Available via license: CC BY 4.0
Content may be subject to copyright.
Математические модели
распространения COVID-19
О. И. Криворотько С. И. Кабанихин
НГУ ИМ СО РАН
Новосибирск, Россия Новосибирск, Россия
krivorotko.olya@mail.ru ksi52@mail.ru
Новосибирск, 2021
arXiv:2112.05315v1 [q-bio.PE] 10 Dec 2021
2
Аннотация
В работе приведена классификация и анализ математических моделей распростра-
нения COVID-19 в различных группах населения: семья, школа, офисы (3-100 чело-
век), регионы (100-5000 человек), города, области (0.5-15 миллионов человек), стра-
ны, континенты и Земной шар. Рассмотрены основные группы моделей (основанные
на анализе временных рядов, дифференциальные, имитационные, а также их комби-
нации). В основе первой группы лежит анализ временных рядов на основе методов
фильтрации, регрессионных и сетевых моделей (Раздел 2). Вторая группа основана на
уравнениях (Раздел 3): системы обыкновенных дифференциальных уравнений, стоха-
стические дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных. Третья
группа (Раздел 4) – имитационные модели, включая клеточные автоматы и агентно-
ориентированные модели. Четвертая группа моделей (Раздел 5) основана на комбина-
ции нелинейных марковских цепей, оптимального управлении, объединенных в рамках
теории игр среднего поля. В силу новизны и сложности заболевания COVID-19 пара-
метры большинства моделей, как правило, неизвестны, и это приводит к необходимости
рассматривать и решать обратные задачи. В работе приведен анализ основных алго-
ритмов решения обратных задач эпидемиологии: стохастическая оптимизация, при-
родоподобные алгоритмы (генетический, дифференциальной эволюции, роя частиц и
т.п.), методы усвоения, анализа больших данных и машинного обучения.
СОДЕРЖАНИЕ 3
Содержание
Список сокращений 5
1 Введение 5
2 Модели, основанные на анализе временных рядов 7
2.1 Введение ..................................... 7
2.2 Регрессионныемодели ............................. 7
2.2.1 Авторегрессионная модель прогнозирования временного ряда . . 9
2.3 Модели на основе машинного обучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Модели на основе фильтрации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Выводы...................................... 11
3 Модели, основанные на дифференциальных уравнениях 12
3.1 Введение ..................................... 12
3.2 SIR-модели.................................... 12
3.3 Модели «реакции-диффузии» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 Стохастические модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 Индекс репродукции вируса ℛ0для дифференциальных моделей . . . . 17
3.5.1 Алгоритм вычисления индекса репродукции . . . . . . . . . . . . 18
3.5.2 Индекс репродукции вируса для модели SEIR-HCD . . . . . . . . 18
3.6 Выводы...................................... 19
4 Агентно-ориентированные модели и клеточные автоматы 20
4.1 Введение ..................................... 20
4.2 Клеточныеавтоматы .............................. 20
4.3 Агентно-ориентированные модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3.1 АОМ распространения COVID-19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.4 Индекс репродукции вируса ℛ0дляАОМ.................. 25
4.5 Выводы...................................... 25
5 Комбинированные модели 27
5.1 Введение ..................................... 27
5.2 Уравнение Колмогорова-Фоккера-Планка . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.3 Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.4 Модель игры среднего поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.4.1 Уравнение КФП для SIR-модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.4.2 Уравнение ГЯБ для SIR-модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.5 Выводы...................................... 33
6 Алгоритмы численного решения 34
6.1 Прямыезадачи.................................. 34
6.2 Обратныезадачи ................................ 34
6.2.1 Алгоритм решения обратной задачи для SEIR-HCD . . . . . . . . 36
6.2.2 Алгоритм решения обратной задачи для АОМ . . . . . . . . . . . 37
7 Заключение 39
7.1 Анализ расчета сценариев распространения COVID-19 . . . . . . . . . . 39
7.2 Анализ влияния социальной дистанции на распространение эпидемии . 41
7.3 Выводы...................................... 44
7.4 Направления дальнейшей работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1 Введение 5
1 Введение
Рассматриваются математические модели, которые используются для анализа и
прогнозирования развития пандемии COVID-19 и основаны на трех подходах: анализ
временных рядов, уравнения математической физики и имитационные модели, вклю-
чая различные их комбинации и обобщения. В силу новизны и сложности заболевания
COVID-19 параметры большинства математических моделей, как правило, неизвестны,
и это приводит к необходимости рассматривать обратные задачи. Основные проблемы
моделирования распространения COVID-19:
1. Данные для решения обратной задачи являются неполными и зашумленными, а
также представляют собой большие данные (ежедневные сводки о заболевших,
заразившихся, вакцинированных и т.д.).
2. Параметры меняются со временем: контагиозность 𝛼(𝑡), вероятность появления
тяжелых случаев 1−𝛽(𝑡), смертность 𝜇(𝑡), процент бессимптомных случаев 𝛼𝐸(𝑡)
и т.д.
3. Процесс распространения COVID-19 существенно изменяется при введении или
отмене ограничительных мер (ношение масок, социальная дистанция, перевод на
удаленный рабочий режим, закрытие школ, предприятий, районов и городов),
появление каждого нового штамма (альфа, бета, гамма, дельта, . . . ).
С учетом 1.-3. решение обратных задач требует новых подходов и методов, включая
байесовский, стохастическую оптимизацию, природоподобные алгоритмы (генетиче-
ский, имитации отжига, глубокие нейронные сети) и другие методы машинного обу-
чения и искусственного интеллекта. В работе будет приведен краткий обзор и анализ
работ по указанных новым подходам.
В качестве иллюстрации в работе приведены результаты по двум моделям: SEIR-
HCD – камерная модель, основанная на системе из 7 обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений (Раздел 3.5.2), и агентная (Раздел 4.3.1). В разделе 2изложены ме-
тоды анализа временных рядов, которые составляют основу статистических данных в
эпидемиологии, а именно: статистические методы (подраздел 2.2), методы на основе
машинного обучения (подраздел 2.3) и на базе фильтрации (подраздел 2.4). В разде-
ле 3приведен обзор математических моделей моделирования вспышки COVID-19, в
основе которых лежат системы обыкновенных дифференциальных уравнений (подраз-
дел 3.2) и уравнений в частных производных (подраздел 3.3). Ключевой характери-
стикой описания распространения эпидемии является индекс репродукции вируса ℛ0,
показывающий количество возможных инфицированных в результате контакта одного
инфицированного с восприимчивой популяцией. Алгоритм вывода ℛ0в общем случае,
а также для SEIR-HCD модели, представлен в разделе 3.5. В разделе 4приведено опи-
сание имитационных моделей, а именно: в Разделе 4.2 описаны математические модели,
основанные на теории клеточных автоматов, в Разделе 4.3 – агентно-ориентированные
модели (АОМ). Подробное построение агентной модели для описания распространения
COVID-19 приведено в подразделе 4.3.1. Раздел 5посвящен моделям игр среднего поля
(ИСП) с управляющим уравнением первого порядка. В разделе 5.2 описано уравнение
Колмогорова-Фоккера-Планка (КФП), определяющее распределение агентов в моде-
лях эпидемиологии, а в разделе 5.3 – уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана (ГЯБ),
отвечающее за оптимальное управление. В разделе 6приведены численные алгорит-
мы решения прямых (подраздел 6.1) и обратных (подраздел 6.2) задач эпидемиологии.
Результаты численных расчетов проанализированы в разделе 7.1. Также в подразде-
ле 7.3 сформулированы выводы и в 7.4 – направления дальнейших исследований. В
приложении Aизложено описание используемых эпидемиологических данных распро-
2 Модели, основанные на анализе временных рядов 7
2 Модели, основанные на анализе временных ря-
дов
В разделе будут рассмотрены регрессионные и сетевые модели, методы фильтрации
и их взаимосвязи [М.А. Кондратьев, 2013], на основе анализа наиболее достоверных ста-
тистических данных – количество ежедневных ПЦР-тестов 𝑇(𝑡)и индекс самоизоляции
𝑎(𝑡). Время 𝑡во всех моделях измеряется в днях.
2.1 Введение
Особенностью функций 𝑇(𝑡)и𝑎(𝑡)является повторяемость подъемов и спадов по
времени с изменяющейся амплитудой. Например, 𝑇(𝑡)возрастает по вторникам и осла-
бевает к понедельнику, а 𝑎(𝑡)ослабевает в период выходных, праздников и отпусков.
Методы математической статистики и машинного обучения помогают обрабаты-
вать, анализировать эпидемиологические данные и проводить краткосрочное прогно-
зирование поведения 𝑇(𝑡)и𝑎(𝑡)при отсутствии резких изменений ситуации (введение
ограничительных мер, мутации вируса) [В.В. Захаров, Ю.Е. Балыкина, 2021]. В раз-
деле будут приведены регрессионные, сетевые модели, а также методы фильтрации и
их взаимосвязи, диаграмма которых приведена на рис. 2.1.
Отметим, что в данном разделе мы рассматриваем модели, которые используют
только значения наблюдаемых показателей 𝑇(𝑡)и𝑎(𝑡).
2.2 Регрессионные модели
Регрессионные модели подразделяются на неадаптивные модели, для оценки пара-
метров которых используются все имеющиеся данные, и адаптивные, значения пара-
метров которых рассчитываются на основе скользящего окна наблюдений [H.S. Burkom
et al., 2007].
Вид регрессионной зависимости для неадаптивной модели выбирается исходя из
свойств анализируемого временного ряда. В отдельных случаях можно применять по-
линомиальные или степенные функции, но чаще модель должна учитывать сезонный
характер заболеваемости (например, модель Серфлинга [R.E. Serfling, 1963]). Неадап-
тивные регрессионные модели учитывают всю предысторию заболеваемости, но игно-
рируют локальные колебания эпидемических показателей, поэтому появление нового
штамма вируса и введение ограничительных мер в регионе снижают значимость дан-
ных предыдущего периода (устаревшие данные).
Адаптивные регрессионные модели используют ограниченный отрезок временного
ряда и поэтому более чувствительны к изменению ситуации. Важную роль при исполь-
зовании адаптивных моделей играет ширина скользящего окна (в пределах нескольких
месяцев) – число последних наблюдений, на основе которых оценивают параметры мо-
дели.
В регрессионных моделях предполагается, что невязка модели (ошибка предсказа-
ния) – независимая случайная величина, имеющая нормальный закон распределения
с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией [М.А. Кондратьев,
2013]. Одной из проблем прогнозирования является наличие существенной автокор-
реляции невязок. Регрессионная модель может быть дополнена, а прогноз – уточнен,
например, с помощью авторегрессионных моделей.
2.2 Регрессионные модели 8
Модели прогнозирования временных рядов
Регрессионные
модели Модели машинного
обучения
Адаптивные
((S)ARIMA, ARMA, GARMA)
Байесовские сети
(скрытые марковские
модели)
Искусственные
нейронные сети
Неадаптивные
(модель Серфлинга, полиномы,
степенные функции)
Модели
фильтрации
Вейвлет-декомпозиция
Экспоненциальное
сглаживание
(модель Хольта-Винтерса)
Кальмановская
фильтрация
Рис. 2.1: Диаграмма моделей прогнозирования временных рядов.
2.3 Модели на основе машинного обучения 9
2.2.1 Авторегрессионная модель прогнозирования временного ряда
Для построения прогнозов сезонных рядов, например, количества проведенных
ПЦР-тестов в регионе, использовалась авторегрессионная модель SARIMA являющей-
ся модификацией модели ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average) [Д. Бокс,
Г. Дженкинс, 1974], которая описывает одномерные временные ряды с сезонной ком-
понентой [P.P. Dabral, M.Z. Murry, 2017]. ARIMA является расширением моделей тип
ARMA для нестационарных временных рядов, которые можно сделать стационарными
взятием разностей некоторого порядка от исходного временного ряда (так называемые
интегрированные или разностно-стационарные временные ряды).
Модель ARIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞)для нестационарного временного ряда 𝑇(𝑛)имеет вид:
△𝑑𝑇(𝑛) = 𝑐+
𝑝
𝑖=1
𝑎𝑖△𝑑𝑇(𝑛−𝑖) +
𝑝
𝑗=1
𝑏𝑗𝜖(𝑛−𝑗) + 𝜖(𝑛).
Здесь 𝜖(𝑛)– стационарный временной ряд белого шума, 𝑐, 𝑎𝑖, 𝑏𝑗– параметры модели, △𝑑
– оператор разности временного ряда порядка 𝑑, гарантирующий стационарность ряда
(последовательное взятие 𝑑раз разностей первого порядка — сначала от временного
ряда, затем от полученных разностей первого порядка, затем от второго порядка и т.д.).
Обычно, при построении модели ARIMA порядок разностей ограничивается числом
𝑑= 2.
Алгоритм прогнозирования временного ряда следующий:
1. Применяем преобразование Бокса-Кокса [G.E.P. Box, D.R. Cox, 1964] для умень-
шения дисперсии.
2. Вычисляем сезонную разность (сдвиг на 7 дней) первого порядка.
3. Вычисляем вторую разность (сдвиг на 1 день) ряда, полученного в пункте (ii).
4. Проверяем стационарность ряда из (iii) критерием Дики-Фуллера.
5. Передаем соответствующие проделанным действиям параметры в модель
ARIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞)и подбираем остальные на основе минимизации информационного
критерия Акаике. В качестве данных передается ряд из (i).
6. Полученная модель с настроенными гиперпараметрами используется для даль-
нейшего прогнозирования. Полученный результат подвергается обратному преоб-
разованию Бокса-Кокса.
Был построен прогноз временного ряда количества ежедневных ПЦР-тестов в
Новосибирской области с 18.01.2021 по 17.02.2021 на основе исторических наблюде-
ний с 05.05.2020 по 17.01.2021 с помощью моделей SARIMA, Хольта-Винтерса [T.
Williams, 1987] (подробнее см. Раздел 2.4) и машинного обучения линейной регрессии
(см. Рис. 6.1). SARIMA показала на предсказаниях разных промежутков в среднем
не лучшие, но наиболее устойчивые результаты (усредненная абсолютная ошибка для
модели SARIMA равна 1454.73, для модели Хольта-Винтерса – 1646.49, для модели
линейной регрессии – 1586.34).
2.3 Модели на основе машинного обучения
Машинное обучение является мощным инструментом для поиска взаимосвязи меж-
ду входными и выходными данными в случаях, когда аналитическое исследование за-
труднительно. Применение эвристических подходов для раннего обнаружения эпиде-
миологических рисков в некоторых случаях позволяет улучшить качество прогнозиро-
вания.
2.3 Модели на основе машинного обучения 10
Рис. 2.2: Результаты предсказания временного ряда ежедневно проводимых ПЦР-тестов
𝑇(𝑡)в Новосибирской области (сплошная синяя линия) на месяц вперед с 18.01.2021
(вертикальная оранжевая линия) моделями Хольта-Винтерса (черная пунктирная линия),
линейной регрессии (синяя пунктирная линия) и SARIMA (зеленая пунктирная линия).
Одним из представителей моделей машинного обучения являются динамические
байесовские сети – направленный граф, вершины которого соответствуют переменным
модели, а ребра – вероятностным зависимостям между ними, которые заданы опре-
деленными законами распределения [P. Sebastiani et al., 2006]. После обучения как
на большом, так и на малом количестве исходных данных байесовские сети позволя-
ют оценить вероятность наступления некоторого события при наблюдаемой последова-
тельности явлений. Для прогнозирования заболеваемости используется простая форма
скрытых марковских моделей, основной идеей которых является сопоставление каждой
случайной величины 𝑌𝑡(например, количество выявленных, госпитализированных слу-
чаев с COVID-19) с ненаблюдаемой случайной величиной 𝑆𝑡(например, общее количе-
ство инфицированных индивидуумов), определяющей условное распределение 𝑌𝑡[Y.Le
Strat, F. Carrat, 1999]. Таким образом, величина 𝑌𝑡зависит только от значения скры-
той переменной 𝑆𝑡в момент времени 𝑡, а последовательность 𝑆𝑡обладает марковским
свойством, то есть величина 𝑆𝑡зависит только от 𝑆𝑡−1(рис. 2.3а).
а) б)
Рис. 2.3: Схема зависимостей в скрытой марковской модели (а) и ИНС с одним скрытым
слоем (б).
Искусственные нейронные сети (ИНС) представляют собой направленный взвешен-
ный граф, вершины которого моделируют функционирование биологических нейронов
2.4 Модели на основе фильтрации 11
(рис. 2.3б). Обучение ИНС заключается в вычислении коэффициентов связей между
вершинами, определяющих силу входящих сигналов, и выполняется на основе эмпи-
рических данных: статистики заболеваемости и при наличии, значений факторов, ее
предопределяющих. Для корректного обучения ИНС необходим большой объем исто-
рических данных. В исследовании [M. Wieczorek et al., 2020] рассматриваются возмож-
ности применения нейронных сетей для прогнозирования распространения COVID-19.
Результаты работы сети разработанной архитектуры для некоторых регионов достига-
ли 87%.
2.4 Модели на основе фильтрации
Любые временные ряды заболеваемости можно рассматривать как случайный про-
цесс, состоящий из сигнала, отражающего реальную эпидемическую обстановку, и вы-
сокочастотного шума. Фильтрация шума позволяет уточнить прогноз и может выпол-
няться как в ходе предварительной обработки исходных данных, так и в составе самого
алгоритма прогнозирования.
Одним из подходов является вейвлет-декомпозиция, в которой временной ряд пред-
ставляется с помощью вейвлет-функций [G. Shmueli, S.E. Fienberg, 2006]. Однако, такой
подход используется совместно с другими моделями.
Одной из таких моделей является экспоненциальное сглаживание, представляющее
собой частный случай взвешенного скользящего среднего, а именно значение заболева-
емости 𝑦𝑡в момент времени 𝑡описывается взвешенной суммой последних наблюдений:
𝑙𝑡=𝑏𝑦𝑡+(1−𝑏)𝑦𝑡−1. Здесь 𝑏∈(0,1) – коэффициент сглаживания, который обеспечивает
уменьшение веса по мере старения данных, которое может рассматриваться как отра-
жение естественного процесса обучения. Такой метод построения модели не подходит
для рядов, в поведении которых присутствуют отчетливый тренд или сезонность. Для
этих целей используются обобщенные модели [E.S. Gardner, 1985], например, сезонная
модель Хольта-Винтерса [T. Williams, 1987]. Результаты прогнозирования ряда еже-
дневных ПЦР-тестов в Новосибирской области в рамках данной модели представлены
на рис. 6.1.
