FACETA EPISTÉMICA DE LOS CONOCIMIENTOS DIDÁCTICO-MATEMÁTICOS DE FUTUROS PROFESORES DE SECUNDARIA SOBRE VARIACIÓN LINEAL

Abstract

Se presentan los resultados del análisis de la faceta epistémica de futuros profesores de matemáticas de secundaria, tras la implementación de una secuencia didáctica sobre la nociónde variación lineal. La propuesta formativa se apoya en el Enfoque Ontosemiótico (EOS) precisamente, en el modelo de Conocimientos y Competencias Didáctico-Matemáticos del profesor de matemáticas. Para el desarrollo del trabajo se utilizó la metodología propia deuna investigación de diseño fundamentada en el EOS. Los resultados obtenidos subrayan queel tipo de tareas planteadas pueden ser útiles para promover la enseñanza de la variación lineal, así como también, se sugiere que es importante seguir trabajando sobre este contenido para profundizar aspectos importantes del tema.

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Avances en Matemática Educativa. Teorías Diversas
i
PROGRAMA EDITORIAL DEL
PROGRAMA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
PROME
AVANCES EN MATEMÁTICA EDUCATIVA
TEORÍAS DIVERSAS
NO. 8
Alejandro Miguel Rosas Mendoza
Editor

Avances en Matemática Educativa. Teorías Diversas
ii
Avances en Matemática Educativa. Teorías Diversas.
© Alejandro Miguel Rosas Mendoza
D. R. © Editorial Lectorum, S. A. de C.V., 2021
Batalla de Casa Blanca Manzana 147 Lote 1621
Col. Leyes de Reforma, 3ª Sección
Tel. 5581 3202
www.lectorum.com.mx
ventas@lectorum.com.mx
Programa de Matemática Educativa
www.matedu.cicata.ipn.mx
Primera Edición: julio 2021
ISBN: 978-607-457-668-9
Corrección Ortográfica y de Estilo: Dr. Alejandro Miguel Rosas Mendoza
Logística y Edición: Dr. Alejandro Miguel Rosas Mendoza
Diseño de Portada: Ing. Fausto Manuel Hernández Sierra
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio electrónico, mecánico
por fotocopia, por registro u otros métodos, sin la autorización escrita del editor.
Hecho en México

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iii
ARBITRAJE DE LOS ARTÍCULOS
Los artículos contenidos en este libro surgieron de entre 15 propuestas
originales, cada propuesta fue evaluada tres veces por tres miembros diferentes
del Comité Científico Evaluador. En este proceso de arbitraje hubo artículos
cuyo contenido o calidad de exposición no fueron aprobados por alguno de los
revisores y por ello no pudieron ser incluidos en este libro.
También se rechazaron algunos artículos debido a que, al aplicar software
antiplagio, se observó que su contenido incluía porciones de obras de terceros
sin las correspondientes citas y reconocimientos.
Entre las revisiones realizadas se incluyó una específica del formato APA, para
las citas y referencias bibliográficas.
El Comité Científico Evaluador estuvo formado por profesionales de la
educación de diversas instituciones educativas pertenecientes a Argentina,
Colombia, Ecuador, Guatemala y México.
Comité Científico Evaluador
DR. ALEJANDRO MIGUEL ROSAS MENDOZA
CICATA-LEGARIA
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CIUDAD DE MÉXICO
MÉXICO
DR. SERGIO DAMIÁN CHALÉ CAN
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
CIUDAD DE MÉXICO
MÉXICO
DR. APOLO CASTAÑEDA ALONSO
DEPARTAMENTO DE INVESTIGACIONES EDUCATIVAS
CINVESTAV-UNIDAD SUR
CIUDAD DE MÉXICO
MÉXICO
M.C. PATRICIA EVA BOZZANO
LICEO "VÍCTOR MERCANTE"
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA
LA PLATA, BUENOS AIRES
REPÚBLICA ARGENTINA
DRA. MARTHA LETICIA GARCÍA RODRÍGUEZ
CICATA-LEGARIA
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CIUDAD DE MÉXICO
MÉXICO
M.C. EDISON ROBERTO VALENCIA
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO
FACULTAD DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
AMBATO
ECUADOR

