COMPARATIVE ANALYSIS OF NUMERICAL AND ANALYTICAL METHODS FOR MODELING THE «FLOW TUBE - LIQUID» SYSTEM IN CORIOLIS FLOWMETERS

Full text

57
XXI century: Resumes of the Past and Challenges of the Present plus. 2022. V. 11. №3 (59)
Information Science, Computing
Devices and Controling COMPARATIVE ANALYSIS OF NUMERICAL AND ANALYTICAL METHODS FOR MODELING THE…
Gudkova Ekaterina Aleksandrovna, Tarantseva Klara Rustemovna, Mikheev Mikhail Yurievich
УДК 681.121.8
DOI: 10.46548/21vek-2022-1159-0009
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ И АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ «РАСХОДОМЕРНАЯ ТРУБКА – ЖИДКОСТЬ» В
КОРИОЛИСОВЫХ РАСХОДОМЕРАХ
© Авторы 2022
SPIN: 5378-0207
AuthorID: 644194
ORCID: 0000-0003-2197-6419
ГУДКОВА Екатерина Александровна, аспирант,
старший преподаватель кафедры «Информационные технологии и системы»
Пензенский государственный технологический университет
(440039, Россия, Пенза, проезд Байдукова/улица Гагарина, д. 1а/11, e-mail: gudkova-penza@yandex.ru)
SPIN: 6169-8590
AuthorID: 448228
ORCID: 0000-0002-1313-6826
ResearcherID: P-7345-2015
ScopusID: 55895350100
ТАРАНЦЕВА Клара Рустемовна, доктор технических наук, профессор,
заведующий кафедрой «Биотехнология и техносферная безопасность»
Пензенский государственный технологический университет
(440039, Россия, Пенза, проезд Байдукова/улица Гагарина, д. 1а/11, e-mail: krtar2018@bk.ru)
SPIN: 9986-0973
AuthorID: 614496
ORCID: 0000-0002-2071-5404
ResearcherID: B-5784-2016
ScopusID: 7005080984
МИХЕЕВ Михаил Юрьевич, доктор технических наук, профессор,
заведующий кафедрой «Информационные технологии и системы»
Пензенский государственный технологический университет
(440039, Россия, Пенза, проезд Байдукова/улица Гагарина, д. 1а/11, e-mail: mix1959@gmail.com)
Аннотация. Статья посвящена сравнительному анализу существующих аналитических и численных
моделей для решения задачи взаимодействия колеблющейся расходомерной трубки с протекающим через нее
потоком жидкости в кориолисовых расходомерах для оценки возможности их применения для практических
целей и внесения корректировок в работу приборов на месте их эксплуатации. В основу методики исследований
положены аналитические методы исследования, системный анализ физических процессов, протекающих в
исследуемой системе, обработка и анализ имеющихся в открытом доступе моделей системы «расходомерная
трубка – жидкость», их обобщение с целью выявления влияния принятых допущений на точность измерения
массового расхода. Установлено, что аналитические модели позволяют выявить влияние температуры,
давления и пульсации потока на точность измерения массового расхода в кориолисовых расходомерах, а
также получать упрощенные модели описываемой системы без специального программного обеспечения.
Возможность применения аналитических моделей ограничена простой формой расходомерной трубки и строго
ограниченной областью применимости. Использование численных моделей, основанных на теории балок или
оболочек и 1D-модели жидкой среды, со слабосвязными алгоритмами сопряжения подзадач не позволяют
исследовать влияние характеристик потока на выходной сигнал расходомера. В то же время, численные методы
моделирования системы «расходомерная трубка – жидкость» с жесткосвязным алгоритмом сопряжения
позволяют проводить оценку конструкции расходомера, а именно определять точки установки датчиков и
источника колебаний, выявлять участки возникновения турбулентности, рассчитывать опарафинивание трубки
и его влияние на скорость протекания жидкости, рассчитывать амплитуду и частоту колебаний в зависимости
от формы расходомерной трубки и др. Возможность применения численных 3D-моделей ограничена высокими
вычислительными и временными затратами.
Ключевые слова: кориолисов расходомер, «расходомерная трубка – жидкость», численные модели,
аналитические модели.
