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Spaces for mathematical work: Viewpoints and perspectives
... -« Un processus de visualisation » (Kuzniak & Richard, 2014) qui est « en relation avec la représentation de l'algorithme et le support matériel » (Laval, 2018) utilisé pour le programmer. -« Un processus de construction » (Kuzniak & Richard, 2014) « déterminé par les langages et les instruments utilisés comme les organigrammes, le langage naturel, un langage pseudo-code, un langage de programmation, les ordinateurs, des environnements numériques de type algorithmique, des calculatrices » (Laval, 2018). ...
... -« Un processus de visualisation » (Kuzniak & Richard, 2014) qui est « en relation avec la représentation de l'algorithme et le support matériel » (Laval, 2018) utilisé pour le programmer. -« Un processus de construction » (Kuzniak & Richard, 2014) « déterminé par les langages et les instruments utilisés comme les organigrammes, le langage naturel, un langage pseudo-code, un langage de programmation, les ordinateurs, des environnements numériques de type algorithmique, des calculatrices » (Laval, 2018). -« Un processus discursif » (Kuzniak & Richard, 2014) permettant « d'étudier la terminaison, la correction, l'efficacité et la complexité de l'algorithme, mais aussi produit des argumentations ainsi que des preuves » (Laval, 2018). ...
... -« Un processus de construction » (Kuzniak & Richard, 2014) « déterminé par les langages et les instruments utilisés comme les organigrammes, le langage naturel, un langage pseudo-code, un langage de programmation, les ordinateurs, des environnements numériques de type algorithmique, des calculatrices » (Laval, 2018). -« Un processus discursif » (Kuzniak & Richard, 2014) permettant « d'étudier la terminaison, la correction, l'efficacité et la complexité de l'algorithme, mais aussi produit des argumentations ainsi que des preuves » (Laval, 2018). Lors de l'exécution d'un algorithme, trois questions clés se posent, quelles que soient les données : ...
... • un processus discursif qui permet de produire des argumentations et des preuves. (Kuzniak, Richard, 2014). ...
... partie 2), va nous permettre d'étudier les différentes interactions entre des ETM spécifiques en articulation avec des Espaces de Travail Algorithmique (Laval, 2014(Laval, , 2015(Laval, , 2016. Ainsi, selon Kuzniak et Richard (2014), une des questions qui va se poser tout au long de ces analyses, consistera à étudier l'organisation de la fibration entre les différentes Espaces de Travail ou le feuilletage des plans. ...
... Ces interactions entre divers domaines mathématiques (Kuzniak et Richard, 2014 et algorithmiques (Laval, 2015(Laval, et 2016 (Laval, 2015). ...
Les nouveaux programmes des lycées français, mis en place depuis la rentrée 2010, ont fixé des objectifs précis en matière d’algorithmique. A la lecture de ces programmes, l’enseignement de l’algorithmique apparaît comme outil (au sens de Douady, 1986) pour donner sens à un certain nombre de notions étudiées. Comment dépasser ce stade pour que l’algorithmique devienne objet d’apprentissage (au sens de Douady, 1986) ? Le travail de recherche se situe dans le cadre d’apprentissages de connaissances sur les algorithmes en mathématiques dans l’enseignement au niveau des classes de Seconde et du Cycle Terminal Scientifique du lycée. L’étude et la construction d’algorithmes par les élèves sont situées dans un cadre plus général de raisonnement et de preuve, mais aussi de démarches de modélisation en mathématiques. Il s’agit d’étudier l’effectivité de tels enseignements dans le cadre institutionnel français du point de vue des apprentissages effectivement réalisés par les élèves et des pratiques des enseignants, et d’en inférer des résultats plus généraux sur le raisonnement mathématique dans certains domaines spécifiques, pour les classes du lycée. Le travail de recherche entrepris privilégie la place occupée par les algorithmes dans l’enseignement des mathématiques et propose un cadre théorique tenant compte des cadres généraux de la didactique des mathématiques, en particulier les Espaces de Travail Mathématique (ETM) (Kuzniak, Richard, 2014) associés à des domaines mathématiques spécifiques. Plus particulièrement, poursuivant la spécification d’un modèle Espaces de Travail Algorithmique (ETA) (Laval, 2014, 2016), nous précisons ce que peuvent être les plans épistémologique et cognitif dans ces espaces en mettant l’accent sur leurs interactions liées aux genèses sémiotique, instrumentale et discursive auxquelles ces plans donnent lieu. Nous étudions aussi quels espaces personnels peuvent se construire chez les élèves des différents niveaux scolaires du lycée, et comment ils articulent des connaissances sur les algorithmes et les domaines mathématiques scolaires. Les modèles des ETM/ETA sont consacrés à l’analyse du travail mathématique dans des domaines mathématiques spécifiques avec, en particulier, des paradigmes guidant et orientant le travail des élèves. De plus, partant du fait que peu d’études sur des tâches de modélisation ont été basées sur les modèles ETM/ETA, nous affinons certaines de nos analyses dans le cadre des ETM/ETA sur la base du cycle de modélisation proposé par Blum et Leiss (2005) en relation avec certains domaines spécifiques des mathématiques. Pour cela, nous construisons plusieurs ingénieries didactiques mettant en place des expérimentations dans trois domaines mathématiques : (1) la théorie élémentaire des nombres ; (2) l’analyse ; (3) les probabilités et les simulations aléatoires. Ces ingénieries sont expérimentées et analysées dans les trois niveaux du lycée français : seconde et cycle terminal scientifique. Notre travail de recherche comporte des outils d’analyse de tâches et d’activités dans différents domaines mathématiques. La méthodologie employée permet d’obtenir des données globales et d’observer finement les activités des élèves en classe et les pratiques des enseignants
... -the Mathematical Working Spaces or MWS, as described by Kuzniak and Richard (2014); -the register theory (Duval 1993) expanded in (Duval 1995). Kuzniak and Richard (2014) propose the model of two triangles contained in parallel planes represented in Fig. 1: -a lower triangle at an epistemological level, with vertices respectively called Representamen (sign), Artefacts and Referential framing, -an upper triangle at a cognitive level, with vertices corresponding to the vertices of the lower triangle and respectively called Visualization, Construction and Proof. ...
