Content uploaded by Stanislau Dounar
Author content
All content in this area was uploaded by Stanislau Dounar on Jul 01, 2022
Content may be subject to copyright.
INFORMATION TECHNOLOGIES IN EDUCATION 67
2, 2022 SYSTEM ANALYSIS AND APPLIED INFORMATION SCIENCE
УДК 621.9.011:517.962.1
DOI: 10.21122/2309-4923-2022-2-67-75
С. С. ДОВНАР, А. М. АВСИЕВИЧ, А. Д. ЛАПУКА, Д. Н. ШВЕДОВА, А. В. РОДЕНЯ
МКЭ-АНАЛИЗ НАПРЯЖЕНИЙ ПИЗАНСКОЙ БАШНИ КАК ПУТЬ ОСВОЕНИЯ
СТУДЕНТАМИ СФЕРЫ ВИРТУАЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ
Белорусский национальный технический университет
Выполнена МКЭ-оценка напряженного состояния Пизанской башни. Виртуальные испытания проведены для
проектного вертикального и реального наклонного состояний. Выявлено несовместность деформирования барабана ко-
лонн и ствола башни. Обнаружено двукратное перенапряжение колонн нижнего яруса. Выявлены концентраторы сжа-
тия в башне. Концентрация напряжений сопровождает винтовой ход внутри ствола. Описан дуговой концентратор
сжатия, возникающий на переходе от ствола к базису. Даны рекомендации по мониторингу системы.
Собран методический опыт, позволяющий студентам полноценно участвовать в командной работе в серьез-
ных виртуальных испытаниях в сфере CAE.
Ключевые слова: МКЭ; компьютерный аудит; образование студентов; ANSYS; историческая несущая систе-
ма; Пиза; наклонная башня; концентратор сжатия; несовместность деформаций; напряжение; живучесть; монито-
ринг.
Вокруг становится все больше исторических
несущих систем (ИНС), которые нуждаются в компью-
терном моделировании в целях аудита и, возможно, в
реновации. Часть систем являются хорошо известны-
ми. Они могут нести в структуре важные инженерные
идеи и раскрывать тонкости проблем прочности. Ком-
пьютерный аудит ИНС мог бы быть инструментом
обучения студентов виртуальным испытаниям. Такое
обучение должно оказаться живым, и эффективным
процессом. В этом ключе в CAE-системе ANSYS была
выполнена поисковая работа, посвященная прочности
Пизанской башни (рис.1).
а б в
Виртуальные испытания выполнялись группой
преподавателей и студентов 2-го курса в течение семе-
стра. Студенты только начали изучение МКЭ и ANSYS.
Результаты моделирования заранее не были известны.
Студенты сыграли равноправные роли в команде и
справились с моделированием. Поэтому проект имеет
определенную методическую ценность.
Объект изучения. 3D-модель Пизанской
башни
Пизанская башня (Leaning Tower) является из-
вестным историческим инженерным сооружением (рис.1,
а) XII-го века [1, 2]. История склонения башни многократ-
но описана. Её опасный наклон был остановлен и умень-
шен совсем недавно [3]. Итальянские инженеры сделали
это путем управления грунтом и фиксации его [4].
Фокус данного исследования направлен на саму
башню. Её представляет 3D-модель (рис.1 б, в), постро-
енная в CAD-модуле. Модель подвергается виртуальным
испытаниям в CAE-модуле с помощью метода конечных
элементов (МКЭ) [5]. Цель исследования – выявление и
оценка напряженно-деформированного состояния (н.д.с.)
несущей системы (НС) башни. Современные работы по
МКЭ-анализу были направлены на поведение нижележа-
щих грунтов [6, 7]. Проблемы напряженного состояния
собственно башни оставались в тени.
Особенность исследования – анализ двух слу-
чаев нагружения (LC – load cases) башни силой тяжести.
Во-первых, это вертикальное положение (LC-vert), когда
башня стоит согласно средневековому проектному реше-
нию. Во-вторых, это наклонное положение (LC-lean), когда
башня отклонена от вертикали на угол = 5,5° (максима-
Рис.1. Пизанская башня на историческом рисунке (а), 3D-модель (б) и
структурные детали несущей системы (в): B, M, T – фундаментные диски;
1 – полуколонна базиса 2; 3 – колонны первого яруса; 4a и 4b – ствол; 5 – ход
в стволе; 6 – колонна 2-го яруса
CИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА 2, 2022
68 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ОБРАЗОВАНИИ
льный угол из наблюдавшихся).
