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Valuaciones de complejidad: un marco sem´antico general para
lenguajes proposicionales
Juan Pablo Jorge1,3,Hern´
an V´
azquez 2yFederico Holik4
September 7, 2023
1- Facultad de Filosof´ıa y Letras, Universidad de Buenos Aires, CABA (1406), Argentina; jorgejpablo@gmail.com
2-Departamento de Computaci´on, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires, Argentina;
vazquez.hernan.luis@gmail.com
3- Instituto de Filosof´ıa, Universidad Austral, Pilar (1629), Argentina.
4- Instituto de F´ısica La Plata, La Plata (1900), Buenos Aires, Argentina; olentiev2@gmail.com
Resumen
Se presenta un marco matem´atico general, basado en particiones numerables de los n´umeros naturales
[
1
], que permite brindar una sem´antica a lenguajes proposicionales. El mismo tiene la particularidad de
permitir que tanto las valuaciones como los conjuntos de interpretaci´on para los conectivos discriminen
complejidad de las f´ormulas. Esto permite que se puedan emplear distintos criterios de adecuaci´on para valuar
f´ormulas asociadas con un mismo conectivos, pero que difieran en su complejidad. El m´etodo presentado
puede adaptarse a un n´umero arbitrario de conectivos y valores de verdad, por lo cual puede ser considerado
un marco general para brindar una sem´antica a varios de los sistemas l´ogicos conocidos (por ejemplo, LC,
L3
LP, FDE). La sem´antica presentada permite converger a diferentes sem´anticas est´andar si se anula el
procedimiento de separaci´on por complejidad. Por lo tanto, puede ser entendido como un marco que permite
mayor precisi´on (en t´erminos de complejidad) con respecto a la satisfacci´on de f´ormulas. Naturalmente,
por c´omo es construido, puede ser incorporado en sem´anticas no deterministas. El procedimiento efectivo
presentado permite tambi´en generar valuaciones que otorgan un valor de verdad diferente a cada f´ormula del
lenguaje proposicional. Como efecto colateral positivo, nuestro m´etodo permite una prueba constructiva de
la equipotencia entre NyNnpara todo nnatural.
Palabras clave
: Particiones Doblemente Numerables, Conjuntos de interpretaci´on, Complejidad, sem´anticas
no deterministas, Adecuaci´on.
Abstract
A general mathematical framework is presented, based on countable partitions of Natural Numbers,is presented
[
1
], that allows to provide a Semantics to propositional languages. It has the particularity of allowing both
the valuations and the interpretation Sets for the connectives to discriminate complexity of the formulas. This
allows different adequacy criteria to be used to assess formulas associated with the same connective, but that
differ in their complexity. The presented method can be adapted potentially infinite number of connectives
and truth values, therefore, it can be considered a general framework to provide semantics to several of the
known logic systems (eg, LC, L3 LP, FDE). The presented semantics allow to converge to different standard
semantics if the separation complexity procedure is annulled. Therefore, it can be understood as a framework
that allows greater precision (in complexity terms) with respect to formula satisfaction. Naturally, because of
how it is built, it can be incorporated into non-deterministic semantics. The presented procedure also allows
generating valuations that grant a different truth value to each formula of propositional language. As a pos-
itive side effect, our method allows a constructive proof of the equipotence between
N
and
Nn
for all Natural
n
.
1
1 INTRODUCCI ´
ON
Keywords
: Doubly Countable Partitions, Interpretation function, Complexity, Non-deterministics Seman-
tics, Adequacy.
1 Introducci´on
Comenzaremos recordando algunos conceptos b´asicos que ser´an fundamentales para comprender el desarrollo
del trabajo. Como el mismo se puede vincular (entre otros) con las sem´anticas no deterministas de Nmatrices,
en la primera secci´on, daremos una muy breve introducci´on al tema. Tambi´en explicitaremos lo que significa
tener conectivos y valuaciones funcionales. Como la l´ınea argumentativa de todo el trabajo est´a muy vinculada
con el concepto de complejidad de un f´ormula bien formada del lenguaje (
fbf
), recordaremos tambi´en algunas
cuestiones b´asicas asociadas al mismo. En la secci´on 2, presentamos el m´etodo efectivo que genera particiones
especiales de los Naturales, las llamadas particiones doblemente numerables (PDN). Nuestra exposici´on
es un resumen de las ideas principales, presentadas en [
1
], necesarias para el desarrollo del art´ıculo. La
sem´antica utilizada en nuestra presentaci´on depende fuertemente de las PDN generadas. En 2.2 mostramos
el algoritmo que permite generar PDN para cualquier base mayor que 1. Las valuaciones son vinculadas
estrictamente con estas particiones especiales en la secci´on 3. Una vez presentada la sem´antica, mostramos
algunas caracter´ısticas que tiene los conjuntos de interpretaci´on para los conectivos y brindamos criterios de
adecuaci´on adaptados en la secci´on 4. En la secci´on 5 mostramos c´omo se aplica nuestro formalismo para los
sistemas
L3
, LP y FDE. Seguir estudiando nuevos campos de aplicaci´on ser´a trabajo de futuros trabajos.
Finalmente, en la ´ultima secci´on extraemos algunas conclusiones de nuestro art´ıculo.
1.1
Complejidad de una f´ormula, conectivos funcionales y relaciones de conse-
cuencia
Comenzaremos esta parte recordando algunas definiciones b´asicas.
Definici´on 1.1. Se define el conjunto
F rmL
de las f´ormulas bien formadas de un lenguaje proposicional
L
dando [2]
1. Los s´ımbolos:
•S´ımbolos de variables proposicionales: p1, p2, ..., pn, ... (consideradas numerables).
•
S´ımbolos de conectivos: (
⊙i
)
i∈I
, donde a cada
⊙i
le corresponde un
n
natural, que es su aridad:
0-arios o constantes, unarios, binarios, . . .
•S´ımbolos de puntuaci´on: (, ).
2. Las reglas de formaci´on:
•Cada pies una f´ormula, para i= 1,2, ...
•
Si
A1, A2, ..., An
son f´ormulas y
⊙
es un conectivo
n
-ario, entonces
⊙
(
A1, A2, ..., An
) es una f´ormula.
Si ⊙es binario, escribiremos A1⊙A2en lugar de ⊙(A1, A2).
•
Una cadena de s´ımbolos es una f´ormula si y s´olo si se obtiene de los anteriores dos ´ıtems en
un n´umero finito de pasos. La definici´on anterior nos da la sintaxis del lenguaje del c´alculo
proposicional.
Definici´on 1.2. Complejidad de una f´ormula.
Definimos la complejidad de una f´ormula bien formada de nuestro lenguaje como su cantidad de conectivos,
es decir:
•Si Aes una f´ormula at´omica, compl(A) = 0.
•compl(¬A) = compl(A) + 1.
•compl(A⊙B) = compl(A) + compl(B) + 1.
2
1 INTRODUCCI ´
ON 1.2 Sem´anticas no deterministas
Donde
⊙
denota cualquiera de los conectivos binarios de nuestro lenguaje. Si lleg´aramos a trabajar con
conectivos de aridad nmayor que 2, entonces compl(⊙(A1, ..., An)) = compl(A1) + ... +compl(An) + 1.
En 1.2.1 definiremos las matrices deterministas y las valuaciones funcionales. Pero la veritativo funcionali-
dad puede ser definida tambi´en para los conectivos de un lenguaje. Puede probarse que, bajo condiciones muy
generales (que involucran , por ejemplo, clausura bajo subf´ormulas), pedir funcionalidad de las valuaciones es
equivalente a pedir veritativo funcionalidad de los conectivos. Comencemos definiendo veritativo funcionalidad
para los conectivos de nuestro lenguaje.
Sea Tel conjunto de valuaciones (o mapas) t:Sent(L)→V(ver [3]).
Definici´on 1.3. Decimos que
T
respeta veritativo funcionalidad de la negaci´on si, para todo
t, t′∈T
y
cualesquiera ϕ,ϕ′∈Sent(L),
t(ϕ) = t′(ϕ′)⇒t(¬ϕ) = t′(¬ϕ′).
Definici´on 1.4. Decimos que Trespeta veritativo funcionalidad de la conjunci´on si
∀t, t′∈T, ∀ϕ, ϕ′, ψ, ψ′∈Sent(L) (t(ϕ) = t′(ϕ′) y t(ψ) = t′(ψ′)
=⇒t(ϕ∧ψ) = t′(ϕ′∧ψ′)).
Definici´on 1.5. Decimos que Trespeta veritativo funcionalidad de la disyunci´on si
∀t, t′∈T, ∀ϕ, ϕ′, ψ, ψ′∈Sent(L) (t(ϕ) = t′(ϕ′) y t(ψ) = t′(ψ′)
=⇒t(ϕ∨ψ) = t′(ϕ′∨ψ′)).
Daremos ahora dos definiciones acerca de consecuencia l´ogica.
Definici´on 1.6. Consecuencia l´ogica pura.
Sea
S⊂V
un subconjunto propio del conjunto de valores de verdad. Decimos que los conjuntos Γ y ∆ est´an
conectados por una relaci´on de consecuencia l´ogica pura, Γ
|
=
P
∆, si y s´olo si para cada valuaci´on
v
y cada
f´ormula γ∈Γ, si v(γ)∈S, entonces existe δ∈∆, tal que v(δ)∈S.
Definici´on 1.7. Consecuencia l´ogica mixta.
Sean
S1⊆V
y
S2⊆V
subconjuntos de valores de verdad. Una relaci´on de consecuencia l´ogica entre los
conjuntos de f´ormulas Γ y ∆ ser´a mixta, Γ
|
=
M
∆, si y s´olo si para cada valuaci´on
v
y cada f´ormula
γ∈
Γ, si
v(γ)∈S1, entonces existe δ∈∆, tal que v(δ)∈S2.
Las relaciones de consecuencia puras pueden ser consideradas un subconjunto propio de las relaciones
mixtas. Para ver m´as detalles y definiciones sobre estas relaciones, recomendamos [
4
,
5
]. Cada una de estas
relaciones pueden pensarse como definiendo un subconjunto de P(F rmL)× P (F r mL).
1.2 Sem´anticas no deterministas
Las matrices multivaluadas no deterministas (Nmatrices) son un campo fruct´ıfero de investigaci´on en r´apida
expansi´on. Fueron introducidas en [
6
,
7
,
8
] y, desde entonces, se han desarrollado r´apidamente como una
teor´ıa l´ogica fundamental encontrando numerosas aplicaciones, que van desde la teor´ıa de aut´omatas, hasta la
mec´anica cu´antica [
9
,
10
], pasando por varias ´areas de la l´ogica, tales como las l´ogicas modales. La novedad
de las Nmatrices consiste en que este formalismo extiende la sem´antica algebraica multivaluada habitual de
los sistemas l´ogicos al importar la idea de c´alculos no deterministas, permitiendo que el valor de verdad de
una f´ormula se elija de forma no determinista a partir de un conjunto dado de opciones. Las Nmatrices han
demostrado ser una herramienta poderosa, cuyo uso conserva todas las ventajas de las matrices ordinarias
multivaluadas, al mismo tiempo que es aplicable a una gama mucho m´as amplia de l´ogicas [
11
]. De hecho,
hay muchas l´ogicas no cl´asicas (proposicionales) que, si bien no tienen matrices caracter´ısticas finitas de
m´ultiples valores, admiten Nmatrices finitas y, por lo tanto, son decidibles.
3
1 INTRODUCCI ´
ON 1.2 Sem´anticas no deterministas
1.2.1 Matrices deterministas
En esta secci´on seguiremos el enfoque presentado en [
11
]. En lo que sigue,
L
es un lenguaje proposicional
y
F rmL
denota al conjunto de f´ormulas bien formadas del lenguaje. Las metavariables
φ
,
ψ
,. . . , recorren
L
-f´ormulas, mientras que Γ, ∆,. . . , se utilizar´an para conjuntos de
L
-f´ormulas. Adem´as, todos los conjuntos
son cl´asicos. El m´etodo general est´andar para definir la l´ogica proposicional se basa en el uso de matrices
deterministas (posiblemente de muchos valores):
Definici´on 1.8. Una matriz para Les una tupla
P=⟨V;D;O⟩
donde
•Ves un conjunto no vac´ıo de valores de verdad.
•D(valores designados) es un conjunto propio no vac´ıo de V.
•Para cada conectivo n-ario ♢de L,Oincluye una funci´on de interpretaci´on e
♢:Vn→V.
Una valuaci´on parcial en
P
es una funci´on
v
, que va de
V
a un subconjunto
W ⊆ F rmL
cerrado bajo
subf´ormulas, tal que para cada conectivo
n
-ario
♢
de
L
y para toda
ψ1, . . . , ψn∈ W
:, se cumple lo siguiente
v(♢(ψ1, . . . , ψn)) = e
♢(v(ψ1), . . . , v(ψn)) (1)
Proposici´on 1.1. Analiticidad. Toda valuaci´on parcial de una matriz
P
para
L
, definida sobre un conjunto
de L-f´ormulas cerrado bajo subf´ormulas, puede ser extendida a una valuaci´on total en P.
Debido a esta propiedad, cualquier matriz finita Pser´a decidible.
1.2.2 Matrices no deterministas (Nmatrices)
Ahora pasamos al caso no determinista. La principal diferencia es que, en oposici´on a las matrices deterministas,
las no deterministas, dados sus valores de verdad de entrada, asignan un conjunto de valores posibles (en
lugar de uno solo valor).
Definici´on 1.9. Una matriz no determinista (Nmatriz) para Les una tupla M=⟨V, D, O⟩, donde:
•Ves un conjunto no vac´ıo de valores de verdad.
•D∈ P(V) (valores de verdad designados) es un subconjunto propio no vac´ıo de V.
•Para cada conectivo n-ario ♢de L,Oincluye la correspondiente funci´on de interpretaci´on
e
♢:Vn→ P(V)\ {∅}
Definici´on 1.10. 1.
Una valuaci´on parcial din´amica en
M
es una funci´on
v
sobre un conjunto cerrado
bajo subf´ormulas
W ⊆ F r mL
a
V
, tal que para cada conectivo
n
-ario
♢
de
L
y para toda
ψ1, ..., ψn∈ W
se cumple lo siguiente:
v(♢(ψ1, ..., ψn)) ∈e
♢(v(ψ1), ..., v(ψn))
Una valuaci´on parcial en Mes llamada valuaci´on (total) si su dominio es F rmL.
2.
Una valuaci´on (parcial) est´atica en
M
es una valuaci´on (parcial) din´amica que satisface adem´as el
siguiente principio de composicionalidad (o funcionalidad) (definido en alg´un
W ⊆ F r mL
): para
cada conectivo
n
-ario
♢
de
L
y para cada
ψ1, . . . , ψn, φ1, . . . , φn∈ W
, si
v
(
ψi
) =
v
(
φi
) (
i
= 1
, . . . , n
),
entonces
v(♢(ψ1, . . . , ψn)) = v(♢(φ1, . . . , φn))
4
2 PARTICIONES DE LOS NATURALES
Es importante se˜nalar que las matrices cl´asicas (deterministas) corresponden al caso en que cada
e
♢
:
Vn→
P
(
V
) es una funci´on que toma valores de singletons (singulete). En este caso no hay diferencia entre
valuaciones est´aticas y din´amicas, tenemos determinismo (funcional).
