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Más de uno, pero menos de dos.
La enseñanza de las fracciones y los decimales
en la educación básica.
Otra vía en el aprendizaje de las matemáticas
Más de uno, pero menos de dos.
La enseñanza de las fracciones y
los decimales en la educación básica.
Otra vía en el aprendizaje de las matemáticas
D B S
Departamento de
Investigaciones
Educativas
Block Sevilla, David () Más de uno, pero menos de dos. La ense-
ñanza de las fracciones y los decimales en la educación básica. Otra vía
en el aprendizaje de las matemáticas.
Primera edición
páginas, con ilustraciones y referencias
México, Autores,
ISBN: ----
Más de uno, pero menos de dos.
La enseñanza de las fracciones y los decimales en la educación básica.
Otra vía en el aprendizaje de las matemáticas
DR © David Block Sevilla
DR © UPN, Zacatecas
DR © 2022 Cinvestav
DR © Taberna Libraria Editores
Fernando Villalpando
Centro, Zacatecas, Zacatecas
tabernalibrariaeditores@gmail.com
Revisora de contenido: I S
Diseño y formación: D
Corrección de estilo:
V A R
M R B
L G. R Z
Primera edición: octubre,
ISBN:----
Reservados todos los derechos. No se permite la reproducción total
o parcial de esta obra, ni su transmisión en cualquier forma o por
cualquier medio (electrónico, mecánico, fotocopia, grabación u otros)
sin autorización previa y por escrito de los titulares del copyright. La
infracción de dicho derecho puede constituir un delito contra la pro-
piedad intelectual.
Impreso en México / Printed in Mexico
ÍNDICE
Agradecimientos 11
Prólogo 13
Introducción 21
Capítulo 1. Las fracciones y la división 35
Introducción
Tema . El reparto en los primeros grados de la primaria
. Primera tarea: repartir entre y entre
. Segunda tarea: repartir entre
. Tercera tarea: comparar resultados de un mismo reparto
Tema . Diversidad de situaciones de reparto
Tema . La fracción como cociente de dos enteros
. Generalización del resultado de los repartos:
m unidades entre n es igual a de unidad
. Un problema de división en el que no se
reparten pasteles
. Dos deniciones de las fracciones: como
partes de unidad y como cocientes
Capítulo 2. Las fracciones en el papel de razones 83
Tema . La comparación de razones sin fracciones
. ¿Qué naranjada sabe más a naranja?
. ¿Qué trato conviene más?
. ¿Qué rana da saltos más grandes?
Tema . Las razones se expresan con fracciones
. Un primer ejemplo
. Un caso de uso espontáneo de las
fracciones y , en sexto grado
. Ordenar razones, teniendo a la vista las
fracciones que las representan
. Ubicar razones entre fracciones en la recta numérica
. Comparar una razón expresada con una fracción, contra otras
razones expresadas mediante un par de números naturales.
Capítulo 3. Fracciones y decimales
como operadores multiplicativos 125
Introducción ¿Qué signica multiplicar por ?
Tema . La multiplicación de fracciones en
el contexto de la proporcionalidad
. Las fracciones como razones internas
. Las fracciones como constantes de proporcionalidad
Tema . La división de fracciones y
decimales en el contexto de la escala
. Dos casos en los que la división de fracciones tiene
el mismo sentido que la división de números naturales
. El caso general: la división, como
operación inversa de la multiplicación
Tema . La multiplicación de fracciones y
decimales en el cálculo del área del rectángulo
. Del área de un rectángulo cuyos lados
miden fracciones, al algoritmo de la multiplicación
. Aproximaciones al área de un
rectángulo mediante decimales.
Colofón
Introducción
11
Para la elaboración de esta obra he contado con la valiosísima
colaboración de varios colegas. Irma Saiz, revisó los conte-
nidos matemáticos y didácticos. Además de sus numerosas
observaciones, aportó generosamente lecciones de sus libros
de texto junto con algunas reexiones para facilitar su análisis
por parte de los docentes.
Al Dr. Luis Manuel Aguayo, mi agradecimiento por la original
y sugestiva presentación de la obra.
Asimismo, agradezco a Verónica Arellano, Evelyn Caballe-
ro, Margarita Ramírez y Laura Reséndiz por la minuciosa
revisión del manuscrito y por las sugerencias para facilitar la
comprensión del texto.
A todos, les agradezco innitamente su ayuda desinteresada.
AGRADECIMIENTOS
Introducción
13
PRÓLOGO
Este libro, cuya presentación es al mismo tiempo un placer y
un honor hacer, versa sobre las fracciones, uno de los conte-
nidos matemáticos que sin duda genera un gran número de
dicultades en su enseñanza y que por ello ha sido objeto de
múltiples investigaciones. Su lectura, inevitablemente remite
a diversas imágenes que permiten apreciarlo de diferentes
maneras; en lo que sigue me permitiré utilizar algunas de
esas imágenes para dar cuenta de las virtudes de este texto.
La trilogía: tres libros, tres saberes, una misma intención
Entre y , el cineasta polaco Kieślowski lma su famo-
sa trilogía Azul, Blanco y Rojo y toma los colores de la bandera
de Francia para expresarse sobre la tradición francesa acerca
de la libertad, la igualdad y la fraternidad. Tres películas, una
historia por cada color y un solo objeto con múltiples signi-
cados, la bandera.
El libro que nos ocupa hoy puede pensarse como parte de
una trilogía también inscrita en una tradición francesa, la de
la escuela de Didáctica de las Matemáticas, especícamente
en la Teoría de las Situaciones Didácticas de Guy Brousseau.
14
Más de uno, pero menos de dos
La trilogía comienza en con la aparición de ¿Al doble le
toca el doble? La enseñanza de la proporcionalidad en la edu-
cación básica, luego en el se publica Repartir y comparar.
La enseñanza de la división entera en la escuela primaria y
en se completa con Más de uno, pero menos de dos. Tres
libros, tres saberes distintos todos ligados con la fracción; tres
lugares desde dónde pensar la enseñanza (el saber, el alumno
y el profesor), y una sola intención, colocar lo didáctico en
la dialéctica herramienta /objeto, lo que signica estudiar lo
didáctico para convertirlo en una herramienta que permita
orientar el proyecto de enseñanza.
Siguiendo esta intención, en ¿Al doble le toca el doble?
La enseñanza de la proporcionalidad en la educación básica
se incluyen elementos para comprender la proporcionalidad
directa y su enseñanza, en este caso la noción de razón es el
puente entre proporcionalidad y fracción. La misma lógica se
observa en Repartir y comparar. La enseñanza de la división
entera en la escuela primaria, en donde una vez más, el estu-
dio didáctico de la división, se relaciona con las fracciones a
través de una división «que no se puede hacer». La división
se convierte en una fuente de problemas de medición, aque-
llos en los que una determinada cantidad se divide en cierto
número de partes, por ejemplo galletas entre personas, y
para cuanticar el cociente hacen falta las fracciones: toca
galleta por persona. Pero la división también permite denir
las fracciones como cocientes de dos enteros, es decir es el
número que multiplicado por b da a, es el cociente de a entre b.
A diferencia de los dos primeros libros, Más de uno, pero
menos de dos, sitúa a la fracción o número racional como
su objeto de estudio central y, el a la tradición en la que se
inscribe, a lo largo de los dos volúmenes que lo componen se
van tejiendo los análisis de los procedimientos de los niños,
15
Prólogo
los fragmentos de clase en los que estos justican sus proce-
dimientos bajo la guía del profesor, las acotaciones del autor
sobre estos hechos, la explicitación de las nociones didácticas
puestas en juego, la correspondencia entre noción matemá-
tica y situación de aprendizaje. Todas piezas de ese puzzle
didáctico cuya intención no es otra que situar lo didáctico en
el corazón de la enseñanza. En ese sentido una noción que
permite comprender la estructura del libro es la de triángulo
didáctico; sus tres elementos, profesor, alumno y saber, se
alternan para dar cuenta de las prácticas posibles de alumnos
y profesores.
Empero, no debe olvidarse que en la tradición francesa
de la Didáctica de las Matemáticas el saber ocupa un lugar
central, es su naturaleza la que dota de sentido a los problemas,
a las estrategias que los alumnos utilizan para resolverlos y
a sus respuestas. El saber matemático, en torno del cual se
articula esta obra, está organizado de la siguiente manera: )
las fracciones y la medida, ) los decimales y la medida; ) las
fracciones y la división, ) las fracciones en el papel de razones
y ) fracciones y decimales como operadores multiplicativos.
A lo largo de los dos volúmenes de la obra el lector encontrará
actividades que puede llevar al aula, también situaciones para
analizar y reexionar sobre la enseñanza de las fracciones
durante el trayecto que va desde el tercer grado de la escuela
primaria hasta el segundo grado de secundaria.
Sin duda, Más de uno, pero menos de dos es la obra mejor
lograda de la trilogía, de ello da cuenta su carácter más amplio,
no deja problemática alguna ligada a las fracciones sin tocar,
y se expresa en un lenguaje claro que no por ello se desprende
de la rigurosidad.
16
Más de uno, pero menos de dos
La investigación, los profesores y los formadores
En su libro Contra la historia ocial José Antonio Crespo na-
rra una broma que circula entre historiadores, según la cual
estos se sumergen en las profundidades de los archivos para
desenterrar a la historia misma, pero luego la plasman en
gruesos volúmenes tan enojosos e impenetrables por su ex-
tensión, especialización y lenguaje erudito, que terminan por
ser enterrados en los oscuros estantes de las bibliotecas sin que
el público se entere de lo que se descubrió, se comprendió o
se revaloró. De esta manera la investigación permanece en-
cerrada en los centros académicos y se separa de la memoria
colectiva y social.
Al parecer este fenómeno no es ajeno a la Educación
Matemática, la investigación crece exponencialmente y la
enseñanza cambia a paso lento, por ello no son pocos los
educadores matemáticos que se preguntan si el nivel de espe-
cialización de la investigación ha separado sus resultados de
la actividad de los profesores, lo que resultaría una paradoja
porque el objetivo último de la investigación en Didáctica de
las Matemáticas es ayudar a mejorar la enseñanza.
Una virtud de Más de uno, pero menos de dos, es que se
mueve en el sentido contrario de esta separación puesto que
su objetivo es «contribuir a una mejor comprensión de los
números racionales, y de la problemática de su enseñanza…»,
pero no de cualquier manera sino acercando a profesores,
formadores y diseñadores de currículo a los conocimien-
tos que sobre el tema se han producido en la esfera de la
investigación en didáctica. Esta virtud no es menor, baste
recordar que por lo menos desde hace años Brousseau ya
postulaba la necesidad de una «didáctica para principiante»
para los profesores, que integrara ciertos elementos teóricos
y los preparara para la utilización más renada de los saberes
17
de la didáctica, garantizando con ello un mejor desempeño
profesional.
