Available via license: CC BY 4.0
Content may be subject to copyright.
Экономика. Информатика. 2022. Т. 49, № 4 (833–853)
Economics. Information technologies. 2022. V. 49, No. 4 (833–853)
833
ИНФОКОММУНИКАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
INFOCOMMUNICATION TECHNOLOGIES
УДК 621.39
DOI 10.52575/2687-0932-2022-49-4-833-853
Анализ и аппроксимация функций
по эмпирическим данным на основе
субполосных представлений
1 Жиляков Е.Г., 2 Лубков И.И., 1 Болгова Е.В.
1 Белгородский государственный национальный исследовательский
университет, ул. Победы, д. 85, г. Белгород, 308015, Россия
2 ООО «Технопроект», ул. Корочанская, д. 132а, г. Белгород, 308009, Россия
E-mail: zhilyakov@bsu.edu.ru
Аннотация. Эмпирические данные служат основным источником знаний о природных явлениях и
процессах. Разработке методов анализа закономерностей их поведения в зависимости от
конкретных условий посвящено большое количество работ, среди которых особое место занимают
математические модели, описывающие исследуемые закономерности в количественном виде. В
рамках данной работы показано, что многие общие аспекты анализа и аппроксимации функций по
эмпирическим данным могут быть рассмотрены в рамках предложенного варианта субполосного
анализа и синтеза с использованием основных понятий анализа Фурье.
Ключевые слова: математический аппарат субполосного анализа эмпирических данных,
аппроксимация функций, прикладные задачи
Для цитирования: Жиляков Е.Г., Лубков И.И., Болгова Е.В. 2022. Анализ и аппроксимация
функций по эмпирическим данным на основе субполосных представлений. Экономика.
Информатика. 49(4): 833–853. DOI 10.52575/2687-0932-2022-49-4-833-853
Analysis and Approximation of Functions
from Empirical Data Based on Subband Representations
1 Evgeniy G. Zhilyakov, 2 Ilya I. Lubkov, 1 Evgeniya V. Bolgova
1 Belgorod State National Research University, 85 Pobedy St., Belgorod, 308015, Russia
2 Tehnoproekt LLC, 132a Korochanskaya St., Belgorod, 308009, Russia
E-mail: zhilyakov@bsu.edu.ru
Abstract. Empirical data serve as the main source of knowledge about natural phenomena and processes.
Many works are devoted to the development of methods for analyzing the patterns of their behavior
depending on specific conditions, among which a special place is occupied by mathematical models that
describe the patterns under study in a quantitative form. In the framework of this work, it is shown that
many general aspects of the analysis and approximation of functions from empirical data can be
considered within the framework of the proposed version of subband analysis and synthesis using the
basic concepts of Fourier analysis.
Keywords: mathematical apparatus of subband analysis of empirical data, function approximation, applied
problems
Экономика. Информатика. 2022. Т. 49, № 4 (833–853)
Economics. Information technologies. 2022. V. 49, No. 4 (833–853)
834
For citation: Zhilyakov E.G., Lubkov I.I., Bolgova E.V. 2022. Analysis and Approximation of Functions
from Empirical Data Based on Subband Representations. Economics. Information technologies. 49(3):
833–853 (in Russian). DOI 10.52575/2687-0932-2022-49-4-833-853
Введение
Эмпирические данные (ЭД) – это результаты регистрации количественных значений
некоторого параметра, характеризующего поведение исследуемого объекта (процесса) с ин-
тересующей исследователя точки зрения. Ниже в основном рассматривается ситуация пас-
сивных экспериментов, когда на объект не оказывается специально организованных воздей-
ствий. Поэтому областью определения можно считать отрезки времени [Lanczos, 1959].
Регистрация ЭД осуществляется в дискретном наборе точек области определения
параметра (физическая реализуемость процесса измерений).
Предполагается, что эмпирические данные отражают в общем случае неизвестное
правило их генерации (функцию) в зависимости от некоторого аргумента (времени (вре-
менной ряд) или пространственных координат (изображение).
Анализ этой функции предполагает описание её частных свойств, представляющих
интерес с некоторых позиций литературный (энергетические проявления, скрытные перио-
дичности, обнаружение разладок и т.д.).
В данной работе под аппроксимацией функций понимается построение представле-
ний, позволяющих вычислить аппроксимации функциональных зависимостей без априор-
ного постулирования их аналитического вида, что, как выразился Дж. Тьюки, равносильно
навязыванию законов природе. При этом используется некоторые условия, определяющие
качество аппроксимаций. [Методы компьютерной обработки…, 2001; González, Woods,
2008; Solomon, Breckon, 2010; Pratt, 2013].
Высокий интерес к этой проблематике обусловлен важностью ЭД, как источника
научных знаний о природных явлениях и процессах. Поэтому существует большое количе-
ство работ, в которых описываются подходы к анализу и аппроксимации функций по ЭД,
отражающие как специфику проводимых исследований, так и обосновывающие адекват-
ность используемого при этом математического аппарата [González, Woods, 2008; Solomon,
Breckon, 2010; Pratt, 2013]. В данной работе показано, что некоторые наиболее общие за-
дачи анализа и аппроксимации функций по ЭД могут быть рассмотрены в рамках субпо-
лосных представлений, опирающихся на основные понятия Фурье – анализа последователь-
ностей ЭД [Жиляков, Черноморец, 2009; Дворкович, Дворкович, 2012; Болгова, Черномо-
рец, Черноморец, 2019; Заливин А и др., 2020; Жиляков Е. и др., 2022].
Некоторые важные задачи анализа и аппроксимации функций по ЭД
В дальнейшем, как правило, предполагается, что совокупность вещественнозначных
компонентов вектора
)',...,( 1N
xxx
, где штрих означает транспонирование, представляют
собой соответсвующее количество анализируемых ЭД.
Можно выделить некоторые направления их обработки, которые в настоящее время
реализуются достаточно широко.
