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La Influencia conjunta del uso de geogebra y lápiz y papel en la adquisición de competencias del alumnado

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Abstract

Este estudio forma parte de una investigación1 en curso sobre la interpretación del comportamiento de los estudiantes de Bachillerato Tecnológico en la resolución de problemas de geometría plana, mediante el análisis de la relación entre el uso de GeoGebra2, la resolución en lápiz y papel y el pensamiento geométrico. El marco teórico se basa principalmente en la teoría de la instrumentación de Rabardel (2001). Proponemos un análisis de los grados de adquisición de los procesos de instrumentación e instrumentalización de los alumnos, las estrategias de resolución en ambos medios y las interacciones entre los distintos agentes involucrados. Pretendemos buscar una relación entre las concepciones de los alumnos y las técnicas que utilizan en las estrategias de resolución de problemas.
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enseñanza de las ciencias, 2009, 27(3), 433–446
LA INFLUENCIA CONJUNTA DEL USO DE GEOGEBRA
Y LÁPIZ Y PAPEL EN LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS
DEL ALUMNADO
Iranzo, Nuria y Fortuny, Josep Maria
Departament de Didàctica de les Matemàtiques. Universitat Autònoma de Barcelona
Nuria.Iranzo@uab.cat
JosepMaria.Fortuny@uab.cat
investigación didáctica
Resumen. Este estudio forma parte de una investigación1 en curso sobre la interpretación del comportamiento de los estudiantes de Bachillerato
Tecnológico en la resolución de problemas de geometría plana, mediante el análisis de la relación entre el uso de GeoGebra2, la resolución en lápiz
y papel y el pensamiento geométrico. El marco teórico se basa principalmente en la teoría de la instrumentación de Rabardel (2001). Proponemos
un análisis de los grados de adquisición de los procesos de instrumentación e instrumentalización de los alumnos, las estrategias de resolución en
ambos medios y las interacciones entre los distintos agentes involucrados. Pretendemos buscar una relación entre las concepciones de los alumnos
y las técnicas que utilizan en las estrategias de resolución de problemas.
Palabras clave. Geometría Analítica plana, resolución de problemas, Geometría dinámica.
Co-inuence of GeoGebra and paper and pencil use on the students’competences acquisition
Summary. This study is part of ongoing research on the interpretation of students’ behaviors when solving plane geometry problems by analyzing
relationships among DGS (GeoGebra) use, paper-and-pencil work and geometrical thinking. Our theoretical framework is based on Rabardel’s
(2001) instrumental approach to tool use. We propose an analysis of the acquisition degrees of the instrumentation and instrumentalization
processes, the resolution strategies in both environments and the interactions between the different agents We seek relationships between students’
thinking and their use of techniques by exploring the inuence of certain techniques on the students’ resolution strategies.
Keywords. Plane Analytic Geometry, Problem-solving, Dynamic Geometry.
Este estudio se enmarca en las investigaciones sobre la
integración de las nuevas tecnologías en la enseñanza
secundaria, en particular el uso de software de Geo-
metría dinámica (SGD) en el contexto de la resolución
de problemas de Geometría Analítica (problemas tipo de
selectividad en el ámbito español). Conocidos progra-
mas, como por ejemplo Cabri Géomètre II (www.Ca-
bri.com) y Cinderella (www.cinderella.de), facilitan la
experimentación con Geometría Sintética. Escogemos
trabajar con GeoGebra (www.geogebra.org) ya que es
un software de código abierto que integra de forma di-
námica Geometría Sintética y Analítica y la expresión
algebraica de objetos grácos (Hohenwarter y Preiner,
2007). También porque es un software intuitivo que no
requiere estrategias de uso avanzadas para utilizarlo
en el contexto de esta investigación. En este estudio se
analiza la relación entre la resolución de problemas de
Geometría Analítica con lápiz y papel y con GeoGe-
bra. Una tarea resuelta usando software de geometría
dinámica podría requerir estrategias diferentes que las
que requiere la misma tarea resuelta con lápiz y papel y
también tiene repercusión en el feedback que el alumno
recibe (Laborde, 1992). Nos planteamos las siguientes
cuestiones:
INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS
investigación didáctica
434 enseñanza de las ciencias, 2009, 27(3)
– ¿Qué relación hay entre lápiz y papel y el trabajo con
GeoGebra? ¿Cómo afecta su uso a las estrategias de re-
solución y la comprensión de conceptos? ¿Qué aporta el
uso de GeoGebra a los alumnos?
Analizamos y comparamos los procesos de resolución en
ambos medios, así como las interacciones alumno-alumno
y alumno-GeoGebra basándonos en la teoría de la instru-
mentación de Rabardel (2001). Los objetivos de esta in-
vestigación son:
– Caracterizar las estrategias de resolución de los alum-
nos en ambos medios.
– Analizar los procesos de instrumentación e instrumen-
talización para esbozar diferentes tipologías de alum-
nos.
Explorar la inuencia conjunta del uso de GeoGebra
y del lápiz y papel en la adquisición de conocimiento,
visualización y pensamiento estratégico en el alumno.
El interés del tema es ofrecer conocimiento didáctico
y didáctico-profesional para mejorar la adquisición de
competencias matemáticas que potencia el entorno.
MARCO TEÓRICO
Una parte importante del marco teórico de esta investi-
gación está basada en la teoría de la instrumentación de
Rabardel (2001) que diferencia entre el artefacto (Geo-
Gebra en este caso) y el instrumento. El instrumento es
la conjunción del artefacto y las habilidades cognitivas
necesarias para construirlo. El proceso de transforma-
ción de un artefacto en un instrumento se llama géne-
sis instrumental. Según Rabardel (2001), el software
restringe no sólo la manera de actuar, sino también
la manera de pensar del usuario. Por tanto, el alumno
tiene que movilizar conscientemente, durante la géne-
sis instrumental, estructuras de control sobre el cono-
cimiento geométrico implicado (el artefacto se trans-
forma en instrumento para el usuario). Los estudiantes
desarrollan esquemas mentales en los que sus propios
conceptos geométricos y las técnicas empleadas están
interrelacionadas. El proceso de génesis instrumental
tiene dos direcciones. Por un lado, las características
del software inuencian las estrategias de resolución
y las concepciones del estudiante (proceso de instru-
mentación). Por otro lado, el proceso de instrumentali-
zación, dirigido del estudiante al software, lleva a una
internalización del uso del artefacto. Así, un mismo ar-
tefacto puede ser instrumentalizado de distintas formas
en función del alumno y del problema propuesto (Whi-
te, 2008). Caracterizamos a continuación los procesos
de instrumentación e instrumentalización.
Instrumentación: Es el proceso mediante el cual el
artefacto inuye en el alumno. Las posibilidades y res-
tricciones del software (GeoGebra) inuyen en las es-
trategias de resolución de problemas de los estudiantes,
así como en las correspondientes concepciones emer-
gentes. Por ejemplo, el software de geometría dinámica
permite construir objetos y desplazar una parte de és-
tos. Si el objeto ha sido construido respetando sus pro-
piedades geométricas, se pueden observar invariantes
geométricos al desplazar la gura. Sin embargo, el he-
cho de poder desplazar objetos para observar elementos
invariantes es una posibilidad del software siempre y
cuando el alumno sea capaz de entender este proceso.
En la instrumentación encontramos el desarrollo de es-
quemas mentales que proporcionan un medio predeci-
ble e iterable de integración de artefacto y acción (Veri-
llon y Rabardel, 1995).
– Instrumentalización: El conocimiento del alumno y su
forma de trabajar guía la forma en que utiliza el artefac-
to. El proceso de instrumentalización depende del estu-
diante y es un proceso que lleva a una internalización
del uso del artefacto (un artefacto no varía pero puede
ser instrumentalizado de distintas formas). Este proce-
so puede dar lugar a un enriquecimiento del artefacto
(Trouche, 2005).
