Content uploaded by Ábel Mihály Nagy
Author content
All content in this area was uploaded by Ábel Mihály Nagy on May 06, 2022
Content may be subject to copyright.
3939
Biomechanica Hungarica 2022;15(1):39-50
MOZGÁSVIZSGÁLAT ÉS -TERÁPIA
A futás és szökdelés tömeg-rugó modell dinAmikAi
viselkedésének globális feltérképezése és
pArAméterhAngolásA
Patkó Dóra1, Nagy Ábel Mihály1, Zelei Ambrus1,2
1 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Gépészmérnöki Kar, Műszaki Mechanikai
Tanszék
2 MTA-BME Gépek és Járművek Dinamikája Kutatócsoport
zelei@mm.bme.hu DOI: 10.17489/biohun/2022/1/308
Absztrakt
Annak ellenére, hogy a futás és szökdelés tömeg-rugó modellje (SLIP – spring-loaded inverted
pendulum) nagyon széles körben alkalmazott, nem találtunk teljes térképet a stabil mozgások
dimenziótlan paramétertartományaira és a vonzási tartományokra. A Buckingham-féle Π –té-
tel segítségével minimálisan szükséges paraméterhalmazt vezetünk be. Feltárjuk a konzervatív
rendszer két dimenziótlan paraméterének és a dimenziótlan mechanikai energiának a 3D terét
numerikus paraméterkövetés segítségével. A szakaszosan folytonos (hibrid dinamikai) rendszer
stabilitási tulajdonságait a monodrómia mátrix numerikus számításával határozzuk meg. A
mechanikai energia megváltoztatásával járó perturbációk esetére külön hangsúlyt fordítunk. A
Nelder-Mead szimplex módszer alkalmazásával úgy hangoljuk a modellt, hogy különféle moz-
gásformák utánzására legyen alkalmas, mint például a lassú futás és a sprintelés.
Kulcsszavak: futás, szökdelés, tömeg-rugó modell, szakaszosan folytonos dinamikai rendszerek,
stabilitás analízis
Global a nalysis a nd par amet er tuninG of the dyna mic behaviour of the slip model
of runni nG and hoppi nG
Abstract
Despite the fact that the spring-loaded inverted pendulum (SLIP) is possibly the most widely
used model of running and hopping, we could not nd a complete map of the dimensionless
parameter regions of stable periodic solutions and the basin of attraction. We present a mini-
mum set of independent physical parameters using the Buckingham Π theorem. The 3D space
of two dimensionless physical parameters and the dimensionless total mechanical energy of the
conservative system was discovered by means of numerical continuation. The stability analysis
of the piecewise-smooth (hybrid dynamical) system was provided by the numerical calculation
of the monodromy matrix. The explanation of the non-energy conserving perturbations was ad-
dressed. The Nelder-Mead simplex method was applied to tune the model parameters in order to
imitate the motion characteristics of specic locomotion types such as moderate speed running
and sprinting.
Keywords: running, hopping, SLIP model, piecewise-smooth dynamical systems, stability analysis
Biomechanica Hungarica 2022;15(1):39-50
4040
MOZGÁSVIZSGÁLAT ÉS -TERÁPIA
bevezet és
Az emberi járás és futás biomechanikájának
megértésére már több száz éve erős törekvés
irányul,1 ennek ellenére nyitott kérdések to-
vábbra is fennállnak. A Newtoni mechanika,
a képrögzítési és mozgáskövetési eljárások, va-
lamint a számítógépes szimulációs eszközök
lendületet adtak a terület fejlődésének. A futás
és szökdelés modellezésére számos mechani-
kai modell alakult ki a bonyolultság széles ská-
láját lefedve. A nagy szabadsági fokú modellek
jellemzően leíró jellegűek és mérési adatok
feldolgozását szolgálják.2,3 Ezzel szemben az
alacsony szabadsági fokú modellek segítségé-
vel általában könnyen megvalósítható a teljes
járás, szökdelés vagy futó mozgás generálása
pusztán dinamikai egyenletek felhasználásá-
val.4,5 Ezek a nemlineáris dinamikai modellek
mérési adatok felhasználása nélkül képesek
megjósolni a paraméterek megváltozásának
hatását. Az ilyen, prediktív jellegű modellek
közül az egyik legegyszerűbb és legelterjed-
tebb az ún. tömeg-rugó inverz inga modell6
(SLIP – spring-loaded inverted pendulum),
amely egy anyagi pontból és egy rugóból áll
(1. ábra). A modell képes a futáshoz hasonlóan
repülő és támasz fázisok produkálására. A mo-
dell az emberi mozgás leírására és annak meg-
értésére irányult, hogy mi a hatása a mozgást
jellemző paraméterek – mint például a frek-
vencia vagy a függőleges amplitúdó – meg-
változtatásának. Blickhan a modell segítsé-
gével megmutatta, hogy az ember a rugalmas
energia tárolására törekszik a futó és szökdelő
mozgás során.6 A SLIP modellt és változatait a
mai napig alkalmazzák.7,8 Lábakon közleke-
dő robotok mozgásának szabályozási algorit-
musába közvetlenül beépíthető a modell.9 Az
emberi mozgás szabályozásának és az emberi
mozgástervezés mögötti optimális stratégiák-
nak az elemzését szolgáló prediktív dinamikai
modellek is közvetlenül tartalmazzák a SLIP
modellt.10
A SLIP modellnek számos kibővített változata
megtalálható az irodalomban; a torzót repre-
zentáló tömegpont helyett gyakran merev test
szerepel,4 mely a torzó elfordulását is képes
modellezni. A rugó lineáris karakterisztikája
helyettesíthető nemlineáris karakterisztikával,
továbbá több lábú és térbeli kibővítéseket is
alkalmaznak, melyről Holmes5 cikke átfogó
összefoglalót ad. A több szegmensből álló mo-
dellek10 már nehezen alkalmazhatóak a futó
mozgás generálására.
Sokan vizsgálták a SLIP modellt, de nem ta-
láltunk olyan átfogó paraméterelemzést vagy
a paraméterek hatását kompakt módon bemu-
tató térképet a szakirodalomban, amelynek
segítségével könnyen kiválaszthatók lennének
a stabil mozgást biztosító paraméterek. Je-
len munkánkban bemutatjuk a SLIP modell
dimenziótlan egyenleteit, a dimenziótlan
paraméterek azon tartományait, ahol létezik
1. ábra. A SLIP modell mozgása és fázisai, a röppálya legalacsonyabb és legmagasabb pontja
4141
Biomechanica Hungarica 2022;15(1):39-50
MOZGÁSVIZSGÁLAT ÉS -TERÁPIA
periodikus mozgás. Bemutatjuk a stabilitást
garantáló paramétertartományokat és megke-
ressük azokat a modellparamétereket, amelyek
a legjobban illeszkednek az ember és egyes
kétlábú állatok futásának biomechanikai pa-
ramétereire Ludwig11 cikkében leírtakhoz ha-
sonlóan. Összefoglaljuk a matematikai mód-
szereket és a stabilitáselemzés főbb lépéseit,
melyet nem találtunk meg a magyar nyelvű
szakirodalomban.
módszerek
A SLIP modell alapötlete és mozgásegyenletei
megtalálhatóak Blickhan munkájában.6 Az m
tömegű anyagi pont a futó testét annak kiter-
jedése nélkül modellezi, a k merevséggel és r0
terheletlen hosszal rendelkező lineáris karak-
terisztikájú rugó a talajon támaszkodó lábat
modellezi. A rendszer periodikus mozgása
váltakozó támasz- és repülő fázisokból, va-
lamint az azokat összekötő elrugaszkodás és
földetérés eseményekből áll az 1. ábra szerint.
A repülő fázisban (F – ight) a tehetetlenség
nélküli rugó nem befolyásolja a dinamikai
viselkedést: a tömegpont parabolikus pályán
halad, miközben a rugó β szögben áll.
A földetérés (TD – touchdown) akkor követ-
kezik be, amikor a terheletlen láb eléri a talajt.
A rugó a tömegpontot a talaj egy pontjához
kapcsolja a talajfogást követő támasz fázisban
(S – stance) egy csuklós kényszerrel. Az elru-
gaszkodás (LO – liftoff) akkor következik be,
amikor a rugó visszanyeri eredeti hosszát, így
a talaj és a láb közötti nyomóerő éppen meg-
szűnik. Az elrugaszkodás után a rugó azonnal
β szöghelyzetbe kerül, mely nem mond ellent
a mechanika törvényeinek amiatt, hogy a rugó
tehetetlensége teljes mértékben el van hanya-
golva. A rendszer konzervatív, mely lehetővé
teszi az állandó magasságú ugrások sorozata-
ként kialakuló periodikus megoldásokat kül-
ső energia bevitele nélkül. Egy valódi élőlény
esetében természetesen fellép energiaveszteség
a szövetek csillapítása és a talajjal való rugal-
matlan ütközés miatt, amelyet az izmok me-
chanikai munkája pótol elrugaszkodáskor.
Így ugyancsak periodikus mozgás jön létre.
