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Versión post-print. Cítese como: Beltrán-Pellicer, P., & Martínez-Juste, S. (2021). Enseñar a través de la resolución de problemas. Suma, 98, 11-21. Resumen Describimos las características de un enfoque de enseñanza de las matemáticas a través de la resolución de problemas, cuya esencia reside en que el contenido emerge de las situaciones y problemas que se proponen al alumnado. A partir de nuestra experiencia, realizamos un recorrido por los diversos bloques del currículo para ilustrar cómo son las tareas, la organización de aula y el papel del profesor para proporcionar el andamiaje necesario. Ofrecemos también alguna idea para, ante un posible confinamiento, mantener la coherencia con esta manera de concebir la enseñanza y el aprendizaje. Palabras clave: resolución de problemas, actividades ricas, atención a la diversidad, inclusión. Through problem solving Abstract We describe the fundamentals of teaching mathematics through problem solving, the essence of which is that the content emerges from the situations and problems that are proposed to students. Based on our experience, we walk through the curriculum to illustrate what the tasks are like, the organization of the classroom and the role of the teacher in providing the necessary scaffolding. We also offer some ideas to face a possible lock down, due to a pandemic scenario, to maintain coherence with this way of conceiving teaching and learning.
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Enseñar a través de la resolución de problemas
Pablo Beltrán-Pellicer1,2 & Sergio Martínez-Juste1,3
pbeltran@unizar.es sergiomj@unizar.es
1Universidad de Zaragoza
2CPI Val de la Atalaya (María de Huerva) 3IES Pilar Lorengar (Zaragoza)
Versión post-print. Cítese como: Beltrán-Pellicer, P., & Martínez-Juste, S. (2021).
Enseñar a través de la resolución de problemas. Suma, 98, 11-21.
Resumen
Describimos las características de un enfoque de enseñanza de las matemáticas a través
de la resolución de problemas, cuya esencia reside en que el contenido emerge de las
situaciones y problemas que se proponen al alumnado. A partir de nuestra experiencia,
realizamos un recorrido por los diversos bloques del currículo para ilustrar cómo son las
tareas, la organización de aula y el papel del profesor para proporcionar el andamiaje
necesario. Ofrecemos también alguna idea para, ante un posible confinamiento, mantener
la coherencia con esta manera de concebir la enseñanza y el aprendizaje.
Palabras clave: resolución de problemas, actividades ricas, atención a la diversidad,
inclusión.
Through problem solving
Abstract
We describe the fundamentals of teaching mathematics through problem solving, the
essence of which is that the content emerges from the situations and problems that are
proposed to students. Based on our experience, we walk through the curriculum to
illustrate what the tasks are like, the organization of the classroom and the role of the
teacher in providing the necessary scaffolding. We also offer some ideas to face a possible
lock down, due to a pandemic scenario, to maintain coherence with this way of conceiving
teaching and learning.
Keywords: problem solving, rich tasks, attention to diversity, inclusion.
Esta no es la primera vez que se escribe sobre la enseñanza a través de la resolución de
problemas. Tampoco será la última. Lo que pretendemos no es más que compartir nuestra
experiencia en torno a esta concepción de la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas. Pensamos que es algo necesario, ya que es una cultura de aula que pocos
han tenido la oportunidad de vivir como estudiantes. Y es que, aunque parezca una
obviedad decirlo, los profesores tendemos a repetir los modelos de enseñanza que hemos
vivido como alumnos, otorgándoles el crédito de nuestro propio éxito (Wright, 2017).
¿Quién no ha oído decir aquello de: «Los de la EGB no hemos salido tan mal y estábamos
40 en clase»?
¿Qué es enseñar a través de la resolución de problemas?
El enfoque de enseñanza que presentamos sigue un modelo de constructivismo guiado
basado en la enseñanza a través de la resolución de problemas, que está íntimamente
ligado con el aprendizaje basado en problemas (Lopes y Costa, 1996), pero que se
introduce como alternativa a los enfoques para y sobre la resolución de problemas
(Bingolbali y Bingolbali, 2019; Gaulin, 2001).
La enseñanza para la resolución de problemas tiene una concepción instrumental de la
educación matemática. En este modelo de enseñanza, tras la exposición del conocimiento,
los estudiantes lo aplican para resolver problemas. Por otro lado, la enseñanza sobre la
resolución de problemas se centra en estrategias generales y el uso de heurísticos para la
resolución de problemas matemáticos. En cambio, en el enfoque de enseñanza a través
de la resolución de problemas los alumnos adquieren el conocimiento enfrentándose a la
resolución de problemas diseñados por el profesor con la intención de hacer emerger los
contenidos matemáticos deseados.