Avances en Matemática Educativa. Teorías Diversas
iv
M.C. JUAN GABRIEL MOLINA ZAVALETA
CICATA-LEGARIA
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CIUDAD DE MÉXICO
MÉXICO
M.C. LUZ MARINA FORERO CONTRERAS
COLEGIO LOS NOGALES
BOGOTÁ, DISTRITO CAPITAL
COLOMBIA
M.C. MARÍA DE LOURDES NAVAS PADILLA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS-ESPE
ECUADOR
M.C. HOMERO ULISES VÁZQUEZ CERNAS
JEFATURA DE ENSEÑANZA EN MATEMÁTICAS
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN DEL ESTADO DE COLIMA
MÉXICO
M.C. FABIOLA ARRIVILLAGA HURTADO
UNIVERSIDAD DEL VALLE DE GUATEMALA
GUATEMALA
M.C. IRIS FEO MAYOR
CICATA-LEGARIA
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CIUDAD DE MÉXICO
MÉXICO

Avances en Matemática Educativa. Teorías Diversas
1
FACETA EPISTÉMICA DE LOS CONOCIMIENTOS
DIDÁCTICO-MATEMÁTICOS DE FUTUROS PROFESORES
DE SECUNDARIA SOBRE VARIACIÓN LINEAL
Karina Herrera-García, Teresa Dávila-Araiza, Belén Giacomone, Pablo Beltrán-Pellicer
Universidad de Sonora, Università di San Marino, Universidad de Zaragoza
Jaquelin_herrera@hotmail.es, maria.davila@unison.mx, Belen.Giacomone@gmail.com, Pbeltran@unizar.es
Resumen
Se presentan los resultados del análisis de la faceta epistémica de futuros profesores de
matemáticas de secundaria, tras la implementación de una secuencia didáctica sobre la noción
de variación lineal. La propuesta formativa se apoya en el Enfoque Ontosemiótico (EOS),
precisamente, en el modelo de Conocimientos y Competencias Didáctico-Matemáticos del
profesor de matemáticas. Para el desarrollo del trabajo se utilizó la metodología propia de
una investigación de diseño fundamentada en el EOS. Los resultados obtenidos subrayan que
el tipo de tareas planteadas pueden ser útiles para promover la enseñanza de la variación
lineal, así como también, se sugiere que es importante seguir trabajando sobre este contenido
para profundizar aspectos importantes del tema.
Palabras clave: Formación inicial de profesores, conocimientos matemáticos, variación lineal
Abstract
We present the results of the analysis of the epistemic facet of prospective secondary
mathematics teachers, as result of the implementation of a didactic sequence dealing with the
notion of linear variation. The training proposal is based on the Onto-Semiotic Approach
(OSA), precisely, on the Mathematics Teacher’s Didactic-Mathematical Knowledge and
Competences model. To address the objective, we use the design-research methodology,
based on the OSA tools. The results obtained underline that the type of tasks proposed may
be useful to promote the teaching of linear variation, as well as suggesting that it is important
to continue working on this content to deepen important aspects of the subject.
Key Words: Initial training of teachers, mathematical Knowledge, linear variation.