COMPARATIVE ANALYSIS OF NUMERICAL AND ANALYTICAL METHODS FOR MODELING THE
«FLOW TUBE – LIQUID» SYSTEM IN CORIOLIS FLOWMETERS
© The Author(s) 2022
GUDKOVA Ekaterina Aleksandrovna, postgraduate student,
senior lecturer of the Department of Information Technologies and Systems

58 XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. 2022. Т. 11. №3 (59)
Информатика, вычислительная
техника и управление
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ И АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ…
Гудкова Екатерина Александровна, Таранцева Клара Рустемовна, Михеев Михаил Юрьевич
TARANTSEVA Klara Rustemovna, doctor of technical sciences, professor,
head of the department «Biotechnology and technosphere safety»
MIKHEEV Mikhail Yurievich, doctor of technical sciences, professor,
head of the department « Information Technologies and Systems »
Penza State Technological University
(440039, Russia, Penza, Baydukov passage/Gagarina Street, 1a/11,
e-mails: gudkova-penza@yandex.ru, krtar2018@bk.ru, mix1959@gmail.com)
Abstract. The article is devoted to a comparative analysis of existing analytical and numerical models for solving
the problem of the interaction of an oscillating ow tube with a uid ow owing through it in Coriolis ow meters to
assess the possibility of their application for practical purposes and to make adjustments to the operation of devices at
their place of operation. The research methodology is based on analytical research methods, a systematic analysis of
the physical processes occurring in the system under study, processing and analysis of publicly available models of the
"ow tube - liquid" system, and their generalization in order to identify the inuence of the assumptions made on the
accuracy of mass ow measurement. It has been established that analytical models make it possible to reveal the eect
of temperature, pressure, and ow pulsation on the accuracy of mass ow measurement in Coriolis ow meters, as
well as to obtain simplied models of the described system without special software. The possibility of using analytical
models is limited by the simple shape of the ow tube and a strictly limited area of applicability. The use of numerical
models based on the theory of beams or shells and a 1D model of a liquid medium with weakly coupled algorithms for
pairing subtasks does not allow us to study the eect of ow characteristics on the ow meter output signal. At the same
time, numerical methods for modeling the “ow tube-liquid” system with a rigidly coupled interface algorithm make
it possible to evaluate the design of the ow meter, namely, to determine the installation points of the sensors and the
source of oscillations, to identify areas of turbulence, to calculate the waxing of the tube and its eect on the uid ow
rate. , calculate the amplitude and frequency of oscillations depending on the shape of the ow tube, etc. The possibility
of using numerical 3D-models is limited by high computational and time costs.
Keywords: coriolis ow meter, «ow tube – liquid», numerical models, analytical models.
Для цитирования: Гудкова Е.А. Сравнительный анализ численных и аналитических методов моделирова-
ния системы «расходомерная трубка – жидкость» в кориолисовых расходомерах / Е.А. Гудкова, К.Р. Таранцева,
М.Ю. Михеев // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. – 2022. – Т. 11. – № 3(59). – С. 57-63. –
DOI: 10.46548/21vek-2022-1159-0009.
Введение. Кориолисовы расходомеры позволяют
измерить массовый расход и плотность текучих сред
с высокой точностью в широком диапазоне массовых
расходов. В связи с большим прикладным их
значением созданы и применяются различные типы
кориолисовых расходомеров [1]. Соответственно,
разнообразны и созданные модели кориолисовых
расходомеров, которые можно классифицировать по
различным признакам, например: геометрическим
(одно- или трехмерная система «расходомерная трубка
– жидкость»); способу решения (аналитическое или
численное); распределены или сосредоточены их
параметры и др. [2].
При моделировании системы «расходомерная
трубка – жидкость» решают задачу взаимодействия
колеблющейся расходомерной трубки с протекающим
через нее потоком жидкости (Fluid-Structural Inter-
action – FSI). При этом используются сопряженный
и раздельный подходы. Сопряженный подход
подразумевает построение единой математической
модели и дальнейшую дискретизацию, результатом
которой является формирование общей системы
алгебраических уравнений [3]. Раздельный – основан
на независимом решении систем уравнений каждой
подзадачи, что приводит к необходимости реализации
дополнительной процедуры согласования решений
подзадач на границах сопряжения [3]. Эти подходы
реализованы в современных программных продуктах,
таких как ANSYS, COMSOL Multiphysics, SolidWorks и
пр.
Преимущество сопряженного подхода состоит в
том, что при его реализации не требуется выполнять
итерации при решении задач гидродинамики и
механики твердого тела. В раздельном подходе время
моделирования увеличивается за счет увеличения
количества итераций связи на каждом временном
шаге. Поэтому там, где итерации сопряжения сходятся
медленно, целесообразно использовать сопряженный
подход. Он лучше описывает физическую природу
моделируемого явления, и позволяет получить
согласованное решение для задач гидродинамики и
механики твердого тела. Однако, он также обладает
рядом существенных недостатков [4]. Во-первых,
одновременное решение всех уравнений громоздко
и требует больших вычислительных затрат. Во-
вторых, для реализации данного метода необходимо
использование общего математического аппарата
для решения всех уравнений, что не позволяет,
в частности, учесть специфику подзадач для
организации эффективных вычислений [4,7]. Поэтому
применимость сопряженного подхода для решения
задач FSI ограничена [4].
Существенным преимуществом раздельного
подхода является то, что он позволяет использовать
признанные и эффективные коды, разработанные
для решения уравнений жидкости и уравнений

59
XXI century: Resumes of the Past and Challenges of the Present plus. 2022. V. 11. №3 (59)
Information Science, Computing
Devices and Controling COMPARATIVE ANALYSIS OF NUMERICAL AND ANALYTICAL METHODS FOR MODELING THE…
Gudkova Ekaterina Aleksandrovna, Tarantseva Klara Rustemovna, Mikheev Mikhail Yurievich
колебания расходомерной трубки [5-7]. Недостатком
– то, что он проявляет неустойчивость, так как
на каждом временном шаге численные решения
физических подзадач не согласованы между собой
[4]. Алгоритм для сопряжения связанных задач
взаимодействия колеблющейся расходомерной труб-
ки с протекающим потоком жидкости, должен обеспе-
чивать минимальные вычислительные затраты и
оптимальную точность, по степени сопряжения он
может быть слабосвязанным/явным (wFSI) и жестко
связанным/неявным (sFSI) [4,6].
