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Abstract

Cítese como: Rubio-Chueca, J.M, Muñoz-Escolano, J.M. y Beltrán-Pellicer, P. (2022). Estrategias ante un problema que moviliza ideas sobre probabilidad condicional en la XXX Olimpiada aragonesa de 2.º ESO. Entorno Abierto, 49, 2-9. Teniendo en cuenta la importancia de la probabilidad, sus significados y la dificultad en su enseñanza (Batanero, 2014; Borovcnick, 2012), en este artículo se lleva a cabo un análisis en la resolución de un problema de probabilidad condicional en la semifinal de la XXX Olimpiada Matemática Aragonesa. Los problemas de probabilidad no son muy comunes en las Olimpiadas Matemáticas de 2.º de ESO (Rubio-Chueca, Muñoz-Escolano y Beltrán-Pellicer, 2021) por lo que hay poca evidencia de cómo los estudiantes se desenvuelven en ellos. Mostramos el enunciado del problema y cómo es abordado por los diferentes participantes considerando diversas estrategias. Revisamos la red de significados acerca de la probabilidad que emergen en el proceso de resolución, el vocabulario y las repre-sentaciones usadas. En ese sentido, se observa cómo algunos participantes, al resolver el problema, ponen sobre la mesa ideas intuitivas de la probabilidad condicional y conjunta, en función de los sistemas de representación usados en el proceso. El problema se propuso en la semifinal de la XXX Olimpiada Matemática de 2.º de ESO en Aragón y su enun-ciado es el siguiente: Estrategias ante un problema que moviliza ideas sobre probabilidad condicional en la XXX Olimpiada aragonesa de 2.º ESO por J. M. RUBIO-CHUECA, J. M.ª MUÑOZ-ESCOLANO Y PABLO BELTRÁN-PELLICER (Universidad de Zaragoza) Boletín de la SAPM noviembre 2022 Entorno Abierto #49 2 #18 Para qué sirven ProblemasOlímpicos
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Teniendo en cuenta la importancia de la probabilidad, sus significados y la dificultad en su enseñanza (Batanero,
2014; Borovcnick, 2012), en este artículo se lleva a cabo un análisis en la resolución de un problema de probabilidad
condicional en la semifinal de la XXX Olimpiada Matemática Aragonesa. Los problemas de probabilidad no son
muy comunes en las Olimpiadas Matemáticas de 2.º de ESO (Rubio-Chueca, Muñoz-Escolano y Beltrán-Pellicer,
2021) por lo que hay poca evidencia de cómo los estudiantes se desenvuelven en ellos. Mostramos el enunciado
del problema y cómo es abordado por los diferentes participantes considerando diversas estrategias. Revisamos la
red de significados acerca de la probabilidad que emergen en el proceso de resolución, el vocabulario y las repre-
sentaciones usadas. En ese sentido, se observa cómo algunos participantes, al resolver el problema, ponen sobre la
mesa ideas intuitivas de la probabilidad condicional y conjunta, en función de los sistemas de representación usados
en el proceso.
El problema se propuso en la semifinal de la XXX Olimpiada Matemática de 2.º de ESO en Aragón y su enun-
ciado es el siguiente:
Estrategias ante un problema que
moviliza ideas sobre probabilidad
condicional en la XXX Olimpiada
aragonesa de 2.º ESO
por
J. M. RUBIO-CHUECA, J. M.ªMUÑOZ-ESCOLANO Y PABLO BELTRÁN-PELLICER
(Universidad de Zaragoza)
Boletín de la SAPM noviembre 2022
Entorno Abierto #49 2
#18
Para qué sirven
ProblemasOlímpicos
Contexto
En la fase semifinal de la XXX Olimpiada Matemática Aragonesa de 2.º de ESO participaron 606 alumnos y
alumnas de distintas localidades de Aragón. Esta fase semifinal de la olimpiada autonómica se llevó a cabo el
sábado 20 de abril de 2022 en diecisiete sedes. En ella, se propusieron seis problemas durante dos sesiones de una
hora cada una con un descanso entre cada sesión de media hora, sobre diferentes contenidos. Para su resolución
estaba permitida la utilización de instrumentos de dibujo y calculadora. Goñi (2022) indica, de los seis problemas
propuestos en la semifinal, el problema que analizamos fue en el que los participantes obtuvieron mayor puntuación
y también presenta una posible resolución de este.