... -the Mathematical Working Spaces or MWS, as described by Kuzniak and Richard (2014); -the register theory (Duval 1993) expanded in (Duval 1995). Kuzniak and Richard (2014) propose the model of two triangles contained in parallel planes represented in Fig. 1: -a lower triangle at an epistemological level, with vertices respectively called Representamen (sign), Artefacts and Referential framing, -an upper triangle at a cognitive level, with vertices corresponding to the vertices of the lower triangle and respectively called Visualization, Construction and Proof. ...
... We are interested in investigating the educational aspects of the geneses presented in the model from Kuzniak and Richard (2014), and in possibly enriching this model with some didactical elements. We specify this inquiry through three research questions: -Can we identify components in the mathematical processes involved that could be linked to, or described by, the model proposed by Kuzniak and Richard? ...
En este artículo nos interesamos en el tema de funciones reales de variable real, desde la perspectiva de los Espacios de Trabajo Matemático (ETM). En la primera parte señalamos observaciones hechas con varios públicos que dan crédito a la hipótesis de que el saber álgebra no es suficiente para los tratamientos que ponen en juego las funciones. Se necesita un pensamiento que calificamos como funcional que precisamos en una segunda parte. En la última parte presentamos los resultados de un taller exploratorio dirigido a profesores del nivel medio superior, organizado con el propósito de profundizar nuestra hipótesis. La especificidad del estudio propuesto fue que los participantes trabajaron en grupos, considerando para todos la misma situación matemática pero cada grupo utilizaría una herramienta diferente. Los grupos, caracterizados por las herramientas que utilizaron, fueron los siguientes: “A pie” (papel - lápiz), hoja de cálculo, calculadora, software de cálculo formal y software de geometría dinámica. Los participantes se dieron cuenta de cómo el uso de herramientas tecnológicas ejerce influencia en el proceso de resolución y en el manejo de conceptos.
... -the Mathematical Working Spaces or MWS, as described by Kuzniak and Richard (2014); -the register theory (Duval 1993) expanded in (Duval 1995). Kuzniak and Richard (2014) propose the model of two triangles contained in parallel planes represented in Fig. 1: -a lower triangle at an epistemological level, with vertices respectively called Representamen (sign), Artefacts and Referential framing, -an upper triangle at a cognitive level, with vertices corresponding to the vertices of the lower triangle and respectively called Visualization, Construction and Proof. ...
... -the Mathematical Working Spaces or MWS, as described by Kuzniak and Richard (2014); -the register theory (Duval 1993) expanded in (Duval 1995). Kuzniak and Richard (2014) propose the model of two triangles contained in parallel planes represented in Fig. 1: -a lower triangle at an epistemological level, with vertices respectively called Representamen (sign), Artefacts and Referential framing, -an upper triangle at a cognitive level, with vertices corresponding to the vertices of the lower triangle and respectively called Visualization, Construction and Proof. ...
... We are interested in investigating the educational aspects of the geneses presented in the model from Kuzniak and Richard (2014), and in possibly enriching this model with some didactical elements. We specify this inquiry through three research questions: -Can we identify components in the mathematical processes involved that could be linked to, or described by, the model proposed by Kuzniak and Richard? ...
Approximating given real-valued functions by affine functions is among the most basic activities with functions. In this study we examine two contexts in which two such approximations are performed. The first involves a microscopic representation of functions for the study of tangents; the second a macroscopic representation of functions for the study of asymptotes. In the proposed research, we conducted three sessions to observe how small groups of college freshmen worked in a setting of multiple dynamical representations including algebraic, graphic and CAS (computer algebra system) views. This enabled the observation of individual Mathematical Working Spaces (iMWS). The analysis of students’ answers leads us to propose an enrichment of the MWS model. Specifically, this analysis suggests that educational resources could foster the geneses described in the MWS model: observation for visualizing, drawing for constructing and justification for proving.
... The data that will be collected is going to be assessed and analyzed with the mediation of an arithmeticalgebraic working space, model which came from modifications to another working space tool that is come up to bibliography (Hitt et al., 2016;Demosthenous, 2016). This model as an analyzing tool was invented and first used by Kuzniak and Houdement (2006), in their research which investigating issues of geometrical interest (Kuzniak & Richard, 2014). The target was the creation of an analyzing tool, with which the researchers could describe and understand results that were produced, by the participants' activation in a specific mathematic task (Montoya . ...
... The target was the creation of an analyzing tool, with which the researchers could describe and understand results that were produced, by the participants' activation in a specific mathematic task (Montoya . Through the observation of participant's activation and the manner they work inside the system, produce and handle representations 757 spontaneous or typical, we can distinguish levels of evolution at cognitive and epistemological plane, based at the respective mathematical object and the frame of work (Hitt et al., 2016;Montoya Delgadillo & Vivier, 2016;Kuzniak & Richard, 2014). However, in order to be the use of the specific model, it must be defined in advance, the theoretical framework under which consideration would be based, the results analysis that will proceed (Montoya Delgadillo & Vivier, 2016). ...