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Justificación y problemática
Según diversos investigadores (Caballero & Cantoral, 2015; Rodríguez & Ledezma,
2009) la enseñanza de la variación es importante porque permite analizar diferentes
fenómenos físicos que se pueden observar en la naturaleza y que se encuentran en las
vivencias cotidianas de las personas y grupos sociales. Dichos fenómenos tienen la
característica principal de ser dinámicos y causales; es decir, un proceso que está en constante
cambio, presentando una regularidad del fenómeno. En efecto, la enseñanza de la variación
favorece a los sujetos para realizar estimaciones, comparaciones y construir modelos que
permitan explicar esos fenómenos, de tal forma que cumplan o resuelvan alguna situación
en específico que le demande su contexto.
En este sentido, es fundamental que los futuros docentes tengan un conocimiento profundo
sobre la variación lineal, pues además de que es importante para analizar fenómenos con los
que conviven, es un contenido que aparece en diversas etapas en la educación básica. El
documento Aprendizajes Clave de la Secretaría de Educación Pública (SEP, 2017), dirigido
a profesores, sugiere que dicho contenido debe ser abordado desde quinto grado de primaria,
como también, en primero, segundo y tercer grado de secundaria; este tópico se estudia,
incluso, en los niveles educativos posteriores como lo son el nivel medio superior y superior.
Puesto que la variación lineal se aborda desde niveles básicos de educación, es importante
para un futuro profesor profundizar y enriquecer sus conocimientos con respecto a este
contenido, ya que, tendrá que realizar tareas específicas para su enseñanza, por ejemplo:
crear, diseñar o seleccionar situaciones problema que podría plantear a sus estudiantes, crear
estrategias diversas para motivar al estudiante a aprender este contenido, así como también
considerar los diferentes significados que podría promover para su enseñanza. Por lo tanto,
es fundamental analizar qué es lo que se propone a los profesores de secundaria para la
enseñanza y conocer las dificultades que enfrentan a la hora de abordarla con sus estudiantes
de secundaria, pues como lo expresan Godino et al. (2017): “La formación didáctica de los
profesores […] reclama atención por parte de la Didáctica de la matemática, pues el
desarrollo del pensamiento y de las competencias matemáticas básicas de los alumnos
depende, de manera esencial, de dicha formación” (p. 91).

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El documento Aprendizajes Clave (SEP, 2017) es un documento oficial propuesto por la
Secretaría de Educación Pública (SEP) dirigido a profesores de matemáticas de secundaria;
en él se plantea como propósito para la educación secundaria: “modelar situaciones de
variación lineal, cuadrática y de proporcionalidad inversa; y definir patrones mediante
expresiones algebraicas” (p. 162). Además, dentro de los aprendizajes esperados (Tabla 1),
se propone el análisis y resolución de situaciones de variación lineal utilizando diferentes
representaciones semióticas y diferentes contextos. Esto implica que los futuros profesores
deben adquirir, en su formación inicial, un conjunto de conocimientos y habilidades para
resolver de forma satisfactoria las diversas situaciones a las que se enfrenta en su quehacer
profesional, al enseñar la variación lineal.
Tabla 1
Aprendizajes esperados de la Educación Secundaria sobre funciones
Eje
Tema
1°
2°
3°
Número,
álgebra y
variación
Funciones
Aprendizajes esperados
Analiza y
compara
situaciones de
variación lineal a
partir de sus
representaciones
tabular, gráfica y
algebraica.
Interpreta y
resuelve
problemas que se
modelan con este
tipo de variación.
Analiza y compara
situaciones de variación
lineal y
proporcionalidad
inversa, a partir de sus
representaciones
tabular, gráfica y
algebraica. Interpreta y
resuelve problemas que
se modelan con este
tipo de variación,
incluyendo fenómenos
de la física y otros
contextos.
Analiza y
compara
diversos tipos de
variación a partir
de sus
representaciones
tabular, gráfica y
algebraica que
resultan de
modelar
situaciones y
fenómenos de la
física y de otros
contextos.
Nota. Organización del estudio de la asignatura de matemáticas a partir de tres niveles de
desglose: eje, tema y aprendizaje esperado por grado. Adaptado de SEP 2017, p. 312-313.
Por otro lado, aunque la variación, y en específico, la variación lineal, es una noción central
en el currículo de educación secundaria, diversos aportes científicos en el campo de la
Educación Matemática revelan que la manera en cómo tradicionalmente se aborda en el
currículo y en los libros de texto de secundaria presenta serias limitaciones para la enseñanza