El artefacto se transforma en instrumento durante el
proceso bidireccional de génesis instrumental. El alum-
no construye esquemas mentales, asimilando esquemas
ya existentes o produciendo nuevos esquemas para lle-
var a cabo la tarea propuesta. Como cita White (2008),
«instrumental genesis both make artifact meaningful in
the context of an activity, and provides a means by which
users make meaning of that activity» (p. 3). En la gura 1
podemos ver un esquema del proceso de génesis instru-
mental.
En nuestro trabajo de investigación denimos grados
de adquisición de habilidades técnicas concerniendo los
procesos de instrumentación e instrumentalización en el
contexto de los problemas propuestos (Tablas 1 y 2).
Figura 1
Instrumento y artefacto (Drijvers, 2003).
investigación didáctica
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enseñanza de las ciencias, 2009, 27(3)
En el análisis de las producciones de los alumnos con
GeoGebra, consideramos las distintas nalidades que un
estudiante puede tener cuando utiliza acciones de arras-
tre. En las investigaciones sobre el uso del modo de des-
plazar, Arzarello y otros (2002) describen los siguientes
tipos de arrastre:
– Arrastre de test: se utiliza el arrastre de test para com-
probar si la gura construida conserva las condiciones
matemáticas del problema. Se puede considerar como un
instrumento de validación para la solución de un proble-
ma de construcción (Hoyles y Noss, 1994). Por ejemplo,
después de construir un rectángulo usando segmentos
horizontales y verticales, podemos observar que la gura
se transforma en un cuadrilátero general al desplazar uno
de los vértices.
Arrastre errático: Una vez construida la gura, se
arrastra algún elemento de la gura, sin ninguna idea
previa, para buscar invariantes matemáticos. Por ejem-
plo, en el problema de la construcción de la recta de
Euler, los alumnos desplazan los vértices del triángulo
de forma aleatoria, buscando invariantes (relación entre
las distancias entre el baricentro, el circuncentro y el
ortocentro).
– Arrastre guiado: Se arrastra un objeto para obtener
una gura particular. Por ejemplo, en el problema de
Varignon los alumnos construyen el cuadrilátero de
Varignon (paralelogramo) formado al unir los puntos
medios de un cuadrilátero general. A continuación
desplazan los vértices del cuadrilátero inicial (arrastre
guiado) para transformar el cuadrilátero de Varignon
en un rombo.
– Arrastre sobre un lugar geométrico oculto: se arras-
tra un objeto con el n de encontrar el recorrido (lugar
geométrico oculto) de un punto particular de la gura.
Esta forma de arrastre es especialmente útil para traba-
jar problemas de lugares geométricos de forma expe-
rimental. El alumno debe justicar a continuación la
construcción.
También utilizamos, en el análisis de las producciones de
los alumnos, los términos gura y dibujo con los signi-
cados habituales en el contexto del software de geome-
tría dinámica (Laborde y Capponi 1994). La distinción
entre gura y dibujo es útil para describir la forma en que
los alumnos interpretan las representaciones realizadas
en la pantalla del ordenador. Por ejemplo, si un alumno
construye un rectángulo basándose únicamente en ele-
mentos de medida, las propiedades del objeto construido
no se mantienen al desplazar uno de los vértices. Este
objeto se considera como un dibujo y no mantiene las
propiedades geométricas de la gura. Para construir un
objeto que mantenga las propiedades geométricas (arras-
tre de test), el alumno debe conocer las herramientas ne-
cesarias de construcción (por ejemplo, construcción de
rectas perpendiculares, construir segmentos de la misma
longitud utilizando circunferencias, etc.), pero también
debe conocer las propiedades geométricas del objeto.
Esto requiere conocimiento del software y conocimiento
matemático (Hollebrands, 2007).
METODOLOGÍA
Nuestra investigación es un estudio de casos que ana-
lizamos desde una perspectiva cualitativa-interpreta-
tiva. Observamos y analizamos los comportamientos
de los alumnos durante la resolución de problemas de
Geometría Analítica. En la investigación participan un
grupo heterogéneo de 10 alumnos de 1º de bachillera-
to Tecnológico. Estos alumnos trabajan, diversos temas
de Geometría elemental con una metodología en la que
predomina la resolución de problemas. Los alumnos,
que pertenecen a un mismo grupo-clase, se seleccionan
de forma aleatoria. El profesor del aula ha colaborado
con nosotros en ocasiones anteriores y su participación
se valora principalmente por su experiencia y reconoci-
miento en el ámbito de la Didáctica de la Matemática y
la resolución de problemas. Los problemas para trabajar
con papel y lápiz y con GeoGebra son elegidos teniendo
en cuenta los conocimientos previos de los alumnos, su
forma habitual de trabajo en clase y el tema que se está
desarrollando en el aula en el momento de la investiga-
ción. En este trabajo, comentamos en particular nuestra
experiencia con dos de estos problemas, que mostramos
a continuación.
Problema de la circunferencia:
Una circunferencia pasa por los puntos P = (1,-1),
Q = (3,5) y su centro pertenece a la recta de ecuación
x+y+2 = 0.
Hallar su centro y el radio.
Alto Transformación de comandos en acciones geométricas.
Medio Uso del artefacto de acuerdo con un objetivo (por ejemplo,
uso del arrastre de test para validar una gura).
Bajo
Uso de pocos comandos para construcciones geométricas
elementales. Dicultades técnicas para aplicar comandos
(sintaxis, orden).
Tabla 1
Grados de instrumentación.
Alto
Coordinan el uso de la ventana geométrica y algebraica
y utilizan conocimiento geométrico. Internalización de los
comandos (modo desplazar, uso de macros, etc.).
Medio Coordinan el uso de la ventana algebraica y geométrica.
Aparición de inferencias gurales.
Bajo Los estudiantes se basan principalmente en propiedades de
medida y no consideran propiedades geométricas.
Tabla 2
Grados de instrumentalización.
investigación didáctica
436 enseñanza de las ciencias, 2009, 27(3)
Problema del rombo:
Un rombo tiene dos vértices P = (-2,1) y Q = (0,-3) que
forman una diagonal del rombo. El perímetro es de 20
cm. Hallar los vértices restantes y el área del rombo.
Antes de la recogida principal de datos con los alumnos,
llevamos a cabo un análisis preliminar de los problemas
para determinar el espacio básico de cada problema en
ambos medios (papel y lápiz y GeoGebra). Considera-
mos el espacio de un problema como el conjunto de posi-
bilidades que tiene el resolutor de resolver un problema.
El espacio básico depende, entre otros factores, de los
conocimientos de que el resolutor disponga y utilice en
la resolución, así como de los enfoques que éste sea ca-
paz de identicar. Al espacio de un problema hecho por
un resolutor experto lo denominamos espacio básico del
problema (Cobo, 1998). A partir de la construcción del
espacio básico de resolución en los dos medios, analiza-
mos los contenidos conceptuales y procedimentales im-
plicados en su resolución así como las herramientas3 de
GeoGebra necesarias para las distintas resoluciones.
Para la recogida principal de datos se diseñan cuestiona-
rios sobre la resolución en lápiz y papel (cuestionario A)
y sobre la opinión de los alumnos del uso de GeoGebra
(cuestionario B). La estructura de los cuestionarios es la
siguiente:
Cuestionario A (relativo a la resolución con lápiz y papel):
1. En general, ¿has encontrado el problema fácil o difícil? ¿Por
qué?
2. ¿Qué es lo que más te ha costado? ¿Por qué?
3. ¿Has hecho una representación gráca?
a. Sí, con ejes de coordenadas.
b. Sí, sin representar ejes de coordenadas.
c. No he hecho representación gráca.
4. En caso armativo, ¿te ha sido útil la representación gráca? ¿Por qué?
5. En caso negativo, ¿por qué no has hecho la representación gráca?
6. ¿Consideras que después de resolver el problema eres capaz de
«visualizar» las relaciones geométricas de este problema sin ne-
cesidad de hacer una representación gráca? ¿Por qué?
