岩石节理剪切力学特性的非线性理论模型研究

Abstract

Goodman 线性剪 切模型进行改进，提出一种更接近实际情况的非线性全量剪切模型，该模型大部分参数均可从试验数据获取，并 能准确描述节理剪切过程中剪切应力与剪切位移之间的非线性关系。借鉴 Saeb 和 Amadei 切向与法向耦合刚度系 数的计算方法，结合提出的非线性全量剪切模型，推导出可以反映节理剪切非线性特性的切向耦合刚度系数表达 式，并建立基于非线性力学行为的节理增量剪切模型，该增量模型可以对节理的切向和法向变形行为同时进行描 述。在常法向应力边界和常法向刚度边界条件下分别对增量剪切模型进行编程求解。将全量模型的计算值与已有 直剪试验结果进行对比分析，两者吻合得很好，验证提出的全量模型的准确性与可靠性。分别考虑常法向刚度和 常法向应力两种边界条件，将增量模型模拟值与已有的试验结果及 Saeb-Amadei 模型进行对比分析，增量模型计 算的剪应力与试验结果吻合得更好，说明提出的增量模型比 Saeb-Amadei 模型准确度更高；增量模型计算的法向 应力、法向位移与试验值大体上吻合，总体上可以反映节理剪切的法向力学行为，说明增量模型可以较好地反映 节理试样剪切过程中的切向和法向变形行为，验证了增量模型在不同边界条件下的适宜性。 关键词：岩石力学；岩石节理；力学特性；非线性模型；常法向刚度；常法向应力 中图分类号：TU 45 文献标识码：A Abstract：Direct shear tests on artificial joint specimens under different normal stress conditions were carried out. Based on the nonlinear characteristics of the experimental results，the linear Goodman shear model was modified， and a nonlinear full-scale shear model was proposed. Most parameters of the model can be obtained from experimental data. The new model can accurately describe the nonlinear relationship between the shear stress and the shear displacement during joint slipping. Referring to the method of determining tangential and normal coupling stiffness coefficients proposed by Saeb and Amadei，a new mathematical formula of the tangential coupling stiffness coefficient，which can describe the nonlinear characteristics of joint slipping，was deduced on the basis of the proposed nonlinear full-scale shear model. A novel incremental shear model was then established. The new model can simultaneously simulate the tangential and normal deformation behaviors of the joints. The incremental shear model was respectively solved by computer programming under the boundary conditions of constant normal

Full text

第40卷 第12期 岩石力学与工程学报 Vo l . 4 0 N o . 1 2
2021 年12 月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Dec.，2021
收稿日期：2021–07–05；修回日期：2021–07–15
基金项目：国家自然科学基金资助项目(51679231，41672311，51439008)
Supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos. 51679231，41672311 and 51439008)
作者简介：申 辉(1997–)，男，2019 年毕业于武汉理工大学岩土工程专业，现为硕士研究生，主要从 事节理 剪切及边坡动力稳定性分析方面的研
究工作。E-mail：shenhui19@mails.ucas.ac.cn
DOI：10.13722/j.cnki.jrme.2021.0661
岩石节理剪切力学特性的非线性理论模型研究
申 辉1，2，刘亚群 1，2，刘 博1，2，李海波 1，2，吴多华 1，2，彭 勃1，2
(1. 中国科学院武汉岩土力学研究所 岩土力学与工程国家重点实验室，湖北 武汉 430071；2. 中国科学院大学，北京 100049)
摘要：针对人工节理试样开展不同法向应力条件下的直剪试验，基于试验结果的非线性特征，对 Goodman 线性剪
切模型进行改进，提出一种更接近实际情况的非线性全量剪切模型，该模型大部分参数均可从试验数据获取，并
能准确描述节理剪切过程中剪切应力与剪切位移之间的非线性关系。借鉴 Saeb 和Amadei 切向与法向耦合刚度系
数的计算方法，结合提出的非线性全量剪切模型，推导出可以反映节理剪切非线性特性的切向耦合刚度系数表达
式，并建立基于非线性力学行为的节理增量剪切模型，该增量模型可以对节理的切向和法向变形行为同时进行描
述。在常法向应力边界和常法向刚度边界条件下分别对增量剪切模型进行编程求解。将全量模型的计算值与已有
直剪试验结果进行对比分析，两者吻合得很好，验证提出的全量模型的准确性与可靠性。分别考虑常法向刚度和
常法向应力两种边界条件，将增量模型模拟值与已有的试验结果及 Saeb-Amadei 模型进行对比分析，增量模型计
算的剪应力与试验结果吻合得更好，说明提出的增量模型比 Saeb-Amadei 模型准确度更高；增量模型计算的法向
应力、法向位移与试验值大体上吻合，总体上可以反映节理剪切的法向力学行为，说明增量模型可以较好地反映
节理试样剪切过程中的切向和法向变形行为，验证了增量模型在不同边界条件下的适宜性。
关键词：岩石力学；岩石节理；力学特性；非线性模型；常法向刚度；常法向应力
中图分类号：TU 45 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2021)12–2421–13
Nonlinear theoretical model for describing shear mechanical
behaviors of rock joints
SHEN Hui1，2，LIU Yaqun1，2，LIU Bo1，2，LI Haibo1，2，WU Duohua1，2，PENG Bo1，2
(1. State Key Laboratory of Geomechanics and Geotechnical Engineering，Institute of Rock and Soil Mechanics，Chinese Academy
of Sciences，Wuhan，Hubei 430071，China；2. University of Chinese Academy of Sciences，Beijing 100049，China)
Abstract：Direct shear tests on artificial joint specimens under different normal stress conditions were carried out.
Based on the nonlinear characteristics of the experimental results，the linear Goodman shear model was modified，
and a nonlinear full-scale shear model was proposed. Most parameters of the model can be obtained from
experimental data. The new model can accurately describe the nonlinear relationship between the shear stress and
the shear displacement during joint slipping. Referring to the method of determining tangential and normal coupling
stiffness coefficients proposed by Saeb and Amadei，a new mathematical formula of the tangential coupling stiffness
coefficient，which can describe the nonlinear characteristics of joint slipping，was deduced on the basis of the
proposed nonlinear full-scale shear model. A novel incremental shear model was then established. The new model
can simultaneously simulate the tangential and normal deformation behaviors of the joints. The incremental shear
model was respectively solved by computer programming under the boundary conditions of constant normal

