Actes du séminaire national de didactique des mathématiques 2020
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This contribution focuses on modelling at upper secondary level. Modelling is considered as a work on various models of a reality, belonging to different scientific fields, with varied mathematizations. The framework of Connected Working Spaces is chosen in order to describe the work on each model, and the connections made along the modelling process. The hypothesis is that these choices allow designing and evaluating situations that help students to understand concepts more comprehensively and to appreciate how scientific fields contribute to understanding the sensible world. This hypothesis is tested by way of an experiment in realistic school settings.
Ce mémoire complémentaire présente une ingénierie didactique pour la construction de la notion d'impossible en mathématiques pour des élèves de 9 à 11 ans. Cette ingénierie est réalisée notamment en appui sur le cadre de l'apprentissage par problématisation et constitue la première recherche effectuée en mathématiques avec ce cadre.
Cette note de synthèse reprend mes travaux sur les notions de milieu et contrat didactique pour l'analyse de situations ordinaires dans l'enseignement des mathématiques et introduit notamment la notion de facette du contrat didactique comme nouvel outil pour analyser les pratiques enseignantes avec la théorie des situations didactiques.
Cet article porte sur les pratiques d’enseignement des mathématiques de professeurs débutants en maternelle, dans le contexte particulier de l’appui sur une ressource jugée didactiquement pertinente. Il s’agit d’une étude de cas. À partir de l’observation de la professeure débutante en classe, de sa fiche de préparation et d’un entretien effectué à l’issue de l’observation, nous reconstruisons la logique qui sous-tend l’activité de l’enseignante et mettons en évidence des obstacles à une appropriation de savoirs du didactique.
Les recherches menées au sein de mon équipe s'inscrivent dans le domaine des Environnements Informatiques pour l'Apprentissage Humain (EIAH) où la modélisation des connaissances et des savoirs est une question centrale. En effet, elle est à la base des différents services proposés par les EIAH comme l'indexation et la gestion des ressources, la conception des scénarios d'apprentissage ou la production de diagnostics et de rétroactions vers l'élève ou vers l'enseignant. C'est dans ce contexte et afin de disposer d'un modèle didactique pouvant être implémenté que nous avons développé le cadre de référence T4TEL. Le cadre T4TEL s'inscrit dans la Théorie Anthropologique du Didactique et plus spécifiquement dans l'approche praxéologique : ce cadre représente une formalisation et une extension du modèle praxéologique. Deux extensions sont présentées : l'introduction de la notion de praxéologie personnelle et de la notion de variable.
Dans cet article, nous discutons des relations nécessaires et possibles entre chercheurs et enseignants dans des recherches didactiques. Pour cela, nous partons de la méthode de l’ingénierie didactique qui a eu une grande importance dans le développement de plusieurs didactiques. Après en avoir décrit les origines, les buts et les principes, nous abordons sa remise en cause par certains courants de recherche. En présentant ces évolutions, nous interrogeons chaque fois les relations entre chercheurs et enseignants, et nous discutons la méthode que nous appelons « méthode des situations forcées » qui tente de concilier développement des recherches et développement du métier. En conclusion, nous revenons sur les caractéristiques principales des situations forcées.