Любые эпидемические процессы можно описать следующей системой разностных
уравнений:
x𝑡=Ax𝑡−1+w𝑡,
y𝑡=Hx𝑡+Df𝑡+v𝑡,
где x𝑡– вектор переменных состояний системы в момент времени 𝑡,y𝑡– вектор на-
блюдений, f𝑡– вектор значений внешних факторов, w𝑡иv𝑡– белый шум. Матрицы
параметров A,H,Dопределяют модель эпидемического процесса и выбираются исхо-
дя из решаемой задачи – краткосрочного или долгосрочного прогнозирования.
Такая форма записи позволяет предложить обобщенные модели распространения
заболевания, в частности, модели на основе калмановской фильтрации [J.D. Hamilton,
1994].
2.5 Выводы
Результаты, полученные на основе временных рядов, использованы нами в диф-
ференциальных и агентных моделях. Прогнозирование ежедневных ПЦР-тестов и ин-
декса самоизоляции позволяют строить сценарии развития COVID-19 в регионе в за-
висимости от введения ограничительных мер, а именно количество ожидаемых выяв-
ленных, умерших, госпитализированных, критических случаев и индекса репродукции
вируса (численные расчеты приведены в Разделе 7.1).
3 Модели, основанные на дифференциальных уравнениях 12
3 Модели, основанные на дифференциальных
уравнениях
В данном разделе приведен обзор математических моделей, основанных на обыкно-
венных дифференциальных уравнениях (ОДУ), приведенных в Разделе 3.2, на уравне-
ниях в частных производных (УЧПР), описанных в Разделе 3.3, и на стохастических
дифференциальных уравнениях (СДУ), приведенных в Разделах 3.4 и5, а также опи-
сание ключевой характеристики распространения заболевания – индекс репродукции
вируса (п. 3.5). В качестве примера будет представлена SEIR-HCD модель, описанная
в п. 3.5.2.
3.1 Введение
Дифференциальные модели основаны на законе сохранения масс и особенностях
передачи инфекции. Диаграмма 3.1 иллюстрирует развитие моделей эпидемиологии
с 1760 по настоящее время. Для описания распространения новой коронавирусной
инфекции, вызванной вирусом штамма SARS-CoV-2 были использованы все основ-
ные достижения, отраженные в диаграмме 3.1. На рис. 3.2 приведена классифика-
ция существующих математических моделей динамики COVID-19 и их взаимосвязи.
Одна из простейших моделей вспышки COVID-19 описывается логистическим урав-
нением (3.2). Добавление состояний агентов (бессимптомные, госпитализированные,
критические, умершие случаи и т.д.) к логистическому уравнению приводит к ка-
мерным SIR-моделям (3.1) и (3.5). Учет пространственной неоднородности приводит
к диффузионно-логистическому уравнению (3.3). Дальнейшие преобразования камер-
ных моделей можно условно разделить на два направления: учет пространственной
структуры в непрерывной (модель реакции-диффузии) и дискретной (модель конеч-
ных автоматов) постановках. Добавление управления системами состояний формирует
новый класс моделей ИСП (5.5)-(5.6), а учет индивидуальных характеристик агентов –
к АОМ. Отметим, что усреднение в АОМ приводит к моделям среднего поля, а именно
нелинейным цепям Маркова, в которых вероятности перехода зависят от распределе-
ния состояний агентов (подробнее см. Раздел 5).
3.2 SIR-модели
Математическое моделирование в эпидемиологии началось с работы D. Bernoulli в
1760 году, в которой была продемонстрирована эффективность вакцинации населения
против ветряной оспы [D. Bernoulli, 1760]. Впоследствии появилась серия математи-
ческих моделей, основанные на законе баланса масс (см. обзорные статьи [N. Bacaer,
2011,F. Brauer, 2017] и приведенную в них литературу). Работы R. Ross в 1911 [R.
Ross, 1911], A.J. Lotka в 1920 [A.J. Lotka, 1920] и V. Volterra в 1926 [V. Volterra, 1926]
(модель «хищник-жертва»), привели к созданию камерной SIR-модели W.O. Kermack
и A.G. McKendrick [A.G. McKendrick, 1926,W.O. Kermack, A.G. McKendrick, 1927]
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑑𝑆
𝑑𝑡 =−𝛼𝑆𝐼
𝑁, 𝑡 > 0,
𝑑𝐼
𝑑𝑡 =𝛼𝑆𝐼
𝑁−𝛽𝐼 ,
𝑑𝑅
𝑑𝑡 =𝛽𝐼 ,
(3.1)
в которой популяция из 𝑁особей разделена на три группы (камеры): 𝑆– восприим-
чивые, 𝐼– инфицированные и 𝑅– вылеченные и умершие, связанные между собой
3.2 SIR-модели 13
2
1937 Модель «реакции-диффузии» и
стохастические модели
R.A. Fisher,
А.Н. Колмогоров, И.Г. Петровский, Н.С. Пискунов
1973 Теория игр в эволюционной биологии
M. Smith иG.R. Price
1988 Последовательные игры
B. Jovanovic иR.W. Rosenthal
2007 Теория игр среднего поля
J.-M. Lasry иP.-L. Lions
2015-2021 L. Laguzet, H. Tembine, S. Osher
Модель игры среднего поля
распространения свиного гриппа, ОРВИ,
СOVID-19 и др.
1760 Модель распространения ветряной оспы и анализ вакцинации
D. Bernoulli
1920-1926 Модель «хищник-жертва»
A.J. Lotka иV. Volterra
1926-1927 SIR-модель и индекс репродукции
W.O. Kermack иA.G. MacKendrick
1911 Моделирование распространения
малярии
R. Ross
SIS
SEIR
SIRS SIRC
SEIRD
…
1971-2021 Клеточные автоматы в
эпидемиологии
T.C. Shelling, M. Mitchell
2004 Агентно-ориентированные
модели
P. Patrolla et al.
SEIRQD
2020
А.И. Боровков
SEIR-HCD
2020 E. Unlu et al.;
С.И. Кабанихин, О.И. Криворотько и др.
1976 Логистическое уравнение
R. May
SIR
2021 Агентно-ориентированная
модель COVID-19
С.И. Кабанихин, О.И. Криворотько,
М.И. Сосновская и др.
SEIR-HCD
2021 С.И. Кабанихин, О.И. Криворотько,
Н.Ю. Зятьков и др.
2021 В.В. Шайдуров, В.С. Петракова
А.А. Шананин, Н.Ю. Трусов
С.И. Кабанихин, О.И. Криворотько, Н.Ю. Зятьков
Модель игры среднего
2007 Агентно-ориентированная
модель ОРВИ и туберкулеза
А.А. Романюха, К.К. Авилов
2020 Агентно-ориентированная
модель COVID-19
Г.Н. Рыкованов, С.Н. Лебедев и др.
Рис. 3.1: Диаграмма развития математических моделей эпидемиологии с 1760 года на основе камерных, имитационных
моделей и их комбинации. В синих рамках приведены результаты по применению ОДУ к описанию эпидемий, в желтых
рамках – УЧПР, в оранжевых – модели ИСП и в зеленых рамках – АОМ.
3.2 SIR-модели 14
Логистическое
уравнение
Клеточные
автоматы
Камерные модели
Диффузионно-
логистическое уравнение
Модели реакции-
диффузии
Агентно-
ориентированные
модели
Игры среднего поля
(mean-field games)
усреднение
Рис. 3.2: Взаимосвязь математических моделей распространения COVID-19 на основе
камерного подхода и имитационного моделирования.
вероятностными переходами 𝛼, 𝛽 ∈[0,1] (схема модели приведена на Рис. 3.3а). Одним
из важных результатов работы [W.O. Kermack, A.G. McKendrick, 1927] было введение
индекса репродукции (заразности)
ℛ0=𝛼
𝛽,
которая является важнейшей характеристикой заболевания и параметром распростра-
нения эпидемии (см. подробнее раздел 3.5).
Отметим, что частным случаем модели (3.1) при условии отсутствия иммуните-
та после перенесенного заболевания в рамках исследуемых временных промежутков
(например, сезонный грипп) является SI-модель, решение которой сводится к логисти-
ческому уравнению:
𝑑𝐼
𝑑𝑡 = (𝛼−𝛽)𝐼(𝑡) + 𝛼
𝑁𝐼2(𝑡).(3.2)
Важным свойством модели (3.1) является выполнение закона действующих масс
(закон сохранения), в рамках которого моделируемая популяция постоянна в течение
всего времени 𝑁=𝑆(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝑅(𝑡).
В работах Е.Н. Пелиновского и его коллег [E. Pelinovsky et al., 2020,P. Wang et al.,
2020,E.M. Koltsova, 2020] для моделирования распространения COVID-19 применяет-
ся обобщенное логистическое уравнение, описывающее рост численности заболевших.
Предположение о единственности пика вспышки 𝐼(𝑡)эпидемии ограничивает приме-
нение модели для описания длительного периода пандемии и учета ограничительных
мер.
Для учета инкубационного периода течения COVID-19 используется модификация
модели Кермака-Маккендрика SEIR-типа (схема SEIR-модели приведена на Рис. 3.3б),
которых на сегодняшний день разработано более 100 моделей (см. например, работы [Y.
Chen et al., 2020,M.V. Tamm, 2020,E. Unlu et al., 2020,O.I. Krivorotko et al., 2020,A.I.
Borovkov et al., 2020,H.M. Yang et al., 2021,I.N. Kiselev et al., 2021] и ссылки в них).
3.2 SIR-модели 15
а) SIR
б) SEIR в) SEIR-HCD
Рис. 3.3: Схемы камерных моделей (а) SIR, (б) SEIR и (в) SEIR-HCD.
3.3 Модели «реакции-диффузии» 16
В этих моделях популяция разделяется на группы (кроме 𝑆,𝐼,𝑅добавляются 𝐸–
бессимптомные носители, 𝐻– госпитализированные, 𝐶– критические случаи, требу-
ющие подключения аппарата искусственной вентиляции легких (ИВЛ), 𝐷– умершие
в результате COVID-19, 𝑄– помещенные на карантин и другие). Это позволяет уточ-
нить эпидемиологическую картину в регионе за счет варьирования более детального
набора коэффициентов в уравнениях. Недостатком SIR-моделей является отсутствие
гибкости – невозможность учета изменения параметров (новые мутации вируса и штам-
ма, ограничительные меры, вакцинация). При попытке ввести в SIR-модели указанные
изменения (например, сделать переменной скорость передачи инфекции 𝛼=𝛼(𝑡)) [S.
Margenov et al., 2021], мы сталкиваемся с неединственностью и неустойчивостью реше-
ния обратной задачи идентификации этого параметра 𝛼(𝑡).
Отметим, что SIR-модели используют также для прогнозирования результатов
управления развития пандемии [C.J. Silva et al., 2021], т.е. в правую часть уравнений до-
бавляют кусочно-постоянную функцию управления (ограничительные меры: ношение
масок, социальная дистанция, карантин). Однако и в этих случаях проблема уточнения
коэффициентов моделей SIR остается открытой и требует применения методов теории
обратных задач.
Дальнейшее развитие математических моделей можно разделить на две составля-
ющие: введение пространственной координаты в логистические уравнения и учет дис-
кретной пространственной неоднородности. В первом случае мы получаем новый класс
математических моделей «реакции-диффузии» (см. Раздел 3.3), а во втором – новый
подход, в котором системы дифференциальных уравнений соединяются в пространстве
графовой структурой (см. Раздел 4).
3.3 Модели «реакции-диффузии»
В 1937 году британский ученый R.A. Fisher [R.A. Fisher, 1937] и советские мате-
матики А.Н. Колмогоров, И.Г. Петровский и Н.С. Пискунов [A.N. Kolmogorov et al.,
1937] предложили и обосновали математическую модель, основанную на уравнении в
частных производных параболического типа, получившую впоследствии название мо-
дели «реакции-диффузии», которая была также применена при описании процессов в
биологии, экологии и других приложениях:
𝜕𝑢
𝜕𝑡 =𝑓(𝑢) + 𝑑𝜕2𝑢
𝜕𝑥2.(3.3)
Здесь 𝑢(𝑥, 𝑡)– вектор плотности распределения групп популяции в точке пространства
𝑥и времени 𝑡,𝑑– коэффициент диффузии, 𝑓(𝑢)– функция распространения заболе-
вания в популяции, удовлетворяющая закону сохранения масс и условиям
𝑓(0) = 𝑓(1) = 0, 𝑓(𝑢)>0,если 0< 𝑢 < 1,
𝑓′(0) >0и𝑓′(𝑢)< 𝑓′(0),если 0< 𝑢 61.
Авторы работы [A.N. Kolmogorov et al., 1937] строго доказали, что если начальное
условие удовлетворяет следующим ограничениям
06𝑢(𝑥, 0) 61, 𝑢(𝑥, 0) = 0 ∀𝑥<𝑥1и𝑢(𝑥, 0) = 1 ∀𝑥>𝑥2>𝑥1,
то динамика популяции описывается скоростью 𝑣*= 2𝑓′(0)𝑑.
Учет пространственной неоднородности позволяет более точно моделировать эпиде-
мию от очага распространения (крупного города в стране, столицы в регионе и пр.) при
известных начальных условиях. Так, в работах [A. Viguerie et al., 2020,V.V. Aristov et
3.4 Стохастические модели 17
al., 2021,G. B¨arwolff, 2021,Z. Lau et al., 2021] получены оценки распространения COVID-
19 в первые месяцы с начала эпидемии с учетом пассажиропотоков. Показано, что учет
неоднородности влияет на характер распространения COVID-19 в крупных регионах
и странах. В разделе 5будут рассмотрены стохастические дифференциальные уравне-
ния, учитывающие пространственную неоднородность и элементы управления (задачи
ИСП). Однако использование модели для описания второй и последующих волн эпиде-
мии требует добавления уравнений в (3.3), введения множественных известных источ-
ников распространения заболевания 𝑢(𝑥, 0) (обратная задача определения источника)
и вычислительных ресурсов.
3.4 Стохастические модели
Использование СДУ позволяет учитывать и анализировать случайные флуктуации
эпидемиологического процесса (процессы заражения, тестирования, выздоровления и
др.). Более подробное описание моделей, основанных на СДУ, а также управление
такими процессами приведено в Разделе 5.
Известно, что плотность потока частиц в размножающей среде при достаточно ши-
роких условиях асимптотически экспоненциальна по времени 𝑡с некоторым парамет-
ром 𝜆, т.е. с показателем 𝜆𝑡. В работах [G.Z. Lotova, G.A. Mikhailov, 2020,G.Z. Lotova,
G.A. Mikhailov, 2021] показано, что если среда случайна, то параметр 𝜆– случайная ве-
личина, и для оценки временной асимптотики среднего (по реализациям среды) числа
частиц можно в некотором приближении осреднять экспоненту по распределению 𝜆. В
предположении гауссовости этого распределения таким образом получается асимпто-
тическая “сверхэкспоненциальная” оценка среднего потока, выражаемая экспонентой с
показателем 𝑡𝐸𝜆 +𝑡2𝐷𝜆/2. Для численной экспериментальной проверки такой оценки
разработано вычисление вероятностных моментов случайного параметра 𝜆на основе
рандомизации фурье-приближений специальных нелинейных функционалов.
Отмечено, что результаты в статье имеют широкое приложение. В частности,
согласно статистике ВОЗ, сверхэкспоненциальное поведение проявляла пандемия
COVID-19, развивающаяся во всем мире. А именно, количество наблюдений (по дням)
аппроксимируется с точностью до 2% с 9 марта 2020 года по 21 марта 2020 года.
3.5 Индекс репродукции вируса ℛ0для дифференциаль-
ных моделей
Общее определение индекса репродукции (basic reproduction number) [Википедия]:
индекс репродукции вируса ℛ0определяется как среднее количество людей, которых
заражает активный инфицированный, попавший в полностью неиммунизированное
окружение при отсутствии специальных эпидемиологических мер, направленных на
предотвращение распространения заболевания.
В разделе 3.5.1 мы покажем, что индекс репродукции ℛ0является границей устой-
чивости состояния равновесия SIR-системы при отсутствии инфицированных. Если
ℛ0>1, то на начальном этапе число заболевших будет расти экспоненциально. Если
ℛ0∈(0,1), то небольшое количество инфицированных людей, попавших в полностью
восприимчивую популяцию, в среднем не смогут сохранить свою группу, и эпидемии
не будет.
3.5 Индекс репродукции вируса ℛ0для дифференциальных моделей 18
3.5.1 Алгоритм вычисления индекса репродукции
Опишем метод вычисления индекса репродукции, предложенный van den Driessche
и Watmough [P. van den Driessche, J. Watmough, 2008] для SIR-моделей. Разделим всю
популяцию на две категории: 𝑛групп инфицированных и 𝑚групп не инфицированных.
Векторы 𝑥∈R𝑛и𝑦∈R𝑚определяют количество индивидуумов в каждой из двух ка-
тегорий, например, в модели SEIR-HCD 𝑥= (𝐸, 𝐼 , 𝐻, 𝐶)∈R4,𝑦= (𝑆, 𝑅, 𝐷)∈R3(см.
Раздел 3.5.2). Тогда SIR-модель распространения инфекционного заболевания прини-
мает вид
˙𝑥𝑖=ℱ𝑖(𝑥, 𝑦)− 𝒱𝑖(𝑥, 𝑦), 𝑖 = 1, . . . , 𝑛,
˙𝑦𝑗=𝑔𝑗(𝑥, 𝑦), 𝑗 = 1, . . . , 𝑚. (3.4)
Здесь ℱ𝑖– скорость изменения количества инфицированных и 𝒱𝑖– скорость изменения
умерших, выздоровевших и тех, кто заболевает в 𝑖-й группе.
Вывод индекса репродукции заключается в линеаризации системы (3.4) в окрест-
ности состояния равновесия в случае отсутствия инфекции (0, 𝑦0). В работе [P. van den
Driessche, J. Watmough, 2008] были введены пять условий существования этого состо-
яния равновесия, согласованных с законом сохранения масс для модели модели (3.4).
Вычислим собственные значения матрицы 𝐹 𝑉 −1, где
𝐹𝑖𝑗 =𝜕ℱ𝑖
𝜕𝑥𝑗
(0, 𝑦0), 𝑉𝑖𝑗 =𝜕𝒱𝑖
𝜕𝑥𝑗
(0, 𝑦0).
Тогда индекс репродукции ℛ0= max 𝜆𝑖(𝐹 𝑉 −1)является неотрицательным и соот-
ветствующий ему собственный вектор 𝜔состоит из неотрицательных компонент [A.
