Trigonometria no Ensino Médio: Uma proposta de ensino por meio da História da Matemática

Abstract

A predominância das aulas tradicionais é comum na Matemática, todavia, tem sido questionada e vem passando por diversas mudanças que consideramos propositivas, tais como a utilização da História da Matemática, que é uma tendência contemporânea pertencente à Educação Matemática. Esta tendência surge como uma das alternativas ao método tradicional, podendo compor uma prática pedagógica que se torne útil nas aulas de Matemática, fomentando assim uma maior atratividade entre a sua audiência. A trigonometria é considerada um tema complexo por muitos, sobretudo por está apoiada apenas nos seus aspectos analíticos e algébricos, mesmo possuindo muitas aplicabilidades, por isso a contextualização histórica pode proporcionar uma melhor compreensão deste conteúdo. Desta forma, o objetivo deste trabalho foi auxiliar os alunos a compreenderem melhor o conteúdo de Trigonometria, através de um ensino mais relevante, para isto, propomos aulas contendo Narrativas Históricas Ilustrativas a partir da elaboração de um modelo próprio, almejando que as aulas se tornem mais interessantes, dinâmicas e contextualizadas. A pesquisa se desenvolveu em duas etapas, a primeira de caráter mais descritivo-exploratório, realizou-se pesquisas através de livros e trabalhos acadêmicos, buscando abranger os aspectos teóricos das temáticas envolvidas neste estudo; a segunda etapa foi baseada na pesquisa aplicada, onde foi apresentado uma proposta de ensino. Por tudo isso, esperamos que os objetivos propostos com relação ao processo de ensino e aprendizagem nas aulas de Trigonometria possam ser alcançados.

Full text

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Revista Baiana de Educação Matemática, v. 04, p. 01-26, e202308, jan./dez., 2023. e-ISSN 2675-5246.
Submetido em: 03/01/2023, Aceito em:
09/05/2023,
Publicado em:
03/06/2023
ARTIGO
https://doi.org/10.47207/rbem.v4i01.16209
Trigonometria no Ensino Médio: Uma proposta de ensino por meio da
História da Matemática
PINHEIRO, Lucas de Jesus
Graduado em Licenciatura em Matemática pelo Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia
(IFBA) – Campus Salvador. Orcid: https://orcid.org/0009-0006-3309-2767. E-mail:
lucasjpinheiro1997@gmail.com.
CARNEIRO, Fernando Osvaldo Real
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia (IFBA) – Campus Salvador. Doutor em Ensino,
Filosofia e História das Ciências pela Universidade Federal da Bahia (UFBA). Orcid: https://orcid.org/0000-
0002-7713-7852. E-mail: fernandocarneiro@ifba.edu.br.
Resumo: A predominância das aulas tradicionais é comum na Matemática, todavia, tem sido
questionada e vem passando por diversas mudanças que consideramos propositivas, tais como a
utilização da História da Matemática, que é uma tendência contemporânea pertencente à Educação
Matemática. Esta tendência surge como uma das alternativas ao método tradicional, podendo compor
uma prática pedagógica que se torne útil nas aulas de Matemática, fomentando assim uma maior
atratividade entre a sua audiência. A trigonometria é considerada um tema complexo por muitos,
sobretudo por está apoiada apenas nos seus aspectos analíticos e algébricos, mesmo possuindo muitas
aplicabilidades, por isso a contextualização histórica pode proporcionar uma melhor compreensão
deste conteúdo. Desta forma, o objetivo deste trabalho foi auxiliar os alunos a compreenderem melhor
o conteúdo de Trigonometria, através de um ensino mais relevante, para isto, propomos aulas
contendo Narrativas Históricas Ilustrativas a partir da elaboração de um modelo próprio, almejando
que as aulas se tornem mais interessantes, dinâmicas e contextualizadas. A pesquisa se desenvolveu
em duas etapas, a primeira de caráter mais descritivo-exploratório, realizou-se pesquisas através de
livros e trabalhos acadêmicos, buscando abranger os aspectos teóricos das temáticas envolvidas neste
estudo e a segunda etapa foi baseada na pesquisa aplicada, onde foi apresentada uma proposta de
ensino. Por tudo isso, esperamos que a proposta de criação e aplicação das Narrativas Históricas
Ilustrativas nas aulas de Trigonometria permita que o professor trabalhe com a leitura, com a
diversidade dos conhecimentos, com as ideias do estilo e coletivo de pensamento, desenvolvendo no
aluno uma aproximação maior com a Matemática.
Palavras-chave: Trigonometria. Educação Matemática. História da Matemática. Narrativas
Históricas Ilustrativas.
Trigonometry in High School: A teaching proposal through the History of
Mathematics
Abstract: The predominance of traditional classes is common in Mathematics, however, it has been
questioned and has been undergoing several changes that we consider positive, such as the use of the
History of Mathematics, which is a contemporary trend belonging to Mathematics Education. This
tendency appears as one of the alternatives to the traditional method, being able to compose a
pedagogical practice that becomes useful in Mathematics classes, thus promoting a greater
attractiveness

