Content uploaded by Rakhimzhon Zunnunov
Author content
All content in this area was uploaded by Rakhimzhon Zunnunov on Jun 13, 2023
Content may be subject to copyright.
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 35. №2. C. 17-26. ISSN 2079-6641
УДК 517.956 Научная статья
Нелокальная задача для обобщенного уравнения Трикоми со
спектральным параметром в неограниченной области
Р. Т. Зуннунов
Институт Математики АН РУз, 100174, г. Ташкент, ул. Университетская,
4б, Узбекистан
E-mail: zunnunov@mail.ru
В данной статье изучена нелокальная задача для обобщенного уравнения
Трикоми со спектральным параметром в неограниченной области эллиптическая
часть которой является верхней полуплоскостью. Единственность решения
поставленной задачи доказана методом интегралов энергии. Существование
решения поставленной задачи доказана методом функций Грина и интегральных
уравнений.
Ключевые слова: нелокальная задача, неограниченная область, обобщенное
уравнение Трикоми со спектральным параметром, метод интегралов энергии,
метод функий Грина, метод интегральных уравнений.
DOI: 10.26117/2079-6641-2021-35-2-17-26
Поступила в редакцию: 09.04.2021 В окончательном варианте: 09.06.2021
Для цитирования. Зуннунов Р.Т. Нелокальная задача для обобщенного уравнения Трикоми
со спектральным параметром в неограниченной области // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат.
науки. 2021. Т. 35. № 2. C. 17-26. DOI: 10.26117/2079-6641-2021-35-2-17-26
Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International
(https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)
©
Зуннунов Р. Т., 2021
Введение
Известно, что впервые краевые задачи для модельных уравнений смешанного
типа поставлены и изучены в работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта. Большой
интерес к уравнениям смешанного типа объясняется как теоретической значимостью
результатов, так и наличием их практических приложений в газовой динамике, в
теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек,
в магнитной гидродинамике, в математической биологии и других областях.
Например, газодинамические приложения краевых задач для уравнения Трикоми
содержатся в работах Ф. И. Франкля. Нелокальные задачи для модельных уравнений
смешанного типа исследовались А.М. Нахушевым и другими авторами, когда
условия на характеристиках содержат дробные производные Римана–Лиувилля
определенного порядка, зависящего от порядка вырождения уравнения.
Особенностью данной работы является наличие в краевых условиях не только
классического оператора Da
sx[f(x)] но и оператора A1,λ
sx [f(x)] с помощью которых
Финансирование. Исследование выполнялось без финансовой поддержки фондов.
17
ISSN 2079-6641 Зуннунов Р. Т.
нелокальные условия связывают значения искомого решения, принимаемые на
полной границе характеристического треугольника.
Постановка задачи
Рассмотрим уравнение
signy|y|muxx +uyy −λ2|y|mu=0(1)
в неограниченной смешанной области Ω=Ω1∪AB ∪Ω2, где Ω1={(x,y):y>0,
−∞<x<+∞}, а Ω2— область полуплоскости y<0ограниченная отрезком
AB ={(x,y):y=0,06x61}и характеристиками
AC :x−[2/(m+2)](−y)(m+2)/2=0,BC :x+ [2/(m+2)](−y)(m+2)/2=1
уравнения (1), выходящими из точек A(0,0)иB(1,0). Здесь предполагается
m,λ— заданные действительные числа, причем λ=λ1при y>0,λ=λ2при
y<0,m=const >0. Кроме того, Mj(j=1,4)— положительные постоянные, а ε—
достаточно малое положительное число, β=m/(2m+4),r0=px2+ [2/(m+2)]2ym+2
l1={(x,y):−∞<x<0,y=0},l2={(x,y): 1 <x<+∞,y=0}
θ0(x) = x
2,−hm+2
2,x
2i2
m+2,θ1(x) = 1+x
2,−hm+2
2,1−x
2i2
m+2.
Очевидно, что θ0(x)иθ1(x)есть точки пересечения характеристик уравнения (1),
выходящих из точки (x,0)∈AB, с характеристиками AC иBC соответственно.