Berman, R.J. Plemmons, 1970]. Компоненты вектора 𝜔можно интерпретировать как
распределение инфицированных индивидуумов, вызывающих наибольшее количество
ℛ0вторичных инфекций в поколении.
В [P. van den Driessche, J. Watmough, 2008] доказана теорема о локальной устой-
чивости неинфицированного состояния равновесия системы (3.4), а именно состояние
равновесия (0, 𝑦0)локально асимптотически устойчиво, если ℛ0<1, и неустойчиво, ес-
ли ℛ0>1. В следующем разделе приведен вывод индекса репродукции для SEIR-HCD
модели распространения COVID-19.
3.5.2 Индекс репродукции вируса для модели SEIR-HCD
Используя описанный алгоритм, выведем индекс репродукции для модели SEIR-
HCD распространения COVID-19 [E. Unlu et al., 2020,O.I. Krivorotko et al., 2020]
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑑𝑆
𝑑𝑡 =−5−𝑎(𝑡−𝜏)
5𝛼𝐼(𝑡)𝑆(𝑡)𝐼(𝑡)
𝑁+𝛼𝐸(𝑡)𝑆(𝑡)𝐸(𝑡)
𝑁,
𝑑𝐸
𝑑𝑡 =5−𝑎(𝑡−𝜏)
5𝛼𝐼(𝑡)𝑆(𝑡)𝐼(𝑡)
𝑁+𝛼𝐸(𝑡)𝑆(𝑡)𝐸(𝑡)
𝑁−1
𝑡𝑖𝑛𝑐
𝐸(𝑡),
𝑑𝐼
𝑑𝑡 =1
𝑡𝑖𝑛𝑐
𝐸(𝑡)−1
𝑡𝑖𝑛𝑓
𝐼(𝑡),
𝑑𝑅
𝑑𝑡 =𝛽
𝑡𝑖𝑛𝑓
𝐼(𝑡)−1−𝜀𝐻𝐶
𝑡ℎ𝑜𝑠𝑝
𝐻(𝑡),
𝑑𝐻
𝑑𝑡 =1−𝛽
𝑡𝑖𝑛𝑓
𝐼(𝑡) + 1−𝜇
𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡
𝐶(𝑡)−1
𝑡ℎ𝑜𝑠𝑝
𝐻(𝑡),
𝑑𝐶
𝑑𝑡 =𝜀𝐻𝐶
𝑡ℎ𝑜𝑠𝑝
𝐻(𝑡)−1
𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡
𝐶(𝑡),
𝑑𝐷
𝑑𝑡 =𝜇
𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡
𝐶(𝑡)
(3.5)
3.6 Выводы 19
с начальными условиями
𝑆(𝑡0) = 𝑁−𝐸0−𝐼0−𝑅0−𝐻0−𝐶0−𝐷0, 𝐸(𝑡0) = 𝐸0,
𝐼(𝑡0) = 𝐼0, 𝑅(𝑡0) = 𝑅0, 𝐻(𝑡0) = 𝐻0, 𝐶(𝑡0) = 𝐶0, 𝐷(𝑡0) = 𝐷0.(3.6)
Схема модели (3.5) приведена на Рис. 3.3в, а описание и значения параметров и
начальных условий для Новосибирской области приведены в таблице 3.1 (начальный
момент времени полагается 15.04.2020). В SEIR-HCD модели происходит перемещение
бессимптомной популяции 𝐸(𝑡)после 𝑡𝑖𝑛𝑐 дней в симптоматическую 𝐼(𝑡). Инфициро-
ванные индивидуумы после 𝑡𝑖𝑛𝑓 дней выздоравливают с вероятностью 𝛽и госпитализи-
руются 𝐻(𝑡)с вероятностью 1−𝛽. Затем госпитализированные могут выздоравливать
или нуждаться в подключении аппарата ИВЛ 𝐶(𝑡). В модели только критические слу-
чаи могут умереть 𝐷(𝑡)с вероятностью 𝜇.
Разделяя всю популяцию 𝑁в модели (3.5) на инфицированных 𝑥= (𝐸, 𝐼 , 𝐻, 𝐶)∈
R4и неинфицированных 𝑦= (𝑆, 𝑅, 𝐷)∈R3, получим следующие вектор-функции,
согласно (3.4):
ℱ=⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
˜𝑎(𝑡)𝛼𝐼(𝑡)𝑆(𝑡)𝐼(𝑡)
𝑁+𝛼𝐸(𝑡)𝑆(𝑡)𝐸(𝑡)
𝑁
0
0
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
,𝒱=⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1
𝑡𝑖𝑛𝑐 𝐸(𝑡)
−1
𝑡𝑖𝑛𝑐 𝐸(𝑡) + 1
𝑡𝑖𝑛𝑓 𝐼(𝑡)
−1−𝛽
𝑡𝑖𝑛𝑓 𝐼(𝑡)−1−𝜇
𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡 𝐶(𝑡) + 1
𝑡ℎ𝑜𝑠𝑝 𝐻(𝑡)
−𝜀𝐻𝐶
𝑡ℎ𝑜𝑠𝑝 𝐻(𝑡) + 1
𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡 𝐶(𝑡)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
,
где ˜𝑎(𝑡) = 5−𝑎(𝑡−𝜏)
5.
Состояние равновесия системы (3.5)-(3.6) в случае отсутствия инфицированных ин-
дивидуумов есть (𝑁, 0,0,0,0,0,0). Тогда матрицы 𝐹и𝑉имеют вид:
𝐹=⎛
⎜
⎜
⎝
˜𝑎𝛼𝐸˜𝑎𝛼𝐼0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
⎞
⎟
⎟
⎠
, 𝑉 =⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1
𝑡𝑖𝑛𝑐 0 0 0
−1
𝑡𝑖𝑛𝑐
1
𝑡𝑖𝑛𝑓 0 0
0−1−𝛽
𝑡𝑖𝑛𝑓
1
𝑡ℎ𝑜𝑠𝑝 −1−𝜇
𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡
0 0 −𝜀𝐻𝐶
𝑡ℎ𝑜𝑠𝑝
1
𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Вычисляя максимальное собственное значение матрицы 𝐹 𝑉 −1, получим индекс ре-
продукции для SEIR-HCD модели
ℛ0(𝑡) = ˜𝑎(𝑡)𝛼𝐸(𝑡)𝑡𝑖𝑛𝑐 +𝛼𝐼(𝑡)𝑡𝑖𝑛𝑓
1 + 𝜀𝐻𝐶 (1 −𝜇)
1−𝜀𝐻𝐶 (1 −𝜇),(3.7)
первое слагаемое в котором характеризует заразность от бессимптомной части попу-
ляции, а второе слагаемое – от симптомной с учетом госпитализированных случаев,
пребывающих на изоляции.
3.6 Выводы
Преимущество использования дифференциальных моделей для описания распро-
странения эпидемий (в том числе COVID-19) состоит в учете особенностей инфекции
(наличие инкубационного периода, взаимосвязь инфицированных и критических слу-
чаев и т.д.) в параметрах моделей и закона сохранения масс (размера популяции), а в
случае добавления переменной 𝑥(модели «реакции-диффузии») – учет пространствен-
ной неоднородности. Такие модели качественно описывают вспышку эпидемии, но не
обладают достаточной гибкостью. Учет изменения параметров для описания ограни-
чительных мер, новых мутаций вируса приводит к неединственности и неустойчивости
решения задачи их идентификации.
4 Агентно-ориентированные модели и клеточные автоматы 20
Таблица 3.1: Описание и значения параметров SEIR-HCD модели
Параметр Описание Значение
𝑎(𝑡)Индекс самоизоляции от Яндекса (0,5)
𝛼𝐸(𝑡)Параметр заражения между бессимптомной и восприим-
чивой группами населения (𝛼𝐸>> 𝛼𝐼)
(0,1)
𝛼𝐼(𝑡)Параметр заражения между инфицированным и воспри-
имчивым населением
(0,1)
𝛽Доля инфицированных, которая переносит заболевание
без осложнений
(0,1)
𝜀𝐻𝐶 Доля госпитализированных случаев, которым требуется
подключение ИВЛ
(0,1)
𝜇Доля смертельных случаев в результате COVID-19 (0,0.5)
𝜏Латентный период (характеризует запаздывание наступ-
ления заразности)
2 дня
𝑡𝑖𝑛𝑐 Длительность инкубационного периода 2-14 дня
𝑡𝑖𝑛𝑓 Длительность периода инфицирования 2.5-14 дня
𝑡ℎ𝑜𝑠𝑝 Длительность периода госпитализации 4-5 дня
𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡 Длительность использования аппарата ИВЛ 10-20 дня
𝑁Население в Новосибирской области (человек) 2798170
𝐸0Начальное количество бессимптомных носителей (1, 5000)
𝐼0Начальное количество инфицированных случаев (1, 5000)
𝑅0Начальное количество вылеченных случаев (1, 100)
𝐻0Начальное количество госпитализированных 133
𝐶0Начальное количество критических случаев 1
𝐷0Начальное количество смертей 1
4 Агентно-ориентированные модели и клеточные
автоматы
В данном разделе будет приведен краткий обзор имитационных моделей, основан-
ные на клеточных автоматах, и АОМ. Подробное построение АОМ распространения
COVID-19 в конкретной регионе приведено в конце раздела 4.3.1.
4.1 Введение
Значимым преимуществом моделей, базирующихся на аппарате дифференциаль-
ных уравнений, является возможность их аналитического исследования. Тем не менее
для всех таких моделей характерно допущение – характеристики и поведение всех
индивидов, отнесенных к одной подгруппе, считаются одинаковыми. Имитационные
модели (клеточные автоматы, сетевые модели и АОМ) позволяют ослабить указанные
ограничения.
4.2 Клеточные автоматы
T.C. Shelling в 1971 [T.C. Schelling, 1971] и M. Mitchel в 1993 [M. Mitchell et al.,
1993] предложили теорию клеточных автоматов для моделирования локальных харак-
теристик восприимчивых популяций вместе со стохастическими параметрами, которые
4.3 Агентно-ориентированные модели 21
отражают вероятностный характер передачи болезни. Клеточные автоматы представ-
ляют собой совокупность квадратных ячеек, объединенных в прямоугольную решетку,
каждая из которых принимает состояние из конечного множества. Узлы решетки моде-
лируют индивидов, каждый из которых имеет фиксированное положение в простран-
стве (схема клеточного автомата представлена на Рис. 4.1a). Так, анализ социальной
дистанции, ношение масок при распространении COVID-19 в локальной популяции мо-
жет описываться с помощью клеточных автоматов [P.H.T. Schimit, 2021]. В работе [J.
Dai et al., 2021] SEIR модель описывается в терминах вероятностных клеточных авто-
матов и обыкновенных дифференциальных уравнений передачи COVID-19, достаточно
гибких для моделирования различных сценариев социальной изоляции.
𝑆 𝑆 𝑆 𝑆 𝑆 𝑆 𝑆 𝑆
𝑆 𝑆 𝑆 𝑆 𝑆 𝑆 𝑆 𝑆
𝑆 𝑆 𝐼 𝐼 𝐼 𝑆 𝑆 𝑆
𝑆 𝑆 𝐼 𝑅 𝑅 𝐼 𝑆 𝑆
𝑆 𝐼 𝐼 𝑅 𝑅 𝐼 𝑆 𝑆
𝑆 𝐼 𝐼 𝐼 𝐼 𝐼 𝑆 𝑆
𝑆 𝑆 𝐼 𝐼 𝑆 𝑆 𝑆 𝑆
𝑆 𝑆 𝑆 𝐼 𝑆 𝑆 𝑆 𝑆
а)
𝑆
𝑆
𝑆
𝑆
𝑆𝑆
𝑆
𝑆
𝐼
𝐼
𝐼
𝑅
б)
Рис. 4.1: Представление распространения инфекции клеточным автоматом (а) и сетевой
моделью (б).
4.3 Агентно-ориентированные модели
После публикации статьи P. Patrolla в 2004 году [P. Patlolla et al., 2004] была пред-
ложена АОМ, в которой расширены возможности клеточных автоматов отслеживания
распространения болезни и контактов между каждым человеком в социальной группе,
расположенной в географической области. АОМ позволяют взаимодействовать меж-
ду людьми и способны преодолевать ограничения различных подходов, обращаясь к
естественной стохастической природе эпидемического процесса. АОМ представляют
схему возможных контактов в виде динамического или статического графа, в котором
вершины – объекты с набором индивидуальных свойств, сколь угодно детализирова-
но описывающие состояние отдельных индивидов (упрощенная схема графа в АОМ
приведена на Рис. 4.1б).
Группа под руководством академика Г.Н. Рыкованова [V.A. Adarchenko et al.,
2020,A.I. Vlad et al., 2020] разработали и проанализировали камерную SEIR-D и
АОМ для описания распространения COVID-19. Разработанная статистическая АОМ,
несмотря на некоторую упрощенность модели поведения людей, позволяет расчетно
анализировать такие факторы, как, например, введение карантина в отношении от-
дельных социальных групп или в отдельных сферах деятельности (работа, транспорт,
4.3 Агентно-ориентированные модели 22
магазины). Авторы отметили (стр. 27-28), что достоинства статистической модели вле-
кут за собой и некоторые её недостатки. Так, чтобы достоверно моделировать те или
иные факторы, в основу расчета должны закладываться адекватные исходные данные
– от численности населения и его распределения по социальным группам до загружен-
ности различных видов транспорта или магазинов.
Группа американских ученых [C.C. Kerr et al., 2021] разработали программный ком-
плекс Covasim [1], основу которого составляет агентный подход моделирования эпиде-
мии с учетом особенностей заболевания, фармацевтических (вакцинация) и полити-
ческих (физические ограничения, ношение масок) вмешательств. Этот программный
комплекс применялся для построения сценариев развития эпидемии COVID-19, изу-
чения динамики пандемии и поддержке принятия политических решений более чем в
десятке стран Африки, Азиатско-Тихоокеанского региона, Европы и Северной Амери-
ки. В статье [A. Aleta et al., 2020] показано, что система реагирования, основанная на
расширенном тестировании и отслеживании контактов, может играть важную роль в
ослаблении интервенций социального дистанцирования при отсутствии коллективно-
го иммунитета против SARS-CoV-2. Авторы [M.S.Y. Lau et al., 2020] подсчитали, что
инфицированные люди не пожилого возраста (<60 лет) могут быть в 2,78 раза более
заразными, чем пожилые люди, и первые, как правило, являются основной движущей
силой сверхраспространения. В работах [A.J. Kucharski et al., 2020,N. Hoertel et al.,
2020,J. Hellewell et al., 2020] в рамках АОМ распространения COVID-19 проанализи-
рованы противоэпидемические программы в различных регионах, в результате чего
получено понимание эффективных мер для разных географических и демографиче-
ских условий, а также текущих штаммов SARS-CoV-2.
В следующем разделе подробно описан процесс построения популяции на основе
пакета Covasim, инфицирования вирусом штамма SARS-CoV-2 на основе графов, те-
стирования и вакцинации в Российской Федерации на основе статистических данных.
4.3.1 АОМ распространения COVID-19
Опишем структуру АОМ, лежащую в основе пакета Covasim [1]:
1. Инициация популяции. Формируются четыре структуры контактов: домохо-
зяйства, образовательные учреждения, рабочие и общественные места.
(a) Постоянные характеристики агента:
•возраст (все агенты делятся на возрастные группы по 10 лет: 0–9 лет,
10–19, . . . , 80+),
•пол,
•социальный статус,
•вероятности прогрессирования заболевания зависят от возраста аген-
та (возникновения симптомов, тяжелых и критических случаев, смерт-
ность).
(b) Переменные характеристики агента (пересчитываются к концу дня – шаг по
времени):
•эпидемиологический статус. Каждый агент в определенный момент вре-
мени может находиться в одной 9 стадиях заболевания: к описанным в
Разделе 3.5.2 состояниям 𝑆,𝐸,𝐼,𝑅,𝐻,𝐶,𝐷добавлены бессимптомные
больные 𝐴и больные в легкой форме 𝑀,
•шанс быть протестированным.
Домохозяйства заполняются агентами согласно статистическим данным ООН [2] о
среднем размере семьи в регионе (2.6 человек). В зависимости от возраста агенты
4.3 Агентно-ориентированные модели 23
контактируют друг с другом в контактных сетях, представляющие собой полно-
связные графы, количество вершин которых является пуассоновской случайной
величиной с средним:
•для домохозяйства – размер семьи,
•для общественных мест и образовательных учреждений – 20.
•для работы – 8.
Все агенты имеют контакты в домохозяйствах и в общественных местах, агенты
в возрасте 6-21 лет также могут контактировать в образовательных учреждениях
с агентами своего возраста, агенты в возрасте 22-65 лет – на работе.
2. Заражение. В рамках модели предполагается, что вирус передается между аген-
тами, соединенными ребром графа. Заражение при близком контакте описывает-
ся кусочно-постоянным параметром 𝛼(𝑡). В зависимости от структуры контакта,
параметр 𝛼умножается на соответствующую константу 𝑤𝛼(для домохозяйств
𝑤𝛼= 3, для образовательных учреждений и работы 𝑤𝛼= 0.6, для общественных
мест 𝑤𝛼= 0.3). Таким образом, вероятность передачи вируса для каждой кон-
тактной сети различная. Симптомные и бессимптомные агенты передают вирус
одинаково.
3. Прогрессирование заболевания. Переход из одной стадии заболевания
𝑆, 𝐸, 𝐴, 𝐼 , 𝑀, 𝐻, 𝐶, 𝑅, 𝐷 в другую в момент времени 𝑡контролируется параметра-
ми, зависящими от возраста, т.е. чем старше агент, тем он более уязвим (например,
вероятность проявлять симптомы после заражения 𝑝𝑠𝑦𝑚 = 0.5 + 0.05𝑖∈[0.5,0.9],
где 𝑖– номер возрастной группы). Взаимосвязь эпидемиологических состояний
обозначена на Рис. 4.2. Продолжительность каждой стадии заболевания пред-
ставляет собой случайную логнормальную величину с различными средними и
параметрами дисперсии (см. Таблицу 4.1).
Модель основана на нескольких предположениях:
(a) Изначально иммунитета нет ни у одного агента.
(b) Часть агентов находятся в инкубационном периоде 𝐸(0).
(c) Умереть могут только пациенты, находящиеся на ИВЛ (критическое состоя-
ние 𝐶(𝑡)).
