ “,
.
„-
“. -
,
,
. ,
,
.
„ -
“ -
,
-
. , -
..
.
-
. :
• - -
;
• ;
• .
43
„ „“ -
“.
-
. , -
,
, изкуството различ-
ни неща да се назоват с едни и същи имена.
, --
, ,
-
, -
- .
-
„ “ -
„⋂“;
„ “ „⋃“;
-
„ -
“, „ “, „ “,
„“ „ “. -
, ,
,
:
A ⊆ B ∧ B ⊆ A → A = B
,
, , .
, ,
: „
“, „“, „ “, -
.
-
.
-
, , -
44
, -
.
„ -
“ „ “.
,
.
-
-
.
-
,
.
, XIX ., -
„“
, − „ “
, , -
, .
„“.
-
. , -
, , -
.
„“
.
.. .
. -
.
1908 . ,
, -
„“.
50 . -
. .
, . , . -
45
. ,
. , .
. .
, -
1960 ., , ,
„“
. -
„ “
,
,
.
, , --
, –
, , -
.
, -
-
, .
, -
, -
.
,
,
-
, ,
.
, -
,
,
, ,
, .. ,
, -
46
.
,
-
. . ,
,
. - -
, -
.
-
,
, ,
.
. -
,
, ,
. -
. , -
.
, -
,
.
,
, -
, ,
. -
-
.
.
-
, -
.
47
,
, -
. -
,
.
-
. . -
,
.
, -
.
. .
„“
-
.
, -
. -
,
, -
.
, -
, . .
,
-. ,
,
.
-
,
. . ,
. ,
, -
, „, , -
“. . -
(1988) да се р азглеждат дефинирането на понятията и
доказването на теоремите като човешки дейности [1], -
.
„-
“. ,
48
,
,
,
. ,
, дейности на микроравнище,
,
,
, дейности на макроравнище.
.
, -
-
.
.
--
- . ,
.
-
.
-
- .
- . , ,
-
, . -
, -
, .
-
,
, -
. ,
- , , -
- .
-
49
. -
-
, -
.
-
-
„ “, „
“, „ -
“, „ -
“ . „“
,
.
, -
. , -
,
, 2006 .,
„ -
“. , -
,
, .. -
.
( . )
(
) . , -
„“ -
. -
. -
,
.
• ( , ,
), „ -
-
( )“;
50
• ( , , ),
„ -
“;
• ( , , -
), „, -
“;
• ( , , -
), „ -
( „–––-
−“)“;
• ( . -
, ), „ -
12−15 “;
• ( , , -
), „ -
, -
“;
• ( , , ), -
„
”;
• ( , , ), -
„
(1.−4. )
“;
• ( , , ),
„ -
“;
• ( , , ), -
„ -
, “.
, . . (1947). . : .
. (2003). .
: .
, . . (1996). . (
100 ). : .
51
, . (1965). . :
. .
, . . . (1941). -
. : .
, . (1988).
. ,
1988 .
Šour, A. (1904). Über den mathematischen Unterricht in Bulgarien. –
Verhandlungen des dritten internationalen mathematiker-kongresses in
Heidelberg, vom 8. Bis 13. August 1904, ed. Db. A. Keazer. Leipzig.
[1] IV (1961) VI
. 83 108 – , -
.
, -
. „S P“ „S P“,
S , P (,
). IV , -
I (1950) II (1953) , III
(1958) .
, -
, -
.
52
1
, ,
.
MASSE
, -
. .
Ключови думи: дидактика, дидактика на математиката, ди-
дактика на дидактиката на математиката
, -
-
: , , , -
, .
()
, ,
, :
• -
-
;
• -
,
-
;
1 MASSEE International
Congress on Mathematics MICOM-2006 ,
.
53
•
.
,
,
.
.
, , -
, -
. -
.
– . -
-
.
, .
.
.
-
() ..
-
, ,
, -
.
()
-
50- .
,
,
.
: След като има обуче-
ние по дисциплината дидактика на математиката в училище, то
при това обучение не възниква ли нова система от знания, която
трябва да се формира у студентите, готвещи се за учители?
54
. -
, , -
дидактика на дидактиката на математиката ().
-
,
, , , , -
.
(-
1983 (5).
Първият етап външно описание -
, . -
, , естестве-
ният, .
Вторият етап
-
, ,
, --
. -
създава езикът на науката, .. оформя се съвкупност от
специфични понятия, което дава възможност да се формулират
и специфични проблеми за тази наука. -
, ,
разумни .
Третият етап
модели , , -
, -
, прогнозиране
на резултатите . -
.
Четвъртият етап -
създаване на аксиоматична основа на теорията.
.
- - .
,
,
оптимални .
55
( 1987) -
:
• ,
;
• -
, ;
• -
.
(1987) -
,
„“ .
„ „“ “
( 2005) .
:
•
;
• -
, ,
,
;
•
,
,
.
, -
, , .
. ,
, ,
, - .
- – -
„“
( 1976) , -
.
, :
• ;
•
;
56
•
;
• ;
• -
.
- (2005)
,
„“,
„“ .
-
, , -
.
,
-
. -
,
-
, .
:
• , -
;
• ,
,
;
• „“ -
, ;
• -
„“, „-
“.
,
. -
, , -
. ,
.
57
, -
, ,
:
• ;
• ;
• .
-
, -
, -:
• , ;
• ,
;
• , -
.
, ,
.
– , -
-
-
.
,
, -
.
,
-
.
, -
.
първия въпрос.
-
втория въпрос
–
. ,
„ -
− ?“,
58
,
.
, ,
? , ?
-. -
U,
.
U´
U´
.
-
-
‒ ,
,
. - -
. -
„ -
“ .
-
.
.
-
,
. -
( ,
, -
),
. -
.
,
, , -
, ,
втория въпрос .
–
, дидактически понятия, твърдени-
ята за тях, а също така действията, дейностите, методите и
принципите, чрез които се усвояват средствата за фиксиране на
знанията. -
59
, , -
, - – .
Пример 1.
. -
,
, .
-
.
-
-
.
Пример 2. -
- -
, ,
,
, -
,
.
- ,
,
„“ .
,
, .
Пример 3. , -
, (-
) .
, -
. ,
, -
. -
, ,
60
, - ,
.
третия въпрос .
( ) -
,
,
,
, .
-
- . -
- -
.
-
– .
,
- .
, .
-
-
-
. , -
,
,
, ,
-
,
, .
Тази дейност напълно съответства на процеса на моделиране на
реални явления с математически средства.
Пример 4. -
,
61
A ⊂ B. , , -
. -
:
• .
• „“ ,
. -
, „“ B -
A,
.
• „“ -
, -
A.
-
--
–
.
. -
,
, -
, . -
,
.
– -
,
.
Пример 5. -
(, . 1971):
𝑝1 ∧ 𝑝2 ∧ 𝑝3 ∧ … ∧ 𝑝𝑖 ∧ … ∧ 𝑝𝑘 → 𝑞 ⇔ 𝑝1 ∧ 𝑝2 ∧ 𝑝3 ∧ … ∧ 𝑞 ∧ … ∧ 𝑝𝑘 → 𝑝𝑖 ,
закон за разширената контрапозиция. -
„ “
-
,
,
.
.
62
: Ако права, нележаща на дадена
равнина, е успоредна на права от равнината, то тя е успоредна
и на самата равнина.
-
:
• , -
, .
• ,
, .
•
,
.
,
, -
:
формални средства за моделиране, които модели де-
терминират езиково и логически решения на конкретни дидакти-
чески задачи.
, -
, ,
-
63
.
, ,
, ,
.
-
, -
- .
.
.
, , -
-
( 1987) .
, ( ) -
-
.
,
(
, (, 1983 (5). -
, -
.
.
теория на обучението по математика.
,
-
, , ,
,
, -
.
64
, -
(, , -
) -
.
( 2004) -
, -
.
Първи етап. ,
. ( 1976) протоопределени-
ята. . -
.
,
.
Втори етап. -
.
.
-
,
. -
.
. -
абстрахиране чрез отъжде-
ствяване абстрахиране от тип идеализация.
, -
, обект -
. ,
.
Трети етап. - -
.
, .
. . ( 1976)
-
.
- -
-
65
.
, -
.
:
• ,
;
• , -
;
• , -
;
• -
;
•
;
• --
-;
• ,
.
четвъртия етап -
– ,
, , , ,
. -
-
, ,
. -
:
• -
( 1963; -
1976);
• -
-
( 2004);
• -
-
( 2004);
•
(, . 1999);
•
( ) ( 1976).
66
,
. Това е етапът, на който се създава тео-
рия на определенията.
, -
/ -
,
-
,
.
-
,
-
.
Първи етап. ,
. ,
.
Втори етап.
. -
.
, .
.
. -
,
. ,
, -
, :
• , -
;
• , ;
• -
;
• -
;
• , , -
, ,
;
67
• ;
• .
Трети етап. -
.
, -
,
. --
.
(-
), -
, -
,
–
, .
Първи етап. . -
( -
) .
Втори етап. -
,
. доказване.
:
• -
;
•
;
• -
;
• -
;
• ;
68
• ,
.
Трети етап. ,
,
,
, , -
.
, ,
-.
. -
,
. -
(
) ,
–
, .
Първи етап.
.
.
Втори етап. :
• ;
• , -
;
• ;
• ;
• ;
• .
Трети етап. -
. ( 1972) (
), ( 1965) (
69
), . ( 1999)
(
), .
( 1995), . , . ( 2001) .
. ,
.
–
, -
.
.
.
, , -
, ,
.. , ,
, -
, ,
, , -
,
,
.
, -
.
, , -
-
, -
, .
.
• -
?
• ?
• -
?
70
-
( ), . -
.
71
72
, . (1965). .
: .
, . (1999). -
( ). : -
-96.
, . (2005). „“ -
. – : (305−315).
: .
, . (1995). -
. : .
, . (1983).
. – Обучението по математика (5).
, . (2001). (
). je: 94.
, ., . . (1963). -
. : .
, . (2004). -
,
(). , .
, . (1972). . : .
, . (1976). . : .
, . (1987). „“
. – : , -
, .
, . (1971). . :
.
, . (1976). . :
.
73
à
. -
-
. -
: (1)
; (2) à.
,
, .
Ключови думи: стандартизирани тестове, точкуване на за-
дачи, скàли за оценяване
-
15 .
(-
4. ), 7. , -
( 10. )
( 12.
). -
-
. ,
, -
.
, ( -
) .
,
.
-
. -
TIMSS,
PISA . ,
74
( et. al. 2015).
-
. ,
-
, -
.
-
, : (1)
-
,
; (2) ,
, -
„ “; (3)
, .
.
, ,
, .
- -
,
. -
, -
, „“
. -
-
, -
.
.
,
-
.
-
.
à -
.
.
75
1.
.
:
,
, (-
), ( ), -
. ,
, ,
, . -
, ,
.
,
(Crocker, L.,
Algina, J. 1986, Chapter 5)1.
1.1.
-
.
, ..
, ,
, –
.
, ,
, -
.
, 1
0 .
-
. -
, 1
0 .
1 , , :
(1) , -
;
(2) ,
;
(3) , -
.
76
2–0 2020, 7. , .
43,3% 18 836
-, , (
, ).
2. 5,08 :
) 54
5
) 5 2
25
B) 5 1
125
) 508
1000
3–0 2020, 7. , .
67,5% 18 836
-, , (
, ).
10. a b -
. -
?
A) 1 + 3 = 180°
Б) 1 + 4 = 180°
В) 3 + 4 = 90°
Г) 2 + 3 = 90°
Фиг. 1. Пример на задачи с различна статистическа трудност, като
по-лесната се оценява с по-голям брой точки2
-
.
. (
7. ) 2
0 ( -
2–0), – 3 0
2 , -
, .
. -
,
.
77
( 3–0).
, -
.
.
, .. -
.
, „
“, ,
.
, .
,
2–0, -
3–0 (. 1), , 3–0,
- 2–0. , -
.
1.2.
-
-
. -
. ,
1
0 .
.
.
,
.
1.3.
-
() , . -
().
, -
. ,
78
,
.
-
.
„ (1 ) – (0 )“. -
. -
0, 1, 2,…, n,
важна
стъпка . n
важни стъпки , .. -
. -
n () , 0
(, )
, -
( ,
,
.).
0 n.
.. важни стъпки -
,
. Важните стъпки
.
. -
-
, -
,
3. Важните стъпки
, .
, „ (1 -
) – (0 )“,
. -
, ,
.
3 - , -
Item Response Theory (Hambelton et. al. 1991), --
важни стъпки -
.
79
2018, 7. ,
.
( ?)
2 , 1 .
, „“ -
,
. -
, важни стъпки.
), .
20. -
:
Фиг. 2. Пример за нелогично точкуване на задача с разширен свободен
отговор
-
. ,
2–3 ,
5–6 , .
, -
, -
80
(. 2). ,
(
),
, .
, , -
,
. 2
.
, -
– ,
.
1.4.
1.4.
-
, ,
. - -
,
.
.
(. 3).
, -
- . -
),
), ) ) 0 5, 0 2, 0 4 0 1,
. -
-,
21) (. 4).
.
, ,
. ,
-
.
21)
8 важни стъпки. , , -
0 8 -
81
,
.
21) . . 5
.
2020, 7. ,
.
:
Фиг. 3. Ръководство за точкуване на задача, което трябва да се спазва
82
21.
0,00 2226 21,0
0,25 217 2,0
0,50 394 3,7
0,75 221 2,1
1,00 850 8,0
1,25 85 0,8
1,50 414 3,9
1,75 117 1,1
2,00 6100 57,4
Total 10 624 100,0
Фиг. 4. Статистика за получени точки
/
21)
1 –3
2
1
–3
1 –3
/
1
0
Фиг. 5. Примерно ръководство за точкуване на задача 21Б
1.5.
, -
() , -
. (),
, -
. ,
- ,
() -
, - 1 (-
83
2).
() -
, - 1.
, ,
, -
( , -
).
.
.
, , -
,
, (),
.
2. à
, -
, à
( 2012, 7). à , -
„ “, .. à
- ,
à .
à , --
,
. à -
.
à,
.
2.1. à
, -, -
.
суров тестов бал. à
, : (1)
à; (2)
0
.
. à-
84
-
( ).
- .
à ,
,
.
20
лесни, трудни ;
20 , лесен , 20
, труден .
2.2. à
, -
à. à ,
. -
. (
.) à
-
.
, . -
à (
) 0 100
.
2.3. à
11 2016 . -
(https://www.navet.
government.bg/bg/media/DOS-otsenyavane.pdf) , -
. . -
( 11
2016 . -
, . . 80 24 2021 ., https://mon.bg/
bg/59) , оценката на ученика на всеки от изпитите
по ал. 3 или съответно по ал. 7 се записва в точки, с точност до
0,01, които се приравняват към оценките по чл. 9, ал. 1, като
85
максималният брой точки на всеки от изпитите е 100 (. 50
. 12). :
(1)
,
, 0,01;
(2)
100. -
, .
,
à , -,
.
à ,
, .
( 100) ,
.
, -
100 ,
,
, -.
,
1 .
2.4. à
, ,
- à . -
à-
.
: (1)
(
100); (2) à
. , -
. : -
-
();
. -
( ) à
86
. à
2015 . ( . 2015: 4–6).
-
à, ,
, -
. -
à ( )
0 100 -
. à
à .
, -
à
- .
.. , -
, - -
Item Response Theory (Hambelton et. al. 1991).
, . (2012). . : .
, ., . , . . (2015). -
-
, .
. Washington, D.C.: World Bank Group. https://
documents.worldbank.org/en/publication/documents-reports/docume
ntdetail/148861468184765682/bulgaria-piloting-statistical-models-for-
estimation-of-schools-value-added-using-the-results-from-the-national-
assessments-key-results-and- ndings
Crocker, L., J. Algina. (1986). Introduction to classical and modern test
theory. Holt, Rinehart and Winston, Inc.
Hambelton, R., Swaminathan, H., & Rogers, H. (1991). Fundamentals of
item response theory. SAGE Publications.
87
.
. Логико-матема-
тическото словесно-символичното -
,
, , ,
, −
-
.
Ключови думи: логически еквивалентности, неправилна дроб,
модул на реално число
.
1. .
-
.
-
макроравни-
ще (Ninova & Ganchev 2009). -
, -
, ,
, , -
.
, , -
, −
-
. -
88
( 2003)
.
2.
, -
. ,
, (∀𝑥 ∈ 𝑉) 𝑃(𝑥) → 𝑄(𝑥) (*). x0
V 𝑃(𝑥0) → 𝑄(𝑥0) ,
(*) 𝑝 → 𝑞,
.
-
:
1. (𝑝 → 𝑟) ∧ (𝑞 → 𝑟) ⇔ 𝑝 ∨ 𝑞 → 𝑟. ( 1971)
Доказателство:
: 𝑝 → 𝑞 ⇔ 𝑝 ∨ 𝑞,
,
𝑝 ∧ q ⇔ 𝑝 ∨ 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 ⇔ 𝑝 → 𝑞.
2 ( 1).
( 1988).
Доказателство:
3 ( 1).
(𝑡 ∧ 𝑝1 → 𝑟) ∧ (𝑡 ∧ 𝑝2 → 𝑟) ⇔ 𝑡 ∧ (𝑝1 ∨ 𝑝2) → 𝑟.
1 -
. -
(Ninova & Mihova 2013).
3.
. -
словесно
89
. -
логико-математически
словесно-символично ( ),
.
3.1. -
-
-
, -
.
-
, .
, -
(
„ “).
e 1 -
.
Пример 1. , -
, неправилна дроб.
„ “
, -:
(1)
-
:
1.
90
Пример 2. модул
на рационално число.
φ
K ℝ , -
:
1) 𝜑(𝑥) ≥ 0 𝜑(𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0
2) 𝜑(𝑥. 𝑦) = 𝜑(𝑥). 𝜑(𝑦)
3) 𝜑(𝑥 + 𝑦) ≤ 𝜑(𝑥) + 𝜑(𝑦)
│x│
φ(x). K =ℝ, │x│= max {x, –x}
( 1977: 42).
„“ -
,
, -
.
(6. ) -
. 𝑓 : ℚ → ℚ0
+,
.
-
-
, . (-
„“) (1979; 1988)
„ / “. -
„“,
.
„ / “
:
.
-
. 1 -
, :
91
, -
„ / “ .
:
• , -
.
• -
.
•
– -
. -
, , − -
, -
.
3.2.
3 -
-
. 𝑡 ∧ 𝑟 → 𝑝1 ∨ 𝑝2,
𝑡 ∧ 𝑟 → 𝑝1 ∨ 𝑝2. (Ninova & Mihova
2014).
3.3. -
()
2 , n -
𝑝1 → 𝑞, 𝑝2 → 𝑞, . . . , 𝑝𝑛 → 𝑞
92
.
2 -
-
() (, (1976: 35).
( )
2.
Пример 3. 5.
pr
0 5
.
qr
5
5 .
5
0 5
𝑝 ∨ qr
.
Пример 4. .
-
(p), (r).
-
(q), (r).
-
(𝑝 ∨ q),
(r).
1. -
2 -
- -
.
3.4. ,
. -
(
) , -
. (Ganchev 2007) 𝑝1(𝑥; 𝑦) ∨ 𝑝2(𝑥; 𝑦) ∨
𝑝3(𝑥; 𝑦) ∨ … → 𝑝(𝑥; 𝑦) -
𝑝i, . -
.
x y, -
.
93
, ,
. -
. -
,
1 2.