This paper reports on the 1st case study performed in the 1st cycle of a design research aiming at designing a learning environment based on philosophical theories of concept formation (i.e. categorization). Here, we will present the 1st version of our learning environment which supports primary school students in constructing the biological concepts of fish, amphibian, reptile, bird, mammal, and enhancing their categorization skills. Philosophers have provided theories that suggest different mechanisms of categorization. Family resemblance-inspired theories suggest that we classify, e.g., individual birds under the concept bird by intuitively relying on examples of birds and/or on lists of their shared features. Moreover, classical theory suggests that we classify, e.g., individual birds under the concept bird by articulating bird-definitions. Considering the above theories, we developed a three-part, collaborative learning environment within the theoretical framework of constructivism. Our learning environment consists of 7 teaching-learning activities that aim at helping students to actively engage with the vertebrate animals classification while using different types of reasoning. More specifically, students are expected to collaborate in small groups in order to classify vertebrate animals into their classes, by (a) observing different examples of each vertebrate class, (b) making lists of the features the members of each class share (‘shared features list’), (c) deducing some ‘key features’ of each class from the corresponding ‘shared features list’, and (d) using these ‘key features’ to articulate definition-like reasoning strands about vertebrates. The learning environment will be thoroughly discussed in the paper, along with some preliminary results of its implementation. Analyzing the pre/post responses of the 19 conveniently selected fifth-graders who took part in this case study, showed an improvement in their reasoning about the target biological concepts.
... Furthermore, although both courses, DG and DGCG at the Faculty of Mininig, Geology and Petroleum Engineering combine different didactical principles in the teaching process, for the purpose of this paper and in connection to the teaching descriptive geometry, particularly interesting is the Duval's theory on figural apprehension in mathematical reasoning, especially in geometrical reasoning and work with geometric drawings and computers (Duval, 2002;ICME-13, 2016;Jones, 1998;Kuzniak and Richard, 2014). ...
... Those are: visualization, construction and reasoning (see Figure 5, from Jones, 1998). His work on cognitive process level, important for geometry and mathematics as well, was further adapted by Kuzniak and Richard (2014). ...
With the growing interest in spatial reasoning, stimulated by the development of powerful computer-based geometry and visualisation packages, it is important to be clear about what is meant by spatial reasoning in mathematics. Starting from the point of various math educators, learning spatial thinking in mathematics has different aims than learning spatial thinking in other sciences. Hence, although spatial skills may be intellectually interesting in themselves, the focus in this paper is placed on its relationship with teaching and learning geometry at the technical faculties. Furthermore, the course Descriptive geometry with computer graphics, which has evolved at the Faculty of Mining, Geology and Petroleum Engineering in Zagreb in conjunction with the recent developments in the modern geometry education, is described in detail. On the basis of the classical geometrical representation methods, the course focuses not only on the uprising of graphic-visual communication and developing learners' spatial visualization skills, which play a crucial role in engineering educations, but likewise on the development of learners' capacity with deductive reasoning and making use of aids and tools in mathematics education. Also, the effect of computer technology on geometry education is discussed according to the results of the SEFI-Mathematics Working Group (SEFI-stands for "European Society for Engineering Education"). The examples of student exercises will be given to show a large range of options offered within the course to make teaching of space mathematics innovating, more interactive and at the same time applicable to specific students' interests.
... We will see that in order to properly enter into the genericization process we need two theoretical tools: the model of the MWS of Kuzniak and Richard (2014), and the semiotic tools as described by the semiotic bundle of Arzarello (2006) ( §3). Successively ( § § 4-6), we use such theoretical tools to analyse the case studies of two Italian teachers working with the derivative notion with their grade 13 students. ...
... Within the work on functions, the genericization (generating the generic case) is an essential phase in the process of conceptualising the derivative of a function as a function in its turn. According to the structure of a MWS theorised in Kuzniak (2011) and then resumed in Kuzniak and Richard (2014), we focus in particular on the semiotic axis and on process of visualisation (see Fig. 1). This process has to be intended in a large sense, as Kuzniak and Richard point out. ...
This paper investigates the introduction of the derivative notion and, specifically, the introduction of the derivative function, as a significant moment in the development of mathematical work on functions. In particular, we analyse the process of genericization that two Italian teachers conducted with their grade 13 students, in order to make them shift from the derivative at a specific point x0 to the derivative as a global function in the x variable. Specifically, we analyse the role of the teacher in the semiotic genesis of this process and investigate the role of semiotic resources therein. As a result, we highlight the importance of conducting carefully this shift from the pointwise x0 sign to the global x sign, in order to gain an actual shift in the perceived properties of the derivative function, which depends on the x sign as a variable. In conclusion, we connect our findings to the model of the Mathematical Working Space of functions, with particular regard to the “visualisation” process and the semiotic axis.
... El ETM se caracteriza por la interacción y articulación de sus partes, así como por la relación generada entre sus génesis, lo que lleva a considerar tres planos verticales (Kuzniak y Richard, 2014). El plano semiótico-instrumental, [Sem-Ins], sustentado por la activación de las dos génesis, independiente de la entrada que se tenga por estas, pudiendo efectuarse una relación entre la semiótica y la utilización de instrumentos. ...
(Objetivo):
La presente investigación busca caracterizar el trabajo matemático de los estudiantes de educación secundaria en formación técnica profesional (TP) que participan en una propuesta didáctica que integra aprendizajes matemáticos y de la especialidad administración.