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del contenido y la articulación de otras nociones clave (Thompson & Carlson, 2017; Vasco,
2003). Un claro ejemplo es el descuido en el estudio de las magnitudes variables, así como
también, se resalta la presencia del estudio de la función como regla de correspondencia y
como expresión analítica, en lugar de presentarse como un concepto relacionado a la
variación (Bojórquez et al., 2016; Panorkou et al., 2016).
Otras investigaciones son las que reportan que existen dificultades por parte de los profesores
al brindar el tema, puesto que se resalta que existen errores de interpretación de conceptos
relacionados a la variación; por ejemplo, se muestra que existen conflictos de significado
entre las nociones de incógnita y ecuación, y que estas interfieren en el reconocimiento de
los objetos variable y función; existen también dificultades en los futuros profesores para
realizar transformaciones de las representaciones de una función, modelarla
matemáticamente e identificar y calcular la pendiente de una función lineal (Amaya et al.,
2016; Wilhelmi et al., 2014). Tales reportes indican la necesidad de crear propuestas de
intervención que consideren estas limitaciones, y se resalta a su vez, la importancia de
contemplar en la formación de profesores la clarificación de estos significados.
Dada la naturaleza dinámica que debería tener el estudio de la variación (Thompson &
Carlson, 2017), se considera que la tecnología digital podría ser útil para modelar procesos
de cambio de forma dinámica, contrariamente a como se propone en el currículo de
secundaria y en los libros de texto.
Los párrafos anteriores dejan en claro la necesidad de abordar la enseñanza de la variación
lineal sin descuidar la forma dinámica en que ésta debería presentarse, articulando
situaciones-problemas ricas en contenido matemático. Por ello, en este trabajo se planteó una
propuesta formativa dirigida a futuros profesores de matemáticas a través del diseño de una
secuencia de actividades didácticas que buscan enriquecer conocimientos didáctico-
matemáticos que promueven el estudio dinámico de la variación lineal, así como iniciarlos
en el desarrollo de competencias para identificar la diversidad de elementos matemáticos
implicados al resolver situaciones problema propias del estudio de esta noción matemática.
En este escrito se presentará una parte de la propuesta formativa, la cual corresponde a las
tareas matemáticas planteadas en la primera actividad didáctica de la secuencia, así como el

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análisis y discusión de las respuestas dadas por los futuros profesores con quienes se
implementó la secuencia de actividades, que ponen de manifiesto sus conocimientos sobre
variación lineal.
Es importante destacar que, para dar el enfoque dinámico y variacional en la propuesta, se
consideraron las aportaciones de Jiménez (en prensa), quien propone un nivel cero en el
desarrollo del pensamiento variacional, previo al estudio de la covariación en el plano
cartesiano, que corresponde al trabajo con magnitudes variables representadas de manera
dinámica en rectas numéricas. Así como también, se considera el uso de GeoGebra para
representar fenómenos o procesos de cambio que favorezcan el estudio dinámico de la
variación.
Marco teórico
El desarrollo de este trabajo se apoya en el Enfoque Ontosemiótico (EOS) del
Conocimiento y la Instrucción Matemáticos desarrollado por Godino y colaboradores
(Godino et al., 2007; Godino et al., 2019). Desde este enfoque teórico se aportan elementos
originales y significativos para elaborar un diseño instruccional, así como herramientas
metodológicas que permiten estructurar el desarrollo del mismo y valorar su
implementación. Dentro del EOS se propone el Modelo de Conocimientos y Competencias
Didáctico-Matemáticos del profesor de matemáticas (CCDM) que permite caracterizar de
manera operativa tales conocimientos y competencias de un profesor (o futuro profesor) de
matemáticas.
Para el diseño de las actividades de la secuencia didáctica fue necesario establecer un
significado de referencia que orientara qué se entiende por variación lineal en la escuela
secundaria y qué tipo de conocimientos matemáticos se promueven en su estudio, de manera
que se pudieran establecer los conocimientos apropiados para la secuencia con los futuros
profesores. Para ello se emplearon la tipología de significados y la tipología de objetos
matemáticos primarios del EOS.
Desde el EOS se define el significado de un objeto matemático desde una perspectiva
pragmática como el sistema de prácticas matemáticas realizadas en la resolución de un
mismo tipo de situaciones problema en donde está inmerso el objeto matemático. Los