Пример 5. „
“ (Ganchev 2007)
U e , M e -
„ -
“. :
• p: „… …“;
• p1: „… …, -
f1“;
• p2: „… …, -
f2“;
• …
• pk: „… …, -
fk“.
, -
, U, -
М, :
𝑝1(𝑥; 𝑦) ∨ 𝑝2(𝑥; 𝑦) ∨ … ∨ 𝑝𝑖 (𝑥; 𝑦) ∨ … ∨ 𝑝𝑛 (𝑥; 𝑦) → 𝑝(𝑥; 𝑦),
x U y
M.
-
, .
4.
прогностично-оценъчните
-
.
4.1. , -
, 3.1
4.1.1. 3.1.
,
5. .
94
Пример 6. . 1 ( .
2017a) ( -
) -
(1)
„ “.
Фиг. 1. Част от с. 45 на учебник на Генчева и др. (2017a)
Пример 7. -
(1) . 2 ( . 2006)
„“ . -
. 3
( . 2016)
-
. -
(1). ,
-
.
Фиг. 2. Част от с. 135 на учебник на Лозанов и др. (2006)
95
Фиг. 3. Част от с. 50 на учебник на Витанов и др. (2016)
4.1.2. 3.1. -
-
,
6. .
Пример 8. . 4 (
. 2017) „“
„-
“ .
, -
6. .
.
Фиг. 4. Част от с. 83 на учебник на Витанов и др. (2017)
Фиг. 5. Част от с. 108 на учебник на Нинова и др. (2017) – 1
96
Фиг. 6. Част от с. 108 на учебник на Нинова и др. (2017) – 2
( . 2017) .
5 6 .
Пример 9. . 7 ( .
2017) , -
„ “ „-
“. . 8
, -
.
(2)
-
„“.
Фиг. 7. Част от с. 86 на учебник на Колев и др. (2017)
97
Фиг. 8. Част от с. 87 на учебник на Колев и др. (2017)
Пример 10. . 9
( . 2017b) .
, -
(2), -
. -
𝑔 : ℚ \{0} → ℚ+, 𝑓 : ℚ → ℚ0
+.
𝑓 : ℚ → ℚ0
+,
.
Фиг. 9. Част от с. 90 на учебник на Генчева и др. (2017b)
-
„ / “
.
. , ,
, .
-
,
|𝑥| = 𝑐, 𝑐 > 0. , ,
/ -
, .. |𝑥| = 𝑐, 𝑐 > 0 . -
-
, |𝑎| = |–𝑎|. , -
-
.
98
− ,
4.2. , -
, 3.2
Пример 11. ( . 1997) . 143 -
, . 10.
Фиг. 10. Част от с. 143 на учебник на Лозанов и др. (1997)
, -
3.2. ,
:
𝑡: 𝐴𝐵𝐶𝐷 е четириъгълник и 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐷 = O
𝑝1: 𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷
𝑝2: 𝐴𝑂 = 𝐵𝑂
𝑝3: 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷
𝑟: △ 𝐴𝑂𝐷 ≅ △ 𝐵𝑂𝐶
𝑡 ∧ (𝑝1 ∧ 𝑝2 ∧ 𝑝3) → 𝑟 𝑡 ∧ (𝑝1 ∧ 𝑝2 ∧ 𝑝3) → 𝑟 :
• 𝐴𝐵𝐶𝐷(𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷)
𝑂 = 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐷. , △𝐴𝑂𝐷 ≅△ 𝐵𝑂𝐶.
• 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑂 = 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐷. -
, △𝐴𝑂𝐷 ≅△𝐵𝑂𝐶
-
„“, ..
. -
(Ninova & Mihova 2014) ,
𝑡 ∧ 𝑟 → (𝑝1 ∧ 𝑝2 ∧ 𝑝3) ∨
(𝑝1 ∧ 𝑝2 ∧ 𝑝3). , -
, .. -
„..., ...“, „“.
: В четириъгъл-
ника 𝐴𝐵𝐶𝐷 диагоналите AC и BD се пресичат в точка О. Докаже-
99
те, че ако △𝐴𝑂𝐷 ≅△𝐵𝑂𝐶, то 𝐴𝐵𝐶𝐷 е или равнобедрен трапец, или
правоъгълник.
4.3. , -
,
3.3
Пример 12. -
( 1996), . 11,
-
„“.
– -
„“.
𝑝 ↔ 𝑞 ⇔ (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑝),
,
. ,
, n-
2,
„-“.
Фиг. 11. Част от с. 226 на учебник на Паскалева и Паскалев (1996)
Пример 13. ( . 2018),
. 12, -
-
„“.
, -
-
.
100
,
.
Фиг. 12. Част от с. 209 на учебник на Витанов и др. (2018)
4.4. ,
3.4 -
.
– .
–,
. -
, . -
-
.
1 2.
Пример 14. 3.4 -
,
обобщен алгоритъм-предписание за конструиране на… (Ninova
2009),
.
-
:
101
Средата на отсечка се построява:
𝑝1) -
, или
𝑝2)
, , или
𝑝3)
, , -
,
, или
𝑝4) , -
, (
);
, -
,
, -
( ), или
𝑝5) ( ) -
, , или ..
Пример 15.
(𝑝), (r). (𝑝 → 𝑟)
-
(q), (r). (q → 𝑟)
(r), :
• (𝑝); или
• (q).
𝑝 ∨ 𝑞 → 𝑟.
.
Пример 16. (r),
или (𝑝 ∨ 𝑞).
𝑝 ∨ 𝑞 → 𝑟.
-
.
, -
.
102
, -
.
,
, -
.
-
.
:
• ;
• ;
• ;
•
;
• ;
• ;
• ;
• .
, . (1979). . – Ма-
тематика в школе, 47−48.
, . (1988). . – Математика в
школе, 29–31.
, ., . , . . (2017). -
6. . : .
, ., . , . . (2018). -
7. . : .
, ., . , . . (2016). 5.
. : .
, . (1976). . : -
.
, ., . -, . . (2017a). -
5. . : .
, ., . -, . . (2017b) -
6. . : .
, ., . , . - . (2017).
6. . : 2000.
103
, ., . , . . (2006). 5. .
: .
, ., . , . . (1997). 8.
. : .
(1977), 1, .
, ., . , . . (2017). 6.
. : .
, . (2003). -
„“. – Математика в школе, 10−14.
, ., . . (1996). 7. . :
.
, . (1971). . :
.
Ganchev, I. (2007). Concepts Representing (Fixing) Mathematical Activities
and Their Place in Logic and Didactic of Mathematics. Current Trends
in Mathematics Education, 5th Mediterranean Conference of Education.
Rhodos: MASSEE, 577–582.
Ninova, J. (2009). Adapted Algorithmic Prescription for the Carrying out
of Speci c Mathematical Activities. Proceeding of the 6th Mediterranean
Conference of Mathematics Education (429−437). Plovdiv: University
of Plovdiv.
Ninova, J., I. Ganchev (2009). Dependence of activities and means
used for the solving of didactical problems at di erent levels. MICOM
2009, Proceedings, Education (163−170). Union of Mathematicians of
Macedonia.
Ninova, J., V. Mihova. (2013). Composition of inverse problems with a
given logical structure. Annual of So a University „St. Kliment Ohridski“,
167−181.
Ninova, J., V. Mihova. (2014). An algorithm for composition of inverse
problems with exclusive disjunction as a logical structure in the
conclusion. :
(29−32). : . . .
104
„
“,
,
. -
. -
. -
.
Ключови думи: отношение на обемите на два многостена,
система от задачи
1.
-
.
() -
, „“, . 1 [1],
10. , -
, . 2 [2].
Таблица 1. Държавни образователни стандарти по математика, модул
„Геометрия“
,
В резултат на обучението си ученикът:
• ;
•
;
.
• „ “ „
“;
• -
.
105
Таблица 2. Учебна програма по математика за 10. клас, общообразова-
телна подготовка
,
В резултат на обучението си ученикът:
•
.
. . ( 1998). -
-
.
:
• ;
•
;
•
.
-
. ( 1976),
: Когато
разглеждаме дадено изображение ( –
..), говорим например за височина на тяло, а сочим отсечка от
планиметричен чертеж или разглеждаме даден равностранен
триъгълник, а говорим за основа на правилна триъгълна пирами-
да. -
.
2.
, ( & 2021).
-
.
, , -
.
106
2.1.
-
- (
1988: 206) . ( -
. 11.210.)
Твърдение. Дадена е триъгълна пирамида 𝐴𝐵𝐶𝑄. Нека 𝑀 ∈ 𝐴𝑄,
𝑁 ∈ 𝐵𝑄 и 𝑃 ∈ 𝐶𝑄, така, че 𝑄𝐴 = m, 𝑄𝐵 = n
𝑄𝑀 𝑄𝑁 и 𝑄C= l
𝑄P.
Да се докаже, че 𝑉𝐴𝐵𝐶𝑄 = m.n.l.
𝑉𝑀𝑁𝑃𝑄
Доказателство. ∢𝐴𝑄𝐵 = ∢𝑀𝑄𝑁 = 𝛼, 𝐶𝐶1 ⊥ 𝜌(𝐴𝐵𝑄)
𝑃𝑃1 ⊥ 𝜌(𝐴𝐵𝑄) (. 1).
𝑉𝐴𝐵𝐶𝑄 = 𝑆Δ𝐴𝐵𝑄.𝐶𝐶1 = 𝑄𝐴.𝑄𝐵.𝑠𝑖𝑛 𝛼 . 𝐶𝐶1 = m.n. 𝐶𝐶1
𝑉𝑀𝑁𝑃𝑄 𝑆Δ𝑀𝑁𝑄.𝑃𝑃1𝑄𝑀.𝑄𝑁.𝑠𝑖𝑛 𝛼𝑃𝑃
1𝑃𝑃1
.
𝑃𝑃1 ∥ 𝐶𝐶1, Δ𝑄𝑃𝑃1 ~ Δ 𝑄𝐶𝐶1 𝐶𝐶1 = QC = l
𝑃𝑃1QP .
𝑉𝐴𝐵𝐶𝑄 = m.n.l.
𝑉𝑀𝑁𝑃𝑄 .
Чертеж 1
Следствие. 𝜌(𝑀𝑁𝑃) ∥ 𝜌(𝐴𝐵𝐶), 𝑄𝐴 = 𝑄𝐵 =QC = k
𝑄𝑀 𝑄𝑁 QP
𝑉𝐴𝐵𝐶𝑄 = k3
𝑉𝑀𝑁𝑃𝑄 .
107
, -
,
( Q),
-
. -
,
„“
, „-
“ .
-
, .
2.2.
( & 2006) -
, -
. ,
. -
.
-
.
,
.
:
1.
-
.
2.
,
, .
3.
-
-
108
„“
,
.
4.
, -
, , „“
,
.
5.
-
,
, „“ -
.
структурна
пълнота .
3.
-
.
1
Задача 1. Точките M, N и P са съответно от околните ръ-
бове AQ, BQ и CQ на пирамидата ABCQ. Ако QM : QA = 1 : 2,
QN : QB = 2 : 3 и QP : QC = 1 : 3, то намерете отношението
𝑉𝑀𝑁𝑃𝑄 : 𝑉ABC𝑄.
Решение. ,
𝑉𝑀𝑁𝑃𝑄 = 𝑄𝑀 . 𝑄N . QP = 1.2.1 = 1
𝑉ABCQ 𝑄𝐴 𝑄BQC 233 9
(. 2).
109
Чертеж 2
Коментар към задача 1.
.
.
-
.
Задача 2. ( 1988), . 8, ,
. 381: В пирамидата ABCF през медианата BK на △ AB𝐶 и среда-
та L на ръба AF е прекарана равнина. Намерете отношението на
обема на многостена BCKLF и обема на пирамидата ABKL.
Решение.
𝑉ABCF = AF . AC . AB = 2.2.1 = 4
𝑉ABKL AL AK AB 111 1
(. 3),
.. 𝑉ABKL = 1
4 𝑉ABCF 𝑉BCKLF = 3
𝑉ABKL 1.
110
Чертеж 3
Коментар към задача 2. -
. -
,
ABCF ( -
BCKLF ABKL). -
„ “. -
ABKL ABCF. ,
ABKL ABCF
A ( AB). –
-
,
.
.
Общ коментар към задачите от компонент 1. -
:
•
;
•
.
-
.
111
2
3. В пирамидата ABCD през медицентъра на стената
ABD е построена равнина, успоредна на основата △ABC, която
равнина пресича околните ръбове в точки M, N и P. Ако 𝑉ABCD = V,
то определете 𝑉𝑀𝑁𝑃D.
Решение. G △ABD, DE
(. 4). G -
△MNP, △ABC.
MN || AB, DA = DE = 3
DM DG 2. , DA = DC = 3
DM DP 2.
,
𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷 = DA 3
=
33
𝑉MNPD DM 2. 𝑉MNPD = 8
27 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷 = 8
27 V
Чертеж 4
Коментар към задача 3. -
„-
“, .
-
.
: Пресеч-
ниците на равнина с две успоредни равнини са успоредни прави.
-
.
, -
112
, -
–
.
.
Задача 4. ( 1988), . 11.200, . 205:
През точка, деляща ръб на правилен тетраедър в отношение 1:4,
е построена равнина, перпендикулярна на този ръб. Намерете от-
ношението на обемите на получените две части на тетраедъра.
Решение. 𝑃𝑀 : 𝑃𝐴 = 1 : 4 (𝑃 ∈ 𝐴𝑀). 𝜌 (𝐴𝐵𝑀)
𝑃𝑄 ⊥ 𝐴𝑀 (𝑄 ∈ 𝑀𝐵), 𝜌(𝐴𝐶𝑀) – 𝑃𝑅 ⊥ 𝐴𝑀 (𝑅 ∈ 𝑀𝐶)
(. 5). , 𝜌(𝑃𝑄𝑅) ⊥ 𝐴𝑀, .
. 𝑉PQRM
𝑉ABCPQR
. -
𝑉𝐴𝐵𝐶𝑀
𝑉PQRM
.
Δ𝐴𝐵𝑀 (. 6) 𝑃𝑄 ⊥ 𝐴𝑀, ∢𝑃𝑄𝑀 = 30∘.
𝑀𝑃 = 𝑥, 𝑃𝐴 = 4𝑥 𝑀𝑄 = 2𝑥. -
, 𝑀𝑅 = 2𝑥. ,
VABCM = MA . MB . MC = 5.5.5=125
VPQRM MP MQ MR 122 4
VPQRM = 4
VABCPQR 121 .
Чертеж 5 Чертеж 6
Коментар към задача 4.
, -
113
, -
, -
.
перпендикулярност на права и
равнина.
- тетраедър правилен
тетраедър.
- -
30°,
-
. - .
-
-
.
( 2022) – -
,
.
Задача 5. ( 1988), . 8, ,
. 380, : Основата на пирамида ABCF е пра-
вилен △ABC със страна с дължина 20. Околният ръб BF е перпен-
дикулярен на равнината на основата и има дължина 5. Пирами-
дата е пресечена с равнина, успоредна на кръстосаните ръбове AC
и BF, така че полученото сечение е квадрат. Намерете отноше-
нието на обемите на двете тела, на които пирамидата се разби-
ва от построеното сечение.
Решение. . 7 (
𝑀𝑁𝑃𝑄), ,
.
MNPQ x. MN ∥ AC NP ∥ BF, x = BN
20 CB x = CN
5CB .
-
, x = 4. BN = 1
CB 5
FP = FQ =1
FC FA 5.
VBPQF = 1.1.1=1
VABCF 551 25
.
VBPQF = 1
25 𝑉ABCF .
114
VMNPQB = 1
3 x2 . x3
2 = 323
3, △MNB .
𝑉𝑀𝑁𝑃𝑄𝐵 = 8
125 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐹, 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐹 = 5003
3.
= 13
125 -
13 : 112 112 : 13.
Чертеж 7
Коментар към задача 5.
,
, -
, AC
BF.
перпендикулярност на права и равнина
кръстоса-
ни прави.
,
,
-
. VMNPQB
, 𝐵𝑇(𝐵𝑇 ⊥ 𝑀𝑁) -
MNPQB.
.
. -
, -
.
-
, . 3.
115
Таблица 3. Контекстуални прекодирания от решението на задача 5
△𝐴𝐵𝐶
ABCF
MNPQ
MNPQB
BF
ABCF
/
PN
MNPQB
BF ∥ NP ,
,
∢ BCF,
BT
MNPQB
△MNB
Задача 6 ( ). Нека ABCD е триъгълна пи-
рамида с ръбове 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝐷𝐴 = 𝐷𝐵 = 𝐷𝐶 = 1. През върха A, перпен-
дикулярно на стената BCD и успоредно на ръба BC, е прекарана
равнина 𝜆. Нека 𝜆 пресича ръбовете DB и DC съответно в точки
M и N и отношението на обемите на пирамидите MNDA и BCDA
е VMNDA = 16
VBCDA 15 . Да се намери VABCD.
Решение. -
(. 8),
D. -
, ,
, M N -
.
MN ∥ BC, DB = DC
DM DN
VABCD = DB . DC . DA =
VAMND DM DN DA DB 2
⇔
DM DB 2
=
DM
25 ⇔
16
DB =5
DM 4.
116
𝐴𝐾𝐷 (𝐴𝐾 = 𝐷𝐾),
DH AP .
AH DP.
: 𝐴𝐻 = 𝐷𝑃 = x x
.
Δ𝐴𝑃𝐷 (𝜌(𝐴𝑀𝑁) ⊥ 𝜌(𝐵𝐶𝐷)) ,
AP = 1 − x2. Δ𝑀𝑁𝐷 ∼ Δ𝐵𝐶𝐷 ,
DK =DB = 5 ⇔
xDM 4 DK = 5x
4. PK = x
4.
Δ𝐴𝑃𝐾
AK = 1 – x2+ x2
16 =16 − 15𝑥2
4, Δ𝐴𝐾В -
x15
4
1 –
15x2=
16
BC =
21 – .
𝐴𝐾 = 𝐷𝐾 16 – 15x2
4=5x
4 16 − 15x2 = 25x2 ⇔
40x2 = 16 ⇔ x = 2
5
.
𝐴𝐾 = 5
22, DH = AP = 3
5 BC = 6
2,
𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷=1
3. 𝐴𝐾.𝐵𝐶
2. 𝐷𝐻 = 1
3.1
2.5
22.6
2.3
5 = 1
3.1
2.1
22.2 3
2
.3
1
= 1
8.
Чертеж 8
Коментар към задача 6. -
, -
117
D AD, -
, M N
DB DC ABCD.
-
. перпендикулярни равнини
успоредност на права и равнина.
-
, . -
,
-
. .
-
. -
. -
, . 4.
Таблица 4. Контекстуални прекодирания от решението на задача 6
△𝐴𝐵𝐶
ABCD
△AMN
AMND
DH
ABCD
/
,
DP
AMND
/
,
MN ∥ BC ,
,
∢ BDC,
118
Общ коментар към задачите от компонент 2. -
:
• , -
;
• -
;
• ( 5 6).
-
, , .
,
.
, -
. -
. Права е успоредна на равнина, ако е успоредна на права от
равнината. Две равнини са перпендикулярни, ако в едната от тях
лежи права, перпендикулярна на другата равнина.
.
.
, , -
, ,
.
3
Задача 7. В правилната четириъгълна пирамида ABCDM
с връх точката M е построено сечение PQRS (𝑃 ∈ 𝑀𝐴, 𝑄 ∈ 𝑀𝐵,
𝑅 ∈ 𝑀𝐶, 𝑆 ∈ 𝑀𝐷), така че MP = MS =2
PA SD 3 и MQ = MR =3
QB RC 2. Да се
определят VABCDM
VPQRSM
и VPQRSM
VABCDPQRS
.
