The constructive methods of teaching mathematics

Abstract

The problem of teaching mathematics in Lithuanian schools envisaged in this article. The teachers often use the teaching methods of behaviourism. The widely used teachingmethods of constructivionism in the world are appearing in Lithuanian schools too. There is talked how mathematics teachers can easier start to use new progressivemethods by using IT in this article. There is reviewing how start to use constructive mathematics teaching methods by using Geometer’s Sketchpad in this article. There was appeared some problems for teachers by using Geometer’s Sketchpad in schools. So these problems help to find new step of investigating Geometer’s Sketchpad in teaching mathematics – to built the various sets of dynamic sketches for teaching and learning mathematics in basic schools. More than 800 dynamic sketches have been developed within 9th and 10th grades mathematics curriculum. Now is preparing set of sketches for 11th and 12th grades. Some constructive methods of teaching mathematic by using these sets of sketches are discussed in this article.
The methods of comparative analyze and of synthesis of scientificworks are used in this article.

Full text

Liet. matem. rink, 47, spec. nr., 2007, 233–239
Konstruktyv¯
us matematikos mokymo metodai
Egl˙e JASUTIEN˙
E (MII)
el. paštas: egle.jasutiene@ktl.mii.lt
Rezium˙e. Straipsnyje 
ižvelgiama matematikos mokymo problema – naudojami bihevioristiniai arba,
geresniu atveju, kognityvistiniai mokymo metodai. Taˇciau pasaulyje plaˇciai naudojami konstruktyvis-
tiniai mokymo metodai pasirodo ir Lietuvoje. Aptariama, kaip mokytojas gali pereitinuo bihevioristini
u
mokymo metod 
u prie konstruktyvi
uj
u naudodamas informacines technologijas. Apžvelgiama, kaip nau-
dojantis „Dinamine geometrija“ mokyti matematikos konstruktyvistiniaismetodais. Sprendžiantiškilusius
matematikos mokytojams „Dinamin˙es geometrijos“ naudojimosunkumus atrandamas naujas IT diegimo
matematikoje etapas– paruošt 
u pagal bendr 
asiasprogramasbr˙ežini 
u rinkini 
uk¯urimas.Straipsnyjeaptaria-
mas br˙ežini 
u rinkinys 11–12 klas˙ems, galimi jo naudojimo konstruktyvistiniaimetodai, pateikiamas vieno
sud˙etingesnio br˙ežinio taikymo matematikospamokoje pavyzdys.
Straipsnyje naudojami lyginamosios analiz˙es bei mokslini 
udarb
u sintez˙es metodai.
Raktiniai žodžiai: dinamin˙e geometrija, matematika, algebra, konstruktyvieji mokymo ir mokymosi meto-
dai, vidurin˙emokykla.