Concretamos a continuación los objetivos de las pregun-
tas formuladas en el cuestionario A. El objetivo de las
preguntas 1 y 2 es obtener más información sobre las
dicultades que han tenido los alumnos en la resolución
del problema de la circunferencia y así comparar estas
dicultades con las dicultades relativas a la resolución
con GeoGebra. El objetivo de las pregunta 3, 4 y 5 es
obtener información sobre la opinión de los alumnos
respecto a las representaciones grácas. Los estudiantes
están habituados a utilizar representaciones grácas sin
ejes de coordenadas. Finalmente, el objetivo de la pre-
gunta 6 es obtener información sobre las dicultades
de visualización cuando trabajan con lápiz y papel y así
comparar las dicultades en ambos medios.
Cuestionario B (relativo a la resolución con GeoGebra):
1. Indica las herramientas utilizadas y los pasos de construcción que
has hecho en la resolución del problema.
2. ¿Podrías resolver el problema de otra forma?
3. ¿En qué te ayuda y en qué no te ayuda el GeoGebra? ¿Qué di-
cultades has tenido?
4. ¿En qué crees que tu forma de resolver el problema es diferente
de la que haces normalmente en clase?
5. Marca la opción que te parezca más adecuada y justica la res-
puesta:
a. La solución me convence.
b. La solución podría convencer a mi compañero.
c. La solución podría convencer al profesor.
d. La solución podría convencer a una persona que no esté fami-
liarizada con este tipo de problemas.
Concretamos a continuación los objetivos de las preguntas
formuladas en el cuestionario B. El objetivo de la pregun-
ta 1 es obtener el protocolo de construcción completo rea-
lizado por el alumno. Esta información se complementa
con el protocolo de construcción grabado en los archivos.
El objetivo de la pregunta 2 es determinar las técnicas
instrumentadas desarrolladas por el alumno. El objetivo
de la pregunta 3 es conocer las dicultades que encuen-
tra el alumno durante la resolución de los problemas con
GeoGebra (obstáculos técnicos, obstáculos cognitivos ya
existentes trasladados al software (Drijvers, 2002)) a
como la opinión de los alumnos sobre las ventajas de usar
GeoGebra para la resolución de los problemas propuestos.
La pregunta 4 también está relacionada con las técnicas
instrumentadas. Finalmente, el objetivo de la pregunta 5
es observar el valor que le dan los alumnos a la resolución
hecha con la ayuda de GeoGebra.
Respecto a la estancia en el escenario de la investiga-
ción, concretamos a continuación cómo se llevan a cabo
las sesiones de clase. La estancia en el escenario de la
investigación ocupó cuatro sesiones de clase.
– Primera sesión (2 horas): se introduce el uso de GeoGe-
bra. Se trabaja en grupo, con la ayuda del profesor, algunos
ejemplos y problemas de construcción con el objetivo de
familiarizar a los alumnos con las herramientas necesarias
para las sesiones siguientes (construcción de un cuadrado
dados un vértice y su centro, construcción de la recta de
Euler, teorema de Varignon, teorema de Viviani).
– Segunda sesión (1 hora): se inicia la experimentación
con la resolución en grupos de dos o tres alumnos (forma
habitual de trabajo en clase) del problema de la circunfe-
rencia sólo con lápiz y papel. Posteriormente se realiza
el cuestionario A sobre la resolución del problema de la
circunferencia en lápiz y papel (individualmente).
Tercera sesión (1 hora): se propone a los alumnos la
resolución con GeoGebra (individual pero respetando la
distribución de los alumnos de la sesión de lápiz y pa-
pel) del problema de la circunferencia y, seguidamente,
investigación didáctica
437
enseñanza de las ciencias, 2009, 27(3)
se propone la resolución con GeoGebra del problema del
rombo. Los estudiantes, al mismo tiempo que avanzan
en la resolución del problema, van escribiendo notas
comentando su actividad, es decir, escriben un auto-
protocolo (Gutiérrez, 2005). Posteriormente se realiza el
cuestionario B sobre el uso de GeoGebra.
ANÁLISIS
Para la experimentación, los datos que se recogen son los
siguientes: a) registros escritos realizados por los estu-
diantes en su cuadro de notas (resolución en lápiz y papel);
b) interacciones entre alumnos, que fueron grabadas en
audio y posteriormente transcritas; c) respuestas al cues-
tionario A referente a la resolución en lápiz y papel (di-
cultad del problema, de visualización); d) protocolos de
construcción grabados en los archivos de GeoGebra y au-
to-protocolo de los estudiantes; e) grabaciones en vídeo de
la sesión en el aula de informática y grabación de pantalla,
que permiten observar aspectos relevantes no registrables
en el protocolo de construcción como elementos borrados
en la pantalla, gestos e interacciones entre los estudiantes;
y f) auto-protocolo y respuestas al cuestionario B sobre la
opinión que tienen los alumnos de GeoGebra.
Toda esta información se analiza mediante un análisis et-
nográco (Eisenhart, 1988). Mediante el análisis de estos
datos caracterizamos el comportamiento de aprendizaje
de los alumnos considerando los procesos de instrumen-
tación-instrumentalización propios de la teoría de la ins-
trumentación. Para la consecución de nuestros objetivos,
tenemos en cuenta las siguientes variables: a) sus estra-
tegias heurísticas (se remiten a propiedades geométri-
cas, se basan en el uso de herramientas algebraicas y de
medida, hacen uso de ambas, estrategias de resolución,
etc.); b) la inuencia de GeoGebra (visualización, con-
ceptos geométricos, superación de obstáculos); c) sus ca-
racterísticas cognitivas (información proporcionada por
el profesor y por la experimentación); y d) los obstáculos
encontrados en ambos medios (conceptuales, algebrai-
cos, de visualización, técnicos, etc.). El análisis de datos
se lleva a cabo en dos fases. Primero se realiza un estudio
de casos y en una segunda fase se lleva a cabo un estu-
dio cruzado de casos. Para el análisis de casos se analiza
primero la resolución en lápiz y papel con la ayuda de
los datos audiovisuales. Se consideran las estrategias de
resolución de los alumnos en la resolución del proble-
ma y también los obstáculos cognitivos de cada alumno.
Se contrasta esta información con las respuestas de cada
alumno al cuestionario A. A continuación, se analizan
las resoluciones del problema de la circunferencia y del
problema del rombo con GeoGebra con la ayuda de los
datos audiovisuales. Se analizan los protocolos de cons-
trucción, la grabación de la pantalla (aparecen elementos
borrados), las estrategias de resolución, las técnicas ins-
trumentadas y las dicultades técnicas. Se contrastan es-
tos datos con las respuestas al cuestionario B. Después se
comparan las estrategias de resolución en ambos medios,
y más concretamente se comparan las técnicas en ambos
medios (obtención del simétrico de un punto respecto a
una recta, construcción de segmentos de la misma longi-
tud, cálculo de áreas, etc.). También se considera el uso
que hacen los alumnos de las distintas herramientas. Se
obtiene así una primera clasicación del comportamien-
to de los alumnos. Finalmente, se lleva a cabo un estudio
cruzado utilizando la información de cada alumno con
el objetivo de contrastar datos entre los estudiantes y es-
bozar tipologías de alumnos. Mostramos a continuación
algunos casos relevantes a modo de ejemplo.
