El teorema de Pitágoras a través de la resolución de problemas

Abstract

Cítese como: Beltrán-Pellicer, P. (2022). El teorema de Pitágoras a través de la resolución de problemas. La Gaceta de la RSME, 25(1), 149–169.

El teorema de Pitágoras es, sin duda, uno de los objetos matemáticos más fascinantes de la educación obligatoria. Su enseñanza no puede reducirse a la aplicación de la fórmula a2 +b2 = c2, siendo a y b las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo, y c la de la hipotenusa. Muchos autores coinciden en subrayar la oportunidad que ofrece para trabajar la conjetura y la prueba en matemáticas. En este artículo reflexionamos en primer lugar sobre su significado, revisando algunas propuestas de enseñanza y resultados de investigación. Después, describimos con detalle el diseño e implementación de una propuesta didáctica para 2.o ESO, prestando especial atención a la planificación del andamiaje y a la interacción en el aula, apoyándonos para ello en producciones del alumnado.

Full text

La Gaceta de la RSME, Vol. 25 (2022), Núm. 1, Págs. 149–169 149
Matemáticas en las aulas de Secundaria
Sección a cargo de
Luisa Cuadrado
El teorema de Pitágoras
a través de la resolución de problemas
por
Pablo Beltrán-Pellicer
Resumen. El teorema de Pitágoras es, sin duda, uno de los objetos mate-
máticos más fascinantes de la educación obligatoria. Su enseñanza no puede
reducirse a la aplicación de la fórmula a2+b2=c2, siendo ayblas longitudes
de los catetos de un triángulo rectángulo, y cla de la hipotenusa. Muchos auto-
res coinciden en subrayar la oportunidad que ofrece para trabajar la conjetura
y la prueba en matemáticas. En este artículo reflexionamos en primer lugar
sobre su significado, revisando algunas propuestas de enseñanza y resultados
de investigación. Después, describimos con detalle el diseño e implementación
de una propuesta didáctica para 2.oESO, prestando especial atención a la pla-
nificación del andamiaje y a la interacción en el aula, apoyándonos para ello
en producciones del alumnado.
1. Introducción
El teorema de Pitágoras es uno de los contenidos de matemáticas más perdura-
bles en la memoria de todos los que han pasado por la escolarización obligatoria.
Tanto, que forma parte de la cultura popular. ¿Quién ha visto El mago de Oz (Fle-
ming, 1939) y no se acuerda del momento en que el mago entrega el diploma al
Espantapájaros? (figura 1b):
—Al salir de allí [universidad] piensan en cosas grandes, profundas, y
su cerebro es igual al tuyo. Pero ellos tienen algo de lo que tú careces:
un diploma. Así pues, en virtud de la autoridad que me ha conferido la
Universitatus Comiteatus e Pluribus Unum, con este diploma te otorgo
el título de Doctor Honoris Causa.
—¿Doctor en qué?

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(a) El Mago de Oz. (b) Los Simpson.
Figura 1: El teorema de Pitágoras en la ficción.
—Quiere decir. . . doctor en eruditología.
—La suma de la raíz cuadrada de cada uno de los lados de un triángulo
isósceles es igual a la raíz cuadrada del otro lado.
Esta escena de El mago de Oz recibe un homenaje por parte de la serie de dibujos
animados Los Simpson (Groening, Simon y Brooks, 1989–actualidad), donde, al
comienzo del décimo episodio de la quinta temporada, Homer descubre unas gafas
en un retrete y al ponérselas recita el conocido teorema (figura 1b). Además, lo hace
de forma errónea, al igual que en la película: «El cuadrado de la hipotenusa es igual
a la suma de los cuadrados de los catetos en un triángulo isósceles», solo que en
este caso se escucha después una voz que le corrige: «En un triángulo rectángulo».
En el fondo, la escena del Espantapájaros recibiendo el diploma se puede interpretar
como una especie de crítica al sistema universitario, donde, a veces, los títulos y las
apariencias rimbombantes no reflejan el conocimiento real.
Efectivamente, el teorema tiene algo que lo hace especial. Quizás, que se trata
de uno de los primeros contactos del alumnado con un resultado profundo de las
matemáticas. No obstante, como señalan Troyano y Flores ([24]) y, tal y como se
aprecia en las escenas mencionadas, el teorema se identifica más con la fórmula que
con el significado.
Aunque actualmente nos encontramos en pleno proceso de reforma curricular en
España, resulta conveniente acudir en primer lugar a la normativa para ubicar dónde
y cómo aparece el teorema de Pitágoras. De esta forma, en el currículo LOMCE
nacional (2015), aparece como contenido por primera vez en el bloque de geometría
de 1.oy 2.ode ESO (12–13 y 13–14 años):
Triángulos rectángulos. El teorema de Pitágoras. Justificación geométrica
y aplicaciones.
Este contenido se relaciona directamente con el siguiente criterio de evaluación
y sus correspondientes estándares (merece la pena incluirlos en este artículo aun-
que durante el curso 2021/2022 los estándares presentan ya un carácter meramente
orientativo):
Criterio 3. Reconocer el significado aritmético del teorema de Pitágoras
(cuadrados de números, ternas pitagóricas) y el significado geométrico

