Pfahl unter Beanspruchung durch das Wellenfeld einer bewegten Last: Vergleich von FEM und Bettungsmodulverfahren

Abstract

Ein wesentlicher Aspekt bei der Erschütterungsprognose von auf Pfählen gegründeten Gebäuden betrifft die mögliche Reduktion des Erschütterungssignals beim Übergang vom Boden auf die Pfähle. In ausreichender Entfernung von der Quelle wird üblicherweise angenommen, dass das Wellenfeld von der Rayleighwelle dominiert wird. Ein einfaches praxisnahes Modell für die Wechselwirkung Pfahl-Boden basiert auf dem Bettungsmodulverfahren (BMV) und besteht aus einem durch frequenzabhängige Federn und Dämpfer gestützten Balken, der durch das einfallende Rayleighwellenfeld beansprucht wird. Diese Lösung wird mit der zugehörigen numerischen FEM-Kontinuumslösung eines Pfahls, der infolge eines durch eine bewegte oszillierende Last emittierten Wellenfelds beansprucht wird, verglichen. Einflussparameter wie die Fahrgeschwindigkeit der Last, die Wellenausbreitungsgeschwindigkeiten (P-, S-Welle) im Boden und die Entfernung des Pfahls werden für typische Werte der Pfahlgeometrie und -steifigkeit variiert.

Full text

Pfahl unter Beanspruchung durch das Wellenfeld einer
bewegten Last: Vergleich von FEM und
Bettungsmodulverfahren
Dipl.-Ing. Georgia Efthymiou,
Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Christos Vrettos
Technische Universität Kaiserslautern
Kurzfassung
Ein wesentlicher Aspekt bei der Erschütterungsprognose von auf Pfählen gegründeten
Gebäuden betrifft die mögliche Reduktion des Erschütterungssignals beim Übergang vom
Boden auf die Pfähle. In ausreichender Entfernung von der Quelle wird üblicherweise
angenommen, dass das Wellenfeld von der Rayleighwelle dominiert wird. Ein einfaches
praxisnahes Modell für die Wechselwirkung Pfahl-Boden basiert auf dem
Bettungsmodulverfahren (BMV) und besteht aus einem durch frequenzabhängige Federn und
Dämpfer gestützten Balken, der durch das einfallende Rayleighwellenfeld beansprucht wird.
Diese Lösung wird mit der zugehörigen numerischen FEM-Kontinuumslösung eines Pfahls,
der infolge eines durch eine bewegte oszillierende Last emittierten Wellenfelds beansprucht
wird, verglichen. Einflussparameter wie die Fahrgeschwindigkeit der Last, die
Wellenausbreitungsgeschwindigkeiten (P-, S-Welle) im Boden und die Entfernung des Pfahls
werden für typische Werte der Pfahlgeometrie und -steifigkeit variiert.
1. Einleitung
Die Antwort von Pfählen auf einfallende Wellen infolge von stationären oder bewegten Lasten
stellt ein Problem der kinematischen Interaktion dar. Zur Lösung stationärer Problemstellungen
mit einer direkten harmonischen Anregung von Gründungskörpern werden üblicherweise
spezielle Rechenprogramme eingesetzt, Hartmann [1]. Eine indirekte Anregung kann
ebenfalls hiermit behandelt werden, Kaynia & Novak [2]. Die Finite-Elemente-Methode (FEM)
stellt eine auf den ersten Blick sehr attraktive Alternative dar, die jedoch wegen der
erforderlichen Diskretisierung des weit ausgedehnten Bodenkontinuums hohe Anforderungen
an die numerische Modellierung und insbesondere an die Rechnerleistung stellt. Zu den
Näherungsverfahren gehören Lösungen auf der Basis des Bettungsmodulverfahrens (BMV),
Makris [3]. Des Weiteren werden theoretische Studien benötigt, um Erkenntnisse aus
Baudynamik 2022, VDI-Berichte Nr. 2379, 631-641.