EL CASO DE SARA
Sara es una alumna brillante y tiene un tipo de pensamiento
que se podría clasicar como geométrico, ya que tiende a
expresar sus ideas por medio de representaciones grácas
sin ejes de coordenadas y no tiende a aplicar estrategias al-
gebraicas. Por ejemplo, en el problema de la circunferencia,
Sara considera la mediatriz de un segmento [PQ] como lu-
gar geométrico de los puntos que equidistan de los extre-
mos del segmento. Obtiene el centro de la circunferencia
que pasa por P y Q como intersección de la mediatriz de
[PQ] y de la recta que contiene al centro (la mayoría de
alumnos utilizan una estrategia basada en igualar distancias
en la resolución del problema de la circunferencia con lápiz
y papel). Sara trabaja individualmente en todas las sesiones
y no participa con su compañera. Sara no tiene dicultades
en la resolución en lápiz y papel, y arma en el cuestionario
que el problema propuesto le resulta fácil y que sería capaz
de visualizar el problema sin la ayuda de una representación
gráca. Sara tampoco tiene dicultades en la resolución con
GeoGebra de los problemas propuestos. En la resolución
de los problemas con GeoGebra, dicha alumna se basa en
propiedades geométricas para hacer las construcciones, ra-
zona sobre la gura y no sobre el dibujo. Finalmente, no
tiene dicultades en el uso de GeoGebra ni en los conceptos
matemáticos. Consideramos que los grados de instrumenta-
ción e instrumentalización son altos.
LOS CASOS DE MARC Y ALEIX
Marc y Aleix son alumnos de nivel medio más analíticos
que intuitivos. En la resolución del problema del círculo con
lápiz y papel (Figura 2), Marc propone a Aleix intentar plan-
tear un sistema de ecuaciones para obtener el radio usando
la fórmula de distancia de un punto a una recta. Veremos
que esta estrategia algebraica consiste en obtener el radio
de la circunferencia utilizando, erróneamente, la fórmula de
distancia de un punto a una recta (a la recta r que contiene
el centro de la circunferencia, O). Finalmente, abandonan la
estrategia al obtener valores distintos para el radio.
Después de analizar los protocolos escritos y las graba-
ciones, concluimos que la estrategia de los estudiantes de
resolver un sistema de ecuaciones igualando las distan-
cias está basada en el uso erróneo del concepto de distan-
cia de un punto a una recta, puesto que han considerado
el sistema (Figura 2):
radio = d(P,r)
radio = d(Q,r)
{
investigación didáctica
438 enseñanza de las ciencias, 2009, 27(3)
que, lógicamente, es incompatible. Por ello, al obtener
valores distintos para el radio, Aleix observa: «Es que te
da la distancia perpendicular [se reere a d(P,r)]».
Veremos a continuación que en la resolución que hace
Marc del problema del rombo con la ayuda de GeoGebra
aparece el mismo obstáculo relacionado con el concepto
de distancia de un punto a una recta.
Si observamos las interacciones entre Marc y su compa-
ñero Aleix (Tabla 3, líneas 1 a 6), constatamos que Marc
intenta obtener una recta a distancia 5 del vértice P del
rombo en lugar de usar una circunferencia de centro P y
radio 5. Nos preguntamos si entiende la herramienta de
GeoGebra segmento dados su longitud y un punto extre-
mo inicial como recta a una distancia dada de un pun-
to (en lugar de circunferencia). En cambio, Aleix tiene
claro el concepto de distancia de un punto a una recta
(Tabla 3, líneas 1 a 6) y construye el rombo basándo-
se en propiedades geométricas de la gura. Durante la
resolución del problema del rombo con GeoGebra, los
alumnos trabajan por parejas (respetando la distribución
de la sesión de lápiz y papel) con ordenadores distintos y
se graban las posibles interacciones.
Marc obtiene la siguiente gura (Figura 3.1) y abandona la
estrategia basada en la concepción errónea de distancia de
un punto a una recta. No se da cuenta de que el punto ob-
tenido está a distancia 5 del vértice P (propiedad particular
de este rombo). Observamos que la herramienta segmento
dada la longitud y punto extremo inicial produce siempre un
segmento paralelo al eje x (aunque dicho segmento puede
girar arrastrando el extremo nal). En cambio, Aleix utiliza la
herramienta circunferencia dado el centro y el radio para ob-
tener los vértices del rombo como intersección de las circun-
ferencias de centro P y Q y radio 5 unidades (Figura 3.2).
Figura 2
Estrategia de resolución con lápiz y papel del problema
de la circunferencia (Marc).
ALUMNO INTERVENCIONES
1 Marc ¿Pones la mediatriz directamente? (diagonal del rombo)
2 Aleix Sí, pero para hacer aquí...[vértice] ya no sé...
3 Marc Con la distancia.
4Aleix ¡Sí, claro! Pero con la distancia necesitarías poder hacer...
5 Marc Una pregunta, ¿hay alguna manera de hacer una recta a una cierta distancia de un punto? [concepto distancia de un punto a una recta]
6 Aleix ¿Quieres decir una paralela?
7 Marc O bien un punto a una cierta distancia, en centímetros por ejemplo...
8 Aleix No sé...
9 Marc Ah! Vale, ya está. [intenta usar la herramienta segmento dada la longitud, 5, y punto extremo inicial en lugar de circunferencia]
10 Aleix ¿Ya lo tienes?
11 Marc No. [Borra la gura (Figura 3.1)]
12 Aleix ¡Ya está! Mira.
¿Lo entiendes? [utiliza circunferencias de centros P y Q y radio 5 (Figura 3.2)]
13 Marc No. ¿Lo has hecho con círculos? No lo veo claro.
Figura 3.1
Estrategia de resolución del problema del rombo basada en el
concepto erróneo de distancia de un punto a una recta (Marc).
Tabla 3
Interacciones entre Marc y Aleix durante la resolución con GeoGebra del problema del rombo.
investigación didáctica
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LOS CASOS DE JULIETA Y OFELIA
Julieta y Ofelia son alumnas con muchas dicultades en
clase de matemáticas (conceptuales, de visualización, al-
gebraicas...) tanto en la resolución con lápiz y papel de
los problemas propuestos en la primera sesión como en
la resolución con GeoGebra. En el primer caso, intentan
recurrir a estrategias analíticas basadas en igualar dis-
tancias y, en el segundo supuesto, en el caso del rombo,
usan principalmente herramientas de medida, sin lograr
superar el arrastre de test. También tienen dicultades
técnicas para encontrar y utilizar las herramientas. Ofe-
lia tiene más dicultades que Julieta y utiliza muy pocas
herramientas. Por ejemplo, para construir la mediatriz de
un segmento, Ofelia no dene previamente el segmento
sino que aplica directamente la herramienta mediatriz a
los puntos P y Q. Casualmente, en este caso el software
(GeoGebra) permite esta construcción (Figura 4). Tra-
zan la otra diagonal del rombo y desplazan dos puntos
cualesquiera de la diagonal hasta que obtienen la misma
medida para todos los lados del cuadrilátero. En conse-
cuencia, la construcción no pasa el arrastre de test.
RESULTADOS
Presentamos un esbozo de las diferentes categorías de
alumnos consideradas y mostramos a continuación algu-
nos resultados que nos han parecido relevantes. A pesar
de que haría falta un estudio en profundidad para poder
hacer una clasicación más completa, hemos podido ob-
servar las siguientes tipologías de alumnos:
1. Autónomos (2 alumnos)
Son buenos resolviendo problemas, son intuitivos y no
tienen obstáculos conceptuales ni algebraicos en la reso-
lución con lápiz y papel de los problemas propuestos. El
grado de instrumentación es alto así como el grado de ins-
trumentalización. El uso de GeoGebra no presenta en la
resolución de los problemas propuestos un valor añadido
pero facilita aspectos materiales (Laborde, 2001). Estos
alumnos intentan optimizar las estrategias de resolución
y se basan en propiedades geométricas de las guras, en
su construcción realizada con GeoGebra. Conjeturamos
que, para estos alumnos, el uso de GeoGebra consistiría
un soporte para explorar aspectos curriculares avanzados
y desarrollar sus competencias argumentativas (proble-
mas de prueba, lugares geométricos, etc.).