4. Тестирование агентов проводится согласно ежедневным статистическим дан-
ным о количестве проведенных тестов в регионе. Шанс быть протестированным
на COVID-19 𝑝(𝑡, 𝑖)зависит от эпидемиологического статуса агента и определяет-
ся в ходе решения обратной задачи (см. Раздел 6.2.2). Положительный результат
могут получить агенты, находящиеся в симптомном, бессимптомном, в легкой
форме, госпитализированном, критическом состояниях (на рис. 4.2 эти состоя-
ния обведены в оранжевую рамку). В модели предполагается, что вероятность
тестирования агентов с симптомами выше, чем у бессимптомных больных.
5. Введение сдерживающих эпидемию мер. В модели возможно введение ка-
рантинных мер как для всех контактных слоев, так и для каждого в отдельности.
Это может быть сделано двумя способами: либо изменением значения параметра
𝛼(𝑡)(в случае введения обязательной меры ношения масок или социального ди-
станцирования), либо удалением ребер в графах (в случае введения самоизоляции
и дистанционной работы).
Загружаются все необходимые параметры и статистические данные, создается ис-
кусственная популяция с учетом распределения по возрастам в регионе. Далее агенты
4.3 Агентно-ориентированные модели 24
Умершие (D)
Восприимчивые к
заражению (S)
Больные в критическом
состоянии (C)
Вылечившиеся (R)
Бессимптомные
больные (A)
Больные легкой
степени тяжести (M)
Зараженные незаразные (E)
Инфицированные с
симптомами (I)
Госпитализированные
(H)
Рис. 4.2: Диаграмма состояний агентов в АОМ. Оранжевой рамкой обозначены те состояния, находясь в которых агент имеет
возможность получить положительный тест на COVID-19.
4.4 Индекс репродукции вируса ℛ0для АОМ 25
Параметр Описание Распределение
𝑡𝑖𝑛𝑐 Количество дней с момента контакта до того,
как агент станет заразным.
LogN(4.6,4.8)
[S.A. Lauer et al.,
2020]
𝑡𝑠𝑦𝑚 Количество дней с момента, когда агент стал
заразен, до проявления симптомов.
LogN(1,0.9)
[S.A. Lauer et al.,
2020]
𝑡𝑟𝑒𝑐1Продолжительность болезни для бессимптом-
ных и легких случаев.
LogN(8,2)
[R. W¨olfel et al.,
2020]
𝑡𝑟𝑒𝑐2Продолжительность болезни для тяжелых и
критических случаев.
LogN(14,2.4)
[R. Verity et al.,
2020]
𝑡𝑖𝑛𝑓 Количество дней, за которое агент переходит из
легкого состояния в тяжелое.
LogN(6.6,4.9)
[S.A. Lauer et al.,
2020]
𝑡ℎ𝑜𝑠𝑝 Количество дней, за которое агент переходит из
тяжелого состояния в критическое.
LogN(3,7.4)
[D. Wang et al.,
2020]
𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡 Длительность пребывания агента в критиче-
ском состоянии.
LogN(6.2,1.7)
[R. Verity et al.,
2020]
Таблица 4.1: Параметры продолжительность болезни в днях в АОМ.
соединяются в контактные сети. Затем начинается цикл по времени: на каждом ша-
ге (временной интервал равен одному дню) обновляется эпидемиологический статус
агента с учетом его структуры контактов и введенных ограничительных мер (самоизо-
ляция, закрытие общественных мест, ношение масок и т.д.).
4.4 Индекс репродукции вируса ℛ0для АОМ
В АОМ индекс репродукции вируса ℛ0определяется следующим образом:
ℛ0(𝑡) = 𝑑·𝐼𝑛𝑒𝑤(𝑡)
𝐼𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒(𝑡).
Здесь 𝐼𝑛𝑒𝑤(𝑡)– количество новых случаев инфицирования в день 𝑡,𝐼𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 (𝑡)– коли-
чество людей с активным инфекционным заболеванием в день 𝑡,𝑑– среднее время
инфицирования.
4.5 Выводы
АОМ позволяют преодолевать ограничения дифференциальных моделей, используя
стохастическую природу эпидемического процесса, возможности введения ограничи-
тельных мер в модель, особенности моделируемого региона и учета индивидуальности
индивидуума (агента). На основе результатов моделирования в рамках АОМ полу-
чено понимание эффективности мер для разных географических и демографических
4.5 Выводы 26
условий для каждого выявленного штамма SARS-CoV-2. Для повышения достоверно-
сти результатов необходимо использовать адекватные статистические данные (эпиде-
миологические, демографические, транспортные), уточнять границы чувствительных
параметров моделей, иметь большие вычислительные мощности для реализации моде-
лирования и прогнозирования.
5 Комбинированные модели 27
5 Комбинированные модели
В данном разделе приведено описание комбинации SIR-модели (с учетом про-
странственной неоднородности) и агентной модели. Распределение агентов в простран-
ственной SIR-модели описывается уравнением Колмогорова-Фоккера-Планка (5.10)
(Раздел 5.2), а управление агентов описывается уравнением Гамильтона-Якоби-
Беллмана (5.15) (Раздел 5.3). Совместное рассмотрение КФП и ГЯБ образуют систему
уравнений ИСП (Раздел 5.4).
5.1 Введение
J.M. Smith и G.R. Price в 1973 году [M.J. Smith, G.R. Price, 1973] разработали кон-
цепцию эволюционной устойчивой стратегии, которая является центральной концеп-
цией теории игр. Затем B. Jovanovic и R.W. Rosenthal в 1988 году [B. Jovanovic, R.W.
Rosenthal, 1988] доказали существование равновесия в анонимных последовательных
играх. Только в 2006-2007 годах J.-M. Lasry и P.-L. Lions [J.-M. Lasry, P.-L. Lions, 2007]
предложили и обосновали концепцию ИСП, которая используется в физике, экономи-
ке, метеорологии, социальных и биологических процессах. Основные задачи, которые
рассматриваются в теории ИСП:
– исследование существования и единственности решения ИСП, при этом ИСП форма-
лизуется в виде системы двух уравнений в частных производных первого порядка или
задачи управления для некоторой динамической системы (подробнее см. Раздел 5.4);
– построение приближенного равновесия в игре конечного числа агентов;
– исследование сходимости приближенных равновесий в играх конечного числа лиц к
решению ИСП при стремлении числа игроков к бесконечности;
– анализ конкретных эпидемиологических задач при помощи методологии ИСП.
В работе [В.Н. Колокольцов и др., 2013] исследуется сходимость решений для игр с
нелинейными процессами устойчивого типа с переменными коэффициентами. Концеп-
ция ИСП находится на пересечении теории среднего поля и нелинейного марковского
управления [D. Andersson, B. Djehiche, 2011,R. Buckdahn et al., 2009]
С 2015 года опубликовано множество работ, использующих ИСП для описания
эпидемических процессов распространения гриппа, ОРВИ, СOVID-19 [L. Laguzet, G.
Turinici, 2015,W. Lee et al., 2020a,H. Tembine, 2020,W. Lee et al., 2020b].
5.2 Уравнение Колмогорова-Фоккера-Планка
Рассмотрим однородные марковские случайные процессы в R𝑛, для которых опера-
тор переходных вероятностей задаётся переходной плотностью 𝑝(𝑡, 𝑥, 𝑦). Зададим опе-
ратор Q, действующий на функцию 𝑓(𝑥)вR𝑛:
(Q𝑓)(𝑥) =
R𝑛
𝑞(𝑥, 𝑦)𝑓(𝑦)𝑑𝑦.
Если существует предел (обобщенная функция)
𝑞(𝑥, 𝑦) = lim
ℎ→0
𝑝(ℎ, 𝑥, 𝑦)−𝛿(𝑥−𝑦)
ℎ,
то уравнение Колмогорова принимает вид:
𝜕𝑝(𝑡, 𝑥, 𝑦)
𝜕𝑡 =
R𝑛
𝑝(𝑡, 𝑥, 𝑧)𝑞(𝑧, 𝑦)𝑑𝑧.
5.3 Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана 28
В случае, когда Q– дифференциальный оператор второго порядка с непрерывными
коэффициентами (это означает, что 𝑞(𝑥, 𝑦)есть линейная комбинация первых и вторых
производных 𝛿(𝑥−𝑦)с непрерывными коэффициентами), а матрица коэффициентов 𝜎𝑖𝑗
перед вторыми производными является симметричной и положительно определенной
в каждой точке, то уравнение Колмогорова будет совпадать с уравнением Фоккера-
Планка [Н.Н. Боголюбов, Н.М. Крылов, 1939]:
𝜕𝑝(𝑡, 𝑥, 𝑦)
𝜕𝑡 =1
2
𝑀
𝑖,𝑗
𝜕2
𝜕𝑦𝑖𝜕𝑦𝑗(𝜎𝑖𝑗 (𝑦)𝑝(𝑡, 𝑥, 𝑦)) −
𝑀
𝑗
𝜕
𝜕𝑦𝑗(𝑏𝑗(𝑦)𝑝(𝑡, 𝑥, 𝑦)).(5.1)
Вектор 𝑏𝑗в физической литературе называется вектором сноса, а матрица 𝜎𝑖𝑗 – тензо-
ром диффузии.
Уравнение КФП (5.1) используется для расчёта плотности вероятности в СДУ:
𝑑X𝑡=𝑏(X𝑡, 𝑡)𝑑𝑡 +𝜎(X𝑡, 𝑡)𝑑B𝑡.(5.2)
Здесь X𝑡∈R𝑀– функция состояния системы, а B𝑡∈R𝑀– стандартное 𝑀-мерное бро-
уновское движение. В нашем случае вектор X𝑡описывает состояния агентов в каждой
из камер и является решением системы (5.2). Более подробно см. систему (5.5). Ес-
ли начальное распределение задано как X0∼𝑝(0,x), то плотность вероятности 𝑝(𝑡, x)
состояния системы X𝑡является решением уравнения КФП (5.1).
5.3 Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана
Уравнение ГЯБ – дифференциальное уравнение в частных производных, играющее
центральную роль в теории оптимального управления. Рассмотрим задачу оптималь-
ного управления на промежутке времени [0, 𝑇 ]:
𝜓= min
𝑢𝑇
0
𝐶[𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡)] 𝑑𝑡 +𝐺[𝑥(𝑇)].
Здесь 𝐶и𝐺– липшиц-непрерывные функции стоимости, определяющие соответствен-
но интегральную и терминальную часть функционала, 𝑥(𝑡)– вектор, определяющий
состояние системы в каждый момент времени с заданным начальным значением 𝑥(0),
𝑢(𝑡)– вектор управления.
Эволюция системы под действием управления 𝑢(𝑡)описывается следующим обра-
зом:
˙𝑥(𝑡) = 𝐹[𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡)],
и уравнения ГЯБ принимают следующий вид:
𝜕𝜓(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡 + min
𝑢{∇𝜓(𝑥, 𝑡)·𝐹(𝑥, 𝑢) + 𝐶(𝑥, 𝑢)}= 0,(5.3)
с начальным значением в конечный момент времени 𝑇
𝜓(𝑥, 𝑇 ) = 𝐺(𝑥).(5.4)
Неизвестная в этом уравнении беллмановская функция значения 𝜓(𝑥, 𝑡), отвечающая
максимальной цене, которую можно получить, ведя систему из состояния (𝑥, 𝑡)опти-
мальным образом до момента времени 𝑇. Тогда оптимальная стоимость – значение
𝜓=𝜓(𝑥(0),0).
5.4 Модель игры среднего поля 29
Уравнение (5.3) с дискретным временем называется уравнением Беллмана [R.E.
Bellman, 1957], также известное как уравнение динамического программирования. Так-
же Беллманом было введено понятие принципа оптимальности: оптимальная страте-
гия имеет свойство, что какими бы ни были начальное состояние и начальное решение,
последующие решения должны составлять оптимальный курс действий по отношению
к состоянию, полученному в результате первого решения. Иными словами, оптималь-
ная стратегия зависит только от текущего состояния и цели, и не зависит от предыс-
тории.
При рассмотрении задачи с непрерывным временем полученные уравнения могут
рассматриваться как продолжение более ранних работ в области теоретической физи-
ки, связанных с уравнением Гамильтона-Якоби.
5.4 Модель игры среднего поля
Предположение, что агенты в популяции рациональны (то есть обладают способ-
ностью находиться в состоянии 𝑋(𝑡)и иметь возможность его изменить), позволяет
рассматривать задачу управления с большим количеством участников. Динамика от-
дельного индивидуума удовлетворяет дифференциальному уравнению Ито
𝑑𝑋𝑁
𝑖(𝑡) = 𝑏(𝑡, 𝑋𝑁
𝑖(𝑡), 𝜃𝑁(𝑡, 𝑋 𝑁
𝑖(𝑡)), 𝑢𝑖(𝑡, 𝑋𝑁
𝑖(𝑡)))𝑑𝑡 +𝜎(𝑡, 𝑋𝑁
𝑖(𝑡), 𝜃𝑁(𝑡, 𝑋 𝑁
𝑖(𝑡)))𝑑𝑊 𝑁
𝑖(𝑡).
Здесь 𝑖∈1, .., 𝑁 , 𝑊 𝑁
𝑖– независимые стандартные винеровские процессы, 𝑢𝑖(𝑡, 𝑋𝑁
𝑖(𝑡))
– стратегия 𝑖−го агента и 𝜃𝑁(𝑡, 𝑋𝑁
𝑖(𝑡)) – эмпирическая мера распределения агентов
в системе в момент времени 𝑡[M. Fischer, 2017]. В предположении, что функции 𝑏и
𝜎непрерывны во времени и одинаковы для всех агентов, в работе [M. Fischer, 2017]
показано, что когда количество агентов в системе чрезвычайно велико 𝑁→ ∞, мы
можем заменить массу отдельных индивидов репрезентативным агентом, состояние
которого определяется следующим уравнением
𝑑𝑋(𝑡) = 𝑏(𝑡, 𝑋(𝑡), 𝑝(𝑡), 𝑢(𝑡, 𝑋 (𝑡)))𝑑𝑡 +𝜎(𝑡, 𝑋(𝑡), 𝑝(𝑡, 𝑋 (𝑡)))𝑑𝑊 (𝑡).(5.5)
Здесь 𝑋(𝑡) : [0, 𝑇 ]→Ω;𝑝(𝑡, 𝑋 (𝑡)) : 𝜃𝑁(𝑡, 𝑋𝑁
𝑖(𝑡)) 𝑁→∞
→𝑝(𝑡, 𝑋(𝑡)) – это распределение
агента по пространству состояний Ωв момент времени 𝑡и𝑢(𝑡, 𝑋(𝑡)) – стратегия ре-
презентативного агента, обеспечивающая равновесие по Нэшу системы взаимодейству-
ющих агентов (ни один агент не может увеличить выигрыш, изменив свою стратегию,
если другие агенты своих стратегий не меняют) и минимизирующая функционал
𝐽(𝑝, 𝑢) = E𝑇
0
𝐶(𝑡, 𝑋(𝑡), 𝑝(𝑡, 𝑋(𝑡)), 𝑢(𝑡, 𝑋 (𝑡))) 𝑑𝑠 +𝐺(𝑋(𝑇), 𝑝(𝑇, 𝑋 (𝑇))).(5.6)
Данный подход к контролю над популяцией с большим количеством взаимодей-
ствующих агентов получил название ИСП [J.-M. Lasry, P.-L. Lions, 2007,A. Bensoussan
et al., 2013,M. Fischer, 2017]. Модель ИСП предполагает, что каждый агент выбира-
ет свою рациональную стратегию 𝑢(𝑡, 𝑥)с учетом своего положения и распределения
𝑝(𝑡, 𝑥) : [0, 𝑇 ]×Ω→Rдругих агентов. В работе [A. Bensoussan et al., 2013] было
показано, что при постоянном 𝜎в уравнении (5.5), характеризующем стохастический
характер равновесия процесса взаимодействия агентов, распределение агентов 𝑝(𝑡, 𝑥)
подчиняется уравнению КФП
𝜕𝑝
𝜕𝑡 −1
2𝜎2Δ𝑝+∇(𝑝𝑢)=0 в[0, 𝑇 ]×Ω(5.7)
с начальными условиями
𝑝(0, 𝑥) = 𝑝0(𝑥)на Ω(5.8)
5.4 Модель игры среднего поля 30
и граничными условиями типа Неймана
𝜕𝑝
𝜕𝑥 = 0 ∀𝑡и𝑥∈ΓΩ.(5.9)
Классическая модель ИСП в схематичном виде изображена на Рис. 5.1. Исследова-
ны модели с динамикой каждого игрока, задаваемой марковской цепью с непрерывным
временем и конечным числом состояний [D. Gomes et al., 2013], а также марковским
процессом общего вида [V.V. Kolokoltsov et al., 2011,V.V. Kolokoltsov, W. Yang, 2013].
В этом случае уравнение (5.7) и ГЯБ заменяются на специально построенные задачи
оптимизации. Альтернативный подход к ИСП называется вероятностным и связан с
исследованием задачи управления для динамической системы, описываемой нелиней-
ным марковским процессом. В этом случае динамика и интегральная часть выигрыша
зависят от распределения игроков в текущий момент времени. Распределение игроков
определяется по решению задачи оптимизации [R. Carmona, F. Delarue, 2013].
Недостатком вероятностного подхода является зависимость определения решения
от выбора сопутствующего вероятностного пространства. Этот недостаток пытается
преодолеть минимаксный подход, в рамках которого задача поиска решения ИСП сво-
дится к решению игры бесконечного числа лиц, при этом динамика определяется рас-
пределением оптимальных траекторий.
ИСП достаточно гибки, чтобы улавливать межклассовое взаимодействие при рас-
пространении эпидемии, при котором несколько органов власти осведомлены о рисках
лиц, принимающих локальные решения, а отдельные лица осведомлены о рисках аген-
тов (государство, региональное правительство), принимающих глобальные решения [H.
Tembine, 2020,W. Lee et al., 2020b]. В следующих разделах приведены уравнения КФП
и ГЯБ для описания распределения и управления SIR-модели распространения эпиде-
мии.
5.4.1 Уравнение КФП для SIR-модели
Для достаточно больших (𝑁→ ∞) популяций SIR-модель можно интерпретировать
как приближение среднего поля вероятностной модели клеточного автомата [L. Berec,
2002,P.H.T. Schimit, L.H.A. Monteiro, 2009]. Запишем аналог начально-краевой задачи
для уравнения КФП (5.7)-(5.9) в случае SIR-модели (3.1).