(Metodología):
Se trata de una investigación de enfoque cualitativo basado en un estudio de caso que analiza el trabajo matemático en el aula de estudiantes de último año de la educación media TP. El sustento teórico considera aspectos de la interdisciplinariedad y teoría Espacios de Trabajo Matemático.
(Resultados):
Los resultados dan cuenta de la distancia entre los análisis previstos y lo que efectivamente realizan los estudiantes, lo que se manifiesta en la presencia del plano (Sem-Ins) por sobre los otros. Estos resultados se han organizado según el tipo de respuesta: estándar, incompleto, bloqueo o dificultad, y se han clasificado según las producciones de los estudiantes.
(Conclusiones):
Los resultados evidencian que la primera subtarea se ha desarrollado en el tipo estándar con activación del plano (Sem-Ins) y en una parte de ella la génesis discursiva, mientras que las siguientes subtareas corresponden a incompleto y bloqueo o dificultad, respectivamente en las que solo se observa la presencia de la génesis semiótica. Finalmente, se puede concluir que, los conceptos de la especialidad no son una dificultad al momento de ser relacionados con el trabajo matemático. Sin embargo, desde la matemática se han identificado dificultades respecto a la comunicación del razonamiento discursivo, asociados a la génesis discursiva y la lectura de gráficos, lo que sugiere la necesidad de trabajar este tipo de actividades que integren la matemática con la especialidad TP, como lo es en este caso la administración.
... Esquema del Espacio de Trabajo Matemático (Kuzniak & Richard, 2014) El plano epistemológico está constituido de tres componentes en interacción: el referencial (formado por las propiedades, teoremas y definiciones, entre otros), el representamen (signos), y artefactos (materiales o simbólicos); de la misma forma, el plano cognitivo se compone por la visualización, construcción y prueba. La teoría ETM considera entre sus principios algunos autores que le proveen fundamento, entre los cuales se destaca Peirce (1990), debido a su definición del mundo real mediante los signos. ...
Recibido para publicación 28 abr. 2022. Aceptado después de la revisión 8 sep. 2022 Editor designado: Gabriel Loureiro de Lima RESUMEN Antecedentes: El marco teórico de los Espacios de Trabajo Matemático (ETM) ha desarrollado un creciente interés en cómo se reconoce, analiza y articula la modelación matemática desde sus alcances teóricos y empíricos. Dadas las articulaciones identificadas en la literatura, es interesante determinar si nuevas redes con el ETM brindan estrategias poderosas para analizar la resolución de tareas de modelación matemática. Objetivo: caracterizar la actividad de modelación a partir de la red formada por el ciclo de modelación de Blomhøj y el ETM en estudiantes de ingeniería. Diseño: Se planteó un estudio de caso desde un enfoque cualitativo para analizar la resolución de una tarea de modelación a través de la red propuesta. Entorno y participantes: La experimentación se realizó en el curso de cálculo integral de la carrera de Ingeniería Civil Informática de una universidad chilena. En esta asignatura de segundo año no son habituales las prácticas de modelación, aunque es necesario potenciar su uso en la formación profesional. Recolección y análisis de datos: Se recolectaron los expedientes escritos de los estudiantes, seleccionando uno de ellos para realizar el análisis en profundidad debido a su alta representatividad y claridad, como se evidencia en los documentos. Además, se siguieron tres etapas para caracterizar la actividad de modelación en el registro escrito: descripción, análisis e interpretación. Resultados: El ciclo de modelación de Blomhøj presentaría conexiones con el ETM desde la formulación del problema y no sólo desde la sistematización, lo cual es una novedad en este campo de investigación. Conclusiones: Se evidencia un enfoque Acta Sci. (Canoas), 24(7), 62-91, Dec. 2022 63 novedoso para desarrollar la red entre el ETM y la modelación, enfatizando la investigación de problemas matemáticos usando la realidad del estudiante en educación superior. Palabras clave: Espacios de Trabajo Matemático (ETM); ciclo de modelización de Blomhøj; complementariedad ETM-modelización; tareas de modelización. ABSTRACT The Mathematical Working Spaces (MWS) theoretical framework has developed an increasing interest in how mathematical modeling is recognized, analyzed, and articulated from its theoretical and empirical reaches. Given articulations identified in the literature, it is interesting to determine whether new networkings with the MWS provide powerful strategies for analyzing the resolution of mathematical modeling tasks. Objective: to characterize the modeling activity from the networking formed by Blomhøj's modeling cycle and the MWS in engineering students. Design: A case study was proposed from a qualitative approach to analyze the resolution of a modeling task through the proposed networking. Environment and participants: The experimentation was carried out in the integral calculus course of a Chilean university's Computer Civil Engineering career. In this second-year course, modeling practices are not usual, although promoting its use in professional training is necessary. Data collection and analysis: The written records of students were collected, selecting one of them to carry out the in-depth analysis due to its high representativeness and clarity, as evidenced in documents. In addition, three stages to characterize modeling activity in the written record were followed: description, analysis, and interpretation. Results: Blomhøj's modeling cycle would present connections with the MWS from the problem formulation and not only from the systematization, which is a novelty in this field of research. Conclusions: A novel approach to developing the networking between the MWS and modeling is evidenced, emphasizing the investigation of mathematical problems using the student's reality in higher education.
... Para analizar diferentes entradas al ETM y la articulación de los planos mediante las génesis especificando las componentes en juego, se utiliza la denominación circulación entre En el ETM, la noción de planos verticales está dada por las interacciones entre dos génesis y sus componentes (KUZNIAK; RICHARD, 2014). El plano [Sem-Ins], se asocia con las génesis semiótica e instrumental, cuando los artefactos se usan para construir bajo ciertas condiciones, explorar representaciones o descubrir nuevas propiedades, sin un propósito de validación. ...