Régine Douady a introduit [3] en didactique des mathématiques la notion de changements de cadre, de jeu de cadres et de dialectique outil-objet. C'est d'abord la pratique passée et présente des mathématiques et des mathématiciens qui a inspiré ces notions. Nous nous proposons ici d'expliquer comment elles interviennent effectivement dans cette pratique, conjointement d'ailleurs avec d'autres aspects : les registres de représentation et leurs règles de conversion, introduits par Raymond Duval [4], les niveaux de conceptualisation introduits par Aline Robert [5], et certaines autres idées, telles les changements de point de vue et l'activité de forma-lisation. Ces notions s'entrecroisent de façon complexe dans le travail mathématique, au point qu'il est parfois difficile de distinguer ce qui relève de l'une ou de l'autre : les frontières sont parfois floues, des glissements de l'une à l'autre sont inévitables, voire utiles. De plus, l'utilisation de ces changements a sans doute été souvent inconsciente chez les mathématiciens du passé, mais il semble que ce ne soit plus toujours le cas aujourd'hui : des mathématiciens actuels pratiquent consciemment et volontairement les changements de cadre ou de niveau de conceptualisation, tant dans leur recherche que pour l'enseignement. Néanmoins, bien des mathématiciens, qui utilisent effectivement des changements de cadre, le font implicitement et ne sentent pas le besoin de l'expliciter. Il semble pourtant que cela peut être très utile de faire faire des change-ments de cadre ou registre aux élèves, en le leur disant ou non, selon le niveau (voir pourquoi en III 6/), et donc de former les futurs professeurs que sont certains de nos étudiants à recon-naître ce type d'activité, ce qui est utile aussi pour organiser leurs connaissances mathéma-tiques. Bref, c'est une question dont les enseignants du supérieur devraient être conscients. Nous commençons par mettre en évidence, à un niveau très global, quelques changements de cadre qui se sont produits dans l'histoire des mathématiques, et jusqu'à récemment, en donnant quelques exemples. Puis nous essaierons de donner quelques définitions, mais les exemples de la partie suivante montreront que ces définitions sont parfois relatives. Ensuite nous nous proposerons d'analyser le fonctionnement concret des changements de cadre, registre ou point de vue, en tentant de dégager leur intérêt, sur de nombreux exemples. Enfin, deux annexes développeront deux exemples plus à fond, à titre d'exercices de style. I. Quelques changements de cadres dans l'histoire des mathématiques (a) Descartes et la géométrie analytique C'est probablement l'un des plus anciens changements de cadre (1637), avec un double aspect. D'une part Descartes ouvre la voie à une utilisation plus intensive du cadre numérique en géométrie en montrant comment tout nombre, même exprimant une aire ou un volume, se représente par une longueur : la "droite numérique" absorbe ainsi tous les nombres ; de l'autre, ceci lui permet d'introduire le cadre de la géométrie "cartésienne" (avec des coordonnées), et donc l'utilisation de l'outil algébrique : on peut calculer plus ou moins aveuglément en géo-métrie. C'est une révolution par rapport à la géométrie des Grecs ! (b) L'utilisation des fonctions analytiques au 19ème siècle Outil inventé aux 17ème et 18ème siècles, la théorie des séries est développée comme objet d'études inépuisables au 19ème siècle : les fonctions analytiques d'une variable complexe. Dès
Dans un contexte où les outils numériques et le WEB permettent la diffusion et le partage massif de ressources, le défi actuel est de trouver la bonne ressource au bon moment. Pour les ressources d’enseignement, les standards de description actuels (LOM ou ScoLOMFr par exemple) ne permettent pas une description des dimensions didactiques d’une ressource. Notre thèse est une contribution pour combler ce manque, en nous situant dans le domaine de environnements informatiques pour l’apprentissage humain (EIAH). Nous nous sommes particulièrement intéressé à la description de ressources de type « énoncé avec tâche prescrite » (ETP). Nous nous sommes placé dans le cadre de la théorie anthropologique du didactique (TAD) et avons en particulier exploité la formalisation de l’approche praxéologique proposée par le cadre T4TEL. Nous proposons quatre résultats principaux. Le premier est un modèle de description didactique de ressources (M2DR) de type ETP. Il permet la description d’un ETP sur la base de critères didactiques et de déterminer son adéquation avec un curriculum. Ce modèle est construit à partir de l’exploitation d’un modèle praxéologique de référence (MPR). Le deuxième résultat est la modélisation d’intentions didactiques, utilisées pour pouvoir chercher des ETP décrits à l’aide du modèle M2DR. Le troisième résultat est un enrichissement du cadre T4TEL, en définissant une modélisation de la tâche et en introduisant la notion de type de tâches optimum. Le quatrième résultat est la définition d’un processus de construction d’une représentation ontologique d’un MPR décrit dans T4TEL à l’aide de générateurs de types de tâches. Ce processus permet une utilisation du modèle dans un cadre informatisé. Il a été appliqué à différents MPR, dans les domaines de l’algèbre élémentaire et de la numération. Ceci a permis l’utilisation du modèle M2DR pour décrire différents ETP.