• 2422 • 岩石力学与工程学报 2021 年
load(CNL) and constant normal stiffness(CNS). The results obtained by the nonlinear full-scale model were
compared with the available laboratory results，showing an excellent consistency and verifying the suitability and
reliability of the proposed full-scale model. Considering both the CNL and CNS boundary conditions，the simulation
results of the proposed incremental model were compared with the available laboratory results as well as those of
the Saeb-Amadei shear model. The shear stress obtained by the incremental model shows better agreement with the
experimental results. It is indicated that the proposed incremental model is more appropriate than the Saeb-Amadei
shear model in describing the shearing behaviors of joints. The normal stress and normal displacement calculated by
the incremental model are in agreement with the experimental results，indicating the proposed model can generally
illustrate the normal mechanical behavior of joint shearing. Therefore，the proposed incremental model can predict
both the tangential and normal deformation behaviors of the joints during the shearing process，which verifies the
applicability and reliability of the incremental model under different boundary conditions.
Key words：rock mechanics；rock joints；mechanical behaviours；nonlinear model；constant normal stiffness；
constant normal load
1 引 言
天然岩体中存在着大量的节理、断层等不连续
面，因此岩体的力学性质在很大程度上受到不连续
面的影响。节理岩体的力学行为主要表现在法向荷载
和切向荷载作用下的剪切滑移及法向变形，节理剪切
的本构模型可以对节理面剪切力学行为进行描述。
N. Barton 等[1-2]考虑节理粗糙度系数(JRC)和节
理抗压强度(JCS)，在对人工节理和天然节理进行大
量试验研究后，提出了岩石节理峰值抗剪强度准则
和反映剪应力–位移关系的经验模型。G. Grasselli
和P. Egg er [3]结合大量的直剪试验，提出了一个包含
真实节理三维形貌参数的峰值抗剪强度准则以及一
个描述剪应力和剪切位移关系的经验模型。唐志成
等[4]通过对剪切曲线进行分析，提出硬化–软化全
剪切本构模型，采用单个函数反映节理剪切位移曲
线的变化特征。该模型用指数型拟合公式描述剪切
应力与剪切位移关系，但是模型的拟合参数缺乏实
际的物理意义。H. Lin 等[5]基于损伤统计理论推导
出考虑节理岩体尺寸效应的剪切本构模型，模型为
分段函数，包含 2个统计参数，但统计参数的取值
难以确定且拟合参数同样缺乏实际物理意义。R.
Simon 等[6]提出一种指数型的非线性模型(CSDS 模
型)来描述节理剪应力的非线性特征，但模型参数求
解比较困难，很难得到显式解。肖卫国等[7]根据节理
岩体切向加载作用下的变形机制，通过应用弹塑性
随动强化模型并把微凸体在磨损破坏过程中引起的
剪胀软化现象和强化现象分开考虑，提出一种新的
非线性本构模型。
C. S. Desai 和K. L. Fishman[8]基于弹塑性力学
的应力–应变关系，采用塑性流动的一致性条件得
到了法向应力增量与应变增量的关系，根据屈服函
数计算出剪应力增量、法向位移增量与剪切位移增
量的相关表达式。王水林等[9]使用弹塑性方法推导
了常法向刚度条件下的节理剪切的增量本构模型，
用来模拟节理面的强度弱化与强化行为。徐 磊等[10]
将非线性弹性模型和弹塑性模型结合起来，并采用
起伏角磨损演化方程来定量描述结构面的磨损软
化，建立了岩体结构面非线性弹性–塑性软化本构
模型。邓 建等[11]基于非关联塑性理论和损伤理论，
建立了岩体结构面剪胀与塑性耦合的本构关系及岩
体结构面拉、剪损伤本构模型。模型采用增量形式
进行表示，使用数值积分算法进行求解。S. Saeb 和
B. Amadei[12]提出一种 Saeb-Amadei 节理模型，考虑
节理法向变形对剪胀及切向变形的影响，使用切向
与法向耦合刚度系数的方法来描述节理剪切的切向
和法向行为。Saeb-Amadei 节理模型用增量的形式
来描述剪切物理量之间的关系，并且可以适用于常
法向应力与常法向刚度 2种边界条件。
上述模型在描述节理面的切向行为或法向行为
时，可以分为 2类[9]：一类为全量形式的节理剪切
模型[2-7]，另一类为增量形式的节理剪切模型[8-12]。
全量模型一般从剪应力与剪切位移之间的关系出发，
使用经验公式直接描述剪切应力与剪切位移的关
系；增量模型则通过力学推导建立剪切物理量之间
的增量关系，更易于使用数值方法进行求解，同时可
以描述节理的法向行为，但需要编制程序进行计算。
R. E. Goodman[13]提出过 2个具有代表性的剪切
本构模型，模型所涉及的参数可由试验获得。
Goodman 模型为三段式分段函数，剪切应力与剪切
位移之间为线性关系。现有的节理试样直剪试验的
结果表明剪切应力–剪切位移曲线基本都表现为非
线性关系，使用线性本构模型来描述节理岩体的剪