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among its audience. Trigonometry is considered a complex subject by many, especially because it is
based only on its analytical and algebraic aspects, even though it has much applicability, so the
historical context can provide a better understanding of this content. In this way, the objective of this
work was to help students to better understand the content of Trigonometry, through a more relevant
teaching, for this, we propose classes containing Illustrative Historical Narratives from the elaboration
of an own model, aiming that the classes become more interesting, dynamic, and contextualized. The
research was developed in two stages, the first of a more descriptive-exploratory character, research
was carried out through books and academic works, seeking to cover the theoretical aspects of the
themes involved in this study and the second stage was based on applied research, where a teaching
proposal was presented. For all these reasons, we hope that the proposal for the creation and
application of Illustrative Historical Narratives in Trigonometry classes will allow the teacher to work
with reading, with the diversity of knowledge, with the ideas of style and collective thinking,
developing in the student an approximation higher with Mathematics.
Keywords: Trigonometry. Mathematics Education. History of Mathematics. Illustrative Historical
Narratives.
Trigonometría en la Educación Secundaria: Una propuesta didáctica a
través de la Historia de las Matemáticas
Resumen: El predominio de las clases tradicionales es común en Matemáticas, sin embargo, ha sido
cuestionado y ha venido experimentando varios cambios que consideramos positivos, como el uso de
la Historia de las Matemáticas, que es una corriente contemporánea perteneciente a la Educación
Matemática. Esta tendencia aparece como una de las alternativas al método tradicional, pudiendo
componer una práctica pedagógica que se vuelve útil en las clases de Matemática, promoviendo así un
mayor atractivo entre su público. La trigonometría es considerada por muchos un tema complejo,
especialmente porque se basa únicamente en sus aspectos analíticos y algebraicos, aunque tiene
muchas aplicaciones, por lo que el contexto histórico puede proporcionar una mejor comprensión de
este contenido. De esta forma, el objetivo de este trabajo fue ayudar a los estudiantes a comprender
mejor el contenido de la Trigonometría, a través de una enseñanza más pertinente, para ello,
proponemos clases que contengan Narrativas Históricas Ilustrativas a partir de la elaboración de un
modelo propio, buscando que las clases se conviertan en más interesante, dinámico y contextualizado.
La investigación se desarrolló en dos etapas, la primera de carácter más descriptivo-exploratorio, la
investigación se realizó a través de libros y trabajos académicos, buscando abarcar los aspectos
teóricos de las temáticas involucradas en este estudio y la segunda etapa se basó en la investigación
aplicada, donde se presentó una propuesta didáctica. Por todo ello, esperamos que la propuesta de
creación y aplicación de Narrativas Históricas Ilustrativas en las clases de Trigonometría le permita al
docente trabajar con la lectura, con la diversidad de saberes, con las ideas de estilo y el pensamiento
colectivo, desarrollando en el estudiante una aproximación superior con Matemáticas.
Palavras-Clave: Trigonometría. Educación Matemática. Historia de las Matemáticas. Narrativas
históricas ilustrativas.
Introdução
O ensino da Matemática no Brasil, em sua grande maioria, foi associado a uma sala de
aula vertical, onde o professor é o detentor do conhecimento e transfere o mesmo aos seus
alunos. Portanto, o papel do professor configura-se muito bem definido. Esse modelo de

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ensino é conhecido como ensino tradicional, que de acordo com Libâneo (2001): o professor é
a autoridade, detém o conhecimento e transfere esse conhecimento para a sua classe e os
alunos por sua vez assumem uma postura passiva no processo de ensino e aprendizagem.
Corroborando com o autor, neste tipo de modelo de ensino cabe aos alunos, apenas
acompanhar o raciocínio do professor, compreender suas explicações, preferencialmente, sem
questionar. Esse tipo de metodologia de ensino acaba tornando as aulas cada vez menos
dialógicas, consequentemente há menos trocas de conhecimento entre aluno e professor e
entre os próprios alunos, além do professor cada vez menos conhecer os saberes e as
necessidades dos seus alunos.
A aula tradicional apesar de possuir sua importância no processo de ensino e
aprendizagem, não pode ser a única metodologia de ensino a ser abordada em sala de aula,
pois de acordo com Mizukami (1986) é um tipo de ensino que não tem como foco contribuir
com o desenvolvimento da capacidade de reflexão do aluno, mas com uma mera acumulação
de conhecimentos de maneira superficial. Apoiado nessas reflexões da autora, infere-se que a
utilização predominante desse método sistemático de ensino contribui de maneira negativa
para o aprendizado dos alunos, pois eles estarão mais focados em decorar os assuntos e não
em aprendê-los de fato.
Mediante a esse impasse, surge a necessidade de mudanças e de acordo com isso
Libâneo (2001) afirma que existem professores que se preocupam não apenas em passar o
conteúdo de sua componente curricular, mas em ajudar os seus alunos a refletirem melhor
sobre o que estão aprendendo. Diante disso, entendemos que saber e querer fazer mudanças é
um aspecto necessário, porém, não é suficiente, então para existir estas mudanças, o professor
deve estar capacitado para promovê-las, por isso que Santos et al. (2016) afirma que a
formação docente precisa garantir que o professor tenha uma melhor desenvoltura em sua
profissão, por estar melhor preparado para ministrar suas futuras aulas. Concordando com os
autores, o professor estará mais preparado para utilizar estratégias a fim de assegurar uma
melhor aprendizagem dos seus alunos se estiver qualificado para isto. Em compensação,
atualmente, o ensino da Matemática no país vem passando por grandes modificações
propositivas, principalmente por conta do melhoramento das formações docentes iniciais e
continuadas, com o avanço dos recursos tecnológicos digitais e com o uso das diferentes
tendências em Educação Matemática.

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Entre as diversas tendências em Educação Matemática, a História da Matemática é
uma das que possibilitam os alunos a estarem em contato com a parte humana da Matemática,
pois de acordo com De Gasperi e Pacheco (2018) esta tendência proporciona uma maneira
dessemelhante de compreender a Matemática, tirando esse seu caráter rígido e transformando-
a numa componente curricular mais humanizada.
A História da Matemática pode ajudar também na questão da contextualização, pois de
acordo com Roque (2012) a componente curricular em si já é tratada como algo abstrato.
Então é necessário que ela seja mais acessível para quem está aprendendo, por isso Roque
(2012) menciona que a Matemática pode estar mais unida à realidade e mais ligada ao dia a
dia dos alunos, não apenas por verem o entendimento aplicado à resolução de problemas de
ordem prática, contudo, compreender como os conceitos estão associados uns com os outros,
tornando coerente o seu conhecimento. Em concordância com Roque (2012), entendemos que
os professores precisam se atentar a esse ponto, saindo da sua zona de conforto e tentando
buscar novas alternativas para que a aprendizagem dos conteúdos seja melhor compreendida
pelos alunos, podendo incluir os processos históricos como seus aliados.
Nos diversos conteúdos da componente curricular, assim como também na
Trigonometria, na maioria das vezes, segue-se um modelo metódico, pois “quando estudamos
Trigonometria, memorizamos fórmulas e regras, totalmente desarticulados no nosso
cotidiano” (SANTOS et al., 2016, p. 5). Concordando com esse pensamento, é necessário
reformular as aulas com o intuito de promover um ensino mais relacionado ao mundo real,
ainda mais, por se tratar de um campo do estudo que contém várias aplicações em situações
cotidianas e no âmbito da Ciência. Conforme Lindegger (2000) algumas das aplicações da
Trigonometria são: na navegação, na engenharia, na astronomia, na física, na eletricidade, na
agrimensura, na topografia e até mesmo na própria matemática. Mediante a essa vasta
aplicabilidade da Trigonometria em diversas áreas do conhecimento, compreendemos que é
essencial que os alunos possam perceber como este conteúdo no geral não está desconectado
das situações concretas e não se resume a decorar fórmulas e a resolver contas.
Apesar de possuir diversas aplicações, os alunos têm dificuldades em aprender o
conteúdo de Trigonometria, sendo que um dos motivos dessas adversidades está relacionado
“[...] com a forma que ela é ensinada” (SANTOS et al., 2016, p. 5). Outra razão, afirma
Lindegger (2000) é porque as pessoas possuem adversidades em associar a trigonometria com