Inédit dans le paysage des recherches en éducation, ce livre est le fruit du travail d'un collectif international, accompli pendant plus d'une dizaine d'années, pour élaborer les premiers éléments d'une théorie de l'action conjointe en didactique. Sa vocation est d'abord anthropologique, puisqu'il cherche à penser le savoir en tant que puissance d'agir, dans un conception ouverte de la didactique. La savoir est ainsi vu comme un organisme vivant dont l'appropriation peut signifier émancipation.
Après avoir montré comment cette théorie s'inscrit, au sein des Sciences de l'Homme et de la Société, dans le paradigme émergent de l'action conjointe, l'ouvrage propose des fondements épistémologiques, théoriques, méthodologiques et éthiques pour la théorie. Le système conceptuel élaboré est d'abord à vocation descriptive, en ce qu'il permet de caractériser et de comprendre l'enseignement et l'apprentissage - qu'ils soient plus ou moins "formels" ou " informels"- et leurs relations organiques, à l'aide d'un noyau de concepts à vocation générique (jeu didactique, contrat didactique, milieu didactique, adidacticité, équilibration didactique, double sémiose notamment) qui trouvent leur efficacité dans la spécification à des situations et des savoirs particuliers. Mais il devra permettre aussi de construire des éléments normatifs, en tentant de donner à l'action commune, socialement finalisée, des outils de pensée pour bâtir des dispositifs didactiques mieux appropriés aux fins que les acteurs se donnent collectivement à eux-mêmes, au sein des formes d'éducation dans lesquels ils sont engagés.
L'ouvrage est destiné à la fois aux chercheurs, aux professeurs, aux étudiants et au grand public cultivé. Il est exigeant au plan intellectuel, mais il ménage une progression qui peut permettre à toute personne intéressée de se l'approprier.
Il est aujourd'hui largement admis que l'évaluation des apprentissages des élèves par les enseignants doit s'appuyer sur un référentiel d'évaluation exprimé sous forme d'objectifs et/ou de critères d'évaluation à partir de plans d'études institués. Peu de travaux ont examiné la façon dont ce référentiel est susceptible d'être transformé au fil de l'activité évaluative de l'enseignant. Quelle relation observe-ton entre les éléments préexistants formalisés dans le référentiel d'évaluation et d'autres éléments informels qui interviennent également dans le jugement de l'enseignant ? Quel rôle jouent les contextes dans la définition de ces éléments et leur convocation parfois émergente dans les processus évaluatifs ? L'objectif de cet article est de présenter quelques éléments de modélisation autour de ces questions à partir d'études empiriques préalables et de propositions de la littérature. Les études concernent des pratiques d'évaluation certificative d'enseignants du deuxième cycle (élèves de 8 à 12 ans) de l'école primaire genevoise, en français (production écrite) et en mathématiques (résolution de problèmes). A partir de l'exposition de résultats, l'article interroge le modèle théorique de l'évaluation autour de deux hypothèses de travail présentées successivement, celle d'une relation dialectique entre référent et référé dans le jugement évaluatif en acte de l'enseignant, et celle d'une part prise par des contextes pluriels ayant des fonctions particulières dans les processus d'interprétation et de prise de décision évaluatives. L'enjeu scientifique, en proposant des éléments de modélisation, est de mieux comprendre comment référents et référés agissent dans les pratiques d'évaluation situées des enseignants.