1. Декомпозиция векторов эмпирических данных (фильтрация) на заданное количе-
ство векторов такой же размерности
r
R
r
Nyxxx
1
1)',...,(
, (1)
например, при решении следующих содержательных задач:
разделение сигналов, предназначенных разным абонентам при передаче инфор-
мации;
Экономика. Информатика. 2022. Т. 49, № 4 (833–853)
Economics. Information technologies. 2022. V. 49, No. 4 (833–853)
835
выделение скрытых периодичностей;
отделение полезной с некоторой точки зрения компоненты
Пример (рис. 1): дендроряды и дендрохронология (дерево в качестве архива природ-
ных процессов).
Последовательности размеров годовых колец по оси абсцисс – годы.
Гладкая кривая-тренд характеризует ростовую функцию дерева (уровень восприятия
внешних воздействий.
Красный график характеризует внешние условия роста (дерево как архив природных
процессов-дендрохронология).
Рис. 1. Построение трендов дендрорядов
Fig. 1. Construction of dendror trends
2. Интерполяция и оценивание производных неизвестных функций по дискретным от-
счетам при оценивании скорости изменений исследуемого параметра в задачах управления.
3. Обнаружение разладок – значимых изменений свойств, например, обнаружение
сигналов на фоне шумов, сегментация речевых сигналов на словные отрезки (рис. 2) и т.д.
Рис. 2. Селекция пауз между словными отрезками речевого сигнала
Fig. 2. Selection of pauses between word segments of a speech signal
4. Сжатие данных (уменьшение объемов битовых представлений) при хранении и
передаче [Радченко, 2002; Стрелков, Умняшкин, 2003; Артюшенко, Шелухин, Афонин,
2004; Авдеев, Чобану, 2006; Крящев и др. 2011].
При этом достаточно часто используется прием представления функций с помощью
ортогональных базисов
)1,...,1('');...
1diagQQQQqq(Q N
Временные ряды
NMqx kk
M
k
,
1
. (2)
Изображения
Экономика. Информатика. 2022. Т. 49, № 4 (833–853)
Economics. Information technologies. 2022. V. 49, No. 4 (833–853)
836
NRhqNkifF kiik
R
nm
ik
,,...,1,},{'
1,
. (3)
)1,...,1('');...(1diagHHHHhhH N
.
Пример: сжатие изображений (монохроматическое) земной поверхности.
Исходное изображение – посередине, сжатые почти в 100 раз – по краям.
Сжатое
(Метод 1)
Исходное
Сжатое
(Метод 2)
Рис. 3. Сжатие изображений (монохроматические) земной поверхности
Fig. 3. Compression of images (monochromatic) of the Earth's surface
Декларируемый в данной работе основной методологический принцип: при разра-
ботке средств анализа и аппроксимации функций по эмпирическим данным необходимо
руководствоваться только самыми общими соображениями (гипотезами) о физических
свойствах генерирующих их объектов.
Наиболее важным общим свойством физически реализуемых объектов является огра-
ниченность их энергетических возможностей, следствием чего является непрерывность не-
известной функции и существование её производных, евклидовы нормы которых конечны
dttxx )(|||| 22
, (4)
,..2,1,)()(|||| 2)(2)(
kdttxx kk
. (5)
Одним из следствий такого свойства является возможность использования представ-
лений аппроксимируемых функций через комплексные функции с финитной областью
определения (частотные представления) [Жиляков, Черноморец, 2009].
2/)exp()()( dzjztzXtx
z
, (6)
Экономика. Информатика. 2022. Т. 49, № 4 (833–853)
Economics. Information technologies. 2022. V. 49, No. 4 (833–853)
837
где z – круговая частота
vz
2
, причем произведение
vt
является беразмерным числом;
в
v
2),,[),[ 2112
. (7)
Справедливо дуальное соотношение
dtjzttxzX )exp()()(
. (8)
Интеграл в формуле (8) принято называть преобразованием Фурье, а результат ин-
тегрирования называется трансформантой Фурье.
Некоторые важные с позиций приложений элементы теории частотных представле-
ний непрерывных функций с ограниченной евклидовой нормой (энергией)
Справедливо равенство Парсеваля
2/|)(||||| 22 dzzXx
z
, (9)
которое описывает распределение квадрата евклидовой нормы функции (энергии) в частот-
ной области, что важно с физической точки зрения.
Особый интерес представляет то, что высокая концентрация энергии в окрестности
некоторой точки частотной области может свидетельствовать о наличии специальных сиг-
налов или квазициклических компонентов в исходной функции. Это обстоятельство явля-
ется важным физическим обоснованием адекватности использования преобразований
Фурье (частотных представлений) при анализе и аппроксимации функций по эмпирическим
данным. Другие преобразования носят скорее формальный характер.
Интервал изменения аргумента при наблюдении за исследуемым объектом всегда
имеет конечные размеры. Трансформанта Фурье конечного отрезка имеет вид
dtjzttxzX T
T)exp()()(
0
. (10)
Подстановка сюда представления (6) дает
duzuzuTjTuuXjTzzX
u
T))(/()2/)(sin()2/exp()()2/exp()(
. (11)
Таким образом, областью определения трансформанты Фурье конечного отрезка
функции служит вся числовая ось. Это необходимо учитывать при дискретизации аргу-
мента в методах цифровой обработки эмпирических данных
Роль частотных представлений при решении
проблемы дискретизации аргумента
Проблема заключается в выборе шага эквидистантной дискретизации на основе раз-
решения противоречия между стремлением максимально сократить количество отсчетов N
с приемлемым при этом искажением информации об исходной непрерывной функции
TtNNktkxxk )1(:,...,1),(
. (12)
Для оценки уровня искаженности информации за счет дискретизации целесообразно
использовать сопоставление характеристик исходной функции с характеристиками её интер-
поляционной функции, которая должна быть непосредственно связана с шагом дискретизации.
Экономика. Информатика. 2022. Т. 49, № 4 (833–853)
Economics. Information technologies. 2022. V. 49, No. 4 (833–853)
838
В основе построения такой сопоставляемой интерполяцонной функции используется
понятие трансформанты Фурье дискретизированной последовательности отсчетов
))1(exp()(
1
tkjzxzX k
N
k
d
. (13)
Легко показать, что эта трансформанта является периодической
.,...1,0||),/2()( mtmzXzX dd
(14)
с периодом
t/2
.