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(áreas de cuadrados construidos sobre los lados) y emplearlo para resolver
problemas geométricos.
Estándar 3.1. Comprende los significados aritmético y geométrico del
teorema de Pitágoras y los utiliza para la búsqueda de ternas pitagóricas
o la comprobación del teorema construyendo otros polígonos sobre los
lados del triángulo rectángulo.
Estándar 3.2. Aplica el teorema de Pitágoras para calcular longitudes
desconocidas en la resolución de triángulos y áreas de polígonos regulares,
en contextos geométricos o en contextos reales.
Más adelante, en 4.oESO, en la asignatura Matemáticas orientadas a las ense-
ñanzas aplicadas, vuelve a aparecer de forma explícita con el siguiente contenido:
Figuras semejantes. Teoremas de Tales y Pitágoras. Aplicación de la se-
mejanza para la obtención indirecta de medidas.
El criterio de evaluación y los estándares asociados aparecen redactados de la
siguiente manera:
Criterio 1. Calcular magnitudes efectuando medidas directas e indirectas
a partir de situaciones reales, empleando los instrumentos, técnicas o
fórmulas más adecuadas, y aplicando, así mismo, la unidad de medida
más acorde con la situación descrita.
Estándar 1.4. Calcula medidas indirectas de longitud, área y volumen
mediante la aplicación del teorema de Pitágoras y la semejanza de trián-
gulos.
En los borradores de los nuevos currículos sujetos a exposición pública a comien-
zos de 2022, el teorema de Pitágoras se menciona dentro del sentido espacial, para
los cursos de 1.oa 3.ode ESO:
Reconocimiento de las relaciones geométricas como la congruencia, la
semejanza y la relación pitagórica en figuras planas y tridimensionales.
La cuestión del significado siempre es compleja y, hasta cierto punto, escurridiza.
En la normativa LOMCE se alude al significado aritmético y al significado geométri-
co, de donde ya podríamos deducir que el teorema ha de abordarse desde diferentes
puntos de vista. En la siguiente sección hacemos un recorrido sobre algunas pro-
puestas de enseñanza que tienen en cuenta la pluralidad de significados del teorema.
Precisamente, debido a la complejidad que encierra la didáctica del teorema, se ha
estudiado el impacto de diferentes factores en la comprensión de este por parte del
alumnado, por lo que es pertinente sintetizar algunos resultados de investigación en
este trabajo. Después, describimos una propuesta que tiene en cuenta esta revisión
bibliográfica, poniendo especial atención al andamiaje y a la gestión de aula, ya que
tuvimos ocasión de implementarla durante el curso 2020/2021.

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(a) Relación de áreas. (b) Lados. (c) Vértices.
Figura 2: Representaciones empleadas para introducir el teorema de Pitágoras.
2. Antecedentes
Chambers ([5]) reflexiona sobre la enseñanza del teorema de Pitágoras en un
artículo breve orientado a presentar las diferentes opciones que pueden considerar
los docentes, así como la posibilidad de emplear el teorema como un acercamiento a
la idea de prueba en matemáticas. De esta manera, comienza explorando distintas
formas de presentarlo:
1. Sin dibujo. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados
de los otros dos lados. Este enunciado (realmente, es el que intenta enunciar
el Espantapájaros de El mago de Oz) suele usarse en conjunción con otros, ya
que por sí solo no parece muy adecuado.
2. Como una relación entre áreas, C=A+B, acompañada por un dibujo como
el de la figura 2a.
3. Con el dibujo de un triángulo rectángulo en el que se han etiquetado los lados
(sus longitudes) (figura 2b) y que da pie a tres posibles enunciados:
c2=a2+b2, a2+b2=c2, c =pa2+b2
Obviamente, son enunciados equivalentes. Sin embargo, Chambers subraya que
la forma de introducirlo importa, ya que las fórmulas suelen presentarse con
una letra única en el miembro de la izquierda, y esto puede causar algunas
dificultades.
4. Otra opción, posiblemente menos popular y que resulta más difícil de com-
prender para el alumnado, según Chambers, consiste en etiquetar los vér-
tices del triángulo (figura 2c), de manera que el teorema se enuncia como
AB2=AC2+BC2o como AB =√AC2+BC 2.
Normalmente se tiende a usar una combinación de las cuatro opciones anteriores.
Otra decisión didáctica a considerar, siguiendo a Chambers ([5]), es si una justifi-
cación intuitiva del teorema nos es suficiente o si, por el contrario, queremos llegar
a probarlo. En su artículo describe cuatro posibles justificaciones del teorema. La
primera de ellas consiste en dibujar varios triángulos rectángulos y los correspon-
dientes cuadrados sobre cada uno de sus lados, comprobando que la relación de áreas

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(a) Rectángulos 2x1. (b) Triángulos equiláteros. (c) Pentágonos regulares.
Figura 3: Extensiones del teorema de Pitágoras a otro tipo de figuras planas. Fuente:
Crawford ([6]).
funciona en todos ellos, descomponiendo las figuras, contando «cuadraditos» o con
otras técnicas de medida de áreas. Esta justificación se puede extender explorando
qué pasa con otras formas que no sean cuadrados. Otra justificación similar, pero
que enfatiza la relación entre longitudes, es dibujar varios triángulos rectángulos
y anotar la medidas de las longitudes de los lados, así como sus cuadrados. Una
tercera justificación podría consistir en utilizar un dibujo de un triángulo rectángu-
lo, construir los cuadrados en cada uno de sus lados y, mediante descomposición,
comprobar que los de los catetos permiten recubrir el de la hipotenusa. Finalmente,
Chambers señala la interesante propuesta de que el alumnado explore qué ocurre
cuando el triángulo es acutángulo u obtusángulo, observando que en el primer caso
c2< a2+b2y, en el segundo caso, c2> a2+b2.
Las justificaciones anteriores son, realmente, conjeturas, ya que utilizan casos par-
ticulares. Una prueba, entendida como demostración, debe ser algo general. Cham-
bers menciona cinco posibles pruebas, que se basan en argumentos diferentes y que
varían desde la congruencia de triángulos y consideraciones sobre áreas hasta razo-
nes de semejanza. Crawford ([6]), precisamente, hace hincapié en la cuestión de la
semejanza, señalando que la enseñanza del teorema de Pitágoras suele limitarse a la
relación de los cuadrados, cuando realmente puede extenderse a otro tipo de figu-
ras, como se muestra en la figura 3. Remitimos a los lectores a los libros de Loomis
([18]) y, más recientemente, Sparks ([21]), donde se recopilan numerosas pruebas del
teorema de Pitágoras.
Por su parte, Cañadas [4] enfatiza el papel que puede jugar el teorema de Pitá-
goras para acercar la idea de demostración en matemáticas y presenta el diseño e
implementación de una propuesta de actividad para un curso de educación de adul-
tos que le sirve para detectar los razonamientos que se ponen en juego. La actividad
en cuestión es un taller de dos horas en las que primero se explica la relación en-
tre los enunciados analítico y geométrico del teorema, pasando luego a trabajar en
las tareas. Estas consisten en reconstruir la demostración geométrica de tres formas
distintas y en una serie de preguntas sobre ellas. Se puso de manifiesto la variedad