第40 卷 第12 期 申 辉等：岩石节理剪切力学特性的非线性理论模型研究 • 2423 •
切行为可能会带来较大误差。
本文拟对 Goodman 模型进行改进，提出了一种
更接近实际情况的非线性节理剪切模型，以便更准
确地描述节理的切向剪切行为。改进后的非线性全
量剪切模型为三段式分段函数，分别用于描述节理
峰前、峰后和残余阶段的剪切行为。借鉴 Saeb-
Amadei 节理模型求解刚度系数的方法，结合非线性
全量剪切模型来求解增量模型的表达式，建立了基
于非线性力学行为的节理增量剪切模型，并编制了
相应的计算程序模拟节理剪切过程中的切向和法向
行为。此外，在常法向应力边界条件与常法向刚度
边界条件下分别对增量模型进行了求解计算。最后
将全量剪切模型的计算值与已有的剪切试验结果进
行了对比分析，以验证本文提出的全量模型的正确
性和可靠性。在 2种边界条件下，将增量模型的计
算值与已有的试验值及 Saeb-Amadei 模型进行了对
比分析，验证了提出的增量模型的适用性和可靠性。
2 非线性节理剪切模型
2.1 节理直剪试验研究
为了研究不同法向应力下的节理面的剪切响
应，需要使用具有相同形貌的节理面。然而天然岩
石节理表面形貌的随机性和独特性导致很难获取具
有相同形貌的天然节理面，因此使用 3D 打印节理
面模具，采用倒模法浇筑具有相同形貌的人工节理
试样进行试验研究。通过对天然岩石劈裂形成的节
理面(见图 1(a))进行 3D 扫描(见图 1(b))，得到三维
点云坐标，进而重建节理面的三维形貌(见图 1(c))。
数字化后的节理面经过曲面投影可获得节理面的三
维实体模型，再使用高强度且耐磨性能好的高分子
材料 PLA 作为打印原材料进行 3D 打印制作节理面
模具。选择高强石膏作为人工节理试样的材料，浇
筑人工节理试样之前采用不同的水灰比，制作了一
批圆柱形石膏试样并通过单轴、三轴等试验获取材
料的物理力学参数。通过比较发现，水灰比为 1∶3
时高强石膏的强度高，稠度合适，试样材料的物理
力学参数如表 1所示。因此，使用此配比的高强石
膏分别进行上下块体的浇筑，从而得到了具有相同
形貌的人工节理试样，试样尺寸为 150 mm×150
mm×150 mm，如图 2所示。
基于人工节理试样开展了不同法向应力下的直
剪试验研究，试验中法向力加载速率为 1 kN/s，剪
切速率为 0.02 mm/s，采用位移控制模式。图 3为试
(a) 节理面
(b) 3D 扫描节理面
(c) 重建表面的网格形态
图1 节理面 3D 扫描及重建的表面三维形态
Fig.1 3D scanning of joint surface and reconstructed 3D
surface morphology
表1 节理试样材料的物理力学参数
Table 1 Physico-mechanical parameters of joint specimen
materials
密度/
(kg·m－3)
单轴抗压
强度/MPa
弹性模量/
GPa
泊松
比
黏聚力/
MPa
内摩擦角/
(°)
2 324 45 14 0.23 7.5 22
样在法向应力为 3，5，8 MPa 条件下的试验结果。
剪切力–剪切位移曲线(见图 3)以及现有试验
结果均表明，剪切力在达到峰值前表现出一定的非
线性特征，从峰值剪切力到残余剪切力的衰减过程
也具有明显的非线性特征。如果用线性本构模型来
－
80
－
40
0
40
80
－
8
0
－
40
0
40
80
5
0
－
5
z
/
m
m
y
/mm
x
/mm
3
2
1
0
1
－
2
－
3
－
4
－
5
－
节理面
旋转底座
3D 扫描仪
扫描控制台
高度/mm

• 2424 • 岩石力学与工程学报 2021 年
图2 人工节理试样
Fig.2 Artificial joint specimen
剪切位移/mm
图3 直剪试验结果
Fig.3 Direct shear test results of joint specimens
描述节理岩体的剪切行为可能会带来较大的误差，
因此很有必要建立与实际情况更相符的节理剪切力
学特性的非线性分析模型，下文将分别建立节理的
非线性全量剪切模型和增量剪切模型。
2.2 全量剪切模型的建立
R. E. Goodman[13]通过试验研究提出过 2个模型
来描述节理岩体的剪切行为：(1) 常刚度模型。常刚
度模型假设节理在不同的法向应力下，其剪切刚度
不发生变化，如图 4(a)所示；(2) 常位移模型。常位
移模型假设节理在不同法向应力下达到峰值强度及
残余强度时的剪切位移不发生变化，如图 4(b)所示。
上述 2个模型中的剪切应力–剪切位移的关系
都可以用下式来表示：
p
sp
p
pr rp pr
p
r
pr pr
rr
( )
()
( )
ku u u u
u
uu
uuuu
uu uu
uu

 


















＜
≤≤
＞
(1)
式中：
u
为剪切位移；
p

，
r

分别为峰值剪应力及
(a) 常刚度模型
(b) 常位移模型
图4 Goodman 剪切模型
Fig.4 Goodman shear stress–shear displacement models
残余剪应力；
p
u
，
r
u
分别为峰值剪应力及残余剪应
力对应的剪切位移。
直剪试验结果表明，剪应力与剪切位移之间呈
现为一种非线性关系，特别在达到峰值强度之后非
线性表现地更加明显。因此本文借鉴 Goodman 线性
模型三段式分段函数表达方式，提出一种新的非线
性节理剪切全量模型来描述剪切应力与剪切位移的
关系。峰前曲线采用指数形式描述，峰后曲线呈非
线性衰减，其形式假定为
1/( e )
u
ab


，其 中
a
，
b
为
系数，
u
为剪切位移。峰后曲线经过点
p
p
()u

，
，且
在
u
→

时剪应力为
r

，由此可解出系数
a
，
b
。峰
后曲线到达残余阶段后假设剪应力保持不变，故残
余曲线为一条直线
r



。由于峰后曲线衰减较快，
其在
r
uu

处的函数值几乎与
r

相当，不会出现较
大的跳跃。全量模型公式如下：
p
p
pp
p
rpr
r
p
rr
( )
()
0
e
1
e
e
()
r
u
u
u
uuu
u
uuu
uu























≤＜
≤＜
≥
(2)
式中：
r
为峰前曲线的增长参数。
160
120
80
40
0
剪
切
力
/
k
N
0 1 2 3 4 5 6 7
试验值
( = 8 MPa)
n
试验值
( = MPa)5
n
试验值
( = MPa)3
n
u
剪切应力
高法向应力
低法向应力
1
k
s
剪切位移
o
u
u
r
p
u
剪切位移
剪
切应
力
高法向应力
低法向应力
o

第40 卷 第12 期 申 辉等：岩石节理剪切力学特性的非线性理论模型研究 • 2425 •
从微观的角度来看粗糙的节理面是具有不同起
伏度的凸起体，因此在剪切过程中，节理通常有爬
坡、啃断和滑移 3个阶段[14]，分别对应峰前、峰后
和残余曲线 3个部分。不同的节理面具有不同的性
质，若峰前剪应力增长呈先快后慢型，可取 r＜1 (如
r = 0.5)；若峰前剪力增长呈先慢后快型，可取 r＞1
(如r = 2)；若峰前剪应力大致呈线性增长，可取 r =
1，此时即退化为 Goodman 模型峰前曲线的线性形
式，如图 5所示。
图5 全量剪切模型
Fig.5 Full-scale joint shear model
全量剪切模型共分为 3段，第 1段用来描述峰
前剪应力与剪切位移的关系，剪应力从原点开始随
剪切位移递增，最终在剪切位移
p
uu时到达峰值
强度
p