В виду свойства ортогональности комплексных экспонент на этом периоде
kidztikjz
tu
u
,0))(exp(
/2
, (15)
справедливо дуальное представление (обратное преобразование Фурье)
2/))1(exp()(
/
/
dztkjzzXtx d
t
t
k
. (16)
Отсюда легко получить интерполяционную формулу, если произвести замену
tk )1(
на t (формулой Котельникова-Шеннона-Уиттекера)
)1/(/))1/(sin()(
1
kttkttxtx k
N
k
. (17)
В качестве меры искажения информации можно использовать евклидову норму раз-
ности между интерполяционной и исходной функцией, значения которой могут быть полу-
чены с меньшим интервалом дискретизации (прореживание ЭД).
Справедливо соотношение Найквиста, устанавливающее зависимость трансфор-
манты Фурье отсчетов от трансформанты исходной функции
)]/2()/2([)()(
1
tmzXtmzXzXzX
m
d
.
Именно оно позволяет сделать и следующий более общий вывод, который имеет
асимптотическую форму.
Предположим, что для исходной функции бесконечной длительности (асимптотика)
при соответствующем выборе шага дискретизации может быть выполнено тождество (фи-
нитный спектр)
0)/|(| tuX
, (19)
Тогда из соотношения (18) следует равенство
tzzXzXd /||),()(
, (20)
так что интерполяционная формула (17) преобразуется в точную
)1/(/))1/(sin()(
kttkttxtx k
k
, (21)
Условие (20) возможности точной интерполяции на основе (21) и составляет суть так
называемой теоремы отсчетов.
Экономика. Информатика. 2022. Т. 49, № 4 (833–853)
Economics. Information technologies. 2022. V. 49, No. 4 (833–853)
839
Некоторые современные приемы анализа ЭД
на основе частотных представлений
1. Спектральный анализ на основе дискретного преобразования Фурье (ДПФ)
NmNmkjxNтXk
N
k
d,...,1),/1)(1(2exp()t/)1(2(
1
. (**)
Распространенность ДПФ обусловлена наличием быстрых алгоритмов его вычисле-
ния (БПФ), позволяющего сократить вычисления в
)(log/ 2NN
раз. В настоящее время вы-
пускаются специальные процессоры, реализующие БПФ на аппаратном уровне.
2. Выделение компонент на основе цифровых сверток (КИХ-фильтры)
Nkxwy mkm
M
m
k,,,,1,
0
. (***)
Зависимоость выходных последовательностей таких фильтров от спектра Фурье
входных векторов имеет вид
2/)()(
/
/
dzzXzWty t
t
k
. (****)
Таким образом, в соответствии с формулой (11) нельзя обеспечить зависимость
только от одной доостаточно узкой субполосы области определения трансформанты Фурье
входных данных.
Очевидно, что широкое применение ДПФ и КИХ-фильтрация свидетельствует о
важности обработки ЭД на основе субполосной методологии.
Под субполосной методологий понимается анализ и аппроксимация функций с по-
зиций разбиения частотной полосы на неперекрывающиеся субполосы
RrvvvvV rrrrr ,...,0),,[),[ 2112
, (22)
где имеется в виду нормированная круговая частота
tzv
;
Rrvvvv rrR ,...,1,;0; 12,1012
. (23)
Важно отметить, что современная теория КИХ-фильтрации позволяет создать
наборы взаимосвязанных фильтров для прямой фильтрации и восстановления после про-
реживания исходного входного воздействия. Именно на этой основе созданы методы так
называемого кратномасштабного анализа, который принято называть вейвлет-анализом.
Разработанные в БелГУ методы субполосного анализа
и аппроксимации функций по ЭД
Построение интерполяционной функции и аппроксимации её производной на
основе вариационного условия в рамках субполосных представлений
Воспользуемся соотношением между интерполирующей функцией и её производ-
ной f(t)
dttfxtx t)()0()(
0
(24)
При этом полагаем выполнение интерполяционных условий
Экономика. Информатика. 2022. Т. 49, № 4 (833–853)
Economics. Information technologies. 2022. V. 49, No. 4 (833–853)
840
Nkxtkxtkx k,...,0,)()(
. (25)
Решение задачи интерполяции ищем в классе функций, для производных которых
справедливо частотное представление (финитный спектр)
2/)exp()()( dzjztzFtf V
V
, (26)
а для однозначности отбора кроме выполнения равенств (23) введем вариационное условие
минимизации евклидовой нормы
min2/|)(||||| 22
dzzFf V
V
. (27)
Подстановка представления (26) в (24) с учетом требований (25) дает систему урав-
нений
zdztzktjzkzFrxx V
V
kk
/)2/sin()2/exp()(
0
. (28)
Очевидно, что эти уравнения и условие (27) формируют вариационную изоперимет-
рическую задачу, решение которой имеет вид
ztzntjznbzF n
N
n
/)2/sin()2/exp()(
0
(29)
Подстановка этой формы в (28) дает систему уравнений
)',..,( 1N
rrrbA
, (30)
где
NnkaA kn ,...,1,},{
;
2
0
)/()2/)(cos()2/sin()2/sin(2 zdztnkztzktznaV
kn
. (31)
Можно показать, что при выполнении условия
tV /
, (32)
матрица с элементами (31) является неособенной [Gantmakher, 1959; Horn, Johnson, 2013].
Дальнейшие построения оценки интерполирующей функции и её производной за-
ключаются в численном интегрировании
)/())2/(cos()2/sin()2/sin(2)(x
0
1
0zdztntztznztbxt V
n
N
n
zdztntztznbtf V
n
N
n
/))2/(cos()2/sin()(
0
1
.