Рис.2. Базовая секционная 3D-модель Пизанской башни: а – общий вид; б –
нижняя часть со скрытой половиной базиса; в – базис BS с фундаментным
кольцом T снизу и первой колоннадой C1 сверху
Примененная в работе 3D-модель представле-
на на рис.2. Общий вид башни от фундамента (диски
B, M, T) до верхушки TT представлен на рис.2, а. Пары
маркеров C1, S1 и C6, S6 указывают соответственно на
первый и шестой ярусы барабана колонн.
Вырез в базисе BS (рис.2, б) позволяет увидеть
полую сердцевину башни (воздушный колодец well).
Базис BS и полый ствол Tr башни видны на рис.2, в.
В колоннаде C1 каждая колонна является отдельным
солидом. Базис декорирован и усилен снаружи полуко-
лоннами HC, имеющими локальные базы снизу и капи-
тели сверху.
На рис.2 в разрезы дважды попадает винтовой
ход HP. Видны все шесть колоннад от C1 до C6. Над
каждой колоннадой находится аналогичный карниз S
(например, S2 над C2). Вместе одноименные колоннада
и карниз формируют ярус башни.
Из общей 3D-модели для МКЭ-анализа были
выделены модели двух несущих систем башни. Наруж-
ная несущая система «Барабан колонн» (БК) вместе с
базисом и фундаментом представлена на рис.2, г. Глав-
ной её частью является система колонн CD. Это колон-
нады и карнизы, сцепленные только друг с другом.
Внутренняя несущая система «Ствол» (СТ) –
это пустотелый цилиндр Tr (рис.2, д). Под стволом рас-
полагаются базис с фундаментом. На рис.2, е показан в
разрезе наружный полуцилиндр ствола. Поэтому хоро-
шо видна трасса винтового хода HP.
Граничные условия и параметры МКЭ-модели
Граничные условия для случая нагружения
LC-vert представлены на рис.3, а. Здесь испытывают
параллельно обе несущие системы «Барабан колонн»
(слева) и «Ствол» (справа). Каждой НС придан свой ба-
зис и фундамент. Фундамент жестко закреплен снизу.
На сооружение действует только сила тяжести. Испы-
тание башни в наклонном состоянии LC-lean показано
на рис.3, б. (угол = 5,5° ).
INFORMATION TECHNOLOGIES IN EDUCATION 69
2, 2022 SYSTEM ANALYSIS AND APPLIED INFORMATION SCIENCE
Неравномерное напряжение башни после на-
клона иллюстрирует рис.3, в. Здесь показана регуляр-
ная изменчивость напряжений сжатия на стенках вин-
тового хода.
Данная работа связана, в основном, со стати-
ческим анализом. Для обзора ситуации выполнен ряд
модальных решений (поиск резонансных мод). В ба-
зовом структурном варианте башня моделируется ли-
нейно, как система упругих солидов, подчиняющихся
закону Гука.
Механические свойства материалов (прежде
всего, мрамора для башни и бетона для фундамента) со-
браны в табл.1 [8, 9]. Проблема заключается в том, что в
толще стен базиса и ствола может находится кладка из
более дешевых, чем мрамор, материалов. Однако, точ-
ная информация о таком наполнителе не обнаружена.
В результате, было решено ввести модельную
кладку – виртуальный материал, обобщенно представ-
ляющий совокупность мраморной кладки и неопреде-
ленных наполнителей стен. Достоинством данного ма-
териала является соответствие его экспериментальным
данным по собственным частотам башни. Первые два
резонанса башни являются изгибными и находятся в
диапазоне 0,95 – 1.1 Гц [3,4]. Назначение башне модель-
ной кладки дает в МКЭ-расчете собственные частоты,
равные ~1,05 Гц. Следовательно, данный материал реа-
листичен.
Исходя из свойств материалов – аналогов,
следует считать опасными напряжения сжатия уже на
уровне 5 – 10 МПа. Более высокие уровни прочности
можно принимать только после дополнительных натур-
ных исследований [10].