2. Instrumentales (4 alumnos)
Son alumnos que tienden a reducir los problemas geomé-
tricos a problemas algebraicos. Tienen algunas dicul-
tades (conceptuales, algebraicas y/o visualización) en
la resolución con lápiz y papel. El uso de GeoGebra les
proporciona un soporte algebraico, conceptual y visual.
En la resolución con GeoGebra se basan en propiedades
geométricas de la gura. El grado de instrumentación e
instrumentalización es de medio a alto. En general, no
tienen dicultades en el uso de GeoGebra.
3. Procedimentales (4 alumnos)
Son alumnos más analíticos que intuitivos. A pesar de
tener algunas dicultades en la resolución con lápiz y
papel (distancia de un punto a una recta, visualización,
obstáculos algebraicos, etc.), entienden los conceptos
geométricos. No tienen dicultades técnicas en el uso
de GeoGebra (utilización de las herramientas). El grado
de instrumentalización es inferior al de los alumnos de
tipo instrumental. Los alumnos razonan sobre la gura
pero también se basan en propiedades de medida. Por
ejemplo, no utilizan circunferencias de radio dado para
obtener segmentos de longitud dada.
4. Naíf (2 alumnos)
Son alumnos con muchas dicultades conceptuales, al-
gebraicas y de visualización (elementos básicos de la cir-
cunferencia, distancia de un punto a una recta, vectores,
concepto de mediatriz, etc.). El grado de instrumentación
es bajo (utilizan pocas herramientas de GeoGebra y prin-
cipalmente son herramientas de medida y algebraicas,
tienen obstáculos técnicos en el uso de las herramien-
tas). No tienen una estrategia de resolución clara, pero
el uso de GeoGebra les proporciona un soporte visual,
Figura 3.2
Estrategia de resolución del problema del rombo basada
en la intersección de circunferencias (Aleix).
Figura 4
Resolución del problema de la circunferencia (Ofelia).
investigación didáctica
440 enseñanza de las ciencias, 2009, 27(3)
algebraico y conceptual. Se basan en herramientas de
medida, yen las construcciones realizadas con GeoGebra
no pasan el arrastre de test (Arzarello et al., 2002). Estos
alumnos tienden a razonar sobre el dibujo y no sobre la
gura.
Estas tipologías deben ser consideradas como prototipos,
utilizados para categorizar y analizar el comportamiento
de los estudiantes. Sin embargo, el hecho de que el com-
portamiento de los estudiantes se ajuste a una tipología
dada no signica que se pueda determinar una clasica-
ción de los estudiantes.
Además de las tipologías de estudiantes esbozadas, mos-
tramos a continuación algunos resultados observados.
Mostramos, a modo de ejemplo, la siguiente tabla (Tabla
4) de técnicas instrumentadas observadas en el estudio.
Por ejemplo, podemos observar en la tabla las distintas
técnicas para obtener el simétrico de un punto respecto
a una recta con GeoGebra. Cuando trabajan con lápiz
y papel, los alumnos obtienen el simétrico M’ = Sr(M)
trazando una perpendicular a la recta r por el punto M, y
después de determinar el punto O de intersección de las
dos rectas, obtienen el simétrico M’ = O + OM (cuando el
profesor introduce la suma de un punto y un vector como
una translación). A pesar de que esta técnica se puede
llevar a cabo con GeoGebra, algunos alumnos obtienen
M’ como intersección de la circunferencia de centro O y
radio OM y la recta perpendicular a r en M. Los alumnos
que no utilizan circunferencias para obtener distancias
iguales obtienen el simétrico utilizando la herramienta
simétrico de un punto respecto a una recta.
Otra técnica observada es el uso simultáneo de la ven-
tana algebraica y de la ventana geométrica como estra-
tegia de resolución. Por ejemplo, en la resolución del
problema de la circunferencia con GeoGebra el alumno
Joaquim construye un tercer punto de la circunferencia
P’ = Sr(P) y con la herramienta circunferencia dados tres
de sus puntos construye la circunferencia (Figura 5).
Tabla 4
Técnicas instrumentadas.
TéCNICA GEOGEBRA OBSERVACIONES
Obtención
de distancias
congruentes
Herramienta circunferencia dados su centro y radio
Herramienta reeja objeto en recta Los alumnos se basan en que la simetría conserva las
distancias (isometría)
Arrastre guiado La gura no pasa el arrastre de test
Herramienta segmento dados su longitud y un punto extremo inicial Algunos alumnos utilizan esta herramienta erróneamente
Intersección
de objetos
Visualmente, construcción de un punto nuevo sobre un objeto Algunos alumnos tienen dicultades para denir el punto
cuando consideran intersecciones de tres o más objetos
Herramienta intersección de 2 objetos
Mediatriz
de un
segmento
Construcción de una recta perpendicular por el punto medio del
segmento
Herramienta mediatriz Algunos alumnos aplican la herramienta a 2 puntos. En
este caso el software permite la construcción
Simétrico
de un punto M
respecto
a una recta r
Herramienta reeja objeto (punto M) en recta (recta r) Algunos alumnos aplican la herramienta a un segmento
en lugar de aplicarla a una recta. En este caso el software
permite la construcción
Construcción de la recta s perpendicular a la recta r por el punto
M, intersección de s y r, punto O, y construcción del punto M’ en
la recta s por igualación de distancias
Radio de una
circunferencia
Herramienta segmento entre dos puntos y herramienta distancia
aplicada al segmento
Interpretación de la ecuación de la circunferencia en la ventana
algebraica
Circunferencia
por 3 puntos
Herramienta circunferencia dados 3 de sus puntos e interpretación
de las coordenadas del centro en la ecuación de la circunferencia
que aparece en la ventana algebraica
Construcción del circuncentro del triángulo determinado por los
tres puntos
Área
del rombo
Herramienta polígono y obtención del área en la ventana algebraica
Herramienta distancia aplicada a las diagonales del rombo, D y d,
y obtención del área introduciendo la expresión D*d/2 en la barra
de entrada
Los alumnos utilizan la fórmula pero hacen las operaciones
con lápiz y papel.
Estrategia visual: descomposición del rombo en triángulos Los alumnos no logran llevar a cabo esta técnica
investigación didáctica
441
enseñanza de las ciencias, 2009, 27(3)
Obtiene las coordenadas del centro y el radio interpre-
tando la ecuación de la circunferencia que aparece en la
ventana algebraica: (x-a)2 + (y-b)2 = R2. En la pregunta 2
del cuestionario B, el alumno observa que también po-
dría obtener el centro de la circunferencia como intersec-
ción de las tres mediatrices del triángulo formado por los
puntos P, Q y P’.
Los datos también muestran la dicultad de la transferencia
de las estrategias de resolución con la ayuda de GeoGebra
a las estrategias con papel y lápiz. A modo de ejemplo, ob-
servamos que la forma en que algunos estudiantes de tipo
procedimental resolvieron el problema del rombo no tie-
ne transferencia clara a un método de lápiz y papel. En la
gura 6 se puede observar la resolución de uno de estos
alumnos basada en las propiedades geométricas del rom-
bo y en herramientas de medida (las diagonales se cruzan
perpendicularmente en el punto medio, obtiene el vértice A
como simétrico de A respecto a la diagonal). El estudiante
desplaza el vértice A sobre la diagonal hasta que todos los
lados tienen la misma longitud igual a 5 unidades.
En el caso de la gura 6, la posibilidad de usar el arrastre
de puntos (arrastre guiado) inuye en la estrategia de re-
solución del alumno Joaquim. En cambio, en la gura 7
podemos ver la construcción que hizo Sara (que hemos
clasicado como autónoma), que tiene una clara transfe-
rencia a lápiz y papel, a pesar de que conjeturamos que
en la resolución en lápiz y papel de este problema, Sara
habría utilizado distancias en lugar de la circunferencia o
bien se habría decantado por una resolución vectorial (for-
ma habitual de resolver este tipo de problemas en clase).
En este sentido, las restricciones del software promueven
un pensamiento más geométrico, ya que Sara considera la
intersección de la circunferencia y la diagonal en lugar de
igualar distancias y obtener así un sistema de ecuaciones.