；第 2段用来描述峰后剪应力与剪切位移的
关系，剪应力从峰值强度开始非线性衰减，最终在
剪切位移 r
uu时到达残余强度 r

；第 3段用来描
述残余强度随着剪切位移保持不变的关系。
全量模型中所涉及的大部分参数均可从试验数
据获取，包括节理的峰值剪应力
p

、残余剪应力 r

以及峰值强度对应的剪切位移
p
u，再根据峰前剪应
力的增长形式合理选取增长参数 r，即可建立节理
的全量剪切模型。
2.3 增量剪切模型的建立
S. Saeb 和B. Amadei[12]考虑节理剪切过程中的
刚度与位移的关系，应用 R. E. Goodman[13]与S. C.
Bandis 等[15]提出的模型以及 Ladanyi-Archambault
节理峰值抗剪强度准则[16]，将法向应力增量、剪切
应力增量与法向位移增量、剪切位移增量的关系通
过耦合刚度系数联系了起来，可以用下面描述切向
和法向行为的矩阵关系式表示：
nn nt
n
tn tt
dd
dd
kk v
kk u



 

 

 
 (3)
式中： nn
k，nt
k，tn
k和tt
k均为刚度矩阵分量，其中，
nn
k，nt
k用来描述法向应力增量与法向位移增量、剪
切位移增量的关系， tn
k，tt
k用来描述剪切应力增量
与法向位移增量、剪切位移增量的关系。
S. Saeb 和B. Amadei[12]认为节理在剪切过程中
的法向位移 v是剪切位移 u和法向应力 n

的函数，
法向位移会随着剪切位移及法向应力的变化而改
变：
2
nnm
0
Tnmn
1tan
k
i
V
vu i kV




 
 
 (4)
式中：v为法向位移，u为剪切位移， n

为法向应
力， T

为临界应力， 0
i为初始剪胀角， ni
k为初始法
向刚度， m
V为节理最大的法向闭合位移。
对式(4)求微分得到法向位移的增量表达式：
22
1
n2n
0
TTT
d1 tand 1
kk
uk
viu



 


 
 
2
nm
0n n
2
nm n
tan d d
()
i
i
kV
ikV



 (5)
将式(5)变形后可以得到：

2
2
n0
T
n12
mn
2n 02
TT nmn
d1 tand
d
1tan
()
k
k
i
i
viu
Vk
uk ikV



 







 

(6)
将式(6)等式右边的表达式用法向刚度系数进
行表示可以得到法向应力增量与法向位移增量、剪
切位移增量的关系：
nnn nt
dddkvku

 (7)
其中，
n
nn
kv





212
mn
2n 02
TT nmn
1
1tan
()
k
i
i
Vk
uk ikV

 



 

(8)
n
nt
ku





2
2
n0
T
12
mn
2n 02
TT nmn
1tan
1tan
()
k
k
i
i
i
Vk
uk ikV



 







 

(9)
当上下节理面没有产生相对滑动，处于完全接
触状态时，即此时 u = 0，nn
k退化成 nn
k

2
nm n
nn
nm
i
i
i
kV
k
vkV






；当 r
uu＞且nT


＜时，
u
u
r
p
u
p
r
残
余
曲
线
峰
后
曲
线
峰
前
曲
线
r
＜
1
r
＞
1
r
=
1
o

• 2426 • 岩石力学与工程学报 2021 年
nt
0k
，nn
k为r
uu时的值；当 nT


＞时，式(4)的
第一项将不存在，即不再产生剪胀。
同样的，对于剪切应力增量与法向位移增量、
剪切位移增量的关系可以写成下式：
tn tt
dddkvku

 (10)
综合式(7)和(10)即可得到式(3)的矩阵关系
式。N. Barton 等[1，3，16]提出了不同的节理峰值抗剪
强度准则，选择合适的抗剪强度准则可以计算出不
同法向应力条件下节理的峰值抗剪强度。对于残余
抗剪强度的计算，
R. E. Goodman[13]提出了不同法向
应力下残余剪切强度 r

与峰值剪切强度
p

的经验
关系式：
0
p0 n n T
T
r
p
nT
()
)
1
(
B
B













＜
≥
(11)
式中： 0
B(0
01B≤≤)为残余强度与峰值强度之比。
应用本文提出的全量剪切模型以及式(11)可以
求出切向刚度系数的分段表达式。
(1) 当
p
0uu≤＜ 时：
p
tn nn
p
n
r
u
kk
vu










 (12)
p
p
1
tt nt
p
pn
r
r
r
ru
kuk
uu u







 



 (13)
(2) 当
p
r
uuu≤＜ ，且 nT


＜时，有
p
p
p
p
pp
2
pr
tn nn 2
n2r
p
p
r
nn 2
rr
p
pp
ee
ee 1
ee
e
ee 1 ee 1
uu
uu
u
uu
uuuu
kk
v
k















 





















 



 






pp
0
0n 0
nTT
1(1 )
B
BB










(14)
p
p
r
r
p
tt nt
2
r
p
ee 1
ee 1
uu
uu
kk
u












 









p
p
pp
r2
rr
p
pp
pp
0
0n 0
nTT
ee
e
ee 1 ee 1
1(1 )
u
uu
uuuu
B
BB




























 




 















p
p
2
pr
nt 2
n2r
p
p
ee
ee 1
uu
uu
k





































(15)
(3) 当r
uu≥，且 nT


＜时，有
pp
0
tn nn 0 n 0
nTT
1(1 )
B
kkB B
v






   






(16)
pp
0
tt nt 0 n 0
nTT
1(1 ) 0
B
kkB B
u













(17)
不同的节理峰值抗剪强度准则对应不同的峰值
剪应力
p

、残余剪应力 r

以及
p
n
/



。本文应用
修正的 Ladanyi-Archambault 节理峰值抗剪强度准
则[16]：
p
nssr
tan( )(1 )iaas

 

(18)
式中： s
a为剪切面积比；


为节理滑移摩擦角；i
为剪胀角； r
s
为完整岩块的剪切强度，也可近似满
足Mohr-Coulomb 强度准则即 rn0
tansc


 。
B. Ladanyi 和G. Archambault[16]给出了 k1和k2
的经验值分别为 1.5 和4.0，剪切面积比、剪胀率和
剪胀角的计算公式分别为
1
n
s
T
11
k
a