Виртуальное испытание вертикальной башни
(LC-vert)
Вначале две виртуальные вертикальные башни
испытываются силой тяжести (рис.4, а). Левая башня
представляет НС «Барабан колонн» (БК), а правая – НС
«Ствол» (СТ). Базисы и фундаменты у башен одинако-
вые. Фундаменты выполнены из бетона, а башни – из
мрамора.
70 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ОБРАЗОВАНИИ
CИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА 2, 2022
Неравномерное напряжение башни после на-
клона иллюстрирует рис.3, в. Здесь показана регуляр-
ная изменчивость напряжений сжатия на стенках вин-
тового хода.
Данная работа связана, в основном, со стати-
ческим анализом. Для обзора ситуации выполнен ряд
модальных решений (поиск резонансных мод). В ба-
зовом структурном варианте башня моделируется ли-
нейно, как система упругих солидов, подчиняющихся
закону Гука.
Механические свойства материалов (прежде
всего, мрамора для башни и бетона для фундамента) со-
браны в табл.1 [8, 9]. Проблема заключается в том, что в
толще стен базиса и ствола может находится кладка из
более дешевых, чем мрамор, материалов. Однако, точ-
ная информация о таком наполнителе не обнаружена.
В результате, было решено ввести модельную
кладку – виртуальный материал, обобщенно представ-
ляющий совокупность мраморной кладки и неопреде-
ленных наполнителей стен. Достоинством данного ма-
териала является соответствие его экспериментальным
данным по собственным частотам башни. Первые два
резонанса башни являются изгибными и находятся в
диапазоне 0,95 – 1.1 Гц [3,4]. Назначение башне модель-
ной кладки дает в МКЭ-расчете собственные частоты,
равные ~1,05 Гц. Следовательно, данный материал реа-
листичен.
Барабан колонн и ствол проседают под соб-
ственным весом почти одинаково: 0,97171 мм и 0,83397
мм по вертикали. Получается, что БК немного подат-
ливее (в 1,09 раза). Однако, в целом, системы БК и СТ
вполне совместимы в смысле гравитации. При соедине-
нии этих НС в башню (рис.5, б) осадка составляет 0,88
мм (0,306 мм над базисом).
Главной чертой картины эквивалентных на-
пряжений (рис.4, б) является выпучивание колонна-
ды C1 наружу и её избирательное нагружение. Маркер
указывает на достижение здесь существенного уровня
в 2,5721 МПа. На третьем ярусе, в колоннаде C3 напря-
жение составило только 1,2905 МПа (в 1,99 раз
меньше). Следовательно, колонны семейства C1 явля-
ются в башне самыми нагруженными объектами (даже
в проектном, вертикальном положении башни). Это
указывает на некоторую несовместность проседания
систем БК и СТ.
Распределение эквивалентных напряжений
создается в башне почти полностью картиной мини-
мального главного напряжения , отражающего рас-
пределение сжимающих усилий (рис.5).
INFORMATION TECHNOLOGIES IN EDUCATION 71
2, 2022 SYSTEM ANALYSIS AND APPLIED INFORMATION SCIENCE
В вертикальном сечении башни (рис.5, а) вид-
но, что колонны с 6-го по 2-ой ярус нагружены умерен-
но. Сжимающее осевое напряжение в них увеличива-
ется плавно с -0,42215 до -1,791 МПа. Такие уровни не
угрожают прочности башни. На первом ярусе колонна-
да C1 сжата сильнее (-2,3647 и -2,3712 МПа). Однако,
здесь достигается только половина минимального до-
пустимого напряжения на сжатие мрамора =
=5МПа.
Напряжения в стене ствола (правая часть рис.
5, а) растут по абсолютной величине сверху вниз (от
-0,32158 до -1.1282 МПа), но они всегда меньше, чем
напряжения сжатия в соответствующих по ярусу колон-
нах. Например, на 2-ом ярусе сжатию в колонне -1,791
МПа отвечает сжатие в стене -1.1282 МПа (меньше в
1,58 раза).
Итак, при совместной работе несущих систем
БК (колонны) и СТ (ствол) стена ствола оказывается
нагружена примерно в полтора раза меньше, чем рав-
но-высотные колонны. Следовательно, барабан колонн
несколько перегружен. Полностью «равнопрочного»
распределение веса между двумя несущими конструк-
циями не достигается.
Это подтверждается рассмотрением стыка
ствола и базиса (рис.5, б). Видно выпучивание колонн
1-го яруса. Здесь напряжение σ3 достигает -2,3785 МПа,
в то время как рядом, в глубине стены, оно составляет
только -1,2871 МПа (почти двукратное различие).