Анализ имеющихся в этой области данных
показал, что при численном моделировании ко-
риолисовых расходомеров чаще применяются
1D-модели, полученные путем упрощения 3D-гео-
метрии системы «расходомерная трубка – жидкость».
Используют методы конечных разностей, спект-
ральных или конечных элементов. В наиболее расп-
ространенных 1D-моделях расходомерная трубка
рассматривается как балка Эйлера-Бернулли [8-11]
или балка Тимошенко [12-16], а движение жидкости
моделируется однородной нерастяжимой массивной
нитью, протягиваемой вдоль оси трубы с постоянной
скоростью [2]. Однако, не смотря на то, что одномерные
модели довольно легко реализовать, они не способны
отразить физическую картину явлений, протекающих
в кориолисовых расходомерах. В то же время
трехмерные численные модели [5, 26-36] позволяют
корректно описывать процессы, проходящие в системе
«расходомерная трубка – жидкость».
Таким образом, аналитические модели течения
жидкости в кориолисовых расходомерах [1, 9, 16-22]
позволяют провести исследования в общем виде,
получать соотношения, характеризующие поведение
системы «расходомерная трубка – жидкость» при
изменении ее параметров, например, установить
зависимость влияния температуры на точность
измерения массового расхода. Однако они применимы
лишь для кориолисовых расходомеров с простой
геометрической формой расходомерной трубки
(U-образная трубка, прямая). Из-за громоздкости
аналитических моделей, или невозможности их
получения, применение аналитических методов
для исследования кориолисовых расходомеров
ограничено. В последнее время, для этих целей чаще
используют численные методы, позволяющие решать
более широкий круг задач.
В данной статье исследована область применения
аналитических и численных моделей для решения
задачи взаимодействия колеблющейся расходомерной
трубки с протекающим через нее потоком жидкости
(FSI).
Методология. Целью данной работы является
сравнительный анализ существующих аналитических
и численных моделей для решения задачи взаи-
модействия колеблющейся расходомерной трубки
с протекающим через нее потоком жидкости (FSI) в
кориолисовых расходомерах для оценки возможности
их применения для практических целей и внесения
корректировок в работу приборов на месте их
эксплуатации. В основу методики исследований
положены аналитические методы исследования,
системный анализ физических процессов, проте-
кающих в исследуемой системе, обработка и анализ
имеющихся в открытом доступе моделей системы
«расходомерная трубка – жидкость», их обобщение
с целью выявления влияния принятых допущений на
точность измерения массового расхода.
Результаты. Анализ возможностей аналитических
моделей для решения задачи FSI. Аналитические
модели для исследования течения жидкости в
кориолисовых расходомерах использовали многие
авторы [1, 16-22]. Cheesewright, Belhadj, Clark [16-18]
исследовали влияние внешних вибраций работающего
оборудования и пульсаций потока на точность
измерения массового расхода жидкости и представили
аналитические решения, позволяющие их учесть.
Авторы [18] показали, что внешние вибрации на
частоте источника колебаний расходомера вызывают
ошибку измерения прибора независимо от алгоритма
определения фазы. Результаты исследований авторов
[1, 19-20] позволили оценить погрешности измерения,
вызываемые внешней вибрацией, погрешности по
температуре и технологическому давлению, а также
методы их коррекции.
Kazahaya [1] разработал обобщенную модель
кориолисова расходомера, учитывающую различные
конструкции измерительных трубок расходомера.
Для двухтрубного кориолисова расходомера анали-
тическая модель представлена уравнением:
, (1)
где M – массовый расход, E – модуль Юнга, I
– момент инерции, l – расстояние до датчиков, ω –
угловая скорость, f – частота колебаний, φ – отклонение
расходомерной трубки.
Для однотрубного кориолисова расходомера им
предложено уравнение:
. (2)
Так как модуль Юнга E неизменен при постоянной
температуре, а момент инерции I определяется внут-
ренним и внешним радиусами трубки, значение K
постоянно для каждого кориолисова расходомера:
(3)
На основе этих уравнений автор дал рекомендации
по усовершенствованию характеристик расходомеров,
способов их производства, и предложил уравнение
температурной коррекции:
(4)
где ro0 – внешний радиус трубы с учетом
температурной деформации, rl0 – внутренний радиус
трубы с учетом температурной деформации, T –
температура жидкости (= температуре трубки) в °C; ε

60 XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. 2022. Т. 11. №3 (59)
Информатика, вычислительная
техника и управление
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ И АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ…
Гудкова Екатерина Александровна, Таранцева Клара Рустемовна, Михеев Михаил Юрьевич
– тепловой коэффициент модуля Юнга; α – тепловой
коэффициент расширения.
Он также отметил, что влияние технологического
давления в трубопроводе малого сечения не
сказывается на работу кориолисовых расходомеров
с небольшими расходомерными трубками (диаметр
13,36 мм и толщина стенки 1,65 мм), поэтому
не требуется компенсации давления до 10 Мпа.