Решение. -
. „“
.
(. 9) -
.
119
𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝑀 = 𝑉. 𝑉𝐴𝐵𝐷𝑀 = 𝑉𝐵𝐶𝐷𝑀 = 1
2 V. -
ABDM PQSM -
,
(1).
BCDM QRSM
-
,
(2).
(1) (2) ,
Чертеж 9
Коментар към задача 7.
, -
.
ABCDM PQRSM, –
PQRSM ABCDPQRS -
ABCDM.
.
, , -
ABCDM „“
,
120
. -
.
. -
, -
„-
“
, .
Задача 8. В правилната четириъгълна пирамида ABCDM с връх
точката M през точка N от височината MO е построено сечение
PQRS, което сключва с две съседни околни стени на пирамидата
ъгли, равни на ъглите, които тези две околни стени сключват с
основа ABCD на пирамидата. Ако MN =2
NO 3, да се определят VABCDM
VPQRSM
и VPQRSM
VA𝐵𝐶𝐷𝑃𝑄𝑅𝑆.
Решение. ∢𝑁𝐿𝑀 = ∢𝑂𝐸𝑀 (. 10), ,
𝑁𝐿 ∥ 𝑂𝐸, , 𝐴𝐵 ∥ 𝑃𝑄 (1).
, BC ∥ QR (2).
(1) (2) , ,
𝜌(𝐴𝐵𝐶𝐷) ∥ 𝜌(𝑃𝑄𝑅𝑆). NO =3
MN 2 ⇔𝑁𝑂+𝑀𝑁 =3+2 ⇔
𝑀𝑁 2
MO =5
MN 2
, .. ,
-
.
𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝑀 = 𝑉. -
, VABCDM
VPQRSM MA 3
=
MP 53
=
2
125
8
=2VABDM =
2VPQSM
.
𝑉𝑃𝑄𝑅𝑆𝑀 = 8
125 V VPQRSM =
V𝐴𝐵𝐶𝐷𝑃𝑄𝑅𝑆
8V
125
V – 8V
125
= 8
117
.
121
Чертеж 10
Коментар към задача 8. -
. , , ,
.
ABCDM PQRSM,
–
PQRSM ABCDPQRS ABCDM. -
, ,
ABCDM „“
, -
. . ,
,
. , -
. ,
. -
: Ако две пресичащи
се прави от една равнина са съответно успоредни на две пресичащи
се прави от друга равнина, то двете равнини са успоредни. Две
прави в пространството, които са поотделно успоредни на трета
права, са успоредни помежду си.,
.
Общ коментар към задачите от компонент 3.
-
122
. „“ -
.
-
„“
. -
.
4
Задача 9 ( ). В правилна четириъгълна
пирамида двустенният ъгъл при основата е с мярка 60°. През ос-
новен ръб е построена равнина 𝛾, перпендикулярна на срещупо-
ложна на този ръб стена. Намерете отношението на обемите на
телата, на които се разделя пирамидата от равнината 𝛾.
Решение. T BC, N
AD (. 11). 𝜌(𝑁𝑇𝑀) 𝑇𝑉 ⊥ 𝑀𝑁.
TV 𝜌(𝐴𝐵𝐶𝐷)
TN TN ⊥ AD,
, 𝑇𝑉 ⊥ AD,
𝑇𝑉 ⊥ 𝜌(𝐴𝐷𝑀) (1).
𝛾, BC TV, -
𝜌(𝐴𝐷𝑀) (1). 𝜌(𝐵𝐷𝑀)
-
. ,
, .
𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝑀 = 𝑉, 𝑉ˊ = 𝑉𝐵𝐶𝑄𝑀 𝑉′′ = 𝑉𝐵𝑃𝑄𝑀. 𝑉𝐴𝐵𝐷𝑀 = 𝑉𝐵𝐶𝐷𝑀 = 1
2V.
,
VBCDM = MD . MB . MC
VBCQM MQ MB MC
V
2
Vˊ = 2.1.1, .. Vˊ = V
4,
MD
MQ = 2 (Δ𝑁𝑇𝑀 (𝑀𝑁 = 𝑀𝑇, ∢𝑀𝑁𝑇 = 60∘) -
V MN).
VABDM = MA . MB . MD
VBPQM MP MB MQ =2.1.2
V
2
V ˝= 4, ..
V ˝ =V
8.
123
𝑉1 = 𝑉𝐵𝐶𝑄𝑃𝑀 = 𝑉′ + 𝑉′′ = V
4+ V
8 = 3V
8.
, 𝑉2 = 𝑉A𝐵𝐶D𝑃Q = 𝑉 – 𝑉1 = 5V
8
V2
V1
= 5V
8 . 8
3V= 5
3 V1
V2
=3
5.
Чертеж 11
Коментар към задача 9. -
, -
. перпен-
дикулярност на две равнини. -
перпендикулярност на права и равнина,
теоремата за трите перпендикуляра.
,
„“ -
,
. -
-
.
Задача 10. ( 1988), . 11.211, . 206,
: Околният ръб на правилна четириъгълна
пирамида образува с височината на пирамидата ъгъл с мярка 30°.
През връх на основата на пирамидата е построена равнина, пер-
пендикулярна на противоположен околен ръб. Тази равнина разде-
124
ля пирамидата на две части. Намерете отношението на обемите
на тези две части.
Решение. . 12
𝜌(𝐵𝐷𝑀) 𝐵𝑄 ⊥ 𝑀𝐷 (𝑄 ∈ 𝑀𝐷) (1),
𝜌(𝐴𝐷𝑀) 𝑄𝑅 ⊥ 𝑀𝐷 (𝑅 ∈ 𝑀𝐴) (2). -
P MC.
(1) (2) , 𝜌(𝐵𝑃𝑄𝑅) ⊥ 𝑀𝐷. 𝐵𝑃𝑄𝑅
, . -
𝜌(𝐵𝐷𝑀),
VABDM
VRBQM
. -
, Q
R .
Чертеж 12 Чертеж 13 Чертеж 14
Δ𝐵𝐷𝑀 (𝐵𝑀 = 𝐷𝑀) (. 13).
∢𝐷𝑀𝑂 = 30∘ ∢𝐷𝑀𝑂 = 1
2 ∢𝐷𝑀𝐵,
, Δ𝐵𝐷𝑀 . -
BQ MD , .. MQ =1
MD 2 (3).
MA
MR , -
Δ𝐴𝐷𝑀 (𝐴𝑀 = 𝐷𝑀) (. 14), 𝑄𝑅 ⊥ 𝑀𝐷.
𝐴𝐷 = 𝑎. 𝐵𝐷 = 𝑎2 Δ𝐵𝐷𝑀 -
, 𝐵𝑀 = 𝐷𝑀 = 𝐵𝐷 = 𝑎 2. , -
Δ𝐴𝐷𝑀, , 𝑐𝑜𝑠 ∢𝑄𝑀𝑅 = 3
4.
Δ𝑅𝑄𝑀 MR – MQ =
MR 𝑐𝑜𝑠 ∢ 𝑄𝑀𝑅 ⇔ 𝑀𝑅 =
125
𝑎2
=
2
3
4
2 𝑎2
3. MA =3
MR 2 (4).
(3) (4)
VABDM = MA . MD . MB=3.2.1=3
VRBQM MR MQ MB 211 1
. VABCDM = 2.VABDM =3
V𝑅𝐵𝑃𝑄𝑀 2.𝑉𝑅𝐵𝑄𝑀 1.
,
, 1 : 2
2 : 1.
Коментар към задача 10. -
,
.
,
, -
-
. -
.
-
. -
перпендикулярност на права и равнина.
Общ коментар към задачите от компонент 4. -
-
-, -
„“ -
.
5
Задача 11 ( ). В триъгълна пирамида
𝐴𝐵𝐶𝑆 с връх S на страните на основата са взети точките 𝐾1, 𝐾2 и
𝐾3, такива, че отношенията 𝐴𝐾1 : 𝐾1𝐵 = 𝐵𝐾2 : 𝐾2𝐶 = 𝐶𝐾3 ∶ 𝐾3𝐴 = 2 : 1.
През средата на ръба SA е прекарана равнина 𝜋, успоредна на
основата, която пресича отсечките 𝑆𝐾1, 𝑆𝐾2 и 𝑆𝐾3 съответно
126
в точките L1, L2 и L3. Намерете обема на пресечената пирамида
𝐾1𝐾2𝐾3𝐿1𝐿2𝐿3, ако 𝑉𝐴𝐵𝐶𝑆 = 𝑉.
Решение. 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 = 𝑆 𝑆𝑂 = 𝐻.
. 15
𝐴𝐾1.𝐴𝐾3.𝑠𝑖𝑛 ∢𝐵𝐴𝐶
=
2
𝐴𝐵.𝐴𝐶.𝑠𝑖𝑛 ∢𝐵𝐴𝐶
2
𝑆Δ𝐴𝐾1𝐾3 =
𝑆Δ𝐴𝐵𝐶
A𝐾1. A𝐾3=2.1=2
AB AC 33 9
𝑆Δ𝐴𝐾1𝐾3 = 2 S
9.
, 𝑆Δ𝐵𝐾1𝐾2 = 𝑆Δ𝐶𝐾2𝐾3 = 2 S
9.
𝑆Δ𝐾1𝐾2𝐾3 = 𝑆 − 3 . 2
9 𝑆 = 1 S
3, 𝑉𝐾1𝐾2𝐾3𝑆 = 1
3 . 1S.H
3= 1 V
3.
, -
, -
-
. , 𝑉𝐾1𝐾2𝐾3𝑆
𝑉L1L2L3𝑆=S𝐾13
SL1
=23
1
⇔ 𝑉L1L2L3𝑆 = 1
8 𝑉𝐾1𝐾2𝐾3𝑆 = 1
8. 1
3V = 1
24 V.
𝑉𝐾1𝐾2𝐾3L1L2L3 = 𝑉𝐾1𝐾2𝐾3𝑆 − 𝑉L1L2L3𝑆 = 1–1V =
324
7 V
24 .
Чертеж 15
Коментар към задача 11.
-
. „“ -
.
127
Задача 12. ( 1988), . 11.122, . 199,
: Дължините на основните ръбове на пра-
вилна четириъгълна пресечена пирамида са съответно 2 cm и 1 cm,
а дължината на височината на пирамидата е 3 cm. През пресеч-
ната точка на диагоналите на пирамидата е построено сечение,
успоредно на основите на пирамидата, което дели пирамидата
на две части. Да се намери отношението на обемите на тези две
части.
Решение. F
(. 16). -
MNPQ, .
„“ 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1
ABCDS,
.
ABCDS.
Δ𝐷𝐹𝐵 ∼ Δ𝐵1𝐹𝐷1, DF = DB =22=2
B1FB1D121 (. 17).
, AM = BN =CP =DQ =2
A1MB1NC
1PD
1Q1.
𝑀𝐴1 = 𝑎. 𝑀𝐴 = 2𝑎.
а
𝐷1𝑆 „“
𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝑆 -
.
𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆.
128
Чертеж 16 Чертеж 17
, SD1 = D1B1=1
SD DB 2, -
,
:
𝑉 = 𝑉𝐴1𝐵1𝐷1𝑆 , 𝑉′ = 𝑉𝑀𝑁𝑄𝑆 , 𝑉′′ = 𝑉𝐴𝐵𝐷𝑆 𝑉 = 𝑉𝑀𝑁𝑃𝑄𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1
𝑉 = 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝑀𝑁𝑃𝑄.
,
:
𝑉′′ = 8𝑉.
Коментар към задача 12. -
,
-
,
.
129
- -
, - -
,
.
Задача 13 [3]. Дадена е правилна четириъгълна пресечена пи-
рамида 𝐴𝐶𝐵𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 с основни ръбове 𝐴𝐵 = 8 и 𝐴1𝐵1 = 4. Се-
чението на пирамидата с равнина, минаваща през ръбовете 𝐵𝐶 и
𝐴1𝐷1, сключва с голямата основа ъгъл 30°. Да се намери в какво
отношение сечението дели обема на пирамидата.
Решение. V1 -
, „“ , V2
, „“ -
, V
(. 18). V1 = V – V2=V
V2V2V2
– 1.
„“ -
M, -
, „-
“ .
A1B1= 1
AB 2, MO1=1
MO 2
,
𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 = 7
8 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝑀 . 𝑉𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1M = 1
7 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝑀.
,
130
𝑉2 = 𝑉𝐴1𝐵𝐷1𝑀 + 𝑉𝐵𝐶𝐷1𝑀 − 𝑉𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝑀 = 1+2–1V=
777
2V
7,
.
Чертеж 18
Коментар към задача 13. -
,
-
,
.
Общ коментар към задачите от компонент 5. -
„“
„-
“ .
Задача 14. ( . 1989), . 69, . 192: Дадена е
правилна четириъгълна пирамида 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷 с връх V. През средите
131
на ръбовете AB, AD и VC е прекарана равнина. В какво отношение
тази равнина дели обема на пирамидата?
Решение. . 19 -
𝑀𝑁𝑃𝑄𝑅, .
,
. 𝐴𝐵 = 𝑎. -
, 𝐿𝐷 = 𝐵𝐾 = a
2, 𝑆Δ𝐵𝐶𝐷 = a2
2, 𝑆Δ𝑀𝐵𝐷 = a2
4
𝑆ΔRM𝐷 = a2
8 = 𝑆ΔAMR (. 20).
𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝑉 = 𝑉. 𝑉𝐵𝐶𝐷𝑉 = V
2, 𝑉M𝐵𝐷𝑉 = V
4 𝑉MR𝐷𝑉= V
8 = 𝑉𝑅𝐴𝑀𝑉.
𝑉1 = 𝑉𝑄𝑁𝑃𝑉 , 𝑉2 = 𝑉𝑀𝑁𝑄𝑉, 𝑉3 = 𝑉𝑅𝑀𝑄𝑉 𝑉4 = 𝑉𝐴𝑀𝑅𝑉.
Δ𝐵𝐶V KP (. 21)
, -
N BV , ,
, .
-
,
.
,
, .
1 : 1.
132
Чертеж 19
Чертеж 20 Чертеж 21
Задача 15. ( . 1989), . 70, . 192: Дадена е пра-
вилна четириъгълна пирамида VABCD с връх V. Върху продълже-
нието на DC е взета точка M, така че MD = 2DC (MC = 3DC).
През точките M, B и средата на ръба VC е прекарана равнина. В
какво отношение тази равнина дели обема на пирамидата?
Решение. . 22
BPQR, . -
, -
.
133
DC = a. DM = 2a. Δ𝐷𝐶𝑉 MP (.
23) ,
Q DV
,
(. 24), R
AD . Δ𝑀𝑅𝐷 ∼ Δ𝑀𝐵𝐶,
𝑉 = 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝑉 , 𝑉1 = 𝑉𝐵𝑃𝑄𝑉, 𝑉2 = 𝑉𝑅𝐵𝑄𝑉 𝑉3 = 𝑉𝐴𝐵𝑅𝑉. -
-
, .
,
.
31 : 29 29 : 31.
Чертеж 22
134
Чертеж 23
Чертеж 24
Задача 16. (, 2021) ABCDA1B1C1D1
, A, C E, E
DD1 (. 25).
, , :
) 1 : 1
) 1 : 11
) 1 : 4
) 1 : 2
Чертеж 25
135
, -
, -
-
. -
– ,
, ,
,
.
-
.
,
,
, -
, .
-
, -
– ,
.
, -
, -
, „“ -
, -
, „“
.
-
, „“
„“ , -
,
-
.
-
. -
-
. ,
, -
136
. -
, .. -
структурна пълнота .
, ., . . (2006). -
. – Математика в школе (5), 55–63.
, . (2021). ,
. – Математика (5), 45–48.
, ., . . (1988).
. : .
, ., . . (2021).
. – Матема-
тика и информатика (1), 99–113.
, ., . , . . (1989). -
7.–10. . : .
, . (2022). . – Математика и ин-
форматика (1), 82–95.
, . (1976). . –
Пролетна конференция на СМБ. : .
, . (1998). . – Математика в школе
(5), 19–24.
[1] 7 11 2016 . ,
https://www.mon.bg/upload/24016/ndrb-PP-izm092020.pdf
[2] 2 09-30/11.01.2018 .
, https://www.mon.bg/upload/13865/
pril2_UP_10kl_MATH.pdf
[3] , II. (23.06.2013.).
: https://www.fmi.uni-
so a.bg/bg/matematika-ii-1
137
–
XXI .
. 1955 . „
, “ -
- -
. 2005 . „
“, , -
50- .
„-
– XXI .“.
, -
,
.
, -
.
Ключови думи: история, обучение, принципи и цели, реализация
15 , -
COVID ,
-
-
. -
-
. „-
– XXI .“.
Образователната среда -
,
.
:
• -
,
;
138
• ;
• , -
. -
, .
:
• -
;
• -
– , , -
;
• .
:
• -
( )
;
• -
„“. 2005 .
„ “ , -
, -
(, -
.);
• -
.. . -
, , -
, ,
„-“, -
.
,
. -
- -
.
, -
139
,
. -
/ ,
.
-
типове мисловни и учебни дейности:
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• () ,
.
-
:
• изследователска –
;
• анализираща –
,
;
• оценяваща – -
.
:
• когнитивни – -
,
,
;
• метакогнитивни – , -
;
• мотивационни – -
.
-
–
. -
140
учебни
ситуации :
• ;
• ;
• ;
• .
гъвкавост:
• „ “;
• ;
• ;
• ;
• , ,
.
Психологическите предимства :
• ;
• ;
• -
;
• -
- .
2005 . -
-
.
, -
, :
• ( ) –
,
.;
• ( ) –
Moodle
-
;
• –
;
141
• ( ) (
) – , -
.;
• ( ) – -
,
, .
-
. , -
-,
.
-
, -
.
-
,
- -
,
. ,
, .
, : „
-, – -?“. -
, -
. -
,
, -
,
.
„ “
, ,
, -
, -
„ “ -
.
142
,
. , -
, , , -
„ “
„ “ -
.
.
.
Ключови думи: учител, обучение по математика, познава-
телни процеси
,
, . -
, , , -
,
. ,
,
. ,
; ,
, , -
, .
– -
, : ,
, , , -
.
, -
.
-
-
. -
.
143
-
,
.
, -
-
, . -
, ,
.
„ “
, , -
, -
„ “.
, -
,
[1]. -
, ,
, , -
(Sousa 2008;
Schoenfeld 1992). -
. , -
, -
, . -
( COVID
)
Moodle,
.
-
„. “.
„-
“ ,
, -
.
- -
-
, .
144
, ,
1.
, -
,
[1].
(
2004). -
( ),
-
,
,
,
.
2.
Франция
, -
, , -
, .
2020–2021 . -
, -
„Le diplôme national du brevet“ .
2018–2019 . [2]
:
1. Решете задачите, оформете решенията като изпитна тема и
запишете времето, което ви е било необходимо.
2. Направете анализ на всяка задача по следните показатели:
• , ,
• ,
• / -
145
• -
•
-
18 –
, . -
, -
. -
, -
.
2020–2021 . -
,
.
Италия
-
2021–2022 . ,
A026 2021 .
[3].
40 , -
, -
100 . 2
70% .
, -
, , , -
[4]. 10 ,
( -
, ).
, -
:
• „ “ – -
, -
, 2–3 .
• „ “ – -
.
146
• „ “ – -
,
,
.
3.