En este sentido Más de uno, pero menos de dos, es un in-
tento bien logrado para cerrar la brecha entre investigación,
profesores y formadores. Al organizar los resultados surgi-
dos de la investigación en didáctica sobre la enseñanza y el
aprendizaje de los números racionales, se constituye como
una herramienta valiosa para diversos agentes educativos
porque junto con las situaciones y actividades, también se
incluyen conceptos como multiplicidad de problemáticas y
signicados, obstáculos epistemológicos y didácticos, situa-
ción didáctica y adidáctica, institucionalización, contratos,
variables didácticas, y formas de validación…, que constituyen
la formación teórica que permite al lector dar mayor sentido
a las actividades y situaciones, y a sus implicaciones.
Un libro que se desdobla en múltiples libros
Con la publicación de Rayuela en Julio Cortázar rompe
con la estructura convencional de la narrativa y propone —al
menos— dos lecturas posibles: una, siguiendo la secuencia
lineal de los capítulos que naliza en el capítulo ; otra, ini-
ciaría en el capítulo y dando saltos de capítulo en capítulo
según un tablero que propone el autor, el lector se encontraría
con una historia diferente. Empero, cuando el lector descubre
la ausencia del capítulo en el tablero se da cuenta que no
solo hay dos lecturas posibles, sino que el libro se desdobla
de múltiples maneras para convertirse en muchos libros, y
que cada uno puede leerse del mismo modo que se juega la
rayuela, dando saltos.
Más de uno, pero menos de dos, es un libro que se ciñe a
esa misma arquitectura; también da la posibilidad de leerlo
Prólogo
18
Más de uno, pero menos de dos
—al menos— de dos maneras distintas. Siguiendo el orden
convencional de los capítulos se comprende la lógica del saber
matemático, la relación de las medidas con las fracciones y los
decimales, sus propiedades y representaciones como subcon-
junto de los números racionales, la relación entre la división
con números naturales y las fracciones, —ya sea en problemas
de medición o en los que se requiera denir a la fracción
como cociente—, y la multiplicación de fracciones, a la que
le da funcionalidad el operador multiplicativo y decimal, son
algunas estaciones de dicha ruta y es posible abordarlas desde
diferentes ancos.
En la segunda lectura, que no seguiría el orden conven-
cional de los capítulos, se puede ver la secuencia en la que se
estudian los racionales en la educación básica y, dependiendo
del grado escolar que se quiera analizar, podrán leerse los
apartados en los que se incluyen los contenidos propios de un
grado, por ejemplo, los profesores de tercero y cuarto grado
podrían leer el apartado uno, luego saltar al tres.
Sin embargo, estas no son las únicas lecturas posibles, el
texto se multiplica en correspondencia con la mirada que se
pose sobre él, la del profesor que busca una mejor compren-
sión de lo que en términos prácticos signica la funcionalidad
del enfoque de la resolución de problemas; la de un colecti-
vo de profesores que pretende mejorar la enseñanza de las
matemáticas; la de un profesor que busca situaciones didác-
ticas para llevar a su aula con o sin modicaciones; la de un
profesor que busca comprender en términos prácticos las
nociones teóricas propias de la didáctica; la de los formadores
de docentes que intentan convertir los resultados de la in-
vestigación didáctica en una herramienta para la formación;
la del estudiante de posgrado que busca situaciones didácti-
cas o situaciones de formación para experimentar; la de los
diseñadores de currículo que buscan una mejor forma de
19
articular los contenidos para plasmarlos en los programas de
estudio, entre otras.
En síntesis, Más de uno, pero menos de dos es una obra que
propone un libre juego entre lector, texto y saber didáctico
sobre las fracciones y en ese juego invita a leerse de varias
maneras y desde distintas posiciones, es por eso un libro que
se desdobla para convertirse en múltiples libros que interpelan
e invitan a una cierta mirada, a un cierto lector. En ese senti-
do el libro no tiene desperdicio y por ello convocamos a los
lectores de esta obra, a la elección de la mirada y la adopción
del sentido con el que ha de ser leída.
Luis Manuel Aguayo Rendón
Ciudad de México, marzo de
Prólogo
Introducción
21
INTRODUCCIÓN.
Diversidad de problemas, roles, definiciones,
representaciones y tipos de fracciones
Esta obra busca contribuir a una mejor comprensión de los
números racionales, y de la problemática de su enseñanza.
Está dirigida a docentes de educación básica, a formadores
de docentes, a diseñadores de currículo y a investigadores.
A continuación, se da un panorama de los aspectos del
universo de las fracciones y los decimales que se abordan en
los dos volúmenes que componen la obra.
Las fracciones, como otros conocimientos de matemáticas,
se aprenden de manera más signicativa si se elaboran como
herramientas para resolver determinados problemas. Cuando
se analizan los problemas que las fracciones resuelven, se ob-
serva, en primer lugar, que hay diferentes tipos de problemas,
y que las fracciones juegan diferentes papeles en cada tipo
de problema: pueden expresar medidas, relaciones, opera-
dores multiplicativos, o pueden presentarse como números
abstractos. En el cuadro siguiente se dan algunos ejemplos.
En… La fracción expresa:
«El espesor de una hoja es de de mm» Una medida de longitud
« de la población vive en el campo»
« de la mezcla debe ser de agua»
Una relación entre una parte y un todo
(una razón)
El factor de escala del plano es de 0.0025 Un operador multiplicativo.
22
Más de uno, pero menos de dos
En… La fracción expresa:
El número que multiplicado por 4 da 3,
es Un cociente
Un punto en la recta. Un número
abstracto.
En cada uno de esos papeles, o roles, las fracciones pueden
compararse y sumarse, restarse, multiplicarse, dividirse…
aunque, como veremos, algunas operaciones se usan más y se
comprenden mejor cuando las fracciones juegan uno de esos
roles que cuando juegan otro. Estos distintos roles dan lugar
a distintos signicados de las fracciones (o «constructos»,
como los llama T. Kieren, ).
Por otra parte, las fracciones, al igual que muchos otros
conocimientos de matemáticas, se pueden denir de distintas
maneras. Una manera de generar las fracciones consiste en
«quebrar» una unidad en n partes iguales e introducir fraccio-
nes unitarias « de». Luego, introducir fracciones no unitarias
como suma de varias unitarias, por ejemplo, de manzana es
de manzana + de manzana + de manzana. La denición
que resulta de esta construcción clásica es: « de manzana es
lo que resulta de partir la manzana en partes iguales y to-
mar tres». Una denición distinta, más frecuente en los textos
de matemáticas para niveles superiores, consiste en denir
a la fracción como un cociente: en este caso no signica
de entrada tres pedazos de , sino lo que resulta de dividir
unidades entre , o, dicho de otro modo, es el número que
multiplicado por da .
Así, hay cierta relación entre los distintos signicados que
pueden asumir las fracciones y las distintas maneras en que
se pueden denir.
Introducción
23
Fracciones decimales, no decimales y
números que no son fracciones
Existe un subconjunto de fracciones, importante por la gran
facilidad que presentan para realizar las operaciones. Se trata
de las fracciones decimales, esto es, las que tienen denomi-
nador , , o cualquier potencia de , por ejemplo,
. Estas fracciones, además de la facilidad para calcular,
presentan otras ventajas: una es que se pueden representar
usando la misma notación con la que se escriben los números
enteros, la notación decimal (por ejemplo, la fracción se
puede escribir .). A estos números se les llama «números
decimales». Hay fracciones que no tienen denominador po-
tencia de , pero son equivalentes a una que sí lo tiene, por
ejemplo, = = ., o bien, = = .. A estas fracciones
se les puede considerar también como fracciones decimales,
o bien, si queremos ser más precisos (a costa de un lengua-
je más pesado) se les considerará como «fracciones que son
equivalentes a una fracción decimal». Es oportuno recordar
aquí que los números naturales (, , , …) son equivalentes a
¿Qué significa ?
Como «partes de
unidad» (quebrado)
Lo que resulta de partir una unidad
entre 4 y tomar 3 partes
Como «cociente»
Lo que resulta de dividir 3
unidades entre 4
24
Más de uno, pero menos de dos
fracciones, y en particular a fracciones decimales, por ejemplo
= = .
Por otra parte, no todas las fracciones tienen una equi-
valente decimal, por ejemplo no la tiene, no hay ninguna
fracción con denominador potencia de , que sea equivalente
a . No obstante, es posible encontrar números decimales tan
próximos como se quiera a una fracción no decimal, por ejem-
plo, ., o . se aproximan a . Así, para efectos prácticos,
cualquier fracción no decimal puede ser sustituida por una
decimal, tan próxima a ella como se necesite. Esta es otra gran
ventaja de los números decimales.
El conjunto de las fracciones formado por las que son
decimales, las que no son decimales, positivas y negativas,
constituye el conjunto de los números racionales.
Cabe señalar, por último, y solo para tenerlo presente, que
hay números que no se pueden expresar de manera exacta con
una fracción (ni por lo tanto con un decimal), por ejemplo, el
número de veces que la medida del diámetro de un círculo es
igual a su circunferencia (Pi), o la medida de la diagonal de
un cuadrado de lado . No obstante, esos números se pueden
aproximar, tanto como se quiera, con decimales. Son números
irracionales. Estos números, salvo algunas excepciones como
Pi, no se estudian en la escolaridad básica.
Al conjunto que contiene a los números racionales y a
los irracionales, se le llama conjunto de los números reales.
Una precisión: ¿debemos hablar de fracciones o de nú-
meros racionales? El concepto de número racional es más
abstracto que el de fracción: puede decirse que un número
racional es un conjunto de fracciones equivalentes. El término
fracción hace referencia a un objeto singular. Así, podríamos
decir que y son dos fracciones (equivalentes), pero ambos
son el mismo número racional. En este texto se optará por
hablar casi siempre de fracciones excepto cuando sea nece-
Introducción
25
sario hacer referencia al conjunto de los números racionales.
Esta elección se debe a que en el trabajo que se realizará se
pondrán en juego, de entrada, fracciones concretas, ligadas
a magnitudes, y no el concepto amplio, formal, de número
racional. Este último constituye más bien un punto de llegada,
una meta a mediano plazo. No sobra decir que el estudio de
las fracciones y los decimales constituye una buena parte del
camino para la comprensión del concepto de número racional.
La enseñanza, el aprendizaje:
un recorrido con muchas opciones
Durante la educación básica, se pretende que los alumnos
desarrollen un conocimiento cada vez más amplio y profundo
de la noción de fracción y de número decimal, que enfrenten
nuevos tipos de problemas, que conozcan nuevas deniciones,
que se apropien de más signicados. A lo largo del recorri-
do, estudian el orden entre las fracciones, desarrollan formas
de resolver las cuatro operaciones, y arman los algoritmos.