Ivadas
Sparˇciai augant komunikacini 
u technologij 
u pramonei, ugdymo ir vieš 
uj 
u
istaig 
u
kompiuterizacijai poži¯uris 
i mokym 
a priverstas keistis. Daugel
imet
u mokymas buvo
pagr
istas biheviorizmo id˙ejomis ir j 
u pagrindu naudojamais mokymo metodais, pa-
grindinis d˙emesys skiriamas duomen 
u kaupimui, paskait 
ud˙estymui, refleksijai. Ly-
giagreˇciai vyst˙esi ir kita psichologin˙e kryptys, kuri keit˙e poži¯ur
i
i mokym 
a – kogny-
tivizmas. Šios krypties id˙ejomis pagr
istas mokymas remiasi informacijos kaupimu,
apdorojimu, k¯urimu, d˙emesys nukreipiamas 
im
astym 
a. Iš esm˙es abiejuose kryptyse
keiˇciasi mokytojo ir besimokanˇciojo vaidmuo: pirmojoje mokytojas yra d˙estytojas,
informacijos teik˙ejas, o mokinys – informacijos pri˙em˙ejas; antrojoje mokytojas yra
patar˙ejas, o mokinys informacijos rink˙ejas, apdorotojas, k¯ur˙ejas [6].
Matematikos mokymas neišveng˙eši
u dviej 
u psichologini 
ukrypˇci 
u
itakos. Tod˙el
ir šiandiena matematikos mokytojai naudojasi gana patogiais ir daug pasiruošimo
nereikalaujanˇciais mokymo metodais: paskaita – informacijos perteikimas, aiškini-
mas. Arba kitu atveju mokytojasintegruoja kognityvizmoid˙ejomis paremtus metodus,
žvelgdamas 
imokin
ikaip
im
astant
iorganizm
a: diskusijos, problem 
u sprendimas, ben-
dradarbiavimas. Taigi, ir bihevioristiniai ir kognityviniai metodai mokyme yra tinkami,
kai atitinka iškeltus mokymo tikslus [4].
Gaus˙ejant informacijos kiekiui, žmogus tiesiog nebepaj˙egus 
isiminti gausyb˙es in-
formacijos, tod˙el pasaulyje sparˇciai prad˙etas naudoti J. Piaget psichologija gr
istas
mokymas, prad˙ejo vystytis nauja mokymo kryptis – konstruktyvizmas, kurio pagrin-
dinis principas yra patirtimi gr
isto žinojimo k¯urimas, kuriame besimokantysis ak-

234 E. Jasutien˙e
tyviai dalyvauja [6]. Nuo mokymo pereinama prie mokymosi ir visas ugdymo proce-
sas orientuojasi 
i mokym 
asi, 
i naujas priemones, skatinanˇcias kiekvien 
as˙ekmingai
ir motyvuotai mokytis; mokytojas tampa patar˙eju, kuris padeda sutvirtinti ryšius
tarp skirting 
u ugdymo sriˇci 
u. Informacin˙es technologijos (IT) vien savo paskirtimi
suteikia 
ivairias mokymo(si), bendravimo ir bendradarbiavimo priemones padedanˇcias

igyvendinti konstruktyvistinio mokymo id˙ejas [11]. Tod˙el naujos tendencijos neišven-
giamai pradeda skverbtis ir 
i matematikos mokym 
a: kuriamos ir diegiamos 
i ugdymo
proces 
a kompiuterin˙es programos skatinanˇcios besimokant
ij
i atrasti, tirti, analizuoti ir