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significados se asumen desde dos puntos de vista: institucional y personal, dependiendo si
los sistemas de prácticas son propios de una institución (epistémico) o si son llevadas a cabo
por un individuo (cognitivo). Además, se caracteriza el significado mediante una tipología
básica de significados institucionales y personales. Se proponen los siguientes tipos de
significados institucionales: referencial, pretendido, implementado y evaluado (Godino et
al., 2007).
De estos tipos de significados, en este trabajo se retomaron solamente el significado
institucional referencial y el significado institucional pretendido. Sin embargo, como en este
trabajo se enfatiza que el currículo de secundaria descuida el tratamiento de la noción de
variación, se decidió que el significado institucional de referencia (o referencial) no fuera
únicamente el currículo de secundaria. Es decir, además de analizar el currículo se
consideraron diversos artículos de investigación como otras fuentes para tener una referencia
más robusta sobre la variación lineal, de manera que el significado pretendido por el diseño
de la secuencia didáctica fuera más diverso que el pretendido por el currículo.
El significado institucional pretendido por el currículo se entiende, en este trabajo, como los
sistemas de prácticas incluidos en la planificación del proceso de estudio asumido en los
planes y programas de estudio, así como en los libros de texto acordes al currículo. Por otro
lado, el significado institucional pretendido por el diseño de la secuencia de actividades
didácticas se considera, en este trabajo, como los sistemas de prácticas incluidos en la
planificación del proceso de estudio definido con la secuencia de actividades didácticas
diseñadas.
Respecto a los significados personales, desde el EOS se proponen los siguientes tipos:
global, declarado y logrado (Godino et al, 2007). En este trabajo, se consideraron los
significados declarado y logrado.
En el EOS se considera que al resolver un problema matemático se detona la realización de
prácticas o sistemas de prácticas en las cuales se ponen en funcionamiento determinados
elementos que representan el conocimiento puesto en juego por la persona (o la institución)
que realiza la actividad matemática. Estos elementos se denominan objetos matemáticos
primarios, y son entes que intervienen y emergen de las prácticas matemáticas realizadas.

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Godino et al. (2007) consideran que los objetos matemáticos primarios que emergen e
intervienen en las prácticas matemáticas representan el conocimiento puesto en juego por la
persona. En el caso de este trabajo, serán de interés los objetos matemáticos primarios puestos
en juego por los futuros profesores de matemáticas de secundaria.
Para poder identificar mejor estos elementos y realizar análisis más finos de los procesos
didácticos llevados a cabo, el EOS propone una tipología de seis objetos matemáticos
primarios: lenguaje, situaciones problema, conceptos-definición, proposiciones,
procedimientos y argumentos (Godino et al., 2007, p. 130). En consecuencia, cuando alguien
realiza una práctica matemática ante la resolución de una situación problema, activa un
conglomerado de objetos matemáticos formado por lenguajes, procedimientos, definiciones,
proposiciones y argumentos e incluso otras situaciones problema. Es importante resaltar que,
ante una misma situación problema es posible poner en juego distintos significados, es decir,
distintos sistemas de prácticas y distintos objetos matemáticos primarios.
Por otro lado, al análisis de los conocimientos didáctico-matemáticos se realizó a partir de
las facetas epistémica y cognitiva que proponen Pino-Fan y Godino (2015), empleando las
tablas sugeridas por los autores con indicadores específicos para realizar los análisis propios
de estas facetas. El uso del Modelo de Conocimientos y Competencias Didáctico-
Matemáticos (CCDM) del profesor de matemáticas (referencias) nos permitió identificar
conocimientos didáctico-matemáticos que fueron manifestando los futuros profesores de
matemáticas en el desarrollo de la secuencia. Sin embargo, en este trabajo se mostrarán los
resultados obtenidos en la faceta epistémica de una de las actividades didácticas
implementadas.
La faceta epistémica (Pino-Fan & Godino, 2015) trata sobre los distintos conocimientos que
se esperan un profesor de matemáticas debe tener, por ejemplo, aquellos conocimientos
matemáticos perfilados para la enseñanza que le permitan resolver problemas matemáticos;
es decir, se plantea que el profesor debe resolver tareas utilizando distintos procedimientos,
movilizar diversas representaciones de un objeto matemático, proporcionar diversas
justificaciones y argumentaciones, además de identificar los conocimientos puestos en juego