26
Más de uno, pero menos de dos
Conocen también al subconjunto de decimales. Finalmente,
adquieren un conocimiento de número racional, más abs-
tracto, que abarca a los distintos signicados, que fueron
desarrollando.
Se trata de un extenso camino con numerosas opciones
acerca de por dónde comenzar, con qué seguir, qué conectar
con qué, cuánto tiempo destinar a cada fase. Los maestros,
los investigadores, los diseñadores de programas y de libros
de texto, han explorado distintas alternativas. Ninguna puede
considerarse perfecta, y además «la mejor» depende siempre
de las condiciones y necesidades de cada profesor y de sus
alumnos, pero, sin duda, hay ya numerosos conocimientos
que contribuyen a enriquecer y fundamentar una propuesta
didáctica.
Objetivos
• Profundizar en el conocimiento matemático y didáctico
de las fracciones y los decimales, destacando algunos de
los signicados que asumen al funcionar en situaciones
especícas, en particular aquellos que son relevantes en
la educación básica.
• Identicar vínculos del tema de las fracciones con otros
temas de los programas de matemáticas, que juegan un
papel en los procesos de construcción de las nociones,
principalmente entre fracciones y decimales, medición y
proporcionalidad.
• Analizar algunas secuencias de situaciones didácticas di-
señadas para favorecer aprendizajes de las fracciones y
decimales en sus distintos signicados. Analizar lecciones
de libros de texto.
Introducción
27
• Conocer resoluciones, dicultades y errores de alumnos
de primaria y de secundaria frente a los problemas que
se están estudiando.
En paralelo con los objetivos anteriores, y de manera integra-
da con ellos, se persiguen los siguientes objetivos relativos a
conocimientos teóricos en didáctica de las matemáticas.
• Abordar la noción de funcionalidad de un concepto y,
con relación a esta, la de multiplicidad de problemáticas
y de signicados.
• Introducir o repasar algunas nociones de la Teoría de las
Situaciones Didácticas para el estudio de las situaciones
didácticas.
Es importante precisar que la obra no pretende ser un com-
pendio de actividades para llevar a cabo en el aula. Si bien el
profesor encontrará aquí numerosas ideas y sugerencias sobre
actividades que puede hacer con sus alumnos, el propósito es
más bien, como se dijo antes, darle elementos que le ayuden
a analizarlas y a diseñarlas.
Estructura y contenidos
Los capítulos de ambos volúmenes son los siguientes.
Volumen I Capítulo 1. Las fracciones y la medida
Capítulo 2. Los decimales y la medida
Volumen II
Capítulo 1. Las fracciones y la división
Capítulo 2. Las fracciones en el papel de razones
Capítulo 3. Fracciones y Decimales como operadores
multiplicativos
28
Más de uno, pero menos de dos
Volumen I, Capítulo 1. Las fracciones y la medida
Revisaremos el signicado clásico de las fracciones como
partes de unidad; se construyen a partir de iterar la fracción
unitaria ( + + … m veces = ). El contexto que da sentido
a las fracciones es la medición.
Bajo este signicado, y en este contexto, se estudian las
nociones de:
• equivalencia;
• fracciones como puntos en la recta;
• orden y operaciones aditivas.
Volumen I, Capítulo 2. Los decimales y la medida
Los decimales constituyen un subconjunto de los racionales,
aquellos de la forma . Estos números, aunque comparten
los mismos signicados que las fracciones en general (ex-
presiones de medidas, en la recta numérica, expresiones de
operadores, etc.), presentan una serie de particularidades que
ameritan un espacio aparte. En este apartado, se estudiarán
los siguientes aspectos:
• las fracciones decimales como subconjunto de los racio-
nales; la notación decimal;
• representaciones de los decimales (en la recta, mediante
la longitud, mediante supercie);
• orden, propiedad de la densidad, ubicación en la recta
numérica, operaciones aditivas;
• aproximación decimal a fracciones no decimales.
Introducción
29
Volumen II, Capítulo 1. Las fracciones y la división
La división de números naturales está relacionada estre-
chamente con las fracciones. Por una parte, es una fuente
importante de problemas en los que una determinada canti-
dad ( metros, galletas, kg, etc.) se divide en cierto número
de partes e interesa cuanticar el cociente ( metros de listón
divididos en partes iguales para hacer moños, da a de metro
por moño). En este caso, las fracciones expresan medidas, y
siguen siendo «partes de unidad». La división juega como
problemática generadora.
Por otra parte, la división puede dar lugar a una denición
de las fracciones como cocientes de dos enteros. La fracción
es el número que multiplicado por b, da a. Es decir, es el
cociente de a entre b. En este caso la división constituye un
signicado de las fracciones, como cocientes de enteros.
Se estudiará, además, la problemática del tránsito del
signicado de las fracciones como partes de unidad a su signi-
cado como cociente. Se mencionará un problema curricular
actual en el que ambos signicados existen, uno en primaria,
y el otro en secundaria, ignorándose uno al otro.
Volumen II, Capítulo 2. Las fracciones en el papel de razones
Una expresión como « de la mezcla es de pintura roja», no
da información acerca de la cantidad de pintura roja que se
debe poner, sino de la relación que debe haber entre la canti-
dad de pintura y el total de mezcla. Este tipo de relaciones se
llaman razones. Expresar razones constituye uno de los roles
fundamentales de las fracciones. Las razones están en la base
de numerosos conceptos más, como el de cantidad relativa,
tasa, índice, porcentaje…
30
Más de uno, pero menos de dos
Además de lo anterior, la fracción, en su papel de razón,
es una pieza angular en la construcción de la noción de mul-
tiplicación de fracciones.
En este capítulo se incluyen los siguientes dos apartados:
• las razones «a por cada b», precursoras de las fracciones;
• la emergencia de las fracciones « de», como expresiones
de razones «a por cada b».
Volumen II, Capítulo 3. El operador multiplicativo
fraccionario o decimal
La multiplicación por fracciones y decimales constituye uno
de los aspectos de la aritmética básica más difíciles de com-
prender para los estudiantes, pues la multiplicación pierde
propiedades que tenía en los naturales y que fueron implícita
o explícitamente estudiadas a lo largo de varios años, sobre
todo el hecho de ser una transformación que «agranda», y que
se puede interpretar como una suma repetida. Por ello, se pro-
pone un conjunto amplio de actividades en el que la noción de
multiplicación por fracciones y decimales se «estudia» desde
distintos ancos, durante varios años de la educación básica.
En este capítulo se incluyen los siguientes aspectos:
• la multiplicación de fracciones en el contexto de la pro-
porcionalidad;
• la multiplicación de fracciones y decimales en el cálculo
del área del rectángulo;
• la división de fracciones y decimales.
Introducción
31
El orden de los contenidos en la presente
obra no es el orden de enseñanza
El orden en que se presentan los distintos aspectos de las frac-
ciones en los dos volúmenes de esta obra, no es el orden en
que se estudian en la escuela.
En cada capítulo hay aspectos que se pueden ver en dis-
tintos grados de la primaria y de la secundaria. En la siguiente
tabla se presenta una relación de los temas que se abordan
en cada capítulo con su posible estudio en los distintos ciclos
escolares.
Una ruta posible para estudiar los números racionales durante la educación básica
Volumen I 3º – 4º (primaria) 5º – 6º (primaria) 7º – 9º (secundaria)
Capítulo 1
Las fracciones
y la medida
Fracciones para medir
(longitud, superficie, peso).
Relación parte todo.
Recta numérica.
Equivalencia, orden, suma.
Lo mismo que en
3º – 4º, pero con
fracciones de cualquier
denominador.
Recta numérica.
Densidad.
Cambios de unidad y
Cambios de notación.
Capítulo 2
Los decimales
y la medida
Fracciones decimales
para medir.
Expresión decimal
aplicada en medidas de
longitud, área, peso.
Además de lo que se ve
en 5º-6º (casillero de la
izquierda):
recta numérica, densidad,
cambios de unidad,
cambios de notación.
32
Más de uno, pero menos de dos
Volumen II 3º – 4º (primaria) 5º – 6º (primaria) 7º – 9º (secundaria)
Capítulo 1
Las fracciones
y la división
Repartos entre 2n.
Repartos entre 3.
Resultados distintos pero
equivalentes de un mismo
reparto.
(Tema 1)
Algoritmo «a unidades
entre b = de unidad».
Divisiones de otras
magnitudes.
(Tema 2)
Dos definiciones
explícitas: como partes de
unidad y como cocientes.
(Temas 2 y 3)
Capítulo 2
Las fracciones
en el papel de
razones
Se comparan razones,
sin fracciones.
Problemas de cuarta
proporcional sin
fracciones.
(Tema 1)
Se expresan razones con
fracciones, en situaciones
de comparación y de
cuarta proporcional.
(Temas 1 y 2)
Capítulo 3
El operador
multiplicativo
fraccionario y
decimal
Se aplican operadores
fraccionarios sencillos
en situaciones de
proporcionalidad.
La fracción « de», como
multiplicación × .
La relación 1 como
multiplicación ×
El área de rectángulo de
dimensiones , como
multiplicación.
La división, como inversa
de la multiplicación.
Además, en los capítulos se indica para qué grados pueden
ser adecuadas las actividades que se proponen, o las recomen-
daciones que se hacen. En el volumen II hay actividades que
son exclusivamente para el nivel de secundaria. Para facilitar
la detección del nivel recomendado, en ese volumen se uti-
lizan los indicadores «Primaria», «Secundaria» o «Primaria
y Secundaria».
Introducción
33
Los tipos de actividad, la estructura del
libro, las distintas secciones
Para facilitar el estudio de temas de matemáticas y de su didác-
tica, en los dos volúmenes de esta serie se optó por un formato
que alterna numerosas actividades diseñadas para profesores,
con información práctica y teórica sobre los aspectos que son
motivo de estudio. Las actividades son de muy diversa índole:
se plantean problemas de matemáticas, se analizan leccio-
nes para alumnos de primaria y de secundaria, se revisan
programas escolares, se analizan producciones de alumnos
y fragmentos de clases. Cabe señalar que una gran parte del
material que se presenta es producto de investigaciones en
el tema.
Casi todas las actividades (ejercicios, problemas, u otras)
se presentan con las respuestas o soluciones, ya sea después
de la actividad, o bien en el solucionario que se incluye al nal
de cada volumen. En la versión digital se puede consultar la
respuesta haciendo clic en la etiqueta . Así mismo,
para regresar del solucionario al texto, basta con dar un clic
al título de la actividad que se consultó en el solucionario.
Casi todas las actividades pueden ser adaptadas para im-
plementarse en el aula, con los alumnos, además se sugiere
llevar a cabo algunas, y si es posible, compartir la experiencia
con otros docentes, como parte del proceso de estudio. Estas
actividades vienen señaladas con la leyenda .
Hay algunas secciones en algunos capítulos en los que se
ofrece una profundización, casi siempre sobre algún aspecto
de matemáticas. Se señala con la etiqueta . Los
lectores pueden abordar estas secciones en el momento en que
las encuentren, o dejarlas para una ocasión posterior.