irodyti matematines tiesas. Mokymasis per patirt
i tampa vienu iš pagrindini 
u matema-
tikos mokymo princip 
u [10].
Naujosios mokymo metod 
u kryptys sparˇciai skverbiasi ir 
i Lietuvos švietim 
a.
Atkreiptas d˙emesys 
iITdiegim
a
i ugdymo proces 
a: parašytos IKT diegimo strategijos,
perrašomos bendrosios ugdymo programos,perkamos ir diegiamos kompiuterin˙espro-
gramos 
i ugdymo proces 
a ir t.t. Matematikai mokyti ir mokytis nupirkta, lokalizuota ir
išdalinta visoms Lietuvos mokykloms kompiuterin˙e programa„Dinamin˙e geometrija“.
Iškil
e šios programos naudojimo sunkumai pad˙ejo atrasti nauj 
a IT diegimo etap 
a–di-
namini 
ubr˙ežini 
u rinkini 
uk¯urim 
a[2].Taˇciau paruošti dinamini 
ubr˙ežini 
u rinkiniai ne-
sumažina „Dinamin˙es geometrijos“ naudojimo mokyme(si) efektyvumo. Jie paleng-
vina mokytojams programos naudojim 
a, suteikia nauj 
uid˙ej 
u mokymui bei suteikia
galimybes mokiniuimokytis be mokytojo pagalbos.
Šio straipsnio tikslas yra ištirti, kaip informacin˙es technologijos gali pad˙eti mokyti
matematikos naudojant konstruktyvistinius mokymo(si)metodus, aprašant konkreˇcius
„Dinamin˙es geometrijos“ taikymo pavyzdžius, pateikiant mokytojams metodini 
u
patarim 
u.
1. Konstruktyvistiniai mokymo metodai matematikoje
Konstruktyvizmas akcentuoja : 1) besimokanˇciojo žinias ir supratim 
a kaip veikl 
a, bet
ne kaip išorinio pasaulio informacij 
a; 2) žinojimas yra konstruojamas remiantis vidiniu
asmeniniu aktyvumu ir informacija, pasiekianˇcia mus iš išorinio pasaulio; 3) besimo-
kantieji susikuria sau subjektyvias realybes ir savo asmenines teorijas. Konstruktyvis-
tinis mokymasis yra procesas, kur
i turi atlikti pats besimokantysis mokymosi proceso
metu: apdoroja informacij 
a, konstruoja žinias, kuria prasm
e. Mokymosi procese ži-
nios, geb˙ejimai, poži¯uris, vertyb˙es, 
isitikinimai 
igyjamos per patirt
i [6]. Pagrindiniu
aspektu tampa ne kuo daugiau sukaupti žini 
u, bet išmokti 
ivairi 
umetod
uirb¯ud 
u, kaip
orientuojantis informacijos gausyb˙eje atsirinkti ir 
isisavinti reikiamas žinias ir jas efek-
tyviai taikant kurti naujas.
Taigi, konstruktyvizmo id˙ejomis remiasi daugelis žinom 
u mokymo ir mokymosi
metod 
u ir metodik 
u: mokymasis bendradarbiaujant, aktyvieji mokymo(si) metodai
(klausim 
u pateikimas ir diskusijos), 
ivaik
a orientuota ugdymo metodika (mokymo
diferencijavimas ir individualizavimas ir kt.).
Mokymasis bendradarbiaujant sudaro s 
alygas visiems mokiniams patirti s˙ekm
e,
k¯urybiškai spr
esti problemas, dirbti komandomis, teigiamai vertinti save. Tuo paˇciu
metu ugdomas kritinis m 
astymas ir pagarba vienas kitam [4].
Aktyvi 
uj 
u mokymo(si) metod 
u autoriai teigia, kad mokymasis tur˙et 
u vykti ben-
dromis mokytoj 
u ir mokini 
u pastangomis; mokymosi aplinkoje daugiausia d˙emesio

Konstruktyv¯us matematikos mokymo metodai 235
turi b¯uti skiriama tam, kad pad˙et 
u mokiniams 
igyti tinkam 
užini
u. Darbas diskusij 
u
grup˙ese skatina mokytis pasiremiant savo patirtimi pagr
isti savo nuomon
e faktais,
apibr˙ežimais, konceptualiomis s 
avokomis ir d˙esniais, ugdomas kritinis m 
astymas ir
svarbiausia mokomasi diskutuoti [4].