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o seu cotidiano, predominando sempre um passo a passo predeterminado com operações
feitas automaticamente sem significância. Por isso, compreendemos que urge a necessidade
de repensar a maneira como os assuntos de Trigonometria são trabalhados em sala de aula,
para isso é preciso que o professor utilize uma metodologia que auxilie os alunos a
compreenderem melhor estes conteúdos e uma forma é através das tendências em Educação
Matemática.
De acordo com essa persistência dos professores em ensinar os conteúdos
matemáticos, inclusive os de Trigonometria, de uma forma que prioriza apenas a parte
algébrica e analítica, que a proposta de utilizar a História da Matemática foi escolhida como
uma alternativa que vai de encontro a esse método tradicional. Além disso, a tendência
também servirá para despertar o interesse dos alunos, otimizar as aulas, torná-las mais
dinâmicas, melhorar o entendimento dos conteúdos e, por fim, auxiliá-los na compreensão da
Trigonometria. Para isso, a proposta é elaborar as Narrativas Históricas Ilustrativas, através de
um modelo próprio, a fim de ser um material que será utilizado pelos professores em suas
aulas, com o objetivo de inserir aspectos históricos do conteúdo de Trigonometria. A
construção das Narrativas Históricas Ilustrativas será baseada nas reflexões realizadas a partir
das obras dos seguintes autores: Bianchi (2006), Pereira (2016), Barros (2011), Moscateli
(2006), White (2001), Hidalgo et al. (2018), Kragh (2003), Forato (2009), Sequeira e Leite
(1988), Litz (2009) e Palhares (2012).
A coleta e análise dos dados referente as pesquisas estão sendo realizadas por meio de
artigos, livros, dissertações de mestrados, teses de doutorado e trabalhos de conclusão de
curso, que trazem a História da Matemática, a Trigonometria e as Narrativas Históricas como
foco principal de estudo, ou seja, a parte inicial da pesquisa é de caráter descritivo-
exploratório, trazendo um referencial teórico que dialogue com os assuntos que serão
abordados. A parte final da pesquisa assume um caráter mais baseado na pesquisa aplicada
que vai basicamente sugerir propostas alternativas de aulas com o intuito de solucionar esse
impasse que foi levantado na nossa problemática.
Através das análises das diversas propostas e pensamentos dos autores pesquisados a
respeito da importância da utilização da História da Matemática como uma ferramenta para
melhorar as aulas de Matemática, foi elaborado o seguinte problema de pesquisa: “Como a

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construção de narrativas históricas ilustrativas podem potencializar o ensino de
trigonometria?”.
As potencialidades pedagógicas da História da Matemática para o ensino
A utilização predominante do método tradicional nas aulas de Matemática, não
assegura uma aprendizagem relevante, pois apenas expor o conteúdo sem refletir nos seus
diversos aspectos e estabelecer que o conhecimento dos alunos seja limitado ao que foi
abordado em sala, faz com que eles apenas o decorem e não consigam relacioná-los com
situações cotidianas. Este pensamento é confirmado por De Gasperi e Pacheco (2018) que
afirmam que aulas meramente expositivas não auxiliam na aprendizagem da componente
curricular e nem na associação dos conteúdos de maneira interdisciplinar. Em vista disso,
concebemos que é necessário que os professores encontrem outras alternativas, estratégias a
fim de garantir uma aprendizagem que seja expressiva e contínua, e uma delas, pode ser a
utilização da História da Matemática.
Ao falar de utilizar a História da Matemática em sala de aula, o que muitos podem
pensar é que simplesmente serão informados pessoas, povos, lugares e datas acerca do
assunto estudado. Todavia, esta tendência, pode ter um caráter mais relevante do que
meramente informativo, pois Santos e Sousa (2020) afirmam não ser suficiente apenas
reproduzir fatos históricos e indicar personagens relacionados à Matemática, sobretudo,
refletir sobre os motivos e necessidades que nortearam o desenvolvimento de determinados
conceitos e cálculos. Concordando com as autoras, Lindegger (2000) menciona que a mera
exposição de fatos históricos não é o objetivo do professor quando está trabalhando com esta
tendência em sala de aula, mas criar estratégias para que a História permita o aluno a entender
os conceitos Matemáticos como algo associado ao mundo real. Ou seja, os autores
compreendem que utilizar essa metodologia de maneira superficial não vai garantir a
aprendizagem qualificada do aluno, por isso é necessário que o professor elabore uma boa
proposta e que auxilie a sua turma a entender de maneira satisfatória os conteúdos.
A História da Matemática em sala deve facilitar o processo de ensino e aprendizagem,
ou seja, ela é importante tanto para o professor que está abordando um determinado assunto,
quanto para os alunos que estão tendo contato inicial ou não com este assunto. Santos e Sousa