A szakirodalomban4,6 elfogadott módon az
energiaveszteségeket és az izmok munkáját
nem feltétlenül szükséges modellezni, a peri-
odikus mozgást a konzervatív rendszer is pro-
dukálni tudja.
A SLIP modell stabil periodikus mozgását
lehetővé tévő paraméterek feltérképezéséhez
dimenziótlan változókat és paramétereket
vezetünk be a Buckingham-féle Π –tétel se-
gítségével.12 A tétel szerint egy n számú vál-
tozóra vonatkozó összefüggés átalakítható
p = n – d darab független dimenziótlan
mennyiség közti összefüggéssé, ahol d az
eredeti összefüggésben szereplő alapmeny-
nyiségek száma. A mozgásegyenletben sze-
replő n = 7 változó a t idő, az x és y helyko-
ordináták, az m tömeg, k rugómerevség,
r0 rugóhossz és g gravitációs gyorsulás. A
d = 3 a l ap me nny i s ég : k g, m , s . Te há t p = 4 darab
dimenziótlan mennyiség választandó, amely-
re több lehetőség van. Célszerű a ξ = x / r0 és
η = y / r0 d i m e n z i ó t l a n h e l y k o o r d i n á t á k , é s a
dimenziótlan idő megválasztása.
Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindösz-
sze az állapotváltozókat és
a dimenziótlan rugómerevség
paramétert tartalmazzák:
a h o l a pillanatnyi dimenziótlan
rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugó-
hossz 1. A jelölésű dimenziótlan idő
szerinti derivált és az idő szerinti derivált ösz-
szefüggése . Repülő fázisban
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgás-
egyenletben a zárójeles tagok eltűnnek. Be-
(1)
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
(2)
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
A ′ jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált
összefüggése
=√k /
m '.
A ′ jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált
összefüggése
=√k /
m '.
Biomechanica Hungarica 2022;15(1):39-50
4242
MOZGÁSVIZSGÁLAT ÉS -TERÁPIA
v e z e t j ü k a z dimenziótlan
mechanikai összenergiát is:
(3)
A két fázis (F és S) és az azokat összekötő ese-
mények (TD és LO) alkotnak egy mozgáscik-
lust, melyek együttes vizsgálata a szakaszosan
folytonos dinamikai rendszerek területére ve-
zet. A periodikus pályák stabilitásának vizsgá-
latához kiszámítjuk a monodrómia13-18 mátri-
xot a (4) egyenlet szerint.
(4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a C minden
sajátértéke egynél kisebb: . A (4)
egyenletben szereplő
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
és
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
mátrixok rend-
re a támasz, illetve repülő fázisokhoz tartozó
alap megoldási mátrixok, amelyeket a folyto-
nos szakaszokhoz tartozó első variációs egyen-
let megoldásával határozunk meg.13-18 Az
é s mátrixok rendre az elrugaszkodás
,illetve földetérés
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
ugrásfüggvényeknek a gradi-
enseit foglalják magukba. Ezek az ugrásfügg-
vények ebben a felírásmódban azonosságot
jelentenek, de ahogy később is látni fogjuk, a
modelltől és a felírásmódtól függően ez nem
mindig igaz. A periódus elejét, azaz a Poin-
caré-metszetet a függvény
deniálja, amely jelen speciális esetben egy-
beesik a földetérés eseményfüggvényével,
de máshogy is megválasztható lenne. Ah-
hoz, hogy periodikus megoldás adódjon, a
rugó végpontját minden periódus végén a
globális koordinátarendszer origójába ké-
pezzük a Poincaré-metszethez tartozó
ugrásfüggvény se-
gítségével. Ezt azért tehetjük meg, mert ξ egy
kvázi ciklikus koordináta, azaz a repülő fázis-
ban nem befolyásolja, támasz fázisban pedig
csak a talajfogási ponttól mért relatív helyzete
befolyásolja a mozgást. A periodikus pályák
keresésével és stabilitásukkal kapcsolatos ma-
tematikai módszerek a szakirodalomban13-18
rendelkezésre állnak.
Alternatívaként bevezethető egy újabb ξG ál-
lapotváltozó, amely a talajfogási pont helyét
j e l ö l i . E k k o r az ál lapot-
változók vektora, és nincs szükség a fázis
végén a ξ változó visszaképezésére, tehát
, továbbá a módosult leképezés
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenle-
teket a (6) első variációs egyenlettel együtt nu-
merikusan integráljuk MATLAB környezet-
ben az ode45 függvény segítségével, a beépített
eseménykeresési algoritmust felhasználva. Az
alkalmazott abszolút és relatív hibahatár egy-
aránt 10-12 az előzetesen elvégzett szimulációs
vizsgálatok alapján. Túlzottan kicsi hibahatár
esetén a számítási idő növekszik meg, túl nagy
hibahatár esetén a monodrómia mátrix saját-
értékei válnak pontatlanná.
A periodikus pályák megkeresésére Adolfsson
munkájában14 található iteráció kibővített vál-
tozatát alkalmazzuk, mely a (7) és (8) egyen-
letekből indul ki. A (7) egyenlet fejezi ki, hogy
a megoldás megegyezik az x0 kez-
deti feltétellel, azaz a mozgás periodikus. A
(8) egyenlet pedig arra utal, hogy a Poincaré
metszetről indul a mozgás. Mivel a SLIP mo-
dellnél adott γ és β paraméterekre végtelen sok
periodikus megoldás található, melyek külön-
böző
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
mechanikai összenergiához tartoz-
nak, felírjuk a (9) energia egyenletet is.
Az (5) x -re vonatkozó megoldása
melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
(6)
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
,
(8)
00
() 0EE−=x
.
(9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
(5)
(7)
(8)
(9)
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Írja be az egyenletet ide
Ekkor
=[
ξ η ξ
'
η'ξG
]T
4343
Biomechanica Hungarica 2022;15(1):39-50
MOZGÁSVIZSGÁLAT ÉS -TERÁPIA
. Az kezdeti feltétel és T periódusidő
körüli linearizálás után a (10) lineáris egyen-
letrendszer írható fel.
a h o l az -ból indított megol-
dás a te pillanatban, amikor a megoldás eléri
a Poincaré-metszetet, azaz földet éréssel befe-
jeződik egy mozgásperiódus. Az
ugyanitt a Poincaré-metszet utáni függvény
értéke és . A (10) egyenlet-
rendszer az ismeretlenek számánál egyel több
egyenletet tartalmaz, ezért a Moore-Penrose-
féle19 általánosított inverz segítségével fejez-
hető ki az állapotváltozókra és periódusidőre
v o n a t k o z ó növekmény, valamint
a és új becslése. Az így kapott Newton-
Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a Poincaré-met-
szet döféspontja) jelentő -ba konvergál, ha
megfelelő közelségből indítjuk. Nemlineáris
rendszer lévén arra, hogy a kezdeti becslésnek
és a megoldásnak milyen közel kell lenniük
egymáshoz a konvergencia biztosításához,
nincs általános iránymutatás. A vonzási tarto-
mány rendszertől és paraméterektől függően
változik.
A stabil paramétertartomány határát para-
méterkövetés (parameter continuation) segít-
ségével keressük meg, azaz a ,
paramétert kis mértékben változtatjuk, majd
alkalmazzuk az energiaegyenlettel kibővített
Adolfsson-féle iterációt az aktuális paraméte-
rekhez tartozó periodikus megoldás megta-
lálására. A paraméterekben történő túl nagy
ugrás miatt a (10) iteráció elveszítheti a kon-
vergenciáját.
A paraméterek hangolásával adott mozgásfor-
mák szimulációjára tehetjük alkalmassá a mo-
dellt, pl. különböző sebességű futás, szökde-
lés, vagy akár különböző állatok mozgásának
modellezése. Mivel az
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
becslésnek közel kell
lennie az
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
megoldáshoz, a paraméterek csak
kis mértékben változtathatóak új periodikus
pálya keresése előtt. Tehát olyan módszerre
van szükség a modell hangolásához, amely
lokálisan vizsgálja a paramétertartományt.
Továbbá deriváltak nélküli módszerre van
szükség, hiszen nem garantálja semmi, hogy
egy tetszőlegesen választott célfüggvény foly-
tonos. Ezek miatt a Nelder–Mead szimplex
módszert20 választottuk, amely eleve biztosít-
ja, hogy az iteráció során a
A stabil paramétertartomány határát paraméterkövetés (parameter continuation) segítségével
keressük meg, azaz a
,
és
0
E
paramétert kis mértékben változtatjuk, majd alkalmazzuk az
energiaegyenlettel kibővített Adolfsson-féle iterációt az aktuális paraméterekhez tartozó periodikus
megoldás megtalálására. A paraméterekben történő túl nagy ugrás miatt a (10) iteráció elveszítheti
a konvergenciáját.