34
Más de uno, pero menos de dos
¿Cómo estudiar el contenido de esta obra?
Esta obra se elaboró en forma de un taller, con numerosas
actividades. Es, por lo tanto, un libro en el que se alternan los
momentos de leer y resolver, y a veces también momentos de
implementar en clase, observar y tomar notas.
Aunque se puede estudiar de manera individual, se reco-
mienda hacerlo en grupo, al menos con un colega. De esta
manera la experiencia se puede enriquecer signicativamen-
te al permitir entablar discusiones, hacer comparaciones de
procedimientos y resultados, realizar actividades en colectivo
(los juegos, por ejemplo).
Puede haber partes de la obra que le parezcan difíciles, se
le recomienda que las deje pendientes, continúe con la acti-
vidad siguiente, o incluso el tema siguiente, y más adelante
regrese a esas actividades, o regrese a ellas cuando pueda ha-
cerlas con algún colega. Con los conocimientos que usted
tiene, podrá abordar los distintos capítulos en cualquier orden.
Conamos en que su viaje a través de los cinco capítulos,
le resultará útil para llevar a cabo sus clases sobre fracciones
y decimales; para analizar las conexiones entre estos y otros
temas del currículo; para evaluar y adaptar las propuestas que
se hacen en los diferentes materiales, ociales o de editoriales
privadas; para diseñar usted mismo actividades; y para anali-
zar las producciones de los alumnos, sus errores, dicultades
y logros. Esperamos también que disfrute la experiencia de
estudiarlo, al descubrir otras facetas poco conocidas del tema,
y maneras graticantes «de hacer matemáticas».
Las fracciones y la división
35
En una clase de segundo grado, los alumnos obser-
van dos formas de repartir un pastel entre dos niños:
Observador: Si se comen el pas-
tel, ¿quién va a comer más?
Olmo: Este (el de la izquierda) tiene más
porque tiene ocho y este menos porque
son dos (se reere a los y los ).
Alumnos de quinto grado tratan de calcular cuánto
mide un paso de un robot que, con pasos, se avanza
unidades. Por ensayo y error encuentran que si el
paso midiera , faltaría; y si midiera , sobraría:
Observador: Entonces… ¿cuánto tendría que ser? (...)
Juan: Un paso y un quinto (…).
Capítulo 1.
Las fracciones y la división
36
Más de uno, pero menos de dos
Introducción
Así como la acción de medir puede llevar al fraccionamiento
de unidades, también la acción de repartir lo hace, de una
manera incluso más explícita. Los problemas que implican
«repartir en partes iguales» constituyen una clase de proble-
mas de división que brindan otra ocasión para usar y estudiar
a las fracciones. En este capítulo veremos estos problemas,
analizaremos algunas de sus variables didácticas, algunas pro-
ducciones de los alumnos y su evolución.
Otra razón de ser de las fracciones, esta vez de índole
matemática, es la siguiente: en los números naturales hay di-
visiones cuyo cociente es un número natural, y el residuo es
cero, por ejemplo, ÷ ; ÷ ; ÷ , etc., y divisiones como
÷ , cuyo cociente exacto no es un número natural. Así, las
fracciones permiten que todas las divisiones de números natu-
rales —excepto entre cero— tengan un cociente. Por ejemplo,
el resultado de dividir unidades entre es o de unidad,
por lo que se puede escribir ÷ = .
Cabe señalar que la división, además de ser una rica fuen-
te de problemas que requieren usar fracciones, guarda otra
relación importante con ellas: la fracción , por ejemplo, se
puede denir como el número que multiplicado por da ,
es decir, como el cociente de entre . La relación entre esta
denición de las fracciones «como cocientes» y la de partes
de unidad o «quebrados» que vimos en el capítulo del
volumen I (en la que « » de unidad signica « veces de
unidad») no es evidente, y sin embargo no suele ser objeto de
estudio explícito en la escuela. Cuando los alumnos entran
a la secundaria, se encuentran con que el símbolo que ellos
asocian a las fracciones (como a veces de unidad) se usa
también para representar a la división a ÷ b, o al cociente de
Las fracciones y la división
37
esta; o incluso, con la novedad de que el cociente a ÷ b y la
fracción se consideran, en ciertas circunstancias, el mismo
objeto. Para conciliar las dos deniciones, como cociente y
como partes de unidad, se requiere un trabajo didáctico.
Tema 1. El reparto en los primeros grados de la primaria
En el marco de un trabajo de investigación, se plantearon
actividades relativas a tareas de reparto a alumnos de primero
a tercer grado de primaria. A continuación, se presentan al-
gunos de los resultados obtenidos. Se intercalarán preguntas
para ayudar al docente a analizar la información.
1.1 Primera tarea: repartir entre 2 y entre 4
Los alumnos de un grupo de primer grado de primaria, orga-
nizados en equipos de dos o cuatro, realizaron una actividad
que consistía en repartirse cierto número de pasteles (hojas
de papel tamaño carta) entre ellos de manera que a cada uno
le tocara lo mismo y no sobrara pastel.
Se observó que casi todos los niños pudieron hacer bien
los repartos. Hicieron cortes a la mitad, a la mitad de la mitad,
etc. Por ejemplo, para repartir pasteles entre niños apa-
recieron los repartos que se muestran en la gura . Los dos
niños entre quienes se reparte se indican con las letras A y B.
AULA
Primaria
38
Más de uno, pero menos de dos
Con respecto al reparto tipo , Dávila () explica:
Uno de los equipos de primer año hizo el reparto tipo . El
grupo no lo aceptó como bueno, argumentando que no estaba
bien porque a un niño le había tocado más pastel: uno tenía
cuatro pedazos y el otro solo dos. Al preguntar el observador
qué se podía hacer para que les tocara lo mismo, una niña
respondió: pasándole un pedazo al otro niño; lo hace y el
grupo acepta entonces que así a los dos niños les ha tocado
lo mismo, tres pedazos. (p. )
Figura 1. Tipos de reparto para «tres pasteles entre dos niños»
Las fracciones y la división
39
Actividad 1.1
¿Entre más pedazos más pastel?
a) ¿En qué casos lo que le toca a un niño es equivalente a lo que le
toca al otro?
b) ¿Qué opina del criterio que usaron los niños para corregir el repar-
to, a saber, que a todos les toque el mismo número de pedazos?
Complemente su respuesta con lo que se explica en el siguiente
texto.
Relación inversa entre dos variables: entre
más pedazos, más pequeños
En esta situación hay dos datos que varían de manera inversa,
el número de pedacitos en que se divide una cantidad y su
tamaño: entre mayor es el número de pedacitos, menor es el
tamaño de cada pedacito. Por su parte, la cantidad total no
cambia. Puede observarse que los niños se centran en una va-
riable (número de pedazos) y dejan de lado la otra (el tamaño
de los pedazos), por eso no se dan cuenta de que la cantidad
total no cambia.
¿Cuándo y cómo introducir la escritura de las fracciones?
Cabe señalar que a los alumnos de primero y segundo grado
no se les pidió expresar oralmente las fracciones, y, menos
aún, escribirlas. Como pudo verse, no necesitaron esas re-
presentaciones para enfrentar los retos que se les pusieron.
En tercer grado, una vez que los alumnos hacen los re-
partos y están de acuerdo en que son correctos, se les puede
sugerir la tarea de escribir con fracciones la parte que le tocó
a cada niño. Si ya empezaron a usar fracciones para expresar
40
Más de uno, pero menos de dos
cantidades en situaciones de medición, simplemente se reto-
man aquellas fracciones («¿Se acuerdan cómo representamos
una parte que cabe dos veces en el entero?, », etc.). Si esta es
la primera vez que los alumnos van a escribir fracciones, se
introducen, en un primer momento, las unitarias (numerador
). Surgirán escrituras aditivas como las siguientes:
; + + + + + ; + + .
Es un buen momento para destacar con los alumnos que todas
esas escrituras corresponden a la parte de pastel que le tocó a
cada uno de los niños, y por eso son equivalentes.
Más adelante, se pueden introducir las fracciones no uni-
tarias, a partir de las unitarias, por ejemplo, + + se escribe
también .
1.2 Segunda tarea: repartir entre 3
Ahora se trató de hacer un reparto de dos pasteles entre tres
niños.
Dice la autora (Dávila, , p. ):
La tendencia de partir por mitades propició que los alumnos
tuvieran éxito en sus repartos entre y entre (…). Dicha
tendencia y la falta de conciencia de los resultados que ob-
tendrían se maniestan con más claridad cuando realizan
repartos entre tres, en donde encontramos que:
• Solo un equipo de segundo año parte en tres sus enteros
para hacer el reparto.
• Los demás equipos utilizan la estrategia de partir por
mitades para realizar los repartos entre tres: parten la
hoja a la mitad, y luego nuevamente a la mitad, obtienen
cuartos. Asignan tres de ellos, uno a cada niño, y el que
Las fracciones y la división
41
sobra, de nuevo lo parten dos veces a la mitad, con lo que
obtienen dieciseisavos. Asignan uno a cada niño, con lo
que a cada niño le tocó, implícitamente, + , pero…
les vuelve a quedar uno. (Ver gura ).
Figura 2. Reparto de un pastel entre tres, partiendo por mitades
Tras darse cuenta de que con esta estrategia —la bipartición—
siempre les va a sobrar un pedazo, tienen reacciones diversas:
(…) se deshacen de él [se reere al pedazo], escondiéndolo,
tirándolo e incluso, un niño de primero para desaparecerlo,
se lo traga. Estos niños argumentan que ese pedazo ya no se
puede repartir o que ya no vale (Dávila, , p. ).
Actividad 1.2
¿Por qué es difícil repartir?
Explique con sus palabras la dificultad de los niños para hacer un re-
parto equitativo (en partes iguales) y exhaustivo (sin que sobre). ¿A
qué cree que se debe? Complemente su opinión con lo que se dice en
el texto que sigue.
42
Más de uno, pero menos de dos
La dicultad de partir en un número de partes distinto a 2
Los alumnos al principio no prevén una forma de partir, sim-
plemente realizan biparticiones. Esta es la primera forma de
partición que dominan (al doblar por la mitad no es nece-
sario prever en dónde va la línea divisoria, esta se obtiene al
doblar la hoja haciendo coincidir los dos extremos). Cuando
el reparto no es entre (, , …) sino entre , por ejemplo,
no prevén que la bipartición no les permitirá repartir exhaus-
tivamente. La partición entre tres requiere de una previsión,
de una planicación consciente de cómo hacer la partición.
Alumnos más grandes, de cuarto o quinto grado, pueden
descubrir una estrategia, o apropiarse de ella, para obtener
tres partes aproximadamente iguales, que consiste en marcar
(o cortar, o doblar) un pedazo que sea del doble de tamaño
del que queda. Luego, ese pedazo se divide en dos.