Les nouveaux programmes des lycées français, mis en place depuis la rentrée 2010, ont fixé des objectifs précis en matière d’algorithmique. A la lecture de ces programmes, l’enseignement de l’algorithmique apparaît comme outil (au sens de Douady, 1986) pour donner sens à un certain nombre de notions étudiées. Comment dépasser ce stade pour que l’algorithmique devienne objet d’apprentissage (au sens de Douady, 1986) ? Le travail de recherche se situe dans le cadre d’apprentissages de connaissances sur les algorithmes en mathématiques dans l’enseignement au niveau des classes de Seconde et du Cycle Terminal Scientifique du lycée. L’étude et la construction d’algorithmes par les élèves sont situées dans un cadre plus général de raisonnement et de preuve, mais aussi de démarches de modélisation en mathématiques. Il s’agit d’étudier l’effectivité de tels enseignements dans le cadre institutionnel français du point de vue des apprentissages effectivement réalisés par les élèves et des pratiques des enseignants, et d’en inférer des résultats plus généraux sur le raisonnement mathématique dans certains domaines spécifiques, pour les classes du lycée. Le travail de recherche entrepris privilégie la place occupée par les algorithmes dans l’enseignement des mathématiques et propose un cadre théorique tenant compte des cadres généraux de la didactique des mathématiques, en particulier les Espaces de Travail Mathématique (ETM) (Kuzniak, Richard, 2014) associés à des domaines mathématiques spécifiques. Plus particulièrement, poursuivant la spécification d’un modèle Espaces de Travail Algorithmique (ETA) (Laval, 2014, 2016), nous précisons ce que peuvent être les plans épistémologique et cognitif dans ces espaces en mettant l’accent sur leurs interactions liées aux genèses sémiotique, instrumentale et discursive auxquelles ces plans donnent lieu. Nous étudions aussi quels espaces personnels peuvent se construire chez les élèves des différents niveaux scolaires du lycée, et comment ils articulent des connaissances sur les algorithmes et les domaines mathématiques scolaires. Les modèles des ETM/ETA sont consacrés à l’analyse du travail mathématique dans des domaines mathématiques spécifiques avec, en particulier, des paradigmes guidant et orientant le travail des élèves. De plus, partant du fait que peu d’études sur des tâches de modélisation ont été basées sur les modèles ETM/ETA, nous affinons certaines de nos analyses dans le cadre des ETM/ETA sur la base du cycle de modélisation proposé par Blum et Leiss (2005) en relation avec certains domaines spécifiques des mathématiques. Pour cela, nous construisons plusieurs ingénieries didactiques mettant en place des expérimentations dans trois domaines mathématiques : (1) la théorie élémentaire des nombres ; (2) l’analyse ; (3) les probabilités et les simulations aléatoires. Ces ingénieries sont expérimentées et analysées dans les trois niveaux du lycée français : seconde et cycle terminal scientifique. Notre travail de recherche comporte des outils d’analyse de tâches et d’activités dans différents domaines mathématiques. La méthodologie employée permet d’obtenir des données globales et d’observer finement les activités des élèves en classe et les pratiques des enseignants
In the context of refinement of frameworks over the past decades within the domain of mathematics education research on language, the development of more nuanced theories is a challenge. In this issue of ZDM, a number of researchers present their work of exploration and elaboration of theories for the study and understanding of language in mathematics education. Since various relevant frameworks are present in the collection of papers, we use them to consider and evaluate the existing ontology. We aim to answer the following questions: What theories and concepts are visible in the papers? What are the works of some of the authors and terms that seem to be interpreted differently? What does this complexity imply for research in mathematics education? From the answers to these questions, we conclude that the domain can be characterised by its complexity, diversity, and contention. All three phenomena together seem to have the potential to be a strength for the progress of the domain.
ABSTRACT. The purpose of this paper is to contribute to the debate about how to tackle the issue of ‘the teacher in the teaching /learning process’, and to propose a methodology for analysing the teacher’s activity in the classroom, based on concepts used in the fields of the didactics of mathematics as well as in cognitive ergonomics. This methodology studies the mathematical activity the teacher organises for students during classroom sessions and the way s/he manages the relationship between students and mathematical tasks in two approaches: a didactical one (Robert, 2001) and a psychological one (Rogalski, 2003). Articulating the two perspectives permits a twofold analysis of the classroom session dynamics: the “cognitive route” students are engaged in —through teacher’s decisions— and the mediation of the teacher for controlling students’ involvement in the process of acquiring the mathematical concepts being taught. The authors present an example of this cross-analysis of mathematics teachers’ activity, based on the observation of a lesson composed of exercises given to 10th grade students in a French ‘ordinary’ classroom. Each author made an analysis from her viewpoint, the results are confronted and two types of inferences are made: one on potential students’ learning and another on the freedom of action the teacher may have to modify his activity. The paper also places this study in the context of previous contribution made by others in the same field.