A paraméterek hangolásával adott mozgásformák szimulációjára tehetjük alkalmassá a modellt, pl.
különböző sebességű futás, szökdelés, vagy akár különböző állatok mozgásának előállítása. Mivel
az
0
x
becslésnek közel kell lennie az
*
0
x
megoldáshoz, a paraméterek csak kis mértékben
változtathatóak új periodikus pálya keresése előtt. Tehát olyan módszerre van szükség a modell
hangolásához, amely lokálisan vizsgálja a paramétertartományt. Továbbá deriváltak nélküli
módszerre van szükség, hiszen nem garantálja semmi, hogy egy tetszőlegesen választott
célfüggvény folytonos. Ezek miatt a Nelder–Mead szimplex módszert20 választottuk, amely eleve
biztosítja, hogy az iteráció során a
,
és
0
E
paramétertérben ne következzen be túl nagy ugrás.
Amennyiben a (10) iteráció nem konvergál, a szimplex algoritmus egy büntető értéket ad, és az
iteráció más irányban vagy kisebb lépésben változtatott paraméterekkel próbálja keresni az
optimumot. A Nelder–Mead algoritmust Matlab környezetben implementáltuk.
Eredmények
Különböző
0
E
összenergiákhoz tartozó periodikus pályák a 2. ábrán láthatóak. Megfigyelhető, hogy
a repülő fázisban érvényes
x
irányú
sebesség mentén tekintve a stabil periodikus pályákat
instabilak határolják, illetve az is, hogy minél kisebb a haladási sebesség, annál nagyobbak az
ugrások. A SLIP modell viselkedésének egyik szemléletes interpretációja a Poincaré-féle visszatérési
térkép, mely a 3. ábrán látható az emberi mozgáshoz közel álló
19,11
=
és
1
=
értékeknél. Egy
1
tan ( / )
−
= −
szögét4 ábr
A 4. és 5. ábra a vonzási tartományokat szemlélteti rögzített
és
értékeknél az összenergia és a
repülő fázisban állandó értékű
vízszintes sebesség illetve a
szög síkján. A kék folytonos és a
piros szaggatott görbék
zavarjuk meg a mozgást (pl.
vagy
mentén), az visszatér a stabil pályára, míg ha az
0
E
mentén
perturbáljuk
felderítése adja a
,
és
0
E
paramétertérben, mely a 6. ábrán látható. A 6. ábra a különböző
értékekhez tartozó vetületeket mutatja. A stabil tartomány térbeli szemléltetésére egy interaktív
Matlab program21 is elérhető. A stabilitási határfelületek segítségével könnyen meghatározhatók
olyan paraméter-beállítások, amelyekkel garantálható a stabil mozgás. Azonban még ekkor is
kihívást jelenthet a kezdeti feltételek beállítása, melyhez a 4. és 5. ábra ad segítséget rögzített
és
fizikai paraméterek esetén.
, a
p
T
periódusidő és a
GR
(ground ratio) talaj fázis időaránya paraméterek változására szolgáltat
adatot a cikk. A SLIP modell
,
és
0
E
paramétereit úgy hangoltuk, hogy a modellből kapott és
a mérésből származó
x
,
VO
,
p
T
és
GR
2. ábra. Periodikus pályák fekete vonallal különböző mechanikai összenergiákon. A
()hx
események által meghatározott felületek zölddel (
LO
h
) és szürkével (
TD
h
). (A
'
tengely balról
jobbra csökken
para-
métertérben ne következzen be túl nagy ugrás.
Amennyiben a (10) iteráció nem konvergál, a
szimplex algoritmus egy büntető értéket ad, és
az iteráció más irányban vagy kisebb lépésben
változtatott paraméterekkel próbálja keresni
az optimumot. A Nelder–Mead algoritmust
Matlab környezetben implementáltuk.
eredmén yek
Különböző
A stabil paramétertartomány határát paraméterkövetés (parameter continuation) segítségével
keressük meg, azaz a
,
és
0
E
paramétert kis mértékben változtatjuk, majd alkalmazzuk az
energiaegyenlettel kibővített Adolfsson-féle iterációt az aktuális paraméterekhez tartozó periodikus
megoldás megtalálására. A paraméterekben történő túl nagy ugrás miatt a (10) iteráció elveszítheti
a konvergenciáját.
A paraméterek hangolásával adott mozgásformák szimulációjára tehetjük alkalmassá a modellt, pl.
különböző sebességű futás, szökdelés, vagy akár különböző állatok mozgásának előállítása. Mivel
az
0
x
becslésnek közel kell lennie az
*
0
x
megoldáshoz, a paraméterek csak kis mértékben
változtathatóak új periodikus pálya keresése előtt. Tehát olyan módszerre van szükség a modell
hangolásához, amely lokálisan vizsgálja a paramétertartományt. Továbbá deriváltak nélküli
módszerre van szükség, hiszen nem garantálja semmi, hogy egy tetszőlegesen választott
célfüggvény folytonos. Ezek miatt a Nelder–Mead szimplex módszert20 választottuk, amely eleve
biztosítja, hogy az iteráció során a
,
és
0
E
paramétertérben ne következzen be túl nagy ugrás.
Amennyiben a (10) iteráció nem konvergál, a szimplex algoritmus egy büntető értéket ad, és az
iteráció más irányban vagy kisebb lépésben változtatott paraméterekkel próbálja keresni az
optimumot. A Nelder–Mead algoritmust Matlab környezetben implementáltuk.
Eredmények
Különböző
0
E
összenergiákhoz tartozó periodikus pályák a 2. ábrán láthatóak. Megfigyelhető, hogy
a repülő fázisban érvényes
x
irányú
sebesség mentén tekintve a stabil periodikus pályákat
instabilak határolják, illetve az is, hogy minél kisebb a haladási sebesség, annál nagyobbak az
ugrások. A SLIP modell viselkedésének egyik szemléletes interpretációja a Poincaré-féle visszatérési
térkép, mely a 3. ábrán látható az emberi mozgáshoz közel álló
19,11
=
és
1
=
értékeknél. Egy
1
tan ( / )
−
= −
szögét4 ábr
A 4. és 5. ábra a vonzási tartományokat szemlélteti rögzített
és
értékeknél az összenergia és a
repülő fázisban állandó értékű
vízszintes sebesség illetve a
szög síkján. A kék folytonos és a
piros szaggatott görbék
zavarjuk meg a mozgást (pl.
vagy
mentén), az visszatér a stabil pályára, míg ha az
0
E
mentén
perturbáljuk
felderítése adja a
,
és
0
E
paramétertérben, mely a 6. ábrán látható. A 6. ábra a különböző
értékekhez tartozó vetületeket mutatja. A stabil tartomány térbeli szemléltetésére egy interaktív
Matlab program21 is elérhető. A stabilitási határfelületek segítségével könnyen meghatározhatók
olyan paraméter-beállítások, amelyekkel garantálható a stabil mozgás. Azonban még ekkor is
kihívást jelenthet a kezdeti feltételek beállítása, melyhez a 4. és 5. ábra ad segítséget rögzített
és
fizikai paraméterek esetén.
, a
p
T
periódusidő és a
GR
(ground ratio) talaj fázis időaránya paraméterek változására szolgáltat
adatot a cikk. A SLIP modell
,
és
0
E
paramétereit úgy hangoltuk, hogy a modellből kapott és
a mérésből származó
x
,
VO
,
p
T
és
GR
2. ábra. Periodikus pályák fekete vonallal különböző mechanikai összenergiákon. A
()hx
események által meghatározott felületek zölddel (
LO
h
) és szürkével (
TD
h
). (A
'
tengely balról
jobbra csökken
összenergiákhoz tartozó peri-
odikus pályák a 2. ábrán láthatóak. Meggyel-
hető, hogy a repülő fázisban érvényes x irányú
A stabil paramétertartomány határát paraméterkövetés (parameter continuation) segítségével
keressük meg, azaz a
,
és
0
E
paramétert kis mértékben változtatjuk, majd alkalmazzuk az
energiaegyenlettel kibővített Adolfsson-féle iterációt az aktuális paraméterekhez tartozó periodikus
megoldás megtalálására. A paraméterekben történő túl nagy ugrás miatt a (10) iteráció elveszítheti
a konvergenciáját.
A paraméterek hangolásával adott mozgásformák szimulációjára tehetjük alkalmassá a modellt, pl.
különböző sebességű futás, szökdelés, vagy akár különböző állatok mozgásának előállítása. Mivel
az
0
x
becslésnek közel kell lennie az
*
0
x
megoldáshoz, a paraméterek csak kis mértékben
változtathatóak új periodikus pálya keresése előtt. Tehát olyan módszerre van szükség a modell
hangolásához, amely lokálisan vizsgálja a paramétertartományt. Továbbá deriváltak nélküli
módszerre van szükség, hiszen nem garantálja semmi, hogy egy tetszőlegesen választott
célfüggvény folytonos. Ezek miatt a Nelder–Mead szimplex módszert20 választottuk, amely eleve
biztosítja, hogy az iteráció során a
,
és
0
E
paramétertérben ne következzen be túl nagy ugrás.
Amennyiben a (10) iteráció nem konvergál, a szimplex algoritmus egy büntető értéket ad, és az
iteráció más irányban vagy kisebb lépésben változtatott paraméterekkel próbálja keresni az
optimumot. A Nelder–Mead algoritmust Matlab környezetben implementáltuk.