Resumen Este artículo presenta los resultados de un estudio de caso sobre el trabajo geométrico desarrollado por estudiantes en formación inicial de pedagogía en matemáticas (futuros profesores). Proponemos una tarea geométrica con uso de lápiz y papel, y una tarea en versión adaptada para ambientes tecnológicos. Los análisis se sustentan en el marco del Espacio de Trabajo Matemático (ETM), que permite profundizar en los procesos cognitivos y aspectos epistemológicos desarrollados en el trabajo. Los resultados muestran diferencias entre el ETM previsto y ETM personal de los futuros profesores participantes y el privilegio de fases de trabajo matemático específicas. Con ello, aportamos con un cuerpo de conocimiento sobre el análisis del trabajo geométrico y, con un marco teórico y metodológico que permite profundizar en el trabajo matemático de personas que resuelven tareas específicas.
... We retain the idea of "Mathematical Working Spaces" (MWS) because it offers a framework associating the three dimensions. According to Kuzniak and Richard (2014) a MWS is an abstract space organised to ensure the mathematical work in an educational setting. Work in a MWS is organised around three dimensions: semiotic (symbol use, graphics, concrete objects understood as signs); instrumental (construction using artefacts, such as geometric figure, graphs etc.) and discursive (justification and proof using a theoretical frame of reference). ...
... Une autre thèse qui a traité cette thématique est celle de Dominique Laval [Laval, 2018]. En se basant sur le cadre des Espaces de Travail Mathématique (ETM) [Kuzniak et Richard, 2014] Quant à la recherche de Michèle Couderette, elle s'intéresse de l'introduction d'un enseignement de l'algorithmique au sein du cours de mathématique qui a eu lieu au lycée en 2009. En particulier, elle veut comprendre les difficultés auxquelles les enseignants se confrontent lors de cet enseignement, pour lequel, dans la plupart des cas, ne sont pas formés. ...
L’objectif de notre thèse est de contribuer à l’étude des conditions de viabilité d’une approche basée sur l’algorithmique et la programmation pour l’enseignement et l’apprentissage de notions mathématiques à l’école primaire. Pour cela, nous considérons une séquence d’enseignement portant sur le sens de la division euclidienne, conçue par les chercheurs du projet EXPIRE dans l’environnement de programmation Scratch. Trois axes de recherche sont explorés : 1) la modélisation didactique des savoirs impliqués dans la séquence ; 2) l’étude de la viabilité de la séquence au sein du curriculum de l'école primaire française ; 3) l’étude des conditions et des contraintes qui pèsent sur la transposition didactique interne de la séquence dans le cadre d’une approche écologique.Nous nous inscrivons dans la Théorie Anthropologique du Didactique et, plus spécifiquement, nous exploitons la formalisation du modèle praxéologique issue de T4TEL. En ce qui concerne le premier axe de recherche, à l’aide d’une Organisation Mathématique de Référence, nous construisons un modèle des savoirs qui met en lumière certaines caractéristiques des praxéologies impliquées, censées être problématiques pour la transposition didactique des savoirs en jeu. Nous abordons le deuxième axe à travers une étude statistique de productions d’élèves recueillies avant et après la mise en œuvre de la séquence. Cette étude a impliqué environ 2500 élèves de niveau CM1/CM2 lors de l’année scolaire 2017/2018. Finalement, en réponse au troisième axe, nous présentons les résultats d’une analyse des praxéologies didactiques réalisées par cinq enseignants lors de la transposition didactique interne de la séquence dans leurs classes pour faire émerger et institutionnaliser les connaissances mathématiques visées.Les résultats nous suggèrent qu’une approche ayant les caractéristiques étudiées répond à la demande institutionnelle des programmes scolaires de 2016 d’introduire une « initiation à la programmation » au cycle 3 sans impacter l’écologie du système scolaire. Les conditions de viabilité relevées dans cette étude portent sur la nécessité pour les enseignants d’exploiter les caractéristiques d’une telle approche en réalisant des tâches de verbalisation et de décontextualisation lors du processus de transposition didactique interne.
... The Space of Geometric Working space and its geneses(Kuzniak & Richard, 2015) ...
The present research assesses the figural genesis disclosed by 441 kindergartners,
aged 4 to 6, in geometrical activities. To identify the components of this genesis, a
test was developed. The analysis of the data showed that there is a four-factor
structure of kindergartners’ performance. Children exhibited different competence
levels in the four key components of figural genesis. These findings are discussed in
light of Kuzniak’s theoretical framework of Geometrical Working Space focusing on
children’s personal Mathematical Working Space in the domain of geometry.
... We retain the idea of "Mathematical Working Spaces" (MWS) because it offers a framework associating the three dimensions. According to Kuzniak and Richard (2014) a MWS is an abstract space organised to ensure the mathematical work in an educational setting. Work in a MWS is organised around three dimensions: semiotic (symbol use, graphics, concrete objects understood as signs); instrumental (construction using artefacts, such as geometric figure, graphs etc.) and discursive (justification and proof using a theoretical frame of reference). ...
Koch, M., Confrey, J., Clark-Wilson, A., Jameson, E., & Suurtamm, C. (in press). Digital mapping of school mathematics: Three contrasting approaches, their implications and uses. In A. Donevska-Todorova, E. Faggiano, J. Trgalova, H. - G. Weigand, & A. Clark-Wilson (Eds.) Mathematics education in the digital age: Learning, practice and theory. Routledge.