, ,
, -
, -
, -
(Sousa 2008; Schoenfeld 1992)
– , , ,
, , , -
, , , -
.
-
, , -
// (
, , ,
) ,
/ / -
.
-
„“, , -
:
Разработете анализ върху избран от вас елемент от обуче-
нието като познавателен процес. Използвайте учебници, учебни
помагала или друга учебно помощна литература. Базирайте се на
следните елементи за анализа:
• – , , , -
• ( ) – , -
, ,
• – ; -
, ,
.
• ( )
•
•
147
4.
, ,
.
, ,
.
-
, -
- .
, .
,
, ,
, .
-
.
:
Представете си, че случайно от стар вестник, списания, книга
или записките на някой студент ви попада този въпросник. Той
няма заглавие, не е ясно целият ли е, чернова ли е, или е реда-
ктиран текст. Решавате да го използвате за събиране на инфор-
мация за нагласите по математика като анкета, интервю или
някаква друга форма от хора, за които ще ви е интересно как ще
отговорят. За целта може да го приемете такъв, да го промени-
те, да го допълните или съкратите съобразно вашето виждане и/
или хората, към които ще се обърнете.
Заданието ви е да:
• ;
•
,
( , ,
.);
• ;
• .
148
,
, -
, -
.
, .
-
– -
, ,
, -
, ,
.
„ -
“
,
,
.
-
(
) .
,
,
. -
, .
,
,
, ,
.
149
, . . (2004). . . -
. . : -
„ “.
Sousa, D. A. (2008). How the Brain Learns Mathematics. SAGE Publications.
Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: Problem
solving, metacognition, and sense-making in mathematics. – In: Grouws,
D. (d.). Handbook for Research on Mathematics Teaching and Learning.
New York: MacMillan, 334–370.
[1] „ “, -
12/16.12.2013 .;
[2] Ministère de l‘Éducation nationale et de la Jeunesse, “Eduscol.
Préparer le DNB avec les sujets des annales”, https://eduscol.
education.fr/711/preparer-le-dnb-avec-les-sujets-des-annales
2022 .
[3] Ministero dell‘Istruzione e del Merito, “Concorso materie STEM 2021”,
https://www.miur.gov.it/web/guest/concorso-materie-s.t.e.m. -
2022 .
[4] Ministero dell‘Istruzione e del Merito, “Quadri di riferimento per
la valutazione della prova scritta”, https://www.miur.gov.it/web/
guest/quadri-di-riferimento-per-la-valutazione-della-prova-scritta2
2022 .
„ -
– 2“
.
150
, ,
.
-
.
(-
Костенурковата геометрия Геомландия ‒
,
).
-
,
. – -
, ‒
,
-
,
,
. -
,
.
Ключови думи и фрази: класически и иновативни методи в
образованието, изследователски подход в образованието, ком-
пютърни микросветове в подкрепа на изследователския стил
на учене, образователни среди, в които се изразява любовта
към учителя
:
„-
“. , -
, , -
, (
), -
–
() () -
151
(),
1978 1999 .
(Sendov 1987). , ,
-
-
. ,
,
, -
,
( 2017)!
: ,
-
-
,
,
, - –
Scratch.
„ “
, -
15, Костенур-
ковата геометрия – - (
),
‒ , -
, -
, (Papert 1980).
-
–
– , -
! (
.)
-
,
( ), -
, !
Scratch – !
1 ( 2017).
152
:
, (Carrol
1982), (Hofstadter 1980) (Sendova
2021).
: , ,
λόγος – дума, слово, мисъл,
принцип.
: , -
‒ ,
Страната на чудесата (-
2015). ( ),
MIT ( ),
, e, !
: ,
, .
– -
: -? -
.
:
! , -
-
, ,
. : Това къде и защо ще
ми трябва?.
: -
, ; -
-
.
! ,
, .
: ( -
),
– , ;
; -
153
( -
) манталитет на скакалци – -
, -
, „“ Google
.
, обичат да им е трудно!
-
,
. .
:
(André Gide): Всичко вече е
казано, но хората не четат и не слушат, затова трябва да пов-
таряме! 1985 .
„Children in information age“ --
(Sendov 1986): Дали ще използваме компютрите, за да
направим образователния процес още по-технически, или (нещо,
което може би звучи парадоксално) – по-хуманен?
: , -
-
, . , -
кое е добре за децата.
( 11-, 20
) . -
ак се преподава програмиране така, че да е добре за
децата, и кои са майстори в това, -
, …
: , . -
. , ,
„ “? -
?
интегриране ( ) ?
–
: –
154
‒ (-
1983). -
език и математика (
1984) преддигиталната , -
, - .
-
език и математика
(. 1).
Фиг. 1. Първите учебници по информатика на ПГО
като част от предмета „Език и математика“2
-
(,
2 Информатика ( )
( . ) -
.
155
, ), , ,
( –
).
, -
, -
. -
(цикъл, рекурсия)
, , , -
,
.
-
език и математика
.
: ?
: , .
1993 . -
, -
,
( 1986) ( -
„. -
“, ,
„“),
.
(Nikolova 1997; Sendova
& Ivanov 2000) Comenius
Logo, 4000 (Blaho et. l. 1996).
: ,
– -
„ “ (
език и математика) ( 1989)
- (
) 1989 . -
- -
„“ ( 1989).
,
,
119. -
156
. - -
Eurologo99
(Goldenberg 1999):
Обичайната тенденция да се използва Лого като играчка в на-
чалното училище и да се замести по-късно с други езици за програ-
миране, е нещо подобно на това да учиш един срок испански като
подготовка за френски език. Като играчка всеки език за програ-
миране, дори Лого, е прекалено скъпа инвестиция по отношение на
времето. Родният език е най-добър за изразяване на семантика-
та на една математическа идея или ситуация; алгебричният език
е най-добър за изразяване и трансформиране на количествени или
структурни отношения; а компютърният език е оптимален за
описване на процеси и алгоритми. Струва ми се, че това научих
особено добре в София.
- -
„Constructionism 2018: Constructionism,
Computational Thinking and Educational Innovation“, -
-
-
( Snap!)
(Goldenberg, Carter 2018).
: ,
„Learning by developing“ (Blaho 1998), , -
Comenius Logo, ,
80-,
забележителните български учебници.
:
4 -
. ,
,
.
,
( , , ),
.
, , -
, , ,
.
157
: -
2. „
“ 1987 . -
( ).
– -
.
.
.
, , -
. -
: Проф. Пепърт, бихте ли показали
как търсите грешки в програми?
– !
- – 100.
. -
: Проблемът е в хардуера! (-
Правец 8). -
.
. – ,
, , : А вие в Щатите имате
ли си толкова добра учителка като нашата?
„ -
“
(Papert 1987):
Вчера имах много трогателно преживяване в едно училище
тук, в София. Посетих училище, в което деца правеха програми
(на Лого). Накрая казаха, че имат въпроси и искат да ме интер-
вюират. Един от въпросите беше: „Имат ли децата някъде дру-
гаде (по света) толкова страхотен учител?“. Бях толкова раз-
вълнуван, че не знаех какво да кажа. Но си помислих: „Не е ли
прекрасно?“. Имаше нещо в работата, която вършеха, което ги
караше да изразят такова чувство към своята учителка. Разбира
се, тяхната учителка е прекрасен човек, но ние можем да създа-
дем образователна среда, в която се изявява любовта към учите-
ля и любовта към всички останали там. Най-важният принцип,
дори отвъд любовта към знанието, е следният: „Ако обичате
това, което научавате, ще обичате себе си повече“. И целта на
158
образованието трябва да бъде всеки индивид да излезе с чувство
на лично самоуважение, вяра в силите си и любов към себе си, за-
щото от това израстват всички други любови: към хората, към
знанието, към обществото, в което живеем.
–
: Геомландия
: -
, ?
: -
. 7.
9. , -
, ,
, – . -
, -
-
. ,
-
–
.
, система Планиметрия ( .
1988; Sendov & Dicheva 1988), -
Геомландия ( 1996) (
Geomland, -
).
: . -
-
.
, ,
, , .
159
. , -
, – , ,
, ,
(. 2). ‒ -
-
‒ .
Фиг. 2. Динамични геометрични конструкции, реализирани
с Геомландия
:
,
(Kolcheva
& Sendova 1992; Kolcheva & Sendova 1993). -
119.
( 1991). ,
( ), -
,
, -
,
(Sendova 1992). -
, , , -
.
,
: Програмиране с Лого; Информатиката
160
в училищния курс по математика; Прoблемно ориентирани езици;
Обучение по математика в компютърни среди от изследователски
тип; Работа в Лего-Лого среда.
: , -
STE(A)M , -
, ,
?
: -
, (Tabov et. l. 1999)
, , -
, .
1990 .
„ “ -
(-)
. .
Геомландия.
:
?
: , -
, , , -
.
, -
.
( 1996)
, :
Курт Крайт (Kurt Kreith 1989), Deparmtent of Mathematics,
University of California, Davis, USA: Радваме се на епизодичния си
триумф с Геомландия и виждаме прекрасния ѝ потенциал. Под-
готвяйки се за приемането ѝ в нашата местна гимназия, работя
върху изграждането на Първа книга от „Елементите“ на Евклид
и много ми харесва.
Питър Рос (Peter Ross 1990), Department of Arti cial Intelligence,
University of Edinburgh, UK: Въпреки че за Геомландия се съобщава
161
в статии и на международни конференции, такъв тип докумен-
ти не могат да успеят да предадат впечатляващия стадий на
разработка и усъвършенстване на потребителския ѝ интерфейс.
Това е образователен софтуер от много висока класа по всякакви
стандарти.
Дъглас Клементс (Douglas Clements 1990), State University of
New York at Bu alo, USA: Обсъдихме вашата Геомландия наско-
ро, когато посетих Пол Голденбърг. Моята реакция бе незабавна:
„Прекрасно! Очарователно! Искрено съм развълнуван от вашата
добре обмислена и творческа разработка, разширяваща Лого“.
Уоли Фюрзайг (Wally Feurzejg 1992), BBN Laboratories,
Cambridge, Massachusetts, USA: Много съм впечатлен от отлична-
та работа на вашата група. Тя показва добре обмислен дизайн в
математическо, технологично и педагогическо отношение. Всич-
ки бихме се възползвали от по-широкото разпространение на Ге-
омландия.
Саид Асаф (Said Assaf 1994), Mathematics Department, Birzeit
University, Israel: Геомландия предлага богата среда за формули-
ране на хипотези и тяхното тестване. Предлага плавен мост
между ученето чрез правене и геометрията. Учениците и студен-
тите се учат на процедурно мислене и практикуват решаване на
проблеми. Езикът може да се научи чрез изграждане и проектира-
не (на геометрични конструкции). Много съм ентусиазиран да из-
ползвам Геомландия за преподаване и изучаване на геометрията.
Ричард Нос (Richard Noss) и Силия Хойлс (Celia Hoyles), 1996:
Institute of Education, University of London, UK: Сега се появяват
мощни микросветове, основани на Лого, които използват силата
на програмирането в някои специфични математически области:
изключителен пример за такава работа е Геомландия, разрабо-
тена от групата на ПГО в България, микросвят на евклидовата
геометрия с цялата мощ на Лого, но настроен към изследване
на геометрични конструкции и връзки между техните елементи.
Едуард Фридман (Edward Friedman 1994), Stevens Institute of
Technology, New Jersey, USA: Докато в САЩ работим усилено да
свържем повече решаването на математически проблеми с опи-
та от реалния свят, Божидар Сендов и неговият екип показват
друга възможност ‒ да направят математическите обекти
по-конкретни и познати. Комбинация от тези два подхода би
била може би идеална.
162
: -
. -
-
.
„-
“ .
Stevens
Institute of Technology () . -
- Fibonacci -
GeoGebra.
: , -
,
( ), --
Изследователска Лого система (Boytchev 1997) Elica
(Boytchev 1999; Boytchev 2015). Elica
,
.
,
.
– Геомландия , -
:
, .
: ,
(Sratch, Arduino, App Inventor .) -
, ,
. -
, . Дали съвременните
деца вече нямат нужда от подобни идеи?
: . (Sendov
2015) -
, -
.
163
40 . ( )
.
, ,
„“, ,
,
„“. -
.
-
, ,
. -
, . -
, ,
: Какво бихте направили, след като
дете, което вече е научило тези команди, се отегчи?
: Няма проблем! Имаме пет други среди за програмиране,
които да предложим (Sendova 2018).
: , -
по рецепта,
.
(, , -
). , .
, -
. - ,
, ,
, -
, ...
, ,
, - . -
, - -
. -
Scratch.
,
– - „
“ . ,
.
, ,
164
.
‒
, -
?! ,
.
, !
- - ,
, ( )
.
,
. ,
( ).
: !
, , ,
, -
– , ,
(Papert 1999).
() –
. -
( -
)
,
, .
, -
!
: костенурката робот,
:
Не можеш да мислиш за мисленето, без да мислиш за мисленето
като мислене за нещо (You can’t think about thinking without thinking
about thinking about something).
:
,
( -
, !).
( ) -
165
,
, (
Excel).
,
Turtle - -
. ‒
, ,
, -
. , ,
,
,
. „“ ‒
, ,
.
–
,
: , -
? ? -
.
, -
.
? ?
: Информатика за
начинаещи ( 1989) -
, откри-
вателския дух на Колумб с разностранността на Леонардо да
Винчи и човеколюбието на Прометей. , -
! -
, -
, .
-
. -
, -
: „ ,
…“. -
166
,
, ( , )
– чирак при учител, който е
майстор в ученето.
: XXI .
( . 2007) -
, -
,
-
(). 2005 .
„ “ (I*Teach).
, , -
, , ,
надградени с ИКТ умения
. M
I*Teach , -
. -
„-
“ , ‒
, (Nikolova
& Miranowicz 2006).
: -
„ “ e
, .
,
, ,
-
, ,
. генера-
тори и редактори на идеи -
, Scratch (Resnick & Silverman 2005, Resnik 2014),
SNAP! (Harvey & Mönig 2010; Harvey 2014; Kranas 2018; Kahn
2018), Turtle Art, Turtle Blocks (Bender et. l. 2014).
STEAM ,
, -
167
, , ,
. , debugging- (
) --
., -
.
: ( -
) сбърках .
(
: „ ,
…“) дефектът се превърна в ефект. , -
,
–
-. -
: Ако една програма тръгне
от първия път, значи със сигурност има грешка.
:
-, -
.
.
…
: ?!
-
?! - -
, .
Scratch ,
, – не да се учим да програмираме,
а да се учим, докато програмираме … (Sendova et. l. 2018).
: „ “, -
: Научих чрез правене (на грешка).
-
,
хартия ?
: ,
, –
, -
168
, -
.
,
, , -
-
‒ да знаеш нещо да можеш
да направиш нещ. ,
,
,
,
. , ,
,
. -
,
мощни идеи,
, - -
, ,
, . ,
, изследователски подход
( . 2014), -
.
• : -
, „Invent to Learn ‒
Making, Tinkering, and Engineering in the Classroom“ (Martinez &
Stager 2013). 40
„ !“.
Micro bit, Hummingbird Bit , ,
, , , , -
4–5
( ).
,
, , , , -
,
,
3 . camera obscūra – „ “ ‒ .
169
, . А това, че има
смешен елемент допълнително стимулира креативността. -
: Перата са ключови!
2. 8.
.
( ), :
Целта на задачата за децата бе да „съживят“ чудовище, при-
зрак или нещо подобно с помощта на програмиране и всякакви
подръчни материали. До този момент не бяха програмирали с
предоставените им джаджи (контролери). На какво бях свиде-
тел? Цели 4 астрономически часа децата не спряха да работят,
не питаха за междучасие, тоалетна или вода. Бяха изключително
ангажирани и концентрирани през цялото време. Задаваха много
смислени въпроси през цялото време. Нямаха план, но беше оче-
видно, че работата си върви и в техните глави всичко беше въз-
можно. В една от групите бяха 4 деца ‒ един осмокласник, двама
шестокласници и една второкласничка ‒ всички работиха усърдно
и се сработиха добре. Най-интересното за мен беше, че за да си
направят изобретенията, децата трябваше да използват знания
от всякакви предмети, включително математика. Накрая всяко
дете беше „победител“ и всяко дете беше гордо от това, което
беше постигнало.
: , -
, -
. -
, -
, .
: -
.
, -
Scratch, Snap!, Turtle Art, Turtle Blocks.
.
- ?
, –
?
170
: Scratch, Alice, Lego
Mindstorms, Blockly Snap! , -
, -
Lego -
.
( ), -
-
, …
Snap! ( )
() ,
Scratch. Blockly ,
Python JavaScript.
:
Logo Blocks, .
; ( -
, ); --
– -
. - -
(Resnick & Silverman 2005; Resnick 2014; Harvey
& Mönig 2010) „ “.
,
, (Papert 1993)
, най-добрите преживявания, свързани с ученето, ид-
ват, когато хората са активно ангажирани в проектиране и съз-
даване на неща, особено на неща, значими за тях или за другите
около тях. ,
(
„ “), -
, .
„ , “
– ( ),
- ( ). -
.
?
171
: , -
,
високите тавани, ,
широки стени. -
, -
. -
(LEGO Bricks) ,
, „“ ,
.
: ,
‒
( ),
. -
-
, ,
(нисък праг),
,
(широки стени).
високия таван, -
, SNAP! -
,
„ “.
„ “ -
: „
“ [1].
,
?
: ,
, Logo Scratch (Moors et. l.
2018), , ,
Logo, - -
, Scratch.
, -
истинско програмиране.
- -
- .
-
, -
172
.
: ,
. -
- -
, , -
,
, ( 2021).
: „-
“ пространство за изслед-
ване, .
-
, ,
, ,
.
Lego Programming Bricks
,
,
, .
– Y , ( )
: ,
Constructionism 2018
(Sendova & Nikolova 2018), -
„ – “. , ,
, от нулата (
– from scratch). -
Scratch,
Y ( ) (
Comenius Logo), (
) -
(. 3).
173
Фиг. 3. Папрат, моделирана в Лого и „развихрена“ в Scratch
: , SNAP! ,
(. 4).
Фиг. 4. Вариации на тема „Дървета, храсти и папрати“, реализирани в
SNAP!
: -
, .
: , !
: ,
…
174
, . (2021). -
–
. – Математика и информатика, 64(4), 425–437.
, . (2015). ( ). -
: .
, ., . , . . (2014).
. – : -
, 1. :
„ “, 11–17.
, M. (1991). -
. „-
“, .
, . (1983). . -
. ,
.
, ., . . (1984). . . -
. -
, .
, ., . . (1989). .
. : .
, ., . . (1989). . .
: .
, . (1986). . .
, .
, ., . . (1996). – -
. : /.
, ., . , . . (1988). -
– , , .
, . (2017). -
–
. – Математика и математическо образование,
46- , , 9–13, 31–51.
, ., . , . . (2007). =
? ( „“ ). –
Математика и информатика, . 4, 3–13.
Bender, W., C. Solomon, C. Urrea. (2014). (More than) twenty things to
do in Turtle Blocks. – In: Constructionism and Creativity. G. Futschek, C.
Kynigos (ds). – In: Proceedings of the 3d International Constructionism
Conference, Vienna, Austria, 187–196.
Blaho, A., I. Kalas. (1998). Learning by Developing. London: Logotron.
Blaho, A., I. Kalas, P. Tomscanyi. (1996). Comenius Logo. Bratislava.
175
Boytchev, P. (1997). Overview of Research Logo System. – In: Proceedings
of 8th International PEG Conference – Meeting the challenges of the new
technologies, 30–37.