Note de synthèse (HDR) présentée le 29/11/17 à l'Université Paris Diderot
Value judgments, prescriptions and proscriptions concerning instructional proposals seem to be very frequent in works in Didactics (papers, communications,…). In this paper we tackle the question of whether claims of this kind are legitimate. In few words, we wonder whether didactics can say how to teach. For that, we analyse and compare the answers to this question of several scholars working in different approaches. In this way, we would like to start a dialogue aimed at laying the foundations for a better un
The research project partly presented in this paper aims at investigating the potential of the design of learning environments based on research to enhance language for mathematics learning in order to foster conceptual and language development. In this paper I present a collaboratively designed learning environment on angles, with a focus on enhancing classroom discourse to adapt to the conceptual development of most students in 6th grade. The theoretical background of the research combines Vygotskian and Bakhtinian points of view on language, and relies on the idea of a secondarising process of discourse. An empirical investigation of the enacted learning environment revealed its potential to enhance classroom discourse and students’ conceptual and language development by introducing an explicit distinction between empirical and theoretical aspects of measurement concepts. The findings include the identification of conditions and limitations to be addressed in the design and instructional practices of mathematics- and language-integrated interventions, in general, and for the next steps of the current project.
Le discret et le continu sont explicitement présents dans les programmes scolaires officiels, depuis 2001, sans qu’ils ne fassent l’objet de définitions ni de théorèmes. Où se logent-ils ? Sont-ils source de difficultés pour les élèves ? Comment décrire, d’un point de vue didactique, ce type de notion ? Nos analyses s’inscrivent dans le cadrage de la théorie de l’activité adaptée à la didactique des mathématiques ; pour apprécier la réalité de l’enseignement et compte tenu du côté diffus du discret et du continu dans les mathématiques à enseigner, nous avons été amenée à analyser un spectre large de données, à l’aide d’outils provenant principalement de ce cadre théorique, et d’une méthodologie guidée par la multiplicité des aspects du discret et du continu mis en lumière par une analyse épistémo-mathématique préliminaire. Nous prenons pour support de cette étude l’enseignement de l’analyse et des probabilités au lycée général. Les documents officiels, manuels, épreuves d’examens nationaux, copies et entretiens d’élèves nous permettent de dessiner le relief des notions abordées dans ces deux thèmes ; les questionnaires, capsules vidéo sur internet et une séance en classe nous donnent un aperçu des conceptions et des pratiques de futurs enseignants ainsi que d’enseignants en exercice. Ces analyses permettent de révéler deux « mondes » qui se côtoient, voire s’interpénètrent par l’intermédiaire de notions, de vocabulaire, de techniques plus ou moins analogues, qui présentent aussi des ruptures importantes, sources de difficultés pour les élèves, qui mériteraient davantage d’explicitations dans les mathématiques enseignées. Elles soulignent aussi un changement de paradigme en cours dans l’enseignement des mathématiques, qui fait aujourd’hui une plus grande place à la modélisation et par conséquent aux jeux entre discret et continu.
Cette recherche est une contribution à l’étude des effets de l’enseignement sur l’apprentissage de l’algèbre, notamment des expressions algébriques, dès son introduction en EB7 (5e) et EB8 (4e). Nous comparons le cas de l’enseignement ordinaire et celui d’un enseignement expérimental où le savoir algébrique est davantage enseigné comme un outil adapté pour résoudre des problèmes. Nous nous référons à la théorie anthropologique du didactique (Chevallard, 1992) pour analyser le contenu algébrique proposé dans les différents enseignements et à la double approche didactique et ergonomique (Robert et Rogalski, 2002) des pratiques d’enseignement des mathématiques pour analyser les composantes médiative et cognitive des pratiques observées.Les résultats concernent cinq enseignants de mathématiques de deux établissements scolaires de Beyrouth, neuf classes d’EB7 et EB8 et leurs 263 élèves dont les apprentissages algébriques ont été évalués.Cette recherche montre un impact positif du dispositif expérimental sur les apprentissages des élèves, et cela dans toutes les classes observées. Elle montre aussi une variabilité de cet impact selon les enseignants qui tient à la dimension médiative de leur pratique, et plus précisément à l’importance qu’ils accordent aux procédures et aux connaissances de leurs élèves pour ajuster leur enseignement par des régulations didactiques.