Messungen zur erschütterungsmindernden Wirkung von Pfählen (Appel et al. [4]) zu
untermauern. Die Problemstellung wird weit komplexer, wenn im Rahmen des
Erschütterungsschutzes auch bewegte Lasten berücksichtigt werden müssen. Hierzu
existieren nur vereinzelt Untersuchungen (Galvín & Domínguez [5], Auersch [6]). Relevante
Aspekte wurden in einer kürzlich erschienenen Arbeit von Efthymiou & Vrettos [7] behandelt.
Der vorliegende Beitrag erweitert diese Studie bezüglich des Einflusses weiterer Parameter
(Geschwindigkeit und Frequenz der bewegten Last, Steifigkeit des Bodens) und zeigt einen
weiteren Vergleich zwischen der FEM-Kontinuumslösung und dem Bettungsmodulverfahren
nach [3].
2. Einzelpfahl im Rayleighwellenfeld – Bettungsmodulverfahren (BMV)
Zunächst wird das praxisnahe Modell von Makris [3] vorgestellt, das die Antwort eines
Mantelreibungspfahls (kein Spitzendruck) auf eine Anregung durch eine einfallende
Rayleighwelle der Frequenz f darstellt, siehe Bild 1. Der Pfahl hat die Länge l, den
Durchmesser d, die Dichte ρp und den Elastizitätsmodul Ep und ist in einem homogenen, linear-
elastischen Halbraum des Schubmoduls G, der Dichte ρ und der Poissonzahl ν eingebettet.
Wir betrachten hier nur die vertikale Schwingung, da diese meistens in der Praxis relevant ist.
Bild 1: Einzelpfahl im Rayleighwellenfeld nach dem Bettungsmodulverfahren (Prinzipskizze).
Die Verteilung der vertikalen Verschiebungskomponente der Rayleighwelle wff mit der Tiefe z
lautet [3]:
()
() ( )
112 2
exp α exp α=⋅ −⋅+ ⋅ −⋅
ff
wz w z w z
(1)
mit
22
12
1, 1=− =−
PS
RR
ωω
αψα ψ
cc
(2)

2
2
12
2
2
1,
21
−
=− − =
−
S
P
S
ψ
wψw
ψ
()
12
,21
−⋅
===
−
RR
SPS
SP
cc ν
ψψψ
cc ν (3)
wobei ω = 2·π·f die Kreisfrequenz, cS, cP und cR die Geschwindigkeit der Scherwelle (S-Welle),
der Kompressionswelle (P-Welle) und der Rayleighwelle (R-Welle) im Boden sind. cR lässt sich
aus cS und ν bestimmen.
Die Pfahl–Boden-Wechselwirkung wird mithilfe von Winkler-Federn und viskosen Dämpfern
analog zum Bettungsmodulverfahren modelliert. Für die frequenzabhängige Federkonstante
kz und die Dämpfungskonstante cz wird in [3] in Anlehnung an [8] verwendet:
()
0
0,6 1 0,5=⋅⋅+⋅
z
kE a (4)
1/ 4
0
1, 2 z
zS
k
cπaρcdξπf
−
=⋅⋅ ⋅⋅⋅+ ⋅ (5)
wobei E der Elastizitätsmodul des Bodens, ξ die Materialdämpfung und
0
⋅
=
S
ωd
ac (6)
die dimensionslose Frequenz sind. Man beachte, dass in Gl. (4) und Gl. (5) vereinfachend der
Einfluss der Schlankheit l/d sowie der Steifigkeit des Pfahls vernachlässigt und v = 0,4
vorausgesetzt wird. Aus der Differentialgleichung für die vertikale Pfahlverschiebung wp(z) und
den Randbedingungen ergibt sich aus [3] nach einigen Umrechnungen die Verschiebung des
Pfahlkopfs in expliziter Form:
()
()
() ( )
()
12 1 1 2 2
12
12
(0) cosh exp exp
sinh( )