Boytchev, P. (1999). Elica Logo and Objects. – In: Proceedings of the
Seventh European Logo Conference EUROLOGO’99 (R. Nikolov, E.
Sendova, I. Nikolova et al. (ds). So a, Bulgaria.
Boytchev, P. (2015) The human impact factor in the research and
development of educational software. – Serdica J. Computing, 9, 3–4,
177–190.
Carrol, L. (1982). What the Tortoise Said to Achilles. – In: The Penguin
Complete Lewis Carroll. Penguin Books
Goldenberg, E. P. (1999). Bringing Back Formal Language: A Use to
Counter My Worries about Computers in the Mathematics Classroom. –
In: Proceedings of the Seventh European Logo Conference Eurologo’99
(R. Nikolov, E. Sendova, I. Nikolova et al. (ds). So a, Bulgaria.
Goldenberg, P., C. Carter. (2018). Puzzles & Programming to Develop
Mathematical Habits of Mind in 6–10-year Olds. – In: Proceedings of
Constructionsim 2018: Constructionism, Computational Thinking and
Educational Innovation (V. Dagiene, E. Jasute (ds), August 20–25, p. 946.
Harvey, B. (2014). Whatever happened to the revolution, Part 2: in which
I get seduced by the lure of a national curriculum. – In: Constructionism
and Creativity (Futschek, G., C. Kynigos (ds), Proceedings of the 3d
International Constructionism Conference, Vienna, Austria, 75–82.
Harvey, B., J. Mönig. (2010). Bringing “no ceiling” to scratch: Can one
language serve kids and computer scientists.– In: Proc. Constructionism.
Constructionist Approaches to Creative Learning, Thinking and
Education: Lessons for the 21st Century. The 12th EuroLogo Conference
16–20 August, 2010 Paris, France 1–10.
Hofstadter, D. (1980). Godel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid.
Vintage Books.
Kahn, K. (2018). AI Programming in Snap! – In: Futschek, G., C. Kynigos
(eds). Constructionism and Creativity, Proceedings of the 3d International
Constructionism Conference, Vienna, Austria, p. 765.
Kolcheva, M., E. Sendova. (1992). Re-inventing the “Elements” in a Logo-
based Environment. – In: EUROLOGOS, vol. 1, England, EC, BD23 1QQ.
Kolcheva, M., E. Sendova. (1993). Learning Rather Than Being Taught: A
new Style of Studying Plane Geometry. – In: Informatics and Changes in
learning. A. Knierzinger, M. Moser (ds). Proceedings of the IFIP Open
Conference, June 7–11, 93, Gmunden, Austria, Session 2.1, 19–22.
Kranas, W. (2018). SNAP! ‒ Beauty & Joy of Computing (visually). –
In: Constructionism and Creativity. G. Futschek, C. Kynigos (eds).
Proceedings of the 3d International Constructionism Conference, Vienna,
Austria, p. 947.
176
Martinez, S., G. Stager. (2013). Invent to Learn: Making, Tinkering, and
Engineering in the Classroom. Constructing Modern Knowledge Press.
Moors, L., A. Luxton-Reilly, P. Denny. (2018). Transitioning from block-
based to text-based programming languages. – In: 2018 International
Conference on Learning and Teaching in Computing and Engineering
(LaTICE)(57–64). IEEE.
Nikolova, I. (1997). Towards VALUE – A Virtual Almanac for Logo Users
and Educators. – In: Learning and Exploring with Logo. M. Turcsanyi-
Szabo (ed.). Proceedings of the Sixth European Logo Conference,
Budapest, Hungary.
Nikolova, N., M. Miranowicz. (2006). I*teach methodology in school
practice. – In: Balkan Conference in Informatics (BCI 2007), Dec 2006,
So a, Bulgaria, 387–396.
Papert, S. (1980). Mindstorms: Children, Computers, and Powerful Ideas.
New York: Basic Books.
Papert, S. (1988). A critique of technocentrism in thinking about the school
of the future. – In: Children in the information age (3–18). Pergamon.
Papert, S. (1993). The Children’s Machine: Rethinking School in the Age of
the Computer. New York: Basic Books.
Papert, S. (1999). What is Logo? Who needs it? – In: Logo Philosophy and
Implementation, LCSI (1999), V_XVI, http://www.microworlds.com/
support/logo-philosophy-implementation.html (17.11.2022)
Resnick, M. (2014, August). Give P’s a chance: Projects, peers, passion,
play. – In: Constructionism and creativity: Proceedings of the third
international constructionism conference. Austrian computer society,
Vienna(13–20).
Resnick, M., B. Silverman. (2005). Some re ections on Designing
Construction Kits for Kids. – In: Proceedings of Interaction Design and
Children Conference, Boudler, CO.
Sendov, B., D. Dicheva. (1988). A mathematical laboratory in Logo style. –
In: F. Lovis and D. E.Tagg (ds). Computers in Education, IFIP, ECCE,
88, 213–217.
Sendov, Bl. (1986). Children in information age (a concluding talk). – In:
Children in an Information Age: Tomorrow’s Problems Today. Bl. Sendov,
I. Stanchev (eds), Selected Papers from the International Conference,
Varna, Bulgaria, 6–9 May, 1985. Pergamon Press, 195–200.
Sendov, Bl. (1987). Education for an information age. – Impact of Science on
Society. 37(2), 193–201.
Sendov, Bl. (2015). Education and Knowledge. – In: UNESCO International
Workshop QED’14: Quality of Education and Challenges in a Digitally
Networked World E. Kovatcheva and E. Sendova (ds). So a: Za Bukvite,
O’Pismeneh, 20–23.
177
Sendova, E. (1992). Enhancing the Scientist into the Pupil: A Computer
Environment supporting Discoveries in the Classroom. – In: Education
and Society. R. Aiken (ed.). Information Processing 92, vol. 2, Elsevier
Science Publishers B. V. (North-Holland), IFIP, 174–180.
Sendova, E. (2018). Back 100 000(2). – In: Proceedings of Constructionsim
2018: Constructionism, Computational Thinking and Educational
Innovation. V. Dagiene, E. Jasute (ds). August 20–25, Vilnus, 94–103.
Sendova, E. (2021). An Eternal Source of Inspiration or What the Bulgarian
Turtle Told Achilles This Time, an essay in Gary Stager, Twenty Things
to Do with a Computer Forward 50. Constructing Modern Knowledge
Press, 63–92.
Sendova, E., I. Ivanov. (2000). Lifting the hood to see how something works:
developing Logo Core as a part of a web-based course for teachers. –
In: Proceeding of Conference on Educational User of Information and
Communication Technologies. D. Benzie, D. Passey (ds). 16th World
Computer Congress 2000, August 21–25, 2000, Beijing, China, 379–386.
Sendova, E., N. Nikolova. (2018). WS8: Constructionism in Action: Do we
Need to Start from Scratch? – In: Constructionism 2018: Constructionism,
Computational Thinking and Educational Innovation. V. Dagienė, E.
Jasutė (eds), 129–129.
Sendova, ., P. Boytchev, R. Nikolov. (2018). A Glance Backward with
Nostalgy and Forward with Optimism (or Do We Need to Start from
Scratch When Introducing Children to Programming). – In: Proceedings of
the National Conference on “Education and Research in the Information
Society”, Plovdiv, June, 143–151.
Tabov, J., J. Muirhead, A. Vassileva. (1999). Dante and the Humanities. –
The Teaching of Mathematics, vol. II, 31–40.
[1] , ., . . (2022). -
(
STEAM ) https://blockmath.cabinet.bg/
25.12.2022 .
178
70- XX .,
. -
, . -
‒ , ,
, . -
,
- .
, ,
-
.
‒
,
, , -
11
.
Ключови думи: методи за преподаване, организация на учеб-
ния процес, нормативна уредба, закони
-
„. “,
, -
. .
-
. -
( 1969).
179
.
- ‒ -
„ -
“.
.
, -
, . -
1972–1974 .,
-
. .
,
.
-
.
- , -
( 1975). -
.
-
( 2021). -
(2006), , -
1974 . (1975)
.
.
(1975),
-
. , ,
– -
. -
,
. , --
.
180
„ “
-
. , -
- :
, -
„ “.
, „-
“ ( PowerPoint,
-
), -
.
,
, „ “ (
- ,
„ “). -
,
, ,
.
-
().
.
, -
, ..
, . (2007)
. -
. -
.
(1975)
( -
– . .):
181
Например, ако часовете са 4 и два от тях са за нови знания,
обикновено в първите два часа учителят преподава всичко ново
и едва в следващите два учениците започват да затвърждават
наученото с решаване на задачи. При това положение в първия
час учителят преподава първо евентуално някаква дефиниция и,
без да я затвърди с решаването на поне една-две задачи, вед-
нага разглежда последователно две или три теореми, също без
да ги затвърди непосредствено с решаване на подходящи задачи.
В тази система на работа фактът, че обикновено в доказател-
ството на всяка следваща теорема се използува незатвърдена
дефиниция или незатвърдена теорема, прави трудна и неразби-
раема както новата теорема, така и нейното доказателство.
Положението се утежнява още повече, когато през следващия час
се добавят още 2–3 теореми и техни доказателства. Както след
първия, така и след втория урок ученикът ще трябва да изразход-
ва много сили, за да може сам да усвои и затвърди това, което
е могло да бъде усвоено и затвърдено още в съответния час, чрез
непосредствено решаване на практически задачи след въвежда-
нето на отделните нови знания. И понеже много често силите и
волята на учениците не достигат, за да се справят с изкуствено
създадените по този начин трудности и да усвоят новите тео-
реми, в следващите два часа за упражнение те не могат да ги из-
ползуват, защото и при добро желание за работа, те ги смесват
и объркват.
, -
, :
Не е трудно да се види, че при тази система на работа не е
спазено петото от цитираните по-горе условия за създаване на
умения за извършване на някаква дейност, а именно: разделно,
поетапно и своевременно формиране на всяко умение, свързано с
ново знание.
-
. . .
.
,
-
. ,
-
, .
182
,
,
.
, -
, - -
!
, -
-
.
.
, -
, .. -
. , -
.
,
.
Мултимедийните презентации биха се превърнали във враг
в учебния процес, ако не са спазени изискванията за ефективна
презентация, умелото им дозиране и начинът на тяхното изра-
ботване ( 2013).
.
, . -
,
- (
), -
(
, -
, ).
183
. ,
-
- .
-
,
, .
, „ “ -
, -
. ,
,
. -
-
, ,
, -
- -, ,
-
. –
-,
!
- -
-
. (2003), -
„“ -
(, , -
, , )
(, , -,
, , ).
, ,
Gibbs and Habeshaw (1992) „-
“.
(Skinner 1986).
, ,
. -
184
,
.
, , -
– . (1997) -
-
.
-
,
.
-
.
(1975) :
Както показва опитът на добрите учители, един от изходите
от това положение е следният: да не се делят новите знания от
упражненията, а напротив – след всяка нова дефиниция или тео-
рема веднага първо да се прави извод за какво може да се изпол-
зува тя, след което да се решават 2–3 задачи с не много сложни
решения, чрез които да се упражнява тяхното използуване, а също
и метода за доказване на теоремата. В организацията на обуче-
нието този подход се проявява в това, че обикновено в различни-
те теми няма отделни часове за нови знания и за упражнения, а
почти всеки час (с изключение на последния за темата) е и за нови
знания, и за упражнение. Последният час, когато часовете са по-
вече от два, се използува предимно за упражняване на учениците в
комбинирано използуване на новите дефиниции и теореми в тема-
та, а и на теоремите в изучаваните преди това теми.
, , . ,
,
-
().
, -
,
. ,
185
, , -
.
, -
,
,
„ “ -
, . -
.
,
,
. , .
-
, .. -
.
. .
, -
. -
,
,
-
. Sendova (2021)
: не трябва да лишавате децата от
удоволствието да решават проблемите сами.
,
,
. (2012)
, проблемната ситуация „принуждава“ обучаемите да
търсят и да намерят информацията, която им е необходима, т.е.
да получат знания от много източници, като често се използват
знания от различни дисциплини. -
,
- ,
-.
– „“ „-
“ –
. „
186
“ -
, ..
,
-
.
,
. , -
,
„
“,
-, .
, ,
, -
, , -
!
-
,
,
. -
? ,
,
. ,
:
-
-
, -
. ,
.
-
‒
- -
. - -
, ,
,
,
187
.
-
.
„ “ --
, -
„ “ ,
, . -
,
− -,
.
, -
-
,
, -
.
-
. ,
,
„ “ .
„ “ .
- --
. ,
„-
“. ,
-
,
.
,
.
„ -
“ - ,
188
,
.
.
,
. , -
,
.
,
-
- , ,
-
,
,
. -
. -
, - -
.
, -
-
,
. , , -
, .
,
, - ,
-
.
,
: - ,
- . ‒ -
- .
, -
. -
- -
-.
.
189
( )
5. 6. –
-
, -
. , , -
.
,
( )
.
. -
, - -
, -, -
.
,
--
:
.
.
(2018)
46 .
, обобщеното мнение на по-голямата част от учите-
лите, ..
.
70- .
, зада-
чите, които се решават, са само за малка част от учениците: при
едни учители – само за най-силните ученици, а при други – само
за по-посредствените ученици.
.
, ако например една задача е такава, че всички ученици
190
от даден клас могат да я решат с лекота и учителят няма какво
да им каже във връзка с нея, той не бива да я дава на този клас.
-
-
,
.
(-
„ “, „ “ ..),
( ) .
, „ “
- -
, .
.
– -
, - -
-. , -
-
- .
„ “,
.. ,
,
.
-
- -
()
.
- , -
, , -
, .
, -, , ,
- -
191
, , ..
. ,
.
. --
,
-
. -
,
, ..
.
-
-
. : не
бива да се забравя, че за да могат учениците самостоятелно да
изпълняват задачите си, те трябва да бъдат доведени до това
положение. По тази причина в обучението трябва да се отделя
необходимото време както за колективна, така и за самостоя-
телна работа.
,
-
– -
. , -
,
. -
. -
(
) ,
. --
-
.
(2015)
основни
стъпки за прилагане на подход на учене чрез индивидуализация:
1. прекъсване на монотонността и еднообразието;
192
2. придаване на важност и тежест на домашните работи и
самостоятелното учене;
3. стимулиране на осмислянето на запаметената информация;
4. създаване на умения за организация на времето.
-
-
, - .
-
, -
,
„ -
“.
, .. -
,
, -
- , -
. -
,
,
.
-
,
, ,
, -
. , , ,
-
- -
.
-
,
- , -
„ “. -
()
–
,
-
.
, .
, - , -
193
, -
, -
. , -
,
. ,
.
- , - ,
, --
-
. ,
,
( - , )
.
(
,
),
,
.
. (1975)
:
Най-сетне, решенията на задачите, които се дават за домаш-
на работа, невинаги са достатъчно подготвени по време на рабо-
тата в часа. Много често поради липса на време част от задачи-
те, които учителят е запланувал за решаване в клас под негово
ръководство, се оставят за домашно упражнение. При това по-
ложение естествено се появява необходимост от намесата на
родителите и или на частните учители в процеса на обучението
по математика.
. -
.
,
-
,
-
.
194
-
.
, -
- , -
. .
- , , ,
. , -
, ,
,
.
‒
.
,
‒
-
, -.
, -
-! ,
!
-
,
, ,
- -
.
. -
? ,
‒ - -
-
. -
195
‒
– -
, ( ) -
? . -
, -
.
.
-
, .. -
- , -?
. :
…Време е да се пристъпи малко по-смело към известна дифе-
ренциация в упражненията по математика. Още по-наложител-
но е да се подхожда диференцирано при домашните работи. За-
това предлагам да се обсъди въпроса за даване на домашни рабо-
ти в два варианта ‒ задължителен и незадължителен. Задачите
за задължителна домашна работа трябва да са достатъчни за
всички ученици и за решаването им да не е необходимо повече от
половин час. Незадължителната част трябва да включва сериоз-
ни задачи, които после е добре да се разгледат в клас, за да се на-
сърчат решилите ги успешно и да се покажат решенията на тези,
които са опитали, но не са се справили, и на тези, които не са се
опитвали да ги решат. Още повече в случаите, в които основните
компоненти от решенията на задачите от задължителната до-
машна работа се съдържат в решенията на незадължителните
задачи, би могло учителят да не изисква учениците, които реша-
ват вторите задачи, да решават и първите…
…Този подход, който рядко се прилага от отделни учители,
ще освободи по-силните ученици от излишни за тях технически
сметки и ще осигури по-добри условия за тяхното умствено раз-
витие, без с това да се затормозява работата на останалите.
Всичко това ще създаде по-голям интерес към домашните ра-
боти, тъй като по-слабите ученици няма да бъдат поставени
в безизходно положение, а в същото време самочувствието на
по-силните ще се повиши от обстоятелството, че ще са освобо-
дени от безполезната за тях работа. При умело диференциране
на домашните работи броят на учениците във втората група
постепенно ще се увеличава.
196
-
. ,
. 1. 4.
2. „ -
“ (- )
. -
-
.
. 1–2
(*), -
- .
,
,
, . -
-, - , -
- , -.
(
5. ) , -
, -
-
, ,
. -
-
-
, ,
,
. (2008)
,
:
Една и съща домашна работа се решава за различно време
от различните ученици поради индивидуалните им особености.
Необходимостта от самостоятелна работа около 40 мин. още
веднъж потвърждава необходимостта от диференциране на до-
машната работа за групи ученици.
-
-
. ,
,
,
197
–
,
.
- , ..
,
-
.
, -
. (2018)
- , -
:
Създайте меню за домашната работа: давайте възможност
за избор на домашна работа от няколко различни варианта, кои-
то предлагате на учениците в меню. Например някой може да
напише есе за определено събитие, друг да състави разказ от име-
то на някой участник в събитието, а трети да представи про-
тичането на определен процес като рисунка, серия от рисунки или
комикс. Някой от учениците може да направи някои изчисления
относно събитието, а друг да изработи кукла, макет, картичка
или вестник.
, -
-
- .
-
.
,
-
- . -
,
. -
, – - , -.
-
.
198
-? -
-
,
, -
-
. (2016)
(1980)
-
.
• : -
, .
• : -
- , -
,
.
• : ,
, -
- , -
.
-
.
• :
. -
- -
- ,
.
- ,
-.
-
. --
,
.
(2003) -
, -
„ -
“, „ ,
199
-
“, „ “ „
“.
-
. , четирите типа
самостоятелна работа са в тясна връзка и приемственост.
- , , -
.
-
, колкото по-нисш е видът на самостоятелна работа,
толкова по-често трябва да се използва ( 2003).
. , -
, --
-
.
-
, - -
,
- ,
-
.
. ,
–
,
.
-
.
:
1. ,
-
;
2. -
;
3. - - ;
4. , - (
, -
200
-
).
.
-
.
,
. , -
- -
--
.
,
.
, -
,
.
, - ,
- – -.
–
- . ,
, -
.
-
.
, - ,
. -
-
. -
-
,
. , -
( . 2015) -
( 2020) -
.
.
201
„ “
– , , ,
,
-
,
. , -
-
.
,
, .. -
. ,
-
, .
„
“
.
-
, .
-
,
11 -
[1]:
чл. 11. (2) В триседмичен срок от началото на учебната година
чрез текущо изпитване се установява входното равнище на уче-
ниците по учебни предмети или модули, които са изучавали през
предходната учебна година в задължителните учебни часове.