El proceso de enseñanza a través de la resolución de problemas sigue una secuencia
similar a la siguiente:
Los escolares se enfrentan a situaciones problemáticas sin haber recibido instrucción
previa sobre los contenidos que quieren enseñarse.
Los problemas deben promover la reflexión y la indagación hacia la búsqueda de
estrategias que permitan resolverlos.
El profesor utiliza las respuestas de los alumnos para organizar una puesta en común
que permita introducir los nuevos conceptos.
Por último, los alumnos resuelven problemas para afianzar los nuevos contenidos.
Por tanto, este enfoque no excluye la enseñanza de heurísticos y la aplicación de
contenidos, sino que los contiene. Además, ha ganado relevancia en la investigación en
educación matemática en las últimas décadas (English y Gainsburg, 2015) como
alternativa a aproximaciones «primero concepto y después aplicación» y su uso es
efectivo para el desarrollo cognitivo de los estudiantes (Bingolbali y Bingolbali, 2019).
En la enseñanza a través de la resolución de problemas es fundamental la interacción. Lo
ideal es trabajar las actividades en grupos de tres o cuatro alumnos (Figura 1). Un número
mayor aumenta la probabilidad de que alguno de ellos se descuelgue. En el otro extremo,
un trabajo por parejas reduce las interacciones entre estudiantes y dificulta el trabajo del
docente. Durante el desarrollo de la actividad, el profesor se pasea por la clase,
observando el trabajo de cada grupo y realizando actuaciones concretas que permiten
proseguir en la tarea. Si en lugar de grupos de cuatro tenemos parejas, el profesor debe
intervenir el doble de veces, lo cual es ineficaz. No obstante, en clases no habituadas a
este enfoque y con alumnado disruptivo, se puede ser flexible. En cualquier caso, no se
trata de hacer las agrupaciones atendiendo a criterios como el rendimiento académico,
sino de que los grupos funcionen.
Figura 1. Organización de la clase.
Es complicado etiquetar la práctica docente de uno mismo. Una misma secuencia, con
matices, podría ubicarse en el aprendizaje a través de la resolución de problemas de la
misma manera que en el aprendizaje por descubrimiento guiado. Sin embargo, existe un
componente innegable de construcción de conocimiento y un andamiaje por parte del
profesor. Es decir, que haya construcción de conocimiento no implica dejar a los alumnos
solos. Ciertas referencias que suelen citarse para apoyar la instrucción explícita obvian
este andamiaje (Hmelo-Silver, Duncan, y Chinn, 2007). La clase, como veremos, se
detiene cada cierto tiempo para hacer puestas en común donde se negocian los
significados de los objetos matemáticos que van apareciendo. Con esto se consigue, por
un lado, una propuesta ética de enseñanza. Por otro, se cede responsabilidad al alumnado,
que pasa a hacer matemáticas, en lugar de limitarse a practicar, repetir y, con suerte,
aplicar.
Creemos que la mejor forma de comprender este modelo para la enseñanza de las
matemáticas es experimentándolo. Así, para que el lector interesado pueda acercar sus
clases a este enfoque, en las siguientes secciones damos algunas ideas que utilizamos para
diseñar y gestionar secuencias de aprendizaje que hemos llevado a la práctica en nuestras
aulas de 1º y 2º de ESO.
Estadística
Comenzamos nuestra andadura por los bloques curriculares con un pequeño homenaje a
los magníficos materiales que, al amparo de la reforma educativa de la LOGSE, se
generaron durante los años 90. En concreto, vamos a comentar el desarrollo de una
actividad adaptada de la Guía Praxis, donde se incluye una propuesta para introducir la
dispersión, titulada «Un extraño equipo de baloncesto» (Borrell, Pol y Saguer, 1998). Con
el currículo actual, la secuencia está dirigida a alumnado de 2º de ESO. La clase comienza
planteando al alumnado lo siguiente:
Estamos en un partido de baloncesto. Pongamos que se trata de una final, que queda un
minuto y que el entrenador tiene que decidir a qué jugadora sacar.