Estrategias en las respuestas correctas de los participantes a la primera cuestión
Recordemos que el apartado a) demandaba:
¿Qué tiene más probabilidad: visitar otros lugares o Trasobares?¿Por qué?
Clasificamos las respuestas correctas que hemos encontrado en dos grandes categorías atendiendo al razona-
miento presente en las mismas, dependiendo de si hallan la probabilidad total o si únicamente comparan las pro-
babilidades condicionales en cada carretera.
Razonamiento probabilístico hallando la probabilidad total desde un significado clásico
La resolución a dicho problema se puede llevar a cabo con un razonamiento probabilístico desde el significado
clásico de la probabilidad teniendo en cuenta las probabilidades iniciales simples, condicionadas, finales conjuntas
y la probabilidad total. Además, puesto que el enunciado del problema habla de aleatoriedad, pero no de equi-
probabilidad, asumimos como resolutores la equiprobabilidad existente al llegar a cada una de las intersecciones
y tengamos que elegir entre las diferentes carreteras.
En el análisis de las resoluciones del alumnado se contabilizan 55 participantes que utilizaron un razonamiento
probabilístico usando la probabilidad total.
Es destacable que 47 de los participantes usaron algún tipo de representación diagramática, como el diagrama
de árbol, para facilitar y buscar la estrategia adecuada.
En este caso (figura 1), el alumno, ayudado por la representación del diagrama de árbol, calcula cada una de
las probabilidades implicadas en el problema obteniendo finalmente un resultado óptimo comparando las dos
probabilidades: la de visitar otros lugares y la de ir a Trasobares.
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Figura 1. Estrategia del apartado a) teniendo en cuenta la probabilidad total usando un diagrama de árbol
De manera formal, en la resolución se aplica el teorema de la probabilidad total:
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En esta ocasión, para dar la solución, el participante halla las probabilidades iniciales, conjuntas y la probabi-
lidad total de llegar a Trasobares, observando que es menor que el 50%.
Razonamiento probabilístico comparando únicamente
las probabilidades condicionales usando un significado clásico
Además de las respuestas anteriores, que siguen una estrategia más «escolar», en varias soluciones propuestas por
el alumnado encontramos otra forma de resolver este problema. Así, la siguiente estrategia de resolución pasa por
usar las probabilidades condicionadas teniendo en cuenta la equiprobabilidad al elegir los caminos en cada una
de las intersecciones y que por las dos carreteras Ao Bpodemos llegar al pueblo de Trasobares.
Un ejemplo sobre el razonamiento en que se apoya esta categoría es el siguiente: en la carretera A tenemos la
misma probabilidad de ir al pueblo que a otros lugares y, por tanto, p(A1|A)=p(A2|A) y, por tanto, por aquí dará
igual a la hora de decantarnos por qué es lo más probable, y por otro lado, una vez que nos encontramos en la ca-
rretera B lo más probable es acabar en otro lado, p(B3/B)<p((B1»B2)/B). Así que, de la composición de ambas si-
tuaciones, es más probable ir a otros lugares que ir a Trasobares ya que, si de forma aleatoria decidimos ir por A,
tenemos la misma probabilidad, pero, si decidimos ir por B, la probabilidad de llegar a otros lugares será el doble.
En este tipo de respuestas correctas, el alumnado también suele cuantificar la probabilidad de algunos de los
sucesos, pero no calcula la probabilidad total, ya que no se le exigía en el enunciado del apartado, sino solo que
comparase qué suceso era más probable.
El número de participantes que han resuelto esta parte del problema con un razonamiento probabilístico pa-
recido es 33, sin necesitar para ello la probabilidad total.