Формулировка методологического принципа субполосного анализа и аппрок-
симации функций по ЭД
Очевидно, что при разбиении частотной области на субполосы (22) равенство Пар-
севаля для дискретных ЭД преобразуется к виду суммы этих частей
)(||||
0
2xPx r
R
r
. (33)
Экономика. Информатика. 2022. Т. 49, № 4 (833–853)
Economics. Information technologies. 2022. V. 49, No. 4 (833–853)
841
Поэтому представляется естественным в качестве основного методологического
принципа построения адекватных методов субполосного анализа и аппроксимации функ-
ций по ЭД использовать понятия части энергии (части квадрата евклидовой нормы), при-
ходящейся на соответсвующую субполосу (попадающей в субполосу)
2/|)(|)( 2dvvXxP d
Vv
r
r
. (34)
Целесообразность использования этого принципа обусловлена возможностью по-
строения на его основе методов (в том числе оптимальных) решения основных прикладных
задач анализа и аппроксимации функций по ЭД с использованием адекватного математиче-
ского аппарата [Жиляков, 2015].
Математический аппарат субполосной обработки ЭД на основе сформулиро-
ванного принципа
Подстановка в формулу (34) определения трансформанты Фурье дискретизованных
данных (13) позволяет получить представление этой характеристики в виде квадратичной
формы
xAxxP rr
')(
(35)
с субполосными матрицами
NkiaA r
ikr,...,1,},{
,элементы которых определяются соотно-
шениями
)(/)))(sin())((sin(2/))(exp( 12
Vv r
kikivkivdvkijvarr
r
ik
, (36)
/)( 12 rr
r
ii vva
.
Таким образом, при анализе функций характеристику (34) можно вычислить непо-
средственно в области определения ЭД.
Некоторые важные для дальнейшего свойства субполосных матриц
1. Непосредственно из (34) и (35) следует положительная определенность субполос-
ных матриц, а соотношения (36) показывают, что они являются симметричными.
2. В виду симметрии и положительной определенности они обладают полной систе-
мой ортонормальных собственных векторов (являются матрицами простой структуры), со-
ответствующими неотрицательным собственным числам
)...(. 1
'r
N
r
rrrrr qqQQLQA
, (37)
)1,...,1(, '' diagQQQQLQQA rrrrrrrr
; (38)
0....),,..,( 211 r
N
rrr
N
r
rdiagL
;
Набор собственных векторов любой субполосной матрицы может служить пол-
ным ортонормальным базисом линейного пространства векторов соответствующей раз-
мерности
)',...,(, 1Nrrrrr
Qx
, (39)
2/)()(2/)()(),( dvvGvXdvvGvXqx r
i
Vv
r
i
Vv
r
iir
rr
. (40)
Экономика. Информатика. 2022. Т. 49, № 4 (833–853)
Economics. Information technologies. 2022. V. 49, No. 4 (833–853)
842
))1(exp()(
1
vkjqvG r
ki
N
k
r
i
.
Очевидно, что подстановка представлений (39) в (35) дает соотношение, позволяю-
щее оценить вклад проекций исходного вектора на собственные векторы
2
1
)( kr
r
k
N
k
rxP
, (41)
Субполосные свойства собственных чисел и векторов (базисов)
12/|)(|0 2
dvvGr
i
Vv
r
i
r
; (42)
4][ ,0 r
iir
r
JNaJ
r
. (43)
С другой стороны, если выполняется неравенство
06][ r
iirNaK
, (44)
то с высокой точностью выполняются равенства
1...
1 r
K
r
r
. (45)
Квадратные скобки означают целую часть числа.
Сопоставление формул (42) и (43) с (40) показывает, что только проекции на соб-
ственные векторы, соответсвующие единичным собственным числам, полностью опреде-
ляются отрезком трансформанты из заданной субполосы.
Построение оптимальных векторных аппроксимаций последовательностей
ЭД на основе субполосных мер погрешностей (критериев)
Под векторной аппроксимацией последовательностей ЭД имеются в виду удовле-
творяющие некоторым условиям векторы, размерность которых совпадают с количеством
анализируемых данных. Отметим, что такие аппроксимации можно считать функциями от-
счетов соответсвующего аргумента.
В качестве меры взвешенной погрешности субполосной аппроксимации исходного
вектора некоторым вектором
y
такой же размерности и трансформантой Фурье
)(vY
пред-
лагается использовать функционал следующего вида
10)),(||(||)()1(),,( 2 byPybyxPbbyxG rrr
. (46)
Отметим, что здесь первое слагаемое в правой части характеризует величину откло-
нения отрезков трансформанта Фурье в рассматриваемой субполосе, а второе, согласно ра-
венству Парсеваля, служит мерой невыполнения тождества
r
VvvY ,0)(
. (47)
Нетрудно показать справедливость следующего утверждения
Nb
rRzbzxGbxBxG
),,,(min),,(
. (48)
где
)1,...,1(,))21()(1( 1diagIAAbbIbB rr
b
r
. (48’)
Экономика. Информатика. 2022. Т. 49, № 4 (833–853)
Economics. Information technologies. 2022. V. 49, No. 4 (833–853)
843
Таким образом, соотношение
xBb
r
b
r
y
(49)
определяет оптимальную в смысле минимума критерия (46) субполосную аппроксимацию
исходной функции. Очевидно, что её использование можно интерпретировать как опти-
мальную фильтрацию с прямоугольной частотной характеристикой [Жиляков, 2015].
Важным частным случаем является выбор
5.0b
, так что формула (49) прини-
мает вид
xAy rr
(50)
Имея в виду формулу (36), легко показать, что компоненты аппроксимирующего
вектора зависят только от отрезка трансформанты Фурье исходного вектора в заданной суб-
полосе, то есть имеет место представление
2/))1(exp()( dvkjvvXy
r
Vv
kr
. (50’)
Важность этого отличия от КИХ-фильтрации (****) проявляется при вычислении
аппроксимирующих векторов, когда в соседней субполосе содержится большая доля
энергии.
Пример. Сопоставление КИХ-фильтрации и использования (50).
