![Elemento tetraédrico linear e quadrático [10].](https://www.researchgate.net/profile/William-Fonseca-4/publication/366445963/figure/fig1/AS:11431281108705855@1671571757058/Figura-2-Elemento-tetraedrico-linear-e-quadratico-10_Q320.jpg)
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Implementação de um código livre de medição e
pós-processamento para análise modal de vibração de estruturas
Hoffmann, G. K.1; Mareze, P. H.1; Fonseca, W. D’A.1; Rodrigues, A. V.1; Lima, S. V.1
1Engenharia Acústica, Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria, RS, Brasil,
{gabrielle.hoffmann, paulo.mareze, will.fonseca, aline.vono, sabrina.vieira}@eac.ufsm.br
Resumo
O controle de ruído e vibrações é essencial nos dias atuais, pois contribui para uma melhor qualidade de vida e
saúde das pessoas. Ademais, pode também aumentar a longevidade e o desempenho de equipamentos e máquinas.
Logo, cada vez mais, as indústrias têm se preocupado em reduzir o ruído e vibrações gerados por seus produtos. Um
exemplo é a indústria de eletrodomésticos, na qual um dos grandes diferenciais de competitividade de mercado é o
desenvolvimento de produtos mais silenciosos. Um procedimento muito utilizado para a compreensão e o estudo
de vibrações estruturais é a análise modal, processo usado para identificar as propriedades dinâmicas intrínsecas
de estruturas. A partir dessas propriedades pode-se determinar o comportamento da estrutura, como pontos de
fragilidade, ressonâncias e possíveis fontes de ruído. Por muito tempo, a análise modal foi uma ferramenta utilizada
somente de forma comercial. Nos últimos anos, principalmente com o desenvolvimento de códigos abertos, ela se
tornou uma ferramenta mais acessível, especialmente nas instituições de ensino. O principal objetivo deste trabalho
é evidenciar o andamento da construção de um código computacional livre para a medição e pós-processamento
em aplicações de análise modal experimental de estruturas planas (vigas ou placas) ou tridimensionais (carenagens
de eletrodomésticos). Para comparação, foram realizadas também simulações numéricas pelo método de elementos
finitos (FEM). O código desenvolvido pelos autores utiliza elementos sólidos tridimensionais, apresentando
robustez e precisão adequada por estarem livres de restrições cinemáticas e geométricas, presentes em outros tipos
de elementos para vibrações, como os de vigas e placas.
Palavras-chave: análise modal experimental, forma modal, frequências de ressonâncias, FEM, vibrações.
PACS: 43.40.-r, 43.40. At, 43.40. Cw, 43.40.Ey.
Implementation of an open-source code for measurement and processing of experimental data using modal
analysis for structural vibrations
Abstract
Noise and vibration control are essential nowadays because they add to people life quality and health. In addition,
noise and vibration control can also increase the lifetime and performance of appliances and machines. Therefore,
the industries are increasingly worrying about the generations of noise and vibration from their products. An
example is the household appliances industry, manufacturing the quietest appliances is a competitive key distinction.
Modal analysis is a procedure applied for understanding and studying structural vibration. It is used to identify
the intrinsic dynamic properties of structures. These properties can be used to determine the structural behavior,
how the points of highest fragility in the structure, the resonances, and possible noise sources. Modal analysis
was an instrument used only in commercial form for a long time, but in the last few years, it has become a more
accessible tool, especially in educational institutions. The principal aim of this work is to highlight the progress of
the construction of a free computation code for the measurement and processing of experimental modal data. This
code applies the modal analysis to flat (beams or plates) or three-dimensional (appliances) structures. Numerical
simulations were also developed for comparison with experimental results. Where a robust code was developed
using the finite element methods. The code uses three-dimensional solid elements, as this element reports the most
adequate accuracy, being free from the kinematic constraints and geometries imposed in other elements, such as
beam and plate.
Keywords: experimental modal analysis, modal shape, resonance frequencies, FEM, vibration.
FIA 2020/22
XII CONGRESSO/CONGRESO IBEROAMERICANO DE ACÚSTICA
XXIX ENCONTRO DA SOCIEDADE BRASILEIRA DE ACÚSTICA - SOBRAC
Florianópolis, SC, Brasil
2Implementação de um código livre para análise modal de vibração de estruturas FIA 2020/22 | XXIX Sobrac
1. INTRODUÇÃO
Fontes de ruídos e vibrações estão presentes no co-
tidiano das pessoas de diferentes maneiras. Esses
podem estar em evidência no ambiente de traba-
lho, nas ruas, ou até mesmo dentro das próprias
moradias. Fenômenos que passam despercebidos
pela maioria da população, mas que podem estar
prejudicando a qualidade de vida das pessoas.