Para comprender la diferencia entre matrices ordinarias y Nmatrices, recordamos que en el caso determinista,
el valor de verdad asignado por una valuaci´on
v
a una f´ormula compleja se define de la siguiente manera:
v
(
♢
(
ψ1, ..., ψn
)) =
e
♢
(
v
(
ψ1
)
, ..., v
(
ψn
)). El valor de verdad asignado a
♢
(
ψ1, . . . , ψn
) est´a un´ıvocamente
determinado por los valores de verdad de sus subf´ormulas:
v
(
ψ1
)
, . . . , v
(
ψn
). Sin embargo, este no es el caso
de las Nmatrices: en general, los valores de verdad de
ψ1, . . . , ψn
no determinan un´ıvocamente el valor asignado
a
♢
(
ψ1, . . . , ψn
), ya que diferentes valuaciones que tengan los mismos valores de verdad para
ψ1, ..., ψn
pueden
asignar diferentes elementos del conjunto de interpretaci´on
e
♢
(
v
(
ψ1
)
, . . . , v
(
ψn
)) a
♢
(
ψ1, . . . , ψn
). Por lo
tanto, las sem´anticas no deterministas de Nmatrices no cumplen veritativo funcionalidad, en oposici´on a las
sem´anticas matriciales. En la tabla (1), se muestran algunas diferencias entre las matrices y las Nmatrices.
Table 1: Matrices deterministas vs Nmatrices.
Matrices deterministas Nmatrices
Conjunto de valores de verdad V V
Conjunto de valores designados D⊂V D ⊂V
Conectivos ♢e
♢:Vn→Ve
♢:Vn→ P(V)\ {∅}
Valuaciones No din´amicas Posiblemente din´amicas / no est´aticas.
Veritativo funcional S´ı No necesariamente
Ahora, revisaremos las definiciones est´andar de consecuencia l´ogica [11].
Definici´on 1.11. 1.
Una valuaci´on (parcial)
v
en
M
satisface una f´ormula
ψ
(
v|
=
ψ
) si (
v
(
ψ
) est´a
definido y) v(ψ)∈D. Decimos que es un modelo de Γ (v|= Γ) si satisface cada f´ormula de Γ.
2.
Decimos que
ψ
es din´amicamente (est´aticamente) v´alida en
M
, en s´ımbolos
|
=
d
Mψ
(
|
=
s
Mψ
), si
v|
=
ψ
para cada valuaci´on din´amica (est´atica) ven M.
3.
La relaci´on de consecuencia din´amica (est´atica) inducida por
M
es definida de la siguiente manera:
Γ⊢d
M∆ (Γ ⊢s
M∆) si cada modelo din´amico (est´atico) ven Mde Γ satisface alg´un ψ∈∆.
Obviamente , la relaci´on de consecuencia est´atica incluye a la din´amica, es decir,
⊢d
M⊆⊢s
M
. Adem´as, para las
matrices ordinarias, tenemos que ⊢s
M=⊢d
M.
Proposici´on 1.2. Sea M una Nmatriz de dos valores que tiene al menos una operaci´on no determinista.
Entonces no hay una familia finita de matrices ordinarias finitas F, tales que ⊢d
Mψsii ⊢Fψ.
Proposici´on 1.3. Para cada Nmatriz M (finita), hay una familia (finita) de matrices ordinarias
F
, tales que
⊢s
M=⊢F.
As´ı, s´olo el poder expresivo de la sem´antica din´amica basado en Nmatrices es m´as fuerte que el de matrices
ordinarias. El siguiente teorema tomado de [
6
] es una generalizaci´on de la proposici´on 1.1 para el caso de las
Nmatrices:
Proposici´on 1.4. (Analiticidad) Sea
M
=
⟨V, D, O⟩
una Nmatriz para
L
, y sea
v′
una valuaci´on parcial en
M. Entonces v′puede extenderse a una valuaci´on (total) en M.
2 Particiones de los Naturales
En esta secci´on, mostramos el m´etodo que permitir´a generar particiones de los naturales en clases numerables.
El mismo ser´a de crucial importancia para lo que sigue del trabajo. El m´etodo, junto con varias de las
consecuencias que se desprenden del mismo, fue originalmente presentado en [
1
]. Ahora solamente haremos
un breve resumen del mismo para justificar los resultados que necesitaremos. La idea b´asica es separar al
conjunto de los Naturales en numerables conjuntos, cada uno numerable y disjuntos de a pares. Llamaremos
Particiones doblemente numerables (PDN) a las particiones que cumplan con lo anterior.
5
2 PARTICIONES DE LOS NATURALES 2.1 Particiones y relaciones de equivalencia
2.1 Particiones y relaciones de equivalencia
Recordemos brevemente los conceptos de partici´on yrelaci´on de equivalencia.
Definici´on 2.1. Se dice que una relaci´on es de equivalencia si y s´olo si es a la vez
•reflexiva. Todo elemento del dominio se relaciona consigo mismo: ∀x(xRx).
•sim´etrica. Si xse relaciona con y, entonces yse relaciona con x:∀x∀y(xRy⇒yRx).
•
transitiva. Si
x
se relaciona con
y
e
y
se relaciona con
z
, entonces
x
se relaciona con
z
:
∀x∀y∀z
(xRy∧yRz⇒xRz).
La relaci´on de equipotencia entre conjuntos es una relaci´on de equivalencia. Como ejemplo podemos
nombrar que tanto los n´umeros pares como los impares son equipotentes con el conjunto de los n´umeros
naturales. Esto se encuentra relacionado con el hecho de que existe una partici´on de los n´umeros naturales
formada por los pares y los impares. Por otro lado, como los Naturales y los Enteros son equipotentes, tenemos
que los pares o impares tienen la misma cantidad de elementos que los Enteros (usando la transitividad de la
relaci´on de equipotencia). Cuando
X
es equipotente con el conjunto de los n´umeros naturales (
X
numerable),
se dice que su cardinal es Aleph subcero y se denota por
ℵ0
(Aleph se acent´ua en la primera s´ılaba y la Real
Academia Espa˜nola acepta su graf´ıa y fon´etica como ´alef ). Todos los conjuntos numerables tienen el mismo
cardinal, ℵ0. Cuando se cumpla lo anterior, escribiremos
|X|=ℵ0.
Esto es central en nuestro trabajo, ya que las PDN cumplen la ecuaci´on anterior, son todas equipotentes
con los Naturales. Las particiones tienen una v´ınculo muy estrecho con las relaciones de equivalencia: toda
relaci´on de equivalencia definida sobre elementos de un conjunto
X
genera una ´unica partici´on de este
conjunto.
Definici´on 2.2. Sea
{Xi}i∈∆
una familia de subconjuntos no vac´ıos de
X
, con
i
perteneciente a un conjunto
de sub´ındices ∆ fijo. Decimos que esta familia es una partici´on de Xsi
•Si∈∆Xi=X.
•Xi∩Xj=∅para todo i=j.
Como nombramos anteriormente, toda partici´on de un dominio define una relaci´on de equivalencia sobre
el mismo y viceversa [
12
,
13
]. Nosotros generaremos las particiones y obtendremos, por lo tanto, las relaciones
de equivalencia asociadas.
2.2 Particiones Doblemente Numerables
Comenzaremos esta secci´on mostrando c´omo generar una, de las al menos numerables, PDN. Para que una
partici´on de los Naturales pueda ser llamada doblemente numerable, es necesario y suficiente que cada uno de
los numerables subconjuntos que componen la partici´on del dominio (no puede ser una partici´on finita) sea
numerable, es decir, equipotente con
N
, que sean disjuntos dos a dos (su intersecci´on sea el conjunto vac´ıo) y
que al unirlos recobremos todos los Naturales.
Consideremos los n´umeros naturales con su orden habitual comenzando por el 1, pero el razonamiento no
cambia si consideramos que 0 es natural. Tambi´en podr´ıamos extender este proceso a los n´umeros enteros.
Comencemos con la serie natural:
1 2 3456 7891011121314 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 ...
Con los colores simplemente explicitamos el conjunto al que haremos pertenecer cada natural, es decir,
nuestro proceso genera sucesivos conjuntos de longitud doble que la anterior comenzando por longitud inicial
2. Esto es,
C1={1,2};C2={3,4,5,6};C3={7,8,9,10,11,12,13,14}
6
2 PARTICIONES DE LOS NATURALES 2.2 Particiones Doblemente Numerables
C4={15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30},etc.
Est´a claro que
N=
∞
[
l=1
Cl;Cl∩Cl′=∅;l=l′.
Observaci´on : notemos que los
Cl
forman una partici´on de los Naturales, pero tal partici´on no es
doblemente numerable. Esto se debe a que, a pesar de existen tantos
Cl
como n´umeros naturales
(y ser disjuntos), los mismos no son numerables (son todos finitos).
El siguiente paso consiste en elegir el primer elemento de cada uno de los conjuntos
Cl
para formar el conjunto
A1
. Esto se puede hacer de manera algor´ıtmica gracias a que los Naturales est´an bien ordenados. Tenemos
entonces:
A1={1,3,7,15,31, ...}.
Donde los elementos de A1mantienen la siguiente recursi´on:
a1,i+1 = 2.a1,i + 1 ; a1,1= 1.
Cada elemento de este conjunto es igual al sucesor del doble de su anterior. Adem´as, es claro que es
un conjunto infinito numerable, ya que existen infinitos
Cl
y cada uno tiene un primer elemento. Ahora
construimos el siguiente conjunto,
A2
, tomando el segundo elemento de cada
Cl
. Esto es equivalente a sacar
de los conjuntos originales el primer elemento ya utilizados en
A1
y volver a tomar el primer elemento. Esto
es algo que puede realizarse sin inconveniente de forma recursiva.
A2={2,4,8,16,32, ...}.
Donde sus elementos mantienen la siguiente relaci´on:
a2,i+1 = 2.a2,i ;a2,1= 2.
Obtenemos un nuevo conjunto numerable donde cada elemento es el doble de su anterior. Al formar el tercer
conjunto, debemos tomar el tercer elemento de cada uno de los
Cl
. Observamos directamente que
C1
no
tiene tercer elemento, con lo cual comenzamos por el conjunto siguiente,
C2
, que es el primer conjunto que
tiene tercer elemento.
A3={5,9,17,33, ...}
a3,i+1 = 2.a3,i −1 ; a3,1= 5.
En este caso, cada elemento se genera a partir del anterior duplic´andolo y restando 1.
Siguiendo de esta manera:
A4={6,10,18,34, ...}
a4,i+1 = 2.a4,i −2 ; a4,1= 6.
Para el caso siguiente, hay que notar que los dos primeros
Cl
no cuentan con quinto elemento por lo que
el primer elemento de
A5
pertenecer´a a
C3
, el primero de estos conjuntos que tiene un quinto elemento, el 11.
A5={11,19,35,67, ...}
a5,i+1 = 2.a5,i −3 ; a5,1= 11.
Queda claro de qu´e forma continuar nuestra construcci´on y, adem´as, que la misma se puede hacer tomando
como base cualquier n´umero mayor que 1, en vez de base 2 como hemos elegido para mostrar el proceso de
construcci´on. Por construcci´on , se cumple que:
N=
∞
[
n=1
An;An∩An′=∅, n =n′y∀n|An|=|N|=ℵ0(2)
7
2 PARTICIONES DE LOS NATURALES 2.2 Particiones Doblemente Numerables
Es f´acil probar que cada n´umero natural pertenece s´olo a uno de los
An
. Esto se debe a que cada natural
pertenece a un ´unico
Cl
(son disjuntos) y que dentro de ese conjunto puede ocupar una sola ubicaci´on, la
n
-´esima. Cuando en breve mostremos el caso general, se ver´a que debido a c´omo se calcula el
n
asociado
con cada n´umero natural, tener el mismo
n
genera una relaci´on que es reflexiva, transitiva y sim´etrica, es
decir, genera una relaci´on de equivalencia. Por lo tanto, tenemos a los n´umeros naturales separados en una
cantidad numerable de conjuntos disjuntos cada uno equipotente con
N
. Esta partici´on de los naturales es un
ejemplo de lo que llamamos partici´on doblemente numerable (PDN) y tendr´a su correspondiente relaci´on de
equivalencia asociada. Adem´as, estar´an absolutamente vinculadas con nuestra sem´antica.
Las PDN han surgido originalmente en el contexto del Hotel de Hilbert. Las mismas presentan una soluci´on
alternativa para el caso en el cual el hotel se encuentra completo y llegan simult´aneamente numerables
contingentes de turistas, cada uno con numerables individuos. En tal caso, tenemos de qu´e manera asignar
una pieza a cada persona. Esta manera, no s´olo es una alternativa diferente a la soluci´on cl´asica mostrada,
sino que genera infinitas alternativas equivalentes m´as. Indexamos con
n
al contingente en cuesti´on y le
asignamos la clase
An
junto con un ´ındice
i
que denote su posici´on dentro del
An
. Como existir´a un ´unico
natural asociado a cada par (
n, i
), cada individuo contar´a con su propia pieza. Cada persona pertenece a un
´unico contingente, lo que determina un´ıvocamente el
n
, y tiene un orden dado (
i
) dentro del mismo, que
tambi´en es ´unico. Por lo tanto, cada persona tiene un ´unico par (
n, i
). Si el hotel ya estuviese ocupado en su
totalidad cuando llegan los infinitos contingentes de turistas, entonces dejamos libre todas las piezas impares
(con el ardid cl´asico del problema) y realizamos la partici´on mostrada sobre los impares.
Hemos creado un ejemplo particular de numerables conjuntos disjuntos de a pares, cada uno numerable, cuya
uni´on es numerable (ya que su uni´on es el conjunto
N
). Cada PDN construida representa un ejemplo de uni´on
numerable de conjuntos numerables que da como resultado un nuevo conjunto numerable (los Naturales).
Es decir, contamos con infinitos ejemplos (tantos como n´umeros reales, ver [
1
]) de un teorema general que
s´olo se puede probar con el auxilio del axioma de elecci´on:la uni´on numerable de conjuntos numerables y
disjuntos de a pares tiene la cardinalidad de los Naturales.
2.2.1 Formalizaci´on del problema
Vamos a mostrar la funci´on recursiva que asigna de forma biun´ıvoca un
n
y un
i
a cada n´umero natural
x
. El
n
determinar´a a qu´e clase (
An
) pertenece y el
i
designar´a su posici´on dentro de la misma. Esto es, dado
x∈N
, asignaremos una ´unica clase
An
y dentro de esta clase numerable, la posici´on
i
-´esima. Esta ser´a una
forma posibles, entre muchas, de asignar biyectivamente un par (
n, i
) a cada
x
natural, lo que muestra la
relaci´on que guarda el problema de generar particiones doblemente numerables, y unir numerables conjuntos
disjuntos, con el de establecer una biyecci´on entre NyN×N.
Todo n´umero natural
x
mayor que 2 se puede acotar de la siguiente manera (el caso
x
= 1 y
x
= 2 no
generan inconveniente, ya que sabemos c´omo ubicarlos):
m
X
j=1
2j< x ≤
m+1
X
j=1
2j.(3)
La condici´on anterior puede expresarse equivalentemente como
2m+1 −2< x ≤2m+2 −2.
Vamos a utilizar la primera forma al hacer los c´alculos siguientes porque evidencia mejor el razonamiento
secuencial y constructivo que utilizamos.
Seg´un la ecuaci´on
(3)
, cada natural define de manera un´ıvoca un
m
. Puede verse que
l
=
m
+ 1, donde
l
es el
sub´ındice de los conjuntos
Cl
del principio. Definimos el n´umero
n
(clase
An
) asociada con
x
de la siguiente
manera:
n=x−
m
X
j=1
2j=x−(2m+1 −2) = x−2m+1 + 2,(4)
8
2 PARTICIONES DE LOS NATURALES 2.2 Particiones Doblemente Numerables
donde mest´a determinado por la ecuaci´on (3).