Введем плотность 𝑝𝑖(𝑡, 𝑥) : [0, 𝑇 ]×[0,1] →Rраспределения агентов в группах
𝑆,𝐼и𝑅, где 𝑖∈ {𝑆, 𝐼, 𝑅}. Переменная 𝑥∈Ω = [0,1] характеризует физическое
дистанцирование следующим образом: 𝑥= 0 означает, что агент склонен соблюдать
физическую дистанцию, а 𝑥= 1 означает противоположное. Определим функции
𝑢𝑖(𝑡, 𝑥) : [0, 𝑇 ]×[0,1] →R,𝑖∈ {𝑆, 𝐼 , 𝑅}, которые описывают скорость перемещения в
пространственной области репрезентативного агента в каждой группе населения. При-
нимая во внимание стохастический характер взаимодействия агентов (5.5), уравнения
КФП (5.7)-(5.9) для функций 𝑝𝑖(𝑡, 𝑥)запишутся в виде системы уравнений в частных
производных:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝜕𝑝𝑆
𝜕𝑡 +∇(𝑝𝑆𝑢𝑆) + 𝛼𝑝𝑆𝑝𝐼−𝜎2
𝑆Δ𝑝𝑆/2 = 0,
𝜕𝑝𝐼
𝜕𝑡 +∇(𝑝𝐼𝑢𝐼)−𝛼𝑝𝑆𝑝𝐼+𝛽𝑝𝐼−𝜎2
𝐼Δ𝑝𝐼/2 = 0,
𝜕𝑝𝑅
𝜕𝑡 +∇(𝑝𝑅𝑢𝑅)−𝛽𝑝𝐼−𝜎2
𝑅Δ𝑝𝑅/2 = 0.
(5.10)
Здесь 𝜎𝑖>0,𝑖∈ {𝑆, 𝐼, 𝑅, 𝐶}. Начальные (5.8) и граничные (5.9) условия остаются без
изменений
𝑝𝑖(0, 𝑥) = 𝑝𝑖0(𝑥)∀𝑥∈[0,1].(5.11)
5.4 Модель игры среднего поля 31
Принцип оптимальности БеллманаПринцип оптимальности Беллмана
Теория «среднего поля»Теория «среднего поля»
Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана (ГЯБ)
Уравнение Колмогорова-Фоккера-Планка (КФП)
Индивидуальная
стратегия игрока
Массовое
поведение
агентов
Рис. 5.1: Классическая схема ИСП, основанная на системе уравнений КФП и ГЯБ.
5.4 Модель игры среднего поля 32
𝜕𝑝𝑖
𝜕𝑥 = 0 ∀𝑡∈[0, 𝑇 ]и𝑥= 0,1.(5.12)
Отметим, что система (5.10) удовлетворяет закону сохранения масс, а именно
𝜕
𝜕𝑡
1
0
(𝑝𝑆(𝑡, 𝑥) + 𝑝𝐼(𝑡, 𝑥) + 𝑝𝑅(𝑡, 𝑥)) 𝑑𝑥 = 0.
5.4.2 Уравнение ГЯБ для SIR-модели
Определим целевой функционал (5.6) следующим образом [W. Lee et al., 2020a]:
𝐽(𝑝, 𝑢) =
𝑇
0
1
0
⎛
⎝
𝑖∈{𝑆,𝐼,𝑅}
𝑟𝑖
2𝑝𝑖|𝑢𝑖|2+𝑐
2(𝑝𝑆+𝑝𝐼+𝑝𝑅)2⎞
⎠𝑑𝑥𝑑𝑡 +1
2
1
0
𝑝2
𝐼(𝑇, 𝑥)𝑑𝑥. (5.13)
Здесь 𝑟𝑖и𝑐неотрицательные константы. Первое слагаемое, характеризующее кинети-
ческую энергию, описывает цену перемещения агентов со скоростью 𝑢𝑖за весь проме-
жуток времени [0, 𝑇 ]. Чем выше значение 𝑟𝑖, тем более затратно агентам перемещаться
между группами (например, 𝑟𝑆=𝑟𝑅= 1,𝑟𝐼= 10 означает, что агентам из инфи-
цированной группы труднее передвигаться). Второе слагаемое в (5.13) контролирует
скопление всего населения в одном месте. Это может повысить риск вспышек заболе-
вания и их более быстрого и широкого распространения.
Для вывода оптимальной стратегии воспользуемся методом множителя Лагран-
жа [A. Bensoussan et al., 2013]. Введем произвольные гладкие функции 𝜓𝑖(𝑡, 𝑥)∈
𝐶∞([0, 𝑇 ]×[0,1]),𝑖∈ {𝑆, 𝐼 , 𝑅}, и запишем минимаксную задачу для функционала
Лагранжа:
inf
𝑝,𝑢 sup
(𝜓)𝑖∈{𝑆,𝐼,𝑅}
ℒ(𝑝, 𝑢, 𝜓𝑖),(5.14)
где функционал Лагранжа составлен из целевого функционала (5.13) и уравнений
КФП (5.10), домноженных на функции 𝜓𝑖(𝑡, 𝑥)и проинтегрированных по 𝑥и𝑡:
ℒ(𝑝, 𝑢, 𝜓𝑖) = 𝐽(𝑝, 𝑢)−
𝑇
0
1
0
𝑖∈{𝑆,𝐼,𝑅}
𝜓𝑖𝜕𝑝𝑖
𝜕𝑡 +∇(𝑝𝑖𝑢𝑖)−𝜎2
𝑖
2Δ𝑝𝑖+
+𝛼𝑝𝐼𝑝𝑆(𝜓𝐼−𝜓𝑆) + 𝛽𝑝𝐼(𝜓𝑅−𝜓𝐼)] 𝑑𝑥𝑑𝑡.
Пусть
𝜕𝑣𝑖/𝜕𝑥 = 0 ∀𝑡∈[0, 𝑇 ]и𝑥= 0,1∀𝑖∈ {𝑆, 𝐼 , 𝑅}
и
𝛼𝑖(𝑡, 0) = 𝛼𝑖(𝑡, 1) = 0 ∀𝑡∈[0, 𝑇 ]∀𝑖∈ {𝑆, 𝐼, 𝑅}.
Применяя интегрирование по частям и пользуясь условиями оптимальности Каруша-
Куна-Таккера, получаем систему уравнения ГЯБ для оптимального управления систе-
мой агентов (5.10):
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝜕𝜓𝑆
𝜕𝑡 +𝜎2
𝑆
2Δ𝜓𝑆+𝑢𝑆· ∇𝜓𝑆+𝛼𝑝𝐼(𝜓𝐼−𝜓𝑆) = −𝑟𝑆
2|𝑢𝑆|2+𝑐(𝑝𝑆+𝑝𝐼+𝑝𝑅),
𝜕𝜓𝐼
𝜕𝑡 +𝜎2
𝐼
2Δ𝜓𝐼+𝑢𝐼· ∇𝜓𝐼+𝛼𝑝𝑆(𝜓𝐼−𝜓𝑆) + 𝛽(𝜓𝑅−𝜓𝐼) =
=−𝑟𝐼
2|𝑢𝐼|2+𝑐(𝑝𝑆+𝑝𝐼+𝑝𝑅)−𝛿(𝑇−𝑡)𝑝𝐼,
𝜕𝜓𝑅
𝜕𝑡 +𝜎2
𝑅
2Δ𝜓𝑅+𝑢𝑅· ∇𝜓𝑅=−𝑟𝑅
2|𝑢𝑅|2+𝑐(𝑝𝑆+𝑝𝐼+𝑝𝑅),
(5.15)
5.5 Выводы 33
где 𝛿(𝑇−𝑡)– дельта-функция Дирака. Начальные условия для уравнений ГЯБ (5.15)
𝜓𝑖(𝑇, 𝑥) = 0 ∀𝑥∈[0,1] , 𝑖 ∈ {𝑆, 𝐼 , 𝑅}.(5.16)
5.5 Выводы
Модели ИСП описания распространения эпидемий включают в себя классические
SIR-модели с учетом произвольной пространственной неоднородсти (для областей с
любой геометрией), а также учитывают рациональность агентов и внешнее управление
(а именно, правительство может наложить ограничения на взаимодействие для разных
классов населения в зависимости от их статуса заражения). С другой стороны, модели
ИСП являются предельным случаем АОМ и оптимизируют вычислительные затраты.
Как и для рассмотренных ранее моделей, коэффициенты уравнений, описывающие
эпидемиологические характеристики моделируемого заболевания и особенности попу-
ляции, неизвестны. Необходимо формулировать обратную задачу для модели ИСП с
целью уточнения чувствительных параметров и увеличения качества прогнозирова-
ния.
6 Алгоритмы численного решения 34
6 Алгоритмы численного решения
Математические модели в эпидемиологии характеризуются своими коэффициен-
тами и начальными условиями, которые индивидуальны для каждой моделируемой
популяции. В следующих разделах будут приведены алгоритмы, входящие в комплекс
программ COVID-19 моделирования распространения коронавирусной инфекции в Но-
восибирской области. В Разделе 6.1 приведены алгоритмы численного решения прямых
задач, в которых при заданных эпидемиологических параметрах и начальных условиях
требуется определить распределение различных категорий населения (восприимчивые,
инфицированные, госпитализированные, вылеченные и т.п.) в течение всего времени
моделирования. В Разделе 6.2 описываются алгоритмы численного решения обратных
задач, в которых требуется определить неизвестные параметры моделей по дополни-
тельной информации о количестве выявленных инфицированных, протестированных,
госпитализированных и умерших в фиксированные моменты времени.
6.1 Прямые задачи
Прямая задача для модели эпидемиологии состоит в определении количества или
плотности восприимчивой, протестированной, инфицированной, госпитализированной
и т.п. групп населения по заданным эпидемиологическим коэффициентам и начальным
условиям. Численные методы решения прямых задач для математических моделей,
основанных на дифференциальных уравнениях (Раздел 3), характеризуются конечно-
разностной структурой (методы Эйлера, конечных разностей, элементов, объемов). По-
лученное численное решение чувствительно к разбиению области моделирования (по
времени, по пространству и времени). Обзор численных методов решения задач игр
среднего поля приведен в работах [Y. Achdou, I. Capuzzo-Dolcetta, 2010,Y. Achdou,
2013,V.V. Shaydurov, 2020].
В комплексе программ COVID-19 для численного решения прямых задач исполь-
зованы:
•для моделей SIRC и SEIR-HCD: метод Рунге-Кутты 4-го порядка.
•для агентных моделей: методы графов, Монте-Карло и программные комплексы
Covasim [C.C. Kerr et al., 2021].
•для моделей ИСП: метод конечных разностей дробных шагов, конечных объемов.
6.2 Обратные задачи
Параметры моделей в эпидемиологии (индекс репродукции вируса ℛ0(𝑡), вероят-
ность госпитализации, тестирования, выздоровления, количество бессимптомных но-
сителей и т.п.) заданы приближенно и нуждаются в уточнении в каждом конкретном
регионе для увеличения точности моделирования и прогнозирования распространения
эпидемии. С этой целью мы решаем обратную задачу, которая состоит в определении
вектора неизвестных параметров qматематической модели эпидемиологии по допол-
нительной информации 𝑓𝑖
𝑘о количестве выявленных (𝑖= 1), госпитализированных
(𝑖= 2), умерших (𝑖= 3) в фиксированные моменты времени 𝑡𝑘,𝑘= 1, . . . , 𝐾 (подроб-
нее о постановке обратной задач для моделей SEIR-HCD и АОМ см. Разделы 6.2.1
и6.2.2 соответственно). Обратная задача может быть сформулирована в виде задачи
минимизации целевого функционала [B. Kaltenbacher et al., 2008,S. Kabanikhin, 2009]:
𝐽(q) = ⟨𝐴(q)−f, 𝐴(q)−f⟩.(6.1)
6.2 Обратные задачи 35
Здесь 𝐴– нелинейный оператор обратной задачи, f=𝑓𝑖
𝑘𝑖∈ℐ,
𝑘=1,𝐾
,ℐ– множество изме-
ряемых состояний системы.
Обратная задача является некорректной, а именно ее решение может быть неедин-
ственным и/или неустойчивым [А.Н. Тихонов, А.В. Гончарский и др., 1983,А.Н. Тихо-
нов, А.С. Леонов и др., 1995,S. Kabanikhin, 2009]. Для разработки алгоритма регуля-
ризации решения обратной задачи проводится анализ чувствительности параметров,
который позволяет упорядочить параметры 𝑞𝑖по степени чувствительности по отно-
шению к вариации данных обратной задачи [M. Hongyu et al., 2011,B.M. Adams, H.T.
Banks et. al, 2015,I. Andrianakis, I.R. Vernon et. al, 2015,O.I. Krivorotko, D.V. Andornaya
et. al, 2020].
В комплексе программ SBRAS-COVID-19 для численного решения обратных задач
использованы:
•Поиск глобального минимума функционала: генетический алгоритм, метод диф-
ференциальной эволюции, метод имитации отжига, метод роя частиц, метод дре-
вовидных оценок Парзена, тензорная оптимизация, стохастический градиентный
спуск, глубокие нейронные сети, обучение с подкреплением.
•Для уточнения минимума: методы минимальных ошибок, наискорейшего спуска,
Левенберга-Марквардта, Бройдена-Флетчера-Гофбардто-Шанно, Нелдера-Мида.
Для исследования прямых и обратных задач программного комплекса SBRAS-
COVID-19 использованы теоретические результаты:
1. SIR-модели:
•Теория нелинейных операторных уравнений Вольтерра в банаховых и гиль-
бертовых пространствах – локальная корректность, корректность в окрест-
ности точного решения, единственность и условная устойчивость, сходимость
дискретных аналогов к точному решению [ссылка на статью в ЖВМиМФ].
•Устойчивость обратных задач – А.Н. Тихонов [А.Н. Тихонов, 1943], М.М. Лав-
рентьев [М.М. Лаврентьев, 1953], С.К. Годунов [С.К. Годунов, А.Г. Антонов
и др., 1992], С.И. Кабанихин [S.I. Kabanikhin, O.I. Krivorotko, 2012].
•Методы идентифицируемости – структурная (дифференциальной алгебры,
передаточной функции, разложения в ряд Тейлора) и практическая (Монте-
Карло, корреляционной матрицы) [M. Hongyu et al., 2011].
•Методы анализа чувствительности: ортогональный, сингулярного разложе-
ния, собственных значений [M. Hongyu et al., 2011,B.M. Adams, H.T. Banks
et. al, 2015,O.I. Krivorotko, D.V. Andornaya et. al, 2020].
•Теория регуляризации – методы М.М. Лаврентьева [М.М. Лаврентьев, 1962],
А.Н. Тихонова [А.Н. Тихонов, 1963] и В.К. Иванова [В.К. Иванов, 1963], ите-
рационная регуляризация [S.I. Kabanikhin, O.I. Krivorotko, 2015,O. Krivorotko,
S. Kabanikhin et al., 2020].
•Методы учета априорной информации – И.И. Еремин, В.В. Васин, А.Г. Ягола.
•Исследование сходимости природоподобных алгоримтов – теорема стохасти-
ческой сходимости [А.А. Жиглявский, А.Г. Жилинскас, 1991].
•Теория больших данных – тензорное разложение [Е.Е. Тыртышников, 1993,
I.V. Oseledets, 2011,Д.А. Желтков, И.В. Оферкин и др., 2013,V.V. Zheltkova,
D.A. Zheltkov et al., 2018].
2. Агентные модели:
6.2 Обратные задачи 36
•Методы анализа чувствительности – баесовский подоход, регрессионный ана-
лиз [I. Andrianakis, I.R. Vernon et. al, 2015,O.I. Krivorotko, M.I. Sosnovskaia et
al., 2021].
•Методы высокопроизводительных вычислений – распределенные вычисле-
ния, MPI.
6.2.1 Алгоритм решения обратной задачи для SEIR-HCD
Предположим, что известна дополнительная информация о количестве симптомных
выявленных случаях (1 −𝑏𝑘)ℎ𝑘, критических 𝐶𝑘и умерших 𝑔𝑘в SEIR-HCD модели в
фиксированные моменты времени 𝑡𝑘,𝑘= 1, . . . , 𝐾:
𝐸(𝑡𝑘;q) = (1 −𝑏𝑘)ℎ𝑘, 𝐶(𝑡𝑘;q) = 𝐶𝑘, 𝐷(𝑡𝑘;q) = 𝑔𝑘, 𝑘 = 1, . . . , 𝐾. (6.2)
Здесь q= (𝛼𝐸(𝑡), 𝛼𝐼(𝑡), 𝜀𝐻𝐶 , 𝜇, 𝐸0, 𝐼0)– вектор неизвестных параметров модели, ℎ𝑘–
количество выявленных случаев в Новосибирской области (см. Рис. A.1 в Приложе-
нии A), 𝑏𝑘– процент бессимптомных случаев по результатам ПЦР.
Обратная задача для SEIR-HCD модели (3.5)-(3.6), (6.2) состоит в определении век-
тора параметров qпо дополнительной информации (6.2). Обратная задача для SEIR-
HCD модели была сведена к задаче минимизации целевого функционала
𝐽(q) =
𝐾
𝑘=1
1
(1 −𝑏𝑘)2ℎ2
𝑘1
𝑡𝑖𝑛𝑐
𝐸(𝑡𝑘−1;q)−(1 −𝑏𝑘)ℎ𝑘2
+(𝐶(𝑡𝑘;q)−𝐶𝑘)2
𝐶2
𝑘
+
+(𝐷(𝑡𝑘;q)−𝑔𝑘)2
𝑔2
𝑘
.
(6.3)
Анализ идентифицируемости модели (3.5)-(3.6), (6.2) показал, что параметр 𝛽, опи-
сывающий долю инфицированных индивидуумов, которые переносят заболевание без
осложнений, является наименее идентифицируемым [O.I. Krivorotko, S.I. Kabanikhin et
al., 2021], поэтому в качестве дополнительной информации использованы данные ме-
дицинского центра «Инвитро» (см. Приложение A), которые в полтора раза повысили
устойчивость решения обратной задачи.
Для численного решения задачи минимизации 𝐽(q)(6.3) использовалась следующая
последовательность шагов:
1. Подготовка и обработка реальных данных для вычисления обратной задачи:
1.1. Данные по новым выявленным случаям заражения COVID-19 ℎ𝑘, критиче-
ским (требующих подключение аппарата ИВЛ) 𝐶𝑘и умершим 𝑔𝑘.
1.2. Данные по проценту бессимптомных выявленных случаев 𝑏𝑘от общего числа
выявленных случаев заражения COVID-19, а также его прогноз на период
моделирования, построенного с помощью нейронных сетей (см. Раздел 2.3).
1.3. Индекс самоизоляции от Яндекса 𝑎(𝑡), а также его прогноз на период моде-
лирования, построенного с помощью нейронных сетей (см. Раздел 2.3).
1.4. Данные по проценту индивидуумов с антителами к COVID-19 от медицин-
ского центра «Инвитро» 𝛽(𝑡), а также его прогноз на период моделирования,
построенного с помощью нейронных сетей (см. Раздел 2.3).