Estruturas submetidas a fenômenos vibratórios
podem se tornar eficientes fontes de ruído, ge-
rando sons por meio da vibração estrutural, evento
no qual há o transporte de energia do meio sólido
para o meio fluido, podendo causar incômodos,
aborrecimentos e até doenças físicas e psicológi-
cas a quem está exposto a tais ruídos [1–3].
O controle de ruídos e vibrações é indispensável
para o conforto e bem estar da população, além
disso, pode também melhorar o desempenho dos
próprios equipamentos, diminuindo problemas de
fadiga mecânica. Por isso é de suma importância
entender como uma estrutura irá se comportar ao
receber uma força externa.
1.1 Descrição do problema
Uma ferramenta que auxilia na identificação do
comportamento estrutural por meio da definição
das propriedades dinâmicas intrínsecas da estru-
tura é a análise modal, que pode ser realizada
tanto experimentalmente como numericamente.
Há diversos tipos de programas computacionais
desenvolvidos porempresas especializadas que re-
alizam esse tipo de análise. Todavia, geralmente,
os software sofisticados têm um custo agregado
que pode ser alto, devido às licenças necessárias
para possibilitar os seus usos. Dessa forma, neste
trabalho, optou-se em desenvolver códigos sim-
ples para a aquisição dos sinais, identificação dos
parâmetros modais e de simulação numérica. O
objetivo foi de viabilizar uma forma sucinta e prá-
tica para o estudo da análise modal, facilitando
futuros trabalhos na área.
1.2 Motivação e justificativa
O estudo do comportamento de estruturas sujeitas
às forças que provavelmente serão aplicadas a
ela é indispensável para produção de máquinas,
equipamentos, peças, entre outros produtos. Um
exemplo é a indústria de eletrodomésticos, em
que alguns dos produtos causam sons e vibrações
desagradáveis durante o seu uso ou em algum
dos seus procedimentos. Portanto, o investimento
no controle de ruído e vibrações é um elemento
fundamental na competitividade desse mercado.
Ao entender as principais formas modais da es-
trutura o projeto poderá ser modificado com o ob-
jetivo de tentar evitar problemas estruturais e/ou
controlar o ruído gerado. Isso pode ser realizado
por meio de alterações em suas propriedades, seu
formato, como também na adição de reforços, ou
de materiais de amortecimento.
1.3 Objetivos
O principal objetivo deste trabalho é elaborar um
conjunto de ferramentas que auxiliem no estudo
de vibrações em estruturas, tanto planas como
tridimensionais.
Para isso foi necessário a elaboração de uma ban-
cada de testes experimentais, o desenvolvimento
de códigos computacionais livres para medição e
pós-processamento dos dados, utilizando a base
teórica da análise modal. Também se implemen-
tou um código robusto para a realização de si-
mulações numéricas pelo método de elementos
finitos para sólidos tridimensionais.
1.4 Organização do trabalho
Este artigo foi dividido em seis seções. A presente
seção faz uma introdução ao tema, apresentando
o problema, justificativa e objetivos do trabalho.
A segunda seção traz os principais conceitos teó-
ricos utilizados no desenvolvimento deste. A me-
todologia empregada é apresentada na terceira
seção. A quarta parte apresenta os principais re-
sultados obtidos. Por fim, na seção cinco são
apresentadas as considerações finais seguida por
uma seção de agradecimentos.
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Muitos problemas de vibrações podem ser mode-
lados por sistemas lineares e invariantes no tempo
(SLIT). Saber como uma estrutura se comporta
possibilita prever a saída do sistema para teorica-
mente qualquer sinal de entrada. Como por exem-
plo determinar como uma estrutura irá responder
quando uma determinada força for aplicada a ela.
FIA 2020/22 | XXIX Sobrac Implementação de um código livre para análise modal de vibração de estruturas 3
Considerando um SLIT, sua saída pode ser dada
pela convolução do sinal de entrada e a sua respec-
tiva resposta ao impulso. No domínio da frequên-
cia, utilizando-se da Transformada de Fourier
(TF), tal operação pode ser realizada pelo pro-
duto de suas transformadas. Assim, a divisão
espectral do sinal de saída (
Y(jω)
) pelo sinal de
entrada (X(jω)) resulta em
H(jω) = Y(jω)
X(jω),(1)
sendo,
H(jω)
a função de resposta em frequência
(FRF) do sistema [
4
,
5
]. Note que para a versão
amostrada dessa operação os vetores devem ser
condicionados de acordo.
2.1 Teoria básica de vibrações
A vibração é um ramo da dinâmica que estuda
com movimentos oscilatórios de objetos em rela-
ção a um referencial estacionário, geralmente sua
posição de equilíbrio [3]. Esse fenômeno está re-
lacionado com a interação entre a energia cinética
e a energia potencial, podendo desprender ener-
gia por amortecimento estrutural [
2
]. Portanto,
um sistema vibratório deve ter um componente
que armazene energia potencial e a libere como
energia cinética na forma de movimento de uma
massa.