Ivaik
a orientuoto ugdymo metodika ugdo kiekvieno vaiko pastangas ir geb˙ejim 
a
paˇciam formuoti mokymosi proces 
a. Mokytojai privalo skatinti mokinius pajusti
pasaulio turtingum 
a, skatinti juos kelti klausimus ir patiems rasti atsakymus, suprasti
sud˙etingus pasaulio ryšius. Mokytojas priverstas atsižvelgti 
i kiekvieno mokinio skir-
tumus: temperament 
a, suvokimo lyg
i, mokymosi stili 
u, b¯ud 
a, interesus, mokymosi
temp 
a, motyvacij 
a[4].
Patys mokymo(si) metodai nesikeiˇcia jau daugel
imet
u. Taikomi tie patys d˙estymo,
aiškinimo, diskusij 
u, bendradarbiavimo metodai mokyme. Taˇciau keiˇciantis psi-
chologiniam poži¯uriui 
i besimokant
ij
i, keiˇciasi ir poži¯uris 
imetod
utaikym
a. Pavyz-
džiui, matematikos mokyme vis dažniau naudojami vaizd¯us dinaminiai br˙ežiniai, kurie
efektyvesni nei statiniai [7]. Mokymo(si) metodai taikomi atsižvelgiant 
i mokini 
uin-
dividualum 
a, sudarant mokiniams s 
alygas mokytis per savo patirt
i ir pan. Pavyzdžiui,
matematikoje patogu taikyti tradicinius d˙estymo, aiškinimo ir kt. metodus, taˇciau vis
labiau plintant konstruktyvizmoid˙ejoms, prisimenami ir kiti metodai, kai mokinys yra
aktyvus tyrin˙etojas, atrad˙ejas, k¯ur˙ejas.
2. „Dinamin˙es geometrijos“ naudojimas konstruktyviam mokymui
Naujos psichologin˙es kryptys ir informacin˙es visuomen˙es pl˙etra 
itakoja nauj 
u mokymo
ir mokymosi priemoni 
u, kurios padeda taikyti aktyviuosius mokymo metodus, atsira-
dim 
a. Viena iš toki 
u priemoni 
u grupi 
u yra informacin˙es technologijos. Pirmasis kon-
struktyvizmo id˙ejomis gr
istas informacines technologijas ugdymo procese prad˙ejo
taikyti ir skleisti S. Papertas. Jis vienas iš pirm 
uj 
u
ivaik
a paži¯ur˙ejo, kaip 
ik¯ur˙e-
j
a [10]. Dauguma tolesni 
u mokom 
uj 
u kompiuterini 
u program 
uk¯ur˙ej 
ur˙em˙esi S. Pa-
perto id˙ejomis ir metodikomis [5].
Informacin˙es technologijos atv˙er˙ekeli

a ir konstruktyviam matematikos moky-
mui. Konstruodami br˙ežinius „Dinamine geometrija“ mokiniai taikydami savo turim 
a
patirt
i ir žinias tyrin˙eja, atranda ir kuria matematines tiesas. „Dinamin˙e geometrija“
sukurta taip, kad mokinys aktyviai dalyvaut 
uk¯urime ir tyrin˙ejime. Programoje yra
tik pagrindin˙es priemon˙es: liniuot˙e, skriestuvas, funkcij 
u braižymo, transformacij 
u,
matavimo komandos. Mokinys tur˙edamas šias priemones ir pagrindines geometrijos
bei algebros žinias kuria gilesnes matematikos žinias, 
isitikindamas aksiom 
uirteo-
rem 
u teisingumu. Pavyzdžiui, mokinys žinodamas trikampio apibr˙ežim 
a, nesunkiai j
i
sukonstruoja ir keisdamas trikampio virš¯uni 
upad˙et
i (kraštini 
u ilgius) 
isitikina, kad
trikampio kamp 
u suma lygi 180 laipsni 
u. Toliau gali aiškintis, kad trikampiai, kuri 
u
visi atitinkami kampai lyg¯us yra panaš¯us ir t.t. Tai pirmin˙e programos paskirti – kurti
pasiremiant patirtimi, tirti ir v˙el kurti nauj 
a patirt
i. Tod˙el pasaulyje „Dinamin˙ege-
ometrija“ dažniausiai naudojama konkreˇcioms matematikos problemoms tirti ir vizu-
alizuoti [9]. Darbas gali b¯uti individualus, tod˙el mokinys mokosi sau 
iprastu tempu,
lygiu. Gali dirbti ir grupel˙ese bendradarbiaudami, ieškodami medžiagos ir pan.
Kitas konstruktyvus mokymo metodas naudojantis „Dinamine geometrija“ yra
paruošt 
ubr˙ežini 
utyrin˙ejimas ir išvad 
u darymas atsakant 
i kryptingus klausimus.