 


(19)
2
n0
T
1tan
k
vi






 (20)
arctaniv

 (21)
式中： v
为剪胀率，k1和k2为经验常数。
将式(18)对n

求导可得
2
2
ps2
n
s2
nT
1
n
0
2T
2
n0
T
(1 )
(1 ) tan( ) cos
1
()
tan 1
11 tan
k
k
ak
ai i
i
i












 





 





第40 卷 第12 期 申 辉等：岩石节理剪切力学特性的非线性理论模型研究 • 2427 •
11
11
nnrn
11
TTTT
tan( ) 1 1
kk
s
ki k





 
  
 


 
s0
tana

(22)
在不同边界条件下，节理的剪切响应也不同。
考虑 2种特殊的边界条件：常法向刚度边界条件
(CNS)和常法向应力边界条件(CNL)。不同边界条件
的示意图如图 6所示。
(a) 常法向刚度边界
(b) 常法向应力边界
图6 不同边界条件示意图
Fig.6 Sketch of different boundary conditions
常法向刚度边界条件下，节理受外界的限制，
不能自由变形，如受锚杆、锚索或两侧完整岩块限
制的节理岩体[17]。该边界下法向刚度为常量，法向
应力为变量。在常法向刚度边界条件下法向、切向
应力增量与剪切位移增量的关系式[12]为
nt
n
nn
tn nt tt
nn
dd
dd
Kk u
Kk
kk ku
Kk














(23)
式中：K为法向刚度； n
d

，d

，du分别为法向应
力增量、剪切应力增量以及剪切位移增量。
常法向应力边界条件可以看作是常法向刚度
边界的特殊情况，即岩体法向刚度为 0(K = 0)，法 向
应力为常量的情况[17]。在常法向应力边界条件下切向
应力增量及法向位移增量与剪切位移增量的关系
式[12]为
tn nt tt
nn
nt
nn
dd
dd
kk ku
k
k
vu
k



  





 

(24)
式中： dv为法向位移增量。
增量模型在应用时假设节理剪切仍满足
Goodman 剪切模型中的“常位移”模式(见图 4(b))，
即模型中暂时不考虑峰值强度和残余强度对应的位
移随法向应力的变化而改变。增量剪切模型中主要
以位移 u和法向应力 n

为变量，在应用增量模型预
测前，先建立增量模型。首先由某一法向应力下的
节理剪切试验数据获取峰值剪切强度和残余剪切强
度对应的位移
p
u和r
u，以及增长参数 r，建立全量模
型，此时全量模型中的
p

，r

，u仍视为未知量，其
中
p

将由增量模型中节理峰值抗剪强度准则根据法
向应力计算得到， r

将由计算得到的
p

和参数 0
B，
n

，T

决定。这与全量模型在单独使用时不同，单
独使用时全量模型中只有位移 u为未知量，其他参
数均为已知量。以位移 u为未知量，使用上述获得
的
p
u，r
u以及增量模型中所需的其他参数(与试验材
料的力学参数相关)建立增量模型，在其他法向应力
n

下再根据式(18)，(11)和(22)可以计算出相对应的
节理峰值抗剪强度
p
n
()

、残余抗剪强度 rn
()

及
p
nn
()/



，以此来预测其他法向应力条件下节理
的剪切强度曲线。
3 模型验证与分析
3.1 全量剪切模型的验证
(1) 与S. Bandis[18]试验数据对比分析
S. Bandis[18]对一系列粗糙度不同的天然节理岩
体试样在不同法向应力下进行了直剪试验，试样的
尺寸为 9 cm×5 cm。针对节理粗糙度系数 JRC 为
16.6，法向应力分别为 90，34 和1 kPa 的直剪试验
数据进行对比分析。其峰前剪应力曲线的增长形式
均呈先快后慢型，故峰前曲线的增长参数 r＜1，这里
取值为 r = 0.5，其他计算参数的取值如表 2所示。
试验结果与模型计算结果见图 7。从图 7可以看出
试验曲线与全量模型计算结果的吻合度较高，验证
了本文所建立模型的正确性。
(2) 与R. Flamand 等[19]试验数据对比分析
R. Flamand 等[19]使用模具及砂浆浇筑了直径为
90 mm、具有相同节理面和粗糙度的圆柱形人工节
理试样，开展了不同法向应力下的直剪试验。根据
K
n

• 2428 • 岩石力学与工程学报 2021 年
表2 模型计算参数(与S. Bandis[18]试验结果对比)
Table 2 Mechanical parameters used in the model(Compared
with the test results of S. Bandis et al[18])

n/kPa up/mm ur/mm

p/MPa

r/MPa r
1 0.75 4.13 0.031 0.018 0.5
34 0.90 4.91 0.054 0.039 0.5
90 1.25 4.80 0.126 0.106 0.5
剪切位移/mm
图7 试验实测值[18]与全量剪切模型计算值比较
Fig.7 Comparison of experimental results[18] and simulation
results obtained by the full-scale model
试验曲线，峰前剪应力的增长呈现先快后慢型，增
长参数 r的取值为 0.5，模型其他参数如表 3所示，
试验结果与模型计算结果见图 8。模型计算所预测
的曲线能很好地与试验结果吻合，进一步验证了模
型的可靠性。
表3 模型计算参数(与R. Flamand 等[19]试验结果对比)
Table 3 Mechanical parameters used in the model(Compared
with the test results of R. Flamand et al[19])

n/MPa up/mm ur/mm

p/MPa

r/MPa r
7 0.36 4.86 11.16 6.18 0.5
14 0.48 4.82 19.28 12.20 0.5
21 0.65 4.96 25.39 17.08 0.5
(3) 与Z. Zhao 等[20]试验数据对比分析
Z. Zhao 等[20]采用人工劈裂形成节理的 2组花
岗岩试样在不同法向应力下进行了直剪试验，试样
尺寸为 50 mm×50 mm×50 mm，法向应力分别为 1，
5，10 MPa。试验数据所显示的剪应力的增长呈现出
先慢后快型，故峰前曲线的增长参数 r＞1，这里 r
的取值为 r = 2，模型的其他参数如表 4所示，试验
结果与模型计算结果见图 9。从图 9可以看出 2个
剪切位移/mm
图8 试验实测值[19]与全量剪切模型计算值比较
Fig.8 Comparison of experimental results[19] and simulation
results obtained by the full-scale model
表4 模型计算参数(与Z. Zhao 等[20]试验结果对比)
Table 4 Mechanical parameters used in the model(compared
with the test results of Z. Zhao et al[20])
试样编号