(3) Текущото изпитване по ал. 2 е писмено и е върху учебно
съдържание от последната година, в която съответният учебен
предмет е изучаван. То има диагностична функция с цел устано-
вяване на степента на усвояване на основни понятия, факти и
закономерности и на придобитите компетентности, които ще
се надграждат през учебната година, както и идентифициране
на дефицитите и предприемане на мерки за преодоляването им.
,
„ “
, . -
202
, -
. -
. -
, -
.
, ,
, ,
, - . -
, :
, .. -
. , .
-
2017/2018 , 11
:
Чл. 12. (2) (в сила до септември 2017 г.) В минималния задъл-
жителен брой текущи изпитвания по ал. 1 не се включва текущо-
то изпитване по чл. 11, ал. 2.
Чл. 22. (1) Срочната оценка се формира от учителя, като се
отчитат компетентностите на ученика върху учебното съдър-
жание по съответния учебен предмет или модул, изучаван през
учебния срок за придобиване на общообразователната, разши-
рената, профилираната, професионалната и специализираната
подготовка, и при вземане предвид на текущите оценки.
-, 2017–2018 .
. -
-
. --
. , -
, .
-
. ,
,
, -
, -
,
. -
203
, , ,
-
. ,
, , -
-
,
, , -
– .
-
11 2016 . -
,
, . 78 2017 . [2],
. 12 (2):
Чл. 12. (2) В минималния задължителен брой текущи изпит-
вания по ал. 1 се включва текущото изпитване по чл. 11, ал. 2.
, . 2 „
“ „ “. ,
-
,
.
,
, :
• . 11 (3)
,
( ,
, );
• -
,
„“
,
–
,
, -
.
, ( )
- , -
.
204
, -
, . -
,
:
...Времето както за такъв цялостен и пълен начален преговор,
така и за проверочни контролни работи в началото на учебната
година отива почти напразно, или по-точно казано, е използвано
твърде неефективно. Оправданието, че тези контролни работи
са необходими, за да се получи информация за пропуските в зна-
нията на учениците, е до известна степен приемливо само за на-
чинаещите учители, които нямат още достатъчно наблюдения
в това отношение. За другите, опитните учители този метод
на работа не е приемлив. Какъв преподавател е този, който не
може сам да прецени, на базата на своя собствен опит със свои-
те собствени ученици, кои от основните знания от предходната
година са забравени?
, . , -
.
-
,
.
-
,
?
,
, ,
- - . - –
!
, -
, -
. -
, -
,
, - .
205
, -
,
,
.
-
, -
–
. - -
-
, .
.
, ,
,
? , ,
-
.
„“ , .
„ “
, -
. -
,
. -
-
, , ,
– -
, -
, . ,
, -
, ,
-
. ,
,
, , !
- -
. ,
-
? -
,
206
,
,
- .
, „ -
“. ,
„ ,
“. -
, , -
, -
. ,
,
.
, . (2015). -
. – Съвременна хуманитаристика, (2), 43–54.
, . (2020). .
: .
, ., . , . . (2015).
. : .
, . (2018).
. – Педагогика, 90(5), 599–619.
. (2003). .
: .
, . (1975). , -
. – :
, . 1. -
.
, ., . , . . (1997). 53 ,
. : .
, . (2006). -
. – Ма-
тематика и математическо образование, 115–123.
, . (1969).
1944–1969 . – Физико математическо списание, 12
(45), . 3.
, . (2016). -
. – Годишник на Шуменски универ-
207
ситет „Епископ К. Преславски“, -
, VI .
., . , . . (2007). -
. : -
„ “.
, . (2012).
. – Научни трудове на Русенския универ-
ситет, 51(6.1), 59–65.
, . . (1980). -
. .: , 240, 16.
, . (2021).
-
. – Педагогика, 93(5), 629–642.
, . (2013). -
.
„“, „ “, .
, . (2003). -
. : -
„ “.
, ., . . (2008). -
5. 6. . – : -
. X .
, . 238.
Gibbs, G., T. Habeshaw. (1992). Interesting ways to teach: Preparing to
teach. An introduction to e ective teaching in higher education.
Sendova J. (2021). An Eternal Source of Inspiration or What the Bulgarian
Turtle Told Achilles This Time. Twenty Things to Do with a Computer
Forward 50: Future Visions of Education Inspired by Seymour Papert
and Cynthia Solomon’s Seminal Work. Gary Stager & Cynthia Solomon
(eds). Constructing Modern Knowledge Press..
Skinner, B. (1986). Programmed instruction revisited. – Phi Delta
Kappan, 68(2), 103–110.
[1] 11 1 2016 . -
. 20.09.2016 .
. . , . 74 20
2016 ., . . , . 78 29 2017 .,
. . , . 82 5 2018 ., . . , . 71
10 2019 ., . . , . 43 13 2020 .,
208
. . , . 77 1 2020 ., . . , . 80
24 2021 ., . . , . 43 10 2022 .
[2] 11 2016 .
(,
. 74 2016 .), . , . 78 9 2017 .,
29 2017 . -
.
209
. -
. -
, -
.
Ключови думи: проектно базирано обучение, формиращо оце-
няване, обобщително оценяване, оценяване, PLC (полимлечна
киселина), интердисциплинарен проект
()
(project-based learning, PBL) -
() 90- .
.
, : инстру-
ктивен метод, който дава на учениците сложни задачи, базира-
ни на предизвикателни въпроси или проблеми, които включват
решаване на проблеми, вземането на решения, изследователски
умения, както и саморефлексия, които включват улесняване от
страна на учителя, но не и даване на посока.
,
.
,
, -
, ,
.
,
210
.
, -
,
,
( 2016).
Markham, Larmer, Ravitz (2003
, -
; , ,
.
, -
-
-
,
,
. -
,
-
. (2005) – -
,
,
, -
: Посветете се на решаването на проблеми. Намирането
на решения е това, което има значение. И вместо да се фокуси-
рате върху това да бъдете иновативни, започнете да намирате
решение на конкретен проблем за определена обществена група.
И това в края на пътя ще ви направи иновативни.
-
- -
.
-
, , -
(
2022).
211
, , , , -
( 2019).
, 11 2020 .
COVID-19 .
,
,
, -
. -
, -
( 2020).
, -
-
–
. „“
[1] 35 000 45 000 -
,
. 200 -
.
75,
.
() -
,
, , SIM -
.
. ,
, -
. ,
,
,
-
.
212
-
. -
-
,
-
. UNICEF
-
. -
.
, -
,
. -
-
, „ -
“ „-“.
,
-
. (2021) ключов
за бързата интеграция и почти незабавното включване в обу-
чението от разстояние на почти всички училища в страната се
оказа фактът, че от МОН не се опитаха да наложат употреба-
та на конкретна платформа, а напротив – дадоха пълна свобода
на училищата да се възползват от най-различни технологии по
тяхно собствено усмотрение.
- -
, ; -
, , -
; - -
. -
.
,
.
().
213
XXI .
-
. -
,
. -
.
,
(-
- 2014). XXI .
„ XXI .“ (2008).
, -
, ,
. -
: , -
. 2015 . -
, -
(Hutchinson 2015: 1). PBL -
, по-добро
разбиране на темата, по-задълбочено учене, четене на по-високо
ниво и повишена мотивация за учене (Bell 2010: 39). -
,
развитието на умения за сътрудничество,
подобряването на критичното и творческото мислене, комплекс-
ното решаване на проблеми, трансфера на знания и положител-
ното отношение към задачите (Lee, Huh, Reigeluth 2015).
Hutchinson (2015) учениците, които са потопени в PBL, развиват
навици на 21-ви век, свързани със сътрудничество и комуникация,
критично мислене, решаване на проблеми и самонасочване (p. 2).
PBL -
-, -
, . все повече
в XXI в. това, което знаеш, е по-малко важно от това, което
можеш да направиш с това, което знаеш (Fullan 2013).
214
:
• ,
, ,
-
. -
. -
, -
-
.
,
;
• -
.
-
-
- ,
,
.
,
, ,
- , .,
. -
-
.
18 ,
.
1 ,
- -,
(
„ “, DALEST, InnoMathEd, Mascil, Scientix – . .).
215
„ “
„ “
2020 . „ -
“ „
“.
. -
,
.
-
(Lamer & Mergendoller 2010),
,
, -. -
()
. -
(Boston 2002),
,
, ,
. -
„ “, -
,
.
, ,
- -
. ,
,
- -
.
-
. ,
, , ,
:
216
•
;
•
;
• , -
;
• - ;
• ;
• .
. -
,
. -
,
. -
.
. -
.
„ “
- -
, -
. ,
, , -
-
.
217
, - -
, , -
, ,
..
. ,
, -
.
:
За този проект реших да започна бизнес за производство на
купички за „рамен“2. Целта е да разбера какви са реалните разме-
ри на един такъв продукт и след това да анализирам производ-
ствените разходи, за да преценя какво количество е оптимално
да се произвежда и на каква цена, така че да имам печалба.
„ “
, -
.
-
3, . 159 ,
- (. 1).
-
. ,
() - .
2 – , , -
.
218
Фиг. 1. Износ и внос по групи страни на хранителни стоки
:
• – -
;
• ,
;
• .
, ,
3D ,
. „“ -
. -
– 0,3 , –
0,7 1 . ,
. 2, -
, .
, -
. -
219
3D .
, според Fusion3 най-раз-
пространената и качествена нишка за 3D принтер е PLA, която
се предлага на цена от 25 USD за килограм.
, -
„“ ,
PLA, . -
. 3.
, -
.
Фиг. 2. Ротационно тяло, получено чрез въртене на равнинни фигури
Фиг. 3. Описание на PLA материал [4]
220
PLA (0,00125 kg/cm3),
, 2 kg
1600 cm3:
𝑉(3𝐷) = 8,79𝑥3 + 31,65𝑥2 + 33,9𝑥 + 10,62 = 1600, 𝑥 ≈ 4.5 𝑐𝑚
Desmos -
. ,
1,28 USD. -
-
, . -
.
:
Следващата ни цел е да определим колко служители са необ-
ходими за изработката и украсата на този продукт. В иконо-
миката съществува правило, според което прирастът на работ-
ниците увеличава количеството на продукцията до определен
момент, след което започва да намалява. Затова ще намерим
локален екстремум на 𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 2𝑥3 + 6𝑥2 + 290𝑥 + 375, където
x е броят на работниците, а f(x) е броят на произведените арти-
кули месечно.
Фиг. 4. Графично намиране на екстремум на
f(𝑥) = −𝑥4 + 2𝑥3 + 6𝑥2 + 290𝑥 + 375
. 4 , -
f(5) = 1600.
221
,
.
, -
. ,
, -
.
,
,
. , ,
. -
, , -
- ,
.
,
.
Markham (2012) 7 ,
. -
.
• –
;
• – -
„ “ -
. -
,
;
•
–
, -
3D ;
• –
,
;
222
• – -
;
• – -
,
, -
, ,
,
;
• – -
.
. -
,
, - -
.
, -
,
.
, ,
, ,
. -
, -
.
.
,
.
William (2011) формиращото оценяване функционира дотолкова,
доколкото доказателствата за постиженията на учениците се
извличат, интерпретират и използват от учителите и учащите,
за да вземат решения за следващите стъпки в обучението, които
вероятно са по-добри от решенията, които биха взели при липсата
на тези доказателства.
223
; ;
; -
. -
,
.
, -
-
, .
,
-
.
–, ., . . (2014). -
. – Педагогически новости, 2014.
, ., . . (2021). –
107. „ “ . – Математика, ком-
пютърни науки и образование, . 4, . 1, 34–40.
, . (2016). PROJECT-BASED LEARNING – TECHNOLOGY AND
CAPABILITIES FOR USE IN BULGARIAN SCHOOLS. 55th Science
Conference of Ruse University, Bulgaria, 2016.
, ., . . (2020).
COVID-19 .– KNOWLEDGE-
International Journal,43(2), 329–334.
Awuor, F. (2022). CT Integration in Learning of Physics in Secondary
Schools in Kenya: Systematic Literature Review. – Open Journal of Social
Sciences, 2022, 10, 421–461.
Berkun, S. (2005). The art of project management. – O’Reilly Media, 978-
0596007867
Boston, C. (2002). The concept of formative assessment.– Practical assess-
ment, research, and evaluation,8(1), 9.
Cheng, Ch. (2019). Revisiting the e ects of project-based learning on stu-
dents’ academic achievement: A meta-analysis investigating moderators. –
Educational Research Review, vol. 26.
224
Cucinotta, D., M. Vanelli. (2020). WHO declares COVID-19 a pandemic. –
Acta Bio Medica: Atenei Parmensis, 91(1), 157.
Fullan, M. (2013). Pedagogy and change: Essence as easy. – In: Strato-
sphere (17–32). Toronto, Ontario: Pearson.
Hutchison, D. (2015). What Works? Research Into Practice. Project Based
Learning: Drawing on Best Practices in Project Management. Ministry
of Education, Ontario. Retrieved from http://www.edu.gov.on.ca/eng/
literacynumeracy/inspire/research/WW_BestPractices.pdf
Kokotsaki, D., V. Menzies, . Wiggins. (2016). Project-based learning: A
review of the literature.– Improving schools,19(3), 267–277.
Larmer, J., J. R. Mergendoller. (2010). Seven essentials for project-based
learning.– Educational leadership,68(1), 34–37.
Lee, D., Y. Huh, C. M. Reigeluth. (2015). Collaboration, intragroup con-
ict, and social skills in project-based learning. – Instructional Science,
43(5), 561–590.
Markham, T. (2012). Project Based Learning Design and Coaching Guide:
Expert Tools for Innovation and Inquiry for K-12 Educators. Heart IQ
Press.
Ontario Ministry of Education. (2016). Towards de ning 21st century com-
petencies for Ontario: 21st century competencies foundation document for
discussion. [PDF le]. Toronto, Ontario, Canada. Retrieved from http://
www.edugains.ca/resources21CL/21stCenturyLearning/21CL_21stCen-
turyCompetencies.pdf
William D. (2011). Embedded Formative Assessment ‒ practical strategies
and tools for K-12 teachers. Solution Tree publishing house.
[1] „“: COVID-19 https://amalipe.bg/
romite-v-bulgaria-i-covid-19/ 14.11.2022 .
[2] : COVID-19 -
– -
https://www.unicef.org/bulgaria/media/8946/ le
14.11.2022 .
[3] : -
2020 .
https://www.nsi.bg/sites/default/ les/ les/publications/StatBook2020.
pdf 14.11.2022 .
[4] 3D Large: 3D : -
https://3dlarge.com/rakovodstvo-za-materiali-za-3d-printirane-
plastmasi/ 14.11.2022 .
225
. 2021 2022 . COVID-19 -
– ,
. , ,
.
„ “.
,
, . ,
-
, „ -
?“, „
?“ „ -
?“. -
,
.
Ключови думи: геометрични фигури, макети, развивки, гео-
метрия, онлайн обучение, дистанционно обучение
„ “
6. -
,
.
,
-
. ( .
2017),
. -
,
.
, 6. ,
226
-
-
(Shabanova et. l. 2014; . 2019).
. (1996) , -
,
. -
,
, , .
-
.
.
COVID-19 ,
-
, -
. -
-
- ,
.
,
,
.
-
, -
,
.
„ -
“ 6. .
.
.
-
(2010). -
-
. -
227
-
.
Elica
Developing an Active Learning Environment for the Learning of
Stereometry (DALEST). Boytchev . (2007)
да се стимулира пространственото въ-
ображение на учениците от 5. и 6. клас с подходящи дейности в
специално създаден за целта образователен софтуер.
Elica
.
,
, IZZI [1] - [2]. -
.
,
. „“ -
,
, GeoGebra.
. IZZI -
. -
. -
, . -
,
.
,
, ,
, ,
. ,
- -
. -
. ,
, ,
.
228
[3]
2000 , -
. -
-
.
( . 2019),
. ,
„“ -
. „
“ -
, , . --
-
,
. -
„ “
, -
,
, -
.
( - ) - -
, -
, .. –
, .
-
. Rutkovska & Rutkovsky (2021)
ARD,
ORF 1, „ “ .
„ 2
“ [4]. -
,
.
, -
. - ,
. -
– -
, ,
.
IXL
[5] Khan Academy [6]. IXL -
229
12. .
, .
,
,
.
.
. ,
.
.
Khan Academy -
. ,
,
,
, , -
- . IXL Khan
Academy
. IXL, Khan
Academy
. -
,
,
.
-
, ..
,
.
cabinet.bg [3] , -
.
STEAM [7],
-
.
230
„ “
-
,
. „
“ 53- 6. .
7. -
. -
GeoGebra. , -
, , , .
Фиг. 1. Лице на кръг
Фиг. 2. Кръгов сектор
231
Фиг. 3. Макет на развивка на конус
. 1 , -
.
. -
,
-
. , ,
, -
.
. -
, , -
.
. . 2
,
.
. -
. 3.
232
Фиг. 4. Елементи на прав кръгов конус
. 4 -
.
.
-
. -
.
.
-
. 5.
.
, , -
.
,
.
-
,
.
-
,
. -
. -
. 6.
.
.
233
Фиг. 5. Връзка между формулата за обем на пирамида и конус
Фиг. 6. Правилен 18-ъгълник и диагоналите му
.
-
– ,
„ “. -
, -
, ,
. -
. -
234
, -
, - .
.
-
. -
-
.
.
• , -
- .
• ,
. -
-
.
•
, -
.
• -
,
, .
-
-
- .
-
( 2021).
. -
- -
, .
-
,
235
- – -
.
, ., . , . . (1996). -
VIII–XI : . 1. : .
., . . (2021). –
107. „ “ . ,
, 4, . 1, 34–40, 2021.
, ., . , . . (2019). -
. – Списание на Българската академия на науките, 1,
„. “, 47–53.
, ., . . (2019).
( ).
. – :
, 3, 15–16 , 233–239.
, ., . , . . (2017). 6.
. : – .
, ., . . (2010).
6. :
. : .
Boytchev, P., T. Chehlarova, E. Sendova. (2007). Enhancing Spatial
Imagination of Young Students by Activities in 3D Elica Applications.
Mathematics and Education in Mathematics. – In: Proceedings of the
Thirty Sixth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians.
Rutkovska, A., M. Rutkovsky. (2021). Organisation of education in the
pandemic. In Empowering english language educators through action
research. Ediia 7, 26–27 martie 2021, Băli. Băli, Republic of Moldova:
Tipogra a din Băli SRL, 138–149.
Shabanova, M., A. Yastrebov, O. Bezumova et al. (2014). Experimental
mathematics and mathematics education. – In: International Multidisci-
plinary Scienti c Conferences on Social Sciences and Arts (3–9).
[1] https://bg.izzi.digital/#/
03.11.2022 .
[2] https://www.e-prosveta.bg/
03.11.2022 .
236
[3] https://cabinet.bg/
03.11.2022 .
[4] https://bnt.bg/bg/a/s-bnt-na-uchilishche
03.11.2022 .
[5] https://www.ixl.com/
03.11.2022 .
[6] https://bg.khanacademy.org/
03.11.2022 .
[7] https://educationwithscience.online/projects -
--steam-/
03.11.2022 .
237
:
73.
„ “
. XXI . -
-
.
,
.
, -
?
Ключови думи: информатика; информационни технологии;
обучение по информатика; 73. СУ; развитие; логическо и кри-
тично мислене; образователни инвестиции
-
-
.
. -
( 2021).
,
.
- [1], -
238
[2]. , -
, ,
, -
, -
,
. -
,
.
-
-
. -
:
• –
, -
, -
;
• – ,
,
;
• –
.