Погрешность измерения составляет при этом
0,05%. Напротив, в приборах, работающих в трубах
большого сечения, необходимо корректирование
технологического давления для обеспечения точности
измерения массового расхода жидкости.
Wang и соав. [19] предложили аналитическую
модель системы «расходомерная трубка – жид-
кость» для произвольно изогнутых U-образных
расходомерных трубок, позволяющую теоретически
рассчитать относительное смещение в любой точке
трубки. Она послужила основой для проектирования
более эффективных форм расходомерных трубок,
позволяющих усилить эффект силы Кориолиса, и
для нахождения оптимальных мест размещения
датчиков. Предложенное авторами решение позволяет
выявить влияние модуля упругости материала
трубки и момента инерции сечения измерительной
трубки расходомера на чувствительность прибора.
Расчеты на основе предложенной модели показали,
что ошибка измерения составляет около 1%. Авторы
сформулировали основные причины появления
ошибок в модели: игнорирование взаимодействия
жидкости с расходомерной трубкой, упрощение
конструкции трубки при расчете дополнительного
крутящего момента от источника колебаний, пред-
положение о нулевом смещении расходомерной
трубки в расчетный момент времени.
Zheng и соав. [20] также предложили анали-
тическую модель для оценки чувствительности
измерения расхода жидкости в кориолисовых
расходомерах с U-образной трубкой:
, (5)
где Qm – массовый расход, Δt – разница во
времени, l – длина трубки, E – модуль упругости, I
– момент инерции, R – радиус скругления трубки, X1
– приращение правой половины трубки, X2 – прира-
щение левой половины трубки, α – угол скругления
трубки.
Авторы [9, 21, 22] представили аналитические апп-
роксимации основных характеристик расходомера, в
которых вариации собственной частоты и разности
во времени использованы для измерения плотности
жидкости и ее массового расхода. Kutin и Bajsic [9]
разработали математическую модель, использующую
метод Галеркина, на основе линейной суперпозиции
нескольких модальных функций. Аналитические
аппроксимации характеристик расходомера получали
путем разложения в ряд Тейлора. В предложенном
авторами уравнении движения жидкости в начале
расчета влияние осевой силы, добавленных масс,
демпфирования и возбуждения не учитывались:
(6)
Далее уравнение усложнялось, и поочередно
исследовались влияние осевой силы, добавленных
масс, демпфирования и возбуждения на точность
измерения массового расхода.
Raszillier и Durst [21] вывели зависимость
временной задержки между ответными сигналами
от двух датчиков и массовым расходом жидкости.
Поскольку авторы не учитывали термические нап-
ряжения в стенках трубки, возникающие вследствие
значительного перепада температур, и механичес-
кие напряжения, возникающие в результате пере-
пада наружного и внутреннего давления, модель
ограничена для практического применения.
Ford [22] предложил модель прямотрубного ко-
риолисового расходомера, в которой результаты
моделирования сведены к уравнениям, позволяющим
оценить чувствительность системы «расходомерная
трубка – жидкость» к внешним воздействиям по трем
параметрам:
(7)
где τ – временная задержка между датчиками, x –
локальная осевая координата, l – длина измерительной
трубы, ES – модуль Юнга материала трубы, IS – момент
инерции трубы, Ř – близость к пределу потери
устойчивости Эйлера (безразмерная).
(8)
где Fn – собственная частота колебаний, m –
комбинированная масса жидкости и трубы на единицу
длины.
(9)
где Г – общая растягивающая сила, p – давление
жидкости, Af – площадь поперечного сечения жид-
кости (площадь потока).
Предложенные уравнения [22] позволяют учиты-
вать движение расходомерной трубки, однако влияние
массы датчиков, закрепленных на трубке, и источника
колебаний в них не учтено. Модель проверена на
практике, разница между экспериментальными и
расчетными данными составила от 2% до 5%.
Таким образом, анализ существующих аналити-
ческих моделей показал, что они позволяют оп-
ределить временную задержку между сигналами
датчиков расходомера, вычислить массовый расход,
установить влияние температуры, давления жидкости
на точность измерения массового расхода. Однако,
физическая картина взаимодействия колеблющейся
расходомерной трубки с протекающим через нее
потоком жидкости в аналитических моделях сильно
упрощена.
Анализ возможностей численных моделей для
решения задачи FSI. Sultan и Hemp [8] одними

61
XXI century: Resumes of the Past and Challenges of the Present plus. 2022. V. 11. №3 (59)
Information Science, Computing
Devices and Controling COMPARATIVE ANALYSIS OF NUMERICAL AND ANALYTICAL METHODS FOR MODELING THE…
Gudkova Ekaterina Aleksandrovna, Tarantseva Klara Rustemovna, Mikheev Mikhail Yurievich
из первых использовали численный подход для
1D-моделирования системы «расходомерная трубка
– жидкость» и подтвердили результаты расчетов
экспериментальными данными на примере воды.
Расходомерная трубка описывалась вибрирующими
балками Эйлера, взаимодействующими с одномерным
потоком жидкости.