Después de una breve charla de clase, que aprovechamos para discutir acerca de los datos
que necesitaríamos, viene la pregunta que se constituye en razón de ser de la secuencia:
Vamos a intentar averiguar a quién sacaría si va perdiendo de 8 puntos y a quién sacaría
si va ganando de 2 puntos, y tenemos como datos los porcentajes de acierto.
En otras palabras, la decisión que debe tomar el entrenador, con los datos disponibles, es
si sacan al mismo tipo de jugadora cuando se va ganando por poco que cuando el partido
está prácticamente perdido, pero con alguna posibilidad de ganar. ¿Y qué datos son esos?
Pongamos que disponemos del porcentaje de aciertos de tiro exterior de cinco jugadoras
durante los últimos diez partidos. Es decir, la Tabla 1, que se proporciona al alumnado en
una ficha.
Tabla 1. Datos de porcentajes de acierto que se proporcionan al alumnado. Fuente: Borrell
y otros (1998).
La primera cuestión sirve para entrar en calor y ver que hemos entendido el contexto, así
como para intuir que la decisión no es sencilla: «¿En qué partidos podemos decir que
Alba tiene un buen rendimiento?». No se trata de lanzar la pregunta y obtener una
respuesta inmediata. Hay que ir con calma. Los alumnos discuten y trabajan en sus grupos
sobre la situación. Cada alumno registrará en su cuaderno la actividad realizada, de
manera que no se trata tanto de terminar con una producción única como de que cada uno,
a partir de las interacciones, desarrolle la situación.
Entonces, el profesor se pasea por los grupos. Su papel no es el de desvelar la respuesta,
si es que la hay, sino el de mantener vivas las discusiones. Su papel, como se señala en
los estupendos materiales del Shell Centre, es el de moderador o facilitador;
ocasionalmente, de un interrogador o un provocador; pero nunca un juez o un certificador
(Swan, 1985, p. 247). Al preguntar, debemos evitar cuestiones cerradas que puedan
responderse con monosílabos; y tratar de construir esas preguntas a partir de alguna
discusión iniciada por los alumnos. En este caso, dependiendo de cómo sean esas
discusiones de grupo, se puede plantear «¿Cómo podemos distinguir entre un buen
rendimiento o un mal rendimiento?» o «Está claro que en algunos partidos no ha sido la
mejor, pero ¿eso significa que ha tenido un mal rendimiento?»
La actividad continúa y la intervención de algún alumno da pie a estudiar el rendimiento
medio de cada jugadora. Y aquí viene una sorpresa, todas tienen la misma media de
porcentaje de acierto. En el material del alumno se les invita a continuar explorando
visualmente la situación, generando producciones como las que mostramos en la Figura
2.
Figura 2. Diagramas que muestran la dispersión de los datos de forma intuitiva.
Estos gráficos proporcionan un primer acercamiento, intuitivo, a la dispersión. A pesar
de que tienen un ejemplo de diagrama para una jugadora, como los alumnos trabajan de
forma autónoma, las producciones son variadas y, en la puesta en común, se discuten
aspectos como la necesidad de que estén alineados los ejes (Figura 2, derecha) o la
utilidad de diferenciar por colores (Figura 3). En cualquier caso, la conclusión es que nos
hace falta algo más que estos diagramas.
Figura 3. Representación alternativa de la dispersión, con un código de color diferente
para cada jugadora.
La puesta en común se aprovecha para discutir cómo se puede continuar. Ya que
visualmente no hemos podido decidirnos, trataremos de utilizar un número. Es posible,
incluso, que surja la palabra rango. De nuevo, cada grupo trabaja sobre ello. Observan
que son rangos muy similares y abordan tareas que ponen de manifiesto que el rango no
ofrece una buena medida de la dispersión (Figura 4).
Figura 4. Actividad sobre el rango.
La secuencia continúa visitando diferentes medidas de la dispersión y justificando su
razón de ser: desviación media, varianza y desviación típica. Una tras otra, se van
poniendo en común las propiedades que surgen en cada tarea, a partir de las producciones
de los alumnos. Señales de que vamos bien son preguntas como «A todo esto, ¿qué es la
dispersión?, ¿la varianza?», que dan pie a diferenciar entre dispersión y formas de medir
la dispersión. Por supuesto, al final hay que decidir a quién elegimos y por qué. Dejamos
esto como ejercicio para el lector.