Uma representação simples para um sistema de
único grau de liberdade é representado na Fi-
gura 1. Na qual consiste na representação uma
massa,
m
, que é presa em um limite rígido por
uma mola,
k
, sem massa e um amortecedor sem
massa com um coeficiente de amortecimento, c.
m m
k
k x
c
cx
+x +x
F(t)F(t)
Figura 1: Representação de um sistema massa-mola
amortecedor, de único grau de liberdades e o diagrama
de blocos do sistema [6].
A equação do movimento para este sistema pode
ser representada como
m¨x(t) + c˙x(t) + kx(t) = F(t).(2)
Estruturas reais se comportam, em alguns aspec-
tos, como se fossem constituídas por vários siste-
mas de um grau de liberdade [1].
2.2 Análise modal
A maioria dos problemas associados a vibrações
estão relacionados com as frequências de resso-
nâncias. Tais fenômenos ocorrem quando forças
dinâmicas excitam a estrutura nas suas frequên-
cias naturais, ou modos de vibração, fazendo com
que a estrutura se deforme em um padrão especi-
fico, chamado formas modais.
A analise modal é o processo de determinação das
propriedades dinâmicas intrínsecas as estruturas.
Baseando-se na teoria que a resposta dinâmica
de uma estrutura pode ser descrita por modos,
sendo que cada modo de vibração é caracterizado
em termos das frequências naturais, fatores de
amortecimento e formas modais [7].
Métodos de identificação de parâmetros modais
para estruturas levemente amortecidas, conside-
ram que qualquer modo estrutural será influenci-
ado apenas pela resposta da estrutura em torno
da frequência natural do modo considerado, os
outros modos que estão fora dessa região terão
uma influência reduzida na resposta [8].
A matriz
[H(jω)]
, que representa a função res-
posta em frequência relacionada ao deslocamento,
chamada de matriz de receptância, terá cada li-
nha,
i
, relacionada com a posição de medição do
movimento, saída do sistema, e cada coluna,
j
da
matriz está relacionada ao ponto de aplicação da
força, entrada do sistema.
A matriz
[H(jω)]
segue a teoria da reciprocidade
de Maxwell, em que a força produzida em qual-
quer local,
j
, devido a um deslocamento da uni-
dade no local,
i
, em um sistema é igual a força
produzida no local,
i
, devido a um deslocamento
no local, j[7]. Portanto,
Hi,j(jω) = Hj,i(jω).(3)
Por esse motivo, quando realizada a análise modal
experimental, pode-se medir apenas uma linha ou
uma coluna da matriz de H(jω), para se obter os
parâmetros desejados.
4Implementação de um código livre para análise modal de vibração de estruturas FIA 2020/22 | XXIX Sobrac
2.3 Método de elementos finitos
Métodos numéricos são amplamente utilizados no
estudo de vibrações estruturais, principalmente
em fases de projeto. Por exemplo, o método de
elementos finitos (MEF ou FEM) permite a reso-
lução de problemas complexos que não permitem
soluções analíticas.
A geometria de um elemento sólido é convertida
em malhas de elementos finitos. Os movimentos
dentro de qualquer elemento são aproximados por
funções de interpolação. Ao assumir uma solução
simples dentro de cada elemento, os princípios
de equilíbrio e continuidade de deslocamento são
usados para encontrar uma solução aproximada
para o sistema original [6,9].
O elemento sólido tridimensional é considerado
o mais geral dos elementos visto que esses estão
livres de restrições cinemáticas e geométricas [
9
].
O elemento tetraédrico, como o mostrado na Fi-
gura 2, foi o escolhido para realização das malhas
das estruturas.
1 1
5
7
6
8
9
10
2 2
3 3
4 4
(a) (b)
Figura 2: Elemento tetraédrico linear e quadrático [10].
A forma irregular dos elementos impede a avalia-
ção analítica das integrais associadas às matrizes
de rigidez e massa e o vetor de força, por isso as
coordenadas devem ser primeiramente transfor-
madas em um sistema de coordenada pai. Em
seguida, realiza-se a integração de Gauss [9].
Os deslocamentos ao longo do elemento são in-
terpolados por funções de forma e deslocamentos
nodais. Um elemento tetraédrico linear possui
quatro nós, cada um com três graus de liberdade,
fazendo o total de doze graus de liberdade em um
elemento [10].
3. METODOLOGIA
Nesta seção serão apresentados os procedimen-
tos e ferramentas utilizadas no desenvolvimento
do estudo modal em estruturas. Iniciou-se pela
execução de simulações numéricas, efetuadas por
meio da implementação do método de elementos
finitos, FEM. Em segundo, elaborou-se um sis-
tema de medições para análise modal experimen-
tal. Por fim, implementou-se um código aberto
para realização do pós-processamento dos dados
medidos e extração dos parâmetros modais das
FRFs.