1.3 Tercera tarea: comparar resultados
de un mismo reparto
Una vez que los equipos resolvieron un mismo reparto de dife-
rentes maneras, como las que se ilustraron en la gura y tras
vericar que se repartió todo y en partes iguales, se les pidió
que compararan la parte que le tocó a un niño de un equipo,
con la que tocó a un niño de otro equipo. Primero se propició
un diálogo para que los niños dijeran lo que pensaban, lue-
go se les dieron los pedazos para que pusieran a prueba sus
armaciones. Se identicaron varios tipos de razonamientos.
A continuación, se muestra, a título de ejemplo, el reparto de
Las fracciones y la división
43
un pastel entre dos (ver gura ). En un equipo partieron en
cuartos (dieron a cada uno), y en el otro en avos (dieron
a cada uno).
Figura 3. Dos maneras de dar un medio:
dos cuartos, u ocho dieciseisavos
. Observador: Ahora pase el equipo dos.
. Olmo: Este tiene más porque tiene ocho y este menos por-
que son dos. (Se reere a los pedazos de y a los pedazos
de ).
. Observador: Si se comen el pastel ¿quién va a comer más?
. Equipo: Los que tienen ocho.
. Observador: ¿Ustedes qué piensan? (pregunta al grupo),
¿quién se llenaría más pronto si se comen el pastel, el niño
que tiene dos pedazos o el que tiene ocho?
. Niños: El que tiene ocho.
. Carlos: (Con tono de obviedad) Es lo mismo. Se llenarían
igual.
. Niños: No, se llenaría más el que tiene ocho pedazos.
. Observador: A ver, pasa el equipo uno.
. (Carlos y Silvia traen sobre un cuaderno de hoja y so-
brepuestos . Lo muestran a sus compañeros).
. Observador: A ver, explíquenlo.
. Carlos: Estos, si los doblamos y los cortamos (muestra ) en
cuatro pedacitos quedan igual (muestra los encimados
en el cuarto).
. Observador: (Pregunta a Carlos) ¿Si los cortamos se hace
más o menos?
44
Más de uno, pero menos de dos
. Carlos: Queda igual (dice enojado y continúa). Si les da
cinco pasteles a un equipo y seis pasteles a otro, entonces
sí gana el de seis, pero si nos da a todos un mismo pastel,
entonces nos toca igual y nadie gana.
Actividad 1.3
Dos pedazos no puede ser lo mismo que ocho pedazos
Analice las siguientes cuestiones y lea el texto que se propone ense-
guida.
¿Por qué no es obvio para los niños que las dos cantidades ( y
) deben ser iguales?, ¿Qué se necesita saber para poder anticipar
esa igualdad?
Compensar dos variables…
Como ya vimos, están en juego dos variables que se compen-
san: cantidad y tamaño de los pedazos. Al parecer, en cierto
momento de su desarrollo, los niños solamente consideran
una variable, como Olmo, quien se centra en el número de
pedazos para concluir que donde hay hay más que donde
hay , sin jarse en el tamaño de los pedazos (renglón ).
Cuando se les dan los pedazos para que veriquen, algunos
niños, como, Silvia y Carlos (renglones y ), sobreponen
los pedazos de en el pedazo de y, al ver que coinciden,
se convencen de que en ambos repartos hay la misma can-
tidad de pastel. Es decir, a estos niños la prueba empírica,
con material, les permite establecer la relación correcta entre
ambas cantidades.
Finalmente, el razonamiento más avanzado lo ejemplica
Carlos, en su intervención del renglón . Él anticipa que la
porción que le toca a un niño solamente puede ser mayor que
Las fracciones y la división
45
la que le toca a otro niño si se aumenta la cantidad de pasteles
a repartir, conservando la cantidad de niños. Este alumno ya
está seguro de que, si las cantidades iniciales que se van a re-
partir son las mismas y si los repartos se hacen bien, a un niño
de un equipo le tocará lo mismo que a un niño de otro equipo,
sin importar qué forma tengan las porciones y sin importar de
cuántos pedazos estén formadas. Carlos ha construido una
relación que le permite anticipar esa igualdad, sin necesidad
de ver, de vericar. La relación se puede expresar así:
Dos o más repartos en los que se reparte equitativa y ex-
haustivamente la misma cantidad, entre el mismo número
de partes, arrojan porciones iguales.
O también así:
Si A y A' son dos cantidades que se reparten en n partes
iguales, y P y P' son los pedazos por persona que resultan
de esos repartos, se tiene que:
n × P = A y n × P' = A'
Si A y A' son iguales, entonces, necesariamente P y P' lo
son también.
Actividad 1.4
Una cosa es repartir y otra usar fracciones
Reflexione sobre las siguientes cuestiones relacionadas con las ex-
periencias de reparto que se presentaron. Después, complemente y
contraste sus puntos de vista con la información que se le presenta.
a) ¿Se necesita un conocimiento previo de fracciones para resolver
estos problemas de reparto?
b) ¿Qué aprenden los niños al realizar estos repartos? ¿Qué aspectos
de las fracciones pueden aprender y cuáles no?
46
Más de uno, pero menos de dos
El reparto en el primer ciclo de primaria
Como se pudo apreciar, los alumnos de primer ciclo (primero
y segundo grados), así como los de tercer grado, no nece-
sitaron un conocimiento previo de fracciones para resolver
los problemas de reparto que se les plantearon. De hecho, en
toda la experiencia que se acaba de revisar, las fracciones no
se escribieron, ni se mencionaron.
Entonces, ¿qué pueden aprender los alumnos al realizar-
las? En el primer ciclo (primero y segundo grado de primaria)
las experiencias de reparto pueden ser útiles para que los
alumnos aprendan a hacer repartos equitativos y exhaustivos,
poniendo en juego las biparticiones. Por ello es conveniente
que los repartos sean entre potencias de (, , ,…). Pueden
hacer repartos de uno o de varios enteros, con un resultado
mayor o menor a un entero. Estos repartos también son muy
adecuados para tercer grado.
Los otros dos problemas, el de buscar formas de repartir
entre , y, más aún, el de comparar las cantidades obtenidas
mediante dos maneras de repartir, pueden ser adecuados de
tercer grado en adelante. Si bien en la experiencia anterior
vimos a algunos alumnos de primer ciclo enfrentarlas con
éxito, no dejan de ser excepcionales.
Con respecto a la introducción de los nombres de las
fracciones, y de su escritura, se recomienda esperar hasta el
tercer grado. Comprender que una notación (por ejemplo )
formada por dos números («» y «») expresa una cantidad y
no dos, es difícil, más cuando los alumnos están en proceso de
aanzar su conocimiento de los primeros números naturales.
Además, ¿cómo comprender que es equivalente a cuando
para ellos cuatro pedacitos son más que dos pedacitos? Más
adelante, a partir de tercer grado, dedicarán tiempo a estudiar
la escritura de las fracciones. Como ya se comentó anterior-
Las fracciones y la división
47
mente, tanto las situaciones de medición como las de reparto,
constituyen buenas ocasiones para que los alumnos, a partir
de tercer grado, expresen resultados de medir, y de repartir,
mediante fracciones, orales y escritas, y mediante expresiones
aditivas de fracciones.
Actividad 1.5
¿Se puede repartir entre 3 partes mediante
biparticiones?
Explore el siguiente problema.
Como se vio, los alumnos tienden a resolver los repartos mediante
biparticiones, es decir, particiones sucesivas entre 2. Pero ¿se puede
formar un pedazo de de hoja con pedazos generados por biparticio-
nes (particiones a la mitad)? Por ejemplo, con + , falta; con +
se pasa.
Tema 2. Diversidad de situaciones de reparto
Cuando se habla de reparto se consideran, en general, proble-
mas de repartir cierta cantidad, por ejemplo, de chocolates,
entre otra cantidad, por ejemplo, de niños. Se verán ahora
algunas variantes de ese problema que ayudan a los alumnos
a profundizar sus conocimientos sobre fracciones, aun cuando
se trabaje con un grupo reducido de fracciones como medios,
cuartos y tercios.
Ya se vio en el tema anterior que hay variaciones aparen-
temente pequeñas, como la de cambiar la cantidad de niños
entre los que se hace un reparto, que tienen un efecto grande
en la dicultad y en el procedimiento que se desarrolla. Hay
otras variaciones en las que se cambia la tarea misma, por
48
Más de uno, pero menos de dos
ejemplo, cuando se trata ya no de resolver, sino de vericar
cuál es la respuesta correcta, entre varias que se dan. Final-
mente, hay problemas que, aun siendo dentro del contexto de
reparto, plantean una tarea nueva, por ejemplo, problemas de
comparación, o de reconstrucción del entero. A continuación,
se analizarán algunas de estas variantes.
Actividad 1.6
Analizar una lección de un libro de texto¹
a) En la lección que se presenta enseguida (figura ) se plantean
diferentes tareas para alumnos que inician el cuarto grado. En el
ejercicio a se da una cantidad de alfajores (golosina tradicional
argentina) que será repartida entre distintas cantidades de niños:
, , y . Si se piensa en alumnos de cuarto grado, es previsible que
no tendrá la misma dificultad repartir alfajores entre niños, que
entre o entre , aunque se conserve la cantidad total de alfajores.
¿Cuáles podrían ser las diferencias de dificultad?
b) Después de resolver todos los incisos de los ejercicios y de la
lección, identifique y describa las tareas que se plantean, así como
las diferencias con la actividad a. Enseguida, complemente sus
observaciones con las que se presentan en el .
AULA
4º, 5º
a)
Las fracciones y la división
49
109
En el reparto de 9 alfajores entre 4 niños, ¿puede ser que a
cada uno le correspondan 2 alfajores y la cuarta parte de
otro alfajor?
Ana realizó el reparto de esta manera. ¿Cómo puede
escribir con números lo que le toca a cada uno?
P En sus carpetas, expliquen con dibujos cómo se hizo el
reparto para que a cada niño le toque 4
2 + 1
4 de alfajor.
3 Tres chicos se reparten 7 chocolates en partes iguales.
¿Qué cantidad le toca a cada uno?
Representá en estos rectángulos el reparto que hiciste.
¿Cuáles de estas expresiones representan la cantidad de
chocolate que le tocó a cada uno?
Si se reparten 9 alfajores entre 4 niños, a cada uno le tocan 2 alfajores y la
cuarta parte de otro. Esa cantidad se puede escribir de distintas maneras:
2 + 1
4 9
4 4
2 + 1
4
Estas son expresiones equivalentes.
Una parte corresponde a 1
3 de un entero
si con 3 partes como esa se puede armar
el entero. Si se toman 2 partes de 1
3, se
obtienen 2
3. Si se toman 7, se obtienen 7
3.