Es habitual pensar que, ante la presión de realizar algún trabajo en grupo, el bloque de
estadística y probabilidad es el más propicio (Pierce y Chick, 2011). De hecho, por esto
hemos elegido esta actividad sobre dispersión y no el clásico proyecto de estadística. En
cualquier caso, ¿qué hacemos con el resto de los bloques de contenido? La respuesta es
sencilla, lo mismo.
Fracciones
El profesor entra a clase cargado de tiras de papel, cartulinas, folios, y los alumnos lo
miran extrañado. Entonces dice: «Hoy vamos a medir como medían los egipcios». Así
empieza la secuencia didáctica para la fracción en de ESO, donde el alumnado se
enfrenta a actividades reales (no solo realistas) de medida. En otras palabras, tienen que
medir y construir objetos reales. El docente lleva preparados los objetos a medir y muchas
copias en material manipulable de la unidad de medida, para que a lo largo de la secuencia
se dé significado de medida a la representación fraccionaria de los números racionales. A
partir de ahí, se justificará el orden, las operaciones básicas y, lo más importante, se
desarrollará la noción de que estamos ante un nuevo tipo de número.
Las tiras de papel conllevan el uso de la magnitud longitud, que es la más adecuada para
empezar en primaria, o en secundaria si no se ha trabajado previamente este tipo de
manipulaciones. Sin embargo, hay otras opciones, y, por ejemplo, el trabajo con
superficies es mucho más rico.
En el caso de trabajar con longitudes, resulta que el largo de un DIN-A4 se aproxima a la
medida entre la muñeca y el codo. Decimos que esa era la unidad de medida de los
egipcios y que se llamaba codo sagrado o bu. Es necesario preparar objetos longitudinales
(tiras de tela, papel, …) de manera que se puedan obtener sus medidas como una fracción
del codo sagrado. En la Figura 5 observamos estudiantes calculando la medida de la tira
verde, que mide 5/4 bu. Para obtener la medida, han dividido la unidad, el bu, en 4 partes
iguales, y han necesitado 5 de ellas para medir la tira verde. Así, el 4 ya no es solo el
denominador, sino que es el número de partes iguales en que se ha dividido la unidad.
Las subunidades de medida, en este caso, reciben el nombre de cuartos. El numerador es
el número necesario de estas subunidades para medir el objeto.
Figura 5. Estudiantes calculando la longitud de diferentes objetos.
El significado de medida permite desarrollar los contenidos curriculares de secundaria
relativos a la fracción (Gairín y Sancho, 2002), considerando resultados de investigación
que lo muestran más adecuado que el habitual parte-todo (Escolano, 2007).
La secuencia incorpora como tareas manipulativas situaciones de cálculo, donde los
alumnos miden ciertos objetos; y situaciones de construcción, donde los alumnos
construyen objetos con una cantidad de magnitud determinada. En estas primeras sesiones
aparece la noción de equivalencia de fracciones al medir el mismo objeto de distintas
maneras. Y los alumnos proponen, sobre los objetos reales, formas de encontrar
“diferentes” fracciones que indiquen la misma cantidad de magnitud. Tras estas
actividades se institucionaliza la noción de equivalencia y los métodos de ampliación y
reducción para encontrar fracciones equivalentes.
Conviene señalar la importancia de que exista reflexión sobre la manipulación, por lo que
los alumnos reflejan gráficamente en su cuaderno todas las acciones realizadas. Se trabaja
así la conexión entre las manipulaciones con objetos reales y las representaciones gráficas
de estos objetos y manipulaciones. Tras dos sesiones de trabajo manipulativo, se utilizan,
casi en exclusiva, las representaciones gráficas que evocan los objetos y manipulaciones
han realizado en las primeras sesiones. Sin embargo, conviene que el material siga
presente en el aula para atender a la diversidad.
El significado que los alumnos construyen de la fracción como número que indica una
medida permite abordar la comparación de forma trivial (¿qué objeto es mayor?), la suma
como una agregación de cantidades de magnitud o la resta como una sustracción. No solo
se da sentido a lo que significa comparar, sumar o restar fracciones, sino que aparece de
forma espontánea la necesidad de unificar la subunidad en la que están expresadas las
fracciones (poner común denominador) para responder a los problemas que se les
plantean.
La construcción del significado de medida para la fracción y la capacidad de conectar
diferentes sistemas de representación favorecen el desarrollo de estrategias propias de
resolución de problemas no triviales con poca intervención del profesor y la capacidad de
realizar tareas de estimación como la mostrada en la Figura 6.