Eredmények
Különböző
0
E
összenergiákhoz tartozó periodikus pályák a 2. ábrán láthatóak. Megfigyelhető, hogy
a repülő fázisban érvényes
x
irányú
sebesség mentén tekintve a stabil periodikus pályákat
instabilak határolják, illetve az is, hogy minél kisebb a haladási sebesség, annál nagyobbak az
ugrások. A SLIP modell viselkedésének egyik szemléletes interpretációja a Poincaré-féle visszatérési
térkép, mely a 3. ábrán látható az emberi mozgáshoz közel álló
19,11
=
és
1
=
értékeknél. Egy
1
tan ( / )
−
= −
szögét4 ábr
A 4. és 5. ábra a vonzási tartományokat szemlélteti rögzített
és
értékeknél az összenergia és a
repülő fázisban állandó értékű
vízszintes sebesség illetve a
szög síkján. A kék folytonos és a
piros szaggatott görbék
zavarjuk meg a mozgást (pl.
vagy
mentén), az visszatér a stabil pályára, míg ha az
0
E
mentén
perturbáljuk
felderítése adja a
,
és
0
E
paramétertérben, mely a 6. ábrán látható. A 6. ábra a különböző
értékekhez tartozó vetületeket mutatja. A stabil tartomány térbeli szemléltetésére egy interaktív
Matlab program21 is elérhető. A stabilitási határfelületek segítségével könnyen meghatározhatók
olyan paraméter-beállítások, amelyekkel garantálható a stabil mozgás. Azonban még ekkor is
kihívást jelenthet a kezdeti feltételek beállítása, melyhez a 4. és 5. ábra ad segítséget rögzített
és
fizikai paraméterek esetén.
, a
p
T
periódusidő és a
GR
(ground ratio) talaj fázis időaránya paraméterek változására szolgáltat
adatot a cikk. A SLIP modell
,
és
0
E
paramétereit úgy hangoltuk, hogy a modellből kapott és
a mérésből származó
x
,
VO
,
p
T
és
GR
2. ábra. Periodikus pályák fekete vonallal különböző mechanikai összenergiákon. A
()hx
események által meghatározott felületek zölddel (
LO
h
) és szürkével (
TD
h
). (A
'
tengely balról
jobbra csökken
sebesség mentén tekintve a stabil periodi-
kus pályákat instabilak határolják, illetve az is,
hogy minél kisebb a haladási sebesség, annál
nagyobbak az ugrások. A SLIP modell visel-
kedésének egyik szemléletes interpretációja a
Poincaré-féle visszatérési térkép, mely a 3. áb-
rán látható az emberi mozgáshoz közel álló
γ = 19,11 és β = 1 értékeknél. Egy tetszőlege-
sen választott skalár Poincaré metszeten vett
i-edik értékéhez (vízszintes tengely) rendeli
az egy periódussal későbbi, azaz i + 1-edik
értéket. Amennyiben nincs változás egy peri-
ódus alatt, a 45°-os szaggatott vonal jellemzi
a dinamikai változó viselkedését. A sebesség-
vektor vízszintestől mért
A stabil paramétertartomány határát paraméterkövetés (parameter continuation) segítségével
keressük meg, azaz a
,
és
0
E
paramétert kis mértékben változtatjuk, majd alkalmazzuk az
energiaegyenlettel kibővített Adolfsson-féle iterációt az aktuális paraméterekhez tartozó periodikus
megoldás megtalálására. A paraméterekben történő túl nagy ugrás miatt a (10) iteráció elveszítheti
a konvergenciáját.
A paraméterek hangolásával adott mozgásformák szimulációjára tehetjük alkalmassá a modellt, pl.
különböző sebességű futás, szökdelés, vagy akár különböző állatok mozgásának előállítása. Mivel
az
0
x
becslésnek közel kell lennie az
*
0
x
megoldáshoz, a paraméterek csak kis mértékben
változtathatóak új periodikus pálya keresése előtt. Tehát olyan módszerre van szükség a modell
hangolásához, amely lokálisan vizsgálja a paramétertartományt. Továbbá deriváltak nélküli
módszerre van szükség, hiszen nem garantálja semmi, hogy egy tetszőlegesen választott
célfüggvény folytonos. Ezek miatt a Nelder–Mead szimplex módszert20 választottuk, amely eleve
biztosítja, hogy az iteráció során a
,
és
0
E
paramétertérben ne következzen be túl nagy ugrás.
Amennyiben a (10) iteráció nem konvergál, a szimplex algoritmus egy büntető értéket ad, és az
iteráció más irányban vagy kisebb lépésben változtatott paraméterekkel próbálja keresni az
optimumot. A Nelder–Mead algoritmust Matlab környezetben implementáltuk.
Eredmények
Különböző
0
E
összenergiákhoz tartozó periodikus pályák a 2. ábrán láthatóak. Megfigyelhető, hogy
a repülő fázisban érvényes
x
irányú
sebesség mentén tekintve a stabil periodikus pályákat
instabilak határolják, illetve az is, hogy minél kisebb a haladási sebesség, annál nagyobbak az
ugrások. A SLIP modell viselkedésének egyik szemléletes interpretációja a Poincaré-féle visszatérési
térkép, mely a 3. ábrán látható az emberi mozgáshoz közel álló
19,11
=
és
1
=
értékeknél. Egy
1
tan ( / )
−
= −
szögét4 ábr
A 4. és 5. ábra a vonzási tartományokat szemlélteti rögzített
és
értékeknél az összenergia és a
repülő fázisban állandó értékű
vízszintes sebesség illetve a
szög síkján. A kék folytonos és a
piros szaggatott görbék
zavarjuk meg a mozgást (pl.
vagy
mentén), az visszatér a stabil pályára, míg ha az
0
E
mentén
perturbáljuk
felderítése adja a
,
és
0
E
paramétertérben, mely a 6. ábrán látható. A 6. ábra a különböző
értékekhez tartozó vetületeket mutatja. A stabil tartomány térbeli szemléltetésére egy interaktív
Matlab program21 is elérhető. A stabilitási határfelületek segítségével könnyen meghatározhatók
olyan paraméter-beállítások, amelyekkel garantálható a stabil mozgás. Azonban még ekkor is
kihívást jelenthet a kezdeti feltételek beállítása, melyhez a 4. és 5. ábra ad segítséget rögzített
és
fizikai paraméterek esetén.
, a
p
T
periódusidő és a
GR
(ground ratio) talaj fázis időaránya paraméterek változására szolgáltat
adatot a cikk. A SLIP modell
,
és
0
E
paramétereit úgy hangoltuk, hogy a modellből kapott és
a mérésből származó
x
,
VO
,
p
T
és
GR
2. ábra. Periodikus pályák fekete vonallal különböző mechanikai összenergiákon. A
()hx
események által meghatározott felületek zölddel (
LO
h
) és szürkével (
TD
h
). (A
'
tengely balról
jobbra csökken
szögét4 ábrázoljuk a földetérés pillanatában
értelmezve. Az A pont feletti, 45°-nál nagyobb
meredekségű metszéspontok instabil, míg az
A pont alatti metszéspontok stabil megoldáso-
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
(10)
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
Célszerű a
0
/xr
=
és
0
/yr
=
dimenziótlan helykoordináták, és a
/t k mt=
dimenziótlan
idő megválasztása. Így a támasz fázis mozgásegyenletei mindössze az
T
=x
állapotváltozókat és a
0
/( )kr mg
=
dimenziótlan rugómerevség paramétert tartalmazzák:
1
1 0,
r
+− =
(1)
11
10
r
+− +=
, (2)
ahol
22
r
= +
a pillanatnyi dimenziótlan rugóhossz. A nyújtatlan dimenziótlan rugóhossz
0
1r=
. A
jelölésű dimenziótlan idő szerinti derivált és az idő szerinti derivált összefüggése
/km
=
. Repülő fázisban
1r=
helyettesítéssel az (1) és (2) mozgásegyenletben a zárójeles
tagok eltűnnek. Bevezetjük az
2
0
/( )E E kr=
dimenziótlan mechanikai összenergiát is:
( )
( )
2
22
11
1
22
Er
= + + −+
. (3)
TD F LO S
=CSΦS Φ
. (4)
Egy periodikus pálya stabil, ha a
C
minden sajátértéke egynél kisebb:
1,
i
i
. A (4) egyenletben
szereplő
S
Φ
és
F
Φ
mátrixok rendre a támasz, illetve repülő fázisokhoz
LO
S
és
TD
S
mátrixok rendre az elrugaszkodás
LO
() 1hr= −x
, illetve földetérés
TD
( ) sinh
= −x
eseményeknek és a hozzájuk tartozó
LO
()=gxx
és
TD
()=gxx
ugrásfüggvényeknek a gradienseit
elejét, azaz a Poincaré-metszetet a
TD
() ()hh=xx
függvény definiálja, amely jelen speciális esetben
T
( ) cos
= −gx
jelöli. Ekkor
T
G
ˆ
=x
az állapotváltozók vektora, és nincs szükség a fázis végén
a
változó visszaképezésére, tehát
ˆˆ
()=gx x
, továbbá a módosult leképezés
T
TD
ˆ
( ) cos
= +gx
.