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(2020) corroboram com essa linha de raciocínio quando asseguram que a tendência precisa ser
conhecida por professores e alunos, pois tal conhecimento ajuda a entender como o
aperfeiçoamento da Matemática teve um papel fundamental para que a humanidade
solucionasse as adversidades existentes na ciência e na tecnologia, assim como no progresso
de ambas. (SANTOS; SOUSA, 2020). Complementando o pensamento das autoras, quando o
docente elabora uma proposta para aplicar em suas aulas, ele não pode levar algo que seja
interessante apenas para ele e que os alunos não compreendam ou se sintam desmotivados,
todavia, deve se esforçar a fim de tornar suas aulas mais proveitosas e interessantes,
potencializando assim a compreensão dos alunos.
Um dos principais desafios do professor de Matemática é tornar a aula mais
interessante, agradável e significativa para os alunos, pois estes muitas das vezes possuem
dificuldades com a componente curricular e se sentem desmotivados com a presença
majoritária de números, regras e fórmulas, sem ter uma relação com o seu cotidiano correlato.
Em contrapartida, Miguel e Miorim (2004) mencionam a existência de autores que
consideram o saber histórico como fundamental para despertar o interesse dos alunos, pois
compreendem que a inserção da história nas aulas de Matemática pode servir como uma
compensação pelo empenho em aprender o conteúdo curricular. Ou seja, as fórmulas, os
cálculos e as interpretações são as partes que exigiram maior dedicação dos alunos e a história
ajudaria a tirar esse caráter sistemático da Matemática.
Mediante a esse fato, o professor precisa sair da sua zona de conforto e pensar em
alternativas viáveis para não deixar que a Matemática recaia no puro algebrismo sem
conexões, então De Gasperi e Pacheco (2018) enfatizam que a compreensão da Matemática
através de sua História ocasiona no professor uma nova perspectiva em relação a sua
componente curricular, assim como na ligação da Matemática com outras áreas do
conhecimento. Eles afirmam que o docente pode, através da História da Matemática,
conseguir ter ideias para inovar suas aulas, por adquirir um olhar diferente a respeito da
Matemática, incluindo um saber interdisciplinar.
Assim como a História da Matemática é importante para o professor, também é
essencial para que o aluno compreenda a componente curricular, pois de acordo com o
pensamento de Santos e Sousa (2020), a utilização desta tendência nas aulas colabora para um
entendimento histórico mais organizado, ajudando os alunos a associarem os conteúdos que

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aprendem em sala de aula tanto com sua história, quanto com suas aplicações no cotidiano.
Corroborando com as autoras, os alunos terão a oportunidade de participar de aulas mais
interessantes, motivadoras, articulando o entendimento da matemática com seus processos
históricos, ou seja, não estarão fadados a serem reféns de apenas resolverem contas e/ou
problemas sem nenhuma conexão situacional.
Um aspecto importante no ensino é que os alunos estejam interessados em aprender e
a participar das aulas, para isso, a História da Matemática pode servir como meio de
instigação para os alunos que sentem dificuldades ou não gostam da componente curricular,
pois de acordo com Santos e Sousa (2020) esta tendência precisa estar presente nas aulas de
matemática, pois possui caráter estimulador. Entendemos então, que os alunos por estarem
estimulados, terão interesse pelo assunto trabalhado em sala e assim compreenderão melhor
os seus conceitos.
É importante salientar que ao trazer a História da Matemática para sala de aula, não
despertará em todos os alunos o interesse pela componente curricular, nem garantirá que eles
irão gostar da tendência e de acordo com esta afirmação, Miguel e Miorim (2004) mencionam
que se a história tivesse capacidade para ser motivadora, o ensino de história nas escolas teria
um caráter automotivador, algo que é desmentido pelos docentes dessa área de conhecimento,
pois percebem que parte dos alunos não demonstram um certo tipo de interesse nas aulas
desta componente curricular. Então, é possível notar que esta proposta de ensino, assim como
as demais, possuem visões contraditórias quanto a sua inserção em sala.
Um impasse que existe ao utilizar a História nas aulas é com relação a trazê-la de
modo distorcido, pois essas deturpações de acordo com Sequeira e Leite (1988, p. 32) “[...]
podem contribuir para a falsificação da História da Ciência bem como para uma incorreta
imagem da ciência, do conhecimento científico e dos cientistas”. Entendemos que isso
acontece geralmente quando a História das Ciências, em especial a da Matemática, é muitas
vezes transmitida pelos professores ou estão presentes nos livros de um modo que valoriza
demasiadamente determinados cientistas e passam uma falsa impressão de que as ciências e
também a matemática são um tipo de conhecimento que não está ao alcance de todos. Quem
reforça esse pensamento é Forato (2009) e Hidalgo et al. (2018) que mencionam que a
valorização excessiva de certos cientistas contribui para disseminação da ideia de que a
matemática é acessível apenas para um grupo restrito de pessoas.

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Outro impasse é a realidade das escolas possuírem um conteúdo programático repleto
de assuntos. Segundo Sequeira e Leite (1988) os professores tendem a não empregar
propostas de ensino que se diferenciam das rotineiras, porque elas iriam demandar mais
tempo e seria inviável sua inserção nas aulas por existir diversos conteúdos ao longo do ano
letivo. Concordando com o autor, a componente curricular Matemática possui uma ementa
robusta e devido a isso alguns docentes sentem dificuldades em trazer a História da
Matemática para as suas aulas.
Através da pesquisa, da análise e da compreensão das vantagens e desvantagens que a
utilização da História da Matemática proporciona ao ensino da componente curricular e
percebendo que as características otimistas associadas a esta tendência superam as suas
limitações, foi então pensado em elaborar e apresentar uma proposta que auxiliasse os alunos
na compreensão do conteúdo de Trigonometria, relacionando os conceitos de um determinado
tópico com o seu processo histórico. Diante disso, foi então idealizada a elaboração de
Narrativas Históricas Ilustrativas para o conteúdo de Trigonometria com o intuito de serem
incorporadas no momento inicial de um conceito matemático.
A importância das narrativas históricas ilustrativas
Uma das diversas maneiras de utilizar a História da Matemática em sala de aula é no
momento da introdução de determinado assunto e muitos livros didáticos de Matemática
apresentam no início de alguns capítulos ou ao longo dos mesmos, fatos históricos e até
mesmo aplicações que estão relacionados com o conteúdo em questão, mas na maioria das
vezes é de maneira superficial e esta ideia é confirmada por Lindegger (2000, p. 74):
Quanto aos aspectos históricos, observamos que, de maneira geral, para se
colocarem numa posição mais atualizada, em acordo com a Educação
Matemática, os autores introduzem, no livro didático, citações de fatos
históricos, até mesmo pequena referência à biografia de algum matemático,
mas desvinculado do conteúdo que continua inalterado a várias edições. Ou
seja, não há uma postura do autor em relacionar história e conteúdo.