Figura 6. Multiplicación de fracciones, tarea de estimación.
Proporcionalidad
De nuevo, todo comienza con una situación inocente:
Suponed que vamos al supermercado y compramos 30 cosas. En total nos han cobrado
15 €. ¿Cuánto cuesta cada cosa?
A partir de esta pregunta, los alumnos discuten en sus grupos la posible respuesta. Al
poco tiempo se ven las primeras manos levantadas. Los estudiantes comienzan a plantear
sus dudas: «Esta pregunta tiene trampa», «Es que, depende de lo que compres», «¿Todas
las cosas que compras son iguales?», «¿Todas las cosas tienen el mismo precio?».
La aparición de estas preguntas es un síntoma de que la actividad funciona. Precisamente,
está planteada como situación introductoria al concepto de razón como tanto por uno y se
pretende hacer reflexionar a los alumnos sobre las condiciones que debemos pedir a una
situación en la que hay dos magnitudes relacionadas para que tenga sentido calcular la
razón entre ellas (“repartir una entre otra”) e interpretar dicha razón como la cantidad de
una de las magnitudes que se corresponde con cada unidad de la otra. De hecho, la
actividad será exitosa si las respuestas de los grupos permiten establecer en la puesta en
común las tres condiciones siguientes que permitirán introducir la noción de magnitudes
directamente proporcionales:
Debemos disponer de dos magnitudes.
Las magnitudes deben estar relacionadas (covariación).
A cada unidad de una de las magnitudes le debe corresponder siempre la misma
cantidad de la otra (constancia).
A la última condición la denominamos «condición de regularidad» (Gairín y Escolano,
2009). Las intervenciones de los alumnos que hemos descrito se encaminan precisamente
en esta dirección y algunos grupos las plasman por escrito en sus respuestas (Figura 7).
Figura 7. Condición de regularidad expresada por un grupo de alumnos.
Tras responder a la primera pregunta, los grupos se enfrentan a otras como:
¿Cuántas cosas podrás comprar por cada euro que lleves al supermercado? Si los 30 € te
los has gastado el día 15, ¿cuánto te habrías gastado el día 1?
Así, en el debate, se hablará de que, si se puede calcular la razón entre las magnitudes A
y B, también se puede calcular la razón entre B y A, aunque tienen significados diferentes.
Y de que no tiene sentido calcular razones entre magnitudes no relacionadas o si se usan
números que no están expresando una cantidad.
Es importante que la situación haga emerger las ideas planificadas, pero igual de
importante es dar cabida en la puesta en común a las respuestas erróneas. De hecho, el
docente durante la fase de actividad de los alumnos debe detectar las respuestas
incorrectas y los diferentes grados de profundidad en las respuestas correctas para
organizar la puesta en común posterior. Por ejemplo, la respuesta incorrecta que vemos
en la Figura 8, puede utilizarse para profundizar en la interpretación de las razones y en
los “impedimentos físicos” que puede suponer el uso de magnitudes discretas.
Figura 8. Respuesta incorrecta a la actividad introductoria del concepto de razón.
Aunque algunas de las actividades mostradas pudieran identificarse con situaciones
motivadoras para usar al principio de una unidad, el enfoque a través de la resolución de
problemas, tal y como lo entendemos, implica utilizar estas situaciones introductorias
para cada contenido (conceptual o procedimental) que quiera enseñarse. Podría el lector
plantearse, por ejemplo, cómo abordar la enseñanza de contenidos más complejos
relacionados con la proporcionalidad. La respuesta sigue siendo la misma, se mantiene el
enfoque a través de la resolución de problemas.
Por ejemplo, proponemos como ejercicio a los lectores reflexionar sobre qué tipo de
actividad sería adecuada para introducir los repartos inversamente proporcionales a
estudiantes de 2º de ESO sin experiencia en este tipo de problemas. Se trata de encontrar
un problema que haga emerger ideas que sirvan para encaminarse hacia procedimientos
de resolución generales. No vale, por tanto, que el problema contenga una frase similar a
“reparte de forma inversamente proporcional a”. Y si los lectores quieren conocer nuestra
opinión en este tema les invitamos a leer el trabajo de Martínez-Juste, Muñoz-Escolano
y Oller-Marcén (2019).