Figura 2. Estrategia del apartado a) teniendo en cuenta la probabilidad total sin usar ninguna representación
p(Trasobares) =p(A!A1) +p(B!B3) =p(A)!p(A1| A)+p(B)!p(B3|B)=
=1
2
!1
2
+1
2
!1
3
=1
2
!1
2
+1
3
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&=1
2
!5
6
=5
12.
p(Otros lugares) =p(A!A2)+p(B!B1) +p(B!B2) =p(A)!p(A2| A)+p(B)!p(B1| B)+p(B)!p(B2|B)=
=1
2
!1
2
+1
2
!1
3
+1
2
!1
3
=1
2
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2
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3
+1
3
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&=1
2
!7
6
=7
12
.
Esta utilización del diagrama de árbol (figura 1) para representar las diferentes probabilidades en sus ramas es
un uso estándar que no se relaciona de forma directa con anteriores usos de los diagramas de árbol, como cuando
se emplea para el conteo de colecciones de objetos. Intuimos que el alumnado que ha usado esta representación
ha sido instruido en este tipo de problema.
Por otro lado, 8 de ellos dieron una solución correcta al problema sin emplear ningún tipo de representación
diagramática (figura 2).
Entre ellos, 14 también usan algún tipo de representación diagramática, como el diagrama de árbol, para
apoyar su razonamiento. En este caso (figura 3), el participante calcula cada una de las probabilidades en porcentaje
cuando llega a las intersecciones.
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Figura 3. Estrategia del apartado a) sin tener en cuenta la probabilidad total usando un diagrama de árbol
Figura 4. Estrategia del apartado a) sin tener en cuenta la probabilidad total y sin usar representaciones diagramáticas
Figura 5. Estrategia del apartado a) sin tener en cuenta las probabilidades con error de argumentación (términos absolutos)
Los 19 restantes no usaron ningún tipo de representación para visualizar la estrategia a seguir. Un ejemplo de
esta forma se puede ver en la figura 4. En este caso concreto, el participante ha calculado únicamente las proba-
bilidades condicionales, utilizando la comparación en cada caso para dar una respuesta bien argumentada.
Siguiendo un razonamiento similar, son destacables las producciones que han realizado ciertos participantes
(figura 5) con errores en la argumentación final al determinar quién tiene mayor probabilidad.
En estos casos, el resolutor hace alusión en términos absolutos a los caminos que nos llevan a cada lugar (2 ca-
rreteras nos llevan a Trasobares y 3 carreteras a otros lugares) estableciendo una equiprobabilidad inexistente en
las cinco posibilidades.
El resolutor podría haber seguido un razonamiento verbal comparando en términos absolutos las posibilidades
con un razonamiento intuitivo. Teniendo en cuenta a la hora de elegir las carreteras el número de posibilidades
estableciendo una proporción, es decir, en términos probabilísticos, la existencia de equiprobabilidad en la elección
de las determinadas carreteras en cada intersección (p(A)=p(B)=1/2, p(A1|A)=p(A2|A)=1/2, p(B1|B)=p(B2|B)=
=p(B3|B)=1/3) y sin necesidad de realizar ningún cálculo posterior, podemos determinar que tiene mayor pro-
babilidad de haber llegado a otros lugares. Puesto que en la primera intersección nos encontramos con dos opciones
(uno a uno, 1/1=1), podemos concluir que ambas tienen la misma probabilidad. Ahora, de las dos opciones que
podemos elegir yendo por A, una nos lleva a Trasobares y la otra a otros lugares (uno a uno, 1/1= 1) lo que nos
hace concluir que ambas tienen igual probabilidad. Mientras, de las tres opciones que podemos elegir yendo por
B: una lleva a Trasobares y las otras dos nos llevan a otros lugares (una a dos, 1/2 < 1) lo que nos hace concluir
que tiene mayor probabilidad otros lugares yendo por B. De esta manera podemos argumentar que tiene mayor
probabilidad ir a otros lugares.
La tabla 1 muestra el número de participantes que utilizaron para resolver la primera parte del problema cada
una de las diferentes estrategias mencionadas.