2. Определение границ параметров для искомого вектора q(см. Таблицу 3.1, колон-
ку 3).
3. Уточнение вектора неизвестных параметров qпутём решения обратной задачи ал-
горитмом усвоения данных. Обратная задача решается для каждого 30-дневного
отрезка реальных данных (тренировочные данные). Далее, по восстановленным
6.2 Обратные задачи 37
параметрам qдля текущего 30-дневного отрезка осуществляется прогноз эпи-
демиологических данных на следующие 7 дней (валидационные данные). Про-
гноз осуществляется путём решения прямой задачи (3.5.2) по схеме, указанной на
рис. 6.1. Далее новые тренировочный и валидационный периоды смещаются на 7
дней и для этих периодов решается новая обратная задача. И так далее до тех
пор пока не закончатся реальные данные.
Рис. 6.1: Алгоритм усвоения данных при решении обратной задачи для SEIR-HCD
модели (3.5)-(3.6), (6.2). Тренировочный период (30 дней) – уточнение параметров q.
Прогноз (7 дней) рассчитывается при найденных q. Новый период сдвигается на 7 дней и
снова решается обратная задача.
3.1. Для решения задачи минимизации целевого функционала (6.3) использовался
пакет глобальной оптимизации OPTUNA, в реализации которого лежат при-
родоподобные алгоритмы, метод древовидных оценок Парзена и тензорная
оптимизация.
3.2. Полученный на предыдущем шаге глобальный оптимум уточнялся с помо-
щью локальных методов градиентного типа [S.I. Kabanikhin, O.I. Krivorotko,
2015].
6.2.2 Алгоритм решения обратной задачи для АОМ
Предположим, что для АОМ, описанной в разделе 4.3.1, известна дополнитель-
ная информация о количестве ежедневно выявленных случаев ℎ𝑘, проведенных ПЦР-
тестов в регионе 𝑇(𝑡𝑘), критических 𝐶𝑘и умерших 𝑔𝑘случаев в фиксированные мо-
менты времени 𝑡𝑘, 𝑘 = 1, . . . , 𝐾. Обратная задача для модели АОМ состоит в определе-
нии вектора параметров q= (𝛼, 𝛼𝑑(𝑡), 𝛼𝑐(𝑡), 𝑝(𝑡), 𝐸0)по дополнительной информации
ℎ𝑘, 𝑇 (𝑡𝑘), 𝐶𝑘, 𝑔𝑘,𝑘= 1, . . . , 𝐾. Здесь 𝛼– параметр контагиозности вируса, 𝛼𝑑(𝑡)– дни
изменения параметра 𝛼,𝛼𝑐(𝑡)– значения, на которые изменяется параметр 𝛼в дни
𝛼𝑑(𝑡𝑘),𝑝(𝑡)– шанс быть протестированным (зависит от возрастной группы), 𝐸0– на-
чальное количество бессимптомных инфицированных.
Обратная задача сводится к задаче минимизации целевого функционала:
𝐽(q) =
𝐾
𝑘=1
|𝑌(𝑡𝑘;q)−ℎ𝑘|
ℎ𝑘
+|𝐶(𝑡𝑘;q)−𝐶𝑘|
𝐶𝑘
+|𝐷(𝑡𝑘;q)−𝑔𝑘|
𝑔𝑘
.(6.4)
Здесь 𝑌(𝑡;q)– количество моделируемых выявленных случаев COVID-19 в результате
ПЦР тестирования.
Была исследована идентифицируемость агентной модели на основе байесовского
подхода [I. Andrianakis, I.R. Vernon et. al, 2015] с тремя неизвестными параметрами:
параметр контагиозности 𝛼, начальное количество инфицированных 𝐸0и параметр
6.2 Обратные задачи 38
тестирования 𝑝по статистическим данным о количестве выявленных ℎ𝑘, смертей 𝑔𝑘в
результате COVID-19 и пациентов, находящихся в отделении интенсивной терапии 𝐶𝑘.
В результате удалось уменьшить границы поиска параметра 𝛼более чем в 2 раза, в то
время как границы параметров 𝑝и𝐸0остались неизменными.
Алгоритм численного решения задачи минимизации функционала 𝐽(q)(6.4):
1. Подготовка и обработка реальных данных для вычисления обратной задачи (фай-
лы с данными доступны на сайте http://covid19-modeling.ru/ в разделе "Дан-
ные"):
1.1. Заполнение пропусков в данных о ежедневно выявленных случаев, прове-
денных ПЦР-тестов, критических и умерших методами обратной и прямой
экстраполяции.
1.2. Сглаживание данных с помощью Гауссовского фильтра [4] для уменьшения
флуктуации данных перед использованием их в решении обратной задачи.
2. Уточнение границ изменения неизвестных параметров qметодами анализа чув-
ствительности.
3. Поэтапное восстановление вектора параметров qс шагом 30 дней, в ходе которо-
го значения кусочно-постоянного параметра 𝛼(𝛼𝑑(𝑡), 𝛼𝑐(𝑡)) находились последова-
тельно один за другим. Таким образом, значения параметров, восстановленные на
предыдущем шаге, использовались в последующем запуске алгоритма минимиза-
ции функционала, который представлял собой комбинацию методов глобального
(библиотека OPTUNA) и локального (градиентные) метода оптимизации.
4. Построение сценариев распространения количества выявленных случаев COVID-
19:
4.1. Экстраполяция количества ожидаемых ПЦР-тестов в регионе 𝑇(𝑡)с помо-
щью регрессионных моделей SARIMA (Раздел 2.2) в комбинации с методами
машинного обучения (Раздел 2.3) на 45 дней.
4.2. Для уточненных параметров и ограничительных мер (введение ограничитель-
ных мер описано в Разделе 4.3.1) решаем прямую задачу.
5. Построение доверительных интервалов:
5.1. Решаем прямую задачу с идентифицированными параметрами 10000 раз с по-
мощью метода Монте-Карло (вычислительное время решения прямой задачи
для АОМ на кластере составляет 10 сек).
5.2. Для каждого дня считаем квантили уровня 0.1, 0.5, 0.9 (строим функцию
распределения случайной величины выявленных случаев и выбираем ее зна-
чения в точках 0.1, 0.5 и 0.9).
5.3. Получаем 3 массива точек с шагом один день, по которым строим медианное
значение (квантиль уровня 0.5, сплошная линия на графиках в Разделе 7.1).
7 Заключение 39
7 Заключение
В данном разделе будет проведен анализ численных расчетов для АОМ и SEIR-
HCD модели в Новосибирской области (Раздел 7.1), влияние социальной дистанции
на распространение эпидемии в Новосибирской области на основе ИСП (Раздел 7.2),
выводы (Раздел 7.3) и направления дальнейшей работы (Раздел 7.4).
7.1 Анализ расчета сценариев распространения COVID-19
Численные эксперименты продемонстрированы для Новосибирской области. Дан-
ные, использованный при анализе и построении моделей, описаны в Приложении A.
На рисунке 7.1 представлены численные результаты моделирования распростране-
ния ежедневно выявленных случаев. Зелеными точками отмечены реальные данные с
12.03.2020 по 16.10.2021, которые участвовали в решении обратной задачи. Красной ли-
нией представлены результаты для агентной модели, синей – для камерной SEIR-HCD
модели. Gри моделировании был сделан прогноз на 40 дней (с 17.10.2021 по 26.11.2021) с
учетом сохранения карантинных мер. Результат прогнозирования был сравнен с реаль-
ными данными 08.11.2021: количество выявленных случаев согласно реальным данным
– 400 человек, согласно результатам агентной модели – 362, согласно камерной SEIR-
HCD модели – 387.
Рис. 7.1: Моделирование распространения ежедневно выявленных случаев COVID-19 в
Новосибирской области с 12.03.2020 по 30.11.2021 (расчеты проведены 16.10.2021).
Синяя линия – SEIR-HCD модель, красная линия – АОМ, зеленая линия – реальные
данные с 12.03.2020 по 16.10.2021.
Для анализа эффективности ограничительных мер были изучены следующие сце-
нарии распространения ежедневно выявленных случаев COVID-19 (рис. 7.2):
•Нерабочие дни с 30.10 по 07.11, в течение которых уменьшается на 40% людей на
работе и учебе, потом увеличивается заболеваемость из-за привезенных случаев
в 2 раза — синяя линия;
•Локдаун с 30.10.2021 по 14.11.2021, в течение которого полностью закрыты обра-
зовательные учреждения, 50% общественных мест и 50% рабочих переведены на
удаленный режим работы — красная линия;
7.1 Анализ расчета сценариев распространения COVID-19 40
•Ничего не предпринимать (базовый сценарий) – зеленая линия.
Результаты численных расчетов для сценариев развития представлены на рисун-
ке 7.2. Так, введенная мера о нерабочих днях (синяя линия) может привести к самому
неблагоприятному сценарию развития ситуации, при которой к 8 ноября ожидается
416 выявленных случаев. Базовый сценарий развития (зеленая линия) предполагает
356 выявленных случаев к 8 ноября, в рамках которого количество людей в обществен-
ных местах уменьшится из-за введения QR-кодов. Наиболее оптимистичный сценарий
стоит ждать в случае более серьезного локдауна (красная линия), при котором к 8
ноября ожидается 349 выявленных случаев.
Рис. 7.2: Сценарии распространения ежедневно выявленных случаев COVID-19 в
Новосибирской области с 17.10.2021 по 30.11.2021.
Синяя линия – нерабочие дни с 30.10 по 07.11 с учетом оттока 40% населения в
эндемичные районы, красная линия – локдаун с 30.10.2021 по 14.11.2021, зеленая линия –
базовый сценарий на 16.10.2021.
Синие точки – реальные данные выявленных случаев COVID-19 по 16.10.2021,
используемые в моделировании, черные точки – реальные данные выявленных случаев
COVID-19 с 17.10.2021 по 08.11.2021, используемые для валидации.
Для каждого из сценариев были проведены расчеты индекса репродукции вируса ℛ0
для АОМ, описанного в разделе 3.5. Результаты численных расчетов представлены на
рис. 7.3. В случае сценария «объявления нерабочей недели» индекс репродукции ожи-
дается наибольшим по значению, что впоследствии может привести к повышенному
числу выявленных и умерших случаев, а также нагрузку на систему здравоохранения
(синяя линия). Более серьезные ограничения до 14.11 (красная линия) значительно
уменьшат значение индекса репродукции, однако через 2 недели он снова может уве-
личиться и переступить порог в 1. Базовый сценарий развития (черная линия) к 30
ноября предполагает стабильную ситуацию в регионе.
7.2 Анализ влияния социальной дистанции на распространение эпидемии 41
Рис. 7.3: Сценарии изменения индекса репродукции вируса ℛ0(𝑡)для Новосибирской
области с 17.10.2021 по 30.11.2021.
Синяя линия – объявление нерабочих дней с 30.10 по 07.11 и отток 40% населения из
региона, красная линия – закрытие учебных заведений и 50% общественных и рабочих
мест с 30.10.2021 по 14.11.2021, черная линия – базовый сценарий на 16.10.2021.
7.2 Анализ влияния социальной дистанции на распростра-
нение эпидемии
На основе SIR-модели была введена модель SIRC [R. Casagrandi, L. Bolzoni et al.,
2021], в которой 𝐶𝑟(𝑡)– группа населения, имеющая перекрестный иммунитет (т.е.
иммунную память к коронавирусу):
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑑𝑆
𝑑𝑡 =−𝛼𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) + 𝛾𝐶(𝑡), 𝑡 > 0,
𝑑𝐼
𝑑𝑡 =𝛼𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) + 𝜀𝛼𝐶 (𝑡)𝐼(𝑡)−𝛽𝐼(𝑡),
𝑑𝑅
𝑑𝑡 = (1 −𝜀)𝛼𝐶 (𝑡)𝐼(𝑡) + 𝛽𝐼(𝑡)−𝛿𝑅(𝑡),
𝑑𝐶
𝑑𝑡 =𝛿𝑅(𝑡)−𝛼𝐶(𝑡)𝐼(𝑡) + 𝛾𝐶(𝑡).
(7.1)
Значения параметров для Новосибирской области, определенные с помощью реше-
ния обратной задачи для модели (7.1) по дополнительной информации о количестве
ежедневно выявленных в результате ПЦР-теста ℎ𝑘и вылеченных от COVID-19 𝑅𝑘,
𝑘= 1,...,100, с 1 мая 2020 года по 8 августа 2020 года приведены в Табл. 7.1.
Для сведения модели (7.1) к модели ИСП (см. Раздел 5.4) вместо численности на-
селения в каждой группе 𝑆(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡), 𝐶 (𝑡)введем плотность распределения людей
внутри этих групп 𝑚𝑆(𝑡, 𝑥),𝑚𝐼(𝑡, 𝑥),𝑚𝑅(𝑡, 𝑥),𝑚𝐶(𝑡, 𝑥). Переменная 𝑥изменяется в
пределах [0,1] и означает соблюдение карантинных мер: 𝑥= 1 означает, что чело-
век полностью придерживается карантинных ограничений, включая вакцинирование,
а𝑥= 0 означает, что он не придерживается никаких ограничений.
Введем функции 𝑢𝑆(𝑡, 𝑥),𝑢𝐼(𝑡, 𝑥),𝑢𝑅(𝑡, 𝑥),𝑢𝐶(𝑡, 𝑥), обозначающие изменение состо-
яния человека в шкале соблюдения карантинных мер, вызываемое окружающей обста-
новкой, воздействием СМИ, вакцинацией и организационными мероприятиями. Тогда
7.2 Анализ влияния социальной дистанции на распространение эпидемии 42
Описание параметров Символ Среднее значе-
ние
Скорость передачи инфекции 𝛼0.2821
Скорость выздоровления инфицированного на-
селения
𝛽0.253
Вероятность приобретения перекрестного имму-
нитета
𝛿0.0889
Скорость, с которой перекрестно-иммунная по-
пуляция снова становится восприимчивой
𝛾0.0376
Средняя вероятность повторного заражения че-
ловека с перекрестным иммунитетом
𝜀0.0928
Таблица 7.1: Эпидемиологические параметры для SIRC модели (7.1) для Новосибирской
области с 01.05.2020 по 08.08.2020.
уравнения КФП (5.7)-(5.9) примут вид:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝜕𝑝𝑆
𝜕𝑡 +∇(𝑝𝑆𝑢𝑆) + 𝛼𝑝𝑆𝑝𝐼−𝛾𝑝𝐶−𝜎2
𝑆Δ𝑝𝑆/2 = 0,
𝜕𝑝𝐼
𝜕𝑡 +∇(𝑝𝐼𝑢𝐼)−𝛼𝑝𝑆𝑝𝐼−𝜀𝛼𝑝𝐶𝑝𝐼+𝛽𝑝𝐼−𝜎2
𝐼Δ𝑝𝐼/2 = 0,
𝜕𝑝𝑅
𝜕𝑡 +∇(𝑝𝑅𝑢𝑅)−(1 −𝜀)𝛼𝑝𝐶𝑝𝐼−𝛽𝑝𝐼+𝛿𝑝𝑅−𝜎2
𝑅Δ𝑝𝑅/2 = 0,
𝜕𝑝𝐶
𝜕𝑡 +∇(𝑝𝐶𝑢𝐶)−𝛿𝑝𝑅+𝛼𝑝𝐶𝑝𝐼+𝛾𝑝𝐶−𝜎2
𝑅Δ𝑝𝑅/2 = 0
(7.2)
с начальными
𝑝𝑖(0, 𝑥) = 𝑝𝑖,0(𝑥), 𝑥 ∈[0,1], 𝑖 ∈ {𝑆, 𝐼, 𝑅, 𝐶 }(7.3)
и краевыми условиями
𝜕𝑝𝑖
𝜕𝑥 (𝑡, 0) = 𝜕𝑝𝑖
𝜕𝑥 (𝑡, 1) = 0, 𝑡 ∈[0, 𝑇 ], 𝑖 ∈ {𝑆, 𝐼, 𝑅, 𝐶 }.(7.4)
Функционал стоимости организационных мероприятий и социально-экономических
потерь
𝐽(𝑝𝑠𝑖𝑟𝑐, 𝑢𝑠𝑖𝑟 𝑐) =
𝑇
0
1
0
(𝐶(𝑡, 𝑥, 𝑢𝑠𝑖𝑟𝑐) + 𝐺(𝑡, 𝑥, 𝑝𝑠𝑖𝑟𝑐)) 𝑑𝑥𝑑𝑡. (7.5)
Здесь 𝐶(𝑡, 𝑥, 𝑢𝑠𝑖𝑟𝑐)– стоимость проводимых организационных мероприятий: вакцина-
ция, карантинные мероприятия, введение QR-кодов и другие, 𝐺(𝑡, 𝑥, 𝑝𝑠𝑖𝑟𝑐)– стоимость
социальных и экономических потерь для группы населения в позиции 𝑥на момент
времени 𝑡,𝑝𝑠𝑖𝑟𝑐 = (𝑝𝑆, 𝑝𝐼, 𝑝𝑅, 𝑝𝐶),𝑢𝑠𝑖𝑟𝑐 = (𝑢𝑆, 𝑢𝐼, 𝑢𝑅, 𝑢𝐶).
Минимум функционала 𝐽(𝑝𝑠𝑖𝑟𝑐, 𝑢𝑠𝑖𝑟 𝑐)(7.5) при выполнении уравнений КФП опре-
деляется методом множителей Лагранжа 𝜓𝑆(𝑡, 𝑥),𝜓𝐼(𝑡, 𝑥),𝜓𝑅(𝑡, 𝑥),𝜓𝐶(𝑡, 𝑥), которые
7.2 Анализ влияния социальной дистанции на распространение эпидемии 43
удовлетворяют системе ГЯБ типа (5.3):
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝜕𝜓𝑆
𝜕𝑡 +𝜎2
𝑆
2Δ𝜓𝑆+𝑢𝑆· ∇𝜓𝑆=𝐶𝑆(𝑡, 𝑥, 𝑝𝑠𝑖𝑟𝑐, 𝜓𝑠𝑖𝑟 𝑐),
𝜕𝜓𝐼
𝜕𝑡 +𝜎2
𝐼
2Δ𝜓𝐼+𝑢𝐼· ∇𝜓𝐼=𝐶𝐼(𝑡, 𝑥, 𝑝𝑠𝑖𝑟𝑐, 𝜓𝑠𝑖𝑟 𝑐),
𝜕𝜓𝑅
𝜕𝑡 +𝜎2
𝑅
2Δ𝜓𝑅+𝑢𝑅· ∇𝜓𝑅=𝐶𝑅(𝑡, 𝑥, 𝑝𝑠𝑖𝑟𝑐, 𝜓𝑠𝑖𝑟𝑐),
𝜕𝜓𝐶
𝜕𝑡 +𝜎2
𝐶
2Δ𝜓𝐶+𝑢𝐶· ∇𝜓𝐶=𝐶𝐶(𝑡, 𝑥, 𝑝𝑠𝑖𝑟𝑐, 𝜓𝑠𝑖𝑟 𝑐)
(7.6)
с начальными условиями на конце периода времени оптимизации 𝑇
𝜓𝑖(𝑇, 𝑥)=0, 𝑥 ∈[0,1], 𝑖 ∈ {𝑆, 𝐼 , 𝑅, 𝐶}
и краевыми условиями
𝜕𝜓𝑖
𝜕𝑥 (𝑡, 0) = 𝜕𝜓𝑖
𝜕𝑥 (𝑡, 1) = 0, 𝑡 ∈[0, 𝑇 ], 𝑖 ∈ {𝑆, 𝐼, 𝑅, 𝐶 }.