Рис. 4. Зависимости модулей трансформант Фурье (ось ординат): исходного сигнала (пунктир)
и выходных последовательностей КИХ- фильтра (линия с маркером «точка») ,
оптимального фильтра (линия с маркером «кружок») от нормированной частоты (ось абсцисс) в диа-
пазоне частот (
115,0 ;105,0 21 vv
)(вертикальные пунктирные линии)
Fig. 4. Dependences of the modules of the Fourier transformants (ordinate axis): the source signal
(dotted line) and the output sequences of the FIR filter (line with marker "dot")
and the optimal filter (line with marker "circle") on the normalized frequency (abscissa axis)
in the frequency range (
115,0 ;105,0 21 vv
) (vertical dotted lines)
Экономика. Информатика. 2022. Т. 49, № 4 (833–853)
Economics. Information technologies. 2022. V. 49, No. 4 (833–853)
844
Рис. 5. Зависимости (ось ординат): исходного сигнала (пунктирная линия) и выходных последова-
тельностей (сплошная линия) а– КИХ- фильтра; б– оптимального фильтра от номеров отсчетов
(ось абсцисс) для границ частотного интервала (
115,0 ;105,0 21 vv
)
Fig. 5. Dependences (ordinate axis) of: the source signal (dotted line) and output sequences (solid line) of
the a–filter; b- optimal filter on the sample numbers (abscissa axis) for the boundaries of the frequency
interval (
115,0 ;105,0 21 vv
)
Свойство аддитивности полного набора аппроксимаций вида (50)
Так как при разбиении формул (22) и (23) на субполосы имеет место равенство
IdiqagAr
R
r
)1,...,1(
0
, (51)
то для векторов вида (50) будет выполняться аддитивное свойство
xy
R
rr
0
. (52)
Другие способы фильтрации таким важным свойством не обладают.
Свойство (52) зависимости выходных последовательностей фильтров вида (50)
только от отрезков трансформанты Фурье в соответствующих субполосах было использо-
вано при синтезе в слуховых аппаратах акустических воздействий на слуховую систему в
виде линейной формы
0,
ˆ
0
rrr
R
r
wwywx
. (53)
Весомости
0
r
w
определяются при настройке слухового аппарата на этапе анализа
ослабления реакции слуха на воздействие акустического колебания, возбуждаемого сину-
соидальными сигналами в соответствующей субполосе.
С учетом правой части (50) соотношение (53) нетрудно преобразовать к виду удоб-
ному для вычислений
xAxAwx wrr
R
r
w
,
ˆ
0
, (53’)
так как суммарную матрицу и её собственные векторы можно вычислить заранее.
Субполосная аппроксимация с сохранением отрезка
трансформанты Фурье исходного вектора
Использование равенства
0b
равносильно отказу в контроле за трансформантой
Фурье аппроксимирующего вектора вне субполосы (см. соотношение (47)). В этом случае
Экономика. Информатика. 2022. Т. 49, № 4 (833–853)
Economics. Information technologies. 2022. V. 49, No. 4 (833–853)
845
возникает возможность почти точного совпадения отрезков трансформант Фурье исход-
ного и апрроксимирующего векторов в рассматриваемой субполосе.
В самом деле, для любого искомого вектора справедливо представление
rr
Qy
, (54)
подстановка которого в функционал (46) при
0b
дает
2
1
)()()0,,( r
k
r
k
r
k
N
k
rr yxPyxG
. (54’)
Очевидно, что при выполнении (43), когда количество значимо отличающихся от
нуля собственных чисел конечно, а также выборе коэффициентов в формуле (54) из условий
rr
r
kr
r
k
r
kJNmmJkтJk 0;.0;,...,1,
(55)
для отрезков трансформант Фурье с высокой точностью выполняется следующее тождество
(оптимальность)
r
VvvXvY ),()(
. (55’)
Таким образом, условие (55) определяет множество векторов, для которых выполня-
ется тождество (55’), причем выбор
0m
дает вектор с минимальной евклидовой нормой.
Именно использование базиса собственных векторов и свойство близости к нулю
части собственных чисел субполосных матриц позволяет реализовать требование (55’).
Субполосные решающие функции при пекогерентном обнаружении неизвестных
узкополосных сигналов на фоне широкополосного шума
Начальная гипотеза формулируются следующим образом:
0
H
: наблюдаемые ЭД определяются некоторым фоновым шумом
ux
, (+)
а альтернатива предполагает, что наблюдаемые данные представляют собой аддитивную
смесь шума и некоторого неизвестного сигнала
suxH :
1
. (++)
В качестве основания для признания несправедливости нулевой гипотезы предлага-
ется использовать выполнение неравенства
RrhuPxP rrr ,1,)(
ˆ
/)(max
. (+++)
При этом предполагается, что пороги
r
h
и средние значения субполосных частей
энергий фонового шума
)(uPr
могут быть получены на этапе обучения при наличии необ-
ходимого количества отрезков (векторов) стационарного шума.
Очевидно, что при справедливости альтернативы (++) имеет место
)('2)()( uPussPxP rrrr
, (++++)
где
uAu rr
.
Экономика. Информатика. 2022. Т. 49, № 4 (833–853)
Economics. Information technologies. 2022. V. 49, No. 4 (833–853)
846
В соответствии с формулой (50’) этот вектор и последнее слагаемое в правой части
(++++) полностью определяется отрезком трансформанты Фурье мешающего шума из рас-
сматриваемой субполосы, то есть именно этот отрезок трансформанты шума и влияет на
значения решающей функции (+++).
Высокая вероятность обнаружения сигналов достигается тогда, когда энергия сиг-
нала практически полностью содержится в одной из частотных субполос. В этом случае
энергия сигнала используется в полной мере и при равномерном распределении энергии
шума в частотной области достигается максимальное отношение сигнал/шум
1)(/||||)(/)( 2 uPsuPxP rrk
. (56)
Рисунок 2 иллюстрирует применение такого подхода к обнаружению пуаз в межд-
условными отрезками речевых сигналов.
Концепция информационных субполос наблюдаемой последовательности ЭД
и её применение для анализа и аппроксимации функций
Правая часть следующего соотношения
r
iirrr axvvxD 2
12
22 ||||/)(||||
(57)
определяет приходящуюся на субполосу часть энергии вектора
y
, модуль трансформанты
Фурье которого постоянен в частотной области, а полная энергия совпадает с полной энер-
гией исследуемого вектора
22 |||||||| xy
. (58)
Ясно, что исходный набор субполос можно разбить на два подмножества:
R
, для которых выполняются неравенства
RraxxPS r
iirr ,0||||/)( 2
(59)
и
R
, для которых они не справедливы.