n/MPa up/mm ur/mm

p/MPa

r/MPa r
S1 1 0.46 2 2.24 1.50 2
S2 1 0.46 2 2.94 1.79 2
S1 5 0.70 2 9.84 7.37 2
S2 5 0.75 2 9.04 6.64 2
S1 10 0.85 2 16.37 10.90 2
S2 10 0.80 2 18.41 11.47 2
试样在不同法向应力下的试验值与模型计算值具有
较好的一致性，再次验证了提出的全量剪切模型的
正确性与可靠性。
3.2 增量剪切模型的求解与验证
(1) 增量剪切模型的求解
为了求解所提出的增量剪切模型在不同条件下
的力学响应，将增量模型所涉及的表达式编制程序
进行计算。整个剪切过程被分成若干个剪切微段，
剪切位移/mm
(a) S1 试样
n
试验值
( = 90 kPa)
n
试验值
( = kPa)34
n
试验值
( = kPa)1
本文模型
014
.
.
012
.
010
.
008
.
006
.
004
.
002
.
000
剪
切应
力
/
M
P
a
0
2 4
6
8
n
试验值( = Pa)21 M
n
试验值( = Pa)14 M
n
试验值( = Pa)7M
本文模型
剪
切应
力
/
M
P
a
27
24
21
18
15
12
9
6
3
0
0
1 2
3
4
5
20
16
12
8
4
0
剪切应
力
/
M
P
a
n
S1 10 M
试验值
( = Pa)
n
S1 5 M
试验值
( = Pa)
n
S1 1 M
试验值
( = Pa)
本文模型
0.0
0.5
1
.0
1
.5
2
.0

第40 卷 第12 期 申 辉等：岩石节理剪切力学特性的非线性理论模型研究 • 2429 •
剪切位移/mm
(b) S2 试样
图9 试验实测值[20]与全量剪切模型计算值比较
Fig.9 Comparison of experimental results[20] and simulation
results obtained by the full-scale model
输入相应的计算参数后开始计算。每次施加一小段
剪切位移 du，结合相应的判断条件在
p
0uu≤＜ ，
p
r
uuu≤＜ 以及u≥r
u三个剪切位移区间计算不同的
刚度矩阵系数、峰值强度
p

、残余强度 r

以及
p
n
/



。再根据式(22)～(24)计算剪应力增量 d

、
法向应力增量 d

、法向位移增量 dv以及当前总的
剪切位移 u、剪切应力

、法向应力

、法向位移 v，
当达到剪切终点后退出循环，完成计算。计算流程
如图 10 所示。
(2) 增量剪切模型的验证
① 与直剪试验数据对比分析
通过 3D 扫描天然岩体的节理面和 3D 打印节
理，使用高强石膏制作了一组人工节理试样。将人
工节理试样分别在法向应力为 3，5，8 MPa，剪切
速率为 0.02 mm/s 的条件下进行了直剪试验。材料
的单轴抗压强度为 45 MPa，内摩擦角为 22°，黏聚
力为 7.5 MPa。R. E. Goodman[13]建议临界应力 T

可
以根据完整岩块的单轴抗压强度选取，这里选取试
验材料的抗压强度作为参数 T

的取值(T

= 45
MPa)。唐志成等[21-22]通过试验及理论模型对节理的
闭合变形性质进行了研究，发现无错位节理的最大
法向闭合位移的试验值一般在 0.1～2 mm 范围，本
文模型根据边界条件的不同，最大闭合法向位移参
数m
V分别取 0.5 和1 mm 进行计算。在后面的计算
中，常法向刚度边界下的 m
V取为 0.5 mm，常法向应
力边界下的 m
V取为 1 mm 进行计算。
根据法向应力为 3 MPa 下的节理剪切强度曲线
可得峰值强度及残余强度对应的位移分别为 1.5 和
4.5 mm，因此计算中取
p
u= 1.5 mm，r
u= 4.5 mm 来
图10 增量模型循环计算流程
Fig.10 Cycle calculation process of incremental model
建立增量剪切模型(根据峰前剪应力的大致呈线性
增长故取增长参数 r = 1)，进而预测法向应力为 5，
8 MPa 下节理的剪切强度曲线。使用模型进行预测
时，由于采用“常位移”假设，故近似使用 3 MPa
条件下的 r
u和
p
u代替 5，8 MPa 下的峰值强度及残
余强度对应的位移进行计算。模型计算参数见表 5。
表5 模型的主要力学参数
Table 5 Main mechanical parameters of the model

n/MPa

0/(°)c/MPa Vm/mm B0 up/mm ur/mm
3，5，822 7.5 1 0.7 1.5 4.5
将试验值与提出的增量剪切模型在常法向应力
边界条件下的计算值进行对比，如图 11 所示。增量
剪切模型的计算结果与试验结果能较好吻合，说明
提出的增量剪切模型能较好地预测剪切应力–剪切
位移的非线性关系。
② 与 Y. Ji an g 等[23]的试验数据对比分析
Y. Ji ang 等[23]采用高强度的混凝土材料及模具
制作了具有不同粗糙度系数的人工节理试样来模拟
剪切应力
/
M
P
a
20
16
12
8
4
0
n
S2 10 M
试验值
( = Pa
)
n
S2 5 M
试验值
( = Pa)
n
S2 1 M
试验值
( = Pa)
本文模型
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
根据一组剪切试验曲线
得到峰值强度、残余强度
分别对应的位移 和
uu
pr
施加剪切位移增量
使用 节理峰
Ladanyi-Archambault
值抗剪强度准则计算不同法向应
力下的峰值强度
使用 . . 提出的经验
RE
Goodman
[13]
公式计算残余强度
计算不同位移区间的刚度矩阵
计算法向位移增量、法向应力增量、
剪切应力增量
是否达到退出条件?
退出循环计算
是
否

• 2430 • 岩石力学与工程学报 2021 年
剪切位移/mm
图11 直剪试验数据与模型计算值比较
Fig.11 Comparison of experimental results and simulation
results
硬岩的剪切行为，并在常法向应力及常法向刚度条
件下分别进行了直剪试验。本文针对 JRC = 3.6 及
8.5 两组试样的试验结果与模型计算值进行对比分
析。试验中常法向应力边界下的法向应力 n