Veamos un ejemplo: si x= 17, entonces
2+4+8<17 ≤2+4+8+16.
Usando
(3)
tenemos que
m
= 3 y
l
= 4. Con
(4)
calculamos que
n
= 17
−
2
4
+ 2 = 3. Por lo tanto, 17
∈A3
,
resultado que concuerda con nuestra definici´on de
A3
. Falta ahora que determinemos qu´e ubicaci´on ocupa
dentro de esta clase. La ubicaci´on i-´esima dentro de Anviene dada por:
i=log2(x−n+ 2
an,1−n+ 2)+1.(5)
Donde an,1es el primer elemento del conjunto Any viene dado por:
an,1=n+
k
X
j=1
2j= 2k+1 +n−2 (6)
con ksatisfaciendo:
2k< n ≤2k+1.(7)
El n´umero kpuede ser nulo o negativo (-1). Si n= 1, entonces k=−1:
k∈ {−1,0,1,2,3,4,5, ...}.
Esto no genera problema en la ecuaci´on
(6)
(al calcular el primer elemento de ese conjunto) si tomamos la
convenci´on de que el resultado de la sumatoria es nulo cada vez que el ´ındice superior es menor que el inferior.
Veamos ahora el funcionamiento completo de este procedimiento algor´ıtmico. Supongamos tener
x
= 131 y
veamos qu´e ubicaci´on le corresponde dentro de su clase
An
correspondiente. Primero debemos obtener el
n
con las ecuaciones (3) y (4):
2+4+8+16+32+64<131 ≤2+4+8+16+32+64+128 =⇒m= 6 y n= 131 −126 = 5.
Es decir, 131 ∈A5. Usando las ecuaciones (5), (6) y (7) calculamos el iasociado. Por (7):
22<5≤23.
Concluyendo que k= 2. Usando este ken (6):
a5,1= 5 +
2
X
j=1
2j= 11.
Con lo que obtenemos el primer elemento de esta clase de equivalencia. Finalmente, por (4):
i=log2(131 −5+2
11 −5+2 ) + 1 = 5
Por lo tanto, 131 es el quinto elemento de
A5
. En relaci´on al hotel, nuestro resultado dice que al quinto
turista del contingente n´umero 5 debemos asignarle la pieza n´umero 131. Aunque de esta manera lo que
hicimos fue asignar una habitaci´on a un turista, podemos hacer el procedimiento inverso como mostraremos a
continuaci´on. Si quisi´esemos, por ejemplo, ver qu´e pieza asignar al sexto turista del contingente 3, lo que
tenemos que hacer es ver qu´e numero natural ocupa la posici´on 6 en
A3
. Debemos calcular el primer elemento
de esta clase y luego recursivamente los dem´as elementos a trav´es de la recursi´on que caracteriza a
A3
, en
este caso, al doble del elemento anterior tomarle sucesor. La relaci´on general de recursi´on que se encuentra
detr´as de todos los Anes la siguiente:
an,i+1 = 2ian,1−(n−2)(2i−1).(8)
9
2 PARTICIONES DE LOS NATURALES 2.2 Particiones Doblemente Numerables
Donde tanto
n
como
i
se toman a partir de 1 y cada
an,1
se calcula seg´un
(6)
. Esta funci´on es la inversa
de la que a cada
x
le asigna un par (
n, i
). Veamos que esto se condice con los primeros
An
que mostramos al
comienzo. Si n= 1, entonces
a1,i+1 = 2ia1,1+ (2i−1).
Que genera la sucesi´on 1,3,7,15, ... a partir de su primer elemento, a1,1= 1.
Si n= 2,
a2,i+1 = 2ia2,1.
Para n= 3,
a3,i+1 = 2ia3,1−(2i−1).
Y de esta manera puede corroborarse para el resto de los n´umeros.
Volviendo al hotel, est´abamos interesados en ver qu´e habitaci´on darle al sexto integrante del contingente 3.
Calculemos primero a3,1. Seg´un la ecuaci´on (7),
21<3≤22
implica que k= 1. Entonces, por (5):
a3,1= 3 +
1
X
j=1
2j= 5.
Y finalmente obtenemos (por (8)):
a3,6= 25(5) −(25−1) = 129.
Por lo tanto, si estuvi´esemos en el marco del problema del Hotel de Hilbert, le otorgar´ıamos la habitaci´on
129 al viajero en cuesti´on. Algo esencial para nuestro procedimiento es que la suma de las longitudes de los
conjuntos
Cl
no est´e acotada. Por lo tanto, tenemos al menos numerables ejemplos, que podemos generar de
forma efectiva, que muestran esta propiedad de los conjuntos numerables con respecto a la cardinalidad de su
uni´on. La relaci´on de equivalencia que est´a detr´as de todas estas particiones, al margen de la base que la
genere, es la siguiente: dos naturales
x, y
est´an relacionados si y s´olo si pertenecen al mismo
An
, es decir, si
tienen asociado el mismo n(4). Tener asignado el mismo nse prueba reflexiva, sim´etrica y transitiva.
La l´ınea de razonamientos anterior puede generalizarse para el caso de una base gen´erica
b∈N\ {
1
}
. Sus
ecuaciones correspondientes son:
an,i+1 =bian,1−((b−1)n−b)(bi−1
b−1) (9)
an,1=n+
k
X
j=1
bj(10)
bk< n ≤bk+1 (11)
En el siguiente enlace puede descargarse el programa que realiza la partici´on correspondiente
en base 2. Dado un
x
natural, asigna los correspondientes
n
e
i
, adem´as de mostrar algunos
elementos del
An
en cuesti´on, y si se ingresa el par (
n, i
), devuelve el natural que corresponde
seg´un nuestras ecuaciones:
https://drive.google.com/file/d/0B-rDGOh8gCl2OE1RdE5BVGhac1E/view
10
2 PARTICIONES DE LOS NATURALES 2.3 PDN generalizadas
2.3 PDN generalizadas
En esta parte, generalizaremos el m´etodo de generaci´on de PDN de forma recursiva. Esta generalizaci´on no fue
presentada por sus autores en [
1
] y puede considerarse el primer aporte de nuestro art´ıculo. Tal generalizaci´on
no es necesaria para comprender los procedimientos b´asicos relativos a la sem´antica que presentaremos (s´olo
la utilizamos en algunas de las aplicaciones del final del trabajo). Podr´ıa ser de utilidad si dese´aramos, en un
futuro cercano, generalizar el m´etodo presentado en la pr´oxima secci´on. Por lo tanto, ning´un lector tendr´a
inconvenientes de comprensi´on si desea obviar esta subsecci´on y pasar a 3.
Como vimos, una PDN particular consiste en generar una partici´on de
N
en numerables clases cada una
numerable. Como cada una de las clases es equinumerable con el conjunto de partida, podemos asociarle
una nueva partici´on a cada una. De esta manera, obtendremos una nueva partici´on asociada con la original.
Debido a que este proceso se puede iterar tantas veces como uno desee, tendremos una manera efectiva de
realizar esta tarea. Tal forma contin´ua en el marco de los procesos recursivos y permite, entre otros, obtener
una prueba alternativa (algor´ıtmica) de la equinumerabilidad de los conjuntos
N
y
Nn
para todo
n
natural.
Es simple ver que el m´etodo propuesto para generar las PDN brinda un m´etodo efectivo para probar que
N
y
N2
son equipotentes. Solo hay que tener en cuenta la biyecci´on que una PDN, en una base dada, establece
entre cada n´umero natural
x
y el par (
n, i
). Donde el primer elemento del par indicaba la clase de
x
y el
segundo, la posici´on dentro de la misma. Esto es, a cada natural
x
se le asocia un
An
, tal que
x∈An
en
la posici´on
i
-´esima. Si el mismo procedimiento lo aplicamos a
An
(y a todos los dem´as conjuntos de esa
partici´on), tendremos asociada una tr´ıada (
n, i, j
) con cada natural
x
. Es decir, a cada
x
le asociamos de
forma biun´ıvoca un
an,i,j
, que significa que a la clase
An
le aplicamos una PDN (con la misma base original)
obteniendo una nueva partici´on doblemente numerable,
{Bm}m∈N
, donde
x∈Bi
en la posici´on
j
-j´esima.
Mostremos de forma un poco m´as detallada este procedimiento.
Si en una primera PDN de Nobtenemos las clases {Am}m∈N, entonces tenemos que
N=
∞
[
i=1
Ai
, donde
A1={a1,1, a1,2, a1,3, ..., a1,n, ...}
A2={a2,1, a2,2, a2,3, ..., a2,n, ...}
.
.
.
An={an,1, an,2, an,3, ..., an,n, ...}
.
.
.
Si a cada clase Amde las anteriores volvemos aplicarle el mismo procedimiento efectivo, obtenemos
Am=
∞
[
j=1
Am,j
, con
Am,1={am,1,1, am,1,2, am,1,3, ..., am,1,n...}
Am,2={am,2,1, am,2,2, am,2,3, ..., am,2,n, ...}
.
.
.
Am,n ={am,n,1, am,n,2, am,n,3, ..., am,n,n...}
.
.
.
11
3 APLICACI ´
ON DE LAS PDN A LAS VALUACIONES
Por lo tanto, a un natural
x
que en la primera partici´on se le aparejaba el par (
n, i
), esto es, le asoci´abamos
el n´umero an,i, luego de una segunda PDN, tendr´a asociada la tr´ıada (n, m, j), donde i=am,j .
an,m,j =an,am,j .
Por ejemplo, en la partici´on asociada con la la ecuaci´on 8, al n´umero 31 le asoci´abamos la clase
A1
, en la
posici´on 5, es decir,
a1,5
. A su vez, el 5 estaba en la clase
A3
, posici´on 1. Por lo tanto, luego de una segunda
partici´on, a a1,5le asociamos a1,3,1.
31 ←→ a1,5←→ a1,3,1.
Tambi´en se puede corroborar que el n´umero 19 est´a relacionado con el par (5
,
2), es decir, con
a5,2
. Como el
2 se relaciona con el par (2
,
1), entonces al 19 le corresponder´a, en la segunda aplicaci´on de la PDN, el
a5,2,1
.
19 ←→ a5,2←→ a5,2,1.
Como nuestras asignaciones a trav´es de las PDN son biyectivas, no hay forma de que de esta manera
se asocie m´as de un
an,m,j
a cada
an,k
. Todas estas asociaciones son biun´ıvocas, por lo tanto, tenemos un
mecanismo efectivo para probar la equipotencia entre
N,N2
y
N3
. El procedimiento se puede generalizar al
caso general de la siguiente manera:
an1,n2,...,nk−2,nk−1,nk←→ an1,n2,...,nk−2,m
con m=a(nk−1,nk).
Por ejemplo, sabemos que
a2,3,4,1,1
, que es un coeficiente producto de realizar 4 veces la misma partici´on,
tendr´a asociado a2,3,4,a(1,1) =a2,3,4,1, ya que en la PDN considerada, 1 = a(1,1) .
a2,3,4,1,1←→ a2,3,4,1←→ a2,3,a(4,1) ←→ a2,a(3,a(4,1))
Usando el programa
https://drive.google.com/file/d/0B-rDGOh8gCl2OE1RdE5BVGhac1E/view
, que realiza la PDN en base 2, podemos calcular todos los coeficientes que aparecen y terminar la asignaci´on.
Seg´un este programa, a4,1= 6. Por lo tanto,
a2,3,4,1,1←→ a2,3,4,1←→ a2,3,a(4,1) =a2,3,6←→ a2,a(3,6) =a2,129
Por supuesto, todas estas cuentas podr´ıan hacerse a mano con lo presentado en la parte de formalizaci´on de
las PDN. Por lo tanto, tenemos un m´etodo algor´ıtmico que prueba la equipontencia entre
N
y
Nn
para todo
n∈N.
3 Aplicaci´on de las PDN a las valuaciones
Ya estamos en condiciones de relacionar las PDN con nuestra sem´antica.
´
Este es el n´ucleo central de nuestro
trabajo.
Consideraremos la PDN, en la base deseada, fija. Nosotros trabajaremos con la PDN generada en base 2,
pero los resultados se extienden de forma natural a cualquier base mayor que 1. Una vez determinada la
partici´on de los Naturales en numerables conjuntos numerables, establecemos la siguiente relaci´on:
A1={1,3,7,15,31, ...} ←→ Dp
A2={2,4,8,16,32, ...} ←→ Np
A3={5,9,17,33, ...} ←→ D¬p
A4={6,10,18,34, ...} ←→ N¬p
12
3 APLICACI ´
ON DE LAS PDN A LAS VALUACIONES
A5={11,19,35,67, ...} ←→ Dp∨q
A6={a6,1,a6,2, a6,3, a6,4, ...} ←→ Np∨q
A7={a7,1,a7,2, a7,3, a7,4, ...} ←→ Dp∧q
A8={a8,1,a8,2, a8,3, a8,4, ...} ←→ Np∧q
A9={a9,1,a9,2, a9,3, a9,4, ...} ←→ Dp→q
A10 ={a10,1,a10,2, a10,3, a10,4, ...} ←→ Np→q
Donde con
D
y
N
denotamos los conjuntos designados y no designados respectivamente asociados a cada
conectivo. Los primeros dos conjuntos,
Dp, Np
, son los conjuntos de valores designados y no designados
correspondientes a proposiciones at´omicas. Si
⊙
denota un conectivo de nuestro lenguaje, entonces
Dp⊙q, Np⊙q
son los correspondientes conjuntos asociados a
fbf
de complejidad 1 (por simplicidad no explicitamos el
supra´ındice 1). En general, vamos a denotarlos por
Dα
⊙, N α
⊙
, donde el supra´ındice
α
corresponde a la
complejidad de la f´ormula asociada al conjunto. De esta manera, para cada complejidad, tenemos asociados 8
conjuntos Aide nuestra partici´on. Por ejemplo, los 8 asociados con f´ormulas de complejidad 2 son:
A11 ←→ D2
¬
A12 ←→ N2
¬
A13 ←→ D2
∨
A14 ←→ N2
∨
A15 ←→ D2
∧
A16 ←→ N2
∧
A17 ←→ D2
→
A18 ←→ N2
→
Dα
⊙
debe ser interpretado como el conjunto de valores designados para las f´ormulas de complejidad
α
cuyo
conectivo principal es
⊙
. De forma an´aloga se interpreta
Nα
⊙
. De esta manera, tenemos asegurados diferentes
conjuntos (designados y no designados) para todas las f´ormulas de diferente complejidad, aunque compartan
su conectivo principal. Como existen tantos
Ai
(disjuntos y numerables) como complejidades asociadas a fbf,
el proceso puede continuarse de forma indefinida.
13
3 APLICACI ´
ON DE LAS PDN A LAS VALUACIONES
Observaci´on
: nuestros razonamientos son independientes de que los conjuntos de valores designados
y no designados est´en formados s´olo por
verdadero
y
falso
o si existen varios tipos distintos de
estos elementos en cada conjunto. Cada uno de nuestros conjuntos es numerable y podr´ıa contener
diferentes tipos de valores designados (o no designados). Por el momento, podemos pensar que
todos los elementos de cada uno de los conjuntos
D⊙
van a parara en alg´un momento al valor de
verdad verdadero (y los de N⊙af also).