236 E. Jasutien˙e
Tokiu atveju mokytojas turi pasirengti pamokai: paruošti kelet 
a dinamini 
ubr˙ežini 
u
atitinkanˇci 
unagrin˙ejam 
atem
a; apgalvoti klausimus ir užduotis, kurios pad˙et 
umo-
kiniams tyrin˙ejant br˙ežinius suprasti nagrin˙ejamas matematines tiesas. Darbas gali
vykti individualiai ar grup˙ese. Tokiu b¯udu mokytojas paruošdamas br˙ežinius tiesiog
sutaupo pamokos laiko ir mokiniui lieka tirti, analizuoti, pasiremiant turimomis žinio-
mis ir atrastomis, nagrin˙ejant br˙ežin
i, daryti išvadas, argumentuoti ir pan. Šiuo atveju
mokinys taip pat gali dirbti savo mokymosi tempu, pagal savo pasiekimo lyg
i. Galima
ir abu aprašytuosius metodus derinti. Mokinys analizuoja paruoštus br˙ežinius, o v˙eliau
gaut 
užini
u pagrindu kuria naujus dinaminius br˙ežinius.
Treˇciasis metodas yra tiesiog tradicinio aiškinamojo mokymo metodo derini-
mas su naujomis konstruktyviomis id˙ejomis. Skiriami trys pagrindiniai informaci-
jos pri˙emimo bei tvarkymo b¯udai: vizualinis, audialinis ir kinestezinis [8]. Tod˙el
kuo 
ivairesni informacijos perteikimo b¯udai (garsu, vaizdu, praktiškai) naudojami
pamokoje, tuo didesn˙e dalis mokini 
u sugeba 
isisavinti nauj 
a medžiag 
a. Taigi, mokyto-
jas paruoštus dinaminius br˙ežinius gali naudoti medžiagos vizualizavimui pamokoje,
tam skirdamas 5–10 minuˇci 
u [7]. Tai paprasˇciausias metodas, nereikalaujantis vesti
pamokoskompiuteri 
uklas˙eje. Pradedanˇciam taikyti konstruktyviusmokymo(si) meto-
dus matematikos mokytojui toks metodas gali b¯uti vienas iš paprasˇciausi 
u.
Taˇciau šie mokymo metodai pasirod˙e ne visiems Lietuvos matematikos mokytojams
paprasti. Tai l˙em˙e keletas priežasˇci 
u: mokytoj 
u kompetencija, reikia skirti papildomo
laiko pamokoms pasiruošti ir kt. [3]. Tod˙el ieškant efektyvaus ir greito sprendimo
buvo peržvelgtos bendrosios programos ir sukurti dinamini 
ubr˙ežini 
u rinkiniai 9 ir
10 klas˙ems [2]. Br˙ežiniuose pateikiamos naujos matematikos mokymo id˙ejos, be to
br˙ežini 
u rinkiniai sukurti prisilaikant vadov˙eli 
u – tai palengvina mokytoj 
u ruošim 
asi
konstruktyvioms matematikos pamokoms. Br˙ežiniai sud˙eti 
i kompaktin
e plokštel
e,
turi naudotojo pagalb 
a, tyrin˙ejimo nurodymus, teorinius intarpus, 
itvirtinimo užduotis.
Tod˙el juos naudodamas mokinys gali savarankiškai aiškinti matematikos temas, savo
tempu, pagal savo lyg
i, jam priimtinu laiku. Mokiniai gali naudotis priemone be moky-
tojo pagalbos (jei reikia, konsultuojasi su mokytoju matematiniais klausimais), t.y.,
j
u naudojimasis šiais br˙ežiniais nebepriklauso nuo mokytojo IKT kompetencijos. Šie
br˙ežini 
u rinkiniai išskyr˙e dar vien 
a konstruktyvaus mokymosi metod 
a – savarankiškas
mokymasis naudojant vaizdžius, dinaminius br˙ežinius. Dinamini 
ubr˙ežini 
uprivalumus
matematikos mokyme išsamiai apraš˙eDagien˙e ir Jasutien˙e[1].
Matematikos mokymasis vis dar daugumaimokini 
u yra sunkiai suprantamas. Tod˙el,
stengiantis jiems pad˙eti pasitelkiamos 
ivairiausios priemon˙es ir metodai. Pasteb˙eta,
kad konstruktyvus matematikos mokymas naudojant IT pagerina mokini 
u matemati-
kos mokymosi rezultatus, juos motyvuoja [3]. Išskiriami keturi pagrindiniai konstruk-
tyv¯us metodai, naudojami mokant matematikos su „Dinamine geometrija“: br˙ežini 
u
k¯urimas; paruošt 
ubr˙ežini 
u analiz˙e; paruošt 
ubr˙ežini 
u naudojimas trumpam vizualiza-
vimui ir savarankiškas individualus darbas su paruošt 
ubr˙ežini 
u rinkiniais. Žinoma,
visi šie metodai gali b¯uti derinami tarpusavyje arba integruojami 
i tradicinius ir ak-
tyviuosius mokymo(si) metodus (1 pav.). Tai naujas žvilgsnis 
i matematikos mokym 
a
Lietuvoje.