Задача T N∞.Найти функцию u(x,y)со следующим и свойствами:
1) u(x,y)∈C(Ω∪l1∪l2∪AC ∪BC)∩C1(Ω)∩C2(Ω1∪Ω2)причем uy(x,y)непрерывна
вплоть до l1∪l2и в окрестности точек A(0,0)иB(1,0), функции ymux(x,y),uy(x,y),
могут иметь особенности порядка меньше чем 1−2β;
2) удовлетворяет уравнению (1) в областях Ω1иΩ2;
3) при достаточно больших r0удовлетворяет условиям
|u(x,y)|<M1
rε
0
,|ymux(x,y)|<M2
r0
,|uy(x,y)|<M3
r0
(2)
и краевым условиям
uy(x,0) = ϕi(x),∀x∈li,i=1,2(3)
a(x)A1,λ2
0x{D1−β
0x[u(θ0(x))]}+b(x)A1,λ2
1x{D1−β
x1[u(θ1(x))]}+(4)
+c(x)uy(x,0) + g(x)u(x,0) = d(x),∀x∈AB,
где ϕi(x),a(x),b(x),c(x),g(x),d(x)— заданные функции, причем a2(x) + b2(x) + c2(x) +
g2(x)6=0,a(x),b(x),c(x),g(x),d(x)∈C1(AB),ϕi(x)∈C(li)и при x−→ 0,x−→ 1могут
обращаться в бесконечность порядка меньше чем 1−2β, а для достаточно больших
|x|удовлетворяют неравенствам
|ϕj(x)| ≤ M4|x|−1−δ,δ>0,
18
Краевая задача для уравнения смешанного типа . . . ISSN 2079-6641
аDa
sx[f(x)] — оператор дробного в смысле Римана-Лиувилля интегро-
дифференцирования [1] и A1,λ
sx [f(x)] — оператор из [2].
Отметим, что условие (4) является нелокальным условием типа условия
А. М. Нахушева. При λ=0,c(x)≡0,g(x)≡0,∀x∈[0,1], из (4) следует условие,
предложенное А. М. Нахушевым в [3], а из задачи T N∞— задача, изученная
З. Г. Денисовой в работе [4]. При λ=0аналогичная задача исследована в [5].
Единственность решения задачи T N∞
.
Пусть u(x,y)есть решение задачи T N ∞.Введем обозначения
u(x,0) = τ(x),0≤x≤1;uy(x,0) = ν(x),0<x<1(5)
и предположим, что τ(x)∈C[0,1]∩C2(0,1),ν(x)∈C2(0,1), причем ν(x)может
обращаться в бесконечность порядка меньше 1−2βпри x→0иx→1. Тогда решение
u(x,y)в области Ω2, как решение задачи Коши представимо в виде [6]:
u(x,y) = γ1
1
Z
0
τ[x+σ(2t−1)]
[t(1−t)]1−βIβ−1h2λσpt(1−t)idt +
+γ2y
1
Z
0
ν[x+σ(2t−1)]
[t(1−t)]βI−βh2λσpt(1−t)idt ,(6)
где σ= [2/(m+2)] (−y)(m+2)/2,γ1=Γ(2β)/Γ2(β),γ2=Γ(2−2β)/Γ2(1−β),
¯
Iα(z)— функция Бесселя-Клиффорда а Γ(z)— гамма-функция Эйлера [1].
Пользуясь представлением решения (6), с учетом свойств и известных
соотношений для операторов дробного в смысле Римана-Лиувилля интегро-
дифференцирования [1], а также свойств операторов A1,λ
sx [f(x)] иC1,λ
sx [f(x)] из [2]
получим
A1,λ2
0xnD1−β
0x[u(θ0(x))]o=x−β
Γ(β)Γ(2β)C1,λ2
0x[τ(x)] −πγ3ν(x)
sin(2βπ ),(7)
A1,λ2
1xnD1−β
x1[u(θ1(x))]o=(1−x)−β
Γ(β)Γ(2β)C1,λ2
1x[τ(x)] −πγ3ν(x)
sin(2βπ ),(8)
где γ3= (2−4β)2βΓ(β)/[2Γ(1−β)Γ(2β)].
Подставляя (7) и (8) в условие (4), получим функциональное соотношение между
τ(x)иν(x)на AB из области Ω2:
q(x)ν(x) = γ4Γ(β)[x(1−x)]βg(x)τ(x)−γ4Γ(β)[x(1−x)]βd(x)+
+γ4Γ(2β)a(x)(1−x)βC1,λ2
0x[τ(x)] + γ4Γ(2β)b(x)xβC1,λ2
1x[τ(x)],0<x<1,(9)
где q(x) = (1−x)βa(x) + xβb(x)−γ4Γ(β) [x(1−x)]βc(x),γ4=sin 2β/πγ3.