Tambi´en puede notarse que hemos arbitrariamente seleccionado como conectivos primitivos
¬,∨,∧ →
, cuando podr´ıa alcanzar con menos. Esto lo hacemos para tener el mayor grado de
independencia y generalidad posibles. Si queremos que sean interdefinibles, haremos que sus
respectivas condiciones de adecuaci´on y tablas de verdad se relacionen de la manera adecuada. En
nuestros pr´oximos ejemplos, tomaremos tambi´en la doble implicaci´on como conectivo primitivo y
quedar´a claro que el n´umero de estos que tomemos no afecta la l´ınea de nuestros razonamientos.
Llegado este momento tenemos dos alternativas, que iremos explorando en paralelo:
a
) analizar propiedades
de estos conjuntos de interpretaci´on, como si se trataran de conjuntos de interpretaci´on para una sem´antica
no determinista de Nmatrices. Es decir, explorar propiedades de adecuaci´on de cada conjunto, relaci´on que
presenta cada uno con las valuaciones, etc.
b
) utilizar estos conjuntos para definir valuaciones de forma
funcional, tales que cada valuaci´on otorgue valores diferentes a cada
fbf
del lenguaje. Ambos problemas
est´an fuertemente interconectados.
Comencemos viendo c´omo definir valuaciones inyectivas utilizando nuestros conjuntos. Consideraremos
las funciones
v
:
FormL→N
, tales que que asignen valores diferentes a todas las proposiciones at´omicas (
pn
)
(numerables) sobre los conjuntos asignados a variables proposicionales (
Dp, Np
). Es decir, si restringimos el
dominio de
v
a las proposiciones at´omicas, la funci´on
v
:
Atom →Dp∪Np
debe ser inyectiva. Esto no s´olo es
posible, sino que es f´acil probar que existe una cantidad no numerable de valuaciones con estas caracter´ısticas.
Pedimos, adem´as, que tales valuaciones cumplan los siguientes criterios, que nosotros llamaremos criterios de
adecuaci´on para los conjuntos de interpretaci´on de la disyunci´on, conjunci´on e implicaci´on (ver secci´on 3 de
[14]), junto con un criterio correspondiente para la negaci´on.
1. e
∧:
Si a∈Dyb∈D, entonces ae
∧b⊆D
Si a∈ D, entonces ae
∧b⊆V\D
Si b∈ D, entonces ae
∧b⊆V\D
2. e
∨:
Si a∈D, entonces ae
∨b⊆D
Si b∈D, entonces ae
∨b⊆D
Si a∈ Dyb∈ D, entonces ae
∨b⊆V\D
3. f→:
Si a∈ D, entonces af→b⊆D
Si b∈D, entonces af→b⊆D
Si a∈Dyb∈ D, entonces af→b⊆V\D
4. e¬:
Si a∈D, entonces e¬(a)⊆V\D
Si a /∈D, entonces e¬(a)⊆D
En la secci´on 4 analizaremos m´as detalladamente estas condiciones, pero por el momento, y para
entender el procedimiento, mantendremos esta forma b´asica. En las condiciones anteriores,
D
hace referencia a cualquiera de los conjuntos designados para cualquier conectivo y complejidad.
Observaci´on
: esta propiedad ser´a varias veces citada a lo largo de nuestro art´ıculo. En ocasiones,
predicaremos la adecuaci´on de los conjuntos de interpretaci´on correspondiente a un ´unico conectivo
para denotar que se cumple la correspondiente propiedad para ese conectivo (y una complejidad
dada).
14
3 APLICACI ´
ON DE LAS PDN A LAS VALUACIONES
En todos los casos, el conjunto
D
de valores designados se considera la uni´on numerable de todos los
Ai
con
i
impar. Por lo tanto,
V\D
:=
N
, el conjunto de valores no designados, es la uni´on numerable de los
Ai
con ipar. Esto es,
D=
∞
[
i=1
A2i−1;N=
∞
[
i=1
A2i(12)
Este criterio de adecuaci´on (para
∨,∧
y
→
) es propuesto en el marco de las sem´anticas Nmatriciales para
asegurar que se valide el segmento positivo de la L´ogica Cl´asica. Veremos que nuestro caso es similar, ya
que para cada conectivo, y dados los valores de entrada
a, b
, tenemos asignado de forma ´unica un conjunto
donde debe ser interpretado el correspondiente conectivo. La diferencia principal con el caso est´andar de la
sem´antica no determinista de Nmatrices es que nosotros podremos proponer criterios diferentes de adecuaci´on
para los conectivos en funci´on de la complejidad de cada
fbf
. Adem´as, podr´ıamos brindar, si quisi´esemos, un
criterio extra para determinar un´ıvocamente la posici´on que cada valuaci´on asignar´a a cada f´ormula dentro
del conjunto correspondiente.
Si
⊙
denota un conectivo di´adico y
⊙
(
p1, p2
) es una f´ormula de complejidad
α
, entonces imponemos las
siguientes condiciones sobre v(para fbf de complejidad mayor que 0):
Si v(p) = ai′,j′,entonces v(¬p) = ai,k ∈Ai;k= 2i′3j′(13)
i=8α−5 si i’ es par
8α−4 si i’ es impar
En el caso de la negaci´on, αes la complejidad de ¬p
Si v(p) = ai′,j′;v(q) = ak′,l′,entonces v(p⊙q) = ai,k ∈Ai;k= 2i′3j′5k′7l′(14)
Si ⊙ ∈ {∨}, i =8α−3 si k’ o i’ es impar
8α−2 si k’, i’ son pares
Si ⊙ ∈ {∧}, i =8α−1 si k’, i’ son impares
8αsi k’ o i’ es par
Si ⊙ ∈ {→}, i =8α+ 1 si k’ es impar o i’ es par
8α+ 2 si k’ par e i’ es impar
En la ecuaci´on para la negaci´on, el sub´ındice
i
queda determinado a partir del sub´ındice
i′
de
ai′.j′
correspondiente a
v
(
p
). Si
i′
es impar, esto es,
v
(
p
) =
ai′,j′∈D
, entonces
i
debe ser par, y consecuentemente
ai,k ∈N
. Para saber cu´al es el
Ai
asignado, de los que pertenecen a
N
, uno debe tener en cuenta la
complejidad de la f´ormula valuada en esa etapa. Existen 8 conjuntos que se utilizan para interpretar f´ormulas
de complejidad
α
(mayor que 0) con conectivo principal
⊙
. Las
fbf
de complejidad 0, variables proposicionales,
tienen asignados los conjuntos
A1
y
A2
. Por lo tanto, si una f´ormula tiene complejidad
α >
0, los 8 conjuntos
de interpretaci´on asignados son
A8α−5, A8α−4, A8α−3, A8α−2, A8α−1, A8α, A8α+1 , A8α+2 (15)
Los dos primeros conjuntos corresponden a los valores designado y no designados para la negaci´on, los
dos siguientes,
A8α−3, A8α−2
, a los respectivos conjuntos para la disyunci´on, luego,
A8α−1, A8α
, son los
dos conjuntos asignados a la conjunci´on, y finalmente se encuentran los dos conjuntos que corresponden
a designados y no designados para la implicaci´on material. Esta manera de asociar la posici´on
k
-´esima
dentro de un
Ai
es s´olo una de las alternativas posibles para garantizar que nunca dos f´ormulas distintas sean
valuadas al mismo valor. Por supuesto, pueden elegirse otros criterios que garanticen lo mismo. Nosotros
hemos seleccionado ´este por simplicidad y porque es suficiente para mostrar lo que deseamos, pero ninguno
de los razonamientos cambiar´ıa si se tuviese otro procedimiento para asignar posiciones. Puede notarse que
nuestro criterio deja muchos elementos de cada
Ai
sin ser utilizados por las valuaciones. Por ejemplo, como
15
3 APLICACI ´
ON DE LAS PDN A LAS VALUACIONES
i >
0, todos los
k
ser´an pares. Por otro lado,
k
nunca puede ser un primo mayor que 7. Es decir, todos los
ai,p
con
p
primo mayor estricto que 7 no ser´an la imagen de ninguna valuaci´on (por supuesto, este conjunto
est´a incluido en el de los impares). Por lo tanto, tenemos numerables lugares vacantes dentro de cada
Ai
, que
podr´ıan ser utilizados de ser necesario. Por ´ultimo, podemos nombrar que las valuaciones utilizar´an distintos
elementos dentro de los que son posibles. Por nombrar s´olo un ejemplo, el elemento
a4,6
ser´a s´olo utilizado
por una valuaci´on
v
, tal que
v
(
p
) =
a1,1
para alguna proposici´on at´omica
p
. Tambi´en puede corroborarse
directamente que estas valuaciones cumplen las definiciones 1.3, 1.4,1.5 de funcionalidad de los conectivos.
Veamos un ejemplo de aplicaci´on. Calculemos el valor de verdad de la siguiente f´ormula de complejidad 6,
cuyo conectivo principal es la negaci´on.
¬(¬(p∨q)−→ (¬r∧s))
Por lo dicho anteriormente, debido a que tenemos que valuar una
fbf
de complejidad 6, los ocho conjuntos
de interpretaci´on asignados ser´an
A43, A44 , ..., A50
. Como su conectivo principal es una negaci´on, nos quedan
A43
y
A44
(designado y no designado para la negaci´on respectivamente). Para saber a cu´al de estos conjuntos
pertenecer´a la valuaci´on de la f´ormula en consideraci´on, debemos saber si el valor de la f´ormula de complejidad
5 que est´a siendo negada es designado o no y aplicar el criterio para la negaci´on mostrado en 4
.e¬
. Utilizando
los criterios de adecuaci´on para los conjuntos de interpretaci´on de los conectivos dados anteriormente (1
.e
∧
,
2
.e
∨
, 3
.f→
, 4
.e¬
), puede calcularse que el conjunto al que pertenecer´a el valor de la valuaci´on es
A44
. Para
desarrollar bien el m´etodo con todos sus detalles, vamos a suponer los siguientes valores para las variables
proposicionales:
v(p) = a1,1∈Dp=A1;v(q) = a2,5∈Np=A2;v(r) = a1,3∈Dp=A1;v(s) = a2,2∈Np=A2
Calculemos el valor que la valuaci´on asigna a
p∨q
. Como
p∨q
es una f´ormula de complejidad 1 con conec-
tivo principal
∨
, su correspondiente conjunto de interpretaci´on ser´a
Dp∨q
=
A5
. Por lo tanto,
v
(
p∨q
) =
a5,k1
,
con
k1
= 2
1
3
1
5
2
7
5
. Donde intencionalmente se han destacado con los mismos colores los sub´ındices de los
ai,j
y las potencias correspondientes de los factores primos de
k1
para que se pueda identificar f´acilmente su
procedencia. De igual forma procedemos para calcular el valor de verdad de las restantes f´ormulas. Calculemos
el valor que la valuaci´on asigna a
¬r
. Como esta es una f´ormula de complejidad 1 con conectivo principal
¬
y
el valor de
r
es designado, entonces su conjunto de interpretaci´on correspondiente es
A4
=
N¬p
. Por lo tanto,
v
(
¬r
) =
a4,k2
,
k2
= 2
1
3
3
. Ahora ya estamos en condiciones de ver el valor de
v
(
¬r∧s
). Tenemos una f´ormula
de complejidad 2 cuyo conectivo principal es una conjunci´on y sabemos que su valor no ser´a designado. Esto
significa que la valuaremos en el conjunto
A16
. Es decir,
v
(
¬r∧s
) =
a16,k3
, con
k3
= 2
4
3
k2
5
2
7
2
. Ahora
volvamos a la f´ormula
p∨q
para establecer el valor que la valuaci´on asigna a su negaci´on.
v
(
¬
(
p∨q
)) es
una f´ormula de complejidad 2 cuyo conectivo principal es la negaci´on, lo que significa que se interpretar´a en
A11
.
v
(
¬
(
p∨q
)) =
a11,k4
, con
k4
= 2
5
3
k1
. Nos quedan a´un dos pasos, asignar valor a la f´ormula implicativa
¬
(
p∨q
)
→
(
¬r∧s
) para luego poder negarla. La f´ormula implicativa es de complejidad 5, por lo tanto los
conjuntos que interpretan f´ormulas de esta complejidad cuyo conectivo principal es la implicaci´on materia
de de son
A41, A42
. Como nuestra f´ormula implicativa tiene un antecedente no designado, tendr´a un valor
designado. Es decir, el conjunto que le corresponde ser´a
A41
. Entonces,
v
(
¬
(
p∨q
)
→
(
¬r∧s
)) =
a41,k5
,
donde k5= 2113k4516 7k2. Finalmente, v(¬(¬(p∨q)→(¬r∧s))) = a44,k6∈A44 =N6
¬, con k6= 2413k4.
De esta manera obtenemos lo deseado, nuestra valuaci´on asigna dentro del conjunto
A44
el elemento que
se encuentra en la posici´on
k6
. Este valor se puede calcular con los algoritmos presentados en la secci´on 2.2.1.
Al margen del n´umero natural espec´ıfico asignado, sabemos que ninguna otra
fbf
podr´a corresponderse con
ese valor a trav´es de la valuaci´on considerada. Como el razonamiento mostrado s´olo dependi´o de los valores
iniciales que la valuaci´on asigna a las proposiciones, si otra valuaci´on
v′
asignara los mismos valores, pero
invirtiendo alg´un orden, por ejemplo
v′
(
p
) =
v
(
q
),
v′
(
q
) =
v
(
p
)
,v′
(
r
) =
v
(
r
)
,v′
(
s
) =
v
(
s
), entonces esta nueva
valuaci´on enviar´ıa la proposici´on
¬
(
q∨p
)
→
(
¬r∧s
) al mismo valor encontrado para la proposici´on original.
Tambi´en cabe destacar que la valuaci´on original
v
asigna valores distintos a las dos proposiciones consideradas,
ya que el orden de los valores asignados a las proposiciones at´omicas es considerado en el c´alculo. Como bien
nombramos, las condiciones (1
.e
∧
, 2
.e
∨
, 3
.f→
) garantizan el fragmento positivo de la L´ogica Cl´asica. Al agregar
la condici´on (4
.e¬
), aseguramos el comportamiento de la negaci´on cl´asica. Por lo tanto, estas condiciones
garantizan que se validen las inferencias cl´asicas. Es decir, las valuaciones presentadas van a satisfacer los
mismo teoremas que las valuaciones bivaluadas cl´asicas para LC (ver secci´on 4.1).
