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El mapa cognitivo como recurso de investigación en el estudio de casos
... En estas investigaciones se plantea la comparación de conjuntos infinitos y se anima a trabajar la definición formal de conjunto infinito, ya que los estudiantes deben aprender que en ciencia y matemáticas no todo es comprensible intuitivamente. Cabe destacar los trabajos ya comentados de Tirosh y Tsamir, y las investigaciones de Sierpinska y Viwegier (1989);Waldegg (1988Waldegg ( , 1993, Moreno y Waldegg (1991), y Penalva (1996Penalva ( , 1998. ...
... Así mismo, los mapas cognitivos utilizados han sido un auténtico instrumento "dinámico", que ha potenciado el estudio de las relaciones conceptuales establecidas por cada uno de los estudiantes entrevistados (Penalva, 1998;Penalva, Gaulin, Gutiérrez, 1996). Los datos obtenidos se presentan como un abanico de recomendaciones que favorecen el estudio de conceptos matemáticos en general y la comprensión de los conjuntos infinitos en particular. ...
... Puede encontrarse una revisión histórica y matemática completa en Penalva (1996). Asimismo, Penalva (1998) establece consideraciones propias de la conceptualización de diferentes sujetos acerca de los números transfinitos usando mapas conceptuales como herramienta metodológica. pequeño, Cantor llega a afirmar que "desde el punto de vista del análisis puramente aritmético, no hay magnitudes infinitamente pequeñas, sino magnitudes variables que devienen en pequeñas" (citado en Belmonte, 2009, p. 32). ...
Esta investigación aborda el conocimiento especializado que el profesor de matemáticas de secundaria puede movilizar, en pos de su identificación, caracterización y categorización. Para ello, nos basamos en el modelo de ‘Conocimiento Especializado del Profesor de Matemáticas’-MTSK-, desarrollado de forma contemporánea a esta investigación. Así, dotamos de contenido a cada uno de los subdominios que este modelo propone, concretando en el caso del conocimiento que el profesor posee acerca del infinito para enseñar matemáticas. La metodología seguida es de corte cualitativo, siguiendo el enfoque metodológico de la Grounded Theory, encuadrado en un paradigma interpretativo, con un diseño de estudio de caso. Las herramientas usadas y desarrolladas para obtener los datos fueron:
- Un cuestionario exploratorio, que abordaba concepciones sobre enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, concepciones acerca de la naturaleza de las matemáticas, y una primera aproximación a la noción matemática de infinito.
- Una entrevista, en diferentes sesiones, que permitió abordar cuestiones relativas al infinito como concepto matemático, como sustento epistemológico de nociones matemáticas, y como elemento sobre el que se incitó al profesor a desarrollar reflexiones tanto matemáticas, como ligadas a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en las que éste estuviera envuelto. Se asistió a las clases del profesor objeto del estudio de caso para añadir elementos de discusión a la entrevista.
Se analizó los datos en varias ocasiones, desde diferentes enfoques, de manera que pudiéramos obtener un mayor grado de triangulación. Este análisis permitió la emergencia de varias categorías: Localización de curso; Pensamiento y acciones de alumnos; Lenguaje; Explicitación en el aula y ejemplos de enseñanza; Fenomenología; Desarrollo cognitivo del infinito; Conflictos-Disonancia cognitiva; Errores conceptuales; Significados del infinito. Estas categorías fueron evidenciadas en el análisis de datos con fragmentos que mostraran su contenido.
En el capítulo de discusión de resultados y conclusiones abordamos los diferentes subdominios del modelo de conocimiento profesional MTSK, desarrollando una discusión acerca del contenido de los mismos en relación con el infinito, estableciendo las relaciones entre los subdominios y las categorías emergentes, así como entre los propios subdominios debido al carácter transversal de las propias categorías a estos. Así, con estas relaciones establecidas, profundizamos en la naturaleza del conocimiento del infinito mostrado por un profesor, proponiendo generalizaciones plausibles (coherentes con el enfoque metodológico) acerca del propio conocimiento del infinito movilizable por un profesor. Las conclusiones que se establecen en esta investigación reflejan la naturaleza compleja del conocimiento del profesor, particularizada en el caso del infinito. Estas conclusiones se basan en la asunción del concepto ‘conocimiento’ en el sentido de Schoenfeld (2010), siendo este la información disponible para usar, lo que nos permite hacer una discusión flexible del significado que posee ‘conocer el infinito como profesor’, más allá de consideraciones puramente propias de la matemática formal. Asimismo, la sensibilidad teórica desarrollada en esta investigación nos ha permitido establecer algunas reflexiones sobre el infinito y el conocimiento profesional, de forma independiente, como parte del objeto de estudio.
This research tackles the special kind of knowledge that a secondary mathematics teacher can use, in order to achieve its identification, characterization and categorization. For this purpose, we rely on the ‘Mathematics Teachers’ Specialized Knowledge’-MTSK- model, developed together with this research. Thus, we endow content to each one of the subdomains proposed by the model, particularizing in the case of the knowledge that teachers’ posses about infinity to teach mathematics. The methodology used is of qualitative kind, following the methodological approach of the Grounded Theory, being framed in a interpretative paradigm, with a methodology of case study. The methodological tools developed and used to obtain the data were:
- An exploratory questionnaire, that tacked beliefs about teaching and learning mathematics, beliefs about the nature of mathematics, and a first approach to the mathematical idea of infinity.
- An interview, carried out in several sessions, that allowed us to engage questions about infinity as a mathematical concept, as epistemological base of other mathematical topics, and as element about which the teacher was instated to develop both mathematical reflections, as linked to the teaching and learning of mathematics where it could be involved. We attended the classes of the Teacher object of the case study to add some elements of discussions to the interview.
The data gathered were analyzed several times, from different approaches to get a higher rate of triangulation. This analysis allowed the appearance of different categories: Localization of course; Thinking and actions of the students; Language; Explication in the classroom and teaching examples; Phenomenology; Cognitive development of infinity; Conflicts-Cognitive Dissonance; Conceptual mistakes; Infinity meanings. These categories were exhibited in the data analysis, showing fragments of the data that showed their content.
In the chapter of result discussion and conclusions, we approach to the different subdomains of the teacher knowledge model MTSK, developing a discussion about the content of each one in relation with infinity, establishing the relationship between subdomains and the arising categories, and also between the the subdomains themselves, due to the transversal nature of the arising categories to them. With this relations established, we deepened in the nature of the knowledge of infinity showed by the teacher, proposing fuzzy generalizations (in coherence with the methodological approach of Grounded Theory) about the knowledge that a teacher could use. The conclusions of this research show the complex nature of teachers’ knowledge, particularized on the case of infinity. This conclusions are based in the assumption of the ‘knowledge’ concept in the sense of Schoenfeld (2010), being knowledge the ‘information available to use’, which allows us to do a flexible discussion about the meaning of ‘knowing infinity as a teacher’, going beyond the purely formal mathematics considerations. Also, the theoretical sensitivity developed in this research allowed us to establish some reflections about infinity and teacher knowledge, as both independent parts of the object of study.
C oncepts. processes and mathematics instruction
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Los mapas cognitivos como instrumentos para investigar las creencias epistemológicas de los estudiantes
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Esquemas de respuesta ante el infinito matemático. Transferencia de la operatividad de lo finito a lo infinito. Tesis doctoral
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