= + ⋅− ⋅ −⋅+ ⋅ − ⋅

⋅⋅

−+



z
p
z
ε
whhδlh αlh αl
δδl
hh
εαα
(7)
mit
11 2 2
22 22
12
12
,
⋅⋅
==
−−
wαwα
hh
αδ αδ
(8)
+⋅ ⋅
=⋅
zz
z
pp
kiωc
εEA ,
2
2+⋅ ⋅ − ⋅
=⋅
zzp
pp
kiωcmω
δEA (9)
wobei i die imaginäre Einheit, mp die Masse und Ap (=π∙d2/4) die Querschnittsfläche des Pfahls
sind.

Die Quantifizierung der kinematischen Interaktion erfolgt mittels sogenannter
Übertragungsfunktionen. Diese beziehen hier die vertikale Verschiebungsamplitude des
eingebetteten Pfahls am Pfahlkopf wp(0) auf die des Freifelds wff(0) an gleicher Stelle.
Ergebnisse für typische Kennwerte für Pfahl und Boden sind in Bild 2 dargestellt. Die
Übertragungsfunktion Pfahlkopf-Freifeld hängt stark von der Frequenz ab. Schlankheit l/d und
relative Steifigkeit Ep/E spielen dabei eine wichtige Rolle.
Bild 2: Kinematische Übertragungsfunktion in Abhängigkeit von der Frequenz nach [3].
3. Freifeldantwort auf eine bewegte Last konstanter Magnitude – Analytische Lösung
Zunächst wird hier die analytische Lösung nach Barber [9] vorgestellt. Diese gibt die vertikale
Verschiebung des Freifelds wv infolge einer sich mit einer Geschwindigkeit v0 auf der
Oberfläche eines linear-elastischen Halbraums bewegenden vertikalen Punktlast Q wieder.
Für einen Beobachtungspunkt außerhalb der Fahrstrecke und für den sogenannten
unterkritischen Bereich mit v0 < cR lautet diese Lösung:
()
22
2
222
1
(, ) 22411
SP
v
SPS
MM
Q
wrθπGr MMM
−
=− ⋅
⋅⋅⋅ −−− −
(10)
mit
00
sin sin
,
PS
PS
vθvθ
MM
cc
⋅⋅
==
(11)
wobei 0 < θ < π der Winkel zwischen der Fahrtachse und der Verbindungslinie zwischen Last
und Beobachtungspunkt und r die Entfernung zwischen Last und Beobachtungspunkt sind.
Für v0 → 0 konvergiert Gl. (10) zu der Lösung nach Boussinesq für eine statische Punktlast:
(1 )
() 2
st
Qν
wr πGr
⋅−
=− ⋅⋅⋅
(12)