16
4 CONJUNTOS DE INTERPRETACI ´
ON PARA DIFERENTES COMPLEJIDADES Y CRITERIOS DE ADECUACI ´
ON
4
Conjuntos de interpretaci´on para diferentes complejidades y
criterios de adecuaci´on
Vamos a presentar en este apartado los criterios de adecuaci´on generalizados para cada complejidad. Comen-
zaremos analizando el caso de la disyunci´on. El caso de complejidad 1 ya fue presentado, por lo tanto
aplicaremos el mismo razonamiento para complejidad 2. Si tenemos una
fbf
de complejidad 2 cuyo conectivo
principal es una disyunci´on, pueden darse dos caso: la disyunci´on conecta a derecha una variable proposicional
con una
fbf
de complejidad 1 a izquierda o viceversa. En cualquiera de los casos nuestras valuaciones tienen
asignados los mismo conjuntos de valores designados y no designados. En el caso determinista presentado
anteriormente, el criterio utilizado para seleccionar cu´al es el
k
que corresponde en cada caso garantiza que no
puedan ocupar nunca una misma posici´on dentro de ninguno de los correspondientes conjuntos. Por lo tanto,
debemos tener en cuenta que los valores de entrada para
e
∨2
(
a, b
) pueden pertenecer tanto a
Dp
=
A1, Np
=
A2
,
caso proposicional, como a cualquiera de los
A3, A4, ..., A10
(
D¬p, N¬p, Dp∨q, Np∨q, Dp∧q, Np∧q, Dp→q, Np→q
)
si se trata de una
fbf
de complejidad 1. Si denotamos con
D1, N 1, V 1
a los conjuntos de valores designados,
no designados y valores de verdad correspondientes a la complejidad 1, es decir,
D1=D1
¬∪D1
∨∪D1
∧, D1
→=A3∪A5∪A7∪A9=
2
[
l=−1
A7−2l
N1=N1
¬∪N1
∨∪N1
∧, N 1
→=A4∪A6∪A8∪A10 =
2
[
l=−1
A8−2l
V1=D1∪N1=
5
[
l=−2
A8−l
, entonces podemos presentar el criterio de adecuaci´on para la disyunci´on asociada con una
fbf
,
ψ
, de
complejidad 2 de la siguiente forma: sea ψ=ϕ1∨ϕ2, con v(ϕ1) = ayv(ϕ2) = b, entonces
e
∨2(a,b):
Si a∈Dpyb∈V1,entonces e
∨2⊆D2
∨=A13
Si a∈Npyb∈N1,entonces e
∨2⊆N2
∨=A14
Si a∈Npyb∈D1,entonces e
∨2⊆D2
∨=A13
Si a∈D1yb∈Vp,entonces e
∨2⊆D2
∨=A13
Si a∈N1yb∈Dp,entonces e
∨2⊆D2
∨=A13
Si a∈N1yb∈Np,entonces e
∨2⊆N2
∨=A14
(16)
Hay que recordar que, por c´omo fueron definidos nuestros conjuntos, las uniones son todas disjuntas. Para
toda complejidad, valen las siguientes relaciones:
Dα=Dα
¬∪Dα
∨∪Dα
∧∪Dα
→;Nα=Nα
¬∪Nα
∨∪Nα
∧∪Nα
→;Vα=Vα
¬∪Vα
∨∪Vα
∧∪Vα
→;Vα=Dα∪Nα
De la misma forma, nuestra PDN produce las siguientes relaciones para los conjuntos de interpretaci´on de
los conectivos:
e¬=[
α∈Ne¬α;e
∨=[
α∈Ne
∨α;e
∧=[
α∈Ne
∧α;f→=[
α∈Nf→α
Por lo tanto, los correspondientes criterios de adecuaci´on para cualquier f´ormula,
ψ
, de complejidad
α
pueden
ser expresados como:
e
∨α(a,b):
Si a∈Dβyb∈Vγ;β+γ=α−1,entonces e
∨α⊆Dα
∨=A8α−3
Si a∈Nβyb∈Dγ;β+γ=α−1,entonces e
∨α⊆Dα
∨=A8α−3
Si a∈Nβyb∈Nγ;β+γ=α−1,entonces e
∨α⊆Nα
∨=A8α−2
(17)
e
∧α(a,b):
Si a∈Nβyb∈Vγ;β+γ=α−1,entonces e
∧α⊆Nα
∧=A8α
Si a∈Dβyb∈Nγ;β+γ=α−1,entonces e
∧α⊆Nα
∧=A8α
Si a∈Dβyb∈Dγ;β+γ=α−1,entonces e
∧α⊆Dα
∧=A8α−1
(18)
17
4 CONJUNTOS DE INTERPRETACI ´
ON PARA DIFERENTES COMPLEJIDADES Y CRITERIOS DE ADECUACI ´
ON4.1 Relaciones funcionales
f→α(a,b):
Si a∈Nβyb∈Vγ;β+γ=α−1,entonces f→α⊆Dα
→=A8α+1
Si a∈Dβyb∈Dγ;β+γ=α−1,entonces f→α⊆Dα
→=A8α+1
Si a∈Dβyb∈Nγ;β+γ=α−1,entonces f→α⊆Nα
→=A8α+2
(19)
e¬α(a):Si a∈Dβ;β=α−1,entonces e¬α⊆Nα
¬=A8α−4
Si a∈Nβ;β=α−1,entonces e¬α⊆Dα
¬=A8α−5(20)
Observaci´on
: a diferencia de la forma anterior
(16)
, esta versi´on compacta es sim´etrica con
respecto a
α
y
β
. Pero est´a claro que podr´ıamos mantener formalmente la asimetr´ıa si fuera
necesario.
Esta partici´on de los conjuntos de interpretaci´on para cada conectivo en funci´on de la complejidad permite una
interpretaci´on alternativa de los conectivos l´ogicos. Normalmente, asignamos un conjunto de interpretaci´on
para cada conectivo. Ahora tenemos numerables conjuntos de interpretaci´on disjuntos para cada conectivo y
cada complejidad dada. Por lo tanto, podr´ıamos pensar que tenemos numerables conectivos diferentes, uno
por cada uno de los anteriores conjuntos de interpretaci´on. Es decir, podr´ıamos pensar que la disyunci´on
que conecta dos
fbf
de complejidades
α1
y
α2
respectivamente es una disyunci´on distinta de la que conecta
dos f´ormulas de complejidades
α3
y
α4
, mientras
α1
+
α2
=
α3
+
α4
. Si se diera la igualdad en la expresi´on
anterior, ambos conectivos tendr´ıan asociado el mismo conjunto, a saber
e
∨α5+1
, con
α5
=
α1
+
α2
=
α3
+
α4
.
Adem´as, las condiciones respectivas a la adecuaci´on (o no) pueden ser tratadas de forma independientes,
por lo que podr´ıamos tener criterios distintos para cada uno de los conjuntos. Esto ser´ıa, en alg´un sentido,
semejante a tener numerables conectivos distintos en nuestro lenguaje.
Podr´ıamos tambi´en preguntarnos lo siguiente: ¿la condici´on
α1
+
α2
=
α3
+
α4
es ineludible o podr´ıamos
tener conectivos distintos tambi´en para el caso de la igualdad? Por como presentamos nuestro m´etodo,
precisamos que las sumas no sean iguales, pero es f´acil adaptar el m´etodo para que puedan discernirse los
casos donde las sumas coinciden. Podr´ıamos haberlo presentado as´ı desde el principio. Para esto, ser´ıa
necesario asignar un conjunto distinto de interpretaci´on a cada disyunci´on (o conectivo que fuere) que conecte
fbf
de complejidad
α
para cada descomposici´on posible de la misma como suma de dos complejidades. Es
decir, necesitar´ıamos una partici´on de
e
∨α
formada por
s
conjuntos (clases de equivalencias), donde
s
es la
cantidad de formas de sumar
α−
1. Por ejemplo, si
α
= 3, entonces
s
= 3 (0+2,2+0 y 1+1). El m´etodo de las
PDN permite realizar esta partici´on en numerables clases, por lo cual s´olo deber´ıamos aplicar a cada conjunto
Ai
de la partici´on original otra vez el m´etodo. De esta manera, nos quedar´ıamos con los primeros
s
conjuntos
y dejar´ıamos los restantes sin utilizar (´esta ser´ıa s´olo una entre much´ısimas formas de implementarlo). Esto
es, precisar´ıamos una PDN generalizada de tres sub´ındices, como calculamos de forma efectiva en la secci´on
2.3. Con estas PDN generalizadas, no s´olo podr´ıamos distinguir conjuntos para complejidades
α1, α2
con la
misma suma, sino que tambi´en podr´ıamos tener conjuntos numerables y disjuntos que discriminen conectivo
principal de la f´ormula principal y del de todas las subf´ormulas que la componen. Es decir, podr´ıa asignarse
un conjunto de interpretaci´on numerable y disjunto que tenga en cuenta toda el ´arbol de formaci´on de la
fbf
en cuesti´on. En la ´ultima secci´on, presentaremos un ejemplo que va en esta l´ınea. Mostraremos como
aislar malos comportamientos o ”anomal´ıas” en nuestros conjuntos de interpretaci´on si deseamos que no se
propaguen sobre todas las complejidades superiores. Este ejemplo mostrar´a el uso de las PDN generalizadas
y dejar´a claro c´omo proceder si uno deseara que los conjuntos de interpretaci´on de los conectivos acompa˜nen
la cadena de formaci´on de las f´ormulas. Nuestras valuaciones pueden cambiar su comportamiento en funci´on
de las complejidades involucradas, debido a que los distintos conjuntos de interpretaci´on para diferentes
complejidades pueden tener criterios diferentes con respecto a su adecuaci´on. Esto significa que podr´ıa no
validarse reemplazo de equivalentes si las f´ormulas reemplazadas tuviesen diferentes complejidades. Por
supuesto, volver´ıamos a recobrar tal propiedad al colapsar los criterios de adecuaci´on en los est´andar, que no
discriminan complejidad. Dos f´ormulas podr´ıan ser equivalentes dentro del marco cl´asico y, sin embargo, no
serlo en el formalismo de complejidad.
4.1 Relaciones funcionales
Estamos en condiciones de establecer algunas relaciones funcionales que pueden ser esclarecedoras. Recordemos
que
F rmL
denota el conjunto de las
fbf
de un lenguaje
L
, que en nuestro caso es el proposicional. En
18
4 CONJUNTOS DE INTERPRETACI ´
ON PARA DIFERENTES COMPLEJIDADES Y CRITERIOS DE ADECUACI ´
ON4.1 Relaciones funcionales
futuros trabajos estudiaremos la factibilidad de generalizar el m´etodo para incorporar lenguajes de primer
orden (e incluso aritm´etico). Cada una de las particiones doblemente numerable de los naturales (PDN)
generadas en la secci´on 2.2, es un elemento del conjunto Pnum(Pnum(N)), donde
Pnum(N)) = {A⊆N:|A|=|N|}.
Esto es, el conjunto formado por todos los subconjuntos infinitos de los naturales. Para establecer los
conjuntos de interpretaci´on mostrados en la secci´on anterior, nosotros hemos seleccionado una PDN particular,
que est´a en base 2 (para ver detalles y propiedades adicionales, se recomienda [
1
]). Cada uno de los conjuntos
de interpretaci´on para los conectivos, es un subconjunto infinito de los naturales, es decir, un elemento de
Pnum
(
N
). Nosotros hemos establecido un m´etodos efectivo para asignar a cada f´ormula, en funci´on de su
conectivo principal y su complejidad, ciertos conjuntos de interpretaci´on (designados y no designados), que
son subconjuntos numerable de los naturales:
v′:F rmL→ Pnum(N) (21)
fbf →Ai
Por ejemplo, en la secci´on 3, asignamos el conjunto
A44
a la f´ormula
¬
(
¬
(
p∨q
)
−→
(
¬r∧s
)). Adem´as, la
valuaci´on le asign´o una posici´on establecida dentro de ese conjunto, que no pod´ıa ser compartida por ninguna
otra f´ormula (para esa valuaci´on dada). Si restringimos el codominio de
v′
a la PDN establecida, esto es, a
{Ai}i∈N, podemos hacer que nuestra funci´on sea sobreyectiva.
Definamos la siguiente funci´on, v′′ , cuyo dominio es la imagen de v′:
v′′ :{Ai}i∈N→ {0,1}(22)
Ai→1 si i es impar ; Ai→0 si i es par
Por lo tanto, podemos obtener una nueva valuaci´on, v, realizando la composici´on v′′ ◦v′:
v:F ormL→ {0,1}(23)
Controlando los criterios de adecuaci´on impuestos a cada uno de los conjuntos de interpretaci´on de los
conectivos para cada complejidad, podemos hacer que estas ´ultimas funciones coincidan con las valuaciones
cl´asicas. Visto desde el punto de vista de los conjuntos de interpretaci´on, los anterior puede pensarse de la
siguiente manera: para cada f´ormula de complejidad
α
y conectivo principal
⊙
, tenemos una funci´on que le
asigna (dependiendo de los valores de verdad
a, b
) alguno de los conjuntos de interpretaci´on
Dα
⊙, N α
⊙
. Cada
uno de estos conjuntos van a parar, en el caso cl´asico, a
{
1
},{
0
}
, y si la sem´antica no es determinista, a
ciertos
e
⊙(a,b)⊆D
o
e
⊙(a,b)⊆V\D
. De alguna manera, podr´ıa considerarse que si nos quedamos al nivel de
la funci´on
v′
, sin hacer la composici´on con
v′′
, tenemos una grado mayor de precisi´on en nuestro lenguaje,
ya que podemos manejar las valuaciones de forma independiente para cada conectivo y complejidad. Esta
riqueza la perdemos cuando componemos con la funci´on que nos lleva de las clases de la PDN en cuesti´on
al
{
0
,
1
}
. Por lo tanto, si trabajamos en el nivel de las
Ai
podemos tener una sem´antica “enriquecida”(en
t´erminos de precisi´on), con la seguridad de converger en la sem´antica booleana si as´ı se desea (imponiendo las
condiciones de adecuaci´on para todos los conjuntos de interpretaci´on). En este nivel intermedio, tendr´ıamos
una tabla de verdad, que puede ser determinista o no, para cada conectivo y complejidad. Numerables tablas
de verdad que convergen, bajo las condiciones adecuadas, a las tablas booleanas cl´asicas. Es decir, podr´ıamos
interpretar nuestros resultados como teniendo numerables conectivos, con sus respectivas tablas asociadas,
que, de as´ı requerirlo, convergen a la l´ogica cl´asica.
Otra forma equivalente de entender las valuaciones de complejidad es la siguiente: cada valuaci´on es una
funci´on, con dominio F rmLy codominio N, definida por casos de la siguiente manera:
19
4 CONJUNTOS DE INTERPRETACI ´
ON PARA DIFERENTES COMPLEJIDADES Y CRITERIOS DE ADECUACI ´
ON4.1 Relaciones funcionales
P DN
v′′
$$
F rmL
v=v′◦v′′
//
v′
::
{0,1}
Fig. 1: Relaci´on entre las valuaciones cl´asicas bivaluadas y las valuaciones de complejidad.
v(ψ) =
ai,j ∈Dp∪Npsi compl(ψ)=0
ai,j ∈e¬α(v(ϕ)) ⊆Dα
¬∪Nα
¬si ψ=¬ϕ∧compl(ψ) = α
ai,j ∈e
∨α(v(ϕ1),v(ϕ2)) ⊆Dα
∨∪Nα
∨si ψ=ϕ1∨ϕ2∧compl(ψ) = α
ai,j ∈e
∧α(v(ϕ1),v(ϕ2)) ⊆Dα
∧∪Nα
∧si ψ=ϕ1∧ϕ2∧compl(ψ) = α
ai,j ∈f→α(v(ϕ1),v(ϕ2)) ⊆Dα
→∪Nα
→si ψ=ϕ1→ϕ2∧compl(ψ) = α
(24)
Los conjuntos
Dα
⊙
y
Nα
⊙
est´an definidos para cada complejidad y conectivo seg´un nuestro algoritmo, pero
en el caso m´as general, donde no se ha impuesto a´un ning´un criterio de adecuaci´on para los conectivos, no
podemos decidir a cu´al de estos conjuntos disjuntos pertenece la valuaci´on. De forma resumida, la funci´on
anterior la podemos expresar como:
v(ψ) =
ai,j ∈Dp∪Npsi compl(ψ)=0
ai,j ∈e¬α(v(ϕ)) ⊆Dα
¬∪Nα
¬si ψ=¬ϕ∧compl(ψ) = α
ai,j ∈e
⊙(v(ϕ), v(ϕ2)) ⊆Dα
⊙∪Nα
⊙si ψ=ϕ1⊙ϕ2∧compl(ψ) = α
(25)
Observaci´on
: la idea central detr´as de estas valuaciones es que, de alguna forma, realizamos
una PDN en el dominio de f´ormulas bien formadas, otra PDN en los n´umeros naturales y las
relacionamos de la manera conveniente para nuestros objetivos. La PDN de los naturales puede
ser, por ejemplo, la generada en base 2, y la del dominio podr´ıamos pensar que tiene como primera
clase al conjunto de las variables proposicionales, la segunda clase formada por todas las f´ormulas
de complejidad uno que se pueden formar con las variables proposicionales de la primera clase
y la clase
n
-´esima por todas las f´ormulas de complejidad
n
cuyas subf´ormulas pertenecen a las
clases anteriores.