Foi realizado o estudo em três diferentes estrutu-
ras. Primeiramente optou-se em utilizar uma es-
trutura simples, cujo comportamento já fosse co-
nhecido, sendo escolhida uma viga de aço. Uma
placa plana de alumínio foi escolhida como um se-
gundo objeto de pesquisa. Após, realizou-se estu-
dos com parte da estrutura de um eletrodoméstico,
superfícies laterais e superior de um micro-ondas.
3.1 Métodos
Para a realização da análise modal experimental
optou-se em realizar testes de impacto com o uso
de um martelo de impacto para a aplicação da
força de entrada. A medição de resposta da estru-
tura a essa força foi obtida com a utilização de
um acelerômetro.
As estruturas estudadas foram desenhadas de ma-
neira simplificada e divididas em pontos, locais
de obtenção dos dados experimentais. A quan-
tidade de pontos por estrutura vária de acordo
com a quantidade de modos que se pretendia vi-
sualizar, sendo distribuídos por todas as maiores
superfícies das estruturas, geralmente de maneira
simétrica.
A matriz de funções de resposta em frequência é
simétrica, portanto, optou-se em medir somente
uma linha ou coluna da matriz. O ponto de re-
ferência, o qual se mantém o acelerômetro ou a
posição de impactação fixos, foi determinado de
maneira cuidadosa para não estar posicionado em
uma região de nó de um dos modos de interesse,
caso contrário, esse modo não seria visto na FRF
e o respectivo modo não poderia ser obtido. Os
resultados numéricos serviram como uma base
para a determinação da malha experimental e na
escolha dos pontos de referência.
FIA 2020/22 | XXIX Sobrac Implementação de um código livre para análise modal de vibração de estruturas 5
3.2 Instrumentação
Para a realização da análise modal experimental
foi necessário a elaboração de uma bancada de
medição simplificada. Os equipamentos utiliza-
dos foram os seguintes:
• Um notebook, para aquisição dos dados;
•
Placa de aquisição de sinais da NI: Chassi
cDAQ-9174 com NI-9234;
•
Acelerômetro uniaxial B&K Tipo 4513-B
(para medição da viga em flexão);
• Acelerômetro uniaxial B&K Tipo 4517; e
• Martelo de impacto B&K Tipo 8206.
Os instrumentos foram utilizados de acordo com
o esquema mostrado na Figura 3.
Estrutura
Placa de aquisição de sinais
(NI, Chassi cDAQ-9171 - módulo-9234)
Computador
Martelo de impacto
B&K Tipo 8206
Acelerômetro
B&K Tipo 4513-B - medição 1
B&K Tipo 4517 - medição 2
Figura 3: Esquema mostrando a cadeia de medição
utilizada na obtenção das funções de resposta em
frequência.
3.3 Códigos de medição
A obtenção e pós-processamento dos dados ex-
perimentais foi realizada por meio de códigos
implementados no software Matlab. Reuniu-se
funções já utilizadas e intrínsecas do próprio soft-
ware, assim como elaborou-se outras funções.
O código de medição registra os dados de força
e aceleração no período de tempo determinado
inicialmente. A partir desses dados são obtidas
as funções de resposta em frequência (FRFs). Al-
gumas informações são determinadas antes do
início da medição, como a taxa de amostragem,
o tempo total de gravação e os valores referentes
às sensibilidades do acelerômetro e do martelo de
impacto. Os dados de cada medição podem ser
observados na Tabela 1.
As funções de resposta em frequência são obtidas
pela função intrínseca do Matlab
tfestimate
,
de acordo como é mostrado no trecho do Código 1.
Também é calculada e mostrada graficamente a
coerência (mscohere) dos dados medidos.
3.4 Código de identificação dos parâmetros
O principal objetivo deste estudo é conseguir vi-
sualizar as principais formas modais da estrutura,
identificando os pontos de maior fragilidade e/ou
radiação sonora. Para isso, elaborou-se uma série
de códigos computacionais de apoio. Primeira-
mente para identificação das prováveis frequên-
cias naturais e, após, para a geração das formas
modais correspondentes a essas frequências.
A identificação dos parâmetros foi realizada por
métodos no domínio da frequência aplicados di-
retamente nas FRFs.
Um dos métodos utilizados para a identificação
das frequências naturais é o de seleção de picos,
também denominado Peak-Picking, o qual esta-
belece que as frequências naturais podem ser de-
terminadas simplesmente observando as magnitu-
des máximas das FRFs [
11
]. Com isso, estabele-
cendo a frequência de pico de ressonância como
a frequência modal ωr=ωpico.
O método de estimação da função racional dos
mínimos quadrados, também foi utilizado na ob-
tenção das frequências modais. Os dois méto-
dos mencionados estão implementados na função
modalfit
— própria do Matlab. A escolha do
Código 1: A parte do código que estima a FRF e a coerência.