Az (5) általános alakban felírt mozgásegyenleteket a (6) első variációs egyenlettel együtt
0
( );
= =x fx x x
, (5)
0
;
= =
x
Φ fΦ Φ I
(6)
00
( ,)T−=φx x 0
, (7)
0
()0h=x
, (8)
00
() 0EE−=x
. (9)
Az (5)
x
-re vonatkozó megoldása
0
( ,)tφx
, melynek a kezdeti feltétel szerinti gradiense
0
( ,)tΦx
.
0
0
00
0 00
() ()
() ()
e
ee
h
T
E EE
+
++
−
−
= −
−
x
x
xx
Φ If x
hx 0 x
x0 x
, (10)
ahol
0
( ,)
ee
t
+
=xx
az
0
x
-ból indított megoldás a
e
t
pillanatb. Az
( ,)
e ee
t
++
=f fx
ugyanitt a
Poincaré-metszet utáni függvény értéke és
0
( ,)
ee
t
+
=Φ Φx
. A vonatkozó
0
x
és
T
növekmény
valamint a
0
x
és
T
új becslése. Az így kapott Newton-Raphson iteráció pár lépés után a periodikus
megoldás kezdőpontját (a
()hx
Poincaré-metszet döféspontja) jelentő
*
0
x
-ba
A stabil paramétertartomány határát paraméterkövetés (parameter continuation) segítségével
keressük meg, azaz a
,
és
0
E
paramétert kis mértékben változtatjuk, majd alkalmazzuk az
energiaegyenlettel kibővített Adolfsson-féle iterációt az aktuális paraméterekhez tartozó periodikus
megoldás megtalálására. A paraméterekben történő túl nagy ugrás miatt a (10) iteráció elveszítheti
a konvergenciáját.
A paraméterek hangolásával adott mozgásformák szimulációjára tehetjük alkalmassá a modellt, pl.
különböző sebességű futás, szökdelés, vagy akár különböző állatok mozgásának előállítása. Mivel
az
0
x
becslésnek közel kell lennie az
*
0
x
megoldáshoz, a paraméterek csak kis mértékben
változtathatóak új periodikus pálya keresése előtt. Tehát olyan módszerre van szükség a modell
hangolásához, amely lokálisan vizsgálja a paramétertartományt. Továbbá deriváltak nélküli
módszerre van szükség, hiszen nem garantálja semmi, hogy egy tetszőlegesen választott
célfüggvény folytonos. Ezek miatt a Nelder–Mead szimplex módszert20 választottuk, amely eleve
biztosítja, hogy az iteráció során a
,
és
0
E
paramétertérben ne következzen be túl nagy ugrás.
Amennyiben a (10) iteráció nem konvergál, a szimplex algoritmus egy büntető értéket ad, és az
iteráció más irányban vagy kisebb lépésben változtatott paraméterekkel próbálja keresni az
optimumot. A Nelder–Mead algoritmust Matlab környezetben implementáltuk.
Eredmények
Különböző
0
E
összenergiákhoz tartozó periodikus pályák a 2. ábrán láthatóak. Megfigyelhető, hogy
a repülő fázisban érvényes
x
irányú
sebesség mentén tekintve a stabil periodikus pályákat
instabilak határolják, illetve az is, hogy minél kisebb a haladási sebesség, annál nagyobbak az
ugrások. A SLIP modell viselkedésének egyik szemléletes interpretációja a Poincaré-féle visszatérési
térkép, mely a 3. ábrán látható az emberi mozgáshoz közel álló
19,11
=
és
1
=
értékeknél. Egy
1
tan ( / )
−
= −
szögét4 ábr
A 4. és 5. ábra a vonzási tartományokat szemlélteti rögzített
és
értékeknél az összenergia és a
repülő fázisban állandó értékű
vízszintes sebesség illetve a
szög síkján. A kék folytonos és a
piros szaggatott görbék
zavarjuk meg a mozgást (pl.
vagy
mentén), az visszatér a stabil pályára, míg ha az
0
E
mentén
perturbáljuk
felderítése adja a
,
és
0
E
paramétertérben, mely a 6. ábrán látható. A 6. ábra a különböző
értékekhez tartozó vetületeket mutatja. A stabil tartomány térbeli szemléltetésére egy interaktív
Matlab program21 is elérhető. A stabilitási határfelületek segítségével könnyen meghatározhatók
olyan paraméter-beállítások, amelyekkel garantálható a stabil mozgás. Azonban még ekkor is
kihívást jelenthet a kezdeti feltételek beállítása, melyhez a 4. és 5. ábra ad segítséget rögzített
és
fizikai paraméterek esetén.
, a
p
T
periódusidő és a
GR
(ground ratio) talaj fázis időaránya paraméterek változására szolgáltat
adatot a cikk. A SLIP modell
,
és
0
E
paramétereit úgy hangoltuk, hogy a modellből kapott és
a mérésből származó
x
,
VO
,
p
T
és
GR
2. ábra. Periodikus pályák fekete vonallal különböző mechanikai összenergiákon. A
()hx
események által meghatározott felületek zölddel (
LO
h
) és szürkével (
TD
h
). (A
'
tengely balról
jobbra csökken
Biomechanica Hungarica 2022;15(1):39-50
4444
MOZGÁSVIZSGÁLAT ÉS -TERÁPIA
kat jelentenek. Az A pont a legkisebb energi-
ához tartozik, amelynél még létezik periodi-
kus pálya. A B ponthoz tartozik a legnagyobb
összenergia, ahol még létezik stabil periodikus
pálya.
A 4. és 5. ábra a vonzási tartományokat szem-
lélteti rögzített γ és β értékeknél az összenergia
és a repülő fázisban állandó értékű ξ’ víz-
szintes sebesség illetve a δ szög síkján. A kék
folytonos és a piros szaggatott görbék rendre
a stabil és instabil periodikus megoldásokat
jelölik. Megállapítható, hogy amennyiben egy
energiaszinten maradva zavarjuk meg a moz-
gást (pl. ξ’ vagy δ mentén), az visszatér a stabil
pályára, míg ha az
A stabil paramétertartomány határát paraméterkövetés (parameter continuation) segítségével
keressük meg, azaz a
,
és
0
E
paramétert kis mértékben változtatjuk, majd alkalmazzuk az
energiaegyenlettel kibővített Adolfsson-féle iterációt az aktuális paraméterekhez tartozó periodikus
megoldás megtalálására. A paraméterekben történő túl nagy ugrás miatt a (10) iteráció elveszítheti
a konvergenciáját.
A paraméterek hangolásával adott mozgásformák szimulációjára tehetjük alkalmassá a modellt, pl.
különböző sebességű futás, szökdelés, vagy akár különböző állatok mozgásának előállítása. Mivel
az
0
x
becslésnek közel kell lennie az
*
0
x
megoldáshoz, a paraméterek csak kis mértékben
változtathatóak új periodikus pálya keresése előtt. Tehát olyan módszerre van szükség a modell
hangolásához, amely lokálisan vizsgálja a paramétertartományt. Továbbá deriváltak nélküli
módszerre van szükség, hiszen nem garantálja semmi, hogy egy tetszőlegesen választott
célfüggvény folytonos. Ezek miatt a Nelder–Mead szimplex módszert20 választottuk, amely eleve
biztosítja, hogy az iteráció során a
,
és
0
E
paramétertérben ne következzen be túl nagy ugrás.
Amennyiben a (10) iteráció nem konvergál, a szimplex algoritmus egy büntető értéket ad, és az
iteráció más irányban vagy kisebb lépésben változtatott paraméterekkel próbálja keresni az
optimumot. A Nelder–Mead algoritmust Matlab környezetben implementáltuk.
Eredmények
Különböző
0
E
összenergiákhoz tartozó periodikus pályák a 2. ábrán láthatóak. Megfigyelhető, hogy
a repülő fázisban érvényes
x
irányú
sebesség mentén tekintve a stabil periodikus pályákat
instabilak határolják, illetve az is, hogy minél kisebb a haladási sebesség, annál nagyobbak az
ugrások. A SLIP modell viselkedésének egyik szemléletes interpretációja a Poincaré-féle visszatérési
térkép, mely a 3. ábrán látható az emberi mozgáshoz közel álló
19,11
=
és
1
=
értékeknél. Egy
1
tan ( / )
−
= −
szögét4 ábr
A 4. és 5. ábra a vonzási tartományokat szemlélteti rögzített
és
értékeknél az összenergia és a
repülő fázisban állandó értékű
vízszintes sebesség illetve a
szög síkján. A kék folytonos és a
piros szaggatott görbék
zavarjuk meg a mozgást (pl.
vagy
mentén), az visszatér a stabil pályára, míg ha az
0
E
mentén
perturbáljuk
felderítése adja a
,
és
0
E
paramétertérben, mely a 6. ábrán látható. A 6. ábra a különböző
értékekhez tartozó vetületeket mutatja. A stabil tartomány térbeli szemléltetésére egy interaktív
Matlab program21 is elérhető. A stabilitási határfelületek segítségével könnyen meghatározhatók
olyan paraméter-beállítások, amelyekkel garantálható a stabil mozgás. Azonban még ekkor is
kihívást jelenthet a kezdeti feltételek beállítása, melyhez a 4. és 5. ábra ad segítséget rögzített
és
fizikai paraméterek esetén.