Geometría de emergencia
En el momento de escribir este artículo, el curso 2019/20 tocaba a su fin. Debido a la
pandemia producida por la COVID-19, los autores, al igual que miles de docentes, nos
vimos obligados a plantear alternativas a distancia de la noche a la mañana. Nuestra
preocupación principal era la de mantenernos coherentes con el enfoque seguido en
presencial. Es decir, el alumnado, con el andamiaje adecuado, debería seguir teniendo la
responsabilidad inicial de enfrentarse a las tareas, habría que hacer puestas en común y
progresar de esta manera en el aprendizaje. Al mismo tiempo, éramos plenamente
conscientes de las obvias limitaciones que surgían en cuanto a interacción, así como que
debíamos ser sensibles con el alumnado con pocos recursos y considerar los elementos
fundamentales de una enseñanza a distancia, aunque lo nuestro fuera una enseñanza de
emergencia: limitar actividades síncronas y plazos de entrega amplios.
Para ello, en el CPI Val de la Atalaya se reservaron los jueves como día para una
videoconferencia de 30-40 minutos, que quedaba grabada para los que no podían asistir.
En dichas videoconferencias, que jugaban el papel de las puestas en común, los profesores
comentábamos las tareas que se habían mandado para la semana, a partir de las
producciones enviadas por los alumnos.
Los profesores controlábamos, en los días previos a cada videoconferencia, que las
entregas del alumnado estuviesen completas, sin dejar nada en blanco o con simples “es
que no lo entiendo”. Distinguíamos entre dudas legítimas e ilegítimas, de manera que solo
contestábamos a aquellas que denotaban que lo habían leído e intentado hacer. Cuando
se trataba de dudas ilegítimas, la tarea se devolvía al alumno. Al mismo tiempo,
recogíamos aquellas producciones más representativas, y una selección de las
observaciones de los alumnos, para preparar la videoconferencia. Mediante estas acciones
cubríamos el papel del profesor durante la fase de acción que en modo presencial
suponían las actuaciones con los grupos de alumnos.
En la puesta en común, se animaba a participar a los alumnos, quienes podían tomar la
palabra en el chat o con el micrófono y siempre hacían alguna observación. Igualmente,
en esas videoconferencias se compartían los resultados de las autoevaluaciones que
completaban los alumnos, donde se les preguntaba cómo se habían ido resolviendo las
tareas, qué dificultades habían tenido y qué habían aprendido. Normalmente, después de
una videoconferencia se pedía reentrega final de la tarea que había protagonizado la
sesión, completando lo ya realizado con nuevos razonamientos. Tras esta reentrega se
daba paso a una nueva serie de actividades.
En una de esas secuencias se trabajaron las definiciones de los cuadriláteros. Se dividió
el trabajo en dos partes. En primer lugar, el alumnado tenía que escribir la definición de
cuadrado, rectángulo y rombo, con sus propias palabras. Una vez escrita, se le indicaba
que no debía borrarla y que hiciese la construcción correspondiente en GeoGebra. Para
ello se le proporcionaba un ejemplo en vídeo sobre una manera de hacer el cuadrado.
Posteriormente, tenían que redactar otra vez la definición, teniendo en cuenta la
construcción realizada. La entrega consistía en un documento con las definiciones y, por
simplificar, una captura de la construcción. La captura estática de lo hecho en GeoGebra
no es lo ideal, pero servía para identificar puntos libres y puntos ligados y se mostró
suficiente para las puestas en común. En la Figura 8 se observa la reentrega de un alumno,
donde incorpora las propiedades de las diagonales de un cuadrado a su definición,
apoyándose en una nueva construcción.
Figura 9. Fragmento de la reentrega final de un alumno sobre la definición de cuadrado.
Conclusiones
En este artículo hemos querido dar unas pinceladas de lo que significa para nosotros la
enseñanza a través de la resolución de problemas, cuya idea principal es que los
contenidos surjan de la propia actividad de los alumnos.
Pensamos que un gran obstáculo para conseguir este objetivo es el libro de texto. No solo
por los diversos estudios que subrayan sus carencias (Ahl, 2016; Ruiz de Gauna, Dávila,
Etxeberría, y Sarasua, 2013; Shield y Dole, 2013), sino por la pauta que marcan. La
mayoría de los libros de texto ofrecen un único camino, donde primero se ve la “teoría”,
con sus ejemplos, después se trabajan unos ejercicios y, finalmente, con suerte, algunos
problemas. De hecho, los libros de texto marcan tanto este camino que se erigen en el
currículo de facto.