Ejemplo comparativo
Mostraremos un ejemplo para comparar la sem´antica de complejidad con la cl´asica bivaluada. Tomemos
una f´ormula de complejidad 2, como, por ejemplo, Ψ =
p∨
(
¬q
) y, para cada sem´antica, una valuaci´on
v
,
tal que designe a ambas proposiciones at´omicas, esto es
v
(
p
)
∈Dyv
(
q
)
∈D
(donde el conjunto de valores
designados corresponde al sistema que estemos tratando).
Con la sem´antica cl´asica bivaluada, tenemos: D={1}
v(p) = v(q) = 1 ; v(¬q) = 0 ∈e¬(1) ;v(p∨(¬q)) = 1 ∈e
∨(1,0)
Si usamos las valuaciones de complejidad:
v(p) = a1,j ∈Dp=A1;v(q) = a1,k ∈Dp=A1
v(¬q) = c∈e¬1
(a1,k)⊆N¬p=A4
Es decir, c=a4,l ∈A4, donde lindica la posici´on del elemento en este conjunto.
Finalmente,
v(p∨ ¬q) = d∈e
∨2
(a1,j ,a4,l)⊆D2
∨=A13
Esto es, d=a13,m.
Conclusi´on :
cl´asicamente −→ v(p∨(¬q)) = 1 ∈e
∨(1,0) ={1}
20
5 EJEMPLOS DE APLICACI ´
ON A L ´
OGICAS MULTIVALUADAS
complejidad −→ v(p∨ ¬q) = d=a13,m ∈e
∨2
(a,c)⊆D2
∨=A13
Lo que se gana en el caso de complejidad es que, al disponer de la informaci´on dada por
v
(
p∨ ¬q
) =
a13,i
,
podemos saber la complejidad y conectivo principal de la f´ormula valuada. Algo que no est´a dentro de las
posibilidades del sistema sem´antico est´andar.
5 Ejemplos de aplicaci´on a l´ogicas multivaluadas
En esta secci´on mostraremos c´omo el m´etodo de las PDN se puede adaptar a casos conocidos de l´ogicas mul-
tivaluadas. Nos centraremos en los dos siguientes sistemas: sistema trivaluado de
L
ukasiewics y tetravaluado
FDE. Esto dejar´a claro c´omo adaptar el m´etodo a casos m´as generales, como mostraremos brevemente en la
secci´on 5.3. En rigor, la sem´antica presentada hasta el momento fue multivaluada, ya que los conjuntos de
interpretaci´on eran infinitos, pero ahora tendemos m´as clases de conjuntos numerables, en vez de dos,
D
y
N
,
como en el caso anterior.
5.1 L´ogica trivaluada de Lukasiewicz
Continuando la l´ınea de razonamientos presentada para el caso est´andar, a las proposiciones at´omicas,
le asignamos los conjuntos
Vp, Ip, Fp
, correspondientes a
A1, A2, A3
respectivamente. Seguiremos la inter-
pretaci´on can´onica para este sistema.
V
representar´a valores verdaderos (
v
), con
I
se denotar´an los valores
indeterminados (
i
) y
F
designar´a los falsos (
f
). Cu´ales de estos valores ser´an o n o designados suele venir de
la mano con la forma en la cual se defina la relaci´on de consecuencia l´ogica. Por ejemplo, si se define como
preservadora de valores designados, entonces suele tomarse s´olo
v
como designado. En breve diremos algo
m´as sobre esto.
Para cualquier complejidad αmayor o igual que 1, asignamos los siguientes quince conjuntos:
A15α−11, A15α−10 , A15α−9, A15α−8, A15α−7, A15α−6, A15α−5, A15α−4
A15α−3, A15α−2, A15α−1, A15α, A15α+1, A15α+2 , A15α+3
Cada conectivo
⊙
tiene asociado, para cada complejidad, tres conjuntos:
Vα
⊙, Iα
⊙, F α
⊙
. Y consideramos
5 conectivos diferentes para cada complejidad:
¬,∨,∧,→,↔
. Esto lo hacemos, como ya hemos nombrado
anteriormente, para mantener la m´axima generalidad posible. Si se deseara tener s´olo tres o cuatro indepen-
dientes, no hay m´as que unir los conjuntos de interpretaci´on correspondientes y dejar un ´unico criterio de
adecuaci´on (o tabla).
Observaci´on
: presentaremos los criterios de adecuaci´on correspondientes a los conectivos, pero es
importante aclarar el siguiente punto. Las expresiones a continuaci´on (incluso las correspondientes
al caso de FDE que mostramos luego) est´an en funci´on de los conjuntos
Vα
⊙, Iα
⊙, F α
⊙
(
Vα
⊙, bα
⊙, nα
⊙, F α
⊙
para FDE), en vez de en funci´on de
Dα
⊙
y
Nα
⊙
. Esto lo hacemos para independizarnos (o no
tener que tomar posici´on hasta el final) del rol que estos conjuntos tengan a la hora de tratar la
consecuencia l´ogica. Es decir, a la hora de definir la relaci´on de consecuencia l´ogica, podr´ıamos
tomar como valores designados s´olo a los Vα
⊙, o tambi´en incluir a los Iα
⊙. Como a esta altura no
queremos todav´ıa comprometernos con esto, utilizamos todos los conjuntos presentados. Una
vez decidido cu´ales forman parte de los designados, las expresiones que mostraremos pueden ser
simplificadas. Por lo tanto, las condiciones que por familiaridad y comodidad seguimos llamando
condiciones de adecuaci´on est´an a mitad de camino entre ciertas tablas de verdad no deterministas
y condiciones propias de adecuaci´on. Pensamos que esto no va a generar inconvenientes a la hora
de entender la presentaci´on, ya que a partir de estas condiciones se pueden obtener las expresiones
propias de adecuaci´on si se explicita el conjunto D.
Para cada complejidad
α
,
Vα
=
Vα∪Iα∪Fα
representa el conjunto de todos los valores de verdad asociados
con esa complejidad. Seguimos considerando que ψ=ϕ1⊙ϕ2,v(ϕ1) = ayv(ϕ2) = b.
21
5 EJEMPLOS DE APLICACI ´
ON A L ´
OGICAS MULTIVALUADAS 5.1 L´ogica trivaluada de Lukasiewicz
P DN
v′′
%%
F rmL
v=v′◦v′′
//
v′
::
{f, i, v}
Fig. 2: Relaci´on entre las valuaciones trivaluadas de Lukasiewicz y las valuaciones de complejidad.
Condiciones de adecuaci´on
e
∨α(a,b):
Si a∈Vβyb∈Vγ;β+γ=α−1,entonces e
∨α⊆Vα
∨=A15α−8
Si a∈Iβyb∈Vγ;β+γ=α−1,entonces e
∨α⊆Vα
∨=A15α−8
Si a∈Iβyb∈Iγ∪Fγ;β+γ=α−1,entonces e
∨α⊆Iα
∨=A15α−7
Si a∈Fβyb∈Vγ;β+γ=α−1,entonces e
∨α⊆Vα
∨=A15α−8
Si a∈Fβyb∈Iγ;β+γ=α−1,entonces e
∨α⊆Iα
∨=A15α−7
Si a∈Fβyb∈Fγ;β+γ=α−1,entonces e
∨α⊆Fα
∨=A15α−6
(26)
e
∧α(a,b):
Si a∈Fβyb∈Vγ;β+γ=α−1,entonces e
∧α⊆Fα
∧=A15α−3
Si a∈Iβyb∈Vγ∪Iγ;β+γ=α−1,entonces e
∧α⊆Iα
∧=A15α−4
Si a∈Iβyb∈Fγ;β+γ=α−1,entonces e
∧α⊆Fα
∧=A15α−3
Si a∈Vβyb∈Vγ;β+γ=α−1,entonces e
∧α⊆Vα
∧=A15α−5
Si a∈Vβyb∈Iγ;β+γ=α−1,entonces e
∧α⊆Iα
∧=A15α−4
Si a∈Vβyb∈Fγ;β+γ=α−1,entonces e
∧α⊆Fα
∧=A15α−3
(27)
f→α(a,b):
Si a∈Fβyb∈Vγ;β+γ=α−1,entonces f→α⊆Vα
→=A15α−2
Si a∈Iβyb∈Vγ∪Iγ;β+γ=α−1,entonces f→α⊆Vα
→=A15α−2
Si a∈Iβyb∈Fγ;β+γ=α−1,entonces f→α⊆Iα
→=A15α−1
Si a∈Vβyb∈Vγ;β+γ=α−1,entonces f→α⊆Vα
→=A15α−2
Si a∈Vβyb∈Iγ;β+γ=α−1,entonces f→α⊆Iα
→=A15α−1
Si a∈Vβyb∈Fγ;β+γ=α−1,entonces f→α⊆Fα
→=A15α
(28)
e¬α(a):
Si a∈Vβ;β=α−1,entonces e¬α⊆Fα
¬=A15α−9
Si a∈Fβ;β=α−1,entonces e¬α⊆Vα
¬=A15α−11
Si a∈Iβ;β=α−1,entonces e¬α⊆Iα
¬=A15α−10
(29)
Observaci´on
: aunque lo omitimos, el conjunto correspondiente para doble implicaci´on se puede
presentar de la misma manera.
De igual forma que hicimos en 21 para el caso bivaluado, ahora planteamos
v′:F rmL→ Pnum(N) (30)
fbf →Aj
v′′ :{Aj}j∈N→ {f, i, v}(31)
Aj→fsi j≡0 (3) ; Aj→isi j≡2 (3) ; Aj→vsi j≡1 (3)
Por lo tanto, podemos obtener una nueva valuaci´on, v, realizando la composici´on v′′ ◦v′:
v:F rmL→ {f, i, v}(32)
Si pedimos que se verifiquen los criterios dados por
(26)
,
(27)
,
(28)
,
(29)
, entonces esta sem´antica tendr´a
las mismas consecuencias l´ogicas que su contrapartida est´andar.
22
5 EJEMPLOS DE APLICACI ´
ON A L ´
OGICAS MULTIVALUADAS 5.2 FDE
5.2 FDE
Para adaptar nuestra partici´on a los objetivos de tener una sem´antica para FDE (con la posibilidad de
diferenciar complejidad), procedemos de la siguiente manera. En FDE se toman como conectivos primitivos
¬,∨,∧
, pero para mayor generalidad, nosotros tomaremos la implicaci´on y doble implicaci´on tambi´en como
primitivos. De querer recuperar la versi´on cl´asica de FDE, s´olo debemos ignorar los elementos de la partici´on
asociado con la implicaci´on y doble implicaci´on, adem´as de sus respectivas condiciones de adecuaci´on. De la
misma forma que si queremos prescindir de la distinci´on por complejidades, simplemente unimos (para cada
conectivo) los conjuntos asociados a todas las complejidades. Como la sem´antica est´andar para FDE cuenta
con cuatro valores de verdad, 0
, n, b,
1 (interpretados como s´olo falso, ni verdadero ni falso, verdadero y falso,
s´olo verdadero), entonces definimos
V=V∪n∪b∪F=[
α
[(Vα
¬∪Vα
∨∪Vα
∧∪Vα
→∪Vα
↔)∪(bα
¬∪bα
∨∪bα
∧∪bα
→∪bα
↔)
∪(nα
¬∪nα
∨∪nα
∧∪nα
→∪nα
↔)∪(Fα
¬∪Fα
∨∪Fα
∧∪Fα
→∪Fα
↔)]
Tomaremos cuatro conjuntos para cada conectivo y complejidad. Por lo tanto, asociada con la complejidad
nula tendremos los conjuntos
Vp,
b
p, np, Fp
, vinculados respectivamente con
A1, A2, A3, A4
. Luego tendremos,
para cada complejidad α, 20 conjuntos. Cuatro conjuntos por cada conectivo.
Vα
¬,bα
¬, nα
¬, F α
¬(A20α−15, A20α−14 , A20α−13, A20α−12 )
Vα
∨,bα
∨, nα
∨, F α
∨(A20α−11, A20α−10 , A20α−9, A20α−8)
Vα
∧,bα
∧, nα
∧, F α
∧(A20α−7, A20α−6, A20α−5, A20α−4)
Vα
→,bα
→, nα
→, F α
→(A20α−3, A20α−2, A20α−1, A20α)
Vα
↔,bα
↔, nα
↔, F α
↔(A20α+1, A20α+2 , A20α+3, A20α+4 )
Criterios de adecuaci´on para FDE
Por cuestiones de extensi´on, presentaremos s´olo los criterios asociados a los conjuntos de interpretaci´on de la
negaci´on, disyunci´on y conjunci´on. Las condiciones para el resto de los conectivos son las heredadas por su
interdefinici´on (si uno desea mantenerse en el marco est´andar de FDE). De requerirse, se pueden presentar
criterios independientes para la implicaci´on y doble implicaci´on, que se adapten a las necesidades.
e¬α(a):
Si a∈Vβ;β=α−1,entonces e¬α⊆Fα
¬=A20α−12
Si a∈bβ;β=α−1,entonces e¬α⊆bα
¬=A20α−14
Si a∈nβ;β=α−1,entonces e¬α⊆nα
¬=A20α−13
Si a∈Fβ;β=α−1,entonces e¬α⊆Vα
¬=A20α−15
(33)
e
∨α(a,b):
Si a∈Vβyb∈Vγ;β+γ=α−1,entonces e
∨α⊆Vα
∨=A20α−11
Si a∈bβyb∈Vγ∪nγ;β+γ=α−1,entonces e
∨α⊆Vα
∨=A20α−11
Si a∈bβyb∈bγ∪Fγ;β+γ=α−1, , entonces e
∨α⊆bα
∨=A20α−10
Si a∈nβyb∈Vγ∪bγ;β+γ=α−1, , entonces e
∨α⊆Vα
∨=A20α−11
Si a∈nβyb∈nγ∪Fγ;β+γ=α−1, , entonces e
∨α⊆nα
∨=A20α−9
Si a∈Fβyb∈Xγ;β+γ=α−1,entonces e
∨α⊆Xα
∨
(34)
Para simplificar la expresi´on, hemos utilizado Xdenotando cualquiera de los conjuntos V, b, n, F
e
∧α(a,b):
Si a∈Fβyb∈Vγ;β+γ=α−1,entonces e
∧α⊆Fα
∧=A20α−4
Si a∈nβyb∈Vγ∪nγ;β+γ=α−1,entonces e
∧α⊆nα
∧=A20α−5
Si a∈nβyb∈bγ∪Fγ;β+γ=α−1, , entonces e
∧α⊆Fα
∧=A20α−4
Si a∈bβyb∈Vγ∪bγ;β+γ=α−1, , entonces e
∧α⊆bα
∧=A20α−6
Si a∈bβyb∈nγ∪Fγ;β+γ=α−1, , entonces e
∧α⊆Fα
∧=A20α−4
Si a∈Vβyb∈Xγ;β+γ=α−1,entonces e
∧α⊆Xα
∧
(35)
23
5 EJEMPLOS DE APLICACI ´
ON A L ´
OGICAS MULTIVALUADAS 5.3 Caso general
P DN
v′′
&&
F rmL
v=v′◦v′′
//
v′
::
{f, n, b, v}
Fig. 3: Relaci´on entre las valuaciones tetravaluadas de FDE y las valuaciones de complejidad.