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Estrategia utilizada apartado a) Número de participantes
Calculando la probabilidad total con árbol 47
Calculando la probabilidad total sin árbol 8
Calculando las probabilidades condicionadas con árbol 14
Calculando las probabilidades condicionadas sin árbol 19
Tabla 1. Número de participantes que emplearon cada una de las estrategias correctas en el apartado a)
Estrategias en las respuestas correctas de los participantes a la segunda cuestión
El enunciado del apartado b) planteaba la siguiente cuestión:
Finalmente llegamos a Trasobares. Una vez allí, nos encontramos a mis primos y les explicamos lo sucedido. Entonces, mi padre
riendo les dijo: «si acertáis por qué carretera nacional hemos venido os invitamos a comer», ¿qué carretera nacional tuvo más
probabilidad de haber sido elegida, la A o la B? ¿Por qué?
En este sentido, considerando para su resolución la probabilidad total y el teorema de Bayes usando un signi-
ficado clásico vamos a calcular las probabilidades a posteriori:
p(A|Trasobares) =p(A1| A)!p(A)
p(Trasobares)
=
1
2
!1
2
5
12
=
1
4
5
12
=12
20
=3
5;!0,5 !0, 5
0,4
=0,25
0,4
=0,625 =62,5%.
p(B|Trasobares) =p(B3|B)!p(B)
p(Trasobares)
=
1
3
!1
2
5
12
=
1
6
5
12
=12
30
=2
5;!0,3 !0,5
0,4
=0,15
0,4
=0,375 =37,5%.
Comparando ambas probabilidades concluimos que tiene más probabilidad de llegar al pueblo si finalmente
hemos ido por la nacional A.
No es de extrañar, puesto que esta teoría pertenece a niveles superiores del currículo de segundo de secundaria,
que ningún participante de la olimpiada, desarrollara su resolución utilizando dicho teorema. Sin embargo, muchos
de ellos han dado soluciones de forma intuitiva cuya argumentación teórica se fundamenta en dicha teoría al
asumir la equiprobabilidad y comparar probabilidades.
Veamos ahora las respuestas dadas por el alumnado participante:
Razonamiento probabilístico comparando
las probabilidades condicionadas con un significado clásico
Considerando la equiprobabilidad de elegir las determinadas carreteras en las intersecciones y comparando las
probabilidades condicionales a priori (llegar a Trasobares una vez elegida la carretera nacional Ay llegar a Tra-
sobares una vez elegida la carretera nacional B) se puede argumentar la solución, puesto que las probabilidades a
posteriori que nos piden comparar vienen dadas por las expresiones:
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p(A|Trasobares) =p(A1| A)!p(A)
p(Trasobares) yp(B|Trasobares) =p(B3| B)!p(B)
p(Trasobares) .
Luego compararemos p(A1|A)=1/2 = 0,5 =50% y p(B3|B)=1/3 0,3=30 % ya que p(A)=p(B)=1/2 (asu-
miendo la equiprobabilidad cuando elegimos la carretera Ao B).
En este sentido, han sido cinco los estudiantes los que han usado una estrategia similar para dar solución al
problema (figura 6).
Figura 6. Estrategia del apartado b) sin tener en cuenta la equiprobabilidad y las probabilidades condicionadas
Razonamiento probabilístico comparando las probabilidades conjuntas con un significado clásico
En esta ocasión tenemos:
p(A|Trasobares) =p(A1| A)!p(A)
p(Trasobares)
=p(A!A1)
p(Trasobares).
p(B|Trasobares) =p(B3|B)!p(B)
p(Trasobares)
=p(B!B3)
p(Trasobares).
Luego comparando las probabilidades conjuntas: p(A«A1) y p(B3«B) daremos la respuesta correcta.
En este caso, el número de alumnos que han resuelto el apartado b) de forma similar es de diecisiete (figura 7).