В более поздних 1D-моделях расходомерная трубка
рассматривалась как балка Эйлера – Бернулли [9-11]
или балка Тимошенко [13-16], а течение жидкости
в ней моделировалось как одномерное течение с
постоянной скоростью [2].
Бобовник и др. [11] впервые использовали CFD
(Computational Fluid Dynamics) для моделирования
движения жидкости в прямолинейной расходомерной
трубке. Для этого на каждом временном шаге
задавалось отклонение трубки, а для оценки чувст-
вительности модели расходомера использовался
дополнительный крутящий момент от источника
колебаний.
Однако, применение 1D-моделей ограничено
простыми конфигурациями расходомерной трубки,
и не позволяет исследовать влияние различных
характеристик потока на выходной сигнал расхо-
домера [23]. Численные 1D-модели, также, как и
аналитические, используют слабосвязные алгоритмы
сопряжения между решением задачи гидродинамики
и задачи механики твердого тела и не учитывают
итеративное взаимное влияние протекающего потока
на расходомерную трубку и движение самой трубки
[24]. Между тем движение расходомерной трубки
воздействует на поле скорости потока жидкости,
которое, в свою очередь, также влияет на движение
трубки. Для учета этого влияния необходимы
итерационные модели FSI с «двусторонней связью»
[24].
Впервые такую модель предложили Bobovnik
и соавт. [26], которые на основании раздельного
численного подхода рассмотрели взаимодействие
жидкости с конструкцией в прямой измерительной
трубе кориолисова расходомера и оценили влияние
профиля скорости на точность работы расходомера.
Авторы использовали комбинацию метода конеч-
ного объема FVM (Finite-Volume Method) для
описания движения потока жидкости и метода
конечных элементов FEM (Finite-Element Method)
для моделирования конструкции трубки. Течение
потока описывалось уравнениями Навье-Стокса,
усредненными по Рейнольдсу (RANS), а расходомерная
трубка моделировалась как оболочечная структура
[23]. Авторы использовали этот подход, чтобы найти
собственные частоты и разность фаз в прямотрубном
кориолисове расходомере.
Позже [27] они расширили численную модель [26]
для учета вынужденных вибраций расходомерной
трубки при различных скоростях потока, а затем [28]
для изучения влияния ошибок монтажа кориолисового
расходомера на точность его показаний.
Численную модель [26] использовали другие
исследователи для изучения влияния потока жидкости
на точность показаний кориолисовых расходомеров.
Enz [29] изучал зависимость временного сдвига от
профиля скорости путем моделирования на основе
данной модели. Kumar и соав. [30] исследовали
влияние потоков жидкости с малыми числами
Рейнольдса на работу кориолисовых расходомеров с
использованием разделенной модели FSI.
Романов и Бескачко [31] с помощью технологии
FSI проводили 3D-моделирование колебаний трубки
расходомера для идеальной жидкости. Выявлено, что
величина фазового сдвига, регистрируемая расхо-
домером, зависит как от распределения гироско-
пических сил, так и от связанности колебательной
и информационной подсистемы возбуждения. Рас-
смотрены различные формы расходомерных трубок
и для каждой из них установлена зависимость
распределения фазового сдвига от перемещения
датчиковой аппаратуры по длине трубки. Отмечено,
что оптимизация формы расходомерной трубки
по критерию максимальности фазового сдвига
ограничена взаимным влиянием колебательной
системы расходомера и системой детектирования
данных.
Яушев и соав. [32] на основе метода конечных
элементов предложили модель расходомера, позво-
ляющую оценить влияние изменений его размеров
и плотности рабочей среды на рабочую частоту
прибора. С помощью численных расчетов и экспе-
риментальным путем определены формы колебаний
кориолисова расходомера, которые затем были
подтверждены модальными испытаниями.
В следующей своей работе [33] они выявили
влияние на стабильность нуля упругодемпфирующих
свойств, закрепленного двухтрубного кориолисового
расходомера. Установлено, что на величину смеще-
ния нуля оказывают совместное влияние три
фактора: наличие вблизи рабочей частоты одной из
собственных частот системы «кориолисов расходомер
– трубопроводы»; величина демпфирования и
дисбаланс двух измерительных трубок. Выявлено,
что при сближении собственной частоты системы
«кориолисов расходомер – трубопроводы» с рабочей
частотой прибора разность фаз колебаний двух
измерительных трубок менялась на порядок больше,
чем влияние смещения нуля. В связи с этим ее
предложено использовать при диагностике смещения
нуля, вызванного влиянием условий закрепления.
Кроме метода конечных объемов FVM для чис-
ленного моделирования гидродинамики потока
жидкости в расходомере используют также метод
решеток Больцмана LBM (Lattice Boltzmann Me-
thod) [34, 35]. Высокоэффективный параллельный
алгоритм этого метода, возможность применения к
разным режимам гидродинамики потока и различным
конструкциям расходомерной трубки представляют
большие возможности для исследования влияния
различных параметров на работу кориолисовых
расходомеров.