Por ejemplo, en la resolución del problema del rombo ob-
servamos las siguientes estrategias (Figuras 7, 8, 9 y 10).
Figura 5
Circunferencia por tres puntos construida con GeoGebra (Joaquim).
Figura 6
Construcción del rombo, estrategia dinámica (Joaquim).
Figura 7 (Autónomo)
Intersección de la circunferencia de radio 5u
y centro P y de la diagonal del rombo
Figura 8 (Instrumental)
Intersección de dos circunferencias, de radio 5u,
centradas en los vértices dados P y Q.
investigación didáctica
442 enseñanza de las ciencias, 2009, 27(3)
Finalmente observamos que los alumnos tienen pocas
dicultades con relación al uso de GeoGebra (salvo en el
caso de la tipología naíf). Todos los estudiantes coinciden
en que el uso de GeoGebra ayuda a visualizar el problema
a pesar de que los alumnos de tipo autónomo no tienen di-
cultades en la visualización en la fase de resolución con
lápiz y papel. Un hecho relevante es que ningún alumno
utiliza ejes de coordenadas en la representación gráca.
Destacamos también que ningún alumno ha utilizado la
estrategia visual para obtener el área del rombo (Figura
11). Calculan el área con lápiz y papel utilizando la fór-
mula
o bien insertando la fórmula anterior en
la barra de entrada. Conjeturamos que este hecho se debe
a que los alumnos no están familiarizados con este tipo
de resolución visual. Observamos que algunos obstácu-
los técnicos en el uso de GeoGebra son «obstáculos ya
existentes trasladados al software» (Drijvers, 2002). Por
ejemplo, véase el caso de Marc analizado en el apartado
anterior (p.10) y también que la mayoría de alumnos va-
lidan la construcción con herramientas de medida (por
ejemplo, en el problema del rombo comprueban que la
longitud de los cuatro lados es la misma), incluso los
alumnos que hacen construcciones basadas en propieda-
des geométricas de la gura. Sólo una de las estudiantes
de tipo autónomo escribe en el cuestionario B que el
uso de GeoGebra permite usar estrategias de resolución
diferentes a pesar de que la mayoría de estudiantes utili-
zan estrategias diferentes (por ejemplo, utilizan la opción
desplazar combinada con herramientas de medida).
CONCLUSIONES
Hemos podido constatar en este estudio que la mayoría
de estudiantes utilizan herramientas algebraicas y de
medida y consideran que GeoGebra les ayuda a visua-
lizar el problema y a evitar obstáculos algebraicos. En
general, los alumnos han tenido pocas dicultades con
relación al uso del software y algunos obstáculos son
obstáculos cognitivos ya existentes trasladados al soft-
ware. El uso de GeoGebra promueve así un pensamien-
to más geométrico (por ejemplo, consideran la intersec-
ción de circunferencias en lugar de igualar distancias
en el problema del rombo) y facilita un soporte visual,
algebraico y conceptual a la mayoría de alumnos (cate-
gorías instrumental, procedimental y naif). Considera-
mos que el uso de GeoGebra también favorece múlti-
ples representaciones de conceptos geométricos, ayuda
a evitar obstáculos algebraicos permitiendo centrarse
en los conceptos geométricos así como a resolver los
problemas de otra forma. Hay que señalar, sin embargo,
que la inuencia del uso de GeoGebra depende de los
Figura 9 (Procedimental)
Estrategia dinámica: construcción de las diagonales.
Definen un vértice A en la diagonal y obtienen el otro vértice
A’ = Spa(A). Desplazan A hasta obtener un rombo de lados 5u.
Figura 10 (Naíf)
Estrategia basada en el dibujo: desplazan los vértices A y B hasta ob-
tener lados de la misma medida. La figura no pasa el arrastre de test.
Dd
2
Figura 11
Estrategia visual para obtener el área del rombo.
investigación didáctica
443
enseñanza de las ciencias, 2009, 27(3)
alumnos y de los problemas propuestos. Los alumnos
desarrollan una gran variedad de estrategias de resolu-
ción, asociadas con distintos usos de GeoGebra, y estas
diferencias pueden ser interpretadas en términos de ti-
pologías de alumnos. Las tipologías tienen efectos rele-
vantes en el proceso de génesis instrumental (Artigue,
2002). Por ejemplo, se pueden considerar los distintos
procesos instrumentales que desarrollan los alumnos en
función de: a) el tipo de recursos que favorecen, b) el
meta-conocimiento que tienden a poner en juego y c)
los modelos de validación que privilegian.
Los resultados obtenidos relativos a las tipologías de
alumnos, deben ser interpretados en el contexto de la in-
vestigación en curso. Los grados de adquisición de los
procesos de instrumentación e instrumentalización resul-
tan no ser discretos, por lo que es recomendable estudiar
en profundidad la transición entre estos niveles. La idea
de continuidad y transición es útil cuando consideramos
la construcción del aprendizaje en los alumnos. También
es importante analizar el papel del profesor, lo que, en la
terminología de la teoría de la instrumentación, se cono-
ce como orquestación. La orquestación es necesaria para
favorecer y guiar el difícil proceso de génesis instru-
mental del software. En la investigación en curso hemos
introducido datos relativos a la intervención del profe-
sor. Tendremos en cuenta estos aspectos para favorecer
el proceso de apropiación del software, así como para
analizar la inuencia conjunta de las técnicas de papel
y lápiz y GeoGebra y el valor epistémico de las técnicas
instrumentadas.
NOTAS
1. MEC. Desarrollo de un sistema tutorial de e-learning para mejorar
las competencias en resolución de problemas de los alumnos.
2. www.GeoGebra.org
3. Desde un punto de vista geométrico las herramientas punto, círculo
por un punto dado el centro e intersección de objetos son sucientes.
Consideramos todas las herramientas (geométricas y de medida) aun-
que algunas sean innecesarias.
investigación didáctica
444 enseñanza de las ciencias, 2009, 27(3)
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[Artículo recibido en julio de 2008 y aceptado en febrero de 2009]
investigación didáctica
445
enseñanza de las ciencias, 2009, 27(3)
Summary
This study is part of a research project1 on the integration
of computational technologies in geometry teaching (plane
analytic geometry). It is well-known that computational
technologies have a strong impact on the professional
practice of mathematics. Nevertheless, its corresponding
inuence on the teaching and learning of mathematics has
remained an ongoing issue. This can be explained by the
fact that different obstacles have arisen with the integration
of technologies. Several questions emerge. What is and
what should be the role of technology in teaching and
learning of geometry? In which way might the use of
technology foster the learning of mathematics?
This study focuses on the interpretation of students’
behaviors when solving plane geometry problems by
analyzing the relationships among dynamic geometry
software use, paper-and-pencil (P&P) work and geometrical
thinking. Many pedagogical environments have been
created such as Cinderella, Geometer’s sketchpad, Cabri
géomètre II and GeoGebra, among others. We point to
the use of GeoGebra (GGB) because it is a free dynamic
geometry software that also provides basic features of the
Computer Algebra System. The software links synthetic
geometric constructions to analytic equations, and
coordinate representations and graphs.
From a methodology and methods perpective, our
research consists of a qualitative case study that has been
organized around a group of 16-17 year-old students at
a high school in Catalonia, Spain. We observed students
with a teacher who had been teaching mathematics in this
high school for many years, and was used to introducing
geometry by means of problem solving dynamics that
gave priority to the student’s thinking. We seek for
relationships between students’ thinking and their use
of techniques by exploring the inuence of certain
techniques on the students’ resolution strategies. In this
work, we centre on the resolution processes of two of the
problems considered in the research.