... Es importante señalar que el ETM no debe ser visto como la unión de las componentes de ambos planos, sino que más bien como articulaciones activadas por al menos dos génesis. De este modo, según Kuzniak y Richard (2014), el Espacio de Trabajo Matemático cuenta con tres planos verticales, los cuales se activan por medio de una determinada tarea, cada uno definido por la presencia de dos génesis: Richard, 2014). ...
Este trabajo considera los marcos del Espacio de Trabajo Matemático (ETM) y del
Conocimiento Especializado del Profesor de Matemáticas (MTSK) para estudiar la
relación entre el uso de las herramientas teóricas y operacionales y el conocimiento
de la estructura de las matemáticas. Para ello se estudia una tarea propuesta y
desarrollada por un profesor universitario, en la cual el uso de teoremas permite
evidenciar el conocimiento movilizado por la actividad matemática que requiere su
resolución. Concluimos que la complementariedad entre los subdominios del MTSK y
componentes del ETM permite describir cómo el profesor utiliza dichas herramientas
y cuál es el rol de ellas dentro de su conocimiento especializado.
... Nous illustrerons cette approche par l'étude de la fonction et des usages dans l'espace de travail de différents objets utilisés en mathématiques. Il s'agira plus particulièrement d'expliciter leur rôle dans la circulation du savoir mathématique conçu à travers la modélisation des Espaces de Travail Mathématique retenu dans Kuzniak et Richard (2014) Arbres probabilistes ou la complétude du travail mathématique idoine Dans cette section, j'explore le statut particulier de l'arbre probabiliste considéré comme un objet de type diagramme dans le travail mathématique scolaire à la fin du secondaire en explicitant son rôle éventuel d'instrument sémiotique puis d'instrument mathématique dans le sens introduit dans le paragraphe précédent. Les arbres dont il est question sont des arbres probabilistes qui dérivent des arbres ensemblistes de façon à favoriser les solutions et les calculs dans les problèmes impliquant les probabilités conditionnelles. ...
... This complex organization is generally summarized using the two diagrams shown in Figs. 2.1 and 2.2 (for details, see Kuzniak & Richard, 2014;Kuzniak, Tanguay, & Elia, 2016): ...
In this communication, I argue that shared theoretical frameworks and specific topics need to be developed in international research in geometry education to move forward. My purpose is supported both by my experience as chair and participant in different international conferences (CERME, ICME), and also by a research program on Geometric Working Spaces and geometric paradigms. I show how this framework allows thinking about the nature of geometric work in various educational contexts.
... The first one, the epistemological, is in close relation with the mathematical content of the study's area, and the other the cognitive, related to the thinking of the person solving mathematical tasks (KUZNIAK, 2011). The three fundamental geneses, the instrumental, the semiotic and the discursive, are independent and concern all epistemological components and cognitive processes (KUZNIAK; RICHARD, 2014). The present study related to the semiotic genesis based namely as Kuzniak and Richard (2014) indicated on the registers of the semiotic representation which gives meaning to the Mathematical Working Space (MWS) objects and confers to them their status of operative mathematical objects. ...
The study focuses on the cognitive level of Mathematical Working Space (MWS) and the component of the epistemological level related to semiotic representations in two mathematical domains of rational numbers: fraction and decimal number addition. Within this scope, it aims to explore how representational flexibility develops over time. A similar developmental pattern of four distinct hierarchical levels of student representational flexibility in both domains is identified. The findings indicate that the genesis of the semiotic axis in fraction and decimal addition is not automatic, but a long process of developmental steps that could be referred to as MWS1, MWS2, MWS3, MWS4 (final). There is not a clear and stable correspondence between developmental levels of representational flexibility and school grades. Didactical implications in order to foster representational flexibility in the MWS of fraction and decimal addition are discussed.
... As redefined by Kuzniak (2011), who took it from Kuhn (1962), a paradigm is a set of beliefs, techniques and values shared by a scientific group. In his research work, Parzysz (2011) identifies several paradigms referring to the domain of probability: 4 Here this term does not mean just seeing, but processing and structuring the information brought by the signs (Kuzniak & Richard 2014). ...
The teaching of probability has
changed a great deal since the end of the last century. The development of technologies is indeed part of this evolution. In France, continuous probability distributions began to be studied in 2002 by scientific 12th graders, but this subject was marginal and appeared only as an application of integral calculus. With the high school reform recently implemented (in 2012 for grade 12), continuous probability distributions now have an important place in the scientific section. As induced by official texts, the use of histogram as a link between descriptive statistics and continuous probability distributions through its analogy with density curves, is indeed a promising path for learning. In order to answer this demand, which is indeed of general interest, we wondered how density function could be introduced for such a purpose. We began with a study of how textbooks deal with that question, which led us to propose an alternative introductory classroom activity. The reason for this proposition is that, contrary to what is currently implemented in textbooks, a specific mathematical working space (MWS) has to be brought into play, making various mathematical domains intervene in turn and articulating them with each other.
... The whole process will be studied through the notion of genesis, used in a general meaning, which is focused not only on origin but also on development and transformation of interactions. The transformation process takes place and, finally, forms a structured space, the Mathematical Working Space, which can be summarized and illustrated in a diagram showing the main interactions (Introduction of the issue, Kuzniak and Richard 2014) (Fig. 1). ...