, a
p
T
periódusidő és a
GR
(ground ratio) talaj fázis időaránya paraméterek változására szolgáltat
adatot a cikk. A SLIP modell
,
és
0
E
paramétereit úgy hangoltuk, hogy a modellből kapott és
a mérésből származó
x
,
VO
,
p
T
és
GR
2. ábra. Periodikus pályák fekete vonallal különböző mechanikai összenergiákon. A
()hx
események által meghatározott felületek zölddel (
LO
h
) és szürkével (
TD
h
). (A
'
tengely balról
jobbra csökken
mentén perturbáljuk a
kezdeti feltételt, ak kor nem tér vissza az erede-
ti pályához stabil megoldás esetén sem. Az 1.,
2. és 3. jelű határgörbéken kívülről (halvány-
sárga tartomány) indítva a mozgást a megol-
dás nem éri el újra a Poincaré-metszetet, azaz
egy periódust sem tud megtenni anélkül, hogy
eldőlne. Nem periodikus pályán indítva a
rendszert, annak viselkedését a nyilak iránya
jellemzi. A piros nyilak mentén haladva (fehér
tartomány) a rendszer véges számú periódu-
son belül eléri valamelyik határgörbét az 1., 2.
és 3. számú közül és a SLIP modell elesik. A
halványkékkel színezett vonzási tartományból
(BoA – Basin of Attraction) indítva a rendszert
a mozgás stabil periodikus pályához konver-
gál, amint a kék nyilak is mutatják. Az 1., 2., és
3. jelölések a 4. és 5. ábrán látható határgörbék
egymásnak való megfeleltetését segítik.
A SLIP modell viselkedésével kapcsolatban
a leginkább átfogó képet a stabilitási határok
felderítése adja a γ, β és
A stabil paramétertartomány határát paraméterkövetés (parameter continuation) segítségével
keressük meg, azaz a
,
és
0
E
paramétert kis mértékben változtatjuk, majd alkalmazzuk az
energiaegyenlettel kibővített Adolfsson-féle iterációt az aktuális paraméterekhez tartozó periodikus
megoldás megtalálására. A paraméterekben történő túl nagy ugrás miatt a (10) iteráció elveszítheti
a konvergenciáját.
A paraméterek hangolásával adott mozgásformák szimulációjára tehetjük alkalmassá a modellt, pl.
különböző sebességű futás, szökdelés, vagy akár különböző állatok mozgásának előállítása. Mivel
az
0
x
becslésnek közel kell lennie az
*
0
x
megoldáshoz, a paraméterek csak kis mértékben
változtathatóak új periodikus pálya keresése előtt. Tehát olyan módszerre van szükség a modell
hangolásához, amely lokálisan vizsgálja a paramétertartományt. Továbbá deriváltak nélküli
módszerre van szükség, hiszen nem garantálja semmi, hogy egy tetszőlegesen választott
célfüggvény folytonos. Ezek miatt a Nelder–Mead szimplex módszert20 választottuk, amely eleve
biztosítja, hogy az iteráció során a
,
és
0
E
paramétertérben ne következzen be túl nagy ugrás.
Amennyiben a (10) iteráció nem konvergál, a szimplex algoritmus egy büntető értéket ad, és az
iteráció más irányban vagy kisebb lépésben változtatott paraméterekkel próbálja keresni az
optimumot. A Nelder–Mead algoritmust Matlab környezetben implementáltuk.
Eredmények
Különböző
0
E
összenergiákhoz tartozó periodikus pályák a 2. ábrán láthatóak. Megfigyelhető, hogy
a repülő fázisban érvényes
x
irányú
sebesség mentén tekintve a stabil periodikus pályákat
instabilak határolják, illetve az is, hogy minél kisebb a haladási sebesség, annál nagyobbak az
ugrások. A SLIP modell viselkedésének egyik szemléletes interpretációja a Poincaré-féle visszatérési
térkép, mely a 3. ábrán látható az emberi mozgáshoz közel álló
19,11
=
és
1
=
értékeknél. Egy
1
tan ( / )
−
= −
szögét4 ábr
A 4. és 5. ábra a vonzási tartományokat szemlélteti rögzített
és
értékeknél az összenergia és a
repülő fázisban állandó értékű
vízszintes sebesség illetve a
szög síkján. A kék folytonos és a
piros szaggatott görbék
zavarjuk meg a mozgást (pl.
vagy
mentén), az visszatér a stabil pályára, míg ha az
0
E
mentén
perturbáljuk
felderítése adja a
,
és
0
E
paramétertérben, mely a 6. ábrán látható. A 6. ábra a különböző
értékekhez tartozó vetületeket mutatja. A stabil tartomány térbeli szemléltetésére egy interaktív
Matlab program21 is elérhető. A stabilitási határfelületek segítségével könnyen meghatározhatók
olyan paraméter-beállítások, amelyekkel garantálható a stabil mozgás. Azonban még ekkor is
kihívást jelenthet a kezdeti feltételek beállítása, melyhez a 4. és 5. ábra ad segítséget rögzített
és
fizikai paraméterek esetén.
, a
p
T
periódusidő és a
GR
(ground ratio) talaj fázis időaránya paraméterek változására szolgáltat
adatot a cikk. A SLIP modell
,
és
0
E
paramétereit úgy hangoltuk, hogy a modellből kapott és
a mérésből származó
x
,
VO
,
p
T
és
GR
2. ábra. Periodikus pályák fekete vonallal különböző mechanikai összenergiákon. A
()hx
események által meghatározott felületek zölddel (
LO
h
) és szürkével (
TD
h
). (A
'
tengely balról
jobbra csökken
paramétertérben,
2. ábra. A periodikus pályák különböző mechanikai összenergiákon (fekete vonallal). A h(x) események által
meghatározott felületek zölddel (hLO ) és szürkével (hTD ) láthatóak. A ξ’ tengely balról jobbra csökken
3. ábra. A Poincaré-féle visszatérési térkép
4545
Biomechanica Hungarica 2022;15(1):39-50
MOZGÁSVIZSGÁLAT ÉS -TERÁPIA
mely a 6. ábrán látható. A 6. ábra a különbö-
ző γ értékekhez tartozó vetületeket mutatja.
A stabil tartomány térbeli szemléltetésére egy
interaktív Matlab program21 is elérhető. A
stabilitási határfelületek segítségével könnyen
meghatározhatók olyan paraméter-beállítá-
sok, amelyekkel garantálható a stabil moz-
gás. Azonban még ekkor is kihívást jelenthet
a kezdeti feltételek beállítása, melyhez a 4. és
5. ábra ad segítséget rögzített γ és β zikai pa-
raméterek esetén.
A 7., 8. és 9. ábrákon a Nelder–Mead szimplex
módszerrel végrehajtott paraméterillesztések
eredményei láthatóak. Hobara cikkében22
egy 400 méter hosszú pályán álló helyzetből
indulva sprinteltek a mérésben részt vevő sze-
mélyek. A megtett út mentén jelentősen vál-
tozik a futók mozgásformája a fáradás miatt
4. ábra. Vonzási tartomány,
4. ábra. Vonzási tartomány,
( )
0
,E
-sík.
5. ábra. Vonzási tartomány,
( )
0
,E
-sík.
stabil tartomány közepén volt (
30
=
,
0, 7
=
,
0
0,8E=
). A további pontokhoz a kezdeti
becslést mindig az előző pont eredménye szolgáltatta. A relatív hibák
100 ( ) /
x MSM
R xxx= −
értékeit a 11. ábrán tüntettük fel (a mért értékeket
M
x
, a szimulációval kapott értékeket
S
x
jelöli).
Morin23 adataira vonatkozóan ugyanezt az illesztést hajtottuk végre azzal a különbséggel, hogy a
x
,
VO
,
p
T
és
GR
mutatószámok a kényelmes lépésfrekvenciától való eltérés függvényében
álltak rendelkezésre (8. ábra). Végül az átlagsebességet független paraméternek tekintve Cavagna24
adataira is megtörtént az illesztés (9. ábra) négyféle gerinces esetén. Az illesztés eredménye
minden esetben jelleghelyes. A számszerű eltérés oka, hogy a 4 mutatószám illesztésére
mindössze három független paraméter állt rendelkezésre (
,
,
0
E
). A 10. ábrán a megfelelő
,
és
0
E
paraméterértékek láthatók.
függetlenül a kezdeti értékétől a
minden periódus végén a
cos
−
értékbe képeződik vissza a
()gx
ugrás függvény által. A kezdeti értéktől függő sajátérték azt mutatja meg, hogy amennyiben
a c kezdeti érték
*
00
+
megzavarása úgy történik, hogy nem változik meg a rendszer
mechanikai energiája, akkor milyen a
*
0
kezdeti értékhez tartozó
0
E
izoenergia felületen mozog, amennyiben a
4
sajátérték kisebb, mint egy, a megoldás egyre
közelebb fog kerülni a periodikus megoldás trajektóriájához, a hiba eltűnik. Ha megváltozik a
mechanikai összenergia, a megoldás másik
1
()EE=x
izoenergia felületre kerül, melyek között
külső beavatkozás nélkü
hibái a
x
,
VO
,
p
T
és
GR
muttaószámokra
ötváltozós esetben még egy egyes sajátérték keletkezik:
4
1, 1, 0, , 1
i
=
. Ezen kívül bizonyos
sajátértékekhez tartozó sajátvektorok iránya és jelentése megváltozik. A zérus sajátértékhez
tartozó sajátvektor iránya
G
lesz, mivel minden periódusban a talajhoz rögzítés során előírjuk az
értékét. Az újonnan megjelenő egyes sajátérték sajátiránya vele, illetve a másik ciklikus
koordinátával,
G
-vel lesz összeköttetésben, méghozzá az alábbi módon:
T
5
, 0, 0, ,a ba=v
,
ahol
a
és
b
skaláris értékek. Az 1 értékű sajátérték azt jelenti, hogy ha az
irányban
- sík
5. ábra. Vonzási tartomány,
4. ábra. Vonzási tartomány,
( )
0
,E
-sík.