Konstruktyv¯us matematikos mokymo metodai 237
1 pav. Mokymo(si) metod 
u derinimas.
3. 11–12 matematikos kurso kartojimo br˙ežini 
u rinkinys
T
esiant projekt 
a Matematika su „Dinamine geometrija“ kuriamas dar vienas di-
namini 
ubr˙ežini 
u rinkinys 11–12 klasi 
u matematikos kursui kartoti. Buvo peržvel-
gtos Bendrosios ugdymo programos ir atrinktos labiausiai tinkamos vizualizuoti su
„Dinamine geometrija“ temos: funkcijos; lygtys; nelygyb˙es; sistemos; taškai, ties˙es,
kampai; trikampiai; keturkampiai; taisyklingi daugiakampiai; apskritimai; simetrija;
trigonometrija; vektoriai; progresijos; skaiˇci 
u ties˙e, koordinaˇci 
u plokštuma. Kuriant
rinkin
i nebeprisirišama prie vadov˙elio. Leidžiama paˇciam mokiniui ar mokytojui
pasirinkti, kuriuos br˙ežinius tyrin˙eti, kuriuos tik peržvelgti. Šie kartojimo br˙ežiniai
skirti mokiniui savarankiškai pakartoti matematikos kurs
a. Taˇciau mokytojas visada
gali juos naudoti temos ar jos aspekto vizualizavimui ar kitokios pamokos organizavi-
mui.
Br˙ežini 
u rinkinys suteikia galimyb
eplaˇciau pažvelgti 
i matematik 
a, atskleisti
naujus mokiniui ir mokytojui priimtinus sprendimo, tyrin˙ejo b¯udus. Tyrin˙edamas
br˙ežinius mokinys yra aktyvus.
Br˙ežiniuose stengiamasi pateikti visus mokykloje sutiktus sprendimo b¯udus ir
savybes. Pavyzdžiui, lygties sprendin
i vaizduojanˇciame br˙ežinyje pateikiamas ir alge-
brinis lygties sprendimo b¯udas ir geometrin˙e lygties sprendinio interpretacija; funkcij 
a
nagrin˙ejamame br˙ežinyje pateikiamos ir papildomos funkcijos – vaizduojami funkci-
jos modulio bei paprastesni 
u funkcij 
u dinaminiai grafikai.
4. Rodiklin
e funkcij 
a ir rodiklin
e lygt
i vizualizuojanˇ
ci 
u dinamini 
ubr˙ežini 
u
pavyzdžiai
Rodiklin
e funkcij 
a vaizduojanˇcio br˙ežinio tikslas yra pakartoti rodiklin
e funkcij 
a, jos
grafik 
a, jos savybes ir apibendrinti 11–12 klas˙ese 
igytas matematikos žinias susiejant
jas 
i bendr 
avisum
a (palyginti transformuotos rodiklin˙es funkcijos grafik 
a, funkcijos
modulio grafik 
a su paprastos rodiklin˙es funkcijos grafiku) (2a pav.).
Br˙ežinyje nagrin˙ejama rodiklin˙e funkcija f(x) =ax+b,kaia>0. Dinaminis
funkcijos ir jos grafiko vaizdas stebimas keiˇciant parametrus air b. Dinaminiame