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Mediante a esse impasse, é necessário trazer os aspectos históricos de uma maneira
que esteja relacionado com o conteúdo e que ajude a compreender o mesmo, para isso foi
escolhido as Narrativas Históricas Ilustrativas.
Antes de apresentar as relevâncias das Narrativas Históricas para o ensino, é
necessário buscar uma definição de alguns autores acerca do tema, para isso, o autor White
(2001) define como: "[...] ficções verbais cujos conteúdos são tanto inventados quanto
descobertos e cujas formas têm mais em comum com seus equivalentes na literatura do que
com os seus correspondentes nas ciências" (WHITE, 2001, p. 98). Discordando do autor, as
Narrativas Históricas não se resumem a invenções ou fingimentos, mas a intenção neste artigo
é trazê-las de um modo a reproduzir de maneira fidedigna, por meio de um modelo próprio,
aspectos históricos de um determinado conteúdo com o intuito de auxiliar na compreensão do
mesmo.
Um pensamento diferente de White e mais próximo da proposta deste trabalho é o de
Barros (2011) que baseado nas relações entre a filosofia de Paul Ricoeur
1
e a história
menciona que o processo de construção das Narrativas Históricas não se baseia em reproduzir
cópias dos acontecimentos passados, mas ela está fundamentada em informações confiáveis
dos mesmos. Em concordância com o autor, as narrações não têm o intuito de mencionar cada
detalhe de determinado evento como se o narrador tivesse presenciado, no entanto, a pessoa
que está elaborando seu modelo próprio de narrativa, consegue este feito, através da análise
dos dados disponíveis (textos, documentos, outras narrativas). White (2001) também ressalta
o fato de não ter certeza das singularidades dos acontecimentos históricos, pois os
historiadores são alheios aos mesmos.
Ao falar de narração na perspectiva histórica, o que muitos podem pensar é que
simplesmente vão ser contados fatos do passado, porém Moscateli (2006) contradiz esse
argumento mencionando que: as narrativas históricas são construídas com base em fatos, mas
não se resumem a uma descrição superficial desses fatos, porém é necessário que os fatos
estejam bem fundamentados. Entendemos que não devemos nos ater somente ao fato em si,
mas, aos materiais históricos, as fontes que o cercam, tornando-se assim fatos históricos
autônomos e fiéis ao que se pretende pesquisar. Em consonância com este ponto de vista,
1
Paul Ricoeur (1913-2005) foi um filósofo francês e uma das suas obras é Tempo e Narrativa 1983-5 que é uma
referência quando se trata de elaboração de narrativas de cunho histórico. (BARROS, 2011).

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Barros (2011) afirma que: “A narrativa é sempre constituída de uma trama que constitui seus
diversos episódios e, além de ligá-los entre si, os coloca em relação com o enredo mais
amplo, daí resultando uma totalidade significativa” (BARROS, 2001, p. 6-7).
Ambos os autores têm visões correlacionadas que acabam se complementando, pois
entendem que as Narrativas Históricas é mais do que fazer relatos de modo informativo do
que aconteceu ou trazer os fatos de maneira desconexa, todavia, é necessário fazer um estudo
cuidadoso a fim de trazer os aspectos mais importantes de determinado assunto, assim como
conseguir fazer associação entre os mesmos, pois a Narrativa Histórica “[...] precisa ser
entretecida por diversos fios que são vários destinos individuais, e acomodá-los em diversos
episódios, que, destarte, não poderão estar isolados e desconectados” (BARROS, 2001, p. 13).
Segundo Moscateli (2006) a história a algum tempo é bastante considerada na
perspectiva de narrativa, porém ultimamente existe uma preocupação de realizar alguns
estudos que pretendem distingui-la das narrativas de gênero literário. Corroborando com o
autor, em contraste com as Narrativas Históricas, as Narrativas Literárias por sua vez não
precisam estar relacionadas com a realidade, pois não tem objetivo de reproduzir ou
reconstruir os fatos ocorridos, mas se baseiam em ficções e de um certo modo divertem o
leitor. Em concordância com o próprio Moscateli (2006) a literatura tem essa finalidade de
entretenimento ao seu público-alvo.
Conhecendo então os aspectos importantes desses dois tipos de narrativas, o
importante é que tais textos propiciem o leitor de elaborar suas próprias opiniões e crenças
acerca do assunto tratado, pois de acordo com Barros (2011) as narrativas apesar de serem
construídas de maneira fidedigna pelo historiador, também cabe ao leitor criar suas próprias
visões a respeito do que está sendo lido. Em outros termos, compreendemos que o mais
aconselhável é que os textos não estejam suscetíveis a apenas uma interpretação, a fim de não
estarem fadados a fatos conhecidos, no entanto, possibilitar que o leitor adquira um
entendimento mais profundo daquele tema e uma das maneiras de incentivar o leitor a refletir
sobre o mesmo é através de questionamentos plausíveis.
Um dos cuidados que se deve tomar ao elaborar uma Narrativa Histórica é a respeito
da distorção dos fatos históricos, pois segundo Forato (2009) apesar da presença da história da
ciência ser importante no ensino é necessário evitar as distorções causadas por análises
anacrônicas dos acontecimentos. Essas distorções surgem quando examinamos relatos do

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passado, de acordo com o que sabemos atualmente, pois “De acordo com a visão anacrónica,
a ciência do passado devia ser estudada à luz do conhecimento que temos hoje” (KRAGH,
2003, p. 99).
Para se ter uma compreensão da dimensão do erro causado ao discorrer os fatos de
modo anacrônico, Forato (2009, p. 20) faz a seguinte reflexão:
Pontos de vista anacrônicos de qualquer fato ou de episódios da história da
ciência interpretam e julgam os acontecimentos históricos de um período
com valores, ideias e crenças de outra época, ou seja, avaliam o passado de
modo preconceituoso, selecionando e enaltecendo conceitos e teorias
“similares” aos aceitos no presente. Olhar para o passado com os olhos do
presente pode vir tanto de ações ingênuas decorrentes de desconhecimento
historiográfico ou de ações que buscam atingir determinados propósitos.
Ciente das consequências causadas pelos anacronismos presentes em um relato
histórico, é essencial agora evitá-los e para isto, é necessário obter informações históricas por
meio de fontes confiáveis, desconsiderando os conceitos e elementos do presente ou de uma
época distinta do período analisado, ou seja, devemos utilizar os princípios diacrônicos no
processo de construção das Narrativas Históricas. De acordo com esta estratégia, Kragh
(2003, p. 100) reforça:
O ideal diacrónico consiste em estudar a ciência do passado à luz da situação
e das opiniões que verdadeiramente existiam no passado por outras palavras,
não considerar quaisquer ocorrências posteriores que não podiam ter tido
influência no período em questão.
As Narrativas Históricas que serão elaboradas neste trabalho, evidentemente serão
edificadas por meio de textos verbais, porém, com o intuito de reforçar a parte escrita, vão ser
inseridas ilustrações (imagens) relacionadas ao tópico em questão. A presença das ilustrações
nas narrativas é bastante importante pois de acordo com Litz (2009), no momento em que
uma pessoa, em especial um aluno, vê uma imagem, ela estabelece relações com conceitos
que ela já possuía. Corroborando com a ideia da autora, as ilustrações podem auxiliar na
compreensão de um texto que é composto por escrita de forma majoritária.
O recrudescimento da presença de ilustrações, sobretudo no âmbito escolar, reforça a
importância desse elemento como apoio a um entendimento de determinado conceito. A