5. ábra. Vonzási tartomány,
( )
0
,E
-sík.
stabil tartomány közepén volt (
30
=
,
0, 7
=
,
0
0,8E=
). A további pontokhoz a kezdeti
becslést mindig az előző pont eredménye szolgáltatta. A relatív hibák
100 ( ) /
x MSM
R xxx= −
értékeit a 11. ábrán tüntettük fel (a mért értékeket
M
x
, a szimulációval kapott értékeket
S
x
jelöli).
Morin23 adataira vonatkozóan ugyanezt az illesztést hajtottuk végre azzal a különbséggel, hogy a
x
,
VO
,
p
T
és
GR
mutatószámok a kényelmes lépésfrekvenciától való eltérés függvényében
álltak rendelkezésre (8. ábra). Végül az átlagsebességet független paraméternek tekintve Cavagna24
adataira is megtörtént az illesztés (9. ábra) négyféle gerinces esetén. Az illesztés eredménye
minden esetben jelleghelyes. A számszerű eltérés oka, hogy a 4 mutatószám illesztésére
mindössze három független paraméter állt rendelkezésre (
,
,
0
E
). A 10. ábrán a megfelelő
,
és
0
E
paraméterértékek láthatók.
függetlenül a kezdeti értékétől a
minden periódus végén a
cos
−
értékbe képeződik vissza a
()gx
ugrás függvény által. A kezdeti értéktől függő sajátérték azt mutatja meg, hogy amennyiben
a c kezdeti érték
*
00
+
megzavarása úgy történik, hogy nem változik meg a rendszer
mechanikai energiája, akkor milyen a
*
0
kezdeti értékhez tartozó
0
E
izoenergia felületen mozog, amennyiben a
4
sajátérték kisebb, mint egy, a megoldás egyre
közelebb fog kerülni a periodikus megoldás trajektóriájához, a hiba eltűnik. Ha megváltozik a
mechanikai összenergia, a megoldás másik
1
()EE=x
izoenergia felületre kerül, melyek között
külső beavatkozás nélkü
hibái a
x
,
VO
,
p
T
és
GR
muttaószámokra
ötváltozós esetben még egy egyes sajátérték keletkezik:
4
1, 1, 0, , 1
i
=
. Ezen kívül bizonyos
sajátértékekhez tartozó sajátvektorok iránya és jelentése megváltozik. A zérus sajátértékhez
tartozó sajátvektor iránya
G
lesz, mivel minden periódusban a talajhoz rögzítés során előírjuk az
értékét. Az újonnan megjelenő egyes sajátérték sajátiránya vele, illetve a másik ciklikus
koordinátával,
G
-vel lesz összeköttetésben, méghozzá az alábbi módon:
T
5
, 0, 0, ,a ba=v
,
ahol
a
és
b
skaláris értékek. Az 1 értékű sajátérték azt jelenti, hogy ha az
irányban
- sík
6. ábra. A stabilitási térkép vetülete
8. ábra. Mérésekből23 (szaggatott) és a SLIP modell
illesztésével kapott (folytonos) mutatószámok
7. ábra. Mérésekből22 (szaggatott) és a SLIP modell
illesztésével kapott (folytonos) mutatószámok
Biomechanica Hungarica 2022;15(1):39-50
4646
MOZGÁSVIZSGÁLAT ÉS -TERÁPIA
és stratégiai okokból. A
4. ábra. Vonzási tartomány,
( )
0
,E
-sík.
5. ábra. Vonzási tartomány,
( )
0
,E
-sík.
stabil tartomány közepén volt (
30
=
,
0, 7
=
,
0
0,8E=
). A további pontokhoz a kezdeti
becslést mindig az előző pont eredménye szolgáltatta. A relatív hibák
100 ( ) /
x MSM
R xxx= −
értékeit a 11. ábrán tüntettük fel (a mért értékeket
M
x
, a szimulációval kapott értékeket
S
x
jelöli).
Morin23 adataira vonatkozóan ugyanezt az illesztést hajtottuk végre azzal a különbséggel, hogy a
x
,
VO
,
p
T
és
GR
mutatószámok a kényelmes lépésfrekvenciától való eltérés függvényében
álltak rendelkezésre (8. ábra). Végül az átlagsebességet független paraméternek tekintve Cavagna24
adataira is megtörtént az illesztés (9. ábra) négyféle gerinces esetén. Az illesztés eredménye
minden esetben jelleghelyes. A számszerű eltérés oka, hogy a 4 mutatószám illesztésére
mindössze három független paraméter állt rendelkezésre (
,
,
0
E
). A 10. ábrán a megfelelő
,
és
0
E
paraméterértékek láthatók.
függetlenül a kezdeti értékétől a
minden periódus végén a
cos
−
értékbe képeződik vissza a
()gx
ugrás függvény által. A kezdeti értéktől függő sajátérték azt mutatja meg, hogy amennyiben
a c kezdeti érték
*
00
+
megzavarása úgy történik, hogy nem változik meg a rendszer
mechanikai energiája, akkor milyen a
*
0
kezdeti értékhez tartozó
0
E
izoenergia felületen mozog, amennyiben a
4
sajátérték kisebb, mint egy, a megoldás egyre
közelebb fog kerülni a periodikus megoldás trajektóriájához, a hiba eltűnik. Ha megváltozik a
mechanikai összenergia, a megoldás másik
1
()EE=x
izoenergia felületre kerül, melyek között
külső beavatkozás nélkü
hibái a
x
,
VO
,
p
T
és
GR
muttaószámokra
ötváltozós esetben még egy egyes sajátérték keletkezik:
4
1, 1, 0, , 1
i
=
. Ezen kívül bizonyos
sajátértékekhez tartozó sajátvektorok iránya és jelentése megváltozik. A zérus sajátértékhez
tartozó sajátvektor iránya
G
lesz, mivel minden periódusban a talajhoz rögzítés során előírjuk az
értékét. Az újonnan megjelenő egyes sajátérték sajátiránya vele, illetve a másik ciklikus
koordinátával,
G
-vel lesz összeköttetésben, méghozzá az alábbi módon:
T
5
, 0, 0, ,a ba=v
,
ahol
a
és
b
skaláris értékek. Az 1 értékű sajátérték azt jelenti, hogy ha az
irányban
lépéshossz, a VO
(vertical oscillation) függőleges irányú elmoz-
dulás, a Tp periódusidő és a GR (ground ratio)
talaj fázis időaránya paraméterek változására
szolgáltat adatot a cikk. A SLIP modell γ, β
és
A stabil paramétertartomány határát paraméterkövetés (parameter continuation) segítségével
keressük meg, azaz a
,
és
0
E
paramétert kis mértékben változtatjuk, majd alkalmazzuk az
energiaegyenlettel kibővített Adolfsson-féle iterációt az aktuális paraméterekhez tartozó periodikus
megoldás megtalálására. A paraméterekben történő túl nagy ugrás miatt a (10) iteráció elveszítheti
a konvergenciáját.
A paraméterek hangolásával adott mozgásformák szimulációjára tehetjük alkalmassá a modellt, pl.
különböző sebességű futás, szökdelés, vagy akár különböző állatok mozgásának előállítása. Mivel
az
0
x
becslésnek közel kell lennie az
*
0
x
megoldáshoz, a paraméterek csak kis mértékben
változtathatóak új periodikus pálya keresése előtt. Tehát olyan módszerre van szükség a modell
hangolásához, amely lokálisan vizsgálja a paramétertartományt. Továbbá deriváltak nélküli
módszerre van szükség, hiszen nem garantálja semmi, hogy egy tetszőlegesen választott
célfüggvény folytonos. Ezek miatt a Nelder–Mead szimplex módszert20 választottuk, amely eleve
biztosítja, hogy az iteráció során a
,
és
0
E
paramétertérben ne következzen be túl nagy ugrás.
Amennyiben a (10) iteráció nem konvergál, a szimplex algoritmus egy büntető értéket ad, és az
iteráció más irányban vagy kisebb lépésben változtatott paraméterekkel próbálja keresni az
optimumot. A Nelder–Mead algoritmust Matlab környezetben implementáltuk.