Субполосы, для которых выполняются неравенства (59) представляется естествен-
ным считать более важными и именовать информационными. Их совокупность (множе-
ство) определяет соответствующую информационную субполосную матрицу
r
Rr
AA
. (60)
Собственные векторы этой матрицы
LQQA
(61)
могут служить базисом векторного пространства, причем условия вида (55) также опреде-
ляют вектор, удовлетворяющий требованию (55’) для объединённого частотного интервала
RrVV r,
. (62)
Для вычисления компонентов аппроксимации исходного вектора оптимальной в
смысле минимизации критерия (46) при b=0, естественно использовать соотношение (ана-
логично (50))
xAy
. (63)
С учетом (41), полноты базиса собственных векторов и соотношения между следами
подобных матриц неравенства (59) можно привести к следующему виду
Экономика. Информатика. 2022. Т. 49, № 4 (833–853)
Economics. Information technologies. 2022. V. 49, No. 4 (833–853)
847
0
mean r
r
, (64)
где
r
k
r
k
N
k
rw
1
; (65)
N
r
k
N
k
r/
1
mean
; (66)
2
1
2/ri
N
k
ri
r
i
w
. (67)
Таким образом, левая часть (64) определяет разность между результатом усреднения
с весами (67) собственных чисел субполосной матрицы и их средним значением.
Непосредственно из способа определения информационного частотного интервала
следует справедливость следующего утверждения.
Каждому вектору ЭД соответствует единственный информационный частотный ин-
тервал, удовлетворяющий требованию
max/
1
Nλk
N
k
. (68)
Входящие сюда переменные определяются очевидным образом.
Примеры некоторых применений концепции информационных субполос
1.Оптимальные информационные аппроксимации. Графики на рисунке 1 иллюстри-
руют применение понятия информационной субполосной матрицы к построению трендов
на основе представления
kk
J
k
qd
1
(68’)
оптимальных в смысле условия (55’) информационных аппроксимаций гипотетических
функций (гладкие кривые), характеризующих реакцию деревьев на внешние воздействия,
графики которых представляют собой изрезанный кривые.
Отметим, что для аппроксимации в виде гладкой кривой очень трудно подобрать
аналитические зависимости.
2. Разложение по базису собственных векторов информационной субполосной мат-
рицы вида (68’) позволяет достаточно эффективно сжать данные с сохранением возможно-
сти точного воспроизведения отрезка трансформанты Фурье в информационном частотном
интервале это свойство можно считать критерием качества восстановления исходных дан-
ных после сжатия.
Вычислительные эксперименты показывают, что на этой основе можно при сохра-
нении разборчивости речи достичь сжатия речевых данных до скорости потока порядка 2
килобит в секунду.
3. В качестве важного применения концепции информационных субполос можно
указать стеганографию, то есть скрытное внедрение в исходный вектор некоторого вектора,
который может быть использован в разных целях, в том числе для контроля за правомерно-
стью использованием, например, аудиоданных. В качестве примера такого внедрения ука-
жем соотношение для модификации исходного вектора
kk qcxx )(
, (68)
Экономика. Информатика. 2022. Т. 49, № 4 (833–853)
Economics. Information technologies. 2022. V. 49, No. 4 (833–853)
848
где
k
q
– собственный вектор информационной субполосной матрицы, соответствующий рав-
ному нулю собственному числу,
л
– проекция исходного вектора на него, а d – некоторое
число, позволяющее определить факт внедрения информации при контрольной проверке.
Обработка двумерных эмпирических данных
на основе субполосных представлений
Для определенности двумерные эмпирические данные будем именовать изображе-
ниями.
Формальное определение двумерной трансформанты Фурье для изображения
MkNifF ik ,...,1:,...,1},{
(69)
имеет вид
uzkjuijzfuz ik
N
i
M
k
,)),1(exp())1(exp(),(
1 1
. (70)
В качестве основной характеристики предлагаемого варианта субполосного анализа
и аппроксимации двумерных функций по двумерным эмпирическим данным предлагается
использовать часть энергии, попадающей в двумерные подобласти области определения
трансформанты Фурье (70), имеющие следующую конфигурацию.
1
2
3
4
-
2 -
1
1
2
-
2
-
1
v
u
1
2
Рис. 6. Конфигурация двумерной субполосы
Fig. 6. Configuration of a two-dimensional subband
Математическое определение этой характеристики имеет следующий вид
)'(4/|),(|)( 22 FFBAtrdzduuzFP
uz
, (71)
где tr означает след матрицы, а элементы субполосных матриц
A
и
B
определяются соот-
ношениями
Nkikikikiaik ,...,1,)),(/()))(sin())((sin( 12
; (72)
Mkikikikibik ,...,1,)),(/()))(sin())((sin( 12
. (73)
Оптимальная аппроксимация в смысле минимума двумерного обобщения
)(||||)(),( 2DPDDFPDFG
(%)
критерия (46) определяется соотношением
Экономика. Информатика. 2022. Т. 49, № 4 (833–853)
Economics. Information technologies. 2022. V. 49, No. 4 (833–853)
849
FBAD
. (%%)
Для нее также выполняется аддитивное свойство вида (56).
Положим
'
1 1
trrt
J
r
J
t
hqF A B
(74)
где
trrt hFq
'
; (75)
r
q
и
t
h
– собственные векторы матриц с элементами (72) и (73) соответственно.
Можно показать, что эта двумерная субполосная аппроксимация исходного изобра-
жения является наилучшей в смысле выполнения тождества для двумерных отрезков транс-
формант Фурье в рассматриваемой двумерной подобласти, то есть
)(),,(),( uzuzuz
. (76)
На основе использования аппроксимации (74), когда двумерная подобласть пред-
ставляет собой квадрат вокруг начала координат, построена процедура уменьшения объ-
емов битовых представлений изображений с сохранением информации о низкочастот-
ных компонентах. На рисунках ниже приведены результаты вычислительных экспери-
ментов по сжатию данных в сравнении с наиболее эффективным из применяемых ныне
методов JPEG2000. В основе JPEG2000 используется идеология крупномасштабного
анализа в частотной области (вейвлет-анализ) с помощью КИХ-фильтров. Программная
реализация метода в рамках пакета МАТЛАБ доступна в сети Интернет. Её применение
не позволило достичь сжатия более чем 1000 раз. При этом на восстановленных изобра-
жениях достаточно узнаваемые объекты схраняются только для сжатия в 250 раз. При
использовании предлагаемой субполосной аппроксимации узнаваемость объ ектов со-
храняется до степеней сжатия в 500 раз и иногда более.