Los números 1
2, 5
3, 3
4, etc., se llaman
números fraccionarios o fracciones. En
una fracción, el número que se escribe en
la parte superior se llama numerador y el
que se escribe en la parte inferior se llama
denominador.
1 + 1
3 1 + 1 + 3
2 + 1
3
1
3 + 1
3 + 1
3 + 1
3 + 1
3 + 1
3+ 1
3
7 + 1
3
1
2 + 1
2 + 1
2 + 1
2 + 1
3
Como hay
4 niños, divido
cada alfajor en cuatro
partes iguales y le doy una
de esas partes a cada
uno.
E13-18305-HacerMatematica4.indb 109 9/23/13 9:54 AM
a)
b)
c)
b)
d)
c)
Figura 4. Hacer matemáticas 4. Ficha 35. Saiz y Parra, 2013, pp. 108-109.
50
Más de uno, pero menos de dos
Diversidad en las tareas de repartir
En la lección anterior hay una gran variedad de tareas, por
ejemplo, determinar cuánto le corresponde a cada niño en
distintos repartos ( alfajores y , o niños o chocolates
y niños); escribir numéricamente una expresión dada en
forma verbal; seleccionar entre varias expresiones numéricas
la que corresponde a un cierto reparto; validar si un resultado
de un reparto es correcto o no; explicar la forma de realizar
un reparto, a partir de la escritura numérica de lo que le toca
a cada niño; encontrar y dibujar en un cierto esquema, el re-
parto realizado, etc. Puede notarse que no solamente las tareas
son distintas, también los tipos de interacción: se actúa para
hacer un reparto, se formulan y explican procedimientos, se
validan resultados.
Actividad 1.7
¿Cuál de dos repartos arroja pedazos más grandes?
Los problemas de comparación de resultados de dos repartos consti-
tuyen otra tarea interesante desde el punto de vista de los aprendizajes
que pueden propiciar.
En una investigación¹, se plantearon tareas de comparación de
repartos para algunos alumnos de 3º, 4º y 5º de primaria. Se buscaba
analizar el efecto de ciertas variables, sobre los procedimientos de los
alumnos. Se confirmó que, en efecto, a veces los alumnos cambian de
procedimiento cuando se modifican ciertas características de los pro-
blemas, pero también se observó que los cambios de procedimiento
ocurren de un alumno a otro, con el mismo problema. En estos casos,
son los conocimientos de cada alumno, y no las características del
problema, lo que determina el procedimiento.
A continuación, se presentan las resoluciones de algunos de los
alumnos al siguiente problema:
Las fracciones y la división
51
• En la mesa E se reparte pastel entre niños, y en la mesa F se
reparten pasteles entre niños. ¿A los niños de qué mesa les
tocó un pedazo más grande?
Se aclaró desde el principio que en cada mesa el reparto fue equitativo
y exhaustivo.
Analice las resoluciones que hicieron los alumnos y explique la dife-
rencia entre las dos primeras y las dos últimas. Complemente su punto
de vista con la explicación que se proporciona en el .
. Itzel (º)
Primero dibuja el pastel de la mesa E y a un lado los dos pasteles
de la mesa F. Después divide los dos últimos pasteles en 7 partes
cada uno y el pastel de la mesa E en 3 partes.
Figura 5. Resolución de Itzel
La mesa E, porque aquí les va a tocar un cacho más grande, porque
son menos niños y en la F les va a tocar menos porque son más
niños (...)
. Arturo (º)
Inmediatamente responde:
En la mesa E (...) porque aquí (E) es un pastel y nada más le toca
un tercio. Y aquí en la F hay 2 pasteles para 7 niños y sería, este, 2
séptimos (...) dos séptimos, es más. ¡Ah no!, entonces es la F, porque
dos séptimos es más grande que un tercio (...) ¡Sí es en la E! (...)
porque se parte en 3 y no en 7 que son más cortas las rebanadas.
Decide entonces hacer una representación con dibujos.
52
Más de uno, pero menos de dos
Estos dos pedazos (señala los séptimos) apenas igualan, no lo igualan
a uno de estos ( ) (...) Es que aquí ( ) se parte en tercio y aquí ( )
lo estamos partiendo en más.
Finalmente, opta por comparar con de una manera original:
Divide un pastel en séptimos; encima, marca los tercios, consi-
derando dos séptimos por cada tercio. Le sobra un séptimo, el
cual divide en tres para asignar cada 21avo (al que llama «punto
decimal») a cada uno de los tercios. Encuentra, con dibujos, que
= + ( de ), pero interpreta de manera errónea este hallazgo
y concluye que es mayor que un tercio (ver figura 6).
Figura 6. Resolución de Arturo
. Nancy (º)
En la mesa E (...) Porque si tuviéramos 2 pasteles en la mesa E serían
2 pasteles para 6 niños y en la mesa F hay 2 pasteles para 7 niños
. Adriana (º)
Contesta inmediatamente:
En la E (...) porque aquí (E) solo te lo vas a repartir en 3 niños un
pastel y aquí (F) te lo vas a repartir en 7 y te quitarían otro pedazo
para, por ejemplo, si aquí (2 pasteles) hubieran 2 y aquí (7 niños)
hubieran 6, les tocaría igual y se lo van a repartir porque hay otro
niño que ya sería el número 7 y tendría que ser más grande el pastel
para que se lo repartieran.
Las fracciones y la división
53
Cocientes indicados y fracciones
En la actividad de averiguar quién come más pastel, hay ca-
sos en los que es posible contestar sin hacer los repartos, por
ejemplo, si el número de niños en ambos repartos es el mis-
mo, basta con ver dónde hay más pasteles, o si el número de
pasteles en ambos casos es el mismo, basta con ver dónde hay
menos niños.
Cuando se comparan los resultados de dos repartos sin
cuanticar el resultado, por ejemplo, cuando se dice «en
pasteles entre niños le toca más a cada niño que en pas-
teles entre niños», se puede decir que se están comparando
«cocientes indicados» ( entre se compara contra entre )
y para hacerlo, se ponen en juego propiedades de la división
(por ejemplo, «a mayor divisor, menor cociente»). Estos co-
cientes indicados también pueden denirse como «razones».
Volveremos sobre esta noción en el capítulo de este libro.
Con estas actividades los alumnos comienzan a relacionar,
de manera implícita, los cocientes indicados del tipo « pasteles
entre niños», con las fracciones, como « pastel por niño».
Actividad 1.8
Repartos fáciles de comparar
En la actividad anterior, se pudieron ver algunos casos en los que es
relativamente fácil comparar los repartos a partir de establecer ciertas
relaciones entre los datos, sin obtener las fracciones correspondientes.
A continuación, se extiende la lista de estos casos. Para cada uno,
usted proporcione un ejemplo y explique cómo se puede hacer la
comparación de los repartos.
• Misma cantidad de niños en los dos repartos.
54
Más de uno, pero menos de dos
• Misma cantidad de pasteles en los dos repartos. Este caso es más
difícil, que el anterior. ¿Por qué?
• La cantidad de pasteles de uno de los repartos es mayor que la
del otro, pero la cantidad de alumnos es menor, por ejemplo,
pasteles, niños vs pasteles, niños.
• La cantidad de pasteles en uno de los repartos, es menor que la
de niños; y en el otro reparto, es mayor, por ejemplo, pasteles,
niños vs pasteles, niños.
Estas actividades de comparación favorecen establecer relaciones
entre los datos de los repartos, aunque las fracciones no intervienen
explícitamente.
Actividad 1.9
Otra vez: ¿de qué tamaño era el entero?
En capítulo 1 del primer volumen se plantea una actividad (1.4) que
consiste en «reconstruir el entero», conociendo una fracción de este.
Ahora se plantea la misma actividad en un contexto de reparto. Co-
mo podrá observar, se trata de variantes de los problemas de reparto
más difíciles, pues ya no se trata de hacer el reparto, sino de partir del
resultado de este, e ir hacia atrás para determinar cómo era el entero.
Las siguientes actividades podrían ser adecuadas para sexto grado de
primaria o primer grado de secundaria.
a) El pedazo de chocolate que aparece dibujado es de la barra
entera (ver figura ). Dibuja la barra entera. ¿Hay más de una
solución?
Figura 7. de la barra entera
Primaria y
secundaria
Las fracciones y la división
55
b) Ahora la porción dibujada es del chocolate (ver figura ). Marca
hasta dónde llega un chocolate entero.
Figura 8. 1 de chocolate
c) Se repartieron barras de chocolate, como la que está dibujada
abajo (figura ), entre varios niños, de manera equitativa (todas
las porciones iguales) y exhaustiva (se repartió todo). A cada niño
le tocó una porción como la que también está dibujada abajo.
¿Cuántas barras se pudieron haber repartido? ¿Y entre cuántos
niños?
Barra de chocolate
Porción de un niño
Figura 9. Barra entera y porción por niño
56
Más de uno, pero menos de dos
Tema 3. La fracción como cociente de dos enteros
3.1 Generalización del resultado de los repartos:
m unidades entre n es igual a de unidad
Actividad 1.10
Tres unidades entre cuatro es igual a
de unidad. ¿Es una coincidencia?
Conteste las preguntas a y b y lea el texto que se presenta enseguida.
El resultado de 3 unidades entre 4 es igual a de unidad. Observe
que el dividendo (3) resulta ser el numerador de la fracción, y el divisor
(4) es el denominador. ¿Ocurre esto siempre o es coincidencia?, es decir:
a) ¿pasará lo mismo si se dividen unidades entre ?;
b) ¿siempre que se dividen m unidades en n partes, resulta que cada
parte mide justamente de unidad? Si su respuesta es «no», dé un
contraejemplo. Si su respuesta es «sí», trate de explicar por qué.
No es coincidencia
Supongamos que para hacer el reparto equitativo y exhaustivo
de pasteles entre personas se decide hacer el reparto pastel
por pastel. Entonces, del primer pastel, a cada persona le toca
de pastel. Del segundo pastel, a cada persona le toca de
pastel, y así sucesivamente. De los pasteles, a cada persona
le toca veces de pastel:
de U + de U + de U + de U + de U = de U
Con esto, se empieza a ver que no se trata de una coincidencia.
En general, el reparto de m pasteles entre n es igual a de pastel:
Las fracciones y la división
57
• si se reparte un pastel entre n, a cada uno le toca de pastel;
• si se reparten m pasteles entre n, a cada uno le toca m veces
de unidad, es decir, de unidad.
Los alumnos, en quinto o sexto grado de primaria, si han
tenido varias experiencias haciendo repartos, pueden llegar
a establecer este resultado general, con un poco de ayuda, a
partir de preguntas como: «¿se puede prever qué parte del
pastel (o de la unidad) le corresponde a cada uno, sin tener
que hacer el reparto?» Los alumnos podrían explorar con dis-
tintos repartos. En cierto momento, se puede incluir el caso
de porciones mayores que la unidad: «Y si hay más pasteles
que niños, ¿también se puede anticipar cuánto le tocará a cada
uno? Por ejemplo, ¿si hay pasteles entre niños?» Si se aplica
el hallazgo anterior, sale y eso es lo mismo que decir +
pasteles para cada niño.