Дифференциальные части задач КФП и ГЯБ сопряжены между собой и их коэф-
фициенты связаны алгебраическими уравнениями
𝜕𝐶
𝜕𝑢𝑖
(𝑡, 𝑥, 𝑢𝑠𝑖𝑟𝑐) = −𝜕𝜓𝑖
𝜕𝑥 (𝑡, 𝑥), 𝑖 ∈ {𝑆, 𝐼, 𝑅, 𝐶}(7.7)
из которых определяются параметры 𝑢𝑆, 𝑢𝐼, 𝑢𝑅, 𝑢𝐶, отражающие текущее изменение
позиций групп населения по отношению к соблюдению карантинных мер.
Решение задач для уравнений КФП (7.2)-(7.4) и ГЯБ (7.6) совместно с уравнени-
ем связи 7.7 дает решение проблемы минимизации потерь при эпидемии с указанием
строгости мер или возможности ослабления карантинных ограничений. На рис. 7.4
приведено сравнение результатов моделирования числа инфицированного населения
для моделей SIRC (7.1) и ИСП (уравнения КФП и ГЯБ) со статистическими данными
в течение 100 дней с 1 мая2020 по 8 августа 2020 года в Новосибирской области.
7.3 Выводы 44
Рис. 7.4: Сравнение результатов моделирования числа выявленных случаев COVID-19 в
Новосибирской области со статистическими данными с 01.05.2020 по 08.08.2020.
Сплошная линия – статистические данные, пунктирная линия – SIRC модель, линия с
треугольниками – ИСП модель.
7.3 Выводы
Сочетание моделей SIR и АОМ позволяет строить более точные сценарии распро-
странения пандемии COVID-19. А именно, используя результаты решения обратной
задачи SEIR-HCD модели как дополнительную информацию для АОМ, мы уточняем
сценарии с учетом ограничительных мер с помощью АОМ. Рассчитанные сценарии ис-
пользуются как дополнительная информации для дальнейшего уточнения параметров
SEIR-HCD модели.
При усложнении SIR-модели, вводя возрастные разграничения в популяции и про-
странственные перемещения, мы получим первое приближение АОМ.
Для более точных рекомендаций поддержки принятия решений и более комплекс-
ного моделирования мы применяем подход ИСП и ИСПУ (управление играми среднего
поля, mean-field-type control). А именно, влияние вакцинации, характеризующее соци-
альные настроения в регионе, учитывается при построении распределений населения
в эпидемиологических группах.
История заболевания (временные ряды эпидемиологических данных) составляет
обучающие множества для методов машинного обучения.
7.4 Направления дальнейшей работы
Необходимо совершенствовать методы искусственного интеллекта в приложении к
моделированию COVID-19, включая анализ ситуации в различных регионах и группах,
обработку данных на основе всех описанных моделей SIR, АОМ и ИСП (ИСПУ).
7.4 Направления дальнейшей работы 45
Финансовая поддержка
Работа выполнена при поддержке Математического Центра в Академгородке, согла-
шение с Министерством науки и высшего образования Российской Федерации № 075-
15-2019-1675.
Благодарности
В различные годы работа выполнялась по грантам:
•Российского научного фонда (проект № 18-71-10044);
•Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 21-51-10003,
№ 18-31-20019, № 17-51-540004);
•Президента РФ (№ МК-814.2019.1, № МК-4994.2021.1.1);
•Мэрии города Новосибирска на предоставление грантов в форме субсидий в сфере
научной и инновационной деятельности 2021;
•Министерства образования Республики Казахстан (№ ИРН AP09260317).
Авторы признательны всем своим коллегам, с которыми неоднократно обсуждали
вопросы и проблемы, изложенные в данной работе:
1. Россия
•Москва
–РАН – А.М. Сергеев, К.Р. Нигматуллина.
–ИВМ РАН – Е.Е. Тыртышников, А.А. Романюха, Г.А. Бочаров.
–МФТИ – А.А, Шананин, А.В. Гасников, Н.В. Трусов.
–Сколех – И.В. Оселедец.
–ИСП РАН – А.И. Аветисян.
–ВЦ им. А.А. Дородницына РАН – Ю.Г. Евтушенко.
•Санкт-Петербург
–ИТМО – А.И. Боровков, В.Н. Леоненко.
•Екатеринбург
–РФЯЦ-ВНИИТФ им. академ. Е.И. Забабахина – Г.Н. Рыкованов, С.Н. Ле-
бедев, О.В. Зацепин.
•Красноярск
–ИВМ СО РАН – В.В. Шайдуров, В.С. Петракова.
•Новосибирск
–НСО – А.В. Васильев.
–СО РАН – В.Н. Пармон, М.И. Воевода, С.Р. Сверчков.
–ИВМиМГ СО РАН – Г.А. Михайлов, Г.З. Лотова, Н.Ю. Зятьков.
–ИМ СО РАН – М.А. Шишленин, Е.П. Вдовин.
–ФИЦ ИВТ СО РАН – Ф.А. Колпаков, И.Н. Киселев.
–ФИЦ ИЦиГ СО РАН – А.Н. Колчанов.
–МЦА НГУ – М.И. Сосновская, А.В. Неверов.
2. Китай
•Шанхай, Fudan University – Jin Cheng.
7.4 Направления дальнейшей работы 46
3. США
•Сиэттл, Institute for Disease Modeling – Cliff Kerr.
4. Великобритания
•Лидс, University of Leeds – Daniel Lesnic.
5. Казахстан
•КазНПУ им. Абая – М.А. Бектемесов.
6. Болгария
•София, University of Sofia – Н. Попиванов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 47
Список литературы
[М.А. Кондратьев, 2013] М.А. Кондратьев. Методы прогнозирования и модели распро-
странения заболеваний. Компьютерные исследования и моделирование. 5(5), 863-
882 (2013).
[В.В. Захаров, Ю.Е. Балыкина, 2021] В.В. Захаров, Ю.Е. Балыкина. Балансовая мо-
дель эпидемии COVID-19 на основе процентного прироста. Информатика и ав-
томатизация.20(5), 1034-1064 (2021).
[H.S. Burkom et al., 2007] H.S. Burkom, S.P. Murphy, G. Shmueli. Automated time series
forecasting for biosurveillance. Statistics in Medicine.26(22), 4202-4218 (2007).
[R.E. Serfling, 1963] R.E. Serfling. Methods for current statistical analysis of excess
pneumonia-influenza deaths. Public Health Reports.78(6), 494-506 (1963).
[Д. Бокс, Г. Дженкинс, 1974] Д. Бокс, Г. Дженкинс. Анализ временных рядов: прогноз
и управление. Выпуск 1. М.: Мир, 1974.
[P.P. Dabral, M.Z. Murry, 2017] P.P. Dabral, M.Z. Murry. Modelling and forecasting of
rainfall time series using SARIMA. Environ. Process.4, 399-419 (2017).
[G.E.P. Box, D.R. Cox, 1964] G.E.P. Box, D.R. Cox. An analysis of transformations. (With
discussion). J. Roy. Statist. Soc. Ser. B. 26, 211-252 (1964).
[T. Williams, 1987] T. Williams. Adaptive Holt-Winters forecasting. J. Oper. Res. Soc. 38,
553-560 (1987).
[P. Sebastiani et al., 2006] P. Sebastiani, K.D. Mandl, P. Szolovits, I.S. Kohane, M.F.
Ramoni. A Bayesian dynamic model for influenza surveillance. Statistics in Medicine.
25(11), 1803-1816 (2006).
[Y.Le Strat, F. Carrat, 1999] Y.Le Strat, F. Carrat. Monitoring epidemiologic surveillance
data using hidden Markov models. Statistics in Medicine.18(24), 3463-3478 (1999).
[M. Wieczorek et al., 2020] M. Wieczorek, J. Silka, M. Wo´zniak. Neural network powered
COVID-19 spread forecasting model. Chaos, Solitons & Fractals.140, 110203 (2020).
[G. Shmueli, S.E. Fienberg, 2006] G. Shmueli, S.E. Fienberg. Current and potential
statistical methods for monitoring multiple data streams for biosurveillance. Statistical
Methods in Counterterrorism: Game Theory, Modeling, Syndromic Surveillance, and
Biometric Authentication. New York: Springer Science + Business Media, 2006. P.
109-140.
[E.S. Gardner, 1985] E.S. Gardner. Exponential smoothing: the state of the art. Journal of
Forecasting.4(1), 1-28 (1985).
[J.D. Hamilton, 1994] J.D. Hamilton. Time Series Analysis. Princeton, NJ: Princeton
University Press, 1994. – 820 p.
[D. Bernoulli, 1760] D. Bernoulli. Essai d’une nouvelle analyse de la mortalit´e caus´ee par
la petite v´erole et des avantages de l’inoculation pour la pr´evenir. Mem. Math. and
Phys. de l’Acad. Roy. Sci., in: Hist. de l’Acad. Roy. Sci., Ann. 1760, Paris, 1766, 1.
[N. Bacaer, 2011] N. Baca´
’er. A Short History of Mathematical Population Dynamics.
Springer, London, 2011.
[F. Brauer, 2017] F. Brauer. Mathematical epidemiology: Past, present, and future.
Infectious Disease Modelling. 2, 113–127 (2017).
[R. Ross, 1911] R. Ross. The Prevention of Malaria, 2nd edn. John Murray, London, 1911.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 48
[A.J. Lotka, 1920] A.J. Lotka. Undamped oscillations derived from the law of mass action.
J. Amer. Chem. Soc. 42, 1595–1599 (1920).
[V. Volterra, 1926] V. Volterra. Fluctuations in the abundance of a species considered
mathematically. Nature.118, 558–560 (1926).
[A.G. McKendrick, 1926] A.G. McKendrick. Applications of mathematics to medical
problems. Proc. Edinb. Math. Soc. 13, 98–130 (1926).
[W.O. Kermack, A.G. McKendrick, 1927] W.O. Kermack, A.G. McKendrick. A
contribution to the mathematical theory of epidemics. Proc. R. Soc. Lond. A
115, 700–721 (1927).
[E. Pelinovsky et al., 2020] E. Pelinovsky, A. Kurkin, O. Kurkina, M. Kokoulina, A.
Epifanova. Logistic equation and COVID-19. Chaos, Solitons & Fractals. 140, 110241
(2020).
[P. Wang et al., 2020] P. Wang, X. Zheng, J. Li, B. Zhu. Prediction of epidemic trends
in COVID-19 with logistic model and machine learning technics. Chaos, Solitons &
Fractals.139, 110058 (2020).
[E.M. Koltsova, 2020] E.M. Koltsova, E.S. Kurkina, A.M. Vasetsky. Mathematical modeling
of the spread of COVID-19 in Moscow. Computational nanotechnology.7(1), 99-105
(2020). In Russian.
[Y. Chen et al., 2020] Y. Chen, J. Cheng, Y. Jiang, K. Liu. A time delay dynamical model
for outbreak of 2019-nCoV and the parameter identification. Journal of Inverse and
Ill-posed Problems. 28(2), 243-250 (2020).
[M.V. Tamm, 2020] M.V. Tamm. COVID-19 in Moscow: prognoses and scenarios.
FARMAKOEKONOMIKA. Modern Pharmacoeconomic and Pharmacoepidemiology.
13(1), 43-51 (2020).
[E. Unlu et al., 2020] E. Unlu, H. Leger, O. Motornyi, A. Rukubayihunga, T. Ishacian, M.
Chouiten. Epidemic analysis of COVID-19 Outbreak and Counter-Measures in France.
MedRxiv (2020).
[O.I. Krivorotko et al., 2020] O.I. Krivorotko, S.I. Kabanikhin, N.Y. Zyatkov et al.
Mathematical modeling and forecasting of COVID-19 in Moscow and Novosibirsk
region. Numer. Analys. Appl. 13, 332–348 (2020).
[A.I. Borovkov et al., 2020] A.I. Borovkov, M.V. Bolsunovskaya, A.M. Gintciak, T.Yu.
Kudryavtseva. Simulation modelling application for balancing epidemic and economic
crisis in the region. International Journal of Technology. 11(8), 1579–1588 (2020).
[H.M. Yang et al., 2021] H.M. Yang, L.P. Junior Lombardi, F.F.M. Castro, A.C. Yang.
Mathematical modeling of the transmission of SARS-CoV-2—Evaluating the impact of
isolation in S˜ao Paulo State (Brazil) and lockdown in Spain associated with protective
measures on the epidemic of CoViD-19. PLoS ONE.16(6): e0252271 (2021).
[S. Margenov et al., 2021] S. Margenov, N. Popivanov, I. Ugrinova, S. Harizanov, T.
Hristov. Mathematical and computer modeling of COVID-19 transmission dynamics
in Bulgaria by time-depended inverse SEIR model. AIP Conference Proceedings.2333:
090024 (2021).
[C.J. Silva et al., 2021] C.J. Silva, C. Cruz, D.F.M. Torres, et al. Optimal control of
the COVID-19 pandemic: controlled sanitary deconfinement in Portugal. Scientific
Reports.11: 3451 (2021).
[I.N. Kiselev et al., 2021] I.N. Kiselev, I.R. Akberdin, F.A. Kolpakov. A delay differential
equation approach to model the COVID-19 pandemic. MedRxiv (2021).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 49
[R.A. Fisher, 1937] R.A. Fisher. The wave of advance of advantageous genes. Ann. Eugen.
7, 355–369 (1937).
[A.N. Kolmogorov et al., 1937] A.N. Kolmogorov, I.G. Petrovskii, N.S. Piskunov. A study
of the diffusion equation with increase in the amount of substance, and its application
to a biological problem. Bull. Moscow Univ. Math. Mech. 1:6, 1–26 (1937).
[A. Viguerie et al., 2020] A. Viguerie, A. Veneziani, G. Lorenzo et al. Diffusion–reaction
compartmental models formulated in a continuum mechanics framework: application
to COVID-19, mathematical analysis, and numerical study. Comput. Mech. 66,
1131–1152 (2020).
[V.V. Aristov et al., 2021] V.V. Aristov, A.V. Stroganov, A.D. Yastrebov. Simulation of
spatial spread of the COVID-19 pandemic on the basis of the kinetic-advection model.
Physics. 3(1), 85-102 (2021).
[G. B¨arwolff, 2021] G. B¨arwolff. A local and time resolution of the COVID-19 propagation
– a two-dimensional approach for Germany including diffusion phenomena to describe
the spatial spread of the COVID-19 pandemic. Physics. 3, 536-548 (2021).
[Z. Lau et al., 2021] Z. Lau, I.M. Griffiths, A. English, K. Kaouri. Predicting the spatially
varying infection risk in indoor spaces using an efficient airborne transmission model.
ArXiv, 2012.12267 (2021).
[G.Z. Lotova, G.A. Mikhailov, 2020] G.Z. Lotova, G.A. Mikhailov. Numerically statistical
investigation of the partly super-exponential growth rate in the COVID-19 pandemic
(throughout the world). J. Inverse Ill-Posed Probl. 28(6), 877-879 (2020).
[G.Z. Lotova, G.A. Mikhailov, 2021] G.Z. Lotova, G.A. Mikhailov. Numerical-statistical
and analytical study of asymptotics for the average multiplication particle flow in
a random medium. Comput. Math. and Math. Phys. 61, 1330-1338 (2021).
[Википедия] https://en.wikipedia.org/wiki/Basic_reproduction_number
[P. van den Driessche, J. Watmough, 2008] P. van den Driessche, J. Watmough. Further
notes on the basic reproduction number. In: Brauer F., van den Driessche P., Wu
J. (eds) Mathematical epidemiology. Springer, 159–178 (2008).
[A. Berman, R.J. Plemmons, 1970] A. Berman, R.J. Plemmons. Nonnegative Matrices in
the Mathematical Sciences. Academic, New York, 1970.
[T.C. Schelling, 1971] T.C. Schelling. Dynamic models of segregation. J. Math. Sociol. 1:2,
143–186 (1971).
[M. Mitchell et al., 1993] M. Mitchell, P.T. Hraber, J.P. Crutchfield. Revisiting the edge
of chaos: Evolving cellular automata to perform computations. Complex Systems. 7,
89-130 (1993).
[P.H.T. Schimit, 2021] P.H.T. Schimit. A model based on cellular automata to estimate
the social isolation impact on COVID-19 spreading in Brazil. Computer Methods and
Programs in Biomedicine. 200, 105832 (2021).
[J. Dai et al., 2021] J. Dai, C. Zhai, J. Ai, J. Ma, J. Wang, W. Sun. Modeling the Spread
of Epidemics Based on Cellular Automata. Processes. 9, 55 (2021).
[P. Patlolla et al., 2004] P. Patlolla, V. Gunupudi, A.R. Mikler, R.T. Jacob. Agent-Based
Simulation Tools in Computational Epidemiology. In: 4th International Workshop,
International Conference on Innovative Internet Community Systems (I2CS ’04).
Springer Berlin/Heidelberg, 212–223 (2004).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 50
[V.A. Adarchenko et al., 2020] V.A. Adarchenko, S.A. Baban, A.A. Bragin, K.F. Grebenkin
et al. Modeling the development of the coronavirus epidemic using differential and
statistical models. Preprint, RFNC-VNIITF, 264 (2020). In Russian.
[A.I. Vlad et al., 2020] A.I. Vlad, T.E. Sannikova, A.A. Romanyukha. Transmission of acute
respiratory infections in a city: agent-based approach. Mathematical Biology and
Bioinformatics. 15(2), 338-356 (2020).