-
, .. , -
,
.
-
().
,
.
.
239
,
,
. 2017 ., -
[3],
9. .
.
-
-
,
. -
:
•
-
;
• - -
.
2018 .
–
„“, „ “, „-
“ „ “.
-
, 8. 9. 1
10. 0,5 .
.
. -
, ,
, -
.
,
, ..
, .
240
, , , -
. -
,
.
, -
,
, -
.
, „
“ ( & -
2015).
-
, -
. - –
, ,
, -
.
-
учениците си знаят – те израстват с компю-
трите (Stefanova et. l. 2009). ,
, . ,
, ,
, .
, информатиката
е трудна и неразбираема (Nikolova & Stefanova 2014). -
-
.
! , -
.
:
• -
.
241
•
-
, -
. -
. -
,
,
. , ,
, -
.
• -
, -
-
.
.
, – -
, -
.
(2016) , програмата по ИТ и
информатика е резултат на чисто механично събирани идеи за
това какво и как трябва да се учи. Мисконцепциите във всич-
ки направления се акумулират и с течение на времето КПД от
компютърното обучение се свежда почти до нула. Нещо пове-
че, учениците напускат със самочувствието, че са добре под-
готвени за висшето училище, за малкия бизнес или ежедневния
живот, но те не са научени да решават задачите, с които се
срещат там.
2018 .
() 3.
[4] 4. [5].
, 2020 . 0,5
5.– 7. [6].
, -
, ,
7. :
242
• ,
? -
?
• ,
? -
?
•
, , -
7.
, ?
-
,
-
. , -
-
10.–11. . --
,
?!
73.
„ “
, 73. „-
“
.
-
„. “.
-
(
– ) 8. . -
-
. 36
,
,
, .. -
.
243
-
-
5.–8. . -
( 2020).
,
:
• -
STEM, ,
;
• , (
), 5. , -.
,
-
- ,
-
.
, -
, , ,
.
-
:
• ,
, -
?
• -
,
,
, .. -
?
• -
-
-
?
244
, .
, ., . . (2015). -
IB -
. – : :
, „“, 2−6 , 282–290.
, . (2016). - -
. – Математика и информати-
ка, 59(5), 463–479.
, . (2021). -
. : -
„. “.
, . (2020).
„“ (, , 8. ) LEGO®
MINDSTORMS® EV3. -
, -
„. “.
Nikolova, N., E. Stefanova. (2014). Inquiry-Based Science Education
in Secondary School Informatics – Challenges and Rewards. – In:
Information Technology and Open Source: Applications for Education,
Innovation, and Sustainability. SEFM 2012. Lecture Notes in Computer
Science, vol. 7991, 17–34. Berlin, Heidelberg: Springer, https://doi.
org/10.1007/978-3-642-54338-8_2
Stefanova, E., N. Nikolova, E. Kovatcheva et al. (2009). Myths and
Realities about Technology Enhanced Learning. – In: Proceedings of
International Conference on SOFTWARE, SERVICES & SEMANTIC
TECHNOLOGIES, October 28–29, 2009, So a, Bulgaria, 116–123.
[1] .
– 2022 .
[2] , -
(W1/2022), 2022 .
[3] , 4 30
2015 . , . , . 94 4 -
2015 ., . . , . 69 26 2022 .
245
[4] 3. , 09-
1093/25.01.2017 . .
3. (-
).
[5] 4. , 09-5778
22.11.2017 . . -
4. (-
);
[6]
5., 6., 7. -
, a 09-2819/09.10.2020 .
246
,
. -
,
. -
-
,
() .
-
.
-
-
.
Ключови думи: учители, математика, информатика, привли-
чане, задържане, работни заплати, оптимизиране, човешки
ресурси
-
-
, -
,
[1].
. -
,
247
. -
, -
, -
,
.
- ,
, -
,
-
. -
-
.
, -
,
-
.
-
, -
,
, , -
, -
, . -
.
, , -
.
(2012) , според т.нар. мичиган-
ски модел на управлението на човешките ресурси системата за
възнаграждение се явява този елемент на управление, който се
използва често в недостатъчна степен и неправилно за стимули-
ране на организационните показатели на работата, тя трябва
248
да поощрява както краткосрочните, така и дългосрочните пости-
жения, като се има предвид, че предприятието трябва да работи
сега, за да преуспее в бъдеще. -
,
, -
,
, -
, .
-
:
• , , -
;
• ;
• ;
• ;
• ;
• .
-
,
,
.
( „-
–“ 2015: 24) „ -
“ e , възнаграждението е една от про-
тиворечивите икономически категории. В нея се срещат преките
интереси и очаквания на работници, служители, на работода-
тели и държавни институции. От една страна, интересите на
служителите са свързани с получаването на заплатата, която
да осигурява техния достоен живот и развитие, включително
като работна сила. От друга страна, трудовото възнагражде-
ние се възприема от работодателя като „разход“ или като „ин-
вестиция“ в зависимост от управленската му компетентност.
В този контекст „работната заплата е важен икономически
инструмент за повишаване на материалната заинтересованост,
за обвързване на количеството и качеството на вложения труд
с постигнатите резултати“. Международната организация на
труда определя работната заплата като „възнаграждение или
доходи, които могат да бъдат оценявани в пари и определяни
249
по споразумение или от националното законодателство и се дъл-
жат по силата на писмен или устен договор от работодателя
на трудещия се за работата, която е изпълнена или предстои да
бъде изпълнена, или за услуги, които са извършени или предстои
да бъдат извършени (чл. 1, С095 – Конвенция № 95 за закрила-
та на работната заплата, 1949 г., https://zbut.eu/international/
konventsiimot/c095-konventsiya-95-za-zakrilata-na-rabotnata-zaplata-
1949-g/).
- „–“ (2015: 28) -
, механизмите на трудовото възнаграждение, разработени
и прилагани конкретно във всяка организация, свързват трудово-
то възнаграждение с постигнатите резултати или положените
усилия на работниците и служителите. Те са логическо продъл-
жение на оценяването на работите, операциите, функциите и
длъжностите и по подобие съдържат принципи, методи, проце-
дури за определяне на резултатите от труда и на съответства-
щото им възнаграждение.
(2014) -
,
:
• ;
• ;
• – , ;
• .
-
.
,
– , .
, „/
“, ,
, – -
,
,
, .
, -
,
. , -
250
, -
-
.
, -
– . -
,
,
, .
-
,
,
- -
– , ,
, .
(2021) , средната работна заплата в ИКТ сектора
е несъпоставима с тази на учител по информатика.
, при бакалавърската програма (
-
) сравнително малък брой от завършилите работят по
специалността си, защото повечето предпочитат да започнат в
ИТ фирми на много по-високи заплати.
-
,
.
-
. ,
,
.
.
-
-
,
(, ,
), , -
251
,
. ,
-
,
,
, .
.. коефициент
на отговорност
.
„ “, ,
.
-
.
.
-
, ,
, -
, -
. , -
, ,
.
, 4
.
,
. , -
, , „“ -
, --
, .
-
.
- -
252
,
, -
, .
(2012) по своя характер учителският труд
е педагогически, като по вид той включа комплекс както от лич-
ностни, така и от специфично професионални черти и характе-
ристики. ,
. , -
, -
, -
.
-
.
-
,
– -
,
.
, ,
-
(- -
),
, -
, -
.
(2022) през последните двадесет
години изследователите на математическото образование с тре-
вога наблюдават изоставането на учениците по математика и
природните науки. Констатациите са базирани на резултати от
международни изследвания (Международната система за оценка
на знания PISA, международното изследване на математиката
и науката на IEA) и национални външни оценявания, които уста-
новяват, че от 2012 г. досега въпреки положените усилия почти
няма напредък в постиженията на учениците в училище по тези
253
науки. -
(. 1).
-
- -
7. 10. . -
-
12. –
. „“
, -
7. ,
-
, . -
STEM
,
.
-
, „“
,
, „“
-
. -
, -
„
“, .
254
Фиг. 1. Оценки от национално външно оценяване в 7. клас през последни-
те две учебни години [2]
,
-
.
, -
.
, -
648
. ,
-
– ,
, , ,
-
. 36- ( 7. 12.
) 18 .
255
40- ,
, 18
, /
, -
, , -
.
,
,
, , -
. -
„ “
, ,
,
.
- -
,
,
-
-
.
-
.
() [3] 8 ,
, , -
. ,
–
,
.
. -
256
,
,
.
.
2022–2023 . , -
-
.
, -
.
-
.
, - -
, -
–
, -
, -
, ,
- -
-
.
(
) -
, -
-
.
- , ,
.
-
-
-
-
, .
257
-
. -
.
, -
,
[4]. -
, ,
,
.
. -
50%
. ,
.
, ,
,
-
, , ,
, -
.
,
, -
, -
.
, ,
, -
-
, -
.
258
-
.
( ) ,
–
, -
. .
, , -
,
.
,
. , -
, „“ -
-
. ,
, -
,
,
.
,
( 2019).
-
. -
.
-
,
, .
-
.
259
-
. -
, ,
.
-
-
, -
.
,
, -
– , -
.
-
.
.
, . (2009). –
. – Икономика и упра-
вление: научно списание на Стопанския факултет при Югозападен
университет ,,Неофит Рилски‘‘, .
, . (2014). . : -
„. “.
, . (2012).
. : – .
, . (2013). –
. – Българско списа-
ние за образование, 2, 61–73.
, . (2022). STEM
STEM . –
Математика и математическо образование.
.
260
, . (2017). . -
, .
, .
, . (2012). -
. : „. -
“.
, . (2015) . : ,
5-45.
. (2021). -
. :
„. “.
„–“ (2015). -
, 3: . Growing
Social
V-A –, 2014–2020 .
[1] , 19 2021 .: , -
- , https://www. agman.
bg/article/245590 ( 30.01.2023 .);
[2] , 26 2022 .:
7. (2022), https://danybon.com/obrazovanie/rezultati-nvo-7-
class-2022/ ( 30.01.2023 .);
[3] 4 30 2015 . ,
04.12.2015 ., -
, . , . 94 4 2015 ., . . , . 76
28 2020 ., . . , . 75 10 2021 .,
. . , . 80 24 2021 ., . . ,
. 69 26 2022 .;
[4] 4 20 2017 .
, 01.01.2017 ., -
, . , . 34 28 2017 ., . .
, . 76 19 2017 ., . , . 8 25 2019 .,
. . , . 7 24 2020 ., . . , . 92
27 2020 ., . . , . 12 12 2021 .,
. , . 77 16 2021 ., . , . 35 10
2022 ., . , . 71 2 2022 .
261
1:1
„ “
, ,
. Google Workspace , -
, -
,
,
.
1:1 ( )
,
(), -
.
.
, . -
, ,
.
Ключови думи: иновация, образование, технологии, модел 1:1,
облачна платформа, дигитална култура
XXI – -
–
, -
, , -
. , , ,
, -
.
„“ ,
. ,
-
.
-
262
-
.
-
, , -
(
2011). , , :
• ;
• -
;
• -
;
• –
;
• -
;
• 1:1 -
STEM , -
, ;
• -
, Google
Workspace for Education;
• -
.
1:1
1:1 -
,
,
-
, . -
, . -
,
.
, -
263
. . , за
да се създаде устойчив модел 1:1, е необходимо училището да е
внедрило облачна платформа ( . 2020).
Google Workspace
Workspace
Google. -
, -
– Google , Gmail,
, .
,
-
. -
. ,
,
. -
, , .
-
, , -
, , –
, .
,
–
, ,
. . -
.
, , , -
.
1:1 , по подобен мо-
дел са създадени иновативни училища по света – в САЩ, Нидер-
ландия, Финландия, Швеция и други страни. Стотици общини
в тези държави вече са направили модела стандарт за образо-
вателните си организации. Тези образователни системи тради-
ционно държат челните места в класациите за дигитални уме-
ния и дигитализиране на публичния сектор и бизнеса, а учениците
имат висока функционална грамотност ( . 2020).
264
1:1
„ “
„ “
2019 . 1:1
8. . -
– - -
- , .
,
. -
-
. chromebook
() –
Chrome OS.
1:1 , -
,
, -
.
21
– Google Certi ed Educator, Level 1
Level 2. 2020 . Google trainer – - -
, .
1:1 -
, трансформира
опитът на учениците в класната стая, като се персонализира
обучението им, и заедно с това разширява съвместната им дей-
ност чрез смислено интегриране на информационните техноло-
гии [1]. , -
.
-
XXI .,
,
,
. -
,
, -
.
265
2019–2020 .
. 155
8. 12. .
. 1, 2 3.
, -
-
, XXI .
.
Фиг. 1. Самооценка на развитите умения в училище
Фиг. 2. Нагласи за учене с дигитални технологии (0 – ниски, 5 – високи)
266
Фиг. 3. Оценка за полезността на дигиталните технологии
,
1:1 .
2020–2021 .
8. . 106
(Chrombook). -
„ -
“, .
„ “ -
,
, ,
,
.
1:1
COVID-19
-
,
-
COVID-19.
. 1:1
-
e .
, , -
,
267
. ,
. , -
,
.
,
.
2021 . -
.. ( , 2021).
„
“,
10., 11. 12.
.
, -
– , -
- -
. -
,
, , -
, ,
-
. ,
-
, . „
“ , -
, -
(Ste
1995).
,
.
1:1 -
.
, . -
,
268
,
. -
Google Workspace
,
, ,
-
XXI .
, Chromebook -
.
.
-
.
.
, ,
- -
. -
.
-
, ,
.
Chromebook ,
, - -
,
.
. -
, , -
.
, -
. -
:
• (blended learning):
, -
, -
(-
)
/, -
269
.
(2003);
• ( ipped classroom):
, -
.
, -
.
, ,
, -
. -
, , Google Forms,
, , -
,
. -
-
, ,
. Google -
e-mail .
e-mail
. Google o
. -
.
Tucker (2012) Akçayır & Akçayır (2018);
• (project based learning):
, ,
,
, , -
-
. Kirilova
(2022). , ,
Google Doc, Google Sheets, Gmail, Google Calendar, Google
Drawings;
• (gami cation):
. , ,
.
, -
270
, -
. . -
Tuparova et al. (2018) Ivanov (2019).
„ “ (1:1)
„ “ -
„ “ (1:1),
.
- ,
, -
.
, . -
„ “,
854 (52- II ) 7
:
1. 1:1
, -
;
2.
;
3.
;
4. -
,
;
5. ;
6. 1:1 -
;
7. 1:1
-
.
-
1:1
(, ). 80%
,
271
.
,
, -
( . 2020).
1:1 -
Balanskat t al. (2013).
1:1 II
, -
. -
,
, -
.
,
Google Certi ed Educator, a
ACER 2019–2020 .
Google -
2020 . , , WiFi, Chromebook
,
.
, ., . . (2021). –
107. „ “ . – Математика, ком-
пютърни науки и образование, 4, . 1, 34–40.
, . (2003). -
. : -
„ “.
, . (2011). -
. :
„ “.
, ., . , . . (2020).
– „ (1:1)“.
, .
272
Akçayır, G., M. Akçayır. (2018). The ipped classroom: A review of its
advantages and challenges. – Computers & Education, 126, 334–345.
Balanskat, A., D. Bannister, B. Hertz et al. (2013). Overview and Analysis
of 1:1 Learning initiatives in Europe. Luxembourg: Publications O ce of
the European Union.
Ivanov, S. (2019). Using Gami cation Methods in Information Ttechnology
Education. – In: EDULEARN19 Proceedings, 2712–2718, IATED.
Kirilova, B. (2022). The Bene ts of Applying Project-Based Learning for
Better Student Comprehension. – In: EDULEARN22 Proceedings, 1100–
1104, IATED.
Steff, L. (1995). Constructivism in Education, OUP.
Tucker, B. (2012). The ipped classroom. – Education next, 12(1), 82–83.
Tuparova, D., G. Tuparov, V. Veleva et al. (2018). Educational Computer
Games and Gami cation in Informatics and Information Technology
Education – Teachers Points of View. – In: 2018 41st International
Convention on Information and Communication Technology, Electronics
and Microelectronics (MIPRO), 0766–0771, IEEE.
[1] Monica Burns: Sharing the Screen in 1:1 Classrooms. – Еdutopia,
https://www.edutopia.org/blog/sharing-screen-in-1to1-classrooms-
monica-burns 09.02.2023 .
273
. . -
– .
.
.
-
.
.
.
Ключови думи: математически талант, извънкласна подго-
товка, математически състезания
. – ?
?
, ? -
„ “ -
(1999: 82) , терминът „надарен“
като описание на много умно дете е бил приет вместо интели-
гентен или способен, защото се очаква да е с по-широк обхват
и да включва и деца с други таланти, различни от тези, които
са пряко свързани с интелигентността. -
, - -
„“. ,
,
. (2004: 31) , -
творческа надареност
изявени ученици – ,
-
( -
) .
„ “,
274
, -
, -
.
,
-.
,
, .
()
.
, .
, . -
,
. ,
,
.
, -
, , -
- -
.
,
, . -
.
,
-
. (1999: 83) 20 ,
:
Ако децата ви са надарени, те могат:
• ,
, ,
;
• ;
• ;
• ;
275
• ,
;
•
;
• ;
• ;
• ;
• -
;
• ;
• ;
• -
;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• , -
.
, -
, -
.
, -
: -, , ,
. ( 2014). -
-
, .
, -
,
.
„ “
,
.
.
276
, -
. - , -
, -
. -
,
( 1999: 89).
– -
.
-
,
. Бъдещите способности на детето
и тяхната ефективност са силно повлияни от предучилищната
му домашна среда ( 1999: 91). -
. -
, -
-
, -
. , ,
, -
, ,
,
. -
, ,
– .
-
. 1.
(„ “, „ “), -
( „ “)
( -
, ).
- , -
1. , -
, -
. -
1 -
„“ „Viva “ „-
“ – . .
277
- .
-, -
- -
. -
-
(Tsvetkova 2016).
60 120 .
, - -
-
. -
,
,
. , -
, -
-
, , ,
, -
.
,
.
(2004)
-
, процесът на про-
дължаваща в цялата училищна възраст от ІІІ–ІV клас селекция на
учениците с математически способности е и един от мощните
стимули за продължаване и интензификация на интересите и
усилията за усъвършенстване на математическите им познания.
, системата на състезания по математика
през училищната възраст на децата влияе и става стимулиращ
и мотивиращ елемент в допълнителното (извънкласно) обучение
по математика.
.
, /.
278
, -
, ,
- -
.
-
(Marland 1971) , -
-
(IQ) ,
IQ .
, , ,
. Много умните деца
могат да са с еднакви интелектуални способности, но те са из-
ключително различни като личности, интереси и постижения.
, -
, . -
.
. -
. ,
.
Конструкт е психологическо свойство (качество) на човека,
което не може да бъде директно измерено с инструмент (уред).
То е хипотетично понятие, плод на мисълта на учените, които го
използват, за да обяснят някои страни от поведението на чове-
ка. Степента (големината) на определен конструкт за даден чо-
век може да бъда определена (измерена) само като се наблюдава
поведението на човека. Следователно, за да се измери конструкт,
трябва да се стимулира проявлението му и да се наблюдава полу-
ченото поведение (резултатите) ( 2012).
-
, ,
. - , -
.
.
(Marland 1971) , -
- ,
279
. -
.
70% , –
, .
-
- .
, -
?