Eredmények
Különböző
0
E
összenergiákhoz tartozó periodikus pályák a 2. ábrán láthatóak. Megfigyelhető, hogy
a repülő fázisban érvényes
x
irányú
sebesség mentén tekintve a stabil periodikus pályákat
instabilak határolják, illetve az is, hogy minél kisebb a haladási sebesség, annál nagyobbak az
ugrások. A SLIP modell viselkedésének egyik szemléletes interpretációja a Poincaré-féle visszatérési
térkép, mely a 3. ábrán látható az emberi mozgáshoz közel álló
19,11
=
és
1
=
értékeknél. Egy
1
tan ( / )
−
= −
szögét4 ábr
A 4. és 5. ábra a vonzási tartományokat szemlélteti rögzített
és
értékeknél az összenergia és a
repülő fázisban állandó értékű
vízszintes sebesség illetve a
szög síkján. A kék folytonos és a
piros szaggatott görbék
zavarjuk meg a mozgást (pl.
vagy
mentén), az visszatér a stabil pályára, míg ha az
0
E
mentén
perturbáljuk
felderítése adja a
,
és
0
E
paramétertérben, mely a 6. ábrán látható. A 6. ábra a különböző
értékekhez tartozó vetületeket mutatja. A stabil tartomány térbeli szemléltetésére egy interaktív
Matlab program21 is elérhető. A stabilitási határfelületek segítségével könnyen meghatározhatók
olyan paraméter-beállítások, amelyekkel garantálható a stabil mozgás. Azonban még ekkor is
kihívást jelenthet a kezdeti feltételek beállítása, melyhez a 4. és 5. ábra ad segítséget rögzített
és
fizikai paraméterek esetén.
, a
p
T
periódusidő és a
GR
(ground ratio) talaj fázis időaránya paraméterek változására szolgáltat
adatot a cikk. A SLIP modell
,
és
0
E
paramétereit úgy hangoltuk, hogy a modellből kapott és
a mérésből származó
x
,
VO
,
p
T
és
GR
2. ábra. Periodikus pályák fekete vonallal különböző mechanikai összenergiákon. A
()hx
események által meghatározott felületek zölddel (
LO
h
) és szürkével (
TD
h
). (A
'
tengely balról
jobbra csökken
és paramétereit úgy hangoltuk, hogy
a modellből kapott és a mérésből származó
4. ábra. Vonzási tartomány,
( )
0
,E
-sík.
5. ábra. Vonzási tartomány,
( )
0
,E
-sík.
stabil tartomány közepén volt (
30
=
,
0, 7
=
,
0
0,8E=
). A további pontokhoz a kezdeti
becslést mindig az előző pont eredménye szolgáltatta. A relatív hibák
100 ( ) /
x MSM
R xxx= −
értékeit a 11. ábrán tüntettük fel (a mért értékeket
M
x
, a szimulációval kapott értékeket
S
x
jelöli).
Morin23 adataira vonatkozóan ugyanezt az illesztést hajtottuk végre azzal a különbséggel, hogy a
x
,
VO
,
p
T
és
GR
mutatószámok a kényelmes lépésfrekvenciától való eltérés függvényében
álltak rendelkezésre (8. ábra). Végül az átlagsebességet független paraméternek tekintve Cavagna24
adataira is megtörtént az illesztés (9. ábra) négyféle gerinces esetén. Az illesztés eredménye
minden esetben jelleghelyes. A számszerű eltérés oka, hogy a 4 mutatószám illesztésére
mindössze három független paraméter állt rendelkezésre (
,
,
0
E
). A 10. ábrán a megfelelő
,
és
0
E
paraméterértékek láthatók.
függetlenül a kezdeti értékétől a
minden periódus végén a
cos
−
értékbe képeződik vissza a
()gx
ugrás függvény által. A kezdeti értéktől függő sajátérték azt mutatja meg, hogy amennyiben
a c kezdeti érték
*
00
+
megzavarása úgy történik, hogy nem változik meg a rendszer
mechanikai energiája, akkor milyen a
*
0
kezdeti értékhez tartozó
0
E
izoenergia felületen mozog, amennyiben a
4
sajátérték kisebb, mint egy, a megoldás egyre
közelebb fog kerülni a periodikus megoldás trajektóriájához, a hiba eltűnik. Ha megváltozik a
mechanikai összenergia, a megoldás másik
1
()EE=x
izoenergia felületre kerül, melyek között
külső beavatkozás nélkü
hibái a
x
,
VO
,
p
T
és
GR
muttaószámokra
ötváltozós esetben még egy egyes sajátérték keletkezik:
4
1, 1, 0, , 1
i
=
. Ezen kívül bizonyos
sajátértékekhez tartozó sajátvektorok iránya és jelentése megváltozik. A zérus sajátértékhez
tartozó sajátvektor iránya
G
lesz, mivel minden periódusban a talajhoz rögzítés során előírjuk az
értékét. Az újonnan megjelenő egyes sajátérték sajátiránya vele, illetve a másik ciklikus
koordinátával,
G
-vel lesz összeköttetésben, méghozzá az alábbi módon:
T
5
, 0, 0, ,a ba=v
,
ahol
a
és
b
skaláris értékek. Az 1 értékű sajátérték azt jelenti, hogy ha az
irányban
, VO, Tp és GR mutatószámok relatív hibá-
inak négyzetösszege (célfüggvény) minimális
legyen (7. ábra).
A szimplex módszer kezdeti becslése a para-
métertérben nagymértékben befolyásolja a
konvergenciát. A mérési adatsorok első pont-
jában a kezdeti becslés a 6. ábrán látható sta-
bil tartomány közepén volt (γ = 30, β = 0, 7,
A stabil paramétertartomány határát paraméterkövetés (parameter continuation) segítségével
keressük meg, azaz a
,
és
0
E
paramétert kis mértékben változtatjuk, majd alkalmazzuk az
energiaegyenlettel kibővített Adolfsson-féle iterációt az aktuális paraméterekhez tartozó periodikus
megoldás megtalálására. A paraméterekben történő túl nagy ugrás miatt a (10) iteráció elveszítheti
a konvergenciáját.
A paraméterek hangolásával adott mozgásformák szimulációjára tehetjük alkalmassá a modellt, pl.
különböző sebességű futás, szökdelés, vagy akár különböző állatok mozgásának előállítása. Mivel
az
0
x
becslésnek közel kell lennie az
*
0
x
megoldáshoz, a paraméterek csak kis mértékben
változtathatóak új periodikus pálya keresése előtt. Tehát olyan módszerre van szükség a modell
hangolásához, amely lokálisan vizsgálja a paramétertartományt. Továbbá deriváltak nélküli
módszerre van szükség, hiszen nem garantálja semmi, hogy egy tetszőlegesen választott
célfüggvény folytonos. Ezek miatt a Nelder–Mead szimplex módszert20 választottuk, amely eleve
biztosítja, hogy az iteráció során a
,
és
0
E
paramétertérben ne következzen be túl nagy ugrás.
Amennyiben a (10) iteráció nem konvergál, a szimplex algoritmus egy büntető értéket ad, és az
iteráció más irányban vagy kisebb lépésben változtatott paraméterekkel próbálja keresni az
optimumot. A Nelder–Mead algoritmust Matlab környezetben implementáltuk.
Eredmények
Különböző
0
E
összenergiákhoz tartozó periodikus pályák a 2. ábrán láthatóak. Megfigyelhető, hogy
a repülő fázisban érvényes
x
irányú
sebesség mentén tekintve a stabil periodikus pályákat
instabilak határolják, illetve az is, hogy minél kisebb a haladási sebesség, annál nagyobbak az
ugrások. A SLIP modell viselkedésének egyik szemléletes interpretációja a Poincaré-féle visszatérési
térkép, mely a 3. ábrán látható az emberi mozgáshoz közel álló
19,11
=
és
1
=
értékeknél. Egy
1
tan ( / )
−
= −
szögét4 ábr
A 4. és 5. ábra a vonzási tartományokat szemlélteti rögzített
és
értékeknél az összenergia és a
repülő fázisban állandó értékű
vízszintes sebesség illetve a
szög síkján. A kék folytonos és a
piros szaggatott görbék
zavarjuk meg a mozgást (pl.
vagy
mentén), az visszatér a stabil pályára, míg ha az
0
E
mentén
perturbáljuk
felderítése adja a
,
és
0
E
paramétertérben, mely a 6. ábrán látható. A 6. ábra a különböző
értékekhez tartozó vetületeket mutatja. A stabil tartomány térbeli szemléltetésére egy interaktív
Matlab program21 is elérhető. A stabilitási határfelületek segítségével könnyen meghatározhatók
olyan paraméter-beállítások, amelyekkel garantálható a stabil mozgás. Azonban még ekkor is
kihívást jelenthet a kezdeti feltételek beállítása, melyhez a 4. és 5. ábra ad segítséget rögzített
és
fizikai paraméterek esetén.
, a
p
T
periódusidő és a
GR
(ground ratio) talaj fázis időaránya paraméterek változására szolgáltat
adatot a cikk. A SLIP modell
,
és
0
E
paramétereit úgy hangoltuk, hogy a modellből kapott és
a mérésből származó
x
,
VO
,
p
T
és