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de significados personales de la demostración, habiendo participantes que no consi-
deraban como demostraciones aquellas que solo son válidas para casos concretos y
otros participantes que veían la demostración como una explicación de esos casos
concretos. Cañadas concluye que puede ser más adecuado trabajar con demostra-
ciones informales e intuitivas, cercanas a lo concreto de la situación, en lugar de
con razonamientos lógicos abstractos. Además, menciona que, para introducir estas
ideas de conjetura y prueba, pueden tener mayor interés didáctico las demostracio-
nes geométricas que las analíticas, ya que las primeras resultan más accesibles y,
en la experiencia, los participantes tuvieron dificultad en relacionar los enunciados
analíticos y geométricos del teorema.
Troyano y Flores ([24]) mencionan que los libros de texto presentan directamente
el enunciado del teorema, junto con la fórmula, llegando a ofrecer una demostración
geométrica con áreas. Luego, suelen exponer el caso recíproco, es decir, identificar
triángulos rectángulos cuando sus lados verifican el teorema. Finalmente, los libros
incluyen aplicaciones del teorema para calcular distancias desconocidas. Al igual que
otros autores, dejan claro que ver el teorema de Pitágoras no es aprenderse su fórmu-
la. Los conceptos matemáticos no han de confundirse con una única representación,
ni con los procedimientos asociados a estos. Troyano y Flores realizan un análisis
de contenido ([20]) para delimitar los diferentes significados del teorema, a partir de
los problemas, fenómenos y situaciones en los que surge. De esta manera, distinguen
el teorema como relación métrica entre áreas de los cuadrados construidos sobre
los lados de un triángulo rectángulo; como relación métrica entre las longitudes de
dichos lados; o como la condición necesaria y suficiente para que un triángulo sea
rectángulo.
En su artículo, Troyano y Flores ([24]) describen el diseño de una serie de ta-
reas para observar cómo comprende el alumnado el teorema de Pitágoras, conforme
construyen su significado, comprobando propiedades métricas asociadas a tipos de
triángulos y formulando el teorema de varias formas. Sintetizando el diseño, los es-
tudiantes calculan las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de
algunos triángulos rectángulos mediante diferentes técnicas, para luego explorar qué
ocurre con las longitudes de los lados y qué pasa con otros tipos de triángulos. Im-
plementaron dicha tarea con un grupo de 3.oESO (14–15 años) al comienzo de la
unidad correspondiente; es decir, sin instrucción previa. Concluyen que la secuencia
diseñada fomenta la construcción de un significado rico del teorema, reconociendo la
complejidad de la doble implicación del teorema de Pitágoras entre tipo de triángulo
y relación métrica, que ningún alumno pareció comprender realmente.
Otros autores, como Arnal-Bailera ([2]), coinciden en señalar que introducir o
revisitar el teorema de Pitágoras es una buena oportunidad de iniciación a la prueba
en matemáticas. Para ello, sugieren el empleo de un entorno de geometría dinámica
(GeoGebra) con el objetivo de explorar la relación de áreas en diversas situaciones
e indagar para ver si se cumple también el recíproco del teorema; es decir, que si no
es un triángulo rectángulo no se cumple la igualdad de áreas.
Existen estudios que documentan algunos aspectos de la enseñanza del teorema
de Pitágoras en otros países. Huang y Leung ([10]) describen un estudio de caso con
profesores de la República Checa, Hong Kong y Shanghai, con alumnado en cursos

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equivalentes a un 2.oESO (13–14 años). Sus resultados indican cierta diversidad,
tanto a la hora de planificar el proceso de enseñanza y aprendizaje como en las
propias dinámicas de aula. Así, observaron que el profesor checo dedicó menos tiempo
en clase a la prueba del teorema que sus colegas de Hong Kong y Shanghai.
Un grupo de investigadores ligados al Estudio de las Tendencias en Matemáticas
y Ciencias (TIMSS, como se conoce, por sus siglas en inglés) de 1995 en Alemania
y Suiza ([11, 12, 17]) desarrolló un proyecto en el que utilizaban las técnicas de
codificación de vídeos de clases del estudio TIMSS, pero centrándose en un contenido
específico, eligiendo para ello el teorema de Pitágoras. De esta manera, todas las
sesiones grabadas trataban el mismo contenido y, manteniendo el carácter naturalista
del estudio, permitían analizar el impacto de la enseñanza tanto a corto plazo, con
un pretest y postest, como a más largo plazo, al inicio y al final del curso escolar.
La muestra, voluntaria, se compuso de 20 clases de Suiza y 20 clases de Alemania,
de cursos equivalentes a 2.oy 3.ode ESO (13–14 y 14–15 años), que es cuando se
aborda el teorema de Pitágoras en el currículo de estos países, respectivamente.
Consideran diversos factores, como la planificación del proceso de enseñanza y
aprendizaje sobre el teorema de Pitágoras, la dinámica de la propia clase y aspectos
específicos del enfoque didáctico adoptado por el docente, el cual clasificaron en
expositivo (lecturing), expositivo-interrogativo (developing) y por descubrimiento
(discovering). Su análisis no evidenció efecto significativo del enfoque de enseñanza
en el desempeño de los estudiantes, tal y como lo estaban evaluando, pero sí en la
percepción del alumnado de la calidad de la enseñanza. Así, el enfoque expositivo se
relacionó con una mejor autopercepción de la comprensión, a pesar de que el enfoque
por descubrimiento presentaba mayores niveles de activación cognitiva a priori. En
el estudio también señalan ([17]) que la activación cognitiva, junto con la gestión de
aula, y un clima participativo se relacionan con el interés hacia las matemáticas y
con el desempeño.
En el ámbito de la formación del profesorado, es interesante el estudio de Godino
et al. ([8]), donde se describe una experiencia con estudiantes del Máster de Profeso-
rado de ESO y Bachillerato para evaluar su competencia de análisis epistémico. Es
decir, la competencia para identificar los significados que emergen en la resolución
de una tarea. La tarea elegida para ello es una justificación geométrica del teorema
a partir de la relación de áreas. Además de resolverla y argumentar la respuesta, se
pide a los participantes que señalen los conocimientos y procesos que se ponen en
juego. Por un lado, la discusión de los resultados sugiere que es una tarea de gran
complejidad para los futuros profesores. Por otro, queda patente la utilidad de estas
experiencias para reflexionar acerca de lo que significa enseñar cierto contenido (en
este caso, el teorema de Pitágoras).
Yang ([25]) relata un ciclo de diseño e implementación de una secuencia para el
teorema de Pitágoras según el esquema Teaching Research Group (TRG) establecido
en China, similar al lesson study típico de Japón ([7, 15]). Yang describe la secuencia
inicial que plantea una docente novel y cómo las sugerencias que aporta el equipo del
TRG, tanto acerca del diseño como de la gestión de aula, ocasionan sucesivas mejo-
ras. De esta manera, la docente reconoce que en la primera implementación pensaba
que justificar el teorema era demasiado difícil, por lo que enfatizó la aplicación de