62 XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. 2022. Т. 11. №3 (59)
Информатика, вычислительная
техника и управление
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ И АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ…
Гудкова Екатерина Александровна, Таранцева Клара Рустемовна, Михеев Михаил Юрьевич
Последние публикации [5, 23, 26] по числен-
ному моделированию кориолисовых расходомеров
направлены поиск единых методологий моделиро-
вания, повышение точности и экспериментальное
подтверждение результатов.
В исследовании [36] проанализированы характе-
ристики расходомера Кориолиса с использованием
CFD-моделирования, основанного на итеративном
двустороннем FSI анализе и экспериментальных
измерениях.
Авторы [23] отметили, что до сих пор нет
единого мнения о выборе модели турбулентности
для моделирования работы U-образной или омега-
образной трубок расходомера. Сравнение различных
моделей турбулентности показало, что базовая
модель напряжений Рейнольдса (RSM) обеспечивает
более высокую точность по сравнению с моделью
турбулентности сдвигового напряжения на основе
вихревой вязкости (SST), поскольку RSM более точно
отражает кривизну потока. Авторы пришли к выводу,
что при исследованиях необходимо учитывать
массу датчиков, способ крепления расходомерной
трубки, кроме того, следует отказаться от концепции
эквивалентной длины трубки [23].
В работе [25] представлен обзор литературы,
посвященный моделям FSI различных систем
трубопроводов. Однако из 187 рассмотренных
работ только 7 имеют практическое применение.
Сделан вывод [5], что для создания более точных
и востребованных моделей FSI необходимо парал-
лельно проводить их экспериментальную проверку
на находящихся в эксплуатации кориолисовых
расходомерах.
Обсуждение. Приведенные выше результаты
показывают, что аналитические модели позволяют
более точно рассчитать временную задержку между
сигналами датчиков расходомера, и вычислить
массовый расход. Кроме того, они позволяют
установить зависимости влияния конкретных фак-
торов (температуры, давления жидкости и пр.) на
точность измерения массового расхода. Однако, из-за
того, что взаимное влияние жидкости и расходомерной
трубки в аналитических моделях сильно упрощено,
с помощью аналитических моделей нельзя учесть
все факторы, оказывающие влияние на точность
измерения.
Численное моделирование более перспективно для
изучения влияния гидродинамики потока на работу
кориолисовых расходомеров. Различают два подхода
при численном моделировании FSI.
В первом подходе используют модели FSI,
основанные на теории балок или оболочек и
1D-модели жидкой среды, со слабосвязными алго-
ритмами сопряжения подзадач.
Второй подход основан на применении двусто-
ронней итеративной FSI-модели с жесткосвязными
алгоритмами сопряжения модели расходомерной
трубки (FEM) и 3D-модели жидкой среды (CFD).
В первом случае расходомеры исследуют путем
разработки моделей с более низкой точностью и
рядом допущений [5]. Такие модели неприменимы
для сложных конструкций расходомерной трубки,
кроме того они не позволяют исследовать влияние
характеристик потока на выходной сигнал
расходомера.
Общим недостатком подходов со слабосвязными
алгоритмами сопряжения является то, что они
не позволяют определять собственные частоты,
зависящие от геометрии трубки, свойств материала
и не учитывают взаимодействие в системе
«расходомерная трубка – жидкость», что приводит к
отклонениям в моделируемом поведении системы от
реальности [5].
Во втором случае проводят 3D-моделирование на
основе совместно использования метода конечного
объема для описания движения потока жидкости и
метода конечных элементов FEM для моделирования
конструкции трубки. Такой подход позволяет достичь
более высокой точности.
Таким образом, для исследования задачи FSI на
практике, т.е. для улучшения точности кориолисовых
расходомеров, находящихся в эксплуатации, рекомен-
дуется использовать двусторонние итеративные FSI-
модели с жесткосвязными алгоритмами сопряжения
модели расходомерной трубки (FEM) и 3D-модели
жидкой среды (CFD). При этом в качестве базовой
модели турбулентности использовать RSM-модель.
К ограничениям данных моделей можно отнести
высокую стоимость и сложность вычисления на
отдельных вычислительных машинах, поэтому
применение алгоритмов высокоточных численных
моделей для компенсации погрешностей расходомера
на месте эксплуатации в режиме реального времени,
в настоящее время затруднительно ввиду высоких
вычислительных и временных затрат.
Выводы. На основании сравнительного анализа
результатов моделирования процессов, протекающих
в системе «расходомерная трубка – жидкость»
в кориолисовых расходомерах установлено, что
аналитические модели позволяют выявить влияние
температуры, давления и пульсации потока на
точность измерения массового расхода в кориоли-
совых расходомерах, а также получать упрощенные
модели описываемой системы без специального
программного обеспечения. Возможность применения
аналитических моделей ограничена простой формой
расходомерной трубки и строго ограниченной
областью применимости.
Численные методы моделирования системы
«расходомерная трубка – жидкость» FSI с жест-
косвязным алгоритмом сопряжения позволяют
проводить оценку конструкции расходомера, а именно
определять точки установки датчиков и источника
колебаний, выявлять участки возникновения турбу-
лентности, рассчитывать опарафинивание трубки
и его влияние на скорость протекания жидкости,
рассчитывать амплитуду и частоту колебаний в
зависимости от формы расходомерной трубки и др.