19
ISSN 2079-6641 Зуннунов Р. Т.
Теорема. Пусть функции a(x),b(x),c(x),g(x)удовлетворяют условиям
a(x) = xβ+εa0(x),b(x) = (1−x)β+εb0(x),c(x) = [x(1−x)]εc0(x);(10)
a0(x),b0(x),c0(x)∈C1[0,1];
q0(x) = xεa0(x)+(1−x)εb0(x)−γ4Γ(β)[x(1−x)]εc0(x)6=0,0≤x≤1; (11)
g(x)≥0,[xεa0(x)/q0(x)]0≤0,(‘1 −x)εb0(x)/q0(x)0≥0,0≤x≤1.(12)
Тогда задача T N ∞не может иметь более одного решения.
Сначала докажем следующую лемму.
Лемма. Если u(x,y)— решение однородной задачи T N ∞и выполнены условия
теоремы, то справедливо неравенство
∆=
1
Z
0
τ(x)ν(x)dx ≥0.
Доказательство. Пусть u(x,y)— решение однородной задачи T N∞. Тогда,
согласно (9) справедливо равенство
q(x)ν(x) = γ4Γ(2β)a(x)(1−x)βC1,λ2
0x[τ(x)] + γ4Γ(2β)b(x)xβC1,λ2
1x[τ(x)]+
+γ4Γ(β)[x(1−x)]βg(x)τ(x),0<x<1.
Учитывая (10), отсюда имеем
q0(x)ν(x) = γ4Γ(2β)xεa0(x)C1,λ2
0x[τ(x)] + γ4Γ(2β)(1−x)εb0(x)C1,λ2
1x[τ(x)]+
+γ4Γ(β)g(x)τ(x),0<x<1.(13)
Принимая во внимание q0(x)6=0, из (13) находим функцию ν(x)и подставим в ∆:
∆=γ4Γ(2β)
1
Z
0
τ(x)na1(x)C1,λ2
0x[τ(x)] + b1(x)C1,λ2
1x[τ(x)]odx+
+γ4Γ(β)
1
Z
0
g1(x)τ2(x)dx (14)
где a1(x) = xεa0(x)/q0(x),b1(x) = (1−x)εb0(x)/q0(x),g1(x) = g(x)/q0(x).
Введя обозначения
ρ1(x) = γ4Γ(2β)C1,λ2
0x[τ(x)],ρ2(x) = γ4Γ(2β)C1,λ2
1x[τ(x)] (15)
20
Краевая задача для уравнения смешанного типа . . . ISSN 2079-6641
и обращая равенства (15) относительно τ(x)в классе функций, непрерывных на [0,1],
как и в [2], подставляя в (14), получим
∆=γ3
1
Z
0
a1(x)ρ1(x)dx
x
Z
0
(x−t)−2βρ1(t)¯
J−β[λ2(x−t)]dt +
+
1
Z
0
b1(x)ρ2(x)dx
1
Z
x
(t−x)−2βρ2(t)¯
J−β[λ2(t−x)]dt
+γ4Γ(β)
1
Z
0
g1(x)τ2(x)dx.
Отсюда, пользуясь формулами
|x−t|−2β=1
Γ(2β)cos(πβ )
∞
Z
0
z2β−1cos[z(x−t)]dz,
Jα(z) = (z/2)α
√πΓ(α+1/2)
1
Z
−1
(1−ξ2)α−(1/2)cos(ξz)dξ,Reα>−1/2
находим
∆=γ5
+∞
Z
0
z2β−1dz
1
Z
−1
(1−ξ2)−β−1/2dξ
1
Z
0
a1(x)∂
∂x
2
∑
k=1
x
Z
0
ρ1(t)cos(zkt)dt
2
+
+
x
Z
0
ρ1(t)sin(zkt)dt
2
dx −
1
Z
0
b1(x)∂
∂x
2
∑
k=1
1
Z
x
ρ2(t)cos(zkt)dt
2
+
+
1
Z
x
ρ2(t)cos(zkt)dt
2
dx
+γ4Γ(β)
1
Z
0
g1(x)τ2(x)dx,
где zk=z−(−1)kλ2ξ,γ5=h(2−4β)2βΓ(β)i/8√πΓ(β−1/2)Γ2(2β)cos(πβ ).