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este. Sin embargo, con el andamiaje (scaffolding) adecuado, que incluía el uso de
una rejilla cuadriculada, pudo enriquecer la secuencia.
Güner ([9]) realiza una experiencia con un grupo de 43 futuros profesores de
secundaria, en la que se les pide que prepararen una secuencia didáctica sobre el
teorema de Pitágoras para un curso equivalente a 3.oESO (14–15 años). Algo me-
nos de la mitad de los participantes incluyeron una prueba en su secuencia, siendo
más abundantes las pruebas algebraicas y las pruebas por semejanza de triángulos
(nueve y siete participantes, respectivamente) que las visuales (dos participantes).
Por otro lado, los niveles cognitivos (en el sentido del estudio TIMSS) de las pre-
guntas propuestas fueron sobre todo de conocimiento (37 %) y aplicación (60 %),
constatándose apenas un 3 % de tareas en el nivel de razonamiento.
Como ha quedado de manifiesto, todos estos autores coinciden en que el teorema
de Pitágoras es lo suficientemente complejo como para recibir nuestra atención y
que involucra diferentes significados. De hecho, esta complejidad ha supuesto que
sea utilizado como pretexto en actividades de formación del profesorado. Además, el
teorema también se postula como una excelente oportunidad para la argumentación,
conjetura y demostración.
3. Una propuesta de aula
A continuación, describimos una secuencia didáctica que considera los diferentes
objetos matemáticos que dan significado a lo que se conoce como el teorema de Pitá-
goras, mencionados en los antecedentes, desde un enfoque constructivista. Es decir,
la aproximación a estos objetos se realiza desde los conocimientos previos del alum-
nado, proporcionando el andamiaje (scaffolding) necesario para facilitar un entorno
de aprendizaje a través de la resolución de problemas. En este entorno merecerán
especial atención los procesos de generalización que, necesariamente, involucra este
resultado fundamental de las matemáticas. No se trata tampoco de la secuencia ideal
para la enseñanza del teorema de Pitágoras, si es que tal secuencia existe.
La secuencia de tareas no pretende ser original en su planteamiento. De hecho,
la construcción inicial del teorema se basa en la unidad Discovering the Pythagorean
Theorem del Mathematics Assessment Project del Shell Centre ([23]) y las tareas
con las que enlazaremos después proceden de la web de NRICH, una iniciativa de la
Universidad de Cambridge (https://nrich.maths.org). De esta forma, aprovecha-
mos para reivindicar la gran cantidad de materiales que hay disponibles actualmente
y que siguen una línea que se remonta a los años 80 ([22]).
Por nuestra parte, se aportarán detalles relacionados con los objetivos de la se-
cuencia y, especialmente, con la gestión de aula y la negociación de significados.
Tanto en la secuencia del Shell Centre como en las actividades de NRICH se pro-
mueve su utilización desde un enfoque a través de la resolución de problemas, con
énfasis en la evaluación formativa. Sin embargo, somos conscientes de que nunca
se insistirá lo suficiente en que no es lo mismo dar las matemáticas construidas (o
construirlas delante del alumnado) que construirlas con el alumnado. Una tarea so-
lamente será rica e inclusiva en la medida en que lo sea su implementación en el aula.

La Gaceta ⋆Secciones 157
Figura 4: Tarea inicial: ¿cuál es el área de este cuadrado?
La secuencia se implementó en los grupos de 2.oESO (13–14 años) de un Centro
Público Integrado de Aragón durante el curso 2020/21, lo que permite enriquecer la
descripción de la propuesta con producciones del alumnado.
3.1. Primera tarea o situación inicial: razón de ser
El enunciado de la tarea que se configura como razón de ser de toda la secuencia
sería el siguiente:
Esto (figura 4) es un cuadrado de tipo (3,5). El primer número es el
desplazamiento en horizontal que hacemos desde un punto fijo para hallar
uno de los vértices del cuadrado. El segundo, el desplazamiento en vertical
para obtener un vértice contiguo al anterior. Y así tenemos un lado del
cuadrado. Encuentra el área de este cuadrado y explica cómo lo has hecho.
Esta tarea inicial, para alguien que ya conozca el teorema de Pitágoras, puede
resultar trivial. Sin embargo, si nos ponemos en la piel de alguien que no conoce
el teorema, la situación cambia. ¿Cómo encontraríamos el área de ese cuadrado
inclinado del cual no me dicen cuánto mide su lado?
Estamos ante lo que puede considerarse el suelo bajo de esta secuencia. Es decir,
es una tarea que todos pueden empezar, porque conecta con sus conocimientos pre-
vios de cálculo de áreas. Sin embargo, no está exenta de dificultades, y carencias en
cuestiones tales como la conservación de la longitud afloran en este momento. Ejem-
plo de ello es que algunos alumnos señalan que el lado del cuadrado de la figura 4
mide 5 unidades. Otros, cuentan los puntos en lugar de los cuadraditos de la trama.
Esto es bastante habitual y es consecuencia de un trabajo poco rico en magnitudes
y medida. Así, gran parte del alumnado apenas ha abordado situaciones de medida
directa de áreas, tratando únicamente situaciones de medida indirecta de áreas a
partir de longitudes (las fórmulas de las áreas). Dificultades como las que hemos
mencionado persisten más allá de la educación obligatoria y autores como Nortes
([19]) nos recuerdan que la confusión entre perímetro y área se observa en alumnado
de los grados de Magisterio.