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al resolver una tarea matemática y conocer los distintos significados para un mismo objeto
matemático.
Metodología empleada
El presente trabajo se enmarca en la metodología propia de un enfoque cualitativo, de
tipo descriptivo e interpretativo (Hernández et al., 2010), ya que una vez realizada la
implementación de la secuencia didáctica con los futuros profesores de matemáticas se
analizó el proceso llevado a cabo. Por lo tanto, se profundiza sobre el conocimiento didáctico-
matemático de futuros profesores desarrollado y puesto en juego al abordar las actividades
didácticas diseñadas. Para desarrollar el trabajo se retomó la metodología propuesta por
Godino, et al. (2014), la cual considera elementos de la investigación basada en el diseño y
de la Ingeniería Didáctica, y los articula con las herramientas teóricas del EOS. En la
metodología que proponen Godino et al. se distinguen cuatro etapas fundamentales, tales
etapas, son: estudio preliminar, diseño de la trayectoria didáctica, implementación de la
trayectoria didáctica y evaluación o análisis retrospectivo.
Participantes
Participaron nueve futuros profesores de matemáticas de una institución formadora
de docentes en México, que se encontraban en octavo semestre de la Licenciatura en
Educación Secundaria con Especialidad en Matemáticas. La implementación de la propuesta
formativa se realizó desarrolló dentro de las sesiones correspondientes a una de las
asignaturas que cursaban en ese momento en la institución formadora con una duración
aproximada de 15 horas.
Recolección de datos
Se diseñaron cinco actividades didácticas con tareas dirigidas a futuros profesores de
matemáticas, las cuales incluían de uno a dos applets diseñados de acuerdo con lo que se
promovía en cada actividad. Cada una de las actividades tenía la estructura Parte I, trabajo
matemático, parte II análisis de los objetos matemáticos primarios y Parte III reflexión
didáctico-matemática de respuestas hipotéticas de estudiantes de secundaria a situaciones de
variación lineal y no lineal. Sin embargo, en este trabajo se enfocará en la Parte I de trabajo

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matemático, es decir, en el diseño de cada contexto diseñado sobre variación lineal. Las
actividades fueron impresas en hojas de trabajo y entregadas a cada estudiante, a quiénes se
designó con la letra E que significa ‘Estudiante’, y un número del 1 al 9 (número de
participantes). A cada futuro profesor se le entregaron plumas de distinto color con el objetivo
de distinguir tres momentos de trabajo: pluma negra para representar el trabajo individual,
pluma roja para el trabajo en equipo y pluma azul para el trabajo de discusión grupal.
Resultados
A continuación, se presentan las respuestas de los futuros profesores correspondientes
a la primera actividad didáctica de la secuencia, titulada la edad canina, donde se plantea la
siguiente situación problema: Los perros envejecen más rápido que los seres humanos, por
ejemplo, un perro de seis años es considerado un perro adulto por la madurez y el
envejecimiento (edad biológica) que ha alcanzado su cuerpo. Existen diferentes métodos
para estimar la edad biológica de un perro, la veterinaria Mirtha Smith propone la siguiente
técnica (adaptada de Smith, 2017): Un perro de 1 año tiene la edad biológica de un ser
humano de 20 años, y a partir de ese momento la edad biológica del perro aumenta 4 años
por cada año que transcurre.
En la parte I de trabajo matemático, se plantean una serie de preguntas y tareas como las
siguientes, las cuales se distribuyen en momentos de trabajo individual, trabajo en equipo y
discusión grupal: ¿qué magnitudes cambian conforme pasa el tiempo?; representa en la
siguiente recta numérica el cambio de la edad biológica del perro conforme pasan los años;
describe cómo es el cambio de la edad biológica del perro conforme pasa el tiempo; ¿qué
relaciones encuentras entre el cambio de ambas magnitudes? Algunas respuestas
prototípicas se muestran en la Figura 1. Posteriormente, se propone trabajar con un applet de
GeoGebra como se muestra en la Figura 2 y se plantean preguntas respecto a cómo varían
las magnitudes variables cada cierta cantidad de tiempo. Después, se plantea la tabla de
valores faltantes de la Figura 3 y se hacen preguntas referentes a la existencia de relaciones
de proporcionalidad entre los datos de la tabla. Finalmente, se presentan otros métodos para
calcular la edad biológica, de acuerdo al tamaño de su raza, y se pide determinar la expresión
algebraica que modela tales métodos.