(2012) : така се приближихме до друго
професионално изискване към учителя по математика: да умее
да представя сложни математически идеи във вид, в който те
могат да бъдат представени на учениците. Една от силните
страни на математиката е възможността идеите „да се ком-
пресират“ в силно абстрактен вид. Така, използвайки подходя-
щи символи за представяне на математическите абстракции,
математиците изучават съответните обекти и структури,
въвеждайки нови идеи в същия абстрактен вид. В работата си
учителят трябва „да разопакова“ онова, което математиците
са компресирали.
. -
,
, , -
, ,
. -
.
, .
-
, ,
. -
да се изгражда математическа теория, да се дават ва-
лидни аргументи, да се оценяват аргументи, изказани от други,
да се осъзнае значението на математиката зад границите на
ежедневието ( 2012: 237).
, „–-
“, . -
,
, -
280
.
,
, ,
,
-
.
„“ .
състоянието, при което човек е така потопен в
заниманието си, че сякаш нищо друго няма значение (-
2016: 10). , ,
,
- -. . 1
.
.
(. 1), .
, -
, (. 2); -
, (. 3).
,
. -
, , , -
, ,
, .
-
. , -
,
– , , - -
.
281
Фиг. 1. Развитието на човек при определена дейност
Източник: Чиксентмихай (2016)
, - -
, (Inglis 1971), -
30 . ,
, ,
. -
, -
.
, -
.
,
-
,
,
. ,
,
,
-.
-
„ -
282
“. -
,
,
„ “ – ,
, -
. ,
,
, . Такова дете
може да бъде първо в класа и пак от гледна точка на интелекту-
алните му дарби да има слаби постижения (,
1999: 89–90). , -
, -
,
.
Затова недостатъчната изява може да остане неразпозната,
така че детето да плува в плитки води напълно задоволително,
но използвайки малко от своите способности ( -
1999: 90–91).
. ,
, -
.
, - -
.
. ,
, -
. -
, ,
,
.
се нуждае от много учене,
доста повече от нормалното, идеята за надареното дете, кое-
то самò си проправя път и самò се оправя,
( 1999: 91)
„
“. 80- . -
283
6. , -
5. , -
.
, -
. - -
, - -
, „ “,
,
. 20 ,
,
,
- . -
, ,
.
-
2. 4. ,
.
,
. -
,
,
. ,
, ..,
.
,
, -
.
4. , -
(, 125. , „. -
“ .). „ “
15 , 5
2 ,
.
,
, -
.
, 3–4 , .
. -
284
, ,
, -
.
. -
( 5. 7.) ,
. -, -
,
. ,
, ,
-
, .
, -
. .
„“ -
, -
, -
.
, ,
,
, -
, , -
( 2010: 27).
-
.
-
, , -
- -
. Нещо повече – хората на върха работят
не само повече или много повече от другите. Те работят много,
много повече ( 2010: 46). ,
, -
.
, , -
:
.
, -
, ,
, ,
.
285
, ,
, , ,
. Досега никой не е попаднал на случай, в който майстор-
ството от световна класа да е постигнато за по-малко време.
Изглежда, това е периодът, необходим на мозъка да асимили-
ра всичко необходимо за постигането на истинско майсторство
( 2010: 48–49).
,
3, 10 20 -
, ,
,
.
, - -
, -
.
. -
KIPP (
Knowledge Is Power Program)
. ,
, -
, , .
, -
, , „-
“ .
, ,
, .
, , -
-, --
( 2010: 271).
,
,
, ,
, .
-
,
– - .
,
2., 3. 4. ( ,
286
5. )
30 (
),
- , -
,
.
, -
10 -
, -
, 34–36 .
, -
( ,
), -
, ,
- , -
, .
.
( -
).
Понякога мислим, че да си добър по математика, е вродена
способност. Или я имаш, или не. Това не е толкова способност,
колкото отношение. Ще се усъвършенстваш в математиката,
ако имаш желание да пробваш … Успехът е функция на упори-
тостта и трудолюбието, на желанието да се работи здраво
( 2010: 255).
, -
-
,
.
. (2004), -
, ,
287
(, ) .
– ,
.
XXI -
- –
,
.
- -
. - -
,
. -
- -
( „
“,
.). - ,
, -
, ,
.. ,
,
,
–
. ,
, -
–
(), -
.
,
– , -
, . --
-
.
.
- .
, ,
.
„. “, . –
, , -
288
. ,
.
:
a. ( ) -
,
.
.
60 , -
.
,
. -
,
-
, -
,
, , -
- .
.
13,5 – .
b. , -
, (
(1), 40 .
-
. -
,
. -
-
. -
,
,
.
,
. -
International World Youth Mathematics Competition.
c. .
, -
- -.
289
:
(), ,
.
-
-
-
.
.
,
.
.
,
, . -
-
„. “, .
d. ,
(, ).
,
.
, , -. -
-
. -
.
.
, -
.
. -
.
.
World Mathematics Team Championship.
e.
,
. 4 6
, .
8 -
290
. -
, . -
. , ,
. ,
-
. .
, , ,
. -
– ,
.
. , -
. „ “ ,
.
, -
. -
.
- ,
- , ,
,
, .
- ,
-, -, --
, -
.
.
.
291
-
, -
.
2004, 2012 2020. 5. 12.
.
.
-
-
.
. , , -
, ,
.
-
, -
– , ,
, .
-
:
• ;
• .
,
- . ,
че такива са задачите, включвани в темите на състезания, и за-
дачите, включени в утвърдени „олимпиадни сборници“. -
,
,
„“ „“. -
,
, -
( 2004). ,
, ,
-
292
– ( - – ), -
, ( 5. )
.
, -
,
, .
, -
, .
При решаване на дадена математическа задача можем да разгра-
ничим два елемента: рутинен, който се състои в прилагането на
определени „стандартни“ математически техники като аритме-
тични действия, тъждествени преобразувания и др., и евристичен,
който обикновено назоваваме с термини като „досещане“ (
2004). , ,
„-
“ () .
, -
,
. -
,
. -
-
,
, - .
.
, .
. -
-
,
.
– , -
,
,
.
293
, -
, -
.
4 . -
-
, - „“ -.
,
. -
,
. , -
-
,
.
, ,
. , .
- -
(Tsvetkova, I. 2008).
-
.
,
,
.
,
.
,
.
, -
, , (,
, -
, ),
( )
-
. ,
- .
, -
294
. ( )
. -
. , -
,
,
,
.
,
. ,
-
.
, -
,
,
, ,
. , - -
„“,
, - , .
,
,
-
, .
,
.
. -
, , -
, -
. - ,
, -
.
-
, ,
, -
.
295
, -
,
,
. , -
. -
– -
, (
-
).
,
.
, ,
-
.
, . (2012). - -
. -
„“.
, . (2010). . : 45.
, . (2014). . : --
.
, ., . . (1999).
. : .
, . (2004). , -
.
„ “.
, . (2016). . : .
Inglis, W. B. (1971). Review of Gifted Children and the Brentwood
Experiment by S. A. Bridges. – British Journal of Educational Studies,
19(2), 224–225.
Marland, S. P. (1971). Education of the Gifted and Talented – vol. 1:
Report to the Congress of the United States by the U. S. Commissioner
of Education.
Tsvetkova, I. (2008). Preparing Students for Team Competitions in
Mathematics – Possibility to Work with All Students. Paper presented in
296
DG-9 “Promoting creativity for all students in mathematics education”
at ICME-11, Monterrey, Mexico, July 6–13, 2008.
[1] „ – “,
https://www.poleungkuk.org.hk/en/news-of-education/competition
[2] International World Youth Mathematics
Competition, https://chiuchang.org/en/about-en/imas-en/
[3] World Mathematics Team Championship,
http://wmtc.international/?ckattempt=1
297
,
.
-
. -
5. .
Ключови думи: материална база, компютърна техника, ин-
терактивен софтуер, математика, обикновени дроби, правил-
ни и неправилни дроби, проект 1:1
-
,
, -
( . 2016).
-
, .
-
, -
, .. ,
. ,
- -
( 2020). хиперак-
тивност ( 2016) .
- -
,
.
-
, -
298
. ,
. ,
, .
- -
.
-
, -
. -
Opaschowski (1981)
, -
-.
(2007) : Идеите на Опашовски за ориентация на
образователната дейност към творчеството, за поощряване на
комуникацията и познавателната активност в него, както и за
ученето чрез насърчаване не са нови за педагогическата теория
у нас. Сравнително по-непопулярен е теоретичният акцент, кой-
то авторът поставя върху сферата на свободното време. Този
акцент представлява оправдана реакция на почти пълното от-
съствие на ниши в образователната и професионалната област,
характеризиращи се със свобода на действие.
, ,
, -
, -
. -
,
. , ,
-
.
-
-
.
-
. -
, - ,
299
- .
1:1
2020 . -
„ – “, 1:1.
(Balanskat et. l. 2013) -
.
(Negroponte et. l. 2006), -
.
.
.
-
.
( ) .
– 2. „ “
(); „ “ (); -
(-
); „ “ (); -
„ “ ();
„ I“ () (). -
. (2020)
, 1:1 -
-
.
- ,
-
, -
. ,
обучението се променя и се доближава до характеристиките на
Образование 4.0, а именно:
300
• -
;
• , -
;
• ;
•
, ;
•
, ;
•
.
„. “
1:1 -
. --
„. “ .
5. 6. . -
-
. , -
.
-
,
. - -
. -
,
.
-
,
. ,
.
,
, -
.
, -
. -
301
, -
-
,
. -
, .. -
, .
, -
( ). -
. -
,
, -
. -
,
.
„ -
. “ 2022 .
5. .
,
.
-
, .
-
. -
, .
, , -
. :
• Вие сте... 27. Нека си представим, че сме решили да си купим
една много голяма торта – такава, която има цели предвари-
телно нарязани 30 парчета! От такава торта всеки ще може
да си вземе по едно парче, нали? Тоест ще има достатъчно за
всички. Ако представим това във вид на обикновена дроб, вие
ще сте изяли 27
30 от една цяла торта. Когато една торта ви е
302
била достатъчна, т.е. числото в знаменателя е по-голямо от
числото в числителя, ще казваме, че дробта е правилна.
• Сега си представете, че от сладкарницата ни откажат да на-
правят чак толкова голяма торта. Оказва се, че могат да ни
предложат само малки торти – нарязани на по 10 парчета.
Една малка торта видимо няма да ни стигне – ще ни се нало-
жи да си купим общо три. Когато всеки изяде по едно парче от
тях ще можем да кажем, че сме изяли 27
10 от една торта. Това
звучи много странно, нали? Някак си не е естествено за нашия
език! Точно затова, когато знаменателят е по-малък от числи-
теля, ще казваме, че дробта е неправилна.
. -
, -
, .
.
, ..
.
Liveworksheets [1] 12 .
. ,
-
. – -
, -
.
. -
,
,
, .
,
. -
. 1.
303
Фиг. 1. Интерактивна задача с обикновени дроби
, -
-
.
, ,
, -
–
,
, -
, .
.
. -
, -
, -
. ,
.
-
. -
. -
.
-
. -
. , -
304
, -
, -. ,
- ,
.
- . -
,
. -
Kahoot [2]. -
.
, -
.
,
. . 2, 3 4.
-
-
. ,
, .
, .
а) 2
5 б)
4
5
в) 2
6 г) 4
6
Фиг. 2. Коя от дробите представя останалата торта в подноса?
305
Фиг. 3. Вярно ли е, че 9
14 от правоъгълника е оцветен?
а) Да
б) Не
27 ,17 ,6,13 ,25 ,7,13
17 10 22 8 11 65 22
Фиг. 4. Колко от дробите имат знаменател, по-малък от 20?
, -
. -
-, .
– -
.
-
. , -
( )
, .. .
, -
.
, – -
,
. – -
- : Госпожо,
кога пак ще играем на Kahoot?
,
.
. -
-,
!
306
, .
,
,
, , ,
, -
. , -
Човек се учи от грешките си
.
, -
-
.
,
.. -
.
, -
-
.
–
,
-.
, -
.
, -
-
. ,
-
, -
. -
!
,
.
, -
.
,
-
,
. -
,
,
307
. -
. , -
, -
.
, -
!
,
, -
.
-
-. -
, -
-.
, . (2007). -
. – : -
. 125 .
V , 5–9 -
, .
, . (2020). -
. – Е-списание „Педагогически форум“, . 4.
, . (2016).
.
„ “, -
, .
, ., . , . . (2020).
– „ (1:1)“.
, .
, . . ., . , . . (2016). 8 -
( – -
). . .
Balanskat, A., D. Bannister, B. Hertz et al. (2013). Overview and analysis
of 1:1 learning initiatives in Europe. – JRC Scienti c and Policy Reports,
1–62.
308
Negroponte, N., W. Bender, A. Battro et al. (2006). One laptop per child.
Keynote address at the National Educational Computing Conference in
San Diego, CA. Retrieved from http://www.olpcnews.com/presenta-
tions/olpc-nov-2006t.pdf
Opaschowski, H. W. (ed.). (1981). Methoden der Animation: Praxis-
beispiele. Klinkhardt.
[1] Liveworksheets.com – Interactive worksheets maker for all languages
and subjects, https://www.liveworksheets.com/
16.11.2022 .
[2] Kahoot! for schools,
https://kahoot.com/schools-u/
16.11.2022 .
309
. , , ,
, „-
“ .
.
,
.
Ключови думи: математически игри, обучение с игри, ино-
вативност, креативност, упражнение, ангажираност, любо-
питство
,
.
. -
– . .
, .
, -
, . -
.
На въпроса „Що е математика?“ не може да се даде разумен
отговор нито на базата на философските категории, нито с по-
мощта на семантични определения или с уклончиви литературни
описания. Но за да се разбере що е математика, е още по-нало-
жителен истински контакт с нейното съдържание (Р. Курант)
( 1981: 15).
, .
, - -
. -
. -
310
. -
. -
-
4., 7. 10. . Многото
-
.
,
.
, -
. ,
- --
. Не си въобразявайте, че мате-
матиката е трудна, неразбираема и отблъскваща за здравия раз-
ум. Тя просто е идеална реализация на здравия разум (У. Томсън)
( 1981: 57).
, -
,
.
: всеки трябва да прекара живота си … въз-
можно най-добре. И така, какъв е правилният възглед? Трябва
да живея, играейки! ( 2000: 626).
, ,
.
, .
?
?
, ,
- - -
. На първо място психолозите изтъкват знанието на играча,
че играе. - : -
. И то не удоволствието от постигнатата победа, а чув-
ството, което съпровожда самия процес на играенето и матема-
тическия труд (Вл. Сотиров) ( 1986: 3–6).
Математическите игри са се зародили в далечното минало още
когато е възникнала математиката. Задачите с игри са резул-
тат от творчеството на много хора. За колекцията от „мате-
матически чудеса“ са дали своя принос забележителни матема-
311
тици от миналото: Фибоначи, Блез Паскал, Пиер Ферма, Леонард
Ойлер, Карл Гаус и др. Някои забележителни по-съвременни мате-
матици – изобретатели на игри, са Клод Шенън, Пит Хайн, И. В.
Арнолд, Мартин Гарднър и др. ( 1988: 6).
,
,
. -
.
Много се радвам на задължителната преподавателска дей-
ност и се старая да предам на други своята математическа упо-
ритост и рутина. Винаги се старая при преподаването да бъда
колкото е възможно по-добър и непосредствен и ако успея да
се изразходвам в тази дейност, ще се смятам за щастлив (Л.
Шлефли) ( 1981: 356).
( 1982)
. . -
2 9. -
2 9. -
2 9
.. , , -
.
,
. -
,
„“ 5. . -
, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10,
12, 15, 18, 25. 0 9
.
( ) .
-
, , -
.
. ,
. ,
312
-
-
. , -
. -
, -
, ,
. . 1
.
, -
, -
.
,
. , ,
, . ,
3, 4, 5 7,
, 3. -
.
,
-
.
-
, .
Таблица 1. Примерни сценарии за разиграване на играта за делимост
-
2 3, 5, 6, 7 7356 -
6.
-
.
3 1, 2, 5, 6, 8
, -
3
, -
, -
,
3.
313
-
4 9, 2, 7, 3 7932
-
,
4.
6 3, 4, 2, 1, 8 83 412 6,
2 3
.
12 5, 8, 9, 1, 4 59 148 12,
3 4.
25 3, 5, 9, 1, 0 39 150 25,
,
25.
-
. , -
, , -
- .
( -
,
), -
. - ,
, .
, .
Числото, положението и комбинирането … са трите пресича-
щи се, но различни сфери на мисълта, към които могат да се от-
несат всички математически идеи (Дж. Силвестър) (
1981: 17).
„ “
(Gross 1984),
6. -
. ,
314
.
, . -
, ,
–
,
, .
26 ,
. 3
3 .
, ,
1 117.
– „“,
, .
13 , -
,
. . 1.
, -
.
-
, , -
. ,
: . -
, .
,
, , .
Фиг. 1. Примерна двойка карти от математическо бинго
315
-
. ,
, -
. -
,
-
– ,
.
.
.
-
, .
В горния десен ъгъл на шахматна дъска e поставен цар. Игра-
ят двама играчи, които последователно местят царя. Общо взе-
то, се движи като обикновен шахматен цар, но с известно огра-
ничение в движенията си – може да се премества само надолу,
наляво и по диагонал надолу–наляво. Печели играчът, който пръв
постави царя в долния ляв ъгъл на дъската ( 1975: 10).
, Ко-
дова пътека.
,
7. „ “. -
139, . 2. -
26 , -
. ,
- Старт. , -
, -
, Старт.
-
.
.
, ( , -
) ,
. , , -
, .
,
, ,
316
-
(
). -
, -
. , 26
26 .
-
.
.
Фиг. 2. Игрално поле за кодова пътека
- , . -
, 7. ,
:
Семейство Симпсън идват на екскурзия в България, за да по-
сетят място, за което са чували и чели толкова хубави неща, че
им е мечта да го видят на живо. За да може това да се случи и
те да стигнат до желаната дестинация, без да се изгубят, ще
имат нужда от вашата помощ. Тя се състои в това да се движи-
те по картата (нагоре, надолу, наляво, надясно) и да отговаряте
правилно на поставените въпроси. Всеки верен отговор ще ви пре-
317
доставя тайна буква. Със събраните 26 букви ще декодирате съ-
общението, което ще ви покаже името на забележителността,
която семейство Симпсън желаят да посетят. Като разберете
кое е то, вече ще можете да ги упътите и да им помогнете да
стигнат там. Да започваме!
.
. -
-
–
Панорамна площадка „Орлово око“, ,
.
, .
, -
. -
,
– , . -
.
, .
.
, -
-
, -
.
, -
.
. „-
“,
? ,
.
318
, . (1982). . . . – Квант, 3.
, . (1986). . : .
, . (1981). . :
“.
, ., . . (1988). . : -
.
, . . (2000). . . .
. .: . : , . .
. . . . .: , 1969.
, . (1975). . : .
Gross, L. P. (1984). Mathematics Can Be Fun. – The Arithmetic Teacher,
31(7), 38–40.
Математическото образование
75-годишна мисия и история
Сборник с научни статии от годишен семинар
на катедра „Обучение по математика и информатика“,
октомври 2022 г.
Българска
Първо издание
Съставители
Филип Петров, Евгения Сендова
Научни редактори
Филип Петров, Евгения Сендова
Рецензенти
Борислав Лазаров, Елиза Стефанова
Редактор
Галя Краликова
Дизайн на корицата
Владимир Матов
Предпечатна подготовка
Албена Абаджиева
Формат 60х90/16
Печатни коли 19
Университетско издателство „Св. Климент Охридски“
www.unipress.bg