238 E. Jasutien˙e
2 pav. a) Rodiklin˙e funkcija; b) Rodiklin˙es lygties sprendimo grafin˙e interpretacija.
br˙ežinyje analizuojama visa rodiklini 
u funkcij 
ugrup˙e. Nagrin˙edamas dinamin
ibr˙ežin
i
mokinys tur˙et 
uatsakyti
i pagrindinius klausimus, kurie padeda pakartoti rodiklin˙es
funkcijos ypatumus. Pavyzdžiui, kaip keiˇciasi funkcijos grafikas,kai 0 <a>1, a>1;
kokia funkcijos apibr˙ežimo sritis, kai 0 <a >1, a>1irpan.
T
esiant rodiklin˙es funkcijos kartojim 
a, prasminga b¯ut 
u toliau kartoti rodiklini 
u
lygˇci 
u sprendim 
ub¯udus. Rodiklin˙es lygties dinaminio br˙ežinio tikslas – mokiniui
priminti žinomus rodiklin˙es lygties sprendimo b¯udus: algebrin
iirgrafin

e sprendinio
interpretacij 
a. Br˙ežinyje pavaizduota visa rodiklini 
ulygˇci 
ugrup˙e (2b pav.).
Tik atv˙er
es br˙ežin
i mokinys mato rodiklin
e lygt
i ir jos algebrin
i sprendim 
a. Keis-
damas koeficientus air b,galisteb˙eti vis 
agrup

elygˇci 
uirj
u sprendini 
u, kada lygtis
neturi sprendini 
uirpan.
Spustel˙ej 
es mygtuk 
a„Grafin˙e interpretacija“, mato grafin
i lygties sprendimo b¯ud 
a,
kuris parodomas po vien 
a žingsn
i. Keisdamas rodiklin˙es lygties koeficientus air b,
stebi rodiklin˙es funkcijos f(x)=ax,kaia>0 ir ties˙es f(x)=bpad˙et
i, tiria, kada
grafikai turi sankirtos tašk 
a, kada jo neturi, kada lygtis 
igyja teigiam 
a sprendin
i, kada
neigiam 
airt.t.
Br˙ežinius gali mokinys tirti savarankiškai ir kartotiišmoktas temas. Juos mokytojas
gali naudoti ir d˙estydamas nauj 
atem
a, kaip teorij 
a vizualizuojanˇci 
apriemon
e Mokyto-
jas gali ir tikslingai formuluodama klausimus kartu su mokiniais tirti funkcijas, lygtis
ir kt. kompiuteri 
uklas˙eje. Mokiniai aktyviai dalyvauja tyrime, analizavime. Tolesnia-
me etape gali b¯uti ir k¯urybin˙es užduotys – su „Dinamine geometrija“ išspr
esti 
ivairius
uždavinius, net gi 
irodymo.
Išvada
Informacin˙es technologijos savo paskirtimi yra priemon˙es konstruktyviam mokymui
ir mokymuisi. Naudojant pamokose informacines technologijas mokytojas priver-
stas keisti poži¯ur
i
i tradicinius mokymo ir mokymosi metodus. Nor˙edamas pasiekti
geresni 
u mokini 
u mokymosi ir santyki 
u su mokiniais rezultat 
u mokytojas turi taikyti
inovatyvius metodus arba integruoti juo su tradiciniais.
Matematikos mokymui pagal konstruktyvizmo id˙ejas tinka kompiuterin˙es pro-
grama „Dinamin˙e geometrijas“ ir sukurt 
u dinamini 
ubr˙ežini 
u rinkiniai Matematika