[Hf, freqh] = tfestimate(forca,acc1,hanning(NFFT),NFFT/a,b*NFFT,Fs);
[coe, freqc] = mscohere(forca,acc1,hanning(NFFT),NFFT/a,b*NFFT,Fs);
Tabela 1: Dados usados na medições experimentais.
Experimento / Dados Exp. 1: Viga Exp. 2: Placa Exp. 3: Eletrodoméstico
Taxa de amostragem [Hz] 51200 51200 51200
Tempo total de medição [s] 5 12 12
Sensibilidade do acelerômetro [mV/ms2] 0,9964 1,028 1,028
Sensibilidade martelo de impacto [mV/N] 20,35 20,35 20,35
6Implementação de um código livre para análise modal de vibração de estruturas FIA 2020/22 | XXIX Sobrac
método dependeu da estrutura estudada, para a
viga e a placa o método de seleção de picos foi
suficiente, para a estrutura do eletrodoméstico a
função racional de mínimos quadrados se mostrou
mais apropriada.
Antes de estimar as frequências modais é necessá-
rio definir a faixa de frequência e quantos modos
estão presentes nessa faixa. Para auxiliar nessa
etapa o código apresenta a possibilidade de gerar
um diagrama de estabilidade, usando a função
intrínseca modalsd. O diagrama de estabilidade
é uma ferramenta na qual representa-se grafica-
mente os polos do sistema para diferentes ordens
do modelo, assim mostrando as regiões que pro-
vavelmente apresentaram os modos [
12
]. Um seg-
mento do código que mostra a utilização dessas
funções é mostrado no Código 2.
Com as frequências modais definidas, o próximo
passo é identificar o padrão de vibração associ-
ado a cada frequência modal. As formas modais
são obtidas pelo método de Quadrature Picking.
Esse método pressupõe que os valores de pico da
parte imaginária das FRFs (parte real para a FRF
de velocidade) são considerados componentes da
forma modal [13].
A FRF se torna puramente imaginaria na frequên-
cia modal e a sua amplitude é proporcional ao
deslocamento modal — seu sinal é positivo se
o deslocamento estiver em fase com a excitação
[
11
]. Portanto, é preciso um conjunto de funções
de resposta em frequência distribuídas de maneira
adequada na estrutura para conseguir visualizar
as formas modais.
Levando em consideração a reciprocidade da ma-
triz de FRFs, foram obtidas somente uma linha ou
coluna da matriz. Uma segmentação da função
criada para gerar as formas modais e apresentada
no Código 3.
É necessário especificar na entrada da função as
direções em que se efetuou a medição, assim
como essas coordenadas devem estar coincidindo
com a matriz de FRFs de entrada. Como saída da
função será apresentado um esboço da estrutura,
com os pontos medidos demarcados, e o padrão
de deformação referente à forma modal escolhida.
3.5 Códigos de simulação FEM
O desenvolvimento de códigos robustos de simu-
lação numérica, utilizando o método de elementos
finitos, foi implementado em Matlab, optando-se
em utilizar elementos sólidos tetraédricos.
Código 2: Diagrama e frequências naturais (em Matlab).
%% Frequências Naturais
%% Diagrama de estabilidade
figure()
Fn=modalsd(H(:,5), f(:,1), fs ,'MaxModes',40,'FreqRange',[fMin fMax], ...
'FitMethod','lsrf');
physFreq = Fn(NFn,1:NFn);
%% Frequencias Naturais usando a função modalfit
[fn] = modalfit(H,f(:,1),fs,NFn,'FitMethod','pp','FreqRange',[fMin fMax]);
Código 3: Parte da rotina que faz a associação da parte imaginária das FRFs com a forma modal.
%% Parte imaginária
for n=1:length(CoordNos)
for dir=1:3
CoordNos(n,dir) = CoordNos(n,dir) + imag(H(posf,dir,n))*(1/fator);
c(n,dir) = imag(H(posf,dir,n))*(fator);
end
end
X_d = reshape(CoordNos(Elementos',1),size(Elementos,2),size(Elementos,1));
Y_d = reshape(CoordNos(Elementos',2),size(Elementos,2),size(Elementos,1));
Z_d = reshape(CoordNos(Elementos',3),size(Elementos,2),size(Elementos,1));
ccc = c(Elementos',1) + c(Elementos',3);
c=reshape(ccc,size(Elementos,2),size(Elementos,1));
hold on
patch(X_d,Y_d,Z_d,c,...
'FaceColor','interp','FaceAlpha',0.8,'LineStyle','−'); hold off
FIA 2020/22 | XXIX Sobrac Implementação de um código livre para análise modal de vibração de estruturas 7
O primeiro passo para realizar a simulação é de-
senhar a geometria da estrutura, o detalhamento
desta dependeu do seu tamanho e da respectiva
influência na faixa de frequência de simulação.