Desde aquí, aprovechamos para reivindicar un desarrollo profesional acorde con el papel
que hemos de desempeñar los profesores. En lugar de libros de texto y métodos milagro
deberíamos hablar de propuestas didácticas que ofrezcan al docente una justificación
sobre el porqué de cada tarea y le permitan flexibilizar y adaptar la secuencia a cada grupo
de alumnos. En este sentido nos alineamos claramente con Ferrando, Segura y Pla-
Castells (2017) cuando citan a Lampert y otros (2013) para decir:
Ningún producto acabado y con libro de instrucciones puede suplantar un programa
riguroso que preste atención tanto a los conocimientos necesarios para enseñar como a
las tareas y actividades que se llevan a cabo como parte del trabajo docente.
No queremos terminar sin mencionar la atención a la diversidad. Si nos tomamos en serio
la O de la ESO y la normativa sobre inclusión, atender a la diversidad no significa dar
unas fichas con operaciones sencillitas a ese alumnado que no puede seguir las
matemáticas elevadas que están viendo el resto de sus compañeros. Y viceversa, dar unas
fichas con matemáticas elevadas a algunos alumnos mientras los demás están con algo
diferente, tampoco es atenderlos. No, al menos, de manera inclusiva.
Con el enfoque a través de la resolución de problemas se asume esa diversidad
continuamente. Para comprender cómo se atiende esta diversidad es necesario tener en
cuenta que, después de cada unidad, no todos los alumnos van a aprender lo mismo. Hagas
lo que hagas como profesor. No nos referimos a que hay alumnos que suspenden y otros
que sacan notable o sobresaliente, sino a que cada alumno crea sus propios significados
personales sobre el contenido matemático.
Las secuencias didácticas, por tanto, deben facilitar el desarrollo de estos significados.
Por eso, las actividades que hemos descrito tienen un suelo bajo y un techo alto (low floor
- high ceiling). Es decir, tienen un punto de entrada asequible para todos, sin planos de
abstracción formal innecesarios que impidan el acceso a las ideas matemáticas que hay
detrás. Y permiten progresar y profundizar, enriqueciendo esos significados personales y
facilitando el máximo desarrollo personal de cada alumno.
Agradecimientos
Este trabajo se ha desarrollado dentro del proyecto PID2019-105601GB-I00 y el grupo
S60_20R - Investigación en Educación Matemática (Gobierno de Aragón y Fondo Social
Europeo). Queremos dedicarlo a nuestros alumnos y compañeros, tanto de instituto,
especialmente a Aurora Domenech y Ana Martínez; como del Área de Didáctica de las
Matemáticas (Unizar).
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WRIGHT, P. (2017), «Critical relationships between teachers and learners of school
mathematics». Pedagogy, Culture & Society, nº 25 (4), 515-530.
... Esto (figura 4) es un cuadrado de tipo (3,5). El primer número es el desplazamiento en horizontal que hacemos desde un punto fijo para hallar uno de los vértices del cuadrado. ...
... alumnado más competente resolviendo problemas y más implicado, sino porque las matemáticas no se pueden reducir a la aplicación mecánica de técnicas concretas para ejercicios específicos ( [3]). ...
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Cítese como: Beltrán-Pellicer, P. (2022). El teorema de Pitágoras a través de la resolución de problemas. La Gaceta de la RSME, 25(1), 149–169. El teorema de Pitágoras es, sin duda, uno de los objetos matemáticos más fascinantes de la educación obligatoria. Su enseñanza no puede reducirse a la aplicación de la fórmula a2 +b2 = c2, siendo a y b las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo, y c la de la hipotenusa. Muchos autores coinciden en subrayar la oportunidad que ofrece para trabajar la conjetura y la prueba en matemáticas. En este artículo reflexionamos en primer lugar sobre su significado, revisando algunas propuestas de enseñanza y resultados de investigación. Después, describimos con detalle el diseño e implementación de una propuesta didáctica para 2.o ESO, prestando especial atención a la planificación del andamiaje y a la interacción en el aula, apoyándonos para ello en producciones del alumnado.
Conference Paper
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La presente comunicación pretende realizar un análisis crítico de las principales características de las nuevas metodologías de enseñanza de las matemáticas que están proliferando durante los últimos años en las aulas de Infantil y Primaria.