Время реализации предлагаемых алгоритмов субполосной аппроксимации в 7-9
раз меньше, чем для JPEG2000, что важно со многих точек зрения.
Субполосная
аппроксимация
Исходное
Изображение
JPEG2000
а
Экономика. Информатика. 2022. Т. 49, № 4 (833–853)
Economics. Information technologies. 2022. V. 49, No. 4 (833–853)
850
Субполосная
аппроксимация
Исходное
Изображение
JPEG2000
б
Субполосная
аппроксимация
Исходное
Изображение
JPEG2000
в
Рис. 7. Аппроксимация изображений по сжатым битовым представлениям:
а – степень сжатия 250, б – степень сжатия 500, в – степень сжатия 1000
Fig. 7. Approximation of images by compressed bit representations:
a – compression ratio 250, b – compression ratio 500, c – compression ratio 1000
Использование субполосных представлений для решения некоторых других приклад-
ных задач анализа и аппроксимации функций по эмпирическим данным
1. Идентификация словных отрезков речевых сигналов по заданному прецеденту (от-
резку той же записи)
Формулировка задачи: в записи речевого сигнала оператором на слух определяется
словный сегмент, содержащий заданную словоформу. Необходимо в остальной части записи
в автоматическом режиме найти идентичные словные сегменты, в том смысле, что они по-
рождены при произнесении такой же словоформы одним и тем же лицом.
Экономика. Информатика. 2022. Т. 49, № 4 (833–853)
Economics. Information technologies. 2022. V. 49, No. 4 (833–853)
851
Одна из трудностей – обучение по одному прецеденту, что приводит к необходимо-
сти аугментации (размножения). Для этого и использовалось искажение информационной
компоненты образца. Решающая процедура при идентификации строилась на основе суб-
полосных представлений.
2. Поиск нечетких дубликатов в сканированных изображений рукописного текста.
Задача формулируется аналогично поиску идентичных фрагментов в записях рече-
вых сигналов, имеются те же трудности обучения по прецеденту и в построении решающей
функции, для которой использовались двумерные субполосные представления.
3. Прецедентное распознавание объектов на изображениях земной поверхности.
4. Синтез сигнально- кодовых конструкций (СКК) при передаче ЭД по каналам
связи с минимальным уровнем межканальной интерференции и возможностью восстанов-
ления искаженных фрагментов.
Форма СКК
xQs
1
, (76)
где столбцы матрицы представляет собой собственные векторы субполосной матрицы, со-
ответствующие единичным собственным числам. Таким образом, независимо от свойств
ЭД для трансформанты Фурье СКК обеспечивается условие малости энергии вне субпо-
лосы (мера межканальной интерференции), то есть
1||||/'1 2ssAs
. (77)
Восстановление искаженных фрагментов СКК.
Ясно, что в рассматриваемых условиях формирования СКК будет выполняться ра-
венство
sAs
, (78)
то есть СКК также будет собственным вектором с единичным собственным числом субпо-
лосной матрицы. Это позволяет рассмотреть задачу восстановления одной части СКК по
другой.
Для определенности положим
)',( '
2
'
1sss
. (79)
Тогда из (78) для составляющих вектора СКК нетрудно получить уравнение
212111)( sAsAI
, (80)
где имеются в виду блоки субполосной матрицы соответствующей размерности, причем
слева стоит квадратная матрица, в формировании которой участвует единичная.
Очевидно, что при существовании
1
11)(
AI
уравнение (80) можно разрешить отно-
сительно компоненты СКК
1
s
, то есть восстановить её по второй части СКК. Таким обра-
зом, появляется возможность компенсации кратковременных искажений, например, при
многолучевом распространении сигнала в условиях городской застройки.
Этот подход также целесообразно использовать в системах интернет-вещей с некон-
тролируемыми временами передачи данных.
5. Адаптивный синтез СКК в системах когнитивного радио.
На основе субполосной решающей функции
RrhuPxP rrr ,1,)(
ˆ
/)(max
Можно, с одной стороны, определить субполосы эфира, свободные от передаваемых сигна-
лов, а, с другой, – сформировать на основе (76) соответствующую СКК. Таким образом,
Экономика. Информатика. 2022. Т. 49, № 4 (833–853)
Economics. Information technologies. 2022. V. 49, No. 4 (833–853)
852
решается проблема конкуренции за частотно-временные ресурсы каналов беспроводной пе-
редачи информации.
6. Формирование СКК для избирательного подавления посторонних СКК.
Речь идет о возможности использования для сигналов подавления СКК
xQu
2
(81)
с матрицей собственных векторов, которые соответствуют нулевым (очень малым) соб-
ственным числам. В этом случае обеспечивается выполнение неравенства
1||||/' 2
uuAu
, (82)
то есть исходная субполоса остается свободной для передачи соответствующих СКК.
Список литературы
Gantmakher, F.R. 1959. Theory of matrices. Publisher New York: Chelsea Pub. Co. 298 p.
González R.C., Woods R.E. 2008. Digital image processing, 3rd Edition. 976 p.
Horn R.A., Johnson Ch.R. 2013. Matrix analysis. 2nd ed. 662 p.
Lanczos C. 1959. Applied analysis. Prentice Hall, 539 p.
Pratt W.K. 2013. Introduction to Digital Image Processing. CRC Press. 756 p.
Solomon, C.J., Breckon, T.P. 2010. Fundamentals of Digital Image Processing: A Practical Approach with
Examples in Matlab. Wiley-Blackwell. 328 p.
Авдеев О.В., Чобану М.К., 2006. Сжатие изображений с помощью частичной сортировки вейвлет-
коэффициентов. Цифровая обработка сигналов, №2.
Артюшенко В.М., Шелухин О.И., Афонин М.Ю., 2004. Цифровое сжатие видеоинформации и звука. М.:
Дашков и К.