Интегрируя по частям интегралы по x, имеем
∆=γ5
+∞
Z
0
z2β−1dz
1
Z
−1
(1−ξ2)−β−1/2dξ×
×
2
∑
k=1
1
Z
0
ρ1(t)cos(zkt)dt
2
+
1
Z
0
ρ1(t)sin(zkt)dt
2
−
−
1
Z
0
a0
1(x)
2
∑
k=1
x
Z
0
ρ1(t)cos(zkt)dt
2
+
x
Z
0
ρ1(t)sin(zkt)dt
2
dx+
21
ISSN 2079-6641 Зуннунов Р. Т.
+
2
∑
k=1
1
Z
0
ρ2(t)cos(zkt)dt
2
+
1
Z
0
ρ2(t)sin(zkt)dt
2
+
+
1
Z
0
b0
1(x)
2
∑
k=1
1
Z
x
ρ2(t)cos(zkt)dt
2
+
1
Z
x
ρ2(t)sin(zkt)dt
2
dx
+
+γ4Γ(β)
1
Z
0
g1(x)τ2(x)dx
Отсюда, в силу условий (11),(12) и γ5>0,γ4Γ(β)>0следует, что ∆≥0. Лемма
доказана.
Доказательство теоремы. Пусть u(x,y)— решение однородной задачи T N∞.
Тогда в области Ω1справедливо тождество
(ymuux)x+ (uuy)y−ym(ux)2−(uy)2−ymλ2
1u2=0(16)
а на AB имеет место равенство (13). Тогда единственность решения задачи T N∞будет
сразу следовать из соотношений
ZZ
Ω1hym(ux)2+ (uy)2+λ2
1ymu2idx d y +
1
Z
0
τ(x)ν(x)dx =0,∆≥0.(17)
В силу утверждения леммы и u(x,y)∈C(Ω1∪l), из (17) при λ16=0сразу следует,
что u(x,y)≡0вΩ1∪l. Если λ1=0, то из (17) с учетом u(x,y)∈C(Ω1∪l)получим
u(x,y)≡const вΩ1∪l. Учитывая первое из условий (2), и uy(x,0) = 0(∀x∈li,i=1,2)
в этом случае тоже имеем u(x,y)≡0вΩ1∪l. Отсюда следует, что u(x,0) = 0и
uy(x,0) = 0на AB. Принимая во внимание это и (5), согласно формуле (6), получим
u(x,y)≡0в¯
Ω2. Следовательно, u(x,y)≡0,(x,y)∈Ω∪l1∪l2∪AC ∪BC. Тем самым
теорема доказана.
Существование решения задачи T N∞
Переходим к доказательству существования решения задачи T N ∞. Пусть
выполнены условия теоремы, а u(x,y)— решение задачи T N∞. Тогда решение задачи
T N∞в области Ω1, как решение задачи Неймана полученное методом функций Грина,
представимо в виде
u(x,y) = −k1
+∞
Z
−∞
ν0(t)r−2β¯
Kβ(|λ1|r)dt (18)
где k1= [4/(m+2)]2βΓ2(β)/[4πΓ(2β)],r2= (x−t)2+ [2/(m+2)]2ym+2,¯
Kβ(z) =
21−βzβKβ(z)/Γ(β)— функция Бесселя-Клиффорда,
ν0(x) =
ϕ1(x),−∞<x<0;
ν(x),0<x<1;
ϕ2(x),1<x<+∞.
22
Краевая задача для уравнения смешанного типа . . . ISSN 2079-6641
Полагая в (18) y=0, получим функциональное соотношение между τ(x)иν(x)
на AB, принесенное из области Ω1:
τ(x) = −k1
1
Z
0
ν(t)|x−t|−2β¯
Kβ[|λ1|(x−t)]dt +f(x),(19)
где f(x) = f1(x) + f2(x),
f1(x) = −k1
0
Z
−∞
ϕ1(t)|x−t|−2β¯
Kβ[|λ1||x−t|]dt,
f2(x) = −k1
+∞
Z
1
ϕ2(t)|x−t|−2β¯
Kβ[|λ1||x−t|]dt.