A elaboração da malha foi realizada no software
Gmsh [
14
], utilizando elementos tetraédricos li-
neares e quadráticos. A definição do tamanho da
malha levou em conta o tamanho do comprimento
de onda da maior frequência de simulação.
Como entradas do código, além da malha da estru-
tura, definiu-se algumas propriedades do material,
como o módulo de elasticidade,
E
, o coeficiente
de Poisson,
ν
e a densidade,
ρ
. Os valores uti-
lizados para cada estrutura são apresentados na
Tabela 2. Também se determinou as posições
e direções da aplicação da força de entrada e a
de obtenção da resposta. Essas posições foram
determinadas por meio de coordenadas, as quais
foram relacionadas aos pontos de nós mais pró-
ximos. Com isso, possibilitou-se a obtenção da
função resposta em frequência especifica para
uma entrada-saída.
O código calcula as matrizes elementares de
massa e rigidez e, após, monta as matrizes globais
do sistema. A partir da computação dessas ma-
trizes, o sistema de equações pode ser resolvido,
obtendo-se a resposta da estrutura.
3.6 Infraestrutura e objetos de estudo
As medições experimentais ocorreram no Labora-
tório de Engenharia Acústica (EAC)
1
da Univer-
sidade Federal de Santa Maria (UFSM). As três
estruturas foram suspensas por cordas de nylon
ou de aço, tentando simular a condição livre-livre.
Os suportes utilizados nos experimentos podem
ser visualizados na Figura 4.
A viga de aço SAE 1020 foi suspensa em uma
estrutura por fios de Nylon. Os pontos nos quais
a viga foi apoiada foram os referentes ao valor
1https://www.eac.ufsm.br.
(a) Estrutura de suporte
viga
(b) Estrutura de suporte
eletrodoméstico
(c) Estrutura de suporte placa
Figura 4: Estrutura de suporte utilizadas nos
experimentos
de 0,224
L
das extremidades da estrutura, sendo
L
o comprimento total da viga. As suas princi-
pais dimensões são: 831,5 mm de comprimento,
36 mm de largura e 15 mm de espessura. Sendo
discretizada no total de 33 pontos de medição.
Tabela 2: Parâmetros de entrada do código de simulação numérica para cada estrutura.
Estruturas / Parâmetros Viga Placa Eletrodoméstico
Densidade [Kg/m3] 7870 2697 7280
Módulo de elasticidade [GPa] 200 65 172
Coeficiente de Poisson [–] 0,29 0,3 0,28
Fator de perda por amortecimento [–] 0,002 0,005 0,005
8Implementação de um código livre para análise modal de vibração de estruturas FIA 2020/22 | XXIX Sobrac
A placa de alumínio foi suspensa a uma estrutura
de suporte por cordas elásticas, as quais foram
passadas por dois pequenos furos presentes na
placa. As dimensões da placa são 843 mm de
comprimento, 542 mm de largura e 2 mm de es-
pessura. No total a placa foi discretizada em 70
pontos de medição.
Para a estrutura tridimensional, foi usada a parte
da carcaça de um micro-ondas, constituída por
duas laterais, que apresentam o mesmo tama-
nho, e a superfície superior. As principais dimen-
sões das laterais são 310 mm de comprimento
e 339 mm de largura, a superfície superior tem
520 mm de comprimento e 339 mm de largura
a espessura da estrutura é 0,75 mm. A discreti-
zação foi realizada com 36 pontos na superfície
superior e 30 pontos em cada lateral, totalizando
96 pontos.
4. RESULTADOS
Os resultados foram divididos em três partes, nos
quais cada seção é correspondente a uma das es-
truturas estudadas. Primeiramente testou-se os có-
digos de medição e pós-processamento dos dados
com estruturas simplificadas e de fácil estimação
do seu comportamento vibratório, uma viga de
aço e uma placa de alumínio. Por último, são
mostrados os resultados referentes ao estudo de
parte da carcaça de um micro-ondas.
4.1 Caso simples, viga em flexão
A primeira estrutura escolhida como objeto de
estudo foi uma viga de aço SAE 1020. A qual
se obteve trinta e três funções de resposta em
frequência, em diferentes pontos de entrada-saída,
mantendo a saída fixa.
Na Figura 5pode-se visualizar a parte imagina-
ria de onze dessas FRFs medidas, as quais estão
localizadas na linha central da viga em todo seu
comprimento. Pode-se visualizar nitidamente que
cada FRF apresenta três picos, sendo que cada
pico é localizado na frequência natural da viga.
Nota-se uma variação na amplitude dos dados
em relação à posição em que está localizada a
entrada-força, essa amplitude é proporcional ao
deslocamento do modo, como a viga é uma estru-
tura simples as primeiras formas de flexão podem
ser visualizadas no gráfico, representadas pela li-
nha preta que liga os valores de pico referentes
ao modo.