Болгова Е.В., Черноморец А.А., Черноморец Д.А. 2019. О субполосном анализе изображений в области
определения косинус-преобразования. Информационные системы и технологии. 6(116): 5-11.
Дворкович В.П., Дворкович А.В., 2012. Цифровые видеоинформационные системы (теория и практика).
М.: Техносфера.
Жиляков Е.Г., 2015. Оптимальные субполосные методы анализа и синтеза сигналов конечной
длительности. Автоматика и телемеханика, выпуск 4, С. 51–66.
Жиляков Е.Г., Коськин А.В., Лубков И.И., Черноморец А.А. 2022. Субполосная аппроксимация
изображений при сжатии объемов битовых представлений. Экономика. Информатика. 49(3): 607-
615.
Жиляков Е.Г., Черноморец А.А., 2009. Вариационные алгоритмы анализа и обработки изображений на
основе частотных представлений»: Белгород: Изд-во ГИК. – 146 c.
Заливин А.Н., Черноморец А.А., Жиляков Е.Г., Белов С.П. 2020. Анализ изображений на основе
субполосных представлений в области пространственных частот. Инфокоммуникационные
технологии. 18(1): 7-12.
Крящев В.В., Бекренев В.А., Соловьев В.Е., Никитин А.Е. 2011. Улучшение качества JPEG2000-
изображений на основе модифицированного билатерального фильтра. Цифровая обработка
сигналов, №3.
Методы компьютерной обработки изображений. Под ред. В.А. Сойфера. Москва: Физматлит,
2001. 784 с.
Радченко Ю.С. 2002. Алгоритм сжатия изображений на основе полиномиальных преобразований
(алгоритм GDCT). Цифровая обработка сигналов, №1.
Стрелков Ф.В., Умняшкин С.В. 2003. Контекстное кодирование коэффициентов дискретного косинусного
преобразования (ДКП) в JPEG-подобной схеме компрессии. Цифровая обработка сигналов, №2.
References
Gantmakher, F.R. 1959. Theory of matrices. Publisher New York: Chelsea Pub. Co. 298 p.
González R.C., Woods R.E. 2008. Digital image processing, 3rd Edition. 976 p.
Horn R.A., Johnson Ch.R. 2013. Matrix analysis. 2nd ed. 662 p.
Экономика. Информатика. 2022. Т. 49, № 4 (833–853)
Economics. Information technologies. 2022. V. 49, No. 4 (833–853)
853
Lanczos C. 1959. Applied analysis. Prentice Hall, 539 p.
Pratt W.K. 2013. Introduction to Digital Image Processing. CRC Press. 756 p.
Solomon, C.J., Breckon, T.P. 2010. Fundamentals of Digital Image Processing: A Practical Approach with
Examples in Matlab. Wiley-Blackwell. 328 p.
Avdeev O.V., Chobanu M.K., 2006. Image compression using partial sorting of wavelet coefficients.
Digital signal processing, No. 2.
Artyushenko V.M., Shelukhin O.I., Afonin M.Yu., 2004. Digital compression of video information and
sound. M.:Dashkov and K.
Bolgova E.V., Chernomorets A.A., Chernomorets D.A. 2019. Subband image analysis in the cosine
transform definition domain. Information systems and technologies. 6(116): 5-11.
Dvorkovich V.P., Dvorkovich A.V., 2012. Digital video information systems (theory and practice).
Moscow: Technosphere.
Zhilyakov E.G., Chernomorets A.A., 2009. Variational algorithms for image analysis and processing based
on frequency representations: Belgorod: Publishing House of GaK. 146 p.
Zhilyakov E.G., Koskin A.V., Lubkov I.I., Chernomorets A.A 2022. Images subband approximation in the task
of bit representations volumes compression. Economics. Information technologies. 49(3): 607-615.
Zhilyakov E.G., 2015. Optimal subband methods of analysis and synthesis of signals of finite duration.
Automatic. and Telemech., issue 4, pp. 51-66.
Zalivin A.N., Chernomorets A.A., Zhilyakov E.G., Belov S.P. 2020. Sub-band representation image
analysis in the field of spatial frequencies. Infocommunication technologies. 18(1): 7-12.
Kryashchev V.V., Bekrenev V.A., Soloviev V.E., Nikitin A.E., 2011. Improving the quality of JPEG2000
images based on a modified bilateral filter. Digital signal processing, No. 3.
Metody komp'yuternoy obrabotki izobrazheniy [Methods of computer image processing]. Edited by V.A.
Soifer. Moscow: Fizmatlit, 2001. 784 p.
Radchenko Y.S., 2002. Image compression algorithm based on polynomial transformations (GDCT
algorithm). Digital signal processing, No. 1.
Strelkov F.V., Umnyashkin S.V., 2003. Contextual encoding of discrete cosine transform (DCT)
coefficients in a JPEG-like compression scheme. Digital Signal processing, No. 2.
Конфликт интересов: о потенциальном конфликте интересов не сообщалось.
Conflict of interest: no potential conflict of interest related to this article was reported.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Жиляков Евгений Георгиевич, доктор техни-
ческих наук, профессор, профессор кафедры ин-
формационно-телекоммуникационных систем и
технологий, Белгородский государственный
национальный исследовательский университет,
г. Белгород, Россия
Evgeniy G. Zhilyakov, Doctor of Technical
Sciences, Professor, Professor of the Department
of Information and Telecommunication Systems
and Technologies, Belgorod State National
Research University, Belgorod, Russia
Лубков Илья Игоревич, директор ООО «Тех-
нопроект», Белгород, Россия
Болгова Евгения Витальевна, кандидат тех-
нических наук, доцент кафедры прикладной ин-
форматики и информационных технологий,
Белгородский государственный национальный
исследовательский университет, г. Белгород,
Россия
Ilya I. Lubkov, Director Tehnoproekt LLC, Bel-
gorod, Russia
Evgeniya V. Bolgova, Candidate of Technical
Sciences, Associate Professor of the Department
of Applied Informatics and Information Technol-
ogies, Belgorod National Research University,
Belgorod, Russia