Continuando lo hecho en los casos anteriores,
v′:F ormL→ Pnum(N) (36)
fbf →Aj
v′′ :{Aj}j∈N→ {f, n, b, v}(37)
Aj→fsi j≡0 (4) ; Aj→nsi j≡3 (4) ; Aj→bsi j≡2 (4) ; Aj→vsi j≡1 (4)
Por lo tanto, podemos obtener una nueva valuaci´on, v, realizando la composici´on v′′ ◦v′(figura 3):
v:F rmL→ {f, n, b, v}(38)
Si pedimos que se verifiquen los criterios de adecuaci´on correspondientes, entonces nuestra sem´antica
validar´a las mismas f´ormulas que el caso est´andar de FDE.
5.3 Caso general
Para el caso en el cual existan
m
valores de verdad y
s
conectivos independientes (ambos finitos), debemos
asociar los elementos de nuestra partici´on de la siguiente manera.
Al nivel proposicional at´omico se le asignar´an los conjuntos de valores de verdad (incluyendo designados y
no designados)
V1, V2, ..., Vm(correspondientes a A1, A2, ..., Am)
Para complejidad
α
mayor que cero, tendremos
m
conjuntos para cada uno de los
s
conectivos, es decir,
tendremos un total de s.m conjuntos
Vα
1,⊙i, V α
2,⊙i, ..., V α
m,⊙ii∈ {1, ..., s}
Si la complejidad es 1, los s.m conjuntos asociados son :
Am+1, Am+2 , ..., As.m+m
Y para αgen´erica:
Am(sα−s+1)+1, ..., Amsα+m
Note que para el caso particular
m
= 4
, s
= 5, se reproducen (para cada complejidad) los conjuntos utilizados
en el caso de FDE. Por ejemplo,
m
= 4
, s
= 5
, α
= 1, genera los
s.m
= 20 conjuntos
A5, ..., A24
. De igual
forma, se puede corroborar que cumple tambi´en con lo visto para el caso de
L
ukasiewicz. Los criterios que
deben cumplir los conjuntos deben introducirse en cada caso y teniendo en cuenta la compatibilidad con la
sem´antica que uno desea (para el caso que discrimine la complejidad)
24
5 EJEMPLOS DE APLICACI ´
ON A L ´
OGICAS MULTIVALUADAS5.4 Aislando comportamientos no deseados: dos ejemplos de mo dularizaci´on
5.4 Aislando comportamientos no deseados: dos ejemplos de modularizaci´on
El objetivo de nuestra secci´on final es mostrar, a trav´es de dos ejemplos, un posible procedimiento efectivo que
puede ser implementado cuando se desee tener conjuntos de interpretaci´on con comportamientos particulares
para algunas complejidades, sin que se vean afectados los dem´as conjuntos. Es decir, cuando deseemos aislar
ciertos comportamientos de las valuaciones dentro de algunas regiones particulares. Ya nombramos esta
posibilidad anteriormente cuando aseveramos que con las PDN generalizadas se pueden construir conjuntos
de interpretaci´on que tengan en cuenta toda la cadena de formaci´on de las fbf. Con el fin de no extender
demasiado esta secci´on y que el ejemplo sea lo m´as claro posible, supondremos que contamos s´olo con dos
conectivos independientes,
¬,∨
. El procedimiento efectivo mostrado dejar´a claro c´omo generalizar para el
caso de un n´umero arbitrario de conectivos (incluso infinito). Tambi´en permitir´a extraer el procedimiento
general para controlar comportamientos por regiones de complejidad para cualquier conectivo. Los ejemplos
siguientes s´olo pretenden mostrar la idea general, no formalizar un m´etodo. Aunque tal formalizaci´on se
postergar´a para futuros trabajos, quedar´a claro su plausibilidad como m´etodo algor´ıtmico a implementar.
Ejemplo de modularizaci´on
Supongamos tener una negaci´on con un comportamiento totalmente desadecuado cuando de f´ormulas de
complejidad 1 se trata. ¿Podremos hacer que este mal comportamiento no repercuta sobre las dem´as f´ormulas
de nuestro lenguaje? Esto es, queremos que el mal comportamiento de la negaci´on quede aislado para fbf de
complejidad 1, es decir, que los valores de esta negaci´on no est´andar no repercutan al evaluar f´ormulas como,
por ejemplo,
¬
(
¬p
)o(
p∨ ¬q
). Para nuestro primer ejemplo, consideremos que el conjunto de interpretaci´on
para f´ormulas de complejidad 1 con conectivo principal ¬es tal que:
e¬1
(a)⊆N1
¬∀a∈Vp(39)
Sin embargo, deseamos que a partir de esta complejidad su comportamiento sea cl´asicos (y no tener
arrastre de “error” para las complejidades superiores). Vamos a decir que esta negaci´on es an´omala, o
que tiene un comportamiento an´omalo, para complejidad 1. Con este conjunto de interpretaci´on, todas
las valuaciones otorgan valores no designados a las negaciones de proposiciones, sin importar qu´e valor de
verdad le otorguen a las las variables proposicionales. Exponemos este caso extremo para dejar claro c´omo
implementar el procedimiento de modularizaci´on, no porque pensemos que este caso pueda tener aplicaci´on
directa.
Queda claro que no alcanza con imponer un comportamiento est´andar a todos los conjuntos de compleji-
dades mayores, esto es,
e¬α
(a)⊆Dα
¬si a∈Nα−1
¬;e¬α
(a)⊆Nα
¬si a∈Dα−1
¬;α≥2 (40)
Ya que de esta manera, todas las f´ormulas de complejidad 2 con conectivo principal
¬
tendr´an valores designados
y arrastraremos el mal comportamiento inicial. Veamos c´omo dar una posible soluci´on. Comencemos
estableciendo la PDN est´andar asociada al sistema. Recordemos que para simplificar la exposici´on, tomamos
s´olo dos conectivos independientes (¬,∨).
A1←→ Dp
A2←→ Np
A3←→ D1
¬
A4←→ N1
¬
A5←→ D1
∨
A6←→ N1
∨
A7←→ D2
¬
A8←→ N2
¬
25
5 EJEMPLOS DE APLICACI ´
ON A L ´
OGICAS MULTIVALUADAS5.4 Aislando comportamientos no deseados: dos ejemplos de mo dularizaci´on
A9←→ D2
∨
A10 ←→ N2
∨
.
.
.
Supongamos que los ´unicos conjuntos que tienen un comportamiento no adecuado, fuera de lo cl´asico,
son los asociados a
e¬1
. ¿C´omo deber´ıamos hacer para que nuestras valuaciones a´ıslen este comportamiento
an´omalo y podamos seguir manteniendo, por ejemplo,
¬
(
¬p
)
|
=
p
? (o que
p∨
(
¬q
) sea designada cuando ni
p
ni qlo son).
El procedimiento general consiste en actuar sobre los conjuntos a partir de donde se desea restablecer un
comportamiento dado. En nuestro caso, deseamos restablecer el comportamiento cl´asico para la negaci´on
a partir de complejidad 2, por lo tanto actuamos sobre
e¬2
y todos los conjuntos cuyos valores de entrada
involucren elementos de
e¬1
. Esto es, tambi´en debemos efectuar cambios similares sobre los conjuntos
designados y no designados asociados con
e
∨α
, ya que una fbf de complejidad
α≥
2 con conectivo principal
∨
,
de la forma, por poner un ejemplo, (
ϕ∨q
)
∨
(
¬r
), estar´a comprometida con el mal comportamiento de la
negaci´on de proposiciones (qyrson proposiciones y compl(ϕ) = α−3).
Para concretizar, comenzaremos calculando el valor de verdad que una de estas valuaciones da a la
proposici´on p∨(¬q). Luego daremos un ´ultimo ejemplo que se compromete con la doble negaci´on.
Sean
v
(
p
) =
a2,1∈Np
=
A2
y
v
(
q
) =
a2,2∈Np
=
A2
, queremos obtener
v
(
p∨ ¬q
). Llamemos
c
al valor
que nuestra valuaci´on otorga a
¬q
. Entonces,
v
(
¬q
) =
c∈e¬1⊆N1
¬
, es decir, nuestra valuaci´on dar´a un valor
no designado a la negaci´on de
q
. Si el comportamiento de la disyunci´on se considera cl´asico, entonces el valor
que la valuaci´on otorgar´a a
p∨ ¬q
ser´a no designado. Pero esto se deber´a, no al mal comportamiento de la
disyunci´on, sino al arrastre del valor no deseado que la valuaci´on otorga a
¬q
. Para sortear este obst´aculo,
realizamos una nueva PDN sobre los conjuntos correspondientes a la disyunci´on de complejidad 2. Para esto,
podemos utilizar el procedimiento mostrado en la secci´on 2.3. Esto es, utilizamos grados de libertad internos
asociados a
e
∨2
, ya que
v
(
p∨
(
¬q
))
∈e
∨2
(a2,1,c)
. Sabemos que el valor de entrada no deseado,
c
, que tomar´a
nuestro conjunto
e
∨2
se encuentra en
N1
¬
, cuando, “en realidad”, deber´ıa pertenecer a
D1
¬
(si no tuvi´esemos la
anomal´ıa de la negaci´on). Por lo tanto, desarrollemos internamente
D2
∨
para corregir internamente ese valor.
Observaci´on
: debemos desarrollar internamente este conjunto, y no
N2
∨
, porque deseamos recuperar
alg´un comportamiento cl´asico a partir de una situaci´on que, en principio, es totalmente opuesta.
Y en un contexto cl´asico, sabemos que, de los valores que las valuaciones dieron a las variables
proposicionales, se sigue que el valor de verdad de la f´ormula considerada debe ser designado.
Esto es, a partir de complejidad 1 queremos retomar una adecuaci´on de los conectivos de car´acter
cl´asico. Como ya dijimos, para cada complejidad uno puede imponer sus criterios de adecuaci´on.
Lo ´unico nuevo ahora es que queremos tener la posibilidad de que los criterios seleccionados para
complejidades inferiores no repercutan sobre otras superiores.
Todo el ardid de la cuesti´on radica volver a calcular, a partir de los los valores de verdad de las
proposiciones at´omicas (pertenecientes a
Dp, Np
), los valores de verdad de las subf´ormulas asociadas con
e
∨2
, sin tener que tomar valores de de entrada an´omalos (en este caso
c
) correspondientes a los conjuntos
que tienen el comportamiento no deseado. Realizando una nueva partici´on sobre
A9
, obtenemos numerables
subconjuntos de la forma
A9,j
. Mostramos s´olo los primeros porque esto nos alcanza para realizar los cambios
nombrados. Asociamos a los dos primero conjuntos de
D2
∨
, es decir,
A9,1, A9,2
, los conjuntos
Dp
(
A1
) y
Np
(
A2
)
respectivamente, que es donde se encuentra la informaci´on deseada no afectada por la anomal´ıa de la negaci´on
de complejidad 1.
A9←→ D2
∨:
2Dp←→ A9,1≡A1(asociamos a9,1,i ←→ a1,i)
2Np←→ A9,2≡A2(asociamos a9,2,i ←→ a2,i)
2D1
¬←→ A9,3
2N1
¬←→ A9,4
2D1
∨←→ A9,5
2N1
∨←→ A9,6
2D2
∨←→ A9,7
(41)
26
5 EJEMPLOS DE APLICACI ´
ON A L ´
OGICAS MULTIVALUADAS5.4 Aislando comportamientos no deseados: dos ejemplos de mo dularizaci´on
Hemos puesto super´ındices izquierdos para distinguir, por el momento, los conjuntos de la partici´on original
de los obtenidos por esta nueva PDN generalizada. Es importante ver que
N1
¬
y
2N1
¬
son distintos, uno tiene
asociado
A4
(en la PDN de base 2 con dos conectivos independientes) y el otro,
A9,4
. Mientras la negaci´on
an´omala de complejidad 1 est´a totalmente comprometida con
e¬1
(a)⊆N1
¬
=
A4
para todo valor de entrada
a
,
no pasa lo mismo con el c´alculo, a trav´es de grados de libertad internos, que reproduzcamos usando
A9,4
.
Esto queda a cargo de los nuevos (e independientes) criterios que impongamos sobre la nueva partici´on. Como
deseamos restablecer un comportamiento est´andar, impongamos:
D2
∨:e¬1
(a)⊆2D1
¬=A9,3si a∈Np
e¬1
(a)⊆2N1
¬=A9,4si a∈Dp
e
∨1
(a,b)⊆2D1
∨=A9,5si a∈Dpob∈Dp
e
∨1
(a,b)⊆2N1
∨=A9,6si a∈Npyb∈Np
e
∨2
(a,b)⊆2D2
∨=A9,7si a∈2Dβ∧b∈Vγob∈2Dγ∧a∈Vβ;β+γ= 1
(42)
De esta manera, cuando evaluemos internamente
¬q
para obtener
v
(
p∨ ¬q
), no utilizaremos los conjuntos
D1
¬yN1
¬(A3yA4), sino 2D1
¬y2N1
¬(A9,3yA9,4).
Veamos un poco mejor esto: como
v
(
p
) =
a2,1∈Np
y
v
(
q
) =
a2,2∈Np
, entonces utilizando 42 tenemos que
v
(
¬q
)
∈e¬1
(a2,2)⊆2D1
¬
=
A9,3
, ya que
a2,2∈2Np
=
A9,2≡A2
. Esto es,
a2,2
es
a9,2,2
, seg´un lo que dijimos en
las dos primeras l´ıneas de 41. Por lo tanto,
v
(
¬q
) es designado, asign´emosle el valor
a9,3,j
(donde
j
representa
la posici´on dentro del conjunto
A9,3
). Siguiendo de esta forma,
v
(
p∨ ¬q
)
∈e
∨2
(a2,1,a9,3,j )⊆2D2
∨
=
A9,7
(por ´ultima l´ınea de 42). Con lo cual obtenemos que nuestra proposici´on adquiere un valor designado,
por ejemplo,
a9,7,k
, restaurando la anomal´ıa dada debido al conjunto de interpretaci´on de complejidad 1
para la negaci´on. Es importante remarcar, que debido a que todo este c´alculo depende s´olo de los grados
de libertad internos, no afecta las valuaciones anteriores. Es decir, las valuaciones proposicionales siguen
manteniendo valores originales y
¬q
sigue siendo no designado. El ´unico cambio aparecer´a a partir de
complejidad 2, restaurando un comportamiento cl´asico, para aquellos conjuntos de interpretaci´on que tomen
valores de entrada correspondientes a
2D2
∨
(que a efectos de las complejidades superiores, ya puede ser tomado
directamente como D2
∨, prescindiendo del supra´ındice izquierdo).