Figura 7. Estrategia del apartado b) teniendo en cuenta las probabilidades conjuntas
En la misma línea de argumentación, se podría hacer una razonamiento verbal sin usar las probabilidades,
comparando en términos absolutos las posibilidades con un significado más intuitivo. En ese aspecto, teniendo en
cuenta a la hora de elegir las carreteras el número de posibilidades estableciendo una proporción, es decir, en tér-
minos probabilísticos, la existencia de equiprobabilidad en la elección de las determinadas carreteras en cada in-
tersección y sin necesidad de realizar ningún cálculo posterior, podemos determinar que tiene mayor probabilidad
de haber sido elegida la opción A. Ya que, de las dos opciones que podemos elegir yendo por A: una nos lleva a
Trasobares y la otra a otros lugares. Mientras que de las tres opciones que podemos elegir yendo por B: una lleva
a Trasobares y las otras dos nos llevan a otros lugares.
En la tabla 2 se identifica el número de participantes que concluyeron el apartado b) del problema argumen-
tando sus soluciones con las estrategias mencionadas.
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Estrategia utilizada apartado b) Número de participantes
Calculando las probabilidades condicionadas
y equiprobabilidad en los sucesos 5
Calculando las probabilidades conjuntas 17
Tabla 2. Número de participantes que emplearon cada una de las estrategias correctas en el apartado b)
Conclusiones
Muchos estudiantes de 2.º ESO son capaces de resolver alguno de los apartados (tablas 1 y 2). Esto sucede a pesar
de que muchos de ellos no han sido instruidos sobre las técnicas específicas para resolver problemas de probabilidad
condicionada, que aparecerán curricularmente en 3.º o 4.º ESO (probabilidad condicionada, probabilidad total,
Bayes…) y que convierten este problema en un ejercicio (Blanco y Pino, 2015).
En el análisis aparecen variadas respuestas que denotan distintos razonamientos o modos de abordar la situa-
ción, más allá de aplicar la resolución «escolar» de la tarea. La argumentación matemática subyacente en estas
justificaciones es rica y provechosa, puesto que aborda la resolución de los apartados articulando diferentes objetos
matemáticos (proposiciones, lenguajes, propiedades y representaciones) referidos a la probabilidad.
Creemos que el enunciado de la tarea promueve la aparición de distintos razonamientos y modos de abordar
el problema ya que, por un lado, los datos permiten que se pueda abordar la situación de manera sencilla (dos
ramas y tres ramas, equiprobabilidad en cada rama…) con herramientas elementales y, sobre todo, porque la exi-
gencia del problema no está en calcular una probabilidad concreta de un suceso sino en tomar una decisión razo-
nada sobre qué suceso es más probable.
Por otro lado, tras la revisión y detección de las estrategias correctas, queda claro que en las situaciones de
aprendizaje sobre la probabilidad condicionada que se puedan plantear en 4.º ESO o en 1.º de Bachillerato, sería
necesario incluir tareas específicas del tipo en las que la suma de los caminos en términos absolutos contraríen el
análisis anterior de las probabilidades condicionadas puesto que es una estrategia no correcta que emerge de ma-
nera natural en las respuestas de estudiantes de 2.º de ESO. Por ejemplo, una vez afrontada la tarea propuesta en
la olimpiada, plantear otra similar, pero con dos nacionales Ay B, con A: 2 al pueblo y 1 a otros lugares, B: 2 al
pueblo y 3 a otros lugares.
Por último, entendemos que es importante plantear una tarea como la estudiada también en 2.º y 3.º ESO
para el desarrollo de los saberes estocásticos en la docencia habitual en clase. Precisamos que cuando promovemos
su uso de forma habitual en el aula, no lo hacemos con la finalidad de instruir a los estudiantes en las técnicas de
resolución de las mismas para que estas tareas sean resueltas cual ejercicio y así ganar una competición matemática
extraescolar como la olimpiada. Ni siquiera con una posible finalidad de aprovechar y adelantar la introducción
de dichas técnicas antes de lo que dice el currículo. Más bien, nuestra recomendación va dirigida a que los estu-
diantes se acostumbren a abordar la resolución de ese tipo de situaciones de probabilidad condicionada (más com-
plejas) poniendo en juego su razonamiento probabilístico y las técnicas más elementales que disponen hasta el
momento. Además, entendemos que estas tareas con distintas aproximaciones sirven para atender a la diversidad
que nos podemos encontrar en el aula amparando todas las casuísticas reconocidas.