63
XXI century: Resumes of the Past and Challenges of the Present plus. 2022. V. 11. №3 (59)
Information Science, Computing
Devices and Controling COMPARATIVE ANALYSIS OF NUMERICAL AND ANALYTICAL METHODS FOR MODELING THE…
Gudkova Ekaterina Aleksandrovna, Tarantseva Klara Rustemovna, Mikheev Mikhail Yurievich
Возможность применения численных 3D-моделей
ограничена высокими вычислительными и времен-
ными затратами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Kazahaya M. A mathematical model and error analysis of
Coriolis mass owmeters // IEEE Trans. Instrum. Meas. 2010. №
60. P. 1163-1174. DOI: 10.1109/TIM.2010.2086691.
2. Романов В.А., Тараненко П.А. Оценка диссипативных
свойств колебательной системы серийного образца
расходомера Кориолиса // Вестник Пермского национального
исследовательского политехнического университета.
Механика. 2020. № 2. С. 134-144. DOI: 10.15593/perm.
mech/2020.2.11.
3. Кузьмин И.М., Тонков Л. Е. Распределенные вычис-
ления в сопряженных задачах взаимодействия течений
газа и многих деформируемых тел // Известия Института
математики и информатики Удмуртского государственного
университета. 2020. Т. 56. С. 30-40. DOI: 10.20537/2076-7633-
2014-6-1-79-97.
4. Копысов С.П., Кузьмин И.М., Недожогин Н.С., Новиков
А.К., Рычков В.Н., Тонков Л.Е. Квазиньютоновский метод для
неявного связывания сопряженных задач FSI. Химическая
физика и мезоскопия. 2015. Т. 17. №4. C. 523-530.
5. Birjandi A.K., Sh. Shayegan, K.-U. Bletzinger, R. Wüchner.
Development of a high-delity partitioned Fluid-Structure Inter-
action model of an Omega-shaped Coriolis Mass Meter and com-
parison with experimental data. Journal of Fluids and Structures.
2022. V. 110. 103510. DOI:10.1016/j.juidstructs.2022.103510.
6. Hon A. Numerical methods for uid-structure interaction
– a review. Commun. Comput. Phys. 2012. № 12. P. 337-377.
DOI:10.4208/cicp.291210.290411s.
7. Degroote J., Bathe, K.J., Vierendeels, J. Performance of
a new partitioned procedure versus a monolithic procedure in
uid-structure interaction. Comput. Struct. 2009. № 87. P. 793-
801. DOI:10.1016/j.compstruc.2008.11.013.
8. Sultan G., Hemp J. Modelling of the Coriolis mass ow-
meter // Journal of Sound and Vibration. – 1989. – V. 132 (3). – P.
473-489.
9. Kutin J.; Bajsi´c I. An analytical estimation of the Coriolis
meter’s characteristics based on modal superposition. Flow Meas.
Instrum. 2002. № 12. P. 345-351
10. Guirguis Samer, ShangChun Fan, Modeling of Corio-
lis mass ow meter of a general plane-shape pipe, Flow Meas.
Instrum. 2010. V. 21 (1). P. 40-47. DOI:10.1016/j.owmeasin-
st.2009.11.004.
11. Bobovnik G., Kutin J., Bajsić I. The eect of ow con-
ditions on the sensitivity of the coriolis owmeter. Flow Meas.
Instrum. 2004. V. 15. P. 69-76. DOI:10.1016/j.owmeasin-
st.2003.12.001.
12. Stack C.P. Design and Analysis of Coriolis Mass Flowme-
ters using MSC/NASTRAN / C.P. Stack //Conf. on MSC World
Users., 1993. P. 1-17.
13. Stack C.P. A nite element for the vibration analysis of
a uid-conveying Timoshenko beam / C.P. Stack, R.B. Garnett,
G.E. Pawlas // Proceedings of the 34th AIAA/ASME structures,
structural Dynamics and Material Conference. 1993. V. 4. P. 2120-
2129.
14. Wang T., Baker R.C. An advanced numerical model for sin-
gle straight tube Coriolis owmeters // Journal of Fluids Enginee-
ring. 2006. Vol. 128. I. 6. P.1346-1350. DOI:10.1115/1.2353266.
15. Ruo J., Hodapp M., Kück H. Finite element modelling
of Coriolis mass owmeters with arbitrary pipe geometry and
unsteady ow conditions // Flow Measurement and Instrumen-
tation. 2014. V. 37. P. 119-126. DOI:10.1016/J.FLOWMEASIN-
ST.2014.03.010.
16. Belhadj A., Cheesewright R., Clark C. The simulation of
Coriolis meter response to pulsating ow using a general purpose
fecode. J. Fluids Struct. 2000. № 14. P. 613-634.
17. Cheesewright R., Clark C. The eect of ow pulsations on
Coriolis mass ow meters. J. Fluids Struct. 1998. № 12. P. 1025-
1039.
18. Cheesewright R., Belhadj A., Clark C. Eect of mecha-
nical vibrations on Coriolis mass ow meters, J. Dyn. Syst. Meas.
Contr. 2003. 125(1). DOI:10.1115/1.1539098.