A continuación, se analizará una experiencia en la que
los alumnos de un grupo de sexto grado de primaria resol-
vieron varios problemas de reparto. Se destacará la diversidad
de formas que encontraron para resolver, y la riqueza de los
argumentos que emergieron. En la actividad . que viene
después de la descripción de la experiencia, se plantean pre-
guntas para analizarla.
El reparto de pasteles en sexto grado
En el trabajo citado con anterioridad (Block, a), con el
propósito de establecer la relación a unidades ÷ b = de uni-
dad, se aplicaron en sexto grado un conjunto de situaciones
de reparto con dos características:
• repartos en los que el número de pasteles a repartir es
variable pero el número de niños es constante (por ejem-
58
Más de uno, pero menos de dos
plo, pastel entre ; pasteles entre o pasteles entre ,
etc.), con la nalidad de que puedan aplicar razonamientos
como « pasteles entre niños debe ser el doble de pastel
entre niños» (sesiones y );
• repartos en los que las cantidades son más grandes, para
disuadir el recurso de la representación gráca (sesión ).
No se entregó ningún material. Los alumnos contaban con
hojas blancas y lápiz.
Como se mostrará a continuación, los problemas dieron
lugar a una buena cantidad de procedimientos, de relaciones
y de generalizaciones.
Procedimientos identicados
• En la sesión , los repartos fueron: entre y entre .
• En la sesión , fueron: entre , entre y entre .
• Aparecieron cinco procedimientos, de los cuales dos, el
y el , fueron mayoritarios y se generalizaron.
Procedimiento : partición en
Consiste en hacer primero particiones entre potencias de
como suelen hacer los alumnos de primer ciclo. En este grado
fueron muy pocos los alumnos que utilizaron este procedi-
miento, y, en algún momento, partieron entre el número de
niños (es decir, entre el divisor).
Procedimiento : integrando una nueva unidad
Para el reparto entre , por lo menos en un equipo, los alumnos
consideraron a los dos pasteles como uno solo y respondie-
ron , dejando implícito que se trataba de de dos pasteles.
Esto dio lugar a una larga discusión. A los autores de ese
resultado se les dicultó explicarlo. Después, varios niños,
Las fracciones y la división
59
apoyándose en representaciones grácas que hicieron en el
momento, lograron explicar que «es lo mismo de un pastel
que de dos pasteles» (ver gura ).
Figura 10. de dos y de uno
Efectivamente, no resulta difícil establecer que unidades
entre es de unidades. Pero de unidades, ¿cuánto es
de una sola unidad? Esto lo resuelven con el procedimiento
o con el .
Procedimiento : repartir pastel por pastel
Consiste en repartir pastel por pastel a las personas, por
ejemplo, para entre :
• Del primer pastel toca a cada una
• Del segundo pastel, otro
• Del tercer pastel, otro
• En total, toca a cada una de pastel
Este es el procedimiento que se deseaba propiciar por llevar
fácilmente a la generalización: «m pasteles entre n personas
igual a de pastel a cada persona».
La mayor parte de los equipos lo utilizó desde el primer
reparto ( ÷ ), y llegó a formularlo muy claramente:
Número de
pasteles
Porción por
persona
1
× 3 × 3
3
60
Más de uno, pero menos de dos
• «( pasteles entre es ) porque un pastel entre cinco es ,
entonces pasteles entre es »;
• «( pasteles entre es porque) dividimos cada pastel en
, le damos un séptimo a cada persona de cada pastel, les
tocan ».
Más adelante, en la sesión , frente a la tarea de repartir
pasteles entre personas, efectivamente la mayoría acudió
a ese razonamiento: «Un pastel entre toca a de pastel
por persona, entonces en total toca a de pastel por persona.»
Algunos de los que no utilizaron este procedimiento y
llegaron al resultado por un camino más laborioso, o no llega-
ron, al escuchar la explicación durante la puesta en
común se muestran sorprendidos. «¡Se podía dividir
cada pastel!», exclamó uno de ellos.
Es decir, se estableció la relación m ÷ n = , en
el contexto de reparto.
Procedimiento : partir cada pastel entre el número de niños
(entre ), juntar todos los pedazos ( quintos) y repartirlos.
Desde la primera sesión algunos alumnos resolvían el reparto
entre , con apoyo en dibujos, así:
pasteles = quintos y
quintos entre = quintos
En general: m entre n = mn «eneavos» entre n y eso es igual a
En los problemas en los que los números son un poco más
grandes no apareció más este procedimiento, es decir, no lo
generalizan. Como se verá después (en el tema ), este mismo
procedimiento aparece en otro contexto, en la secuencia «La
medida del paso de los Robots».
Número de
pasteles
Porción por
persona
1
× m× m
m
Las fracciones y la división
61
Procedimiento : encuentro del cociente
fraccionario con el cociente decimal
Cuando el dividendo de la división (cantidad de pasteles) es
mayor que el divisor (cantidad de personas), pero no es múl-
tiplo de este (es decir, queda un residuo), aparecen dos formas
de hacer el reparto: usar la división de enteros, extendida a
cociente decimal, o bien, fraccionar el residuo. A continuación
se muestra un ejemplo.
Para pasteles entre , al usar la división, obtienen un resul-
tado de pasteles por persona y sobran pasteles.
Varios alumnos resolvieron el reparto del residuo partiendo
los pasteles en séptimos: entre es ; un alumno usó una
regla incluida en su libro de texto, según la cual la fracción
del resultado se forma con el residuo de la división como
numerador y con el divisor como el denominador. Otros, en
cambio, continuaron con la división, con decimales:
Surgió entonces la duda de si estos resultados, . y , eran
o no equivalentes, y de cómo pasar de una representación a
otra. Los alumnos mostraron no estar nada seguros de dicha
equivalencia. En la primera ocasión en que esto sucedió lle-
garon a establecer que:
• seguramente los dos resultados son correctos;
• . equivale a: + + o + ;
• la división entre no se acaba.
62
Más de uno, pero menos de dos
En otra ocasión, para entre , también aparecieron los
dos tipos de resultados: mediante la partición del residuo y la
división con decimales. En este caso la fracción que se genera
sí es decimal, por lo que «la división se acaba». Un alumno
(excepcionalmente hábil) logró mostrar la equivalencia:
= (simplicando)
÷ = .
. = =
Actividad 1.11
Aproximaciones al cociente
Analice algunos aspectos de la actividad anterior, a partir de las si-
guientes indicaciones.
a) Describa los diferentes caminos a través de los cuales, en esta clase,
los alumnos se aproximaron al cociente del reparto m pasteles
entre n.
b) En la situación hubo una actividad en la que se trató de encontrar
el resultado de varios repartos, todos entre niños. ¿En qué ayudó
que el número de niños fuera una constante?
c) En la primaria hay ocasiones en las que, sin una explicación, se
hace uso, de manera implícita, de la definición de fracción como
cociente. Si conoce alguna de esas ocasiones, descríbala y después
vea las que se mencionan en el
Actividad 1.12
Dos maneras de presentar un problema.
¿Se obtiene el mismo problema?
a) Resuelva el siguiente problema. Después, explique cómo se ima-
gina que lo podrían resolver alumnos de sexto grado de primaria
o primer grado de secundaria.
Las fracciones y la división
63
Se repartieron varias galletas entre algunos niños, en partes
iguales y sin que sobrara ninguna. A cada uno le tocó de
galleta. ¿Cuántas galletas eran y cuántos niños había? ¿Cuántas
respuestas correctas hay?
b) Compare el problema que acaba de resolver con el problema an-
terior (., inciso c) ¿Qué diferencias encuentra? ¿Cuál le parece
más difícil y por qué?
3.2 Un problema de división en el que no se
reparten pasteles
¿Qué pasaría si en lugar de repartir pasteles entre niños, ahora
se tratara de dividir una longitud de cierta medida en cier-
to número de partes iguales? Si los alumnos ya saben que a
pasteles entre b niños es igual a de pastel por niño, es decir,
si ya establecieron la relación a unidades ÷ b = de unidad
en el contexto del reparto de pasteles, ¿cabe esperar que la
transeran al contexto de medidas de longitud? Si ya saben
que pasteles entre niños arrojan de pastel por niño, ¿po-
drán saber que, si se dividen metros en partes iguales,
cada una será de de metro, sin necesidad de calcularlo? En
un estudio se exploró la pregunta anterior, con alumnos de
quinto grado, mediante la secuencia de situaciones «El paso
de los robots». Resultó que ningún alumno trasladó al nuevo
contexto la relación construida en el contexto de reparto de
pasteles. Los alumnos desarrollaron nuevos y diversos proce-
dimientos, para lo cual pusieron en juego sus conocimientos
previos sobre fracciones, sobre decimales y sobre la división,
e hicieron conexiones entre esos conocimientos. Esto en sí
ya fue valioso por el repaso amplio que permitió, más allá
64
Más de uno, pero menos de dos
de que algunos de los procedimientos desarrollados fueron
elementales y otros fueron sistemáticos. Al nal, fue posible
volver a establecer en la clase que la división de a unidades
entre b, arroja como cociente de unidad en el nuevo con-
texto, lo cual constituye una manera de fortalecer el vínculo
conceptual entre la división y la fracción.
A continuación, se presentan algunos de los procedi-
mientos que desarrollaron los alumnos de un grupo de sexto
grado, en este contexto. Es importante señalar que dichos
procedimientos no fueron enseñados por el maestro, y que
en otro grupo podrían no aparecer algunos, y sí otros. Al tér-
mino de la aplicación de una secuencia como esta, se podría
institucionalizar, con la intervención del maestro, alguno de
los procedimientos más sistemáticos.
La situación «El paso de los robots»
Se trata de un conjunto de «robots» que, al dar cierto número
de pasos, avanzan cierta distancia. Cada robot da pasos de
determinado tamaño, unos dan pasos más grandes que otros
pero los de un mismo robot son siempre iguales.
En esta situación se plantea que todos los robots dan cinco
pasos. Se da la distancia avanzada en los cinco pasos por cada
robot, y lo que debe averiguarse es el tamaño de un paso.
Por ejemplo, en la tabla de abajo se presentan robots.
Todos dan pasos. Se informa la distancia avanzada por cada
uno en los pasos. Se debe averiguar el tamaño del paso, o, lo
que es lo mismo, la distancia avanzada en un paso.
Las fracciones y la división
65
Robot Distancia recorrida
en 5 pasos
Distancia recorrida
en un paso
A 1 unidad
B2 unidades
C3 unidades
D4 unidades
En la primera aplicación de la situación se pidió a los alumnos
que construyeran físicamente la longitud del paso (se utiliza-
ron tiras de cartoncillo para representar tanto a las unidades
como al trayecto avanzado) y, en las sesiones siguientes, se les
pidió además que determinaran la medida. La primera opción
(construir el paso físicamente sin pasar por la medida) no
requiere del uso de fracciones, pero permite comprender las
relaciones entre los elementos en juego.