For the analysis we mainly consider: a) the solving
strategies in the written protocols and the GGB les, b) the
audio and video-taped interactions with other students, c)
the opinions of the students about the use of GGB collected
in a questionnaire, and d) the opinions of the students
about the use of graphic representations on the paper-and
pencil resolution, collected in a questionnaire. Through
the analysis of data, we characterize students’ learning
behaviors and we discuss the idea of instrumentation
linking the theoretical perspective and the classroom
experiments. We have based our theoretical framework
on Rabardel’s (2001) instrumental approach to tool use.
We propose an analysis of the acquisition degrees of
the instrumentation and instrumentalization processes,
the resolution strategies in both environments and the
interactions between the different agents (student-student,
student_GGB, student-P&P and student-content).
Our results point to the existence of four student
proles, in the context of this research. As stated by
Artigue (2002), students develop a wide range of
solution strategies, associated with different uses of
dynamic geometry software, and these differences can
be interpreted in terms of prole characteristics. The
differences in students’ proles have signicant effects
on the instrumental genesis of GGB.
Co-inuence of GeoGebra and paper and pencil use on the students’competences
adquisition
Iranzo, Nuria y Fortuny, Josep Maria
Departament de Didàctica de les Matemàtiques. Universitat Autònoma de Barcelona
Nuria.Iranzo@uab.cat
JosepMaria.Fortuny@uab.cat
1. MEC. Desarrollo de un sistema tutorial de e-learning para mejorar las competencias en resolución de problemas de los alumnos. SEJ2005-02535.
... No obstante, es necesario analizar el papel del docente a la hora de utilizar GeoGebra en el aula para poder asegurar la consecución de los beneficios que esta herramienta puede aportar (Iranzo y Fortuny, 2009). De hecho, como señalan Arnal-Bailera y Oller-Marcén (2020). ...
... No obstante, es necesario analizar el papel del docente a la hora de utilizar GeoGebra en el aula para poder asegurar la consecución de los beneficios que esta herramienta puede aportar (Iranzo y Fortuny, 2009). De hecho, como señalan Arnal-Bailera y Oller-Marcén (2020). ...
Article
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La utilización de GeoGebra en la enseñanza de las matemáticas ha crecido notablemente en los últimos años, por lo que en este estudio se pretende indagar acerca del uso de este software por parte del profesorado en la enseñanza del límite de una función.Para ello, se ha diseñado y validado un cuestionario que ha sido respondido por 129 docentes de matemáticas. Los datos han sido analizados tanto cuantitativa como cualitativamente con el objetivo de conocer obstáculos para el uso de GeoGebra y para la elaboración de applets propios, identificar las características más destacadas de los applets de GeoGebra para la enseñanza del límite y determinar los momentos del proceso de enseñanza-aprendizaje en los que se utiliza esta herramienta. Así, ha sido identificado un escaso uso de GeoGebra en la enseñanza del límite y un bajo porcentaje de docentes que elaboran sus propios applets debido, fundamentalmente, a la ausencia de recursos tecnológicos y a la falta de conocimientos. Además, la interactividad y la posibilidad de utilizar varios sistemas de representación del límite se revelan como las características más valoradas por los docentes. Finalmente, GeoGebra es especialmente utilizado a la hora demostrar ejemplos y apenas se usa en el proceso de evaluación.
... Ahora bien, cuando se proponen actividades para el docente o los estudiantes en las cuales se vincula el uso de medios tecnológicos, Rabardel (1995), Iranzo y Fortuny (2009) y Trouche (2014) señalan que se ve inmerso un proceso de génesis instrumental que puede estar dirigido al medio a utilizar o al sujeto que interactúa con este medio. Estos autores mencionan que este medio tecnológico, en principio, es considerado como un artefacto y, producto de una configuración e interacción con el mismo, se convierte en un instrumento. ...
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Se presenta el diseño de tres actividades mediadas por macroconstrucciones en un software de geometría dinámica (GeoGebra) y su análisis, tomando como referente la Génesis Instrumental. Las actividades se diseñaron a partir de las proposiciones del primer libro de Los Elementos de Euclides; cada una involucra un problema de construcción de figuras con área igual a otra u otras y una serie de preguntas que buscan favorecer los procesos de instrumentación e instrumentalización y, como consecuencia, la resolución de los problemas. Están dirigidas a profesores de matemáticas en formación continua, pero podría ampliarse la población de aplicación. Durante su implementación, se espera que, en un primer momento, se evidencie el proceso de instrumentación, cuando el sujeto interactúe con el artefacto y observe las invarianzas para realizar conjeturas. Luego, mediante la observación realizada y con el uso de las herramientas que ofrece GeoGebra, pueda realizar las construcciones necesarias para resolver los problemas y crear su propia macro en GeoGebra, logrando así el proceso de instrumentalización. Finalmente, a partir de estos procesos, se espera que el docente en formación se apropie del artefacto y éste pase a ser un instrumento.
... Ahora bien, cuando se proponen actividades para el docente o los estudiantes en las cuales se vincula el uso de medios tecnológicos, Rabardel (1995), Iranzo y Fortuny (2009) y Trouche (2014) señalan que se ve inmerso un proceso de génesis instrumental que puede estar dirigido al medio a utilizar o al sujeto que interactúa con este medio. Estos autores mencionan que este medio tecnológico, en principio, es considerado como un artefacto y, producto de una configuración e interacción con el mismo, se convierte en un instrumento. ...
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Se presenta el diseño de tres actividades mediadas por macroconstrucciones en un software de geometría dinámica (GeoGebra) y su análisis, tomando como referente la Génesis Instrumental. Las actividades se diseñaron a partir de las proposiciones del primer libro de Los Elementos de Euclides; cada una involucra un problema de construcción de figuras con área igual a otra u otras y una serie de preguntas que buscan favorecer los procesos de instrumentación e instrumentalización y, como consecuencia, la resolución de los problemas. Están dirigidas a profesores de matemáticas en formación continua, pero podría ampliarse la población de aplicación. Durante su implementación, se espera que, en un primer momento, se evidencie el proceso de instrumentación, cuando el sujeto interactúe con el artefacto y observe las invarianzas para realizar conjeturas. Luego, mediante la observación realizada y con el uso de las herramientas que ofrece GeoGebra, pueda realizar las construcciones necesarias para resolver los problemas y crear su propia macro en GeoGebra, logrando así el proceso de instrumentalización. Finalmente, a partir de estos procesos, se espera que el docente en formación se apropie del artefacto y éste pase a ser un instrumento.
Article
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Este trabajo trata sobre la producción de significados alrededor del triángulo rectángulo durante la resolución de un problema de construcción con GeoGebra, por futuros profesores de matemáticas. Asumiendo una perspectiva multimodal del aprendizaje, analizamos la actividad de los participantes desde cuatro categorías que enfatizan la naturaleza semiótica y encarnada del pensamiento en geometría. Concluimos que, por un lado, la explicación de un procedimiento de construcción con GeoGebra está vinculada a la comprensión que se tiene del objeto a construir, en razón del espacio de trabajo utilizado y, por otro lado, el formador cumple un rol importante para lograr esta comprensión.
Thesis
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Within the mathematics curriculum for third semester in de high school for the SEP, we can find the issue called conicals curves, whose teaching is focused almost exclusively on developing algebraic equations of conics. Without denying the potential of these methods, the study of conics should begin from their legitimate properties as loci, with a geometric visualization without devalue the algebraic treatment. The present research is a proposal linking the worlds of mathematics, didactics and digital technologies, where the teaching of the ellipse is an example of how one might generalize to introduce other conic curves in Analytic Geometry, through activities supported in Cuevas & Pluvinage Cuevas didactic, and the first three levels of development of the Van Hiele geometric, reinterpreted under this didactic.
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This research aims to analyze the work done by a group of prospective secondary school mathematics teachers while solving mathematics problems using GeoGebra. Our focus is on analyzing the Mathematical Activity as they progress solving one problem, through the different problem-solving episodes (Santos-Trigo & Camacho-Machín, 2013): understanding, exploration and the search for multiple approaches. The results show evidence of mathematical processes and activities that include extending and posing new problems and finding novel paths to reason and solve the tasks with technology. We could observe them to generate and pursue new routes to represent mathematical objects, transforming representations, formulating conjectures and observing and justifying relationships and conjectures.