19. Wang L.J., Hu L., Zhu Z.C., Ye P., Fu X. Analytical cal-
culation of sensitivity for Coriolis mass owmeter. 2011. № 44. P.
1117-1127. DOI:10.1016/j.measurement.2011.03.011.
20. Zheng D., Wang S., Bei, L., Fan S. Theoretical analysis
and experimental study of Coriolis mass ow sensor sensiti-
vity. Journal of Fluids and Structures. 2016. № 65. P. 295-312.
10.1016/j.juidstructs.2016.06.004.
21. Raszillier H., Durst F. Coriolis-eect in mass ow mete-
ring, Arch. Appl. Mech. 1991. 61 (3). P. 192-214.
22. Ford C.L. A simple parametric design model for straight-tu-
be Coriolis ow meters, Flow Measurement and Instrumentation.
2021. V. 79. 101958. DOI:10.1016/j.owmeasinst.2021.101958.
23. Shavrina E., Nguyen V.-T., YanZ., Khoo B.C. Fluid-So-
lid Interaction Simulation Methodology for Coriolis Flowmeter
Operation Analysis. Sensors. 2021. № 21. 8105. DOI:10.3390/
s21238105.
24. Wang T., Baker R. Coriolis owmeters: a review of de-
velopments over the past 20 years, and an assessment of the state
of the art and likely future directions // Flow Measurement and
Instrumentation. 2014. V. 40. P. 99-123. DOI: 10.1016/j.owmea-
sinst.2014.08.015.
25. Li S., Karney, B.W., Liu, G. Fsi research in pipeline sys-
tems-a review of the literature. J. Fluids Struct. 2015. 57. P. 277-
297. DOI:10.1016/j.juidstructs.2015.06.020.
26. Bobovnik G., Mole N., Kutin J., Štok B., Bajsi´c, I. Cou-
pled nite-volume/nite-element modelling of the straight-tu-
be Coriolis owmeter. J. Fluids Struct. 2005. 20. P. 785-800.
DOI:10.1016/j.juidstructs.2005.04.008.
27. Mole, N., Bobovnik, G., Kutin, J., Štok, B., Bajsi´c, I.
An improved three-dimensional coupled uid-structure model
for Coriolis owmeters. J. Fluids Struct. 2008. 24. P. 559-575.
DOI:10.1016/j.juidstructs.2007.10.004.
28. Bobovnik G., Kutin J., Mole N., Štok B., Bajsić I. Nume-
rical analysis of installation eects in Coriolis owmeters: A case
study of a short straight tube full-bore design, Flow Measurement
and Instrumentation. 2013. V. 34. P. 142-150. DOI:10.1016/j.ow-
measinst.2013.10.004
29. Enz S. Factors Aecting Coriolis Flowmeter Accuracy,
Precision, and Robustness. Kgs. Lyngby, Denmark: Technical
University of Denmark, 2010. 210 p. (DCAMM Special Report;
No. S119).
30. Kumar V., Anklin M., Schwenter B. Fluid-Structure Inter-
action (FSI) Simulations on the Sensitivity of Coriolis FlowMeter
Under Low Reynolds Number Flows //Proceedings of the 15th
Flow Measurement Conference (FLOMEKO), Taipei, Taiwan.
2010. P. 13-15.
31. Романов В.А., Бескачко В.П. Идентификация гирос-
копических сил в колебательной системе расходомера
Кориолиса // Вестник Пермского национального иссле-
довательского политехнического университета. Механика.
2021. № 3. С. 129-140. DOI: 10.15593/perm.mech/2021.3.12
32. Yaushev A.A., Taranenko P.A., Loginovskiy V.A. Stu-
dy of the oscillation modes of a Coriolis owmeter using a pa-
rametric nite element model, veried by the results of modal
testing, Procedia Eng. 2016. 150. P. 336-340. DOI:10.1016/j.pro-
eng.2016.07.027.
33. Яушев А.А. Расчетно-экспериментальное иссле-
дование стабильности нуля кориолисового расходомера в
зависимости от упругодемпфирующих свойств закрепления
/ А.А. Яушев, П.А. Тараненко //Вестник Южно-Уральского
государственного университета. Серия: Машиностроение.
2019. Т. 19. № 1. C.47-55. DOI: 10.14529/engin190105.
34. Haussmann M., Reinshaus P., Simonis S., Nirschl H.,
Krause M.J. Fluid-Structure Interaction Simulation of a Corio-
lis Mass Flowmeter Using a Lattice Boltzmann Method. Fluids.
2021. № 6. P. 167. DOI:10.3390/uids6040167
35. Krause M.J., et al. OpenLB – Open source lattice Boltz-
mann code, Computers & Mathematics with Applications. 2021.
V.81. P.258-288. DOI:10.1016/j.camwa.2020.04.033.
36. Gace D.A. On the performance of a Coriolis Mass Flow-
meter (CMF): experimental measurement and FSI simulation.
Int. J. Metrol. Qual. Eng. 2022. V.13. id.3. P.15. DOI: 10.1051/
ijmqe/2022002.
Статья поступила в редакцию 01.08.2022
Статья принята к публикации 16.09.2022