На рис.5, б хорошо видна концентрация на-
пряжений в винтовом ходе (в разрезе ход открывается
дважды – маркеры -1,982 и -1,5076 МПа). Сжимаются
именно стенки по обоим сторонам хода. Об этом гово-
рит, например, маркер -1,982 МПа. Вдали от винтового
хода (но на той же высоте) стена сжата в полтора раза
слабее – маркер -1,2871 МПа.
Маркер -1,5076 МПа указывает на винтовую
полосу концентрации σ3, поворачивающую вверх и
направо по внутренней поверхности ствола. Итак, вин-
товой ход сопровождается винтовой концентрацией на-
пряжений по обеим сторонам от него.
Виртуальное испытание наклонной башни
(LC-lean)
Нагружение наклонной башни собственным
весом (вариант LC-lean) отражено на рис.6. (наклон
αT=5°30’ ). На картине векторов главных напряжений
(рис.6, а) видны почти исключительно синие вектора
минимального главного напряжения σ3. Красные и зе-
леные вектора главных напряжений σ1, σ2 практически
отсутствуют. Следовательно, в башне доминирует од-
ноосное сжатие. Стыки блоков не будут раскрываться
и не произойдет разборки сооружения, например, осво-
бождения колонн.
На рис.6 видно, что внутренняя сторона изгиба
(справа) напряжена гораздо больше, чем внешняя сто-
рона (слева). На внешней стороне вектора напряжения
σ3 почти отсутствуют. При увеличении угла наклона
место слабого сжатия будет занято одноосным растяже-
нием. Это опасно и нежелательно для каменного соору-
жения.
На внешней стороне изгиба на распределении
эквивалентного напряжения σe наблюдаются 4 кон-
центратора напряжений. Все концентраторы являются
очагами сжатия. Концентратор 1c (σe=4,7 МПа) соот-
ветствует колонне нижней колоннады. Концентратор
2c (4,2466 МПа) связан с переходом от ствола к базису.
Концентратор 3c (3,7224 МПа) возникает на стыке бази-
са и фундаментного блока. Концентратор 4c относится
к винтовому ходу.
Слева на рис.6, б, на внешней стороне изгиба,
напряжения малы и не превышают 0,2 МПа. Это неже-
лательный эффект для составного сооружения. Стыки
оказываются незафиксированными сжатием. Таким
образом, угол наклона башни αT=5,5° можно считать
приблизительно предельным.
Итак, МКЭ-расчеты указывают, что нижняя
колоннада C1 является критически нагруженной си-
стемой. Возможен её полный или частичный выход
из строя. Важно оценить связь колоннады C1 с живу-
честью башни. Поэтому пару башен виртуально испы-
тали по LC-lean, когда одна башня содержит все кон-
72 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ОБРАЗОВАНИИ
CИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА 2, 2022
структивные элементы (рис.7, а), а во второй нижняя
колоннада отсутствует (рис.7, б).
Исключение колоннады C1 приводит к небольшому
росту горизонтального отклонения верхушки башни
(в 1,07 раза). Главное, картина σe без C1 (рис.7, б) по-
казывает, что самым напряженным (5,0724 МПа) стал
наружный участок ствола с изгибаемой стороны. В
присутствии колоннады в этом месте напряжения со-
ставляли 4,1123 МПа (рис.7, а).
Следовательно, исчезновение колоннады C1
повышает напряжения в мраморе башни в 1,23 раза.
Это изменение н.д.с. является существенным, но не
принципиальным. Получается, что ствол наклонной
башни способен справляться с гравитационной нагруз-
кой даже в случае отключения самого нагруженного
яруса колонн C1.
Важно рассмотреть подробности н.д.с. и кон-
центраторы сжатия на рис.7, в. Во-первых, выявляется
сильное сжатие колонны (4,7604 МПа – 1c). Во-вторых,
обнаруживается в форме дуги эффект 2c. Будем на-
зывать его далее ДКС - дуговой концентратор сжатия
(дуга от 4,3398 до 3,5861 МПа). В-третьих, наблюдается
перегруженный район в глубине стены базиса 4,3398 -
2,9711 – 3,2104 МПа. Он связан с концентратором 4c и
обусловлен прохождением винтового хода вблизи ДКС.