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(a) Figuras planas. (b) Cálculo del área por «encapsulado».
Figura 5: Calculando áreas de manera directa.
No obstante, decíamos que era suelo bajo. Efectivamente, esta tarea podríamos
llevarla a 4.ode Educación Primaria y trabajarla tranquilamente como una situación
de medida directa de áreas. Esto fue algo que se hizo con estos grupos de alumnos
el curso anterior, durante el confinamiento del curso 2019/2020 por la pandemia de
COVID-19. En el contexto de una tarea en la que se terminaba conjeturando el teo-
rema de Pick, el alumnado tuvo que medir áreas de figuras planas poligonales en una
retícula (figura 5a). Para ello emplearon diversas técnicas: de manera directa con-
tando cuadraditos a modo de unidad arbitraria de área, mediante descomposiciones,
completando rectángulos y restando el área sobrante, duplicando la figura para hacer
un paralelogramo, etc. En la figura 5b mostramos un ejemplo de cálculo del área de
una de estas figuras encapsulándola en un rectángulo mayor, cuya área es sencilla
de obtener y al que luego hay que sustraer las áreas del rectángulo sombreado y los
dos triángulos.
Volviendo a la actividad inicial, en la figura 6 vemos dos formas diferentes de
abordarla. Ambas parten de la idea de calcular el área del cuadrado que encapsula
al cuadrado «complicado» del cual hemos de obtener el área y restarle luego el área
sobrante. Es en el cálculo del área sobrante donde las técnicas de las figuras 6a y 6b
difieren. En la primera, se han juntado dos a dos los triángulos rectángulos que
rodean al cuadrado, para hacer dos rectángulos de área 15 u, siendo ula unidad de
área de la trama cuadrada (el alumno la denomina u2). En la segunda, en cambio,
se intenta medir el área sobrante de manera directa por conteo de cuadraditos y
recomposición. La técnica es válida, claro. Aunque no se aprecia, algún pequeño fallo
condujo en este caso a un error en el resultado final. Sin embargo, lo interesante y
lo que enriquece la secuencia es el poder comparar las estrategias, charlar en clase
sobre ellas y decidir ventajas e inconvenientes. Lo de menos es decidir qué técnica es
la mejor, sino los argumentos que aparecen. En este caso, la técnica de la figura 6b
incide especialmente en la medida directa de áreas, por lo que conecta especialmente
con experiencias previas.
En cuanto a la gestión de aula, toda la secuencia se realiza en pequeños grupos.
Autores como Liljedahl ([16]) sugieren que lo mejor para fomentar la interacción
es hacer agrupaciones aleatorias (y cambiantes) de tres alumnos. Sin embargo, en
nuestro caso, la mayoría de las agrupaciones durante el curso en que se implementó
esta secuencia fueron de dos alumnos, al tener que salvaguardar la distancia inter-

La Gaceta ⋆Secciones 159
(a) Cálculo por «encapsulado». (b) Contando «cuadraditos».
Figura 6: Dos técnicas distintas para calcular el área del cuadrado «inclinado».
personal según las recomendaciones sanitarias para el curso 2020/2021. De no ser
así, las agrupaciones seguramente habrían sido como al comienzo del curso anterior,
de tres o cuatro alumnos, con mesas enfrentadas dos a dos, a modo de islas.
Este tipo de consideraciones son importantes cuando el enfoque es a través de
la resolución de problemas. Una clase típica puede comenzar con una actividad de
calentamiento breve y que, en ocasiones, puede ser una oportunidad para conectar
con lo hecho anteriormente. Después, se presenta la situación-problema que, aquí, es
el cálculo del área de ese cuadrado inclinado y las siguientes que se irán sucediendo.
Entonces el alumnado, en pequeños grupos, aborda el problema. No es tanto un
aprendizaje cooperativo, entendido como aquel en el que cada grupo se reparte roles
y hay que hacer un producto final, como discutir y compartir ideas. El docente se
pasa por las mesas observando los argumentos, animando a la interacción, evitando
adelantar conocimientos que pueden surgir, procurando hacer buenas preguntas.
Idealmente, cada sesión termina con una puesta en común donde el docente puede
aprovechar —cuando es necesario— para institucionalizar lo que ha surgido en clase.
Sin embargo, dependiendo del transcurso de los acontecimientos y de la estructura
de la secuencia, es posible que sea necesario organizar alguna otra puesta en común.
Hay diferentes estrategias para poner en común las producciones del alumnado,
que, como estamos viendo, son las que articulan la secuencia y las que otorgan el
carácter constructivo a esta. Liljedahl ([16]), por ejemplo, señala como buena práctica
el tener pizarras en las paredes de la clase para que cada grupo pueda usarlas y que,
al mismo tiempo, su pensamiento sea visible para el resto de los grupos. Otra forma,
quizá menos ágil que la anterior, pero también operativa cuando no se dispone de
dichas pizarras, es emplear un visor de documentos. Es un dispositivo que se conecta
de forma rápida y cómoda al puerto USB del ordenador de clase y que permite coger
el cuaderno de un alumno y comentar sobre su producción. Las imágenes de las
figuras anteriores se obtuvieron de esta manera.