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Tras aplicar la primera actividad de diseño (la edad canina), los futuros profesores dieron
muestra de poder resolver las tareas realizando prácticas matemáticas como la representación
de la variación uniforme de las magnitudes variables en rectas numéricas y el establecimiento
de relaciones en la manera como tales magnitudes varían de manera conjunta.
Figura 1
Respuestas obtenidas del E1 y E2
Aunque se observó dificultad por parte de los futuros profesores trabajar con este tipo de
representaciones. Algunos de sus comentarios se referían a que no era una tarea común para
ellos representar las variaciones de las magnitudes variables en rectas numéricas.
Cabe destacar que la variación de las magnitudes se modelaba en los applets de GeoGebra,
mostrando de manera dinámica cómo cambiaba cada una de las magnitudes variables. Tales
applets fueron utilizados por algunos futuros profesores para dar respuesta a las tareas que se
planteaban en el diseño de las actividades.
Un ejemplo de esto es la respuesta que se muestra en la Figura 3, siendo una respuesta
representativa de las que brindaron los futuros profesores, correspondiente a E8, quien
resolvió la tarea utilizando lenguaje numérico y algebraico, además de manifestar el uso de
procedimientos propios del estudio de la proporcionalidad, como la regla de tres simple para
realizar una conversión de meses a años. Posteriormente se observa que utiliza la aplicación
de GeoGebra para dar respuestas al llenado de la tabla de la Figura 3. Se observó que el

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estudiante le daba play al applet y tras observar cómo cambiaba cada una de las magnitudes
es que iba llenando la tabla de datos, relacionando el valor numérico de la magnitud variable
independiente con el otro valor numérico de la magnitud variable dependiente, el ejemplo se
observa en la Figura 2:
Figura 2
Forma en que uno de los futuros profesores utilizó el applet
De manera general se observa en la Figura 2 la relación que establece el estudiante entre las
magnitudes variables que se encuentran representadas en las rectas numéricas planteadas en
el applet. Posteriormente, cuando se les plantea la tabla de valores de la Figura 3, el futuro
profesor, para llenar la tabla de datos, considera establecer la relación de correspondencia del
valor numérico de una magnitud, con el valor numérico de la otra magnitud variable.
Posteriormente calcula las variaciones de cada magnitud variable y para describir cuál fue la
regla o el procedimiento empleado, menciona haber utilizado GeoGebra, pero también, el
uso del procedimiento regla de tres. El sistema de prácticas que emplea el estudiante tiene
que ver con el significado de variación lineal como tabla de valores con variaciones
directamente proporcionales.

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Figura 3
Respuesta de E8
Además, utilizaron procedimientos como el uso de la regla de tres simple, para realizar una
conversión de meses a años (Figura 1).
Figura 1
Respuesta de E6
Por otro lado, algunos futuros profesores creaban primero una expresión algebraica.
Posteriormente sustituían los valores o realizaban despejes, dependiendo de la magnitud que
buscaban (Figura 5).

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Figura 2
Respuesta E5
Los resultados arrojan que los futuros profesores primero trataban de llenar la tabla
estableciendo correspondencias entre la edad del perro y la edad biológica. Después de tener
estos valores calculaban las variaciones de cada una de las magnitudes variables.
Posteriormente se tenían que realizar preguntas específicas para que los futuros profesores
identificaran que existía proporcionalidad directa en las variaciones de las magnitudes
variables, esto quiere decir, que es una tarea complicada para ellos identificar y comunicar si
existen o no, relaciones de proporcionalidad. Un ejemplo es la siguiente respuesta mostrada
en la Figura 6:
Figura 6
Respuesta E2
El E2 describe cómo varía la magnitud variable dependiente a partir de la variación de la
magnitud variable independiente, sin embargo, no específica una relación clara de
proporcionalidad.
La siguiente tarea (Figura 3) muestra otro tipo de situación problema que se plantea a los
futuros profesores, en el cual se observa que identifican las variables de la tarea, es decir

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identifican cuántos años aumenta la edad del perro, e identifican que este valor se refleja en
la expresión algebraica y la generalizan. Se observa además la identificación de algunos
elementos que relacionan a la variación lineal con una expresión analítica, pues involucra el
reconocimiento de la constante de proporcionalidad y las magnitudes variables dependiente
e independiente.
Figura 3
Situación planteada y respuesta de E5
Posteriormente (¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.), se observa que E8
identifica conceptos y propiedades que se ponen en juego en la tarea pues, al argumentar su
respuesta, utiliza el concepto de aumento de las magnitudes variables (variaciones de edad
biológica-edad del perro), propiedades sobre las relaciones entre las magnitudes variables y
el procedimiento que involucra a la constante de proporcionalidad.