According to our approach to mathematics education, the optimal aim of the teaching of mathematics is to assist students in achieving efficient mathematical work. But, what does efficient exactly mean in that case? And how can teachers reach this objective? The model of Mathematical Working Spaces with its three dimensions—semiotic, instrumental, discursive—allows us to address these questions in an original way based on a multidimensional approach to the use of tools and instruments and on the notion of complete mathematical work. The Mathematical work is considered complete when a genuine relationship exists between epistemological and cognitive aspects, and when the three dimensions of the model are appropriately articulated. Two teaching situations in probability for Grades 9 and 10 (age 14 and 15) are used to illustrate how the model can help identify either misunderstandings that are not acknowledged by the teacher, or complete mathematical work despite some differences between intended and actual work.
... The use of digital technologies plays an important connecting the epistemological plane with students' cognitive activities, three elements are identified: (1) the instrumental genesis, in which the role of artifacts is considered as important during the problem solving experiences; in this study, the participants mainly rely on a dynamic geometry system (GeoGebra) to represent mathematical objects and to identify and explore mathematical relations; (2) the semiotic genesis, which accounts for the role of representations in analyzing relations among mathematical objects or concepts involving syntax and semantic treatment (Duval, 2006); and (3) the discursive genesis, that deals with the different ways of reasoning to validate and communicate mathematical results. Kuzniak and Richard (2014) pointed out that this framework is conceived of as "a well-thought and organized environment in order to permit the work of the individual solving mathematical problems" (p. 18). ...
The aim of this study is to analyze and document the extent to which high school teachers rely on a set of technology affordances to articulate epistemological and cognitive actions in problem solving approaches. Participants were encouraged to construct dynamic representations of tasks and always to look for different ways to identify and support mathematical relations. To this end, three interrelated geneses (instrumental, semiotic, discursive) proposed in the Mathematical Working Space frame are used to document ways in which the participants constructed dynamic configuration of mathematical tasks as a means initially to explore invariants and eventually formulate conjectures based on empirical arguments. Technology affordances that involve dragging objects, quantifying parameters, graphing loci and using sliders were important for the participants to articulate semiotic and discursive geneses. Thus, the participants’ approaches that appeared individual, small group and plenary discussions contributed to identifying initial conjectures that later were analyzed via empirical, geometric or algebraic arguments. In addition, the participants recognized that a working space to understand mathematical ideas and to solve problems should foster mathematical discussions beyond formal settings. The use of digital technologies plays an important role in both representing and exploring mathematical tasks and in following the discussion outside the formal class. As a result, the participants outlined a possible route to implement a route for learners to integrate activities to account for instrumental, semiotic, and discursive genesis.
ISBN Volumen: 978-9945-603-xx-x ISBN Obra Completa: 978-9945-415-xx-x Todos los materiales incluidos en esta publicación pertenecen al Comité Interamericano de Educación Matemática. Estos materiales están bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional. En la reproducción de cualquier parte de este libro se deben consignar: los créditos a los autores y al Comité Interamericano de Educación Matemática. Cada autor es responsable del contenido del documento que declara de su autoría o coautoría y libera al CIAEM y editores de este libro de toda responsabilidad por contenido que pueda lesionar el derecho de terceros. Cada autor ha declarado que su trabajo no ha sido publicado previamente y que todos los datos y referencias a materiales publicados fueron debidamente identificados con su respectivo crédito e incluidos en las referencias bibliográficas. Para citar este libro y este volumen: Comité Interamericano de Educación Matemática (2023). Educación Matemática en las Américas 2023. Investigación. Editores: Patrick Scott, Yuri Morales y Ángel Ruíz. República Dominicana.
El objetivo de esta investigación es analizar el trabajo matemático del profesor en el dominio del álgebra, en particular cuando se trata del objeto matemático eigenvalores y eigenvectores de una matriz , que se enseña en un curso de Álgebra Lineal de la Facultad de Ingeniería de la Universidad San Ignacio de Loyola en Lima-Perú. Para este estudio cualitativo, se analizaron las producciones de una profesora que imparte esta asignatura utilizando aspectos de la Teoría del Espacio de Trabajo Matemático (ETM) como herramienta teórica. Los resultados muestran la activación de la génesis Semiótica, Instrumental y Discursiva, así como la activación del plano vertical [Sem-Ins] en las producciones de la profesora de matemáticas.
El artículo presenta una mirada del trabajo matemático de estudiantes en el dominio del Análisis. Para ello, se presenta un recorte de la parte experimental de tres investigaciones que caracterizan el trabajo matemático de estudiantes cuando resuelven tareas en el dominio del análisis, en particular, al movilizar nociones de tasa de variación, interpretación geométrica de la derivada y función exponencial. En cada investigación, se analizaron la producción matemática de los estudiantes empleando aspectos del Espacio de Trabajo Matemático (ETM) como referencial teórico. En base a lo presentado en el artículo, se señala la pertinencia que el ETM ha alcanzado en la comunidad científica de la Didáctica de la Matemática, pues es considerado una herramienta teórica potente para organizar aspectos epistemológicos y cognitivos identificados en la producción matemática de estudiantes a través de la activación de sus diferentes génesis y planos verticales al resolver una tarea en el dominio del análisis. Así mismo, se destaca el rol del artefacto simbólico y digital en la producción matemática.
Objetivo:
El presente artículo muestra un estudio en el que se analiza el espacio de trabajo matemático personal de estudiantes de carreras de humanidades cuando movilizan el concepto de función cuadrática al resolver una tarea de modelización. La parte experimental se llevó a cabo con estudiantes de humanidades de primer ciclo en un primer curso de matemáticas.
Métodos:
Para el estudio fueron considerados elementos de la teoría del Espacio de Trabajo Matemático (ETM), el ciclo de modelización de Blum y Borromeo y aspectos de Ingeniería Didáctica.