С другой стороны на AB справедливо равенство (9). Пользуясь разложением
оператора C1,λ2
sx [2] и условиями (10), равенство (9) можно переписать в виде
q0(x)ν(x) = γ4Γ(β)g(x)τ(x)−γ4Γ(β)d(x) + γ4Γ(2β)xεa0(x)D1−2β
0x[τ(x)]+
+γ4Γ(2β)(1−x)εb0(x)D1−2β
x1[τ(x)] +
1
Z
0
Q(x,t)τ(t)dt,(20)
где
Q(x,t) =
Q1(x,t) = γ4xεa0(x)nd
dx h¯
Jβ[λ2(x−t)]−1
(x−t)1−2βi+
+λ2
2(x−t)2β
4β(1+β)¯
Jβ+1[λ2(x−t)],x≥t;
Q2(x,t) = γ4(1−x)εb0(x)n−d
dx h¯
Jβ[λ2(t−x)]−1
(t−x)1−2βi+
+λ2
2(t−x)2β
4β(1+β)¯
Jβ+1[λ2(t−x)],x≤t.
Таким образом, задача T N∞(в смысле разрешимости и в классе искомых
решений) эквивалентна системе уравнений (19) и (20). Если из этой системы
однозначно найдем функции τ(x)иν(x)с требуемыми свойствами, тогда решение
задачи T N ∞в областях Ω1иΩ2определяется формулами (6) и (18) соответственно.
Поэтому теперь займемся нахождением функции τ(x)иν(x)из системы (19) и (20).
Пусть выполнены условия теоремы и дополнительно будем предпологать что
a0(1)∗b0(0)6=0,a0(x),b0(x),c0(x)∈C2[0,1],d(x)∈C[0,1]∪C2(0,1),f(0) = f(1) = 0.
Исключая функцию τ(x)из равенств (19) и (20), имеем
A(x)ν(x) + B(x)
π
1
Z
0
ν(t)
t−xdt +
1
Z
0
P(x,t)ν(t)dt =F(x),0<x<1,(21)
где
A(x) = q0(x) + xεa0(x)+(1−x)εb0(x)sin(πβ)
23
ISSN 2079-6641 Зуннунов Р. Т.
B(x) = xεa0(x)−(1−x)εb0(x)cos(πβ )
P(x,t) = P
0(x,t) + P
1(x,t) + P
2(x,t),
P
0(x,t) = k1
1
Z
0
[Q(x,z) + γ4Γ(β)g(z)]|z−t|−2β¯
Kβ[|λ1||z−t|]dz
P
1(x,t) = 1
πxεa0(x)cos(πβ )[G1(x,t)−G1(x,x)] (t−x)−1,
P
2(x,t) = 1
π(1−x)εb0(x)cos(πβ )[G2(x,t)−G2(x,x)] (t−x)−1.
G1(x,t) = t
x1−2β¯
Kβ(|λ1|t) + 21−2β|λ1|Γ(1−β)
Γ(β)
x
Z
0
¯
K1−β[|λ1| |t−z|]
(x−z)1−2βdz
G2(x,t) = −1−t
1−x1−2β
¯
Kβ[|λ1|(1−t)]−
−1
Γ(β)21−2β|λ1|2βΓ(1−β)
1
Z
x
¯
K1−β[|λ1|(z−t)]
(z−x)1−2βdz
F(x) = γ4Γ(β)g(x)−γ4Γ(β)d(x) + γ4Γ(2β)xεa0(x)D1−2β
0x[f(x)]+
+γ4Γ(2β)(1−x)εb0(x)D1−2β
x1[f(x)] +
1
Z
0
Q(x,t)f(t)dt
Используя условия, наложенные на заданные функции, нетрудно убедиться, что
F(x)∈C2(0,1)и может иметь особенность порядка меньше 1−2βпри x→0иx→1,
а ядро P(x,t)имеет слабую особенность.
Переходя к вопросу о разрешимости сингулярного интегрального уравнения (21),
прежде всего, заметим, что оно является уравнением нормального типа [7], так как
A2(x) + B2(x)6=0,∀x∈[0,1]. Следовательно, существует регуляризатор приводящий
уравнение (21) к уравнению Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость
которого, в силу эквивалентности, следует из единственности решения задачи T N∞.
По найденной функции ν(x)из искомого класса функций можно определить τ(x)из
(19), тогда решение задачи T N ∞в областях Ω1иΩ2определяется формулами (6) и
(18) соответственно.