[C.C. Kerr et al., 2021] C.C. Kerr, R.M. Stuart, D. Mistry, R.G. Abeysuriya, K. Rosenfeld,
G.R. Hart, et al. Covasim: An agent-based model of COVID-19 dynamics and
interventions. PLoS Comput. Biol. 17(7), e1009149 (2021).
[A. Aleta et al., 2020] A. Aleta, D. Martin-Corral, Y. Pastore, A. Piontti, M. Ajelli, M.
Litvinova, et al. Modelling the impact of testing, contact tracing and household
quarantine on second waves of COVID-19. Nat. Hum. Behav. 4(9), 964-971 (2020).
[M.S.Y. Lau et al., 2020] M.S.Y. Lau, B. Grenfell, M. Thomas, M. Bryan, K. Nelson,
B. Lopman. Characterizing superspreading events and age-specific infectiousness of
SARS-CoV-2 transmission in Georgia, USA. Proc. Natl. Acad. Sci. U S A.117(36),
22430-22435 (2020).
[A.J. Kucharski et al., 2020] A.J. Kucharski, P. Klepac, A.J.K. Conlan, S.M. Kissler,
M.L. Tang, H. Fry, et al. Effectiveness of isolation, testing, contact tracing, and
physical distancing on reducing transmission of SARS-CoV-2 in different settings:
a mathematical modelling study. Lancet Infect. Dis. 20(10), 1151-1160 (2020).
[N. Hoertel et al., 2020] N. Hoertel, M. Blachier, C. Blanco, M. Olfson, M. Massetti, M.S.
Rico, et al. A stochastic agent-based model of the SARS-CoV-2 epidemic in France.
Nat. Med. 26(9), 1417-1421 (2020).
[J. Hellewell et al., 2020] J. Hellewell, S. Abbott, A. Gimma, N.I. Bosse, C.I. Jarvis, T.W.
Russell, et al. Feasibility of controlling COVID-19 outbreaks by isolation of cases and
contacts. Lancet. Glob. Health. 8(4), e488-e496 (2020).
[1] Covasim documentation: https://docs.idmod.org/projects/covasim/en/latest/
index.html
[2] Household Size, 2019, UN. https://population.un.org/Household/#/countries/
840
[S.A. Lauer et al., 2020] S.A. Lauer, K.H. Grantz, Q. Bi et al. The incubation period
of coronavirus disease 2019 (COVID-19) from publicly reported confirmed cases:
estimation and application. Ann. Intern. Med. 172(9), 577-582 (2020).
[R. W¨olfel et al., 2020] R. W¨olfel, V.M. Corman, W. Guggemos et al. Virological assessment
of hospitalized patients with COVID-2019. Nature.581, 465-469 (2020).
[R. Verity et al., 2020] R. Verity, L.C. Okell, I. Dorigatti et al. Estimates of the severity
of coronavirus disease 2019: a model-based analysis. The Lancet Infectious Diseases.
20(6), 669-677 (2020).
[D. Wang et al., 2020] D. Wang, B. Hu, C. Hu et al. Clinical characteristics of 138
hospitalized patients with 2019 novel coronavirus-infected pneumonia in Wuhan,
China. JAMA.323(11), 1061-1069 (2020).
[3] Федеральная служба государственной статистики, Новосибирская область.
https://novosibstat.gks.ru/folder/31729.
[M.J. Smith, G.R. Price, 1973] M.J. Smith, G.R. Price. The logic of animal conflict. Nature.
246, 15-18 (1973).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 51
[B. Jovanovic, R.W. Rosenthal, 1988] B. Jovanovic, R.W. Rosenthal. Anonymous
sequential games. Journal of Mathematical Economics 17:1, 77-87 (1988).
[J.-M. Lasry, P.-L. Lions, 2007] J.-M. Lasry, P.-L. Lions. Mean field games. Jpn. J. Math.,
2(1):229–260, 2007.
[В.Н. Колокольцов и др., 2013] В.Н. Колокольцов, М.С. Троева, В. Янг. Игры среднего
поля, связанные с процессами устойчивого типа. МТИП.5(4), 33-65 (2013).
[D. Andersson, B. Djehiche, 2011] D. Andersson, B. Djehiche. A maximum principle for
SDEs of meanfield type. Appl. Math. Optim. 63, 341-356 (2011).
[R. Buckdahn et al., 2009] R. Buckdahn, B. Djehiche, J. Li, S. Peng. Mean-field backward
stochastic differential equations: a limit approach. Ann. Prob. 37(4), 1524-1565 (2009).
[L. Laguzet, G. Turinici, 2015] L. Laguzet, G. Turinici. Global optimal vaccination in the
SIR model: Properties of the value function and application to cost-effectiveness
analysis. Mathematical Biosciences. 263, 180-197 (2015).
[W. Lee et al., 2020a] W. Lee, S. Liu, H. Tembine, W. Li, S. Osher. Controlling propagation
of epidemics via mean-field control. arXiv:2006.01249 (2020).
[H. Tembine, 2020] H. Tembine. COVID-19: Data-Driven Mean-Field-Type Game
Perspective. Games. 11, 51 (2020).
[W. Lee et al., 2020b] W. Lee, S. Liu, W. Li, S. Osher. Mean field control problems for
vaccine distribution. arXiv preprint arXiv:2104.11887v1, (2020).
[Н.Н. Боголюбов, Н.М. Крылов, 1939] Боголюбов Н.Н., Крылов Н.М. Об уравнениях
Фоккера-Планка, которые выводятся в теории возмущений методом, основан-
ным на спектральных свойствах возмущённого гамильтониана. Записки кафедры
математической физики Института нелинейной механики АН УССР.4, 5-80
(1939).
[R.E. Bellman, 1957] R.E. Bellman. Dynamic Programming. Princeton, NJ, 1957.
[L. Berec, 2002] L. Berec. Techniques of spatially explicit individual-based models:
Construction, simulation, and mean-field analysis. Ecological Modelling. 150(1-2) 55-
81 (2002).
[P.H.T. Schimit, L.H.A. Monteiro, 2009] P.H.T. Schimit , L.H.A. Monteiro. On the basic
reproduction number and the topological properties of the contact network: An
epidemiological study in mainly locally connected cellular automata. Ecological
Modelling. 220(7) 1034-1042 (2009).
[M. Fischer, 2017] M. Fischer. On the connection between symmetric N-player games and
mean field games. The Annals of Applied Probability.27(2), 757-810 (2017).
[A. Bensoussan et al., 2013] A. Bensoussan, J. Frehse, Ph. Yam. Mean Field Games and
Mean Field Type Control Theory. Springer Briefs in Mathematics. Springer, New
York, 2013.
[D. Gomes et al., 2013] D. Gomes, J. Mohr, R.R. Souza. Continuous time finite state mean-
field games. Appl. Math. and Opt.,68(1), 99-143 (2013).
[V.V. Kolokoltsov et al., 2011] V.V. Kolokoltsov, J.J. Li, W. Yang. Mean field games and
nonlinear Markov processes. ArXiv, 1112.3744v2, 2011.
[V.V. Kolokoltsov, W. Yang, 2013] V.V. Kolokoltsov, W. Yang. Sensitivity analysis for
HJB equations with an application to a coupled backward-forward system. ArXiv,
1303.6234, 2013.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 52
[R. Carmona, F. Delarue, 2013] R. Carmona, F. Delarue. Probabilistic analysis of mean-
field games. SIAM J. Control Optim.,51(4), 2705-2734 (2013).
[Y. Achdou, I. Capuzzo-Dolcetta, 2010] Y. Achdou, I. Capuzzo-Dolcetta. Mean field games:
numerical methods. SIAM J. Numer. Anal. 48(3), 1136-1162 (2010).
[Y. Achdou, 2013] Y. Achdou. Finite difference methods for mean field games. In: Hamilton-
Jacobi Equations: Approximations, Numerical Analysis and Applications. Springer,
1-47 (2013).
[V.V. Shaydurov, 2020] V.V. Shaydurov, S. Zhang, V.S. Kornienko. A finite-difference
solution of mean field problem with the fractional derivative for subdiffusion. AIP
Conference Proceeding. 2302, 110002 (2020).
[B. Kaltenbacher et al., 2008] B. Kaltenbacher, A. Neubauer, O. Scherzer. Iterative
regularization methods for nonlinear ill-posed problems. NY: De Gruyter, 2008.
[S. Kabanikhin, 2009] S. Kabanikhin. Definitions and examples of inverse and ill-posed
problems. J.Inverse Ill-Posed Probl. 16(4), 317-357 (2009).
[А.Н. Тихонов, А.В. Гончарский и др., 1983] А.Н. Тихонов, А.В. Гончарский, В.В. Сте-
панов, А.Г. Ягола. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. М.:
Наука, 1983.
[А.Н. Тихонов, А.С. Леонов и др., 1995] А.Н. Тихонов, А.С. Леонов, А.Г. Ягола. Нели-
нейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995.
[M. Hongyu et al., 2011] M. Hongyu, X. Xiaohua, A.S. Perelson, W. Hulin. On
identifiability of nonlinear ODE models and applications in viral dynamics. SIAM
Rev. Soc. Ind. Appl. Math. 53(1), 3-39 (2011).
[B.M. Adams, H.T. Banks et. al, 2015] B.M. Adams, H.T. Banks et. al. On HIV dynamics:
modeling, data analysis, and optimal treatment protocols. Journal of Computational
and Applied Mathematics. 184, 10-49 (2015).
[I. Andrianakis, I.R. Vernon et. al, 2015] I. Andrianakis, I.R. Vernon, N. McCreesh, T.J.
McKinley, J.E. Oakley, R.N. Nsubuga, M. Goldstein, R.G. White. Bayesian history
matching of complex infectiousdisease models using emulation: a tutorial and a case
study on HIV in Uganda. PLOS Computational Biology. 11(1), e1003968 (2015).
[O.I. Krivorotko, D.V. Andornaya et. al, 2020] O.I. Krivorotko, D.V. Andornaya, S.I.
Kabanikhin. Sensitivity analysis and practical identifiability of some mathematical
models in biology. J. Appl. Ind. Math. 14, 115-130 (2020).
[А.Н. Тихонов, 1943] А.Н. Тихонов. Об устойчивости обратных задач. Докл. АН СССР.
39(5), 195-198 (1943).
[М.М. Лаврентьев, 1953] М.М. Лаврентьев. К вопросу об улучшении точности реше-
ния системы линейных уравнений. Доклады Академии наук СССР. 92(5), 885-886
(1953).
[С.К. Годунов, А.Г. Антонов и др., 1992] С.К. Годунов, А.Г. Антонов, О.П. Кирилюк,
В.И. Костин. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в
евклидовых пространствах. Новосибирск: Наука, 1992.
[S.I. Kabanikhin, O.I. Krivorotko, 2012] S.I. Kabanikhin, O.I. Krivorotko. Singular value
decomposition in an inverse source problem. Numerical Analysis and Applications.
5(2), 168-174 (2012).
[А.Н. Тихонов, 1963] А.Н. Тихонов. О решении некорректно поставленных задач. До-
кл. АН СССР. 151(3), 501-504 (1963).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 53
[М.М. Лаврентьев, 1962] М.М. Лаврентьев. О некоторых некорректных задачах мате-
матической физики. Новосибирск: Наука, 1962.
[В.К. Иванов, 1963] В.К. Иванов. О некорректно поставленных задачах. Матем. сб.
61(2), 211-223 (1963).
[S.I. Kabanikhin, O.I. Krivorotko, 2015] S.I. Kabanikhin, O.I. Krivorotko. Identification of
biological models described by systems of nonlinear differential equations. J. Inverse
Ill-Posed Probl. 23(5), 519-527 (2015).
[O. Krivorotko, S. Kabanikhin et al., 2020] O. Krivorotko, S. Kabanikhin, Sh. Zhang, V.
Kashtanova. Global and local optimization in identification of parabolic systems. J.
Inverse Ill-Posed Probl. 28(6), 899-913 (2020).
[А.А. Жиглявский, А.Г. Жилинскас, 1991] А.А. Жиглявский, А.Г. Жилинскас. Мето-
ды поиска глобального экстремума. М.: Наука, 1991.
[Е.Е. Тыртышников, 1993] Е.Е. Тыртышников. Новые теоремы о распределении соб-
ственных и сингулярных чисел многоуровневых теплицевых матриц. Доклады
Академии наук. 333(3), 300-303 (1993).
[I.V. Oseledets, 2011] I.V. Oseledets. Tensor-train decomposition. SIAM J. Sci. Comput.
33, 2295-2317 (2011).
[Д.А. Желтков, И.В. Оферкин и др., 2013] Д.А. Желтков, И.В. Оферкин, Е.В. Катко-
ва, А.В. Сулимов, В.Б. Сулимов, Е.Е. Тыртышников. TTDock: метод докинга на
основе тензорных поездов. Вычислительные методы и программирование. 14(3),
279-291 (2013).
[V.V. Zheltkova, D.A. Zheltkov et al., 2018] V.V. Zheltkova, D.A. Zheltkov, Z. Grossman,
G.A. Bocharov, E.E. Tyrtyshnikov. Tensor based approach to the numerical treatment
of the parameter estimation problems in mathematical immunology. J. Inverse Ill-
Posed Probl. 26(1), 51-66 (2018).
[O.I. Krivorotko, M.I. Sosnovskaia et al., 2021] O.I. Krivorotko, M.I. Sosnovskaia, I.
Vashchenko. Agent-based mathematical model of COVID-19 spread in Novosibirsk
region: identifiability, optimization and forecasting. J. Inverse Ill-Posed Probl. In print
(2021).
[O.I. Krivorotko, S.I. Kabanikhin et al., 2021] O.I. Krivorotko, S.I. Kabanikhin, M.I.
Sosnovskaya, D.V. Andornaya. Sensitivity and identifiability analysis of COVID-19
pandemic models. Vavilov journal of genetics and breeding. 25(1), 82-91 (2021).
[R. Casagrandi, L. Bolzoni et al., 2021] R. Casagrandi, L. Bolzoni, S. Levin, V. Andreasen.
The SIRC modeland influenza A. Math. Biosci. 200, 152-169 (2006).
[4] Gaussian filter in Python
https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.ndimage.
gaussian_filter.html
A Обработка эпидемиологических данных 54
Приложения
A Обработка эпидемиологических данных
Для анализа данных, описанного в разделах 2.2-2.3 и дальнейшего построения SEIR-
HCD (Раздел 3.5.2) модели и АОМ (Раздел 4.3.1), были использованы следующие по-
казатели для Новосибирской области:
1. Официальные статистические данные о выявленных случаях заражения COVID-
19, проведенных ПЦР тестов, критических пациентах, требующих подключения
аппарата ИВЛ и умерших. Информация была агрегирована с открытых источ-
ников сети Интернет с помощью разработанной программы для автоматического
сбора данных и доступна для скачивания по ссылке: http://covid19-modeling.
ru/data/novosibirsk-region-data.csv
Рис. A.1: Статистические данные COVID-19 по Новосибирской области с 12.03.2020 по
30.11.2021 (стопкоронавирус.рф):
Синяя линия – отношение ежедневных тестов ПЦР к выявленным случаям, оранжевая
линия – выявленные случаи COVID-19, зеленая линия – умершие от COVID-19, красная
линия – критические случаи, находящиеся на ИВЛ.
2. Информация о распределении населения по возрастным группам согласно данным
Федеральной службы государственной статистики [3]):
A Обработка эпидемиологических данных 55
Возрастная группа, лет Количество человек
0-9 357814
10-19 279706
20-29 316949
30-39 493491
40-49 391877
50-59 343950
60-69 353261
70-79 157762
80+103360
Таблица .2: Распределение численности населения Новосибирской области по возрастным
группам на 1 января 2020 года.
3. Сведения о среднем размере семьи: 2,5 человека согласно отчету Росстата https:
//novosibstat.gks.ru/storage/mediabank/p54_PRESS147_2020.pdf);
Для построения SEIR-HCD модели, описанной в разделе 3, были использованы сле-
дующие данные по Новосибирской области:
1. Данные по новым выявленным случаям заражения COVID-19, госпитализирован-
ным, критическим (требующих подключение аппарата ИВЛ) и умершим. Инфор-
мация была агрегирована с открытых источников сети Интернет с помощью раз-
работанной программы для автоматического сбора данных и доступна для скачи-
вания по ссылке: http://covid19-modeling.ru/data/novosibirsk-region-data.
csv.
2. Данные по проценту бессимптомных выявленных случаев от общего числа вы-
явленных случаев заражения COVID-19, а также его прогноз на период моде-
лирования. Данные получены из ежедневных сводок оперативного штаба Моск-
вы, публикуемые в их официальном Телеграм-канале и доступные по ссылке:
https://t.me/COVID2019_official.
3. Индекс самоизоляции от Яндекса, а также его прогноз на период моделирования.
Индекс публикуется компанией Яндекс и доступен по ссылке: https://yandex.
ru/company/researches/2020/podomam.
4. Данные по проценту индивидуумов с антителами к COVID-19 от медицинского
центра «Инвитро», а также его прогноз на период моделирования. Ежедневная
динамика процента индивидуумов с антителами к COVID-19 по лабораторным
данным медицинского центра «Инвитро» в Новосибирске доступна по следующей
ссылке: https://www.invitro.ru/l/invitro_monitor/.
Для более полного анализа и последующего построения более точных сценариев
развития эпидемиологической ситуации в регионе необходим анализ следующих дан-
ных, которые не публикуются в открытых источниках:
•Информация о количестве завезенных случаев COVID-19 (из других регионов РФ
или из-за границы);
•Информация о доле больничных коек, занятых больными COVID-19, от всех до-
ступных в учреждениях здравоохранения.
B Комплекс программ 56
B Комплекс программ
Для построения агентно-ориентированной модели, описанной в разделе
4.3.1, был использован программный комплекс Covasim (https://github.com/
InstituteforDiseaseModeling/covasim), разработанный институтом Institute for
Disease Modeling (https://www.idmod.org/). Данная библиотека написана на языке
Python и создана для исследования агентных моделей COVID-19 с нетривиальными
структурами. Covasim использовался для анализа эпидемиологической ситуации в
более чем десяти странах, а также являлся одним из инструментов для принятия
решений о введении ограничительных мер в США, Великобритании и Австралии.
Для решения обратных задач для агентно-ориентированной модели (раздел 6.2,
был подготовлен программный код на языке Python для интеграции разработанно-
го поэтапного метода восстановления неизвестных параметров с библиотекой Covasim.
Исходные файлы и примеры использования доступны по ссылке на Github (https://
github.com/msosnovskaya/autocalibration-covasim-pub). Также данный программ-
ный код был зарегистирован в Роспатент (Номер свидетельства: 2021614740).