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This article draws on critical theories and perspectives on mathematics education to explain the tendency of mathematics teaching worldwide to remain focused on developing procedural understanding, despite repeated calls from the mathematics education community for a more relevant and engaging curriculum. It highlights how conventional approaches to teaching mathematics contribute towards alienating a high proportion of learners and reproducing inequities within society. The article reports on a participatory action research project, involving a group of mathematics teachers in secondary schools in England, who share a commitment for teaching mathematics for social justice. It demonstrates how, by reflecting critically on their own epistemologies and classroom practice in relation to an underlying theoretical framework, teacher researchers are able to negotiate the constraints they face in achieving this objective. Careful consideration of their relationships with students enables them to develop pedagogies that significantly heighten the engagement, and advance the empowerment, of students.
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Many innovative approaches to education such as problem-based learning (PBL) and inquiry learning (IL) situate learning in problem-solving or investigations of complex phenomena. Kirschner, Sweller, and Clark (2006)45. Kirschner , P. A. , Sweller , J. and Clark , R. E. 2006. Why minimal guidance during instruction does not work: An analysis of the failure of constructivist, discovery, problem-based, experiential, and inquiry-based teaching. Educational Psychologist., 41: 75–86. [Taylor & Francis Online], [Web of Science ®]View all references grouped these approaches together with unguided discovery learning. However, the problem with their line of argument is that IL and PBL approaches are highly scaffolded. In this article, we first demonstrate that Kirschner et al. have mistakenly conflated PBL and IL with discovery learning. We then present evidence demonstrating that PBL and IL are powerful and effective models of learning. Far from being contrary to many of the principles of guided learning that Kirschner et al. discussed, both PBL and IL employ scaffolding extensively thereby reducing the cognitive load and allowing students to learn in complex domains. Moreover, these approaches to learning address important goals of education that include content knowledge, epistemic practices, and soft skills such as collaboration and self-directed learning.
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This article focuses on a big corpus of mathematics text books from a high school level, published in Spain from 1970 to 2005. The authors work with analytic categories that are taken from various models in order to suggest a methodology that includes the didactic approach to the mathematics contents, the graphic-symbolic language, mathematical problems and exercises, as well as the methodological innovations and the learning-teaching processes. The characteristics from these text books are described in each stage (there are three of them) in which the analyzed period is divided. In the conclusion, we emphasize the evolution of the analysis of these aspects from three points of view: the formal, the formative and the content one.
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This paper explores how problem solving is approached in two 6th grade mathematics textbooks and national elementary mathematics curriculum in Turkey. The curriculum and textbooks’ problem solving approaches are analysed and compared in the light of three approaches of ‘teaching for, about and through problem solving’. Four learning objectives from different content areas (e.g. algebra, data processing) from the curriculum are determined and their treatments in the textbooks are specifically analysed. The analysis showed that the curriculum did not have a prescriptive stance on any one of problem solving approaches. Similarly, the textbooks also did not follow any approach faithfully. ‘Teaching for problem solving’ approach was not employed while ‘teaching through problem solving’ approach was used for only one learning objective in the textbooks. ‘Teaching about problem solving’ approach was encountered in terms of only one problem solving heuristic (table drawing). We discuss the implications of these findings and note some further research areas.
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Curriculum documents for mathematics emphasise the importance of promoting depth of knowledge rather than shallow coverage of the curriculum. In this paper, we report on a study that explored the analysis of junior secondary mathematics textbooks to assess their potential to assist in teaching and learning aimed at building and applying deep mathematical knowledge. The method of analysis involved the establishment of a set of specific curriculum goals and associated indicators, based on research into the teaching and learning of a particular field within the mathematics curriculum, namely proportion and proportional reasoning. Topic selection was due to its pervasive nature throughout the school mathematics curriculum at this level. As a result of this study, it was found that the five textbook series examined provided limited support for the development of multiplicative structures required for proportional reasoning, and hence would not serve well the development of deep learning of mathematics. The study demonstrated a method that could be applied to the analysis of junior secondary mathematics in many parts of the world.
  • L M Ahl
AHL, L. M. (2016), «Research findings' impact on the representation of proportional reasoning in Swedish mathematics textbooks», Journal of Research in Mathematics Education -REDIMAT, nº 5 (2), 180-204.
«Problem solving in a 21st-century mathematics curriculum
  • L D English
  • J Gainsburg
ENGLISH, L. D. y GAINSBURG, J. (2015), «Problem solving in a 21st-century mathematics curriculum», en L. D. English y D. Kirshner (eds.), Handbook of international research in mathematics education. Third edition, Routledge, Nueva York, 313-335.