Für den überkritischen Bereich mit v0 > cR verkompliziert sich die Lösung. Dies entspricht
jedoch dem seltenen Sonderfall einer sehr hohen Fahrgeschwindigkeit auf weichem Boden.
4. FEM-Modelle und Verifizierung
Für die Berechnungen wurde das Programm Plaxis 3D [10] verwendet. Eine Prinzipskizze zu
dem FEM-Modell zeigt Bild 3. Länge L, Breite B und Höhe H des Modells sind variabel und
werden später im jeweiligen Abschnitt angegeben. Die Fahrtachse ist durch eine gestrichelte
Linie gekennzeichnet und verläuft über die gesamte Modellänge. Der Einzelpfahl befindet sich
in Modellmitte in einem (orthogonalen) Abstand x0 von der Fahrtachse. Durch die Ausnutzung
der Symmetrie ist ein zweiter, identischer Einzelpfahl in der nicht dargestellten Hälfte des
Systems vorhanden, dessen Einfluss auf die Ergebnisse allerdings gering ist. Eine
Berechnung mit einem vollen Modell wäre bei der verfügbaren Rechnerkapazität kaum
möglich. An den Modellrändern (außer in der Symmetrieebene) werden viskose
Randbedingungen angesetzt. Der untere Rand des Modells wird entweder als viskos oder als
starr angesetzt, je nachdem ob ein Halbraum oder eine Bodenschicht simuliert wird. Der
Boden ist linear-elastisch mit einer Rayleigh-Dämpfung entsprechend ξ = 1 %. Die
Bodenkennwerte sind im jeweiligen Abschnitt zu finden. Der linear-elastische Pfahl mit
Ep = 30 GPa, vp = 0,2 und Wichte γp = 25 kN/m3 wird mittels Volumenelementen abgebildet
und ist fest mit dem umliegenden Boden verbunden. Länge und Durchmesser des Pfahles
betragen l = 10 m bzw. d = 0,67 m (l/d = 15).
Zunächst erfolgt eine Verifizierung der Freifeldantwort anhand der Lösung nach Barber [9] für
eine bewegte Last konstanter Magnitude mit v0 = 100 m/s bzw. v0 = 50 m/s, Bild 4. Die
statische Lösung nach Boussinesq ist zum Vergleich ebenfalls aufgetragen. Das Modell mit
L/B/H = 104/50/100 m basiert auf den Untersuchungen in [11]. Die globale Netzfeinheit ist
„grob“ mit einer feineren Unterteilung entlang der Fahrtstrecke. Es wurden angesetzt:
G = 30,5 MPa, ρ = 1,89 Mg/m3, v = 0,3, so dass cS = 127m/s und cR = 118 m/s.
Bild 3: Prinzipskizze des FEM-Modells.

Bild 4: Bewegte konstante Last auf Halbraum mit v0 = 100 m/s bzw. 50 m/s: vertikale
Verschiebung der Oberfläche im Abstand x0 = 6 m von der Fahrtachse; v = 0.3
(Efthymiou & Vrettos [7]).
Als Beobachtungspunkt wurde ein Knoten des FE-Netzes im Abstand x0 = 6 m von der
Fahrtachse gewählt. Trotz der großen Modelllänge entsteht in der Antwort wegen der abrupten
Lastaufbringung eine Störung, die durch eine rampenförmige Lastaufbringung minimiert wird
[7]. Für v0 = 100 m/s (v0/cR = 0,847) werden die maximale Setzung sowie der nachfolgende
Verlauf sehr gut erfasst. Bereits bei v0 = 50 m/s (v0/cR = 0,423) ist die Abweichung der
maximalen Setzung von der Boussinesq-Lösung gering, was ein Indiz für die statische Natur
der Antwort ist. Signifikante Abweichungen von [9] werden nach dem Setzungspeak
beobachtet, die auf die unzureichende Genauigkeit der viskosen Randbedingungen bei
niedrigen Fahrgeschwindigkeiten zurückzuführen sind. Dies wurde durch einen starren
unteren Rand korrigiert.
5. Antwort eines Einzelpfahls
5.1. Modellierung
Mithilfe eines FEM-Modells einer Bodenschicht mit L/B/H = 104/40/20 m (H = 2·l) wurde der
Einfluss der bewegten Last auf die Antwort eines Einzelpfahles (l/d = 15 m) im Abstand x0 = 4,
8, 12 bzw. 16 m untersucht. Für den Boden wurde gewählt: G = 30,5 MPa, ρ = 1,89 Mg/m3

und v = 0,4. Die Poissonzahl entspricht dem in [3] verwendeten Wert für die Feder- und
Dämpfungskonstanten. Die Einzellast weist eine zeitharmonische Magnitude auf. Die
Fahrgeschwindigkeit v0 ergibt sich aus dem gängigen Schwellenabstand von 0,6 m und der
Frequenz f (v0 = 0,6·f). In der Hauptkonfiguration sind v0 = 18 m/s (≈ 65 km/h) und f = 30 Hz.
Entlang der Fahrtachse ist das Netz fein und außerhalb gleichmäßig mit fünf Elementen pro
Rayleighwellenlänge λR bei f = 30 Hz.
5.2. Ergebnisse für eine bewegte oszillierende Last
Infolge einer bewegten oszillierenden Last stimmen die Ergebnisse der Freifeldantwort mit
denen aus einem axialsymmetrischen Modell für eine stationäre harmonische Last gut überein
(siehe [7]). Für kleine Werte v0/cS stellt die Lösung für die stationäre Last eine gute Näherung
der Lösung für eine bewegte Last dar.
In Bild 5 erkennt man die starke Abhängigkeit der Pfahlantwort von der Frequenz mit einer
starken Abminderung der Freifeldbewegung. Bei x0 = 16 m ist die vertikale Amplitude am
Pfahlkopf um ca. 60 % kleiner als die des Freifelds.
Bild 5: Maximale vertikale Verschiebung an der Oberfläche einer Bodenschicht ohne bzw. mit
eingebettetem Pfahl infolge einer bewegten oszillierenden Last (Efthymiou & Vrettos
[7]).
In Tabelle 1 werden die berechneten Pfahl-Freifeld-Übertragungsfunktionen wp/wff
zusammengestellt und mit den FEM-Ergebnissen für eine stationäre harmonische Last auf
einer Bodenschicht aus [7] verglichen. Die analytische Lösung nach [3], ebenfalls in der
Tabelle eingetragen, gilt nur für das Fernfeld, wo alle Wellen außer der Rayleighwelle
abgeklungen sind. Dementsprechend ist es sinnvoll, diese nur mit den FEM-Ergebnissen für

die größeren Abstände (x0>4 m) zu vergleichen. Die maximale Abweichung bei x0 = 8 m (=
2·λR) beträgt 15% und reduziert sich deutlich mit wachsendem Abstand.
Tabelle 1: Vertikale Übertragungsfunktion Pfahl-Freifeld wp/wff: Vergleich zwischen FEM
(bewegte bzw. stationäre harmonische Last) und Bettungsmodulverfahren nach [3].
f = 30 Hz, Ep/E = 350, l/d = 15, Schicht H = 2·l, cS = 127 m/s, v = 0.4.
wp/wff
x0 [m] 4 8 12 16
FEM
Bewegte harmonische Last
(v0/cS = 0,14) 0,26 0,31 0,37 0,38
Stationäre harmonische Last
(v0/cS = 0) [7] 0,26 0,35 0,37 0,40
BMV, [3] Rayleighwellenfeld 0,41
Des Weiteren wurde der Einfluss von cS und v0 untersucht. Die Ergebnisse für das Freifeld
sind in Bild 6 dargestellt. Die Darstellung der Abszisse erfolgt in dimensionsloser Form (was
bei höheren v0/cS jedoch fragwürdig ist) und die Kurven überlappen sich zum großen Teil.
Bild 6: Bewegte oszillierende Last: Einfluss von cS und v0 bzw. f auf die maximale vertikale
Amplitude des Freifelds.
Die zugehörigen Werte der Übertragungsfunktion für einen Pfahl im Abstand x0 = 16 m sind in
Tabelle 2 zusammengestellt und mit der Lösung nach [3] verglichen. Die Übereinstimmung ist
generell sehr gut mit einer Ausnahme bei v0 = 27 m/s bzw. f = 45 Hz, wo eine Abweichung von
17% auftritt.

Eine Momentaufnahme aus der Zeitbereichsberechnung für einen Pfahl bei x0 = 16 m ist in
Bild 7 dargestellt. Die Wellenausbreitung ist anhand der Konturen des vertikalen
Verschiebungsfeldes zu erkennen. Die abnehmenden Amplituden in der Schattenzone hinter
dem Pfahl deuten auf seine Abschirmwirkung hin.
Tabelle 2: Werte der Übertragungsfunktion wp/wff für einen Einzelpfahl bei x0 = 16 m: Vergleich
zwischen FEM und Bettungsmodulverfahren [3]; l/d = 15, Schicht H = 2·l, v = 0.4.
wp/wff
v0 [m/s]
cS [m/s]
Ep/E
f [Hz]
FEM
BMV, [3]
15 127 350 25 0,44 0,48
18 127 350 30 0,38 0,41
18 170 200 30 0,58 0,55
18 180 175 30 0,56 0,58
27 170 200 45 0,34 0,41
Bild 7: Momentaufnahme des vertikalen Verschiebungsfelds im Boden (cS = 170 m/s) bei
Ankunft einer oszillierenden bewegten Last (v0 = 27 m/s bzw. f = 45 Hz) im
Mindestabstand vom Pfahl bei x0 = 16 m.
Fazit
Die durchgeführten Untersuchungen zeigen, dass bei adäquater Modellierung die FEM in der
Lage ist, die komplexen dynamischen Wechselwirkungen auch bei großen
Systemabmessungen wiederzugeben. Die Validierung anhand von bekannten analytischen

Lösungen für das Freifeld ist hierbei eine unabdingbare Voraussetzung. Zwei wichtige
Erkenntnisse wurden bezüglich der Pfahlantwort auf bewegte Lasten gewonnen: i) Eine gute
Übereinstimmung mit dem Fall einer stationären harmonischen Last wurde für relativ geringe
Werte des Verhältnisses Fahrgeschwindigkeit zu S-Wellengeschwindigkeit festgestellt; ii) die
vertikale Übertragungsfunktion aus der analytischen Lösung nach dem
Bettungsmodulverfahren für das Fernfeld (Pfahl im Rayleighwellenfeld) stellt eine gute
Näherung auch für die Pfahlantwort auf bewegte Lasten dar, solange der Pfahl in einem
Abstand von mehr als etwa zwei Rayleigh-Wellenlängen steht.
Literatur
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Pfahlgruppen – Näherungsverfahren unter Ansatz vereinfachter Bodenmodelle, VDI-
Berichte Nr. 2244, 39–55 (2015).
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[3] Makris, N.: Soil-pile interaction during the passage of Rayleigh waves: An analytical
solution, Earthquake Engng. Struct. Dyn. 23, 153-167 (1994).
[4] Appel, S., Vrettos, C., Hartmann, K.: Messtechnische Bestimmung dynamischer
Steifigkeiten eines Einzelpfahls sowie einer Pfahlgruppe für ein Maschinenfundament,
VDI-Berichte Nr. 2244, 459-471 (2015).
[5] Galvín, P., Domínguez, J.: Analysis of ground motion due to moving surface loads induced
by high-speed trains, Eng. Anal. Bound. Elem. 31, 931-941 (2007).
[6] Auersch, L.: The effect of critically moving loads on the vibrations of soft soils and isolated
railway tracks, Journal of Sound and Vibration 310, H. 3, pp. 587-607 (2008).
[7] Efthymiou, G., Vrettos, C.: Numerische Untersuchungen zur Abschirmwirkung von
Einzelpfählen und Pfahlgruppen im Wellenfeld einer stationären oder bewegten
harmonischen Last, Bautechnik 99, H. 4 (2022).
[8] Gazetas, G., Makris, N.: Dynamic pile‐soil‐pile interaction. Part I: Analysis of axial
vibration, Earthquake Engng. Struct. Dyn. 20, 115-132 (1991).
[9] Barber, J.R.: Surface displacements due to a steadily moving point force, J. Appl. Mech.
63, 243-251 (1996).
[10] Plaxis 3D Connect Edition V21.01, Plaxis bv, Bentley Systems, Incorporated (2021).
[11] Galavi, V., Brinkgreve R.B.J.: Finite element modelling of geotechnical structures
subjected to moving loads, Hicks, M.A.; Brinkgreve R.B.J.; Rohe, A. (eds) Numerical
Methods in Geotechnical Engineering. Taylor & Francis, London, 235-240 (2014).