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leitura e a interpretação dessas ilustrações são essenciais, pois de acordo com Litz (2009) é
preciso que as pessoas compreendam melhor as ilustrações, porque atualmente esse recurso
está sendo muito utilizado como meio explicativo ou informativo.
Apesar de ser bastante interessante a utilização de ilustrações em apoio a um texto
escrito, Litz (2009) chama atenção que o uso dessa ferramenta de ensino não deve ser feito de
qualquer maneira, mas é importante fazer uma análise se a ilustração vai de fato auxiliar a
compreensão daquele conteúdo. Complementando esse argumento da autora, é essencial que:
as ilustrações utilizadas no ensino de História auxiliem o entendimento da componente
curricular, História, assim como a compreensão do conteúdo estudado em sala ajude no
discernimento da mensagem que a ilustração pretende transmitir (PALHARES, 2012). Ou
seja, entendemos que é fundamental que as ilustrações escolhidas contemplem o sentido que
se pretende transmitir para quem for fazer sua “leitura”.
Contudo, acredita-se que a partir desses aspectos importantes que as Narrativas
Históricas e que as ilustrações possuem no entendimento de certo assunto, que será analisado
quais parâmetros serão utilizados na construção das narrativas, por fim, serão elaborados
modelos próprios de Narrativas Históricas Ilustrativas referente aos tópicos concernentes ao
conteúdo de Trigonometria.
Proposta e exemplos de modelos de narrativas para o ensino de trigonometria
A proposta de elaboração das Narrativas Históricas Ilustrativas com os conteúdos de
Trigonometria vai ser baseada na visão de diversos autores acerca das temáticas, a saber:
Bianchi (2006) e Pereira (2016) a respeito das investigações e adoção das estratégias didáticas
que serão utilizadas; Barros (2011), Moscateli (2006) e White (2001) trazendo aspectos
importantes das Narrativas de um modo geral; Hidalgo et al. (2018), Kragh (2003), Forato
(2009) e Sequeira e Leite (1988) em relação a não construir relatos anacrônicos de qualquer
tipo; e finalmente, Litz (2009) e Palhares (2012) reforçando a importância de conter imagens
que auxiliem o leitor na compreensão de determinado assunto de um modo mais animado e
que lhe ajude a refletir e fazer associações com fatos do cotidiano.
Dentro das propostas relacionadas a adoção de estratégias didáticas ao utilizar a
História da Matemática na estruturação das narrativas, iremos nos basear em todas as quatro

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existentes: “estratégia didática” que segundo Bianchi (2006) e Pereira (2016) contribui para
aprendizagem de algum conceito referente a própria componente curricular; “elucidação dos
porquês” que de acordo com Pereira (2016) ajuda a entender os motivos que contribuíram
para o desenvolvimento de certo conteúdo matemático, assim como também detalhes da sua
origem; “elucidação do para que?” o qual é explicado por Pereira (2016) como a explanação
das utilidades do assunto matemático em questão, de maneira interdisciplinar e
intradisciplinar e por fim, “formação cultural geral” que em concordância com as autoras
Pereira (2016) e Bianchi (2006) são a única estratégia didática que não tem como objetivo
desenvolver conhecimentos e habilidades relacionados com a Matemática, mas ajuda o aluno
a ter compreensão mais geral do assunto que está sendo estudado.
Então, a ementa das referidas narrativas aqui estruturadas seguirão os seguintes
quesitos: Relatos históricos através de um modelo próprio baseado em fontes confiáveis,
conter ilustrações (imagens) atrativas relacionadas ao fato histórico e ao conteúdo, uma
análise diacrônica (evitando assim qualquer tipo de anacronismo), ajudar o leitor a
compreender algum conceito ligado a Matemática, trazer aspectos filosóficos e socioculturais
da época em questão.
Narrativa: O complemento da corda geoTRIgonométrica
Nesta narrativa vamos tentar entender como o conceito referente a uma relação
trigonométrica foi sendo construído ao longo do tempo, assim como suas aplicações, os
motivos que nortearam tal desenvolvimento e os aspectos socioculturais das épocas. Vamos
começar falando sobre os indianos. O território indiano sempre esteve sujeito a invasões de
diversos povos, mas houve um período em que cessaram essas incursões e que houve domínio
unificado na parte setentrional da Índia pelos próprios nativos na era Gupta. Essa época ficou
conhecida como “A Era de Ouro da Índia”, que de acordo com Eves (2011) contou com um
bom desenvolvimento das atividades intelectuais relacionadas a literatura, as artes, a filosofia
e às ciências (em especial a Matemática como ferramenta para a astronomia).

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Figura 1: Ariabata ([20--?])
Nesse período conhecido como Império Gupta viveu um estudioso chamado Ariabata
(476 – 550), como mostra a Figura 1, que foi um astrônomo e matemático indiano. Ele estava
interessado principalmente em astronomia e utilizava a meia corda nos seus estudos. Além da
tabela construída por ele conter os valores da meia corda que é representado na Figura 2 pelo
segmento “t”, também continha os valores dos segmentos de “m” e “s”, com valores de
ângulos de 3,75º a 90º, de 3,75º em 3,75º. Como já vimos, a meia corda que é o segmento “t”
representado na Figura 2 é o seno do ângulo α, quando o raio é unitário e com a mesma
condição os segmentos “m” e “s” são respectivamente, o cosseno do ângulo α e o verseno do
ângulo α. Mas foram termos que surgiram em tempos posteriores.
Figura 2: Estudo de Ariabata sobre as meias cordas (ELABORAÇÃO PRÓPRIA, 2022)
Dando um salto de quase um milênio, o século XV foi uma época marcada pela
intensificação das navegações (Figura 3), principalmente pelos ingleses, pelos franceses e