分别
为2，5，10 MPa，常法向刚度边界下的法向刚度
K为5.4 MPa/mm，初始法向应力 0
n

分别为 2，5，
10 MPa。试验材料的物理力学参数见表 6。
表6 试验材料物理力学参数
Table 6 Physico-mechanical parameters of the experimental
materials
密度/
(g·cm－3)
抗压强度/
MPa
弹性模量/
GPa 泊松比 抗拉强度/
MPa
黏聚力/
MPa 内摩擦角/(°)
2.247 107.7 27.1 0.24 10.3 15 57.0
将试验材料的内摩擦角作为参数

0的取值(

0=
57°)，黏聚力作为参数 c的取值(c = 15 MPa)，选取
试验材料的单轴抗压强度作为参数 T

的取值(T

=
107 MPa)。其他的模型参数结合对试验曲线的分析
及工程经验合理选取。
同样地，根据法向应力(或初始法向应力)为2
MPa 的节理剪切试验曲线确定峰值强度和残余强度
对应的剪切位移
p
u，r
u，并将其作为其他法向应力
条件下的参数进行计算，以此来预测其他条件下节
理的强度曲线。不同边界条件下增量模型的主要力
学参数见表 7～10。
在常法向应力边界条件下，试验数据与本文增
量模型及 Saeb-Amadei模型计算值的比较如图 12 所
示。从图 12(a)，(b)可以看出，在不同法向应力条件
下，增量模型的剪切应力–位移曲线呈非线性，与
试验值具有较好的一致性，可以模拟剪应力从峰值
表7 常法向应力边界下模型的主要力学参数(JRC = 3.6)
Table 7 Mechanical parameters of the model under the
constant normal load(CNL) boundary(JRC = 3.6)

n/
MPa

0/
(°) c/
MPa i0/
(°) Vm/
mm B0 up/
mm ur/
mm
2 57 15 11 1 0.7 1 15
5 57 15 8 1 0.7 1 15
10 57 15 5 1 0.7 1 15
表8 常法向应力边界下模型的主要力学参数(JRC = 8.5)
Table 8 Mechanical parameters of the model under the
constant normal load(CNL) boundary(JRC = 8.5)

n/
MPa

0/
(°)c/
MPa i0/
(°)Vm/
mm B0 up/
mm ur/
mm
2 57 15 15 1 0.7 1 15
5 57 15 12 1 0.7 1 15
10 57 15 10 1 0.7 1 15
表9 常法向刚度边界下模型的主要力学参数(JRC = 3.6)
Table 9 Mechanical parameters of the model under the
constant normal stiffness(CNS) boundary(JRC = 3.6)
K/
(MPa·mm－1) n0

/
MPa

0/ (°) c/
MPa i0/
(°) Vm/
mm B0up/
mm ur/
mm
5.4 2 57 15 6 0.5 0.6 1 13
5.4 5 57 15 6 0.5 0.7 1 13
5.4 10 57 15 6 0.5 0.7 1 13
表10 常法向刚度边界下模型的主要力学参数(JRC = 8.5)
Table 10 Mechanical parameters of the model under the constant
normal stiffness(CNS) boundary(JRC = 8.5)
K/
(MPa·mm－1)n0

/
MPa

0/
(°)c/
MPa i0/
(°) Vm/
mm B0 up/
mm ur/
mm
5.4 2 57 15 9 0.5 0.7 1 10
5.4 5 57 15 11 0.5 0.7 1 10
5.4 10 57 15 12 0.5 0.7 1 10
剪切位移/mm
(a) 剪切应力–剪切位移(JRC = 3.6)
剪切应力
/MPa
n
试验值
( = Pa)8M
7
6
5
4
3
2
1
00
1
2
3
4
5
6
7
试验值
( = Pa)5M
试验值
( = Pa)3M
本文模型
n
n
n
试验值
( = Pa)10 M
试验值
( = Pa)5M
试验值
( = Pa)2M
本文模型
n
n
Saeb-Amadei
模型
7
6
5
4
3
2
1
0
剪
切应
力
/M
P
a
0
5
1
0
1
5
2
0

第40 卷 第12 期 申 辉等：岩石节理剪切力学特性的非线性理论模型研究 • 2431 •
剪切位移/mm
(b) 剪切应力–剪切位移(JRC = 8.5)
剪切位移/mm
(c) 法向位移–剪切位移(JRC = 3.6)
剪切位移/mm
(d) 法向位移–剪切位移(JRC = 8.5)
图12 常法向应力边界下的试验数据与模型计算值比较
Fig.12 Comparison of experimental results under constant
normal load boundary and simulation results obtained
by the Saeb-Amadei model and the proposed model
强度到残余强度的非线性劣化过程；而 Saeb-
Amadei 模型为线性模型，且与试验值误差相对较
大，说明本文提出的非线性增量模型能更准确地描
述常法向应力边界条件下节理的切向剪切行为。
由于采用了相同的法向刚度系数，故本文模型
计算的法向位移–剪切位移曲线与 Saeb-Amadei 模
型的相同。图 12(c)，(d)中法向位移–剪切位移曲线
在剪切位移达到临界剪切位移之前与试验值吻合较
好，且在变化趋势上与试验值一致，即法向应力越
高，峰值剪胀位移越小。另一方面，由于受模型假
设条件的限制，即剪切位移在达到临界位移后法向
位移增量 d0v