Список литературы/References
[1] Самко С.Г., Килбас А. А., Маричев О. И., Интегралы и производные дробного порядка
и некоторые их приложения, Наука и техника, Минск, 1987, 688 с. [Samko S.G.,
Kilbas A. A., Marichev O. I., Integraly i proizvodnyye drobnogo poryadka i nekotoryye
ikh prilozheniya, Nauka i tekhnika, Minsk, 1987, 688 pp.]
[2] Салахитдинов М.С., Уринов А. К., Краевые задачи для уравнения смешанного типа
со спектральным параметром, Наука, Ташкент, 1997, 165 с. [Salakhitdinov M. S.,
Urinov A. K., Krayevyye zadachi dlya uravneniya smeshannogo tipa so spektral’nym
parametrom, Nauka, Tashkent, 1997, 165 pp.]
24
Краевая задача для уравнения смешанного типа . . . ISSN 2079-6641
[3] Нахушев А. М., “О некоторых задачах для гиперболических уравнений и уравнений
смешанного типа”, Дифференциальные уравнения,5:1 (1969), 44-59. [Nakhushev A. M.,
“O nekotorykh zadachakh dlya giperbolicheskikh uravneniy i uravneniy smeshannogo tipa”,
Differentsial’nyye uravneniya,5:1 (1969), 44-59].
[4] Денисова З.Г., “Об одной краевой задаче со смещением для уравнения в
неограниченной области”, Дифференциальные уравнения,14:1 (1978), 170-173.
[Denisova Z. G., “Ob odnoy krayevoy zadache so smeshcheniyem dlya uravneniya v
neogranichennoy oblasti”, Differentsial’nyye uravneniya,14:1 (1978), 170-173].
[5] Репин О. А, Кумыкова С. К., “Об одной краевой задаче со смещением для уравнения
смешанного типа в неограниченной области”, Дифференциальные уравнения,48:8
(2012), 1140-1149. [Repin O.A, Kumykova S. K., “Ob odnoy krayevoy zadache so
smeshcheniyem dlya uravneniya smeshannogo tipa v neogranichennoy oblasti”, Differ-
entsial’nyye uravneniya,48:8 (2012), 1140-1149].
[6] Бакиевич Н. И., “Сингулярные задачи Трикоми для уравнения ymuxx +uyy −λ2ymu=0”,
Известия высших учебных заведений, 1964, № 2(39), 7-13. [Bakiyevich N. I., “Singul-
yarnyye zadachi Trikomi dlya uravneniya ymuxx +uyy −λ2ymu=0”, Izvestiya vysshikh ucheb-
nykh zavedeniy, 1964, №2(39), 7-13].
[7] Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, ГИФМЛ, М., 1962,
600 с. [Muskhelishvili N. I., Singulyarnyye integral’nyye uravneniya, GIFML, M., 1962,
600 pp.]
25
Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki. 2021. vol. 35. no. 2. P. 17–26. ISSN 2079-6641
MSC 35M10, 35M12 Research Article
A nonlocal problem for a generalized Trikomi equation with a
spectral parameter in the unbounded domain
R. Т. Zunnunov
Institute of Mathematics Uzbekistan Academy of Sciences, 100174, Tashkent,
University st., 4b, Uzbekistan
E-mail: zunnunov@mail.ru
In this article, we study a nonlocal problem for the generalized Tricomi equation with
a spectral parameter in an unbounded domain, the elliptic part of which is the upper
half-plane. The uniqueness of the solution to the problem posed is proved by the method
of energy integrals. The existence of a solution to the problem is proved by the method
of Green’s functions and integral equations.
Key words: non-local problem, unbounded domain, generalized Tricomi equation
with spectral parameter, energy integrals method, Green’s function method, integral
equations method.
DOI: 10.26117/2079-6641-2021-35-2-17-26
Original article submitted: 09.04.2021 Revision submitted: 09.06.2021
For citation. Zunnunov R. Т. A nonlocal problem for a generalized Trikomi equation with a
spectral parameter in the unbounded domain. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2021, 35:
2, 17-26. DOI: 10.26117/2079-6641-2021-35-2-17-26
Competing interests. The author declares that there are no conflicts of interest regarding
authorship and publication.
Contribution and Responsibility. The author contributed to this article. The author is
solely responsible for providing the final version of the article in print. The final version of the
manuscript was approved by the author.
The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International
License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)
©
Zunnunov R. Т., 2021
Funding. The study was carried out without financial support from foundations.
26