1000
750
Posição [mm]
500
800 600
Frequência [Hz]
250
400
Magnitude da parte
imaginária da FRF
200 0
Figura 5: Parte imaginaria da FRF para os pontos
centrais da viga para as três primeiras frequências
modais.
As formas modais de flexão da viga obtidas por
meio dos códigos implementado, utilizando to-
das as trinta e três FRFs experimentais, podem
ser visualizadas na Figura 6. Os gráficos mos-
tram os seis primeiros padrões de deformação da
viga — a magnitude do deslocamento é somente
ilustrativa. Na Figura 7são mostradas as formas
modais calculadas pelo método de elementos fini-
tos, também gerada pelos códigos desenvolvidos.
Ao comparar os resultados experimentais e numé-
ricos nota-se as mesmas formas modais.
Uma comparação entre uma FRF experimental
e numérica para a mesma configuração de en-
trada e saída é mostrada na Figura 8. A FRF si-
mulada apresenta uma concordância em formato
com a FRF medida. Existe uma diferença na posi-
ção exata dos picos de ressonâncias entre as duas
FRFs, a qual pode ter sido ocasionada pelos dados
de entrada, propriedades do material usados na
simulação, ou alguma incerteza de medição.
4.2 Caso intermediário, placa plana
Uma segunda estrutura usada no desenvolvimento
desse trabalho foi uma placa plana de alumínio
com uma espessura de 2 mm. Essa foi subdivi-
dida em 70 pontos sobre sua maior superfície, no
total foram obtidas 210 FRFs, sendo medidas três
FRFs para cada mesmo ponto.
As Figuras 9,10 e11 apresentam as três primeiras
formas modais encontradas para estrutura, tanto
experimentalmente como por simulação numé-
rica. Ao comparar as formas modais, nota-se os
mesmos padrões de deformação entre o medido e
o simulado.
As imagens mostram as regiões que apresentam
maior deslocamento na coloração amarela e no
sentido oposto em azul escuro. A primeira forma
FIA 2020/22 | XXIX Sobrac Implementação de um código livre para análise modal de vibração de estruturas 9
modal experimental, Figura 9 (a), mostra o padrão
em que a placa tende a vibrar quando excitada na
frequência de 13,2 Hz. Retrata o seguinte padrão,
quando duas das extremidades correspondentes
às pontas opostas da placa se descocam para cima,
as outras extremidades se deslocam para baixo,
com as regiões nodais referentes as linhas centrais
da placa. O que representa um modo de torção
da placa. O mesmo padrão pode ser visualizado
na Figura 9 (b), que representa a primeira forma
modal obtida pelo método numérico.
Uma comparação entre a média quadrática entre
as FRFs obtidas experimentalmente e a média
quadrática das FRFs identificadas numericamente
para a mesma superfície da placa pode ser visua-
lizada na Figura 12. Ao comparar os dois resulta-
dos nota-se diferenças em algumas regiões, não
apresentando os picos exatamente nas mesmas
frequências, mas ainda com valores aproximados.
4.3 Estrutura de eletrodoméstico,
tridimensional
Como objeto de teste final, escolheu-se utilizar a
estrutura de um eletrodoméstico, sendo usada a
parte externa da carcaça de um micro-ondas.
Por ser um objeto que apresenta mais complexi-
dade, teve-se maiores dificuldades na medição e
identificação dos parâmetros com a utilização dos
métodos propostos. As primeiras frequências na-
turais do objeto estão localizadas entorno de 5 Hz
a 11 Hz, exigindo uma alta resolução espectral
para a identificação correta dos parâmetros, um
fator que dificultou a análise.
Na Figura 13 pode-se ver uma das forma modais
encontradas para a estrutura, tanto experimental-
mente, Figura 13 (a), como por meio da simulação
numérica, Figura 13 (b). Comparando as duas for-
mas modais nota-se uma concordância entre os
resultados obtidos.
Outra forma modal encontrada para a estrutura é
mostrada na Figura 14. Essa forma modal está
associada à superfície superior da estrutura. Esse
modo já está em uma região de frequência no
qual as funções de resposta em frequência expe-
rimentais não apresentam tantas variações entre
si.
As formas experimentais para a estrutura do
micro-ondas, geralmente apresentam formatos
menos suaves e relação aos outros objetos. No
entanto, mesmo assim é possível identificar os
padrões de deformação.
(a) Modos ímpares (b) Modos pares
Figura 6: Seis primeiras formas modais da viga de aço identificadas experimentalmente.