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Figura 8
Respuesta de E8
Finalmente se muestran en los resultados de la actividad uno “la edad canina” que los futuros
profesores identifican aspectos claves que les ayudarán a ir enriqueciendo sus conocimientos
sobre la variación lineal, explicando y justificando las soluciones dadas a través del uso de
propiedades y procedimientos, acciones que se relacionan con el conocimiento especializado
del profesor sobre procedimientos y conceptos/propiedades. Este análisis permite identificar
que sobresalen algunas prácticas matemáticas declaradas como las pretendidas por el diseño,
por ejemplo, los futuros profesores representan las variaciones de las magnitudes variables
en rectas numéricas, así como también, establecen relaciones de correspondencias entre las
magnitudes variables al trabajar con el llenado de las tablas numéricas, calculan las
variaciones de cada magnitud variable y crean expresiones algebraicas que modelan algunas
situaciones aquí planteadas.
Los resultados arrojan que es difícil para los futuros profesores identificar relaciones de
proporcionalidad directa en las variaciones de las magnitudes variables, así como también,
que es complicado para ellos expresar por escrito la relación de proporcionalidad entre las
magnitudes variables.
Discusión
En conclusión, se diseñó una secuencia de actividades fundamentada en la literatura
de Educación Matemática y acorde al currículo de secundaria de matemáticas. Dado el
carácter variacional del tema matemático, el uso de GeoGebra fue importante porque
permitió la creación de applets que modelaran las situaciones de variación y las variaciones
de las magnitudes variables.

Avances en Matemática Educativa. Teorías Diversas
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Por otro lado, se concluye que la mayoría de los futuros profesores se apropiaron de los
sistemas de prácticas pretendidos por el diseño, ya que resolvieron las tareas planteadas
utilizando lenguaje numérico, tabular, algebraico y gráfico, es decir, manifestaron establecer
correspondencias entre las magnitudes variables y después calcular sus variaciones,
utilizaban procedimientos que forman parte de distintos significados de la proporcionalidad,
como el cálculo de la regla de tres simple para realizar conversiones de unidades en los datos
(meses a años), así como también planteaban proposiciones relacionando las magnitudes
variables dependiente e independiente. Posteriormente reflejaban este fenómeno en una
expresión algebraica, es decir, desarrollaron sistemas de prácticas asociadas a la creación de
una expresión analítica, pues reconocían la constante de proporcionalidad y las magnitudes
variables dependiente e independiente y las representaban en el lenguaje algebraico.
Aunque gran parte de las prácticas matemáticas manifestadas por los profesores eran las
esperadas, también se manifestaron conflictos; algunos de ellos tuvieron que ver con la
creación de una expresión algebraica que modelara dicho fenómeno planteado (Figura 9).
Algunos futuros profesores no crearon la expresión esperada, sin embargo, por medio del
trabajo en equipo enriquecían sus respuestas modificando las respuestas dadas.
Figura 4
Respuesta E6
Posteriormente, cuando hubo trabajo en equipo, el E6 modifica la expresión algebraica que
había utilizado, cambiándola por la expresión
20 + 4%(' − 1)
como se muestra en la Figura
10:

Avances en Matemática Educativa. Teorías Diversas
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Figura 5
Respuesta E6
El reporte del análisis de la faceta epistémica mostró que los futuros profesores incorporaron
sistemas de prácticas esperadas por el diseño, lo que quiere decir que el tipo de tareas que se
plantearon pueden ser útiles para promover la enseñanza de la variación lineal. Por otro lado,
también arrojó información sobre qué es necesario seguir trabajando con los futuros
profesores, ya que brindó información sobre las dificultades mostradas por los futuros
profesores.
El análisis de los conocimientos didáctico-matemáticos se realizó a partir de las facetas
epistémica que proponen Pino-Fan y Godino (2015), empleando la tabla con indicadores
específicos para realizar el análisis propio de esta faceta.
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