En resumen, las características de la situación son las si-
guientes.
• Para cada robot, hay tres datos que son: el tamaño de su
paso, el número de pasos (este dato es común para todos),
y la distancia recorrida.
• El dato que no se conoce es el tamaño del paso.
• El tamaño del paso de cada robot se podría calcular me-
diante la división «distancia recorrida entre número de
pasos», pero los alumnos no lo saben de entrada, y ade-
más, la mayoría no sabe aún hacer esa división, entonces,
buscarán otros procedimientos.
• Todos los robots dan pasos. Esta constante permite es-
tablecer una relación proporcional entre el tamaño del
paso y la distancia recorrida por cada robot. Gracias a
eso se cumple que, por ejemplo, si un robot recorre dos
veces (o tres veces, o n veces) la distancia que recorre otro,
es porque su paso también es dos veces (o tres veces, o n
66
Más de uno, pero menos de dos
veces) el tamaño del paso de aquel. Entonces, el robot que
recorre unidades, por ejemplo, debe dar pasos del triple
de tamaño de los que da el que solo avanza una unidad. Se
buscó propiciar que los alumnos averiguaran el tamaño
de los pasos de cada robot usando esta propiedad de la
proporcionalidad, sin hacer uso de la división. Algunos
lo hicieron, pero la mayoría desarrolló otras maneras de
calcular el tamaño de los pasos. La diversidad de maneras
de resolver fue interesante.
Materiales y las formas de validar
Cada equipo recibió una cha de trabajo en la que se presen-
tó la información en una tabla como la anterior en la que se
indica la distancia recorrida en pasos. Además, recibieron
las siguientes tiras de cartoncillo:
• tira numerada (tira amarilla);
• tira unidad de la misma longitud que las unidades de la
tira numerada;
• tira de cartoncillo para construir una longitud del tamaño
del paso.
Las fracciones y la división
67
Se previeron tres formas de validar.
La «validación empírica» consiste en cortar la tira de car-
toncillo según la medida estimada para el paso e iterarla sobre
la tira numerada tantas veces como lo indique el número de
pasos. Si al nal hay coincidencia con la distancia señalada,
entonces la medida del paso es correcta.
La «validación aritmética» consiste en sumar la medida
estimada para el paso tantas veces como lo indique el núme-
ro de pasos, o bien multiplicar la medida por el número de
pasos, para nalmente obtener el recorrido total. Esta forma
de validación lleva a establecer una relación multiplicativa:
medida de un paso multiplicada × pasos = distancia reco-
rrida en pasos.
Por último, la «vericación intermedia», así nombrada
porque incluye elementos de las dos anteriores: por ejemplo,
si para un robot que avanza unidades en pasos se arma
que su paso mide , cada unidad de la tira numerada se divide
aproximadamente en quintos (marcando las líneas con un
lápiz), posteriormente se forman segmentos de tres quintos
y, nalmente, se verica si veces es igual a unidades. Si
bien se recurre a una división física de las unidades, no es
necesario que tal división sea exacta (es solo un apoyo para
ir contando los quintos de unidad).
Actividad 1.13
¿Cuánto mide un paso?
a) Calcule las distancias recorridas en un paso por los distintos robots
y anótelas en la tabla anterior.
b) Haga anotaciones acerca de cómo piensa que resolverían alumnos
de quinto o sexto grado de primaria, prevea algunas dificultades.
c) Analice los procedimientos de los alumnos de quinto grado que
se reportan a continuación.
68
Más de uno, pero menos de dos
Los procedimientos
A continuación, veremos algunos de los procedimientos de
resolución de los alumnos. Los procedimientos están organi-
zados en dos grupos, primero los que son por ensayo y error,
y después los que son más sistemáticos.
Procedimientos poco sistemáticos
• Obtener físicamente «el paso» por ensayo y error
Por ejemplo, para un robot que avanza unidades
en pasos, algunos alumnos cortaron un pedazo de la
tira, estimando que al iterarlo veces llegara al . Una
vez cortado, lo iteraron (ver gura ). De acuerdo con
el resultado obtenido, cortaron un pedazo más grande o
más pequeño que el anterior.
Figura 11. Iterando el pedazo sobre la tira unidad
• Obtener físicamente el tamaño del paso formando una
longitud igual al recorrido total y partiéndola entre el nú-
mero de pasos
Para el mismo ejemplo ( unidades en pasos), unos
alumnos cortaron una tira de longitud igual a unidades,
y la dividieron en partes aproximadamente iguales, por
tanteo (ver gura ).
Las fracciones y la división
69
Figura 12. Tira de 3 unidades dividida en 5 partes
En los procedimientos anteriores, una vez que se tuvo el paso,
algunos alumnos intentaron asignar una medida comparando
el paso con la tira unidad, a través de diferentes medios que
se explican a continuación.
–Estimando: «un poco más de la mitad», «como un tercio»
(de la unidad).
–Doblando la tira unidad en medios, en cuartos, y, nal-
mente, aproximando con octavos.
70
Más de uno, pero menos de dos
–Estimar una fracción, multiplicarla por los pasos, y ajustar
Sin utilizar el material, algunos alumnos estimaron una frac-
ción de unidad y la vericaron multiplicándola por el número
de pasos (o sumándola iteradamente) y luego hicieron ajustes
progresivos. Por ejemplo, para un robot que avanza unida-
des en pasos, se presentó el siguiente diálogo en un equipo:
Ismael (a Juan): [el tamaño del paso] es menos de
uno y medio.
(…)
Alejandro: Va a llegar al nueve y se va a pasar por un
medio. Vean (prueban haciendo marcas sobre la tira
amarilla y se pasan más de lo previsto).
(…)
Alejandro: (...) Tiene que ser entre uno y uno y medio.
Ismael: Tendría que ser uno y un cuarto.
(Prueban haciendo marcas cada , llegan a ).
Alejandro: Un tercio es más de un cuarto, pero menos
de un medio.
Ismael: Sí, un tercio.
Alejandro: Un quinto es más chico que un cuarto, un
tercio es más grande. Uno y un tercio.
(Intentan con un entero y un tercio, pero al avanzar
pasos llegan ya a unidades) (…)
Observador: Entonces, si es un paso y un cuarto, le
falta, si es un paso y un tercio, le sobra, ¿cuánto tendría
que ser? (...)
Las fracciones y la división
71
Juan: Un paso un quinto (…)
Alejandro: Pero es que mira, un quinto es más chico
que un cuarto, y si con un cuarto no se pudo, con un
quinto menos.
Ismael: Un octavo.
Alejandro: ¡Ay! (risas)
La búsqueda de una medida x que satisfaga la condición
veces x = unidades lleva a los niños a estimar varias medidas,
a iterarlas y ajustarlas hasta encontrar una buena acotación
entre números formados con fracciones unitarias:
< <
Cabe señalar que cuando los alumnos estimaron medidas
fraccionarias, casi siempre fueron unitarias (es decir, con
numerador ). Si en una clase se presenta una situación co-
mo esta, sería un buen momento para preguntar y estudiar si
existen o no fracciones mayores que pero menores que .
Actividad 1.14
¿Existen fracciones mayores que pero menores que ?
a) Describa con sus palabras la dificultad que dejan ver los alumnos
en el episodio anterior.
b) ¿Cómo se relaciona esa dificultad con la propiedad de la densidad?
Procedimientos más sistemáticos
Los procedimientos más sistemáticos se generaron a partir
de la segunda sesión, cuando se pidió a los alumnos que pro-
porcionaran la medida de cada paso. Vamos a analizar tres
72
Más de uno, pero menos de dos
procedimientos: ) el que utiliza propiedades de la propor-
cionalidad; ) el que subdivide las unidades para obtener un
número total de partes divisible entre el número de pasos; )
el que obtiene una aproximación decimal del tamaño del paso
(con y sin algoritmo de la división).
• Procedimiento . Pensar en una escala: «si solo hubiera
avanzado una unidad…»
Este fue el procedimiento que se quiso propiciar en
la secuencia, pero muy pocos alumnos lo desarrollaron.
Veamos primero un ejemplo en el que, entre los robots
de la lista, guraba uno cuyo recorrido total era una sola
unidad.
Para un robot B que avanza unidades en pasos.
Erick: Primero dividimos la unidad de medida en cin-
co partes, que es el robot A (el robot A avanza unidad
en pasos), y después como son dos unidades (robot
B), es lo doble de A.
Maestra: ¿Cómo escribieron su mensaje?
Erick: Igual (al mensaje enviado al equipo anterior:
«Haz robot que dé un paso de ») (…)
El esquema siguiente resume el procedimiento que explicó
Erick:
Distancia
en 5 pasos
Distancia
en 1 paso
Robot A 1 u de u
× 2 × 2
Robot B 2 u de u
Las fracciones y la división
73
Naturalmente, el procedimiento anterior se facilita si entre
los robots aparece el de aquel que avanza una sola unidad
en los pasos. Veamos ahora un ejemplo en el que el ro-
bot que avanza una unidad no guraba entre los robots
de la lista:
Para un robot que avanza unidades en pasos.
Raúl: Primero dividimos entre siete, de esos siete solo
tomamos cinco.
Maestra: ¿Pero por qué agarraron cinco?
Raúl: Porque nada más eran cinco unidades.
Maestra: (...) nos deja medio desconcertados, parece
magia. Porque eran cinco unidades siete pasos, uste-
des nada más agarraron la unidad, la dividieron en
siete y tomaron cinco (partes de cada unidad). ¿Cómo
supieron que sí les iba a salir? (…)
Maltos: Si quisiéramos llegar a la unidad en siete pasos
nada más necesitaríamos un séptimo y si quisiéra-
mos llegar a dos unidades serían dos séptimos y así
va aumentando hasta llegar al cinco y cinco séptimos
y llegamos a la quinta unidad.
En este procedimiento subyace la idea de una especie de
escala: calcular el tamaño del paso en el caso hipotético de
que el robot hubiera avanzado solamente una unidad en
la cantidad indicada de pasos (si en n pasos avanzó una
unidad, cada paso mide de unidad), y luego «amplicar»
el tamaño de paso así obtenido, multiplicándolo por el
número de unidades realmente avanzadas (si la distancia
realmente avanzada fue de m unidades, el paso mide m
veces de unidad, es decir, de unidad).
Quizá Maltos fue el único en lograr esta comprensión
del procedimiento. La utilización de esta relación de pro-
74
Más de uno, pero menos de dos
porcionalidad (a un recorrido n veces mayor corresponde
un paso n veces mayor), como recurso para resolver el
problema, resultó aún difícil para la mayoría de los niños
de quinto grado de primaria.