，法向位移不再增长，因此达到临
界剪切位移以后法向位移–剪切位移曲线为水平线。
常法向刚度边界条件下，试验数据与本文增量
模型及 Saeb-Amadei 模型计算值的比较见图 13。从
图中可以看出，当初始法向应力分别为 2，5 MPa 时，
本文模型的计算值相比 Saeb-Amadei 模型计算值而
言与试验值吻合得更好；当初始法向应力为 10 MPa
时，剪应力试验值会在短暂下降后再增大，即在较
高的初始法向应力条件下，节理的剪切强度会出现
一定程度的劣化再强化过程，这与王水林等[9]的研
究成果一致，本文模型可以模拟这种行为。Saeb-
Amadei 模型计算的剪应力随着剪切位移持续增长，
均比试验值偏大。总体而言，本文模型计算的剪应
力预测值比 Saeb-Amadei 模型准确度更高。
由于采用了相同的法向行为参数，故本文模型
与Saeb-Amadei 模型计算的法向应力–剪切位移曲
线相同。图 13(c)中，模型计算的法向应力在剪切位
剪切位移/mm
(a) 剪切应力–剪切位移(JRC = 3.6)
剪切位移/mm
(b) 剪切应力–剪切位移(JRC = 8.5)
n
试验
值
( = Pa)10 M
试验值
( = Pa)5M
试验值
( = Pa)2M
本文模型
n
n
Saeb-Amadei
模型
剪
切应
力
/MPa
7
6
5
4
3
2
1
0
0
5
1
0
1
5
2
0
n
试验
值
( = Pa)10 M
试验值
( = Pa)5M
试验值
( = Pa)2M
n
n
本文模型 模型及
Saeb-Amadei
法向
位
移
/
m
m
0
5
1
0
1
5
2
0
4
3
2
1
0
n
试验值
( = Pa)10 M
试验值
( = Pa)5M
试验值
( = Pa)2M
n
n
本文模型 模型及
Saeb-Amadei
法
向
位
移
/
m
m
6
5
4
3
2
1
0
0
5
1
0
1
5
2
0
剪切应力
/M
P
a
n
试验值
( = Pa)10 M
试验值
( = Pa)5M
试验值
( = Pa)2M
本文模型
n
n
6
5
4
3
2
1
0
0
5
1
0
1
5
2
0
0
0
0
Saeb-Amadei
模型
剪切应
力
/M
P
a
7
6
5
4
3
2
1
0
0
5
1
0
1
5
2
0
n
试验值
( = Pa)10 M
试验值
( = Pa)5M
试验值
( = Pa)2M
本文模型
n
n
0
0
0
Saeb-Amadei
模型

• 2432 • 岩石力学与工程学报 2021 年
剪切位移/mm
(c) 法向应力–剪切位移(JRC = 3.6)
剪切位移/mm
(d) 法向应力–剪切位移(JRC = 8.5)
图13 常法向刚度边界下的试验数据与模型计算值比较
Fig.13 Comparison of experimental results under constant normal
stiffness boundary and simulation results obtained
by the Saeb-Amadei model and the proposed model
移为 0～9 mm 时与试验值一致性较好，剪切位移为
9～20 mm 时比试验值偏大；图 13(d)中，模型计算
的法向应力在达到临界剪切位移(10 mm)之前与试
验值吻合较好，临界位移之后法向应力保持不变。
同样地，在达到临界剪切位移之后模型假设 nt
0k

，
d0

，法向应力不再增加，因此法向应力–剪切
位移曲线变为水平线。总的来说，增量模型基本上
能反映出常法向刚度条件下法向应力的增长过程。
通过与试验数据比较可以发现，本文的增量模型对
不同边界下剪应力与剪切位移关系的描述比 Saeb-
Amadei 模型更准确。在常法向应力边界条件下，增
量模型可以较准确地模拟出节理剪切过程中剪切强
度的非线性劣化过程；在常法向刚度边界条件下，
增量模型可以反映较高的初始法向应力下节理剪切
强度的劣化再强化行为。在对节理法向行为的模拟
预测中，受限于模型的假设条件，在达到临界剪切
位移之后不再产生法向应力增量与法向位移增量，
因此导致模型对临界剪切位移以后的法向行为的描
述还不够准确，有待进一步改进，但是大体上仍能
反映不同边界条件下节理的法向剪切特性。
4 结 论
(1) 开展了不同法向应力条件下人工节理试样
的直剪试验，基于节理剪切行为的非线性力学特性，
对Goodman 线性剪切模型进行了改进，提出了反映
节理剪切应力与剪切位移关系的非线性全量模型。
新模型不仅可以准确描述剪应力与剪切位移的非线
性行为，且模型参数的确定较为简单、方便，大部
分参数均可以从试验数据分析得到，包括节理的峰
值剪应力
p

、残余剪应力 r

以及峰值剪应力对应的
剪切位移
p
u，再根据峰前剪应力增长形式选择合适
的参数 r即可建立非线性全量剪切模型。将全量模
型的剪应力计算值与不同类型的试验数据进行了对
比分析，二者吻合较好，验证了提出的非线性全量
模型的正确性与可靠性。
(2) 基于提出的非线性全量剪切模型，借鉴 S.
Saeb 和B. Amadei[12]提出的耦合刚度系数的方法，
推导出了可以反映节理切向和法向剪切行为的增量
模型表达式，并在不同边界条件下对增量模型进行
了编程计算。分别在常法向应力边界和常法向刚度
边界条件下将增量模型的剪应力计算值与 Saeb-
Amadei 模型及试验数据进行了对比分析：在常法向
应力条件下，本文增量模型计算的剪应力值与试验
数据吻合得更好，可以较准确地反映节理剪切过程
中剪切强度的非线性劣化过程；在常法向刚度条件
下，本文增量模型计算的剪应力在较低的初始法向
应力时与试验值一致性较好，在较高的初始法向应
力时可以反映节理剪切强度的劣化再强化过程。在
2种边界条件下，增量模型计算的剪应力均比 Saeb-
Amadei 模型准确度更高；法向位移与法向应力的计
算值与试验值也吻合较好，基本可以描述节理试样
在剪切过程中的法向力学行为，说明提出的增量剪
切模型可以较好地描述不同边界条件下节理的非线
性剪切力学特性。
(3) 本文提出了反映岩石节理强度非线性变化规
律的全量及增量模型，模型可以较好地预测和模拟节
理剪切过程中的力学行为。由于增量模型在其形式上
的特殊性，特别适用于编制程序，后续研究将以本文
提出的模型为基础，进一步使用 C++编程语言将该增
法
向应
力
/
M
P
a
0
5
1
0
1
5
2
0
n
试验值
( = Pa)10 M
试验值
( = Pa)5M
试验值
( = Pa)2M
n
n
0
0
0
本文模型 模型及
Saeb-Amadei
16
12
8
4
0
法
向应
力
/
M
P
a
0
5
1
0
1
5
2
0
n
试验值
( = Pa)10 M
试验值
( = Pa)5M
试验值
( = Pa)2M
n
n
0
0
0
本文模型 模型及
Saeb-Amadei
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0

第40 卷 第12 期 申 辉等：岩石节理剪切力学特性的非线性理论模型研究 • 2433 •
量模型编译成动态链接库文件嵌入离散元软件 UDEC\
3DEC 中，以便进行更复杂的模拟分析使用。
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