Поля напряжений вокруг хода взаимодействуют с поля-
ми напряжений возле внутреннего угла «ствол – базис».
В результате возникает перенапряженная область.
В стене ствола напряжения больше на наруж-
ном диаметре (1,6112 – 1,9076 – 2,2456 МПа). Они из-
меняются в 1,39 раза. Важно отметить, что стена ствола
нагружена слабее (2,2456 МПа), чем соседствующая
колонна (4,7604 МПа). Напряжения различаются в 2,11
раза.
Картины минимального главного напряжения
σ3 (сжатие) даны на рис.8. Подтверждается (рис.8, а),
что колонны первого яруса со стороны наклона силь-
но сжаты (-4,7494 МПа). Они должны первыми под-
вергнуться разрушению при возрастании нагрузки на
башню. Данные колонны были нагружены только до
σ3=-2,3785МПа при вертикальном положении баш-
ни (LC-vert). Следовательно, моделируемый наклон
αT=5°30’ в ситуации LC-lean увеличивает сжимающие
напряжения в 1,99 раз (двукратно).
На противоположной наклону стороне башни
сжимающие напряжения в колоннах приближаются к
нулю (-0,11278 МПа). В случае небольшого дополни-
тельного наклона башни напряжения в данных колон-
нах станут растягивающими. Это опасно из-за недопу-
стимой подвижности колонн, ведущей к обрушению
конструкции.
Итак, наклон αT=5°30’ близок к предельно до-
пустимому для Пизанской башни.
INFORMATION TECHNOLOGIES IN EDUCATION 73
2, 2022 SYSTEM ANALYSIS AND APPLIED INFORMATION SCIENCE
Если скрыть сжатые колонны на рис.8, а, то
за ними на рис.8, б становится хорошо виден (-4,3183
МПа) дуговой концентратор сжимающих напряжений
(ДКС). Визуально он связан с местом перехода ствола
в базис. ДКС является локализованным объектом. Он и
колонны C1 выглядят одинаково опасными с точки зре-
ния разрушений (напряжения в обоих местах близки:
-4,3183 и -4,7494 МПа). Локальность ДКС проявляется
в том, что немного выше по стволу сжимающие напря-
жения падают до -2,3173 МПа. Здесь сжатие кладки
примерно вдвое уступает сжатию колонн C1.
В горизонтальном сечении по первому ярусу видно
(рис.9), что колонны C1 подвергаются сжатию (-3,9165;
-4,3444; -4,5283; -4,3954; -3,9192 МПа). Это обусловле-
но внецентренным сжатием башни (совокупность осе-
вого сжатия и консольного изгиба).
Ствол неравномерно сжат (-2,2173; -2,2628; -2,2439;
-2,2751; -2,1137 МПа) со стороны наблюдателя. Эти на-
пряжения сжатия относительно невелики – они вдвое
меньше, чем отмечены в колоннах. По внутреннему
углу, сопрягающему опорное кольцо с базисом, прохо-
дит (-4,821 МПа) дуговой концентратор сжатия (ДКС).
Этот концентратор является сильным. Напряжения σ3
в ДКС и в самых нагруженных колоннах одинаковы. В
базисе сжимающие напряжения невелики.
Обсуждение
В целом, Пизанская башня по результатам
МКЭ-аудита выглядит вполне прочной конструкцией, в
которой есть только очаги сжатия. ДКС представляется
самым опасным концентратором. Через касательные
напряжения он может инициировать растрескивание
мраморных блоков во внутреннем угле «ствол – базис».
Это место нуждается в первоочередном мониторинге.
Относительно сильное сжатие нижних колонн
требует тензометрирования и сканирования. По истори-
ческим свидетельствам, которые нужно еще уточнить,
многие колонны заменялись за прошедшие восемь
столетий. Возможно, они растрескивались от сжатия.
Тогда новые колонны изготавливались «по месту» и
были немного короче. Это выравнивало распределение
напряжений между НС «Барабан колонн» и «Ствол».
Во всех случаях наклон башни более 5,5º недо-
пустим по соображениям её цельности.
Опыт, полученный студентами:
1. Студенты создали и настроили сложную
МКЭ-модель, включающую около полусотни конеч-
но-элементных сеток, многочисленные контактные
пары, различные материалы, структурные варианты и
случаи нагружения.