Finalmente, animamos a que, a través de su implementación en el aula, el profesorado fomente la participación
de su alumnado en esta actividad, la olimpiada matemática de segundo, no con un propósito competitivo, sino
para ofrecerles una experiencia matemática agradable fuera del contexto habitual, que permita al alumnado me-
jorar las actitudes hacia la matemática y adquirir creencias positivas hacia la misma.
Agradecimientos
Trabajo desarrollado dentro del proyecto PID2019-105601GB-I00/AEI/10.13039/50110001103, con apoyo del
grupo S60_20R - Investigación en Educación Matemática (Gobierno de Aragón y Fondo Social Europeo).
Referencias bibliográficas
BATANERO, C. (2014), «Probability teaching and learning», en S. Lerman (Ed.) Encyclopedia of Mathematics Education, Springer.
BLANCO L. J., y J. PINO (2015), «¿Qué entendemos por problema de matemáticas?», en: L. J. Blanco, J. A. Cárdenas y A. Caballero (eds.),
La resolución de problemas de matemáticas en la formación inicial de profesores de primaria, Universidad de Extremadura, 81-92.
BOROVCNICK, M. (2012), «Multiple perspectives on the concept of conditional probability», AIEM. Avances de Investigación en Educación
Matemática, 2, 5–27.
GOÑI, M. (2022), «XXX Olimpiada Matemática Aragonesa de 2.º ESO», Entorno Abierto, 47, 1–5.
RUBIO-CHUECA, J. M., J. M. MUÑOZ-ESCOLANO y P. BELTRÁN-PELLICER (2021), «La probabilidad en problemas de Olimpiadas matemáti-
cas de secundaria en España», Contextos Educativos, 28, 29-50.
J. M. RUBIO-CHUECA, J. M.ªMUÑOZ-ESCOLANO Y PABLO BELTRÁN-PELLICEREstrategias ante un problema que moviliza ideas sobre
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Es habitual que las olimpiadas matemáticas susciten la curiosidad del alumnado de alta capacidad matemática. Por tanto, desde el punto de vista de las altas capacidades, resulta interesante analizar como son los problemas propuestos en este tipo de pruebas. El objetivo de este trabajo es analizar la demanda cognitiva, los lenguajes y los procedimientos de las tareas matemáticas propuestas en los problemas sobre probabilidad en las pruebas individuales de la semifinal y final en la Olimpiada Matemática Aragonesa (1989-2019) y los problemas llevados a cabo en la prueba individual de la Olimpiada Matemática Nacional (1990-2019). Centramos nuestra atención en los problemas de probabilidad para caracterizar también la representatividad de este contenido en las olimpiadas. Los resultados muestran que todas las tareas propuestas en las olimpiadas son de nivel alto según el modelo de demanda cognitiva, lo cual es adecuado como propuesta para estudiantes de alta capacidad matemática, con inclusión de tareas del nivel superior según ese mismo modelo, cuya resolución satisfactoria podría convertirse en un indicador de alta capacidad matemática. Por otro lado, la escasez de problemas de probabilidad en estas pruebas evidencia la necesidad de proponer más en estos concursos, promoviendo su aprendizaje en la educación secundaria.
«¿Qué entendemos por problema de matemáticas?
  • C Batanero
  • Springer
  • J J Blanco L
  • Pino
BATANERO, C. (2014), «Probability teaching and learning», en S. Lerman (Ed.) Encyclopedia of Mathematics Education, Springer. BLANCO L. J., y J. PINO (2015), «¿Qué entendemos por problema de matemáticas?», en: L. J. Blanco, J. A. Cárdenas y A. Caballero (eds.), La resolución de problemas de matemáticas en la formación inicial de profesores de primaria, Universidad de Extremadura, 81-92.
«XXX Olimpiada Matemática Aragonesa de 2.º ESO», Entorno Abierto
  • M Goñi
GOñI, M. (2022), «XXX Olimpiada Matemática Aragonesa de 2.º ESO», Entorno Abierto, 47, 1-5.