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Figura 7: Dificultades al dibujar el cuadrado (3,7) en el geoplano.
3.2. Consolidación y camino hacia la generalización
Como en la secuencia se va a proponer el cálculo del área de cuadrados «inclina-
dos» cualesquiera, vamos a ofrecer un andamiaje adecuado. Así, antes de continuar
vamos a asegurarnos de que el alumnado sabe dibujar estos cuadrados inclinados y
calcular el área:
Dibuja en el geoplano los cuadrados (3,7) y(2,3) y calcula su área.
Como vemos en la figura 7, tampoco estamos ante una actividad trivial para el
alumnado. La imagen que muestra esta figura, donde se aprecian los intentos realiza-
dos, es un buen ejemplo de lo que tendría que incluir un cuaderno de matemáticas,
si es que consideramos a este como una herramienta de aprendizaje que refleje el
pensamiento del alumno y su forma de hacer matemáticas ([1]). Al comentar esta
producción, que no fue la única, en la puesta en común, la pregunta evidente es:
¿cómo sabemos que es un cuadrado? De nuevo, la oportunidad para conectar con
conocimientos previos; en este caso, que todos los lados han de tener la misma lon-
gitud y ser perpendiculares dos a dos. No es que el alumnado de 2.oESO no sepa
qué es un cuadrado, sino que a lo mejor no ha tenido que reflexionar en los mismos
términos que en esta actividad.
En la siguiente tarea, abandonamos el geoplano y, ahora sí, empezamos el camino
hacia la generalización. Las conexiones, esta vez, serán con el pensamiento algebraico:
Dibuja a mano alzada un cuadrado de tipo (3, b)y calcula su área.
Aquí aparecen dos dificultades. La primera, dibujar el cuadrado (3, b)«general».
Algún alumno llegó a dibujar una trama de puntos a modo de geoplano, a pesar
de que en clase se discutió qué significaba eso de a mano alzada. No obstante, fue
el cálculo del área sobre lo que más hubo que discutir. Para emplear las mismas
técnicas que en las tareas anteriores, los alumnos tenían que comenzar calculando el
área del cuadrado exterior que encapsula al de interés. Como es un cuadrado de lado
(b+ 3), su área es (b+ 3)(b+ 3) = (b+ 3)2. Unos meses antes, en el mismo curso,
estos alumnos trabajaron con expresiones de ese estilo en álgebra. Aunque de forma
muy colateral y bastante intuitiva, ya que son más propias de 3.oESO, se trabajaron
empleando un modelo de área. Esto es algo que se puede observar en la figura 8b,
donde se aprecia una descomposición del cuadrado en cuestión que se corresponde

La Gaceta ⋆Secciones 161
(a) Expresiones algebraicas para el área. (b) Nota con el cuadrado de una suma.
Figura 8: Dos producciones que muestran el cuadrado (3, b).
con el desarrollo del cuadrado de una suma. Por este motivo, esta tarea tiene especial
valor, ya que recupera algo ya visto con anterioridad y establece conexiones.
3.3. Un patrón especial
Ahora que ya sabemos dibujar cuadrados «generales» o cualesquiera (y aquí es
evidente el apoyo que podría aportar un entorno de geometría dinámica [2]), vamos
a plantear lo siguiente:
Dibuja una secuencia de cuadrados (a, b)en la que el valor de asiempre
sea 1y el valor de bvaya cambiando de una unidad en una unidad.
El primero ya lo tienes dibujado, dibuja los cuatro siguientes. Después,
responde a las siguientes cuestiones:
¿Puedes encontrar el área de cada uno?
¿Puedes encontrar un método para encontrar el área de cualquiera?
Calcula el área de los primeros seis cuadrados obtenidos con el mis-
mo método.
¿Qué observas en esta serie de números que representan las áreas
de estos cuadrados?
Previamente se han trabajado todos los conocimientos y competencias necesarios
para abordar estas preguntas. Así, para la primera, el alumnado cuenta con las
técnicas discutidas en las dos primeras tareas de la secuencia para el cálculo de
áreas y ya ha practicado el dibujo de estos cuadrados «inclinados» descritos con la
notación introducida para ello. En este caso, la secuencia o sucesión de cuadrados
toma la forma de lo que se aprecia en la figura 9. Ante un bloqueo en la segunda
pregunta, que implica reconocer el patrón de generalización, los alumnos pueden
seguir calculando las áreas de manera directa con la técnica que consideren oportuna.
Algunos grupos de alumnos necesitarán tener delante más cuadrados con su área
calculada y otros menos. En cualquier caso, la siguiente pregunta incide en esta
generalización, poniendo a prueba la conjetura a la que hayan llegado.
La sucesión de áreas para los cuadrados de la figura 9 es
1,2,5,10,17, . . .

162 Matemáticas en las aulas de Secundaria
Figura 9: Sucesión de cuadrados (1, b)en el geoplano.
Figura 10: Tabla donde se recogen los datos. Momento intermedio de la puesta en
común.
En este momento ya hay algunos alumnos que utilizan un «atajo» para calcular estas
áreas: «Sí, es siempre hacer el cuadrado del número que cambia y sumar uno». La
siguiente tarea estructura más estas reflexiones y propone recopilar las áreas calcu-
ladas en una tabla, donde además de ir dando valores a b, se modifica también la
otra variable, a, siendo la sucesión de áreas de la tarea anterior la columna corres-
pondiente a a= 1. La figura 10 muestra esta tabla, proyectada en la pizarra en el
transcurso de una puesta en común después de que el alumnado tuviera tiempo de
discutirla. La hoja de trabajo que tenía el alumnado incluía esta misma tabla, donde
en la columna de comentarios podían anotar sus reflexiones y observaciones.
Es importante que las observaciones surjan del alumnado para que este desarro-
lle una actitud de indagación propia de la actividad matemática. Además, de esta
manera, incidimos en el carácter constructivo de la matemática. Algunas observa-
ciones que aparecen ante la tabla de la figura 10 y que dan lugar a una charla de
aula: «La fila esta es como la anterior sumando cuatro»,«Aquí se está sumando bal
cuadrado», etc. Al mismo tiempo, la charla se enriquece con preguntas como estas
que proporcionan un mayor andamiaje:
¿Puedes construir la siguiente fila (la correspondiente a b= 5)?
¿Y la fila correspondiente a bcon valor 10?
¿Y ahora puedes escribir cuál será el área para un cuadrado de tipo (a, b)?
En este punto de la secuencia estamos en pleno proceso de formalización de la
idea central del teorema de Pitágoras, de tal manera que aparecen consideraciones
acerca de longitudes y áreas, expresadas con un lenguaje algebraico que se introduce
de forma progresiva y conectando con experiencias previas y tareas concretas. Para