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pelos povos da atual Península Ibérica, espanhóis e portugueses. De acordo com Eves (2011),
estas nações europeias iniciaram atividades comerciais com os povos asiáticos, porém tais
transações financeiras não estavam sendo muito lucrativas, pois havia um grande monopólio
dos mercadores italianos sobre os produtos que eram transportados pelo mar mediterrâneo e
isto devido ao fato de possuírem uma localização geográfica estratégica e oportuna, fazendo
com que eles tivessem controle na região. Então é notável que as motivações das navegações
eram de natureza econômica ligada ao comércio, além disso, a realização de atividades de
cunhos expansionistas, tais como, a amplificação dos seus territórios e a exploração das terras
conquistadas.
Figura 3: Embarcações na Era das Navegações ([20--?])
Devido a essa necessidade de buscar novas rotas comerciais com o objetivo de se
aventurarem por elas, houve a precisão de desenvolver bons mapas e mais completos do que o
da Figura 4, para que essas navegações fossem possíveis e bem-sucedidas, sobre isso Boyer
(2012, p. 209) afirma:
As explorações geográficas tinham ampliado os horizontes e criado uma
necessidade de melhores mapas, mas nisso o escolasticismo e o humanismo
eram de pouca ajuda, pois as novas descobertas tinham tornado obsoletos os
mapas antigos e medievais.
Por isso houve o desenvolvimento da cartografia nesse período, que por sua vez
necessitava dos conceitos de Trigonometria e de Astronomia.

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Figura 4: Mapa Mundi século XV ([20--?])
Das quatro nações citadas anteriormente, vamos nos concentrar nos ingleses, pois os
nomes mais relacionados com o foco desta narrativa são cidadãos ingleses. Dentre as diversas
pessoas que trabalhavam em prol do desenvolvimento da ciência das navegações, podemos
destacar dois deles, William Oughtred (1574 - 1660), presente na Figura 5, que foi um
matemático inglês e Edmund Gunter (1581 - 1626) que foi um matemático, geômetra e
astrônomo inglês.
Figura 5: William Oughtred ([20--?])
Esses dois matemáticos são responsáveis pelas construções das primeiras réguas de
cálculo, como mostra a Figura 6, que era um instrumento baseado em escalas logarítmicas
sobrepostas que eram essenciais para facilitar os cálculos que apareciam naquela época,
sobretudo os de Trigonometria. Para Gunter também é atribuído a invenção e o
aperfeiçoamento de alguns instrumentos que eram utilizados em agrimensura e navegação.

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Figura 6: Cursor de uma Régua de Cálculo ([20--?])
A palavra “seno” como já vimos surgiu através de uma tradução errônea devido a um
equívoco na interpretação por conta de duas palavras escritas de maneiras iguais, mas
segundo Eves (2011) as palavras referentes às outras cinco relações trigonométricas surgiram
a partir da palavra “seno” e da sua interpretação geométrica por meio de sua definição atual,
como é o caso do “cosseno” ou “co-seno” que significa o complemento do seno. É creditado a
Edmund Gunter (1581 - 1626) a utilização pela primeira vez da palavra “cosseno” em uma de
suas obras.
Notamos que a utilização primordial do conceito de cosseno surgiu na Índia, com as
tabelas dos complementos das meias cordas elaboradas pelo Ariabata e que mais tarde, na era
das navegações, as relações trigonométricas, incluindo o cosseno, foram uma das ferramentas
essenciais para o desenvolvimento da cartografia, tornando as navegações mais eficientes e
por fim com o Gunter temos a invenção da sua grafia.
Narrativa: O Seqt não trigonométrico
Nesta narrativa vamos tentar entender como o conceito referente a uma relação
trigonométrica foi sendo construído ao longo do tempo, assim como suas aplicações, os
motivos que nortearam tal desenvolvimento e os aspectos socioculturais das épocas. Vamos
começar falando sobre uma civilização muito antiga que está situada no norte do continente
africano. O Egito é uma civilização que se desenvolveu às margens do Rio Nilo, na região que
é conhecida como crescente fértil e por muito tempo foi uma notável sociedade. As suas
principais atividades estavam ligadas a agricultura, a agrimensura, a astronomia, a engenharia

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e para o desenvolvimento de tais atividades era necessário que eles utilizassem a Matemática
e seus conceitos.
Figura 7: Papiro Rhind ([20--?])
Ao analisar os aspectos relacionados ao saber matemático da antiga civilização do
Egito, percebe-se que estas eram mais voltadas para a resolução de suas necessidades práticas.
O que sabemos da Matemática dos egípcios é por meio do registro de problemas matemáticos
em dois documentos, escritos em forma hierática por meio de um material denominado
papiro. O primeiro é conhecido como Papiro de Moscou ou Papiro Golenischev, que de
acordo com Eves (2011), recebe estes nomes por estar no Museu de Belas-Artes de Moscou e
em homenagem ao colecionador Vladimir Golenischev que o comprou no Egito em 1893. O
segundo é conhecido como Papiro de Rhind ou Papiro de Ahmes, como mostra a Figura 7,
que de acordo com o Boyer (2012), recebe estes nomes em homenagem ao arqueólogo
escocês, Henry Rhind, que o comprou em 1858 na cidade de Luxor e porque em torno de
1650 a.C. foi copiado por um escriba chamado Ahmes.
As pirâmides do Egito (Figura 8), uma famosa e notável construção desse povo, foram
construídas de acordo com alguns conceitos geométricos. Apesar de ser bastante apreciada
pelo carácter ligado à Matemática e à Engenharia, as pirâmides tinham uma finalidade
associada ao viés religioso dos egípcios, servindo de túmulos para pessoas importantes, como
é o caso dos Faraós. Eves (2011, p. 67-68) detalha melhor os objetivos dessas edificações:
A Grande Pirâmide é a maior das três pirâmides situadas no deserto, em
Gizé, nas proximidades da atual Cairo. Essas imensas estruturas foram
construídas como túmulos reais. Os egípcios acreditavam numa vida após a
morte que dependia da conservação do corpo morto. Embalsamavam-se