Observaci´on
: queda a la vista que el procedimiento de PDN generalizadas, como bien ya fue
remarcado en la secci´on 2.3, junto con el procedimiento efectivo que otorga los grados internos
de libertad son enteramente algoritmables. Por lo tanto, nuestro procedimiento recursivo puede
ser implementado de manera autom´atica en un ordenador. Las valuaciones de complejidad,
incluyendo PDN generalizadas con grados internos de libertad, representan un procedimiento
efectivamente implementable con el cual construir valuaciones. El procedimiento mostrado
desarrollando los grados internos permite que la composicionalidad y funcionalidad (dentro del
rango permitido por el marco de Nmatrices) sea restablecida a pasos anteriores y no necesariamente
al inmediatamente anterior. No es simplemente un “olvidarse de lo calculado anteriormemnete”
y establecer a conveniencia nuevos valores. Los criterios efectivos pueden ser algor´ıtmicamente
implementados complejidad por complejidad y recalculados, de ser necesario, a partir de nuevos
criterios algor´ıtmicos en cada paso. En nuestro ejemplo establecimos la dependencia “composicional”
con los valores de las proposiciones at´omicas, salteando el nivel de complejidad 1. Es como si
pudi´esemos “puentear” ciertas regiones problem´aticas y restablecer la dependencia con ciertas
zonas anteriores. Llevado al extremo, y a pesar de en todo momento movernos dentro de un marco
no determinista de Nmatrices, podemos hace que toda valuaci´on, sin importar la complejidad,
dependa directamente del nivel at´omico sin verse afectado por los niveles intermedios. Por
decirlo de alguna manera, este m´etodo permite volver a barajar y tirar nuevamente de forma
independiente para cada complejidad. Obviamente, cuando no se expande ning´un nivel interno
de libertad y las condiciones de adecuaci´on se independizan de la complejidad, recobramos la
sem´antica de partida (como ya mostramos en cap´ıtulos anteriores). A esta caracter´ıstica de
los conjuntos de interpretaci´on para los conectivos Nmatriciales con grados de libertad internos
podemos denominarla dependencia de las condiciones iniciales. Con lo que estas condiciones
iniciales determinar´ıan de forma recursiva el comportamiento de los conjuntos de interpretaci´on
de forma independiente para cada complejidad. Todos podr´ıan eventualmente, si lo dese´aramos,
27
5 EJEMPLOS DE APLICACI ´
ON A L ´
OGICAS MULTIVALUADAS5.4 Aislando comportamientos no deseados: dos ejemplos de mo dularizaci´on
depender solo de las condiciones iniciales, aunque esta dependencia pueda ser distinta para cada
complejidad.
´
Ultimo ejemplo
Seg´un lo reci´en mostrado y considerando la anomal´ıa en la negaci´on, ¿qu´e tendr´ıamos que hacer para que
toda valuaci´on que no designe a
p
tampoco designe a
¬
(
¬p
)? Como vimos, no podemos contar con el valor
que cada valuaci´on otorgue a
¬p
, ya que son todos no designados. Lo que debemos hacer es tomar el valor
que cada valuaci´on asigna a cada variable proposicional y, en funci´on de ´esta, calcular el conjunto donde se
interpretar´a
¬
(
¬p
), que es
e¬2
. La principal diferencia radica en que queremos que este conjunto sea funci´on de
v
(
p
), en vez de depender de
v
(
¬p
) (como ser´ıa de manera est´andar). O, dicho de forma equivalente, queremos
que
e¬2
sea funci´on de un nuevo valor de
v
(
¬p
), (podr´ıamos llamarlo
vint
(
¬p
), por valuaci´on interna) que
no est´e comprometido con la anomal´ıa y que sea s´olo utilizado para el c´alculo interno de la doble negaci´on
de p sin cambiar los valores establecidos hasta el momento por la valuaci´on. Es decir, aunque recalculemos
internamente el valor de verdad de
¬p
para obtener un valor no contaminado de
¬
(
¬p
), no cambiamos el
valor original an´omalo que la valuaci´on otorga a ninguna negaci´on de complejidad 1.
Son dos formas equivalentes de verlo:
1. a
) queremos
e¬2
(v(p))
, en vez de
e¬2
(v(¬p))
. Es decir, para calcular el conjunto en donde se valuar´an todas
las
fbf
de complejidad 2 con conectivo principal negaci´on, no tendremos en cuenta el valor de verdad
de ¬p, sino el de p.
2. b
) queremos
e¬2
(vint(¬p))
, en vez de
e¬2
(v(¬p))
. Esto es, utilizando una PDN generalizada y los grados
internos de libertad asociados con
e¬2
, calcularemos el valor de verdad de
¬p
imponiendo nuevos criterios
de adecuaci´on, con el fin de obtener un valor para
¬
(
¬p
) no afectado por la anomal´ıa del conjunto de
interpretaci´on para la negaci´on de complejidad 1.
En ambos puntos de vista estamos utilizando los nuevos conjuntos asociados a una PDN generalizada e
imponiendo criterios independientes sobre ellos.
Como bien ya vimos en el ejemplo anterior, debemos mantener la informaci´on de los valores de verdad
que cada valuaci´on otorga a las variables proposicionales para calcular el conjunto de interpretaci´on donde se
van a valuar las f´ormulas en cuesti´on. Como nosotros deseamos, en principio, valuar
¬
(
¬p
) y
v
(
¬
(
¬p
))
∈e¬2
,
la informaci´on debemos guardarla en alguno de los conjuntos asociados con
e¬2
. Mostraremos c´omo proceder
para e¬2.
El conjunto de interpretaci´on para la negaci´on de complejidad 2 est´a asociado con
A7
y
A8
(
D2
¬, N 2
¬
).
Sobre estos dos conjuntos volvemos a aplicar el procedimiento est´andar para generar una nueva PDN de cada
uno. En el ejemplo anterior realizamos este procedimiento s´olo con
D2
∨
(
A9
), porque hab´ıamos supuesto de
entrada valores dados para las variables proposicionales. Pero realizarlo sobre ambos conjuntos no generar´a
ninguna confusi´on. Para esto, volvemos a aplicar el el procedimiento anterior, desarrollado en la secci´on
2.3. Esto es,
A7
queda separado en los conjuntos numerables y disjuntos
A7,1, A7,2, ..., A7,n, ...
y
A8
, en
A8,1, A8,2, ..., A8,n,....
Como ya nombramos, el ardid es volver a calcular, a partir de los los valores de verdad de las proposiciones
at´omicas (
Dp, Np
), los valores de verdad de las subf´ormulas asociadas con
e¬2
, sin tener que tomar valores
de de entrada an´omalos correspondientes a los conjuntos que tienen el comportamiento no deseado. Para
esto, en nuestro caso, asociamos a los dos primero conjuntos de
D2
¬, N 2
¬
, es decir,
A7,1, A7,2
y
A8,1, A8,2
, los
conjuntos
Dp
(
A1
) y
Np
(
A2
) respectivamente, que es donde se encuentra la informaci´on deseada no afectada
por la anomal´ıa de la negaci´on de complejidad 1. De
A7,3
y
A8,3
en adelante, procedemos de la manera que
ahora mostraremos:
A7←→ D2
¬:
2Dp←→ A7,1≡A1(asociamos a7,1,i ←→ a1,i)
2Np←→ A7,2≡A2(asociamos a7,2,i ←→ a2,i)
2D1
¬←→ A7,3
2N1
¬←→ A7,4
2D1
∨←→ A7,5
2N1
∨←→ A7,6
2D2
¬←→ A7,7
(43)
28
5 EJEMPLOS DE APLICACI ´
ON A L ´
OGICAS MULTIVALUADAS5.4 Aislando comportamientos no deseados: dos ejemplos de mo dularizaci´on
Los dos primeros conjuntos,
A7,1
y
A7,2
fueron reemplazados por
A1
(
Dp
) y
A2
(
Np
), que son los que
guardan la informaci´on original sobre las valuaciones de las proposiciones at´omicas. En la ´ultima l´ınea,
llegamos a
2D2
¬
, que es el conjunto designado final, producto del tratamiento de estos grados internos de
libertad, que ser´a utilizado en las adecuaciones, sin que se arrastren anomal´ıas anteriores. Este conjunto,
2D2
¬
, ser´a el que utilizaremos, por ejemplo, cuando un conectivo de complejidad mayor necesite de entrada
un valor designado correspondiente a una negaci´on de complejidad 2. De esta manera, logramos calcular, el
conjunto
2D2
¬
a partir de los valores originales que la valuaci´on otorga a las proposiciones at´omicas. Es este
conjunto el que utilizaremos si queremos que el valor de verdad de la doble negaci´on coincida con el de la
variable proposicional. Si v(p)∈Dp, entonces v(¬(¬p)) ∈e¬2
(v(p)) ⊆2D2¬=A7,7
Procedamos de manera id´entica para N2
¬:
A8←→ N2
¬:
2Dp←→ A8,1≡A1
2Np←→ A8,2≡A2
2D1
¬←→ A8,3
2N1
¬←→ A8,4
2D1
∨←→ A8,5
2N1
∨←→ A8,6
2N2
¬←→ A8,7
(44)
Estos grados de libertad internos permitir´an adecuar los conjuntos de interpretaci´on sin arrastrar errores
anteriores no deseados. Ahora se ver´a, en cuanto apliquemos los criterios de adecuaci´on cl´asicos para nuestro
ejemplo, que estas PDN generalizadas permiten reproducir internamente los c´alculos de valuaciones, sin tener
en cuenta resultados de complejidades anteriores (salvo desde donde decidimos partir, en nuestro caso
Dp
y
Np
) y sin alterarlos. Lo que hagamos en estos conjuntos (grados de libertad internos ) y los sucesivos no
afectar´a a las valuaciones de complejidad 1.
Pasemos a realizar la adecuaci´on de los grados internos para D2
¬.
D2
¬:e¬1
(a)⊆2D1
¬=A7,3si a∈Np
e¬1
(a)⊆2N1
¬=A7,4si a∈Dp
e
∨1
(a,b)⊆2D1
∨=A7,5si a∈Dpob∈Dp
e
∨1
(a,b)⊆2N1
∨=A7,6si a∈Npyb∈Np
e¬2
(a)⊆2D2
¬=A7,7si a∈2N1
¬∪2N1
∨:= 2N1=A7,4∪A7,6
(45)
Para N2
¬, obtenemos:
N2
¬:e¬1
(a)⊆2D1
¬=A8,3si a∈Np
e¬1
(a)⊆2N1
¬=A8,4si a∈Dp
e
∨1
(a,b)⊆2D1
∨=A8,5si a∈Dpob∈Dp
e
∨1
(a,b)⊆2N1
∨=A8,6si a∈Npyb∈Np
e¬2
(a)⊆2N2
¬=A8,7si a∈2D1
¬∪2D1
∨:= 2D1=A8,3∪A8,5
(46)
Los conjuntos finales,
2D2
¬,2N2
¬
, producto del proceso de adecuaci´on de los grados de libertad interna,
son los que tomamos para reemplazar a los originales
D2
¬, N 2
¬
. Por lo tanto, ya estamos en condiciones de
expresar la condici´on de adecuaci´on para e¬2, sin que se vea afectada por las anomal´ıas del nivel anterior.
e¬2:e¬2
(a)⊆D2
¬(2D2
¬) si a∈N1=N1
¬∪N1
∨=A7,4∪A7,6
e¬2
(a)⊆N2
¬(2N2
¬) si a∈D1=D1
¬∪D1
∨=A8,3∪A8,5(47)
Estas ´ultimas adecuaciones est´an en funci´on del valor de verdad de la f´ormula de complejidad anterior, en
nuestro caso
v
(
¬p
), pero es equivalente a calcularla a partir del valor original de
v
(
p
), porque los conjuntos
ya est´an adecuados de la manera correcta para corresponderse con el comportamiento cl´asico. Por lo tanto,
podemos optar (para el caso de la negaci´on) tomar como valor de entrada el valor de verdad de la variable
proposicional o el valor de la subf´ormula de complejidad anterior. Este procedimiento nos permite que las
valuaciones de complejidad 2 se val´uen dentro de conjuntos que no est´en afectados por las anomal´ıas del
nivel anterior.
29
BIBLIOGRAF´
IA
Resumiendo
: gracias a las PDN generalizadas y los grados de libertad internos, cada conjunto de
interpretaci´on de un cierto conectivo de complejidad
α
puede mantener una copia interna de todos los
conjuntos de interpretaci´on anteriores que sean necesarios para recalcular valuaciones sin necesidad de
recurrir a valores de entrada que arrastren errores o comportamientos no deseados. El m´etodo sin grados de
libertad internos nos permit´ıa brindar criterios de adecuaci´on de forma independiente para cada complejidad.
Incorporando estos nuevos grados de libertad, podemos adem´as aplicar estos criterios esquivando las lagunas
de mal comportamiento que puedan haber surgido en el medio, que pueden haber surgido por alg´un motivo o
hayan sido producidas intencionalmente.
Puede verse que con este procedimiento, al poder corregir la anomal´ıa causada por la negaci´on de
complejidad 1, nuestra valuaci´on no representa un contraejemplo para la siguiente relaci´on
¬(¬p)|=p
, a pesar de que todas las valuaciones otorguen valores no designados a ¬p.
Tomemos el caso especial donde
v
(
p1
) =
a2,j ∈Np
y veamos qu´e valor nos dar´ıa esta valuaci´on para
v
(
¬
(
¬p1
)). Como
v
(
¬
(
¬p1
))
∈e¬2
, si no tuvi´esemos en cuenta lo reci´en dicho, entonces
v
(
¬
(
¬p1
))
∈e¬2
(b)
, con
b
=
v
(
¬p1
)
∈Np
, ya que toda valuaci´on otorga valores no designados a
¬p1
. Como, por supuesto,
e¬2
(
b
) tiene
un comportamiento cl´asico,
e¬2
(b)⊆D2
¬
=
A7
. Es decir, la valuaci´on designa a la doble negaci´on de
p1
. Con lo
cual tenemos que ¬(¬p1)|=p1.
Si, por otro lado, consideramos los grados internos de libertad para no depender del valor an´omalo
de la negaci´on de complejidad 1, tenemos que
v
(
¬
(
¬p1
))
∈e¬2
(v(p1))
(en vez de
v
(
¬
(
¬p1
))
∈e¬2
(v(¬p1))
) y
seguimos instrucciones seg´un 46. Esto es, por 44, tenemos que
v
(
p1
) =
a8,2,j ∈2Np≡A8,2
. Por lo tanto,
v
(
¬p1
)
∈2D1
¬
=
A8,3
. Y finalmente,
v
(
¬
(
¬p1
))
∈2N2
¬
=
A8,7
, dando un valor no designado a la doble
negaci´on de p1.
6 Conclusiones
Las PDN constituyen un poderoso m´etodo para disjuntar a los naturales en numerables conjuntos numerables.
El proceso es algoritmable y existen tantas formas de realizarlo como n´umeros reales. Mostramos que estas
particiones pueden ser la base de una sem´antica para un lenguaje proposicional. Hemos mostrado que el
m´etodo permite construir un marco sem´antico general donde no s´olo quedan embebidos, entre otros, sistemas
l´ogicos como LC, LP,
L3
y FDE, sino que adem´as permite otorgar significado a las f´ormulas dependiendo
de su complejidad. Es decir, este marco general admite sem´anticas con precisi´on suficiente como para
discriminar (y significar) f´ormulas que, teniendo la misma forma l´ogica, difieran en sus complejidades. El
m´etodo de construcci´on de las valuaciones de complejidad permite generalizar, en t´erminos de precisi´on,
ciertas sem´anticas, como la cl´asica bivaluada, la trivaluada de
L
ukasiewics y la tetravaluada FDE, entre
otros. El m´etodo nos da la garant´ıa de poder recuperar estos sistemas en su forma est´andar en caso de ser
necesario, simplemente uniendo ciertos conjuntos disjuntos. El razonamiento presentado se mostr´o totalmente
compatible con las sem´anticas no deterministas de Nmatrices, por lo que podremos presentar aplicaciones
en este campo en futuros trabajos. Como una de las tantas consecuencias de esta l´ınea de razonamientos,
mostramos que es posible construir valuaciones que asignen de forma coherente un valor de verdad distinto a
cada f´ormula del lenguaje.
Bibliograf´ıa
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