Les travaux sur l’évaluation dans ses différents aspects sont nombreux et les entrées sont diverses (docimologie, évaluations internationales, évaluation formative, effets sur la motivation, liens avec l’orientation des élèves, etc.). Nous nous centrons sur les liens entre évaluations et apprentissages dans le cadre de l’enseignement primaire ou secondaire en prenant le point de vue de la didactique des mathématiques. Plus précisément, nous cherchons à montrer qu’une entrée par la didactique des mathématiques avec ses cadres théoriques, ses outils et ses méthodes peut éclairer d’un jour nouveau les résultats produits dans le cadre des recherches sur l’évaluation, mais aussi que des recherches sur l’évaluation peuvent être développées en didactique des mathématiques et ainsi renouveler certains questionnements didactiques.
In this chapter I present some of the results of a study aiming to learn if and how using an assessment tool such as a grid of criteria, can be useful for summative assessment and encourage formative assessment processes in the case of inquiry-based mathematics education. I focus my research on a course centred on problem solving in the canton of Geneva (Switzerland). In the first part, I provide a synthesis of teachers’ points of view about this course relative to problems they submitted to students, research narrative chosen as a means to assess students and the assessment of students’ problem solving competencies. I then describe how it leads to a collaborative work that aims to elaborate a grid of criteria of research narratives to assess students’ problem solving competencies with both a summative and formative purpose. Finally, I describe an exploratory study; an analysis of two lessons taught by a teacher who uses the grid of criteria, in order to understand if and how she refers to these criteria to develop informal formative assessment.
La fonction affine n’est pas disponible (Robert et Rogalski, 2002) pour bon nombre d’élèves malgré un enseignement par les problèmes. Nous avons essayé de comprendre pourquoi et de trouver des pistes pour y remédier. Pour cela, nous avons analysé le savoir enseigné en lien avec l’épistémologie de cette notion, évalué les connaissances des élèves à la sortie du collège pour identifier les difficultés qu’ils rencontrent, et expérimenté différentes situations d’apprentissage. Nous avons utilisé des outils inspirés du cadre de la problématisation (Fabre et Orange, 1997) pour analyser les productions langagières des élèves, comprendre la manière dont ils posent les problèmes liés à l’affinité, comment ils agissent sur les objets et effectuent des changements de cadres (Douady) ou de registres (Duval). Cette étude nous a amenée à penser que la disponibilité du savoir est issue d’un double processus : un apprentissage par problématisation de l’outil, un processus de secondarisation du discours. Nous avons fait l’hypothèse qu’une approche de l’affinité par un point de vue global et covariationnel devrait permettre aux élèves de mieux comprendre en quoi la fonction affine peut être un outil de modélisation pour résoudre des problèmes liés à la covariation de deux grandeurs et pensé un format de séquence intégrant ces hypothèses par une succession de situations basée sur l’idée d’une problématisation par analyse des productions des élèves (PPAP). L’objectif est de travailler la relation entre l’action et l’objet de savoir. Nous avons expérimenté cette ingénierie afin d’en tirer quelques conditions favorables pouvant servir à l’enseignement des fonctions affines.
Dans le cadre du projet ASSIST-ME (Assess Inquiry in Science, Technology and Mathematics Education) nous avons expérimenté dans quatre classes de sixième (élèves 11–12 ans) en France une séquence de mathématiques portant sur la résolution d'un problème complexe intégrant deux outils d’évaluation formative: évaluation entre pairs et débats argumentatifs. Apres avoir fait l'analyse a priori du problème et des types de validation, nous cherchons à déterminer à quelles conditions et contraintes il est possible de mettre en place ces types d’évaluation formative à travers l'analyse de l’évolution du positionnement sur les réponses de la classe par chaque élève.
ABSTRACT
As part of the ASSIST-ME (Assess Inquiry in Science, Technology and Mathematics Education) project, we tested a mathematical sequence in four sixth-grade classes in France (students age 11–12) that involved resolving a complex problem using two formative assessment tools: peer assessment and argumentative debates. After an initial analysis of the problem and the validation methods, we attempt to determine under what conditions and constraints it is possible to put these formative evaluation tools into practice. We do this by examining changes in each student's