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então os corpos, e os objetos e valores do dia a dia eram colocados no
túmulo para uso após a morte. A Grande Pirâmide (originalmente, perto de
481 pés de altura) foi construída para abrigar o corpo do faraó Khufu
(Quéops). As duas outras menores, em Gizé, foram construídas como
túmulos de Khafre (Quéfren) e Menkaure (Miquerinos), os sucessores
imediatos de Khufu. Ainda há perto de 80 pirâmides no Egito. A Grande
Pirâmide tornou-se conhecida como uma das Sete Maravilhas do Mundo
Antigo.
Figura 8: Construção das Pirâmides do Egito ([20--?])
O problema 56 do Papiro de Rhind é referente à relação entre os elementos de uma
pirâmide de base quadrada. Segundo Boyer (2012, p. 36) “Na construção de pirâmides era
essencial manter uma inclinação constante das faces e pode ter sido essa preocupação a levar
os egípcios a introduzir um conceito equivalente ao de cotangente de um ângulo”. Esse era o
conceito denominado “seqt” que era o valor da razão entre o afastamento horizontal e a
elevação vertical (atualmente, seria a razão entre metade do lado da base e a altura da
pirâmide).
O termo “trigonometria” não existia nessa época, surgiu em tempos posteriores e o
conceito de ângulo, um dos principais na trigonometria, era algo que não era conhecido pelos
egípcios ou que pelo menos não se tem registros desse entendimento, então seria errôneo
afirmar que o conceito de seqt, ilustrado na Figura 9, era a cotangente do ângulo de inclinação
da face lateral da pirâmide. Mas é notável que eles já tinham um conhecimento referente às

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razões dos lados de um triângulo com relação a sua inclinação, mas desprovido do conceito de
ângulo.
Figura 9: Seqt Egípcio (ELABORAÇÃO PRÓPRIA, 2022)
É desconhecido a origem da relação trigonométrica, cotangente, mas o que tudo indica
é que os árabes do século X foram os primeiros a fazerem o uso das seis funções
trigonométricas, incluindo a cotangente. De acordo com Boyer (2012), um nome árabe que
podemos destacar e que viveu nessa época é o Abu’l Wafa, como mostra a Figura 10, que foi
um matemático, astrônomo e que utilizou as seis funções trigonométricas em seus estudos.
Vale salientar que a origem da palavra “cotangente” é apenas do século XVII.
Figura 10: Mohammad Abu'l-Wafa Al-Buzjani (ANDREAS STRICK, [19--?])

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Edmund Gunter (1581 - 1626) foi um matemático, geômetra e astrônomo inglês. É
atribuído ao Gunter a utilização do termo “cosseno” pela primeira vez, além disso, também é
creditado a ele a invenção do termo “cotangente”. Segundo Eves (2011) o significado do
termo “cotangente” ou “co-tangente” como o complemento da “tangente” fica evidente
através da sua interpretação geométrica e por meio de sua definição atual.
Ao analisarmos possíveis rudimentos da relação trigonométrica, cotangente,
percebemos a necessidade de realizar uma boa reflexão a respeito dos conceitos que existiam
e dos que não existiam na época para concluir que o seqt utilizado pelos antigos egípcios
apesar de se assemelhar com a cotangente, não eram a mesma coisa, por conta do
desconhecimento do conceito de ângulo na época. Só depois, com a noção de ângulo que a
cotangente de fato foi utilizada com os árabes e por fim com o Gunter temos a invenção da
sua grafia.
Considerações finais
O presente trabalho teve como objetivo mostrar as potencialidades pedagógicas da
História da Matemática ao ser utilizada em sala de aula, fugindo um pouco do tradicionalismo
do ensino que é muito comum nas aulas de Matemática. Diante das pesquisas realizadas com
relação ao aporte teórico da História da Matemática nas aulas da componente curricular e
percebendo que a utilização desta metodologia em sala de aula traz mais benefícios do que
impasses para o processo de ensino e aprendizagem, que escolhemos a realização das
Narrativas Históricas Ilustrativas como um recurso a fim de colocar em prática o uso desta
tendência da Educação Matemática. Com relação a temática, foi escolhido o assunto de
Trigonometria, que segundo as análises e pesquisas, é um conteúdo que é de difícil
compreensão por parte dos alunos, por ser altamente complexo.
Mediante a esse impasse, os modelos próprios de Narrativas Históricas Ilustrativas
propostos neste trabalho têm o intuito de possibilitar que os docentes possuam um material
que irá auxiliar suas aulas, esperando que elas se tornem mais interessantes, dinâmicas e
contextualizadas. Esse material produzido pode estar presente nas aulas na forma que o
professor considerar mais importante, podendo ser no momento que se inicia o assunto de

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Trigonometria, ou no momento que é introduzido um tópico do conteúdo, ou até mesmo ao
longo da unidade que está sendo trabalhada a temática.
Apesar de apresentar esses modelos próprios de Narrativas Históricas Ilustrativas, o
único objetivo não é que o professor aplique-os de fato, mas também trabalhar com a leitura,
com a diversidade dos conhecimentos, com as ideias do estilo e coletivo de pensamento
proporcionando assim, uma nova percepção sobre suas aulas, podendo também criar seus
modelos próprios e até mesmo pensar em novas ideias de utilizar a História da Matemática
e/ou outras tendências em Educação Matemática com o intuito de diversificar as aulas,
almejando o melhoramento da aprendizagem dos alunos.
Ao construir essas narrativas históricas ilustrativas, observamos a necessidade plena da
presença de alguns elementos constituintes, tais como: influências sociais, culturais, políticas
e econômicas que justifiquem o comportamento daqueles indivíduos em busca do
entendimento e solução daquele determinado problema, além de não conter nenhum tipo de
anacronismo. Atentar-se à trajetória do conhecimento permite-nos perceber que o processo
criatório e decisório é inerente aos processos humanos. Essa lide em contextualizar e
humanizar o processo de construção da Matemática desenvolve no aluno um sentimento de
pertencimento e de aproximação com a componente curricular, que outrora era vista, por
muitos, como inalcançável.
Por tudo isso, seja por meio de uma proposta utilizando a História da Matemática, seja
através de outra tendência em Educação Matemática ou até mesmo através de um outro
recurso didático, o professor pode e deve se esforçar para garantir que suas aulas não estejam
apenas apoiadas nos moldes tradicionais, mas que auxiliem seus alunos a terem um ensino
mais qualificado, mais reflexivo, mais motivador e mais verossímil frente ao seu cotidiano
correlato associado.
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