2. Наблюдали и испытали две параллельно
работающие несущие системы (НС) (барабан колонн и
ствол) и их неравномерную нагрузку.
3. Наблюдали эффект несовместности дефор-
маций НС, приводящий к сильному напряжению имен-
но нижней колоннады. Выявили эффект живучести
башни в случае выхода нижней колоннады из строя.
4. Изучили комплект различных концентрато-
ров напряжений. Сопоставили напряжения в них с до-
пустимыми. Наблюдали начало предельного состояния
системы (разгрузка колонн и приближение размыкания
контактных пар).
5. Сформулировали особенности н.д.с. башни
для её проектного вертикального положения и реально-
го наклонного положения.
6. Выявили путем варьирования, что в упругой
линейной статической задаче существующая неопре-
деленность в механических свойствах фундамента и
башни непринципиальна для ключевых картин напря-
жений.
Выводы по напряженному состоянию башни:
Барабан колонн Пизанской башни является бо-
лее нагруженной сжатием несущей системой, чем ствол
(до ~2 раз). Равнопрочного распределение веса в про-
ектном решении не достигается. Самыми напряженны-
ми являются колонны нижней колоннады C1.
Концентрация напряжений наблюдается в
кольцевом внутреннем угле на стыке базиса и ствола
(дуговой концентратор сжатия ДСК).
Винтовой ход является концентратором на-
пряжений. Его стенки нагружены сжимающими напря-
жениями в 1,5 – 2 раза выше, чем сплошные участки
ствола, расположенные на той же высоте. Винтовой ход
сопровождается винтовой концентрацией напряжений
74 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ОБРАЗОВАНИИ
CИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА 2, 2022
напряжений по обеим сторонам от него.
При наклоне башни на угол αT=5,5°, сжимаю-
щие напряжения в колоннах C1, обращенных наружу от
центра изгиба, близки к исчерпанию. При дальнейшем
наклоне в них появится растяжение, что опасно.
Наклон башни на угол αT=5,5°, увеличивает
сжимающие напряжения в колоннах C1 в два раза по
сравнению со строго вертикальной установкой башни.
Для наклона башни на угол αT=5,5° сжимаю-
щие напряжения в колоннах примерно вдвое выше, чем
на наружном диаметре ствола. Ствол способен взять на
себя нагрузку в случае выхода из строя колонн. Это обе-
спечивает живучесть башни.
ЛИТЕРАТУРА
1. Britannica Online Encyclopedia (2009) Leaning Tower of Pisa (Tower, Pisa, Italy). https://www.britannica.com/topic/
Leaning-Tower-of-Pisa
2. Black, C.B. (1898) The Riviera, or the Coast from Marseilles to Leghorn: Including the Interior Towns of Carrara, Lucca,
Pisa and Pistoia. A. & C. Black, London, 148.
3. J.B. Burland, M. Jamiolkowski, C. Viggiani (2003) The Stabilisation of the Leaning Tower of Pisa, Soils and Foundations,
Volume 43, Issue 5, Pages 63-80, https://doi.org/10.3208/sandf.43.5_63
4. Burland, J.B., Jamiolkowski M., Squeglia N. and Viggiani, C. (2013) The Leaning Tower of Pisa. In: Bilotta, E., Flora,
A., Lirer, S. and Viggiani, C., Eds., Geotechnics and Heritage, CRC Press, London, 207-227. https://doi.org/10.1201/b14965-11
5. ZIENKIEWICZ, O.C. and TAYLOR, R.L. (2000) The nite element method. Butterworth-Heinemann, vol. 1: Basis.
Oxford.
6. Geng, J. , Meng, Z. , Yin, B. and Zhu, L. (2020) Simulation on Sequential Construction Process and Structure of the Pisa
Tower. Journal of Building Construction and Planning Research, 8, 30-41. doi: https://doi.org/10.4236/jbcpr.2020.81003
7. Konstantina Papadopoulou, George Gazetas (2017) Leaning instability of the Tower of Pisa, re-examined by 3D F.E.
analyses. Proceedings of the 19th International Conference on Soil Mechanics and Geotechnical Engineering, Seoul.