10 Implementação de um código livre para análise modal de vibração de estruturas FIA 2020/22 | XXIX Sobrac
(a) 1ª forma modal, Fn = 112 Hz (b) 2ª forma modal, Fn = 309 Hz (c) 3ª forma modal, Fn = 609 Hz
(d) 4ª forma modal, Fn = 994 Hz (e) 5ª forma modal, Fn = 1477 Hz (f) 6ª forma modal, Fn = 2000 Hz
Figura 7: Seis primeiras formas modais de flexão da viga identificadas pelo modelo FEM.
100 300 600 1000 2000
Frequência [Hz]
10-2
100
102
Magnitude [m/s2/N]
FRF experimental
FRF numérica
Figura 8: Comparação entre a FRF medida e simulada, FEM, para a viga de aço.
10 30 60 100 200 300 400
Frequência [Hz]
10-4
10-2
100
102
Magnitude [m/s2/N]
FRF experimental
FRF numérica
Figura 12: Comparação entre a FRF medida e simulada, FEM, para a placa de alumínio.
FIA 2020/22 | XXIX Sobrac Implementação de um código livre para análise modal de vibração de estruturas 11
0
500 300
250 600
0
Fn = 13,2 Hz
(a) 1ª forma modal -
experimental
(b) 1ª forma modal - FEM
Figura 9: Comparação entre a primeira forma modal da
placa identifidada experimentalmente e pelo modelo
FEM.
0
500 300
250 600
0
Fn = 14,6 Hz
(a) 2ª forma modal -
Experimental
(b) 2ª forma modal - FEM
Figura 10: Comparação entre a segunda forma modal da
placa identifidada experimentalmente e pelo modelo
FEM.
0
500 300
250 600
0
Fn = 30,8 Hz
(a) 3ª forma modal -
Experimental
(b) 3ª forma modal - FEM
Figura 11: Comparação entre a terceira forma modal da
placa identificada experimentalmente e pelo modelo
FEM.
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Buscou-se abordar no desenvolvimento deste tra-
balho ferramentas tanto experimentais, quanto
numéricas para o estudo modal de estrutura. Po-
dendo assim identificar as formas modais para
a detecção de possíveis regiões de fragilidade
estrutural, assim como no controle de ruídos e
0
0
Fn = 7 Hz
0
y [mm]
z [mm]
200
200
x [mm]
200 400
(a) Experimental (b) Numérica
Figura 13: Forma modal da carcaça de um micro-ondas
para o modo de 7 Hz.
0
-100
0
Fn = 50,8 Hz
0
200
-200
400
200 -300
400
(a) Experimental (b) Numérica
Figura 14: Forma modal da carcaça de um micro-ondas
para o modo de 50 Hz.
vibrações.
A infraestrutura elaborada para a aplicação dos
testes experimentais, foi suficiente para a aquisi-
ção das FRFs necessárias. Os métodos implemen-
tados para a identificação dos parâmetros modais
a partir das FRFs medidas apresentaram resulta-
dos satisfatórios. No qual, conseguiu-se determi-
nar as frequências modais da estrutura por meio
das ressonâncias e exibir as formas modais de
maneira bem definida.
Os resultados obtidos para a carcaça de micro-
ondas apresentaram maiores variações, contudo
conseguiu-se extrair resultados significativos para
esse objeto de estudo. É preciso analisar com mais
cautela possíveis fontes de erros experimentais,
como a bancada de medição, suportes utilizados
e a impactação da força na estrutura.
Um dos principais problemas enfrentados no de-
senvolvimento do modelo numérico foram os
parâmetros de entrada relativos ao material da
estrutura. Os quais foram estimados de acordo
com valores tabelados. No caso da estrutura do
micro-ondas não se conhece o material/composi-
ção exata da carcaça, o que pode ter contribuído
com as diferenças encontradas entre os resulta-
dos numéricos e experimentais. Para uma melhor
aproximação numérica seria interessante a realiza-
12 Implementação de um código livre para análise modal de vibração de estruturas FIA 2020/22 | XXIX Sobrac
ção de estudos mais detalhados, como medições,
para identificação dos parâmetros da estrutura.
Tanto os resultados experimentais e numéricos
apresentaram valores coincidentes para estruturas
mais simples, possibilitando a identificação do
comportamento modal dessas. No caso de estru-
turas mais complexas é necessário a realização de
mais testes, assim como a utilização de outros mé-
todos de identificação de parâmetros modais. Os
códigos desenvolvidos, mesmo não apresentado
um sistema muito otimizado, conseguem reali-
zar a identificação das formas modais de maneira
adequada, possibilitando o seu uso para o desen-
volvimento de futuros estudos na área.
6. AGRADECIMENTOS
Os autores gostariam de agradecer todo o apoio e
infraestrutura fornecido pelo curso de Engenharia
Acústica e pela Universidade Federal de Santa
Maria (UFSM, Brasil). Além disso, a todos os
que ajudaram e participaram da elaboração deste
trabalho.
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three-dimensional finite element mesh generator with
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Disponível em: https://gmsh.info. Acessado em 8 de
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