Resultado:
La tarea a priori y a posteriori se presenta en tres fases. En el artículo se presenta el desarrollo de un estudiante que será identificado aquí como Augusto.
Conclusiones:
La respuesta de la tarea de modelización planteada evidencia la activación de la génesis semiótica e instrumental y la posible activación del plano semiótico-instrumental del ETM personal de los estudiantes al desarrollar la tarea.
RESUMEN Objetivo: el presente artículo muestra un estudio en el que se analiza el espacio de trabajo matemático personal de estudiantes de carreras de humanidades cuando movilizan el concepto de función cuadrática al resolver una tarea de modelización. La parte experimental se llevó a cabo con estudiantes de humanidades de primer ciclo en un primer curso de matemáticas. Métodos: para el estudio fueron considerados elementos de la teoría del Espacio de Trabajo Matemático (ETM), el ciclo de modelización de Blum y Borromeo y aspectos de Ingeniería Didáctica. Resultado: la tarea a priori y a posteriori se presenta en tres fases. En el artículo se presenta el desarrollo de un estudiante que será identificado aquí como Augusto. Conclusiones: la respuesta de la tarea de modelización planteada evidencia la activación de la génesis semiótica e instrumental y la posible activación del plano semiótico-instrumental del ETM personal de los estudiantes al desarrollar la tarea. Palabras clave: matemática educativa, modelización, función cuadrática, plano semiótico-instrumental. ABSTRACT Objective: this paper describes a study that analyzes the personal Mathematical Working Space of humanities students when mobilizing the concept of quadratic function to solve a modelling task. The experimental part of this research was carried out with students in their first semester of Humanities, during their mathematics class. Methods: for this study, we considered elements from the mathematical working space (WAT) theory, Blum and Borromeo's modeling cycle, as well as aspects of didactic engineering, as theoretical and methodological basis. Result: the a priori and a posteriori task is presented in three phases. The article shows the
El presente artículo, evidencia algunos resultados de una investigación de corte cualitativo realizada en una formación continua de profesores en el dominio de la Geometría. La formación se realizó en dos encuentros y participaron ocho estudiantes de posgrado que son docentes peruanos de Educación Básica Regular - nivel secundario. Para este escrito se analiza el trabajo matemático de dos docentes en dos tareas realizadas en el primer encuentro. Como referencial teórico utilizamos aspectos de Espacio de Trabajo Matemático (ETM), especialmente para identificar los paradigmas de la Geometría. En cuanto a los resultados se observó que los docentes resolvieron las tareas en los paradigmas GI y GII del ETM.
El presente artículo, evidencia algunos resultados de una investigación de corte cualitativo realizada en una formación continua de profesores en el dominio de la Geometría. La formación se realizó en dos encuentros y participaron ocho estudiantes de posgrado que son docentes peruanos de Educación Básica Regular - nivel secundario. Para este escrito se analiza el trabajo matemático de dos docentes en dos tareas realizadas en el primer encuentro. Como referencial teórico utilizamos aspectos de Espacio de Trabajo Matemático (ETM), especialmente para identificar los paradigmas de la Geometría. En cuanto a los resultados se observó que los docentes resolvieron las tareas en los paradigmas GI y GII del ETM.
Este artículo tiene como objetivo principal investigar el trabajo matemático de profesores universitarios respecto de la enseñanza de las sucesiones de números reales (sucesiones) en el aula. Mediante la teoría de los Espacios de Trabajo Matemático (ETM) analizamos algunos elementos de la enseñanza (ETM idóneo) de este objeto, tomando en cuenta las componentes del plano epistemológico y cognitivo, identificando las génesis, así como también los paradigmas del análisis real. Concretamente, se presenta un estudio de caso sobre el ETM idóneo de tres profesores universitarios, solicitándoles realizar una producción donde aborden la enseñanza de la sucesión definida por = (1+1/n)n para cada . Los principales resultados evidencian diferencias entre los ETM idóneos, observándose que estos se enmarcan dentro de distintos paradigmas del análisis real, activando distintas componentes del ETM. Por último, en base a lo anterior, sugerimos algunos elementos que harían factible la estructuración de un ETM idóneo más completo para las sucesiones.
The Malaysian Educational Blueprint of 2013 advocated a need to improve mathematics instruction with regards to students’ construction and application of mathematical ideas when solving real-world problems. This paper presents a school-based effort to design classroom instruction in geometry that encourages students to mathematize and use mathematical processes towards this purpose. The study used a methodology based on design research and Lesson Study. Qualitative data were collected as the study progressed and were interpretively analyzed. The findings of the study indicate that the teachers were receptive of the approach and made useful contributions in the design of the instruction. The effectiveness of the instruction was gauged by the teachers’ active participation in the research cycle as well as the students’ thoughtful engagement in solving the tasks and the ability to arrive at solutions through mathematical thinking. The teachers in the study were able to identify three specific key pedagogical points that enabled student learning: (a) Using the area of triangle formula to help students make connections to previous knowledge; (b) Sequencing the tasks to facilitate the students’ progression in learning; (c) Realizing the need to further expand and enhance discourse so as to allow more student-student and teacher-student interaction.
Mathematical working space (MWS) is a model that is used in research in mathematics education, particularly in the field of geometry. Some MWS elements are independent of the field while other elements must be adapted to the field in question. In this paper, we develop the MWS model for the field of analysis with an identification of paradigms. We show the advantages of this MWS model, which takes into account the epistemological and cognitive aspects of mathematical work, and more specifically the semiotic, instrumental and discursive geneses, by making them function as one system. By using examples and data from three countries, we illustrate how this model can be used to perform a priori analyses and analyses of class situations and individual student work.
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