8. Roca, P., Cervera, M., Gariup, G., & Pela’, L. (2010). Structural Analysis of Masonry Historical. Constructions. Classical
and Advanced Approaches. Archives of Computational Methods in Engineering, 17(3), 299–325. http://doi.org/10.1007/s11831-010-
9046-1
9. Palermo, M., Silvestri, S., Gasparini, G., Baraccani, S., & Trombetti, T. (2015). An approach for the mechanical
characterisation of the Asinelli Tower (Bologna) in presence of insufcient experimental data. Journal of Cultural Heritage. http://doi.
S. S. DOUNAR, A. M. AUSIYEVICH, A. D. LAPUKA, D. N. SHVEDOVA, A. V. RODENIA
FEA STRESS ANALYSIS OF THE TOWER OF PISA AS A WAY FOR STUDENTS TO
EXPLORE THE SPHERE OF VIRTUAL TESTING
Belarusian National Technical University
FEA of stress state for Pisa Tower is accomplished. Imaginary vertical orientation of the tower is simulated as
well as its actual leaning position too. Moderate deformational incompatibility between “column drum” and “stem” load-bear-
ing systems is revealed. Twofold overstressing of lower colonnade is found comparatively to the stem surface. Tower’s compres-
sive stress concentrators are described. The inner helical passage into stem causes a periodical stress concentration about 1.5
– 2 times in the passage vicinity. Arch compression concentrator tied to stem – basis transition is revealed. Places for priority
monitoring of marble masonry are pointed out.
Some methodic experience is gained due to lively and successful student participation in all phases of the Pisa Tower FEM sim-
ulation.
Keywords: FEA; computer audit; student education; ANSYS; legacy load-bearing system; Pisa; leaning tower;
concentrator of compression; strain incompatibility; stress; durability; monitoring.
Довнар Станислав Станиславович, к.т.н., доцент кафедры «Технологическое оборудование»
машиностроительного факультета БНТУ. Область научных интересов: виртуальные испытания
несущих систем в машиностроении и смежных областях, применение МКЭ в прочностных задачах,
МКЭ-анализ в бионике и биомиметике
Dounar S. S., candidate of technical sciences, docent, “Technological machines” department of mechanical
engineering faculty of BNTU. Fields of interest: FEA for load-bearing system optimization in machinery
and neighboring areas, simulation of strength-rigidity-durability tasks, FEA application in the bionics and
biomimetics.
Email: dovnar@bntu.by
INFORMATION TECHNOLOGIES IN EDUCATION 75
2, 2022 SYSTEM ANALYSIS AND APPLIED INFORMATION SCIENCE
Авсиевич Андрей Михайлович, к.т.н., доцент, декан факультета информационных технологий
и робототехники БНТУ. Область научных интересов: моделирование и МКЭ-анализ в сложных
механических системах, виброзащита и вибродиагностика машин и оборудования.
Ausiyevich A. M., candidate of technical sciences, docent, dean of informational technologies and
robotization faculty of BNTU. Field of interest: complex mechanical system modelling and FEA,
vibroisolation and vibrodiagnostics for machines and equipment.
Email: ausi@tut.by
Лапука Анастасия Дмитриевна, ассистент кафедры «Технологическое оборудование»
машиностроительного факультета БНТУ, магистрант. Область научных интересов: МКЭ-
моделирование и оптимизация в механических и бионических системах.
Lapuka A. D., assistant of “Technological machines” department of mechanical faculty of BNTU. Fields of
interest: FEA and optimization for load-bearing system of mechanical and bionic types.
Email: penkina@bntu.by
Шведова Дарья Николаевна, студентка 2-го курса машиностроительного факультета БНТУ.
Область научных интересов: 3D-моделирование, аддитивные технологии, виртуальные испытания
сложных механических систем с помощью МКЭ.
Shvedova D. N., student of the 2nd year of the mechanical engineering faculty of BNTU. Fields of
interest: 3D-modelling, additive technologies of fast manufacturing, FEA of complex load-bearing systems
concerning stress and stiffness management.
Email: dasha.shvedova111@gmail.com
Роденя Анастасия Витальевна, студентка 2-го курса машиностроительного факультета БНТУ.
Область научных интересов: 3D-моделирование, технологии быстрого прототипирования, МКЭ-
анализ полей напряжений и концентраторов в механических системах.
Rodenia A. V., student of the 2nd year of the mechanical engineering faculty of BNTU. Fields of interest:
3D-modelling, technologies of rapid prototyping, FEM simulations for stress state managing in the complex
mechanical systems.
Email: mtools@bntu.by