La Gaceta ⋆Secciones 163
Figura 11: Tarea final de la construcción del teorema de Pitágoras. Fuente: Shell
Centre.
terminar de enlazar con la tarea inicial y, a modo de recapitulación, se propone
dibujar un cuadrado general (a, b)en el geoplano y obtener el área con lo aprendido
hasta ahora.
Sin embargo, todavía no está completa la construcción del teorema de Pitágoras.
Para ello se propone la siguiente tarea:
Compara las áreas de la parte sombreada (figura 11) y explica el método
que has usado para compararlas.
Si las dos áreas analizadas arriba son iguales, entonces discute con
tus compañeros qué observas y escribe tus conclusiones.
Si ahora pensamos en que el lado del cuadrado gris de la figura de la
izquierda mide z, indica cuánto es el área de ese cuadrado y escribe
de nuevo las conclusiones del apartado anterior.
Efectivamente, las áreas de los cuadrados externos de ambas figuras son iguales,
porque son cuadrados con lado de la misma longitud (x+y). Como los triángulos
rectángulos en blanco son también iguales en ambas figuras, el área de la superfi-
cie sombreada en gris ha de conservarse. Además, en la segunda figura la superficie
sombreada puede descomponerse de forma bastante evidente en dos cuadrados, uno
de lado xy otro de lado y. Por lo tanto, el área del cuadrado inclinado de la pri-
mera figura es x2+y2. Esto proporciona otro punto de vista a lo realizado hasta el
momento.
La segunda pregunta nos propone expresar el área del cuadrado de la izquierda
a partir de su lado, que denotamos con z. Así, su área es z2y podemos concluir que
x2+y2=z2.
Y ahora es cuando podemos ponerle nombre a lo que hemos hecho:
Érase una vez un matemático llamado Pitágoras que, en torno al siglo
VI a.C., le daba vueltas a estas cosas. . .

164 Matemáticas en las aulas de Secundaria
4. Continuación: otras pruebas, aplicaciones, recíprocos
La propuesta no se ha centrado en un aspecto exclusivo del teorema, sino que ha
tratado de conjugar elementos de medida y geometría con elementos algebraicos. De
esta manera, procura evitar que el alumnado asocie de forma biunívoca el teorema
con su expresión algebraica, o con una relación entre lados de un triángulo rectán-
gulo, o como una relación de áreas. De hecho, algunos autores de los mencionados en
la sección de antecedentes ([12]) señalan la fuerte influencia del lenguaje empleado
en la secuencia didáctica con el significado que terminan asociando los alumnos al
teorema.
Ahora bien, el teorema de Pitágoras va mucho más allá. Antes de pasar a las apli-
caciones, puede resultar interesante ver que hay más caminos para llegar al mismo
resultado. La actividad de NRICH «Pythagoras proofs» (https://nrich.maths.
org/6553) propone tres de ellas, a las que añadimos una más clásica y que no es
más que una recomposición diferente de la que se vio en la secuencia. La dinámica
de esta actividad fue diferente a la seguida hasta ahora. Como, por un lado, no es
cuestión de abordar todas las pruebas existentes del teorema de Pitágoras y, por
otro lado, el tiempo lectivo del que disponemos es limitado, se propuso que cada
grupo de dos o tres alumnos trabajara únicamente en una de las pruebas. Después,
expondrían los argumentos que sustentan la misma, para que todos pudieran parti-
cipar del razonamiento y las peculiaridades de cada una. La actividad se presenta
de la siguiente manera:
Ahora ya sabes que el teorema célebre de la actividad anterior se cono-
ce como el teorema de Pitágoras. Pero ¿qué significa exactamente? Te
vamos a proponer varias pruebas (figura 12). ¿Cuál te parece más con-
vincente? ¿Cuál te resulta más fácil de entender? ¿Cuál te resultaría más
fácil de explicar? Discútelo con tu grupo antes de ponerlo en común con
todos los compañeros.
Las pruebas en cuestión eran las siguientes:
Prueba n.o1. Dibuja un cuadrado y marca un punto a una distancia fija
de cada esquina (figura 12a). Traza una recta desde cada uno de estos
puntos a la esquina más cercana del lado opuesto. Recorta las piezas
marcadas en azul y reorganízalas para formar una «L» como la de la
derecha. Usa tus recortes para probar el teorema de Pitágoras.
Esta prueba se fundamenta en una relación de áreas, al igual que la
desarrollada en la secuencia de inicio, pero es diferente. El alumnado
la recorta para armar el puzle y comprobar, efectivamente, que con las
piezas resultantes se puede formar la figura en cuestión. Para expresar el
teorema hay que tener en cuenta que el lado del cuadrado de la izquierda
es c, medida de la hipotenusa de cada uno de los triángulos rectángulos
que se observan en la figura central de la figura 12a. La superficie de la
figura de la derecha se puede descomponer en dos cuadrados, de lados ay
b, catetos de los triángulos rectángulos mencionados, por lo que tenemos
a2+b2=c2.

La Gaceta ⋆Secciones 165
(a) Prueba n.o1. (b) Prueba n.o2.
(c) Prueba n.o3. (d) Prueba n.o4.
Figura 12: Actividad de extensión sobre las pruebas de Pitágoras. Fuente: adaptado
de NRICH.
Prueba n.o2. Observa el trapecio de la figura 12b y cómo lo rotamos
para hacer un cuadrado.
a) Escribe la expresión del área del cuadrado grande de la derecha.
b) Utiliza la expresión obtenida en a) para calcular el área del trapecio
inicial.
c) Averigua el área del trapecio inicial. Esta vez, sumando las áreas de
los tres triángulos rectángulos que se observan en él.
d) Utiliza los resultados de los apartados a, b y c para dar una prueba
del teorema de Pitágoras, explicando cada uno de los pasos.
De nuevo, la prueba se fundamenta en una relación de áreas. En la página
de la actividad de NRICH se proporciona un applet dinámico que duplica
el trapecio original y lo rota para construir el cuadrado, con lo cual se
enfatiza más el hecho de que el área del cuadrado es el doble que la del
trapecio. Una forma de utilizar esta construcción, por tanto, es partir de
que el área del cuadrado es (a+b)2=a2+b2+ 2ab, mientras que la del
trapecio inicial, sumando las áreas de cada triángulo, es igual a (ab)/2 +
(ab)/2 + c2/2. La manipulación algebraica necesaria para comprobar a
partir de aquí que a2+b2=c2fue fuente de algunas dificultades para
los grupos que optaron por esta demostración.
Prueba n.o3. Considera un triángulo rectángulo cualquiera de lados a,
byc. Auméntalo por un factor de escala apara hacer el triángulo P QS y
por un factor de escala bpara hacer el triángulo QRS. Une ambos como
se indica en la figura 12c y responde a las siguientes preguntas:

166 Matemáticas en las aulas de Secundaria
a) Demuestra que los podemos unir de esa manera y que el triángulo
que se forma (P RS) es igual al original aumentado en un factor de
escala c.
b) Utiliza lo observado en el apartado anterior para probar el teorema
de Pitágoras.
Esta prueba es de diferente naturaleza a las anteriores, ya que se fun-
damente en la proporcionalidad geométrica. Sintetizando, los triángulos
aumentados por esos factores de escala se pueden unir así porque tienen
un lado de la misma longitud ab. Los catetos del triángulo rectángulo
«combinado» miden ca ycb, por lo que, por semejanza, la hipotenusa
mide c2. Pero esta última también puede expresarse como a2+b2, por lo
que a2+b2=c2(ver la producción de un alumno que se muestra en la
figura 13b).
Prueba n.o4. Observa la figura 12d. A partir de la primera figura se
han construido dos cuadrados. ¿Cómo es el área de esos cuadrados? ¿Qué
observas si les quitamos los triángulos rectángulos?
Por último, una prueba basada en la relación de áreas, con una disposi-
ción visual más típica. Evidentemente, ambos cuadrados tienen la misma
área y el alumnado puede utilizar lo visto en la secuencia para justificar
el teorema.
En cuanto a las actividades de aplicación, se trata de conjugar la utilización del
teorema para el cálculo de longitudes desconocidas con otros aspectos de este. De esta
manera, se puede aprovechar para abordar la cuestión del recíproco y de lo que ocurre
con triángulos que no son rectángulos. Es decir, por un lado, que si no se cumple
el teorema, el triángulo no es rectángulo y, por otro lado, que el cuadrado del lado
mayor será mayor o menor que la suma de los cuadrados de los otros dos, dependiendo
de si el triángulo es obtusángulo o acutángulo, respectivamente. No obstante, se
puede aprovechar, como hicimos, para plantear alguna tarea más rica y abierta,
como las propuestas en el blog del recientemente fallecido Don Steward (https:
//donsteward.blogspot.com). NRICH se hace eco de la actividad titulada «Garden
shed» (https://nrich.maths.org/11190), la cual tuvimos ocasión de plantear en
clase y que llega a poner sobre la mesa razonamientos intuitivos sobre optimización.
Finalmente, merece la pena hacer una breve mención a la evaluación. El diseño de
la secuencia se apoya fuertemente en la evaluación formativa, pues en cada una de las
tareas que se realizan se reservan momentos para la interacción a diferentes niveles
(entre alumnos, profesor y pequeños grupos, todos en común) que proporciona gran
cantidad de feedback y evidencias de aprendizaje. Estas evidencias se complementan
con una prueba final, de carácter cualitativo y sujeta también a un proceso de revisión
y mejora, en la que se plantean tres cuestiones que permiten reflejar los significados
personales del alumnado. Una de ellas es la resolución de la actividad «razón de ser»,
es decir, el cálculo del área de un cuadrado «inclinado» en la trama del geoplano.
Otra, un problema de aplicación. Y, por último, argumentar una de las pruebas más
trabajadas en clase y aportar la que más les haya llamado la atención. En la figura 13
vemos dos de estas pruebas, una basada en áreas y otra en semejanza.

La Gaceta ⋆Secciones 167
(a) Justificación basada en la relación de áreas.
(b) Justificación basada en triángulos semejantes.
Figura 13: Justificaciones aportadas por dos alumnos en la prueba de evaluación.
5. Conclusión
Se ha descrito una secuencia didáctica para introducir el teorema de Pitágoras
de forma constructiva, a través de la resolución del problema del cálculo del área
de cuadrados cualesquiera cuyos vértices forman parte de una rejilla cuadrada. Este
problema se configura en razón de ser del teorema y, mediante un proceso de gene-
ralización que va introduciendo de forma progresiva el lenguaje algebraico, establece
conexiones con el conocimiento previo del alumnado al respecto. Aunque esta tarea
inicial conjuga ya diversos aspectos del teorema, relacionando su expresión algebraica
con el cálculo de áreas y las relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo, se
proponen tareas adicionales que permiten asomarse a otros significados del teorema,
con pruebas de carácter diferente y problemas de aplicación.
En consonancia con lo que sugieren todos los autores mencionados en la sec-
ción de antecedentes, la enseñanza del teorema no puede reducirse a uno solo de
sus significados. Mucho menos, a exponer el primer día la fórmula c2=a2+b2y
realizar unos pocos ejercicios de aplicación. Además, la oportunidad para conectar
con las ideas de conjetura y prueba es clara. Por otro lado, como señalan Lesh y
Zawojewski ([13]) o Lester y Cai ([14]), si pretendemos que nuestro alumnado de-
sarrolle su competencia en resolución de problemas en matemáticas, hay muy poca
evidencia de que lleguen a mejorar en este aspecto separando la resolución de pro-
blemas del aprendizaje de conceptos. Se trata, por tanto, de que la resolución de
problemas forme parte central del quehacer diario en clase de matemáticas, que se
aprenda a través de la resolución de problemas. No solo porque así conseguiremos

168 Matemáticas en las aulas de Secundaria
alumnado más competente resolviendo problemas y más implicado, sino porque las
matemáticas no se pueden reducir a la aplicación mecánica de técnicas concretas
para ejercicios específicos ([3]).
Agradecimientos. Este trabajo se ha desarrollado en el grupo S60_20R - In-
vestigación en Educación Matemática (Gobierno de Aragón y Fondo Social Euro-
peo). Especialmente, debo agradecer a mi compañera en el CPI Val de la Atalaya,
Ana Isabel Martínez Pérez, por las conversaciones sobre esta y tantas otras secuen-
cias didácticas. Agradezco también los comentarios de Sergio Martínez-Juste y José
M.aMuñoz-Escolano, así como la invitación y las sugerencias de la editora de la
sección, Luisa Cuadrado.
Referencias
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que suele pasar desapercibido, Gac. R. Soc. Mat. Esp. 21 (2018), n.o2, 367–387.
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Pablo Beltrán-Pellicer, Dpto. de Matemáticas, Universidad de Zaragoza
Correo electrónico: pbeltran@unizar.es
Página web: https://tierradenumeros.com