Konstruktyv¯us matematikos mokymo metodai 239
su „Dinamine geometrijas“ 9, 10 klas˙ems bei 11–12 klasi 
u kartojimui. Naudodamas
šias priemones mokinys yra aktyvus, o mokytojas tampa patar˙eju, konsultantu. Be to,
mokinys dinamini 
ubr˙ežini 
u rinkinius gali naudoti nepriklausomai nuo mokytojo IT
kompetencijos, nes jie turi naudotojo pagalbas, patarimus, teorinius intarpus. Tokiu
atveju mokytojui belieka mokiniui patarti matematiniais klausimais (k 
a jis ir taip daro
tradicin˙ese matematikos pamokose).
Literat¯ura
1. V. Dagien˙e, E. Jasutien˙e, Matematikos mokymas panaudojant „Dinamin
e geometrij 
a“, in: Lietuvos
matematik 
u XIV konferencija (2004).
2. V. Dagien˙e, E. Jasutien˙e, Developing dynamic sketches for teaching mathematics in basic schools, in:
The 17th ICMI (InternationalCommission on MathematicalInstruction) Study:Technology Revised,
Hanoi University of Technology, Vietnam (2006), pp. 120–127.
3. V. Dagien˙e, E. Jasutien˙e, Informacin˙es technologijosmatematikaivizualizuoti ir tyrin˙eti, Informatikos
mokslai (2006) (
iteikta).
4. N.L. Gage, D.C. Berliner, Pedagogin˙e psichologija, Vilnius (1994).
5. K.E. Hay, S.A. Barab, Constructivism in practice: a comparison and contrast of apprenticeship and
constructionistlearningenvironments,The Journal of the LearningSciences,10(3), 281–322 (2001).
http://inkido.indiana.edu/research/onlinemanu/papers/hay_barab.pdf
(ži¯ur˙eta 2007-03-20).
6. P. Hubwieser, Didaktik der Informatik, Grundlagen, Konzepte, Beispiele, Springer (2000).
7. C. Laborde, Visual phenomena in the teaching/learning of geometry in computer-based environment,
in: Perspectiveson the Teaching of Geometry for the 21st Century. An ICMI Study: Kluwer Academi
Publishers, Netherlands (1998), pp. 113–121.
8. R. Neuburg, V. Harris, Kaip aš mokausi? in: Technologija, Kaunas (2003),pp. 17–21.
http://fips1.pabw.at/grundtvig/englisch/Learning_My_Way_li.pdf (ži¯ur˙eta
2007-03-25).
9. N. Miller, Visualization in cones and pool tables using Geometer‘s Sketchpad, in: Problems, and
Issues in Mathematics UndergraduateStudies. West Point, vol. 16 (2006), pp. 257.
10. S. Papert, Minˇci 
u audros:vaikai, kompiuteriaiir veiksmingos id˙ejos, Žara, Vilnius (1995).
11. A. Semenov, ir kt. Informacionyje i komunikacionyje technologi v obšˇcem abrazavani, UNESCO
(2006).
SUMMARY
E. Jasutien˙e. The constructive methods of teaching mathematics
The problem of teaching mathematics in Lithuanian schools envisaged in this article. The teachers often
use the teaching methods of behaviourism.The widely used teaching methods of constructivionismin the
world are appearing in Lithuanian schools too. There is talked how mathematics teachers can easier start
to use new progressive methodsby using IT in thisarticle. There isreviewinghow startto use constructive
mathematics teaching methods by using Geometer’s Sketchpad in this article. There was appeared some
problems for teachers by using Geometer’s Sketchpad in schools. So these problems help to find new
step of investigatingGeometer’s Sketchpad in teaching mathematics – to built the various sets of dynamic
sketches for teaching and learning mathematics in basic schools. More than 800 dynamic sketches have
been developedwithin 9th and 10th grades mathematics curriculum. Now is preparing set of sketchesfor
11th and 12th grades. Some constructive methods of teaching mathematic by using these sets of sketches
are discussed in this article.
The methods of comparative analyze and of synthesis of scientificworks are used in this article.
Keywords: Geometer‘s Sketchpad, mathematics, algebra, secondary school, constructive teaching and
learning methods.