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Memorias del evento IV Jornadas Ecuatorianas de GeoGebra
Article
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El artículo da cuenta del diseño de una secuencia didáctica mediada por el software GeoGebra para fortalecer el desarrollo del pensamiento geométrico en estudiantes de cuarto grado. Se creó y analizó una prueba diagnóstica a través de los niveles de pensamiento geométrico propuestos por Van Hiele, luego, se categorizaron diferentes investigaciones, para analizar sus resultados en el uso de las herramientas tecnológicas en el aula al enseñar geometría; por último, se diseñó una secuencia didáctica por medio del software GeoGebra, para tratar temas como: los elementos de la geometría euclidiana, la descripción y representación de objetos bidimensionales tales como; polígonos y ángulos, y las relaciones y definiciones entre sus elementos. La metodología utilizada para el desarrollo de la investigación se presentó bajo un enfoque mixto, enmarcado en el método investigación acción (Sandoval, 2002). De acuerdo con los resultados obtenidos se concluyó, que el uso de las TIC en la enseñanza de las matemáticas puede ayudar a mejorar aspectos actitudinales, y motivacionales, cambiando la percepción hacia las clases, obteniendo buenos resultados académicos y promoviendo el desarrollo del pensamiento geométrico; además, el uso del software GeoGebra es una herramienta con grandes características que puede ser utilizada desde los niveles iniciales de la educación, siempre y cuando exista una adecuada apropiación de esta herramienta por parte del docente.
Article
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El trabajo tiene como objetivo identificar el nivel de desarrollo de la expresión oral de los niñas y niñas de dos unidades educativas públicas de la Ciudad de Santo Domingo, Ecuador. La metodología se basó en un enfoque mixto, el diseño explicativo secuencial (DEXPLIS) y la investigación descriptiva. Las dimensiones de análisis de la expresión oral fueron: a) fluidez y precisión; (b) vocabulario; (c) oratoria; (d) adecuación al contexto; (e) dicción. La muestra se conformó de 61 estudiantes, de los cuales, 24 tienen la edad de 3 años (Inicial 1) y 37 tienen la edad de 4 años (Inicial 2); además, se tomaron en cuenta a 4 docentes. Los instrumentos de recogida de datos fueron la guía de observación (alfa de Cronbach: 0.903) para los estudiantes y la entrevista para las docentes. Por medio del análisis estadístico se demostró que el 70,49% de los evaluados han logrado desarrollar su expresión oral, mientras que el 26,23% están en proceso y un 3,28% están iniciando su desarrollo. Finalmente, en el análisis de contenido se evidenció que la familia juega un rol importante en las limitaciones que tienen los estudiantes al momento de expresarse.
Chapter
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In this text I describe, exemplify, and analyze the main methodological options for gathering and analyzing data in research experiments aimed to study the processes of learning mathematical proof in dynamic geometry software environments. In the more specific context of solving geometry conjecture and proof problems, I show that the main tools typical (some exclusive) of this kind of research help to deeply understand students' thinking, behaviour and activity while solving conjecture and proof problems.
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The last decade has seen the development in France of a significant body of research into the teaching and learning of mathematics in CAS environments. As part of this, French researchers have reflected on issues of ‘instrumentation’, and the dialectics between conceptual and technical work in mathematics. The reflection presented here is more than a personal one – it is based on the collaboration and dialogues that I have been involved in during the nineties. After a short introduction, I briefly present the main theoretical frameworks which we have used and developed in the French research: the anthropological approach in didactics initiated by Chevallard, and the theory of instrumentation developed in cognitive ergonomics. Turning to the CAS research, I show how these frameworks have allowed us to approach important issues as regards the educational use of CAS technology, focusing on the following points: the unexpected complexity of instrumental genesis, the mathematical needs of instrumentation, the status of instrumented techniques, the problems arising from their connection with paper & pencil techniques, and their institutional management.
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Dragging in Dynamical Geometry Software (DGS) is described by introducing a hierarchy of its functions. This is suitable for classifying different attitudes and aims of students who investigate a geometric problem, such as exploring, conjecturing, validating and justifying. Moreover the hierarchy has cognitive features and can be used to describe the twofold modulities namely ascending and descending in which students interact with external representations (e.g. Cabri drawings). Switching from one modality to the other through dragging often allows them to produce fruitful conjectures and to pass from the empirical to the theoretical side of the question. The genesis of such different functions in students does not happen automatically but is the consequence of specific didactical interventions of the teacher in the pupils' apprenticeship of Cabri practises. A worked-out example illustrates the theoretical concepts introduced in the paper. Der Text führt eine Funktionshierarchie für den Gebrauch des Zugmodus in Dynamischer Geometrie Software (DGS) ein Diese ist zur Klassifikation von Verhaltensweisen und Zielen der Lernenden geeignet, wenn diese geometrische Problem explorieren, Vermutungen aufstellen, bestätigen und rechtfertigen und dabei theoretische und empirische Aussagen in Cabri-Zeichnungen in Beziehung setzen (wechselweise “auf”-und “absteigen”) Der Wechsel zwischen diesen Sichtweisen unter Nutzung des Zugmodus erlaubt es ihnen oft, gehaltvolle Vermutungen zu formulieren und von einer empirischen zu einer theoretischen Sicht auf das Problem zu wechseln. Der Sichtwechsel stellt sich allerdings nicht automatisch ein, sondern ist die Folge besonderer didaktischer Maßnahmen des Lehrenden. Ein ausgearbeitetes Beispiel illustriert die neu eingeführten theoretischen Begriffe.
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The September and October columns of this department described features of dynamic geometry environments. This month's column is concerned with the distinction between drawing and constructing in these environments, a theme that will be continued in later issues. Hoyles and Noss have devised a simple way, “messing up,” to make this distinction clearer for students.
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In this article we introduce the free educational mathematics software GeoGebra. This open source tool extends concepts of dynamic geometry to the fields of algebra and calculus. You can use GeoGebra both as a teaching tool and to create interactive web pages for students from middle school up to college level. Specifically designed for educational purposes, GeoGebra can help you to foster experimental, problem-oriented and discovery learning of mathematics. We will illustrate the basic ideas of the software and some of its versatile possibilities by discussing several interactive examples.
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This study investigated the ways in which the technological tool, The Geometer's Sketchpad, mediated the understandings that high school Honors Geometry students developed about geometric transformations by focusing on their uses of technological affordances and the ways in which they interpreted technological results in terms of figure and drawing. The researcher identified different purposes for which students used dragging and different purposes for which students used measures. These purposes appeared to be influenced by students' mathematical understandings that were reflected in how they reasoned about the physical representations, the types of abstractions they made, and the reactive or proactive strategies employed.
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Although in theory ethnography has been put forward as a powerful naturalistic methodology, in practice it has rarely been used by educational researchers because of differences in assumptions, goals, and primary research questions. From my perspective as an educational anthropologist, I describe the research tradition of ethnography--its underlying assumptions, its heritage in holistic cultural anthropology, its goals and research questions, and the organization of its research methods. Throughout, I compare elements of this ethnographic tradition with more common educational research practices. In the final section, I discuss the advantages of improved communication for future research in both mathematics education and educational anthropology.
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Beginning with the gap in France between the institutional support for the use of technology in mathematics teaching and its weak integration into teacher practice, this paper claims that integrating technology into teaching is a long process. The aim of the paper is to identify and analyse the steps in this integration using as an example the evolution over time (3 years) in the design of teaching scenarios based on Cabri-gomtre for high school students. The analysis indicates that the role played by the technology moved from being a visual amplifier or provider of data towards being an essential constituent of the meaning of tasks and as a consequence affected the